向量知识点归纳与常见总结
根据向量知识点总结及题型归纳
根据向量知识点总结及题型归纳一、向量的基本概念向量是由大小和方向确定的物理量，用箭头表示。
向量有两个重要特征：模和方向，用 |v| 和→v 表示。
A、向量的模：向量的模表示向量的大小或长度，用数值表示。
B、向量的方向：向量的方向表示从起点指向终点的直线方向，一般用角度或方向余弦表示。
二、向量的加减法A、向量的加法：向量相加按照平行四边形法则进行，首尾相接，和向量的起点为第一个向量的起点，终点为最后一个向量的终点。
即 A + B = C，表示从向量 A 的起点到向量 B 的终点的向量 C。
B、向量的减法：向量相减等于将减去的向量的方向反向，然后与要减的向量相加。
即 A - B = A + (-B)，表示由向量 A 的起点到向量 B 的终点的负向量。
三、向量的数量积和向量积A、向量的数量积：向量的数量积是两个向量的模和它们的夹角的余弦的乘积。
记作A·B = |A||B|cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示两个向量的模，θ表示两个向量的夹角。
B、向量的向量积：向量的向量积是两个向量的模和它们的夹角的正弦的乘积。
记作A×B = |A||B|sinθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示两个向量的模，θ表示两个向量的夹角。
四、向量的题型归纳1、向量的加减法题：根据给定的向量，进行向量的加法或减法运算。
2、向量的数量积题：根据给定的向量，计算向量的数量积及其性质。
3、求模问题：根据已知的向量的模和方向，求解未知向量的模。
4、夹角问题：根据已知的向量和夹角，计算向量的数量积或向量的向量积。
5、平行四边形问题：根据已知的向量和平行四边形的性质，判断向量的关系。
6、垂直问题：根据已知的向量和垂直性质，判断向量的关系。
7、三角形面积问题：根据已知的向量，计算三角形的面积。
8、平面问题：根据已知的向量和平面的性质，判断向量的关系。
以上是根据向量的基本概念、加减法、数量积和向量积等知识点总结的，包括了常见的向量题型归纳。
高中数学向量知识点总结大全
一、向量的基本概念向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
物理学中又叫做矢量，如力、速度、加速度、位移就是向量。
向量可以用一条有向线段（带有方向的线段）来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向。
向量也可以用一个小写字母a,b,c表示，或用两个大写字母加表示（其中前面的字母为起点，后面的字母为终点）。
向量的表示方法：几何表示法、字母表示法。
模的概念：向量的大小（长度）称为向量的模。
记作：｜ab｜。
零向量：长度（模）为0的向量叫做零向量，记作0。
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量。
若向量a，b平行，记作a∥b。
规定0与任一向量平行。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
向量a，b相等记作a=b。
零向量都相等。
任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段起点、终点位置无关。
二、向量的运算向量的加法：两个向量相加的结果是以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线（注意起点和方向）。
也可以先作出其中一个向量，然后将另一个向量的起点平移到第一个向量的终点上，最后以第一个向量的起点为起点，以平移后得到的向量的终点为终点作出结果向量。
这种加法称为三角形法则。
向量的减法：两个向量相减的结果是将第一个向量的起点平移到第二个向量的终点上，然后以第二个向量的起点为起点，以平移后得到的向量的终点为终点作出结果向量。
这种减法称为三角形法则的逆运算。
向量的数乘：实数与向量的乘积是一个新的向量，其模等于原向量的模乘以实数的绝对值，其方向与原向量的方向相同或相反（取决于实数的正负）。
向量的点乘：两个向量的点乘结果是一个实数，等于这两个向量的模的乘积再乘以它们之间的夹角的余弦值。
如果两个向量的夹角为90度，则它们的点乘结果为0；如果两个向量的夹角为0度或180度，则它们的点乘结果分别为它们模的乘积的正值和负值。
向量的叉乘：两个三维向量的叉乘结果是一个新的三维向量，其模等于这两个向量的模的乘积再乘以它们之间的夹角的正弦值，其方向垂直于这两个向量所构成的平面，符合右手定则。
向量知识点总结高一
向量知识点总结高一一、向量的定义和性质1. 向量的定义在数学中，向量是有大小和方向的量。
向量用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
2. 向量的性质（1）向量的大小和方向唯一确定一个向量。
（2）同一向量的不同表示叫做向量的等价表示。
（3）向量的等价表示之间可以互相转换。
（4）向量与数的乘积可以用数的乘法来定义。
（5）向量之间可以进行加法运算和减法运算。
二、向量的基本运算1. 加法和减法（1）向量的加法：两个向量的和等于它们的尾部相连形成的新向量。
（2）向量的减法：两个向量的差是指把减数的向量的起点与被减数的向量的终点相连成新向量。
2.数乘（1）向量的数乘：一个向量与一个实数相乘是指该向量的长度乘以这个实数，并且方向不变。
3.数量积（内积）（1）数量积的定义：设两个向量a，b之间的夹角为θ，那么向量a与向量b之间的数量积为一个数abcosθ。
（2）数量积的性质：a·b=|a|·|b|cosθ。
（3）数量积的应用：计算向量的模、求向量的夹角、求向量的投影等。
4.向量积（外积）（1）向量积的定义：设有向量a，b，它们的向量积a×b是一个向量，它的大小等于|a|·|b|·sinθ，它的方向垂直于a和b所在的平面，满足右手定则。
5.混合积（1）混合积的定义：设有三个向量a，b，c，它们的混合积为|a×b·c|。
三、向量的基本定理1. 平行四边形法则对于平行四边形abcd，向量a，b的和是向量a+c，且a+c=b+d。
2. 三角形法则对于三角形abc，向量a+b+c=0。
3. 余弦定理对于三角形abc，有c²=a²+b²-2abcosC，其中C为角c所对的边。
4. 已知（a1,b1）,(a2,b2)的数量积等于0的条件两个向量的数量积等于0，表示这两个向量垂直。
四、向量的常用技巧1. 向量的模向量a的模表示为|a|，表示向量a的大小。
向量知识点及题型总结
向量知识点及题型总结一、向量的定义和性质1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。
2. 向量的性质：- 向量的模长：向量的大小，用 ||a|| 表示，是向量的长度。
- 向量的方向：指向的方向，可以用夹角来表示。
- 向量的相等：如果两个向量的模长相等并且方向相同，那么这两个向量是相等的。
- 零向量：模长为0的向量，表示为0。
二、向量的表示及运算1. 向量的表示方式：- 平面向量：即二维向量，用坐标表示；例如向量 a = (a1, a2)。
- 空间向量：即三维向量，用坐标表示；例如向量 a = (a1, a2, a3)。
2. 向量的基本运算：- 向量的加法：向量相加就是对应分量相加；例如 a + b = (a1 + b1, a2 + b2)。
- 向量的减法：向量相减就是对应分量相减；例如 a - b = (a1 - b1, a2 - b2)。
- 向量的数量乘法：向量乘以一个数，就是将向量每个分量都乘以这个数；例如 k * a = (k * a1, k * a2)。
- 向量的点乘：向量的点乘又称数量积，是两个向量对应分量相乘再相加的运算；例如 a·b = a1*b1 + a2*b2。
- 向量的叉乘：向量的叉乘又称向量积，只存在于三维空间中，结果是垂直于原来两个向量的新向量；例如 a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。
三、向量的应用1. 向量的几何意义- 向量的加法和减法可以表示平移和反向平移。
- 向量的数量积可以表示两个向量的夹角和投影。
- 向量的叉乘可以表示平行四边形的面积和法向量。
2. 向量的物理意义- 位移向量：表示物体的位移和移动方向。
- 力向量：表示物体受到的力和力的方向。
- 速度向量：表示物体的速度和运动方向。
- 加速度向量：表示物体的加速度和加速方向。
四、向量的题型1. 向量的基本运算题型- 求向量的模长和方向。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量知识点与公式总结（精选6篇）在现实学习生活中，很多人都经常追着老师们要知识点吧，知识点就是“让别人看完能理解”或者“通过练习我能掌握”的内容。
那么，都有哪些知识点呢？以下是小编精心整理的向量知识点与公式总结，仅供参考，大家一起来看看吧。
向量知识点与公式总结篇1考点一：向量的概念、向量的基本定理【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。
注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。
考点二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。
【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。
考点三：定比分点【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。
【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。
由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。
考点四：向量与三角函数的综合问题【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。
【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。
高中数学向量知识点总结
高中数学向量知识点总结一、基础概念向量是由大小和方向两个方面表示的量，可以用有向线段表示。
向量的模(长度)是一个标量，用||a||表示，其中a为向量。
模为0的向量称为零向量。
向量的方向由其符号决定，同方向向量与相反方向向量称为“对向向量”。
二、向量的加法向量加法：向量加上另一个向量就是在另一个向量的末端从起点开始画一个同样大小的向量。
可加性：若a、b、c为向量，那么a+b=c，即a+b=c-b。
交换律：一个向量加上另一个向量等于另一个向量加上第一个向量。
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)三、向量的减法向量减法：一个向量减上另一个向量等于另一个向量的相反数加上第一个向量。
四、向量的数量积向量的数量积：向量 a 与标量 k 的积乘积表示为ka 。
向量 a 与向量 b 的数量积表示为a·b 。
夹角公式：a·b=|a||b|cosθ。
五、向量的叉积向量的叉积可以得到一个新的向量，叉积符号为叉乘号-×。
向量的叉积表示为a×b，结果垂直于a和b所在的平面，方向通过右手定则判断。
六、平面向量平面向量：一个平面向量的模表示这个向量所代表的有向线段的长度，而朝向的方向则由向量的起点指向终点。
标准单位向量i、j 满足|i|=|j|=1，同时是相互垂直的。
平面向量加减的公式与三维向量相同。
七、空间向量空间向量：空间向量是三维向量，定义为一个向量的起点和终点可以在三维空间中的任意两个点之间往返移动。
空间向量加减的公式与平面向量相同。
空间向量的数量积：a·b=|a||b|cosθ。
八、向量的应用平移变换：平移是向量应用最广泛的变换之一，在2D空间或3D空间中使用相同的基础技巧。
投影：当我们需要在三维空间中绘制3D图像时，我们经常需要计算平行于某个坐标轴的投影。
向量的知识点归纳总结
向量的知识点归纳总结一、向量的定义和表示向量是由大小和方向组成的量，可以用箭头表示。
在平面直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数对(x,y)，也可以用矢量形式表示为a=<x,y>。
在三维空间中，向量可以表示为一个有序三元组(x,y,z)，或者用矢量形式表示为a=<x,y,z>。
二、向量的基本运算1. 向量加法：两个向量相加得到一个新的向量，其大小等于两个向量大小之和，方向与第一个向量和第二个向量相同。
2. 向量减法：两个向量相减得到一个新的向量，其大小等于两个向量大小之差，方向与第一个向量和第二个向量相反。
3. 数乘：将一个数乘以一个向量得到一个新的向量，其大小为原来的大小乘以这个数，方向不变。
4. 点积：两个同维度的向量进行点积运算得到一个标量（数量），公式为a·b=|a||b|cosθ。
5. 叉积：只有三维空间中才有叉积运算。
两个同维度的向量进行叉积运算得到一个新的垂直于这两个原始向 0 0 向的向 0 0 量，公式为a×b=|a||b|sinθn。
三、向量的线性相关和线性无关若存在一组不全为零的实数k1,k2,...,kn，使得k1a1+k2a2+...+knan=0，则向量组{a1,a2,...,an}线性相关；否则，向量组{a1,a2,...,an}线性无关。
其中，n表示向量的个数。
四、向量的投影和正交分解1. 向量的投影：一个向量在另一个向量上的投影是这个向量在另一个向量上的投影长度与另一个向量方向相同的新向 0 0 向。
公式为projba=(a·b/|b|^2)b。
2. 正交分解：将一个向量分解成与另一个向量正交和平行于另一个向量两部分之和。
公式为a=a∥+a⊥，其中a∥=projba，a⊥=a−projba。
五、平面几何中的应用1. 向量共线：若两个非零向量共线，则它们可以表示成相等或相反方向的倍数。
2. 向量垂直：若两个非零向量垂直，则它们点积等于零。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结一、向量的基本概念1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的物理量，通常用一个箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
2. 向量的表示：通常用字母加上一个箭头表示向量，如a、b、c等，也可以用粗体字母表示向量，如a、b、c等。
3. 向量的模：向量的大小叫做模，通常用|a|表示，表示向量a的大小。
4. 向量的方向：向量的方向是指向量所在的直线的方向。
通常用角度来表示，如θ，表示与x轴的夹角。
5. 坐标表示：向量也可以用坐标来表示，如(a₁, a₂, a₃)表示三维空间中的一个向量。
6. 零向量：大小为零的向量叫做零向量，通常用0表示。
7. 平行向量：如果两个向量的方向相同或者相反，那么它们就是平行向量。
8. 共线向量：如果两个向量在同一条直线上，那么它们就是共线向量。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量的相应分量相加得到一个新的向量。
表示为a + b = c，其中c的分量是a和b的分量相加得到的。
2. 向量的减法：向量的减法是指将一个向量的分量减去另一个向量的分量得到一个新的向量。
表示为a - b = c，其中c的分量是a和b的分量相减得到的。
3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量乘以一个数量得到一个新的向量。
表示为ka = b，其中b的分量是a的每个分量乘以k得到的。
4. 内积：两个向量a和b的内积表示为a·b，它等于a与b的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
内积的计算公式为a·b = |a||b|cosθ。
5. 外积：两个向量a和b的外积表示为a×b，它等于一个新的向量，它的大小等于a与b 所构成的平行四边形的面积，方向垂直于a和b所构成的平面。
三、向量的性质1. 方向性：向量有方向性，即向量的方向是它的一个重要特征。
2. 大小性：向量有大小性，即向量有模，它的大小可以用模来表示。
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向量知识点归纳与常见题型总结一、向量知识点归纳1．与向量概念有关的问题⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“＞”错了，而||＞||才有意义.⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（y x ,）,其中x 、y 满足 +2x 2y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.特别：||ABAB →→表示与AB →同向的单位向量。
例如：向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； 例1、O 是平面上一个定点，A 、B 、C 不共线，P 满足()[0,).|||AB AC OP OA AB ACλλ=++⋅∈+∞u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。
(变式)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|=12 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06陕西) ⑸0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.（7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
)2．与向量运算有关的问题⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则） ①当两个向量和不共线时，+的方向与、都不相同，且|+|＜||＋||； ②当两个向量和共线且同向时，+、、的方向都相同，且=+||||||+； ③当向量和反向时，若||＞||，+与 方向相同 ，且|+|=||-||；若||＜||时,+与 方向相同，且|＋|=||-||.⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。
AC BC AB =+;CB AC AB =-例2：P 是三角形ABC 内任一点，若,CB PA PB R λλ→→→=+∈，则P 一定在（ ）A 、ABC ∆内部B 、AC 边所在的直线上 C 、AB 边上D 、BC 边上例3、若0·2=+，则△ABC 是：△ B.锐角△ C.钝角△ D.等腰Rt △ 例4、已知向量)1,3(),sin ,(cos -==b a θθ，求|2|b a -的最大值。
分析：通过向量的坐标运算，转化为函数（这里是三角）的最值问题，是通法。
解：原式==+-|)1sin 2,3cos 2(|θθ22)1sin 2()3cos 2(++-θθ =)3sin(88πθ-+。
当且仅当)(652Z k k ∈+=ππθ时，|2|b a -有最大值.4 评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式“||||||||||||b a b a b a +≤±≤-”就显得简洁明快。
原式≤|||2|b a +=4212||||2=+⨯=+b a ，但要注意等号成立的条件（向量同向）。
⑶围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和为零向量. 如，+AB +=,（在△ABC 中） +++=.(□ABCD 中) ⑷判定两向量共线的注意事项：共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a=λb ．如果两个非零向量，，使=λb （λ∈R ），那么∥； 反之，如∥，且≠0，那么=λ.这里在“反之”中，没有指出是非零向量，其原因为=0时，与λ的方向规定为平行. ⑸数量积的8个重要性质①两向量的夹角为0≤θ≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数. ②设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与b 的夹角，则)1||.(cos ||==⋅=⋅e a Θθ ③⇔⊥0=⋅（∵θ=90°，)0cos =θ④在实数运算中ab =0a ⇔=0或b=0.而在向量运算中⋅=⇔=或=是错误的，故=或=是⋅=0的充分而不必要条件. ⑤当a 与b 同向时b a ⋅=||||b a ⋅(θ=0,cos θ=1); 当与反向时，⋅=-||||b a ⋅(θ=π,cos θ=-1)，即∥的另一个充要条件是||||b a ⋅=⋅.当θ为锐角时，•＞0，且 a b r r 、不同向，0a b ⋅>r r 是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，•＜0，且 a b r r 、不反向，0a b ⋅<r r 是θ为钝角的必要非充分条件；例 5.如已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：43λ<-或0λ>且13λ≠）； 例6、已知i ,j 为相互垂直的单位向量，j i a 2-=，j i b λ+=。
且a 与b 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围。
分析：由数量积的定义易得“><,⇒0>⋅”，但要注意问题的等价性。
解：由a 与b 的夹角为锐角，得.021>-=⋅λb a 有.21<λ而当),0(>=t t 即两向量同向共线时，有⎩⎨⎧-==21λt t 得.2-=λ此时其夹角不为锐角。
故∈λ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋃-∞-21,22,. 评析：特别提醒的是：><b a ,是锐角与0>⋅不等价；同样><b a ,是钝角与0<⋅不等价。
极易疏忽特例“共线”。
特殊情况有2=⋅=2||a 。
或||a ==22y x +.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(1x ,1y ),(2x ,2y ),则|a =221221)()(y y x x -+- ⑥||||b a ⋅≤⋅。
（因1cos ≤θ）⑦数量积不适合乘法结合律. 如).()(c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅（因为c b a ⋅⋅)(与共线，而)(c b a ⋅⋅与共线）⑧数量积的消去律不成立. 若、、是非零向量且⋅=⋅并不能得到=这是因为向量不能作除数，即是无意义的.(6)向量b 在方向上的投影︱b ︱cos θ(7) →1e 和→2e 是平面一组基底,则该平面任一向量→→→+=2211e e a λλ(21,λλ唯一) 特别：. OP ＝12OA OB λλ+u u u r u u u r 则121λλ+=是三点P 、A 、B 共线的充要条件.注意：起点相同，系数和是1。
基底一定不共线例7、已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为n S ，若11BO a 2-u u u r ＝200OA a OC u u u r u u u r ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200＝（ ）A ．50 B. 51例8、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=−→−OC −→−−→−+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______（直线AB ） 例9、已知点A,,B,C 的坐标分别是)2,2(),2,5(),1,3(t t -.若存在实数λ, 使OB OA OC )1(λλ-+=,则t 的值是:A. 0 B. 1 C. 0或1 D.不确定例10下列条件中，能确定三点P B A ,,不共线．．．的是： A ．︒+︒=20cos 20sin 22B ．︒-︒=20tan 20sec 22C ．︒+︒=70cos 20sin 22D ．︒-︒=31cot 31csc 22 分析：本题应知：“P B A ,,共线，等价于存在,,R ∈μλ使μλ+=且1=+μλ”。
(8)①在ABC ∆中，1()3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ⇔G 为ABC ∆的重心，特别地0PA PB PC P ++=⇔u u u r u u u r u u u r r 为ABC ∆的重心；12AB BC AD →→→+=则AD →过三角形的重心； 例11、设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。
如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（D ）（06河南高考）A ．1230b b b -++=B 1230b b b -+=C ．1230b b b +-=D ．1230b b b ++= ②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 为ABC ∆的垂心； ③向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ∆的内心(BAC ∠的角分线所在直线)； ④||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ABC ∆的内心；(选)⑤S ⊿AOB ＝A B B A y x y x -21; 例12、若O 是ABC V 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABCV 的形状为____（答：直角三角形）；例13、若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=u u u r u u u r u u u r r ，设||||AP PD λ=u u u r u u u r ，则λ的值为___（答：2）； 例14、若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=u u u r u u u r u u u r r ，则内角C 为____（答：120o ）；(9)、 P 分21P P 的比为λ,则P P 1=λ2P P ,λ＞0内分;λ＜0且λ≠-1外分.＝λλ++121OP OP ;若λ＝1 则＝21(1+2OP );设P(x,y),P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x ;中点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x 重心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.3y y y y ,3x x x x 321321 说明：特别注意各点的顺序，分子是起点至分点，分母是分点至终点，不能改变顺序和 分子分母的位置。