空间向量知识点与题型归纳总结

知识点精讲

一、空间向量及其加减运算

1.空间向量

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可

用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a r 的起点是A ，终点是B ，则向量a r

也可以记作

AB u u u r

，其模记为a r 或AB u u u r .

2.零向量与单位向量

规定长度为0的向量叫做零向量，记作0r .当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0AB =u u u r r

模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.

与向量a r 长度相等而方向相反的向量，称为a r 的相反向量，记为a -r .

4.空间向量的加法和减法运算

（1）OC OA OB a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ，BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r

.如图8-152所示.

（2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律

a b b a +=+r r r r ，()()

a b c a b c ++=++r r r r r r

二、空间向量的数乘运算

1．数乘运算

实数λ与空间向量a r 的乘积a λr 称为向量的数乘运算.当0λ>时，a λr 与向量a r

方向相同；当0λ<时，向量a λr 与向量a r 方向相反. a λr 的长度是a r

的长度的λ倍.

2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

()

a b a b λλλ+=+r r r r ，()

()a a λμλμ=r r .

3.共线向量与平行向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a r

平行于b r ，记作//a b r r .

4.共线向量定理

对空间中任意两个向量a r ，b r ()

0b ≠r r ，//a b r r 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=r r

5.直线的方向向量

如图8-153所示，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a r

的直线.对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP OA ta =+u u u r u u u r r ①，其中向量a r 叫做直线l 的方向向量，在l 上取AB a =u u u r r

，

则式①可化为()

()1OP OA t AB OA t OB OA t OA tOB =+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

②

①和②都称为空间直线的向量表达式，当1

2t =，即点P 是线段AB 的中点时，()

OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，

此式叫做线段AB 的中点公式.

6.共面向量

如图8-154所示，已知平面α与向量a r ，作OA a =u u u r r

，如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，则说明向量a r

平行于平面α.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

7.共面向量定理

如果两个向量a r ，b r 不共线，那么向量p u r 与向量a r ，b r 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(),x y ，使p xa yb =+u r r r

推论：（1）空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(),x y ，使AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r

；或对空间任意一点O ，有OP OA x AB y AC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r

，该式称为空间平面ABC 的向量表达式.

（2）已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，

满足向量关系式OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r

（其中1x y z ++=）的点P 与点A ，B ，C 共面；反之也成立. 三、空间向量的数量积运算 1.两向量夹角

已知两个非零向量a r ，b r ，在空间任取一点O ，作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则AOB ∠叫做向量a r ，b r

的夹角，记作,a b r r ，通常规定0,a b π≤≤r r ，如果,2

a b π

=r r ，那么向量a r ，b r 互相垂直，记作a b ⊥r r .

2.数量积定义

图 8-154

已知两个非零向量a r ，b r ，则cos ,a b a b r r r r 叫做a r ，b r 的数量积，记作a b ?r r ，即cos ,a b a b a b ?=r r r r r r .零向量与任何向量的数量积为0，特别地，2

a a a ?=r r r .

3.空间向量的数量积满足的运算律：

()()a b a b λλ?=?r r r r

，a b b a ?=?r r r r （交换律）

； ()a b c a b a c ?+=?+?r r r r r r r

（分配律）.

四、空间向量的坐标运算及应用

（1）设()123,,a a a a =r ，()123,,b b b b =r ，则()112233,,a b a b a b a b +=+++r r

；

()112233,,a b a b a b a b -=---r r

； ()123,,a a a a λλλλ=r

；

112233a b a b a b a b ?=++r r

；

()

112233//0,,a b b a b a b a b λλλ≠?===r r r r

；

1122330a b a b a b a b ⊥?++=r r

（2）设()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则()212121,,AB OB OA x x y y z z =-=---u u u r u u u r u u u r

这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标. （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.

①已知()123,,a a a a =r ，()123,,b b b b =r

，则a ==r

b =r ；

112233a b a b a b a b ?=++r r

；

cos ,a b =

r r ；

②已知()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则

AB =

u u u r

或者(),d A B AB =u u u r

.其中(),d A B 表示A 与B 两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.

（4）向量a r 在向量b r 上的射影为cos ,a b

a a

b b

?=r r

r r r r .

（5）设()

0n n ≠r r r

是平面M 的一个法向量，AB ，CD 是M 内的两条相交直线，则0n AB ?=r u u u r ，由此

可求出一个法向量n r （向量AB u u u r 及CD uuu

r 已知）.

（6）利用空间向量证明线面平行：设n r 是平面的一个法向量，l r 为直线l 的方向向量，证明0l n ?=r r

，（如图8-155所示）.已知直线l （l α?），平面α的法向量n r ，若0l n ?=r r

，则//l α.

（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量a r ，b r

，只要证明a b ⊥r r ，即0a b ?=r r

（8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.

（9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直. （10）空间角公式.

①异面直线所成角公式：设a r ，b r

分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，

则cos cos ,a b a b a b

θ?==r r r r

r r .

②线面角公式：设l 为平面α的斜线，a r 为l 的方向向量，n r

为平面α的法向量，θ为

l 与α所成角的大小，则sin cos ,a n a n a n

θ?==r r r r

r r .

③二面角公式：

设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,n n θ=u r u u r 或12,n n π-u r u u r

（需要根

据具体情况判断相等或互补），其中12

cos n n n n θ?=u r u u r u r u u r .

（11）点A 到平面α的距离为d ，B α∈，n r

为平面α的法向量，则AB n d n

?=u u u r r r .

题型归纳及思路提示

题型1 空间向量及其运算思路提示

空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向量的运算法则.

一、空间向量的加法、减法、数乘运算

例8.41 如图8-156所示，已知空间四边形OABC ，点,M N 分别为OA ，BC 的中点，

且OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r

，

OC c =u u u r r ，用a r ，b r ，c r 表示MN u u u u r ，则MN =u u u u r

解析 1122OM OA a ==u u u u r u u u r r ，()()

1122

ON OB OC b c =+=+u u u r u u u r u u u r r r

，

()()

111222

MN ON OM b c a b c a =-=+-=+-u u u u r u u u r u u u u r r r r r r r .

变式1 如图8-157所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M 和N 分别是对边OA 和BC

的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =u u u u r u u u r ，现用基向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r

表

示向量OG u u u r ，设OG xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r

，则,,x y z 的值分别是（）

.A 111,,333x y z === .B 111,,336x y z ===

.C 111,,363x y z === .D 111,,633

x y z ===

变式2 如图8-158所示，在四面体O ABC -中，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =u u u r （用a r ，b r ，c r

表示）.

变式 3 在空间四边形ABCD 中，连接对角线,AC BD ，若BCD ?是正三角形，且E 为其重心，则

1322

AB BC DE AD +--u u u r u u u r u u u r u u u r

的化简结果为 .

变式4 如图8-159所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =u u u r r

，AD b =u u u r r ，1AA c =u u u r r ，则下列向量中与BM u u u u r

相等的向量是（）

.A 1122a b c -++r r r .B 1122a b c ++r r r .C 1122a b c --+r r r .D 1122

a b c -+r r r

二、空间共线向量定理的应用

空间共线向量定理：()

//0a b b a b λ≠?=r r r r r r .

利用此定理可解决立体几何中的平行问题.

例8.42 已知3240m a b c =--≠u r r r r r ，()182n x a b yc =+++r r r r

，且,,a b c r r r 不共面，若//m n u r r ，求,x y 的值.

解析因为//m n u r r 且0m ≠u r r ，所以n m λ=r u r ，即()()

182324x a b yc a b c λ+++=--r r r r r r

又因为,,a b c r r r 不共面，所以138224x y λλλ

+=??

=-??=-?

，解得138x y =-??=?.

二、空间向量的数量积运算

121212cos ,a b a b a b x x y y z z ?==++r r r r r r

；

求模长时，可根据2

222111a a x y z ==++r r ；

求空间向量夹角时，可先求其余弦值cos ,a b a b a b

?=r r r r

r r .要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的

数量积是否为0，即0a b a b ?=?⊥r r r r

,a b r r 为锐角0a b ??>r r ；,a b r r

为钝角0a b ??

是锐角还是钝角.

例8.43 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，

AE u u u r ?AF u u u r

的值为（）.

.A 2a .B 21.2B a 21

C a 23.

D a 解析依题意，点,

F 分别是,BC AD 的中点，如图8-160所示，

AE u u u r ?AF u u u r ()

1122AB AC AD =+?u u u

r u u u r u u u r ()

AB AD AC AD =?+?u u u r u u u r u u u r u u u r

()22211

cos60cos6044a a a =?+?=. 故选C .

变式1 如图8-161所示，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AD A AB DAB ∠=∠=∠=?，且

11A A AB AD ===，则1AC = .

变式2 如图8-162所示，设,,,A B C D 是空间不共面的4个点，且满足0AB AC ?=u u u r u u u r ，0AD AC ?=u u u r u u u r

，0AD AB ?=u u u r u u u r

，则BCD ?的形状是（）.

.A 钝角三角形 .B 直角三角形 .C 锐角三角形 .D 无法确定

例8.44 如图8-163所示，在45?的二面角l αβ--的棱上有两点,A B ，点,C D 分别在,αβ内，且

AC AB ⊥，45ABD ∠=?，1AC BD AB ===，则CD 的长度为 .

分析求CD 的长度转化为求空间向量CD uuu r

的模.

解析因为CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r

，故()

22CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r

222222CA AB BD CA AB AB BD CA BD =+++?+?+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

1110211cos1352CA BD =++++????+?u u u r u u u r ，设点C 在β内的射影为H ，则HA AB ⊥u u u r u u u r

，

,135HA BD =?u u u r u u u r

.故

()

CA BD CH HA BD CH BD HA BD ?=+?=?+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 10cos1351cos 45cos1352

HA BD =+?=???=-

u u u r u u u r .

故222CD =u u u r ，则22CD =-u u u r

变式1 已知二面角l αβ--为60?，动点,P Q 分别在面,αβ内，P 到β3Q 到α的距离为3,P Q 两点之间距离的最小值为（）.

.2.2B .23C .4D

变式2 在直角坐标系中，设()3,2A ，()2,3B --，沿y 轴把坐标平面折成120?的二面角后，AB 的长为（）.

.6A .42B .23C .211D

例8.45 如图8-164所示，设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，记11D P

D B

λ=.当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围.

解析由题设可知，以1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u u r

为单位正交基底，建立如图8-165所示的空间直角坐标系D xyz -，

则有()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D .

由()11,1,1D B =-u u u u r ，()11,,D P D B λλλλ==-u u u u r u u u u r

，

()()()111,0,1,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---u u u r u u u u r u u u u r

，()()()110,1

,1,,,1,1PC DC D P λλλλλλ=-=---=---u u u r u u u u r u u u u r . 显然APC ∠不是平角，所以APC ∠为钝角，

cos cos ,0PA PC

APC PA PC PA PC

?∠==

u u u r u u u r u u u r u u u r ，等价于0PA PC ?

()()()()()

1110λλλλλ--+--+-<，得113λ<<.因此，λ的取值范围是1,13??

???

评析利用向量知识将APC ∠为钝角转化为cos ,0PA PC

求解是本题的关键.

变式 1 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在线段1BD 上，当APC ∠最大时，三棱锥

P ABC -的体积为（）. 1.24A 1

.18

B 1.9

C 1.12

D 例8.46 如图8-166所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内

的轨迹为（）.

解析取AD 的中点O ，以OA u u u r 为x 轴，垂直于OA 的OE uuu r 为y 轴，OP uuu r

为z 轴，建立空间直角坐标系如

图8-167所示.设(),,0M x y ，正方形的边长为a ，30,0,2P a ?? ? ???

，,,02a C a ??

- ???，则

()

22a MC x y a ?

?=++- ??

?，

222

MP x y a =++，

MP MC =，

得()2

2222

324a a x y a x y ??++-=++ ??

?，即202a x y -+=.所以点M 在

正方形ABCD 内的轨迹为一条线段，且过D 点和AB 的中点.故选A .

评注本题利用空间线面位置关系求解也很快.由题意知空间内与两定点距离相等的点均在线段中垂面内，即M 在线段PC 的中垂面内.又M 为底面ABCD 内一动点，则M 的轨迹为两平面的交线落在底面内的部分，排除C 、D .又BP BC >，故排除B .故选A .

变式1 到两互相垂直的异面直线距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）.

.A 直线 .B 椭圆 .C 抛物线 .D 双曲线

变式2 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离，已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是点P 到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是（）.

.33A - .323B - .63C - .3D

题型2 空间向量在立体几何中的应用思路提示

用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可以求空间角和距离.因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简单.

用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算.

一、证明三点共线（如A ，B ，C 三点共线）的方法

先构造共起点的向量AB u u u r ，AC u u u

r ，然后证明存在非零实数λ，使得AB AC λ=u u u r u u u r .

例8.47 如图8-168所示，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，点M 为1DD 的中点，点N 在AC 上，且:2:1AN NC =，点E 为BM 的中点.求证：1A ，E ，N 三点共线.

解析以D 为坐标原点建立空间直角坐标系-D xyz ，如图8-169所示.不妨设DA a =，DC b =，

1DD c =，则

0,0,2c M ?? ???，(),,0B a b ，,,224a b c E ?? ???，()1,0,A a c ，2,,033a b N ??

???，则

13,,224a b c A E ??=-- ???u u u r ，122,,33a b A N c ??

=-- ???

u u u u r ，因为1143A N A E =u u u u r u u u r ，故1A ，E ，N 三点共线.

变式 1 在正方体1111ABCD A B C D -中，E ,F 分别为棱1AA 和1CC 的中点，则在空间中与三条直线

11A D ，EF ，CD 都相交的直线（）.

.A 不存在 .B 有且只有两条 .C 有且只有三条 .D 有无数条

变式2 如图8-170所示，在空间四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB 和CD 的

中点，P 为线段MN 的中点，Q 为BCD ?的重心.求证：,,A P Q 三点共线.

二、证明多点共面的方法

要证明多点（如A ，B ，C ，D ）共面，可使用以下方法解题.

先作出从同一点出发的三个向量（如AB u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r

），然后证明存在两个实数,x y ，使得AD x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r .

例8.48 如图8-171所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，

90BAD FAB ∠=∠=?，1//

2BC AD ，1

//2

BE AF .求证：,,,C D E F 四边共面. 解析由平面ABEF ⊥平面ABCD ，又AF AB ⊥，平面ABEF I 平面ABCD AB =，

得AF ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，如图8-172所示.

设AB a =，BC b =，BE c =，则(),0,0B a ，(),,0C a b ，()0,2,0D b ，(),0,E a c ，

()0,0,2F c .()0,,CE b c =-u u u r ，()0,2,2DF b c =-u u u r

，因为2DF CE =u u u r u u u r ，所以//DF CE ，则

,CE DF 确定一个平面，即,,,C D E F 四点共面.

变式1 如图8-173所示，已知平行六面体1111ABCD A B C D -，,,,E F G H 分别是棱11111,,,A D D C C C AB 的中点.

求证：,,,E F G H 四点共面.

三、证明直线和直线平行的方法

将证线线平行转化为证两向量共线.设,a b 是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为,a b r r

，则

()//,0a b a b R λλλ?=∈≠r r r r

例8.49 如图8-174所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，MN 是异面直线1A D 与AC 的公垂线段.求证：1//MN BD .

解析以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图8-175所示.设正方体的棱长为a ，则

()1,0,A a a ，(),0,0A a ，()0,,0C a ，(),,0B a a ，()10,0,D a .

设(),,z MN x y =u u u u r

，由MN 是异面直线1A D 与AC 的公垂线段，得1MN A D ⊥， MN AC ⊥，又()1,0,A D a a =--u u u u r ，(),,0AC a a =-u u u r

，

故100MN A D MN AC ??=???=??u u u u r u u u u r u u u u r u u u r ，00

ax az ax ay --=??-+=?，令1x =，则1z =-，1y =，所以()1,1,1MN =-u u u u r ，()1,,BD a a a aMN =--=-u u u u r u u u u r

，即

1//BD MN u u u u r u u u u r

.因此1//MN BD .

四、证明直线和平面平行的方法

（1）利用共面向量定理.设,a b r r

为平面α内不共线的两个向量，证明存在两个实数,x y ，使得l xa yb =+r r r

，则//l α.

（2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行.

（3）转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（此方法最常用）.

例8.50 如图8-176所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，

AD DC ⊥，//AB DC ，E 是DC 的中点.求证：1//D E 平面1A BD

解析因为11D E DE DD =-u u u u r u u u r u u u u r ，11DD AA =u u u u r u u u r

，E 是DC 的中点，1

2DE DC AB ==u u u r u u u r u u u r ，所以111D E AB AA A B =-=u u u u r u u u r u u u r u u u r .又因为1D E ?平面1A BD ，11//D E A B u u u u r u u u r ，

所以1//D E 平面1A BD .

评注利用空间向量证明线面平行，已知直线的方向向量为a r

，只要在平面内找到一条直线的方向向量为b r ，问题转化为证明a b λ=r r

即可.

变式1 如图8-177所示，已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是PA 、 BD 上的点，且::5:8PM MA BN ND ==.求证：直线//MN 平面PBC .

五、证明平面与平面平行的方法

（1）证明两平面内有两条相交直线分别平行.

（2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）.

例8.51 如图8-178所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是11111,,C C B C C D 的中点.求证：平面//MNP 平面1A BD .

解析解法一：以1D 为坐标原点，11D A 为x 轴，11D C 为y 轴，1D D 为z 轴，建立空间直角坐标系

1D xyz -，如图8-179所示.设正方体的棱长为a ，则()1,0,0A a ，()0,0,D a ，()10,,0C a ，()0,,C a a ，

()1,,0B a a ，0,,2a M a ?? ???，0,,02a P ?? ???，,,02a N a ?? ???

，()1,0,A D a a =-u u u

u r ，

11,0,2

22a a MN A D ??=-=- ???u u u u r u u u u

r ，所以1//MN A D u u u u r u u u u r ，即1//MN A D ，(),,0BD a a =--u u u r ，

1,,0222a a PN BD ??==- ???

u u u r u u u

r ，所以//PN BD u u u r u u u r ，即//PN BD .因为MN PN N =I ，1A D BD D =I ，

所以平面//MNP 平面1A BD .

解法二：设平面MNP 的法向量为()1111,,n x y z =u r ，由1MN n ⊥u u u u r u r ，1PN n ⊥u u u r u r

，

得1111022

a a x z a a x y ?-=????+=??，令11z =，得111111

x y z =??=-??=?，所以()11,1,1n =-u r

设平面1A BD 的法向量为()2222,,n x y z =u u r ，由12A D n ⊥u u u u r u u r ，2BD n ⊥u u u r u u r

，得

222200ax az ax ay -+=??

--=?，令21z =，得222

111

x y z =??

=-??=?，所以()21,1,1n =-u u r

因为12//n n u r u u r

，所以平面//MNP 平面1A BD .

变式1 如图8-180所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是11111,,A D D D D C 的中点. 求证:平面//EFG 平面1AB C .

六、证明直线与直线垂直的方法

设直线12,l l 的方向向量为,a b r r

，则a b ⊥r r 0a b ??=r r .

这里要特别指出的是，用向量法证明两直线尤其是两异面直线垂直是非常有效的方法.

例8.52 如图8-181所示，四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，

2CD =，AB AC =.求证：AD CE ⊥.

分析平面ABC ⊥平面BCDE ，在平面ABC 内作AO BC ⊥AO ?⊥平面BCDE ，以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系.

解析作AO BC ⊥，垂足为O ，则AO ⊥平面BCDE ，且O 为BC 的中点，以O 为坐标原点，OC 为x 轴，建立如图8-182所示的直角坐标系O xyz -.

设()0,0,A a ，由已知条件知()1,0,0C ，()1,2,0D ，()1,2,0E -，()

2,2,0CE =-u u u r

，

()

1,2,AD a =-u u u r

因为0CE AD=?u u u r u u u r ，所以CE AD ⊥u u u r u u u r

。即AD CE ⊥.

评注：0m n m n ?=?⊥u r r u r r

。

变式1 如图8-183所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a .点M ，N 分别为边AB ，CD 的中点.求证：MN 为AB 和CD 的公垂线.

七.证明直线与平面垂直的方法 (1)证明直线和平面内的两天相交直线垂直. (2)证明直线和平面内的任一直线垂直.

(3)转化为证明直线与平面的法向量共线.

例8.53 如图8-184所示,在直四棱柱ABCD-1111A B C D 中,已知AB ∥CD,AB=AD=1,1DD =CD =2.A B ⊥AD.求证：BC ⊥平面1D DB .

解析如图

8-185

所示,以

D 为坐标原点,建立空间直角坐标系

D xyz -,1(0,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2

D B C D ）, 所以1(1,1,0),(0,0,2),(1,1,0)BC D D DB =-=-=u u u r u u u u r u u u r ,因为10BC D D=BC DB=??u u u r u u u u r u u u r u u u r

0，

,所以1BC D D BC DB ⊥⊥u u u r u u u u r u u u r u u u r ，. 因为1,DD DB D =I 又1D D DB ?，面1D DB ,所以BC ⊥平面1D DB .

变式1 正三棱锥O-ABC 的三条侧棱OA ,OB ,OC 两两垂直，且长度均为2，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，

H 是EF 的中点，过EF 的一个平面与侧棱OA ,OB ,OC 或其延长线分别交于111,A B C ，，13

OA =。求证：11B C ⊥

面OAH .

变式2 如图8-186所示,在四棱锥P-ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AB ⊥AD ,AC ⊥CD ,∠ABC =60°, P A=AB=BC ,E 是PC 的中点.证明:PD ⊥面ABE .

八.证明平面和平面垂直的方法 (1)转化为证明两平面的法向量互相垂直 (2)转化为证明一平面内的一条直线垂直于另一个平面.

例8.54 如图8-187所示，在正方体ABCD-1111A B C D 中，E ，F 分别是1BB ，CD 的中点，求证：平面DEA ⊥平面11A FD 。

解析如图8-188所示，以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系D xyz -,令12DD =,则

11(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,1,02,2,1D D A A F E ），（）

设11112222(,,),(,,),n x y z n x y z ==u u r u u r

分别为平面DEA 与平面11A FD 的法向量，则11,,n DA n DE ⊥⊥u u r u u u r u u r u u u r 又(2,0,0),(2,2,1),DA DE ==u u u r u u u r

则1111

,220x x y z =??

++=?令11y =-，得1(0,1,2),n -=u u r 同理可得2(0,2,1)n =u u r 。所以12n n ⊥u u r u u r

。故平面DEA ⊥平面11A FD

变式1 如图8-189所示，已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB =90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A =AD =DC =?AB=1.求证：平面P AD ⊥平面PCD 。

九．求两异面直线所成角的方法

设两异面直线a 和b 的方向向量为a r 和b r ，利用求角余弦公式可求得a r 和b r

的夹角，由于两向量所成

角θ的范围是[0,π],而两异面直线所成角α的范围是0]2π

（，。所以|cos |||||

|a b =|cos =a b αθ?r r u

u r r 。例8.55 如图8-190所示，已知点P 在正方体ABCD 1111A B C D -的对角线1BD 上， ∠PDA =60°，求DP 与CC 1所成角的大小。

分析从∠PDA =60°入手，确定点P 的坐标与其相关点的坐标，利用向量的数量积来就是异面直线所

成角的余弦值。解析：如图8-191所示，以D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系D-xyz ，则

A (1,0,0），C (0,1,0），C 1(0,1,1），1,0,0DA =u u u r （），1(0,0,1)CC =u u u u r

。

连接11B D ，在平面BD 11D B 中，延长DP 交11D B 于H ，设(,,1)(0)DH m m m =>u u u u r

由已知,60DH DA <>=?u u u u r u u u r 得

||1cos ,2||||DH DA DH DA DH DA ?<>=

=u u u u r u u u r

u u u u r u u u r u u u u

r u u u r ，即2,,1)(1,0,0)1

,2211

m m m =+g g （可2212m =m +，解得22m=

，所以22

(,,1)22

DH =u u u u r 。因为122

(,,1)0,0,1222cos ,221

DH CC =

?<>=?u u u u r u u u u r （）所以1,DH CC <>u u u u r u u u u r

=45°，即求DP 与CC 1所成角的大小为45°.

变式1 已知正四棱锥S-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 与SD 所成角的余弦值为（）

13A. 2.B 3.C 23

D. 变式2 如图8-192所示，等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C-AB-D 的余弦值为3

，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则EM 和AN 所成角的余弦值等于。变式3 如图8-193所示，在四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是棱形，AB =2，∠BAD =60°，若P A ＝AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值。

十．求直线与平面所成角的方法

（１）先作出该角，再利用求角余弦公式来求。

（２）改求直线的方向向量与平面的法向量所成角的余角，如图８－１９４所示，设直角l 的方向向量为1l u r ，

平面α的法向量为n r ，直线l 和平面α所成角为θ，则1,

2l n πθ<>+=u r r 或1,2

l n -π

θ<>=u r r ，因为θ的取值范围

是[0,]2π

，所以111sin |cos ,||

|l n|l n =|l ||n θ=<>u r u r

u r r g u

u r u u r 。例８.５６如图８－１９５所示，四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知∠ABC ＝４５°，BC ＝22，AB ＝２，SA ＝SB ＝3，求直线SD 与平面面SAB 所成角的正弦值。

解析如图8-196所示，作SO BC ⊥,垂足为O ，连接AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ，由SA SB =，可得OA OB =。由∠ABC=45°，得△ABO 为等腰直角三角形，OA OB ⊥，建立空间直角坐标系O xyz -，

则(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,1),(2,22,0)A B C S D --， 2,22,1),(2,0,1),(0,2,1)DS=-SA SB =-=-u u u r u u r u u r （，

由0,0,n AB n SB ?=?=r u u u r r u u r 得111120,20

x z y z ?-=??-=??令12z =，则111,1,x y ==得(1,1,2)n =r ，

设直线SD 与平面SAB 所成角为θ，则||22

sin |cos ,||DS n DS n =|DS||n θ=<>=u u u r r

u u u r r g u u u r r

所以直线SD 与平面SAB 所成角的正弦值为

变式1 如图8-197所示，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，

底面ABCD 为正方形，PD =DC ，E ，F 分别是AB,PB 的中点，求DB 与平面DEF 所成角的正弦值。

变式2 如图8-198所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A =AD =4,AB =2,以AC 的中点O 为球心，以AC 为直径的球面交PD 于点M ，求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值。

变式3, 如图8-199所示，四棱锥S-ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，AB =BC =2，CD =SD =1.求AB 与平面SBC 所成角的正弦值

十一、求平面与平面所成角的方法

（1）在平面α内，a l ⊥r r ，在平面β内，b l ⊥r r （l r

是交线l 的方向向量），其方向如图8-200所示，则二

面角α-l -β的平面角的余弦值为a b |a||b|

?r r

r u u r 。

(2)设12n n u u r u u r

，

是二面角α-l -β的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面角的外

平面向量知识点总结(精华)

必修4 平面向量知识点小结一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别. 向量常用有向线段来表示 . 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移. 举例 1 已知A（1,2），B（4,2），则把向量u A u B ur按向量a r（ 1,3）平移后得到的向量是. 结果：（3,0） 2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的； 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与u A uu B r共线uuur 的单位向量是u A u B ur ）； | AB| 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a r、 b r叫做平行向量，记作：a r∥b r，规定：零向量和任何向量平行 . 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有r0）； ④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r. 举例 2 如下列命题：（1）若|a r | |b r | ，则a r b r. （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 . （3）若u A u B ur u D u C u r，则ABCD是平行四边形 . （4）若ABCD是平行四边形，则u A uu B r u D u C uur. （5）若a r b r，b r c r，则a r c r. （6）若a r / /b r，b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果：（4）（5）二、向量的表示方法

空间向量知识点归纳总结归纳

空间向量知识点归纳总结知识要点。 1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2.空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 3.共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρ ?//。当我们说向量a ρ、b ρ共线（或a ρ//b ρ）时，表示a ρ、b ρ 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ 存在实数λ，使a ρ ＝λb ρ。 4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r 。 5.空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r 。若三向量,,a b c r r r 不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 。 6.空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k r r r 表示。（3）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ，

(完整版)空间向量与立体几何题型归纳

空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD （1）证明AB⊥平面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=， BC=1，PA=2，E为PD的中点. （1）求直线AC与PB所成角的余弦值；（2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.(易错点,建系后,关于N点的坐标的设法,也是自己的弱项)

3. 如图，在长方体ABCD ―A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）当E 为AB 的中点时，求点A 到面ECD 1的距离；（3）AE 等于何值时，二面角 D 1―EC ―D 的大小为(易错点:在找平面DEC 的法向量的时候,本来法向量就己经存在了,就不必要再去找,但是我认为去找应该没有错吧,但法向量找出来了 ,和那个己经存在的法向量有很大的差别,而且,计算结果很得杂,到底问题出在哪里 ?) 4.如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝2，E 为BD 1的中点，F 为AB 的中点，∠DAB ＝60°． (1)求证：EF ∥平面ADD 1A 1； (2)若2 21BB ，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值．

N：5题到11题都是运用基底思想解题 5.空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成60度角，求AD与BC所成角的大小。 6.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB=45°, ∠A1AC=60°,求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。 7.如图，60°的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8，求CD的长 8.如图，已知空间四边形OABC中，OB=0C, ∠AOB=∠AOC=Θ，求证OA⊥BC。 9．如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE。（1）计算DE的长；（2）求点O到平面ABC的距离。 10．如图，线段AB在平面⊥α，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD与平面α所成的角。

向量知识点归纳与常见总结

向量知识点归纳与常见题型总结一、向量知识点归纳 1．与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小. 记号“a＞b”错了，而| a | ＞ | b | 才有意义 . ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关. 由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）. 当遇到与起点有关向量时，可平移向量 . ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量 ⑷单位向量是模为 1 的向量，其坐标表示为（x, y ）,其中 x 、y满足x2y2＝1 （可用（ cos ,sin）（ 0≤≤2π）表示） . 特别： AB 表示与 AB 同向的单位向量。|AB| 例如：向量直线)；( AB AC )(0) 所在直线过ABC 的内心(是BAC 的角平分线所在|AB||AC| 例 1、O是平面上一个定点， A、B、C不共线，P 满足OP OA(AB AC )[0,). |AB|| AC 则点 P 的轨迹一定通过三角形的内心。 →→→→ → →→ 1 AB + AC AB · AC =, 则△ABC 为() (变式 )已知非零向量 AB 与 AC 满足 (→→)·BC=0 且→→2 |AB ||AC ||AB ||AC | A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形(06 陕西 ) ⑸ 0 的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0 仅仅是一个无方向的实数 . ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. （ 7）相反向量 ( 长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是－ a 。) 2．与向量运算有关的问题 ⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量. （三角形法则和平行四边形法则） ①当两个向量 a 和 b 不共线时， a b 的方向与 a 、b 都不相同，且| a b |＜| a |＋| b |； ②当两个向量 a 和 b 共线且同向时， a b 、a 、b 的方向都相同，且 | a b || a || b |； ③当向量 a 和 b 反向时，若| a |＞| b |， a b 与 a 方向相同，且 |a b |=| a |-| b |；若 | a | ＜ | b | 时 , a b 与 b方向相同，且 | a＋b |=| b |-| a |. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量. 向量减法的实质是加法的逆运算. 三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。 AB BC AC;AB AC CB 例 2： P 是三角形 ABC 内任一点，若CB PA PB,R ，则P一定在（）

高考平面向量知识点总结

高考平面向量知识点总结 16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为 () 11,x y ， () 22,x y ，则 ()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向 b a C B A a b C C -=A -AB =B

高中数学-空间直角坐标系与空间向量典型例题

高中数学-空间直角坐标系与空间向量一、建立空间直角坐标系的几种方法构建原则：遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。作法：充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系．类型举例如下：（一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠ A 为直角，A B ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，D C ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--u u u u r ，，，(010)CD =-u u u r ，，．设1BC u u u u r 与CD uuu r 所成的角为θ，则11317 cos 17BC CD BC CD θ== u u u u r u u u r g u u u u r u u u r ．（二）利用线面垂直关系构建直角坐标系例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于 C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB = ，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝ 3 π ．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系．由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝ 2，∠BCC 1＝ 3 π，

(完整版)空间向量与立体几何题型归纳.doc

空间向量与立体几何 1,如图，在四棱锥V-ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧面 VAD是正三角形，平面 VAD⊥底面 ABCD （1）证明 AB⊥平面 VAD；（2）求面 VAD与面 VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥 P— ABCD中，底面 ABCD为矩形，侧棱 PA⊥底面 ABCD，AB= ， BC=1， PA=2， E 为 PD的中点 . （1）求直线 AC与 PB所成角的余弦值；（2）在侧面 PAB内找一点 N，使 NE⊥平面 PAC，并求出 N点到 AB和 AP的距离 .( 易错点 , 建系后, 关于 N 点的坐标的设法 , 也是自己的弱项 )

3.如图，在长方体ABCD― A1 B1 C1D1中， AD=AA1=1， AB=2，点 E 在棱 AB上移动 . （1）证明： D1E⊥A1D；（2）当 E 为 AB的中点时，求点 A 到面 ECD1的距离；（3）AE 等于何值时，二面角 D1― EC― D的大小为( 易错点 : 在找平面 DEC的法向量的时候 , 本来法向量就己经存在了, 就不必要再去找, 但是我认为去找应该没有错吧, 但法向量找出来了, 和那个己经存在的法向量有很大的差别, 而且 , 计算结果很得杂, 到底问题出在哪里?) 4.如图，直四棱柱 ABCD － A1 B1C1D1中，底面 ABCD 是等腰梯形， AB ∥ CD ， AB ＝ 2DC ＝ 2， E 为 BD 1的中点， F 为 AB 的中点，∠ DAB ＝ 60°． (1)求证： EF ∥平面 ADD 1A1； 2 1 (2) 若BB12 ，求 A F 与平面 DEF 所成角的正弦值．

平面向量知识点总结归纳

平面向量知识点总结归纳 1、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()() a b c a b c ++=++ ； ③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． b a C B A a b C C -=A -AB =B

设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =-- ． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 5、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b a λ= ．设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、 () 0b b ≠ 共线． 6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ， ()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??． 8、平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤ ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??= ．②当a 与b 同向时， a b a b ?= ；当a 与b 反向时，a b a b ?=- ；22a a a a ?== 或a ．③ a b a b ?≤ ． ⑶运算律：①a b b a ?=? ；②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；③() a b c a c b c +?=?+? ． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，则1212a b x x y y ?=+ ．

利用空间向量求空间角考点与题型归纳

利用空间向量求空间角考点与题型归纳一、基础知识 1．异面直线所成角设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b | |a ||b | ? ，其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向向量． 2．直线与平面所成角如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量， φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n | |a ||n | ? . 3．二面角 (1)若AB ，CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角，如图(1)． (2)平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝ |n 1·n 2| |n 1||n 2| ? ，如图(2)(3)．两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值．直线与平面所成角的范围为????0，π 2，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值．利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n 1，n 2〉与二面角大小的关系，是相等还是互

补，需要结合图形进行判断．二、常用结论解空间角最值问题时往往会用到最小角定理 cos θ＝cos θ1cos θ2. 如图，若OA 为平面α的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在平面α内的射影，OC 为平面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2. 考点一异面直线所成的角 [典例精析] 如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2. (1)求证：MN ∥平面BDE ； (2)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为7 21 ，求线段AH 的长． [解] 由题意知，AB ，AC ，AP 两两垂直，故以A 为原点，分别以AB ―→，AC ―→，AP ―→ 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．依题意可得A (0，0,0)，B (2，0,0)，C (0,4,0)，P (0，0,4)，D (0,0,2)，E (0,2,2)，M (0，0,1)，N (1,2,0)． (1)证明：DE ―→＝(0,2,0)，DB ―→ ＝(2,0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量，则????? n ·DE ―→＝0，n ·DB ―→＝0，即????? 2y ＝0，2x －2z ＝0. 不妨取z ＝1，可得n ＝(1,0,1)．

向量知识点归纳与常见题型总结

向量知识点归纳与常见题型总结高三理科数学组全体成员一、向量知识点归纳 1．与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“＞”错了，而||＞||才有意义. ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件. ⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（,）,其中x 、y 满足 +2x 2 y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.特别：||AB AB →→表示与AB → 同向的单位向量。例如：向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；例1、O 是平面上一个定点，A 、B 、C 不共线，P 满足()[0,).|||AB AC OP OA AB AC λλ=++?∈+∞u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。 (变式)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06陕西) ⑸0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. （7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。) 2．与向量运算有关的问题 ⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则） ①当两个向量和不共线时，+的方向与、都不相同，且|+|＜||＋||； ②当两个向量a 和b 共线且同向时，+a b 、a 、b 的方向都相同，且=+||||||+； ③当向量a 和b 反向时，若|a |＞|b |，b a +与 a 方向相同，且|b a +|=|a |-|b |；若|a |＜|b |时,b a +与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算. 三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。 =+;=-

向量知识点归纳与常见题型总结

向量知识点归纳与常见题型总结高三理科数学组全体成员一、向量知识点归纳 1．与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“＞”错了，而||＞||才有意义. ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件. ⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（,）,其中x 、y 满足 +2 x 2 y ＝1 （可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.特别： || AB AB → → 表示与AB → 同向的单位向量。例如：向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；例1、O 是平面上一个定点，A 、B 、C 不共线，P 满足()[0,).|||AB AC OP OA AB AC λλ=++?∈+∞则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。 (变式)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06陕西) ⑸的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. （7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。) 2．与向量运算有关的问题 ⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则） ①当两个向量a 和b 不共线时，+a b 的方向与a 、b 都不相同，且|+a b |＜|a |＋|b |； ②当两个向量和共线且同向时，+、、的方向都相同，且=+||||||+； ③当向量和反向时，若||＞||，+与方向相同，且|+|=||-||；若||＜||时,+与方向相同，且|＋|=||-||. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算. 三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。

高中数学平面向量知识点总结及常见题型x

平面向量一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB , a ；坐标表示法a =xi ? yj (x, y).向量的大小即向量的模(长度)，记作| A B |即向量的大小，记作I 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a = 0 = I a I = 0"由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件. (注意与0的区别) ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量a0为单位向量二I a0I = 1 ④平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a // b ■由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为亠％ =x2 小相等，方向相同(x「yj = (x2, y2)=」 y2 2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法t―4 ―4 设AB 二a, BC =b，贝y a + b =AB BC = AC (1)0 a a，0二a ；( 2)向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： (1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 (2)三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则?向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ ? QR二AR，但这时必须“首尾相连” ? 3向量的减法 ①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作-a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：(i) -(-a)=a ； (ii) a+(-a)=( - a)+ a = 0 ； (iii) 若a、b是互为相反向量，则a=-b,b = -a,a + b=0 ②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a - b二a ? (-b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法 ③作图法：a -b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点) 4实数与向量的积： ①实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下： (I) a a ；

机械制图知识点总结

机械识图知识点总结图之功能各国标准尺度比例线之种类与用途角法与视图图之功能 1. 信息传递：把设计者之构想绘制成图，传递给加工制作人员、检验人员等。 2. 国际性：图为技术界的国际语言，即须具有国际语言之性格，如图形表法，标注方法或符号定义必须完全统一规格。 3. 泛用性：随着技术的发展，目前在各种产业上的互相关连加深，因此需画出各种行业均能了解之图。 TOP 各国标准 TOP 尺度比例尺度单位工至机械制图用基本长度单位，通常采用 mm ，可以不用在图中表示。儒需使用其它单位时，则必须注明单位符号。英制则以 in. 为基本长度单位，而不必标注。

常用比例机械制图再绘图时，因尽量画出较大之圆形，以便于微缩影储存。通常以 2,5,10 之倍数为常用比例或按实物大小画出。长用比例如下所列：实大比例：1：1 缩小比例：1：2，1：2.5，1：4，1：5，1：10，1：20，1：50，1：100，1：200，1：500，1：1000 。放大比例：2 ：1，5：1，10：1，20：1，50：1，100：1。 TOP 线之种类与用途

线之粗细与其使用通常绘图时，粗实线之线宽须按图之大小与其复杂程度而订定，在同一张图中使用粗线之线宽必须均匀一致，中线与细线亦同理。虚线之起讫与交会虚线之起讫，如下图所示，虚线与其它线条交会时，除虚线无实线之延长外，其余应尽量维持相交。 1.实线与虚线相交 2.虚线与虚线相交 TOP

投影与视图第一角法与第三角正投影法之比较第一角投影法起于法国，盛行于欧洲大陆、德、法、义、俄等国，其中美、日及荷兰等国原先亦采用第一角投影法，后来改采用第三角法讫今。目前国内使用第一角投影法之机构约 35% ，而采用第三角投影法之机构约 65% 。因此为适应国内使用者之需求，于最新修订之 CNS3 ， CNS3-1 ， CNS3-2 ，…， CNS3-11 等工程制图国家标准规定“第一角法及第三角法同等适用”。唯于同一张图中，不的同时使用两种投影法，且每张图上均应于明显部位标示“投影法”，以资鉴别。第一角投影法与第三角投影法之异同如下： (1) 对同一投影方向上而言，两者投影面之位置不同。第一角投影法之投影面在物体之后方，而第三角投影法之投影面则在物体前方。 (2) 两中投影法之各视图彼此完全相同。 (3) 两者之投影相于展开后视图排列，则因投影面之不同而有所分别，以前视图为基准而展开时，除前视图以外，其它各视图之位置相反。 (4) 判断视图为第一角或第三角时，可先假定为其中任一者，以侧视图之轮廓线判断误，表示假定正确，若虚实线相反，表示假定错误。剖视图对物体作假想剖切，以了结其内部形状，假想之割切面称为割面，而割面体所见之线，称为割面线，如图 1-1 所示。割面线可以转折，两端及转折处用粗实线画出，中间以细链线连接。转折处之大小如图 1-2 所示。如有多个割面图时，应以大楷拉丁字母区别之，同一割面之两端以相同字母标示，字母写在箭头外侧，书写方向一律朝上。割面线箭头标示剖视图方向，割面线之两端需伸出视图外约10mm ，其箭头之大小形状如图 1-3 所示。割面及剖面线假想剖切所得剖面，须以细实线画出剖面线，剖面线虚为与主轴线或机件外形线成45 °之均匀并行线，（但应避免将剖面线画成垂直或水平）。若剖面线与轮廓线平行或近平行时，必须改变方向如图 1-4 所示。同一机件被剖切后，其剖面线之方向与间隔必须完全相同。在组合图中，相邻两机件，其剖面线应取不同之方向或不同之间隔，如图 1-5 所示。机件剖面之面积较大时，其中间部分之剖面线可以省略，但画出之剖面线须整齐，如图 1-6 所示机件剖面之面积甚为狭小时，

向量知识点归纳与常见总结

向量知识点归纳与常见题型总结一、向量知识点归纳 1．与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“＞”错了，而||＞||才有意义. ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量 ⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（y x ,）,其中x 、y 满足 +2x 2 y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.特别：||AB AB →→表示与AB → 同向的单位向量。例如：向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；例1、O 是平面上一个定点，A 、B 、C 不共线，P 满足()[0,).|||AB AC OP OA AB AC λλ=++?∈+∞u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。 (变式)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06陕西) ⑸0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. （7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。) 2．与向量运算有关的问题

高中数学典型例题解析平面向量与空间向量

高中数学典型例题分析第八章平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。记作a +b 。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。记作a -b 。 7.实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0 9.平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ 2 使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一

空间向量题型归纳总结

空间向量题型归纳总结类型一：空间向量的概念 1.给岀下列命题： ① 若a//b ，则存在为唯一的实数 ?，使得a =；$.b ② 若a//b,b//c ，则a 与c 所在直线平行 ③ 已知 a _b ，则 a （b ■ c ） ■ c （b _a ）二b c ④ A, B, M ,N 为空间四点，若 BA, BM , BN 不构成空间一个基底，则 A,B,M ,N 共面已知｛a, b,c ｝是空间的一个基底，则基向量 a, b 可以与向量m=a 亠c 构成空间一个基底则正确的命题的序号为： — 3 " 1 ' 1 — 2.若A,B,C 不共线，对于空间任意一点 0都有OP OA OB 0C ,贝U P,A, B,C 四点（） 4 8 8 ] ] ] 1 I 3.已知A,B,C 三点不共线，对平面 ABC 外一点0，给出下列表达式： OM =xOA - yOB 0C ，其中 3 x, y 是实数，若点M 与A, B,C 四点共面，贝U x y 二 _____________ 类型二：空间向量的运算（1代数运算，2坐标运算） 4.在四面体OABC 中，G 是底面^ABC 的重心，则OG 等于（） 1 — 1 — 1 — OA OB OC B. 2 2 2 111 ■ —OA+—OB+— OC D. 3 3 3 A.不共面 B.共面 C.共线 D.不共线 A. OA OB OC C. 1 ■ 1 - —OA —OB 2 3

5.已知空间四边形 OABC ，其对角线为 OB,AC,M,N 分别是边OA,CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使 MG =2GN ，用向量OA,OB,OC 表示OG 是（） 6.设O -ABC 是正三棱锥，G i 是AABC 的重心，G 是OG i 上的一点，且OG =3GG i ，若 OG =xOA yOB zOC ，则（x, y,z ）为（） 7.空间四边形OABC ，各边及对角线长都相等， E,F 分别为AB,OC 的中点，求OE 与BF 所成的角 8.如图，空间四边形 OABC 中，O A 二a,OB =b,OC =c ，点M 在线段OA 上，且OM =2MA ，点N 为 BC 的中点, 则 MN 二（） 9.在四棱柱ABC^A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若 AB 1 =a ，&D 1二b ，"A 二c ，则下列向量中与B 1M 相等的向量是（） A. OG J O A —OB !OC 6 3 3 2 — 2 — C. OG =OA OB OC 3 3 — 1 —- 1 — 2 — B. OG OA — OB OC 6 3 3 — 1 —- 2 ■ 2 — D. OG OA OB OC B. D. 1 一 1 ■ 1 - C. — a b c 2 2 2 2 2 1 L D.—a b c 3 3 2 A. B. 3 2 2

高中平面向量知识点总结

平面向量 1、向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量 2、向量的表示方法（1）几何表示：以A 为起点，以B 为终点的有向线段记作AB u u u r ，如果有向线段AB u u u r 表示一个向量，通常我们就说向量AB u u u r . （2）字母表示：印刷时粗黑体字母 a ， b ， c …向量手写时带箭头的小写字母 a ，b r … 3、向量点的长度（模）向量的大小叫做向量的长或模，记作|AB u u u r |、｜a ｜ 4、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 a ＝0 ｜a ｜＝0 单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量｜0a ｜＝1 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量称为平行向量，也叫共线向量记作a ∥b 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 即大小相等，方向相同),(),(2211y x y x 21 2 1y y x x 6、对于任意非零向量的单位向量是 . 7、向量的加法（1）三角形法则设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r 对于零向量与任意向量a 的和有a a a 00 （2）平行四边形法则已知两个不共线的向量a ，b r ，做,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则A 、B 、D 三点不共线，以 AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC u u u r =a +b r .