高中数学空间向量ppt
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人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 空间向量及其线性运算
能否用向量a,b表示?怎样表示?
提示:能.存在唯一确定的有序实数对(x,y),使向量p=xa+yb.
2.(1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b
的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
(2)直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对
于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得 = λa .我们把与向量a平行的非零
(1);(2)1 ;(3) + 1 .
解:(1)因为P是C1D1的中点,
所以 = 1 + 1 1 + 1 =a+ +
1
1
1
1 1 =a+c+ =a+c+ b.
2
2
2
(2)因为 N 是 BC 的中点,
所以1 = 1 + +
1
1
1
=-a+b+ =-a+b+ =-a+b+ c.
2
2
2
(3)因为 M 是 AA1 的中点,
所以 = + =
又1 = + 1 =
所以 + 1 =
1
2
1
+
2 1
1
2
+
1
=-2a+
+ 1 =
1
2
1
2
+ + +
++
1
2
+ 1 =
1
2
=
=
1
提示:能.存在唯一确定的有序实数对(x,y),使向量p=xa+yb.
2.(1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b
的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
(2)直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对
于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得 = λa .我们把与向量a平行的非零
(1);(2)1 ;(3) + 1 .
解:(1)因为P是C1D1的中点,
所以 = 1 + 1 1 + 1 =a+ +
1
1
1
1 1 =a+c+ =a+c+ b.
2
2
2
(2)因为 N 是 BC 的中点,
所以1 = 1 + +
1
1
1
=-a+b+ =-a+b+ =-a+b+ c.
2
2
2
(3)因为 M 是 AA1 的中点,
所以 = + =
又1 = + 1 =
所以 + 1 =
1
2
1
+
2 1
1
2
+
1
=-2a+
+ 1 =
1
2
1
2
+ + +
++
1
2
+ 1 =
1
2
=
=
1
1.2空间向量基本定理 人教A版(2019版)高中数学选择性必修一(共16张PPT)
示.
5
基本练习
若向量MA,MB,MC的起点M 和终点A,B,C 互不重合且无三点共线，则能 使向量MA,MB,MC成为空间一组基底的关系是
B.MA=MB+MC
c.OM=OA+OB+0c
D.MA=2MB-MC
解析 对于A,由结论OM=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)→M,A,B,C 四
点共面知,MA ,MB,MC共面；对于B,D, 易知MA ,MB,MC共面，故只有C
MN,AC, 则
AC₁=AB+BC+CC₁=à+b+亡，
所以MN。
·(a+b+c)
所以MNLAC₁.
U
典型讲评
例3如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,E,F,G分别为 C'D',A'D',D'D的中点. (1)求证：EF/IAC;(2)求CE 与AG 所成角的余弦值.
(1)证明：设DA=i,Dc= 了，DD²=k, 则信，了，k)构成空间的一个单位正交基
注：如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组 成的集合就是{PP = xa+yb+zC,x,y,z∈ R},这个 集合可以看做是由向量a,b,c生成的.
故{a,b,c}叫做空间的一个基底.
a,b,c 都叫做基向量
4
学习新知
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面， 还应明确：
1.2空间向量的基本定理
复习引入
共线向量定理：
对空间任意两个向量abb≠0),a1/b
的
充要条件是存在实数λ,使a=λb.
5
基本练习
若向量MA,MB,MC的起点M 和终点A,B,C 互不重合且无三点共线，则能 使向量MA,MB,MC成为空间一组基底的关系是
B.MA=MB+MC
c.OM=OA+OB+0c
D.MA=2MB-MC
解析 对于A,由结论OM=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)→M,A,B,C 四
点共面知,MA ,MB,MC共面；对于B,D, 易知MA ,MB,MC共面，故只有C
MN,AC, 则
AC₁=AB+BC+CC₁=à+b+亡，
所以MN。
·(a+b+c)
所以MNLAC₁.
U
典型讲评
例3如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,E,F,G分别为 C'D',A'D',D'D的中点. (1)求证：EF/IAC;(2)求CE 与AG 所成角的余弦值.
(1)证明：设DA=i,Dc= 了，DD²=k, 则信，了，k)构成空间的一个单位正交基
注：如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组 成的集合就是{PP = xa+yb+zC,x,y,z∈ R},这个 集合可以看做是由向量a,b,c生成的.
故{a,b,c}叫做空间的一个基底.
a,b,c 都叫做基向量
4
学习新知
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面， 还应明确：
1.2空间向量的基本定理
复习引入
共线向量定理：
对空间任意两个向量abb≠0),a1/b
的
充要条件是存在实数λ,使a=λb.
空间向量的数量积运算(43张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
环节一创设情境引入课题根据功的计算，我们定义了 平面向量的数量积运算， 一旦 定义出来，我们发现这种运算 非常有用，它能解决有关长度 和角度问题，在空间向量中亦 是如此。
在必修第二册中我们还学习了平面向量的数量积运算，现在我们 类比平面向量数量积的运算，学习空间向量的数量积运算.
平面
空间(学生填空)
空间向量及其 线性运算
共线向量的判定及应用共面向量的判定及应用
线性运算的应用
相关概念
作业布置：教科书习题1.1 第4,7题.
环节七 目标检测，作业布置
设BB₁=1,则AB=√2.∵AB₁=BB₁-BA,BC₁ =BB₁ +BC, ∴AB₁·BC₁=(BB₁-BA)·(BB₁+BC)=BB²-BA·BC=1-√2×√2×cos60°=0, ∴AB₁ ⊥BC₁ , ∴AB₁与BC₁所成的角为90°
思考1.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=ac, 则b=c, 对于向量a,b,c,由a.b=a·c,你能得到b=c 吗?如果不能，请举出反例.
设a是非零向量，且b≠c,求证：a·b=a·c ⇔b-c)⊥a B
a.b=a·c⇔a.b-a·c=0⇔a.(b-c)=0 →(b-c)⊥a
思考2.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=c, 则 (或 对于向量a,b,若a.b=k, 能不能写成 的形式?3.对于三个均不为0的数a,b,c,有(ab)c=a(bc),对于向量a,b,c,(a.b)·c=a·(b·c) 成立吗?为什么?
1.如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=√2BB₁,则AB₁与BC₁所成 角的大小为(B )A.60° B.90° C.105° D.75°
(第1题)
2.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设AB=a,AD=b,AA'=c,求：(1)a.(b+c); (2)a·(a+b+c); (3)(a+b)·(b+c).(1)a.(b+c)=a.b+a·c=0+0=0;(2)a·(a+b+c)=a²+a.b+a·c=a²+0+0=1;(3)(a+b)·(b+c)=a.b+a·c+b²+bc=0+0+l²+0=1(第2题)
在必修第二册中我们还学习了平面向量的数量积运算，现在我们 类比平面向量数量积的运算，学习空间向量的数量积运算.
平面
空间(学生填空)
空间向量及其 线性运算
共线向量的判定及应用共面向量的判定及应用
线性运算的应用
相关概念
作业布置：教科书习题1.1 第4,7题.
环节七 目标检测，作业布置
设BB₁=1,则AB=√2.∵AB₁=BB₁-BA,BC₁ =BB₁ +BC, ∴AB₁·BC₁=(BB₁-BA)·(BB₁+BC)=BB²-BA·BC=1-√2×√2×cos60°=0, ∴AB₁ ⊥BC₁ , ∴AB₁与BC₁所成的角为90°
思考1.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=ac, 则b=c, 对于向量a,b,c,由a.b=a·c,你能得到b=c 吗?如果不能，请举出反例.
设a是非零向量，且b≠c,求证：a·b=a·c ⇔b-c)⊥a B
a.b=a·c⇔a.b-a·c=0⇔a.(b-c)=0 →(b-c)⊥a
思考2.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=c, 则 (或 对于向量a,b,若a.b=k, 能不能写成 的形式?3.对于三个均不为0的数a,b,c,有(ab)c=a(bc),对于向量a,b,c,(a.b)·c=a·(b·c) 成立吗?为什么?
1.如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=√2BB₁,则AB₁与BC₁所成 角的大小为(B )A.60° B.90° C.105° D.75°
(第1题)
2.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设AB=a,AD=b,AA'=c,求：(1)a.(b+c); (2)a·(a+b+c); (3)(a+b)·(b+c).(1)a.(b+c)=a.b+a·c=0+0=0;(2)a·(a+b+c)=a²+a.b+a·c=a²+0+0=1;(3)(a+b)·(b+c)=a.b+a·c+b²+bc=0+0+l²+0=1(第2题)
空间向量基本定理(PPT)
（二）空间向量基本定理
【探究1】空间中怎样的向量能构成基底？
1.不同基底下,同一向量的表达式也
【提示】空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．
有可能不同.
2.由于零向量与任意一个非零向量
【探究2】基底与基向量的概念有什么不同？
【提示】一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，
)
(3)已知A,B,M,N是空间四点,若 , , 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.(
(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.(
)
)
答案: (1)× (2)√ (3)√ (4)√
【做一做1】(教材P12练习1改编)已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，
(2)正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
（三）典型例题
1.基底的判断
例1.设 Ԧ = Ԧ + , Ԧ = + ,
Ԧ = Ԧ + ，且
Ԧ
,
Ԧ , Ԧ 是空间的一个基底，给出下列向量组：① ,
Ԧ , Ԧ ，②
,
Ԧ ,
Ԧ Ԧ ，③ ,
（2）∵ ’ = −Ԧ + ，∴
Ԧ
’ = 2 Ԧ ， =
∵’ ∙ = −Ԧ + Ԧ ∙ +
1
Ԧ
2
1
=2 Ԧ2
=
1
2
Ԧ
5
2
2，∴cos
Ԧ ，
’, =
1
2
2
人教A版高中数学选择性必修一1.2空间向量基本定理课件
1
2
所以 ∙ 1 = （ − ） ∙（ + + ）
1
2
1
2
1
2
N
B1
A1
证明：设 = ， = ，1=,这三个向量不共面，
{, , ,}构成空间的一个基底，我们用它们表示，1 ，则
1
=1 +1 =
2
M
1
2
A
1
2
C
B
1
2
= ∙+ ∙+ ∙− ∙− ∙− ∙
间的基底不唯一
探究4 基底与基向量的概念有什么不同？
提示：基底是指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的
不同概念．
探究5 零向量可作为基向量吗？
提示：不可以，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，
所以零向量不能作为基向量。反之，若某一向量能作为基向量,就说明它不是零
用·＝0⇔⊥，
用 =
·
求夹角．
ȁȁȁȁ
立体几何的解
课后作业
课本第14、15页
1.课后练习第2、3题
2.习题1.2第4、5、6题
向量.
探究6 类比平面向量基本定理，如果空间的一个基底中的三个基向
量两两垂直,那么这个基底叫什么？
提示：叫做正交基底.
探究7 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，
那么这个基底叫什么？
提示：叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
探究8 什么叫做空间向量正交分解。
提示：把一个空间向量分解成三个两两互相垂直的向量，叫做把空间
2.用基底表示所给的向量
·
3.用 =
2
所以 ∙ 1 = （ − ） ∙（ + + ）
1
2
1
2
1
2
N
B1
A1
证明：设 = ， = ，1=,这三个向量不共面，
{, , ,}构成空间的一个基底，我们用它们表示，1 ，则
1
=1 +1 =
2
M
1
2
A
1
2
C
B
1
2
= ∙+ ∙+ ∙− ∙− ∙− ∙
间的基底不唯一
探究4 基底与基向量的概念有什么不同？
提示：基底是指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的
不同概念．
探究5 零向量可作为基向量吗？
提示：不可以，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，
所以零向量不能作为基向量。反之，若某一向量能作为基向量,就说明它不是零
用·＝0⇔⊥，
用 =
·
求夹角．
ȁȁȁȁ
立体几何的解
课后作业
课本第14、15页
1.课后练习第2、3题
2.习题1.2第4、5、6题
向量.
探究6 类比平面向量基本定理，如果空间的一个基底中的三个基向
量两两垂直,那么这个基底叫什么？
提示：叫做正交基底.
探究7 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，
那么这个基底叫什么？
提示：叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
探究8 什么叫做空间向量正交分解。
提示：把一个空间向量分解成三个两两互相垂直的向量，叫做把空间
2.用基底表示所给的向量
·
3.用 =
空间向量运算的坐标表示(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册1
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)
空间向量研究直线、平面的平行(18张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
所以AEl/FG.
∴AE//FG
Ax
例2 证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面 内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.已知：如图，acβ,bcβ,a∩b=P,alla,blla,求证： α/lβ.分析：设平面α的法向量为n,直线a,b的方向向量分别为u,v,则由已知条件可得n·u=n·v=0, 由此可以证明n 与平面β内的任意一个向量垂直，即n 也是β的法向量.
归纳小结 设直线l,m 的方向向量分别为a , b 平面a,β的法向量分别为ū ,v; 则a —l m (1)I//m⇔ a//b⇔a=λb ;(2)l//a→ (1) a//AC→(2)alü⇔a·ü=0
设平面a,β 的 法 向 量 分 别 为 ū , ; 则
(3)α//β⇔ ū //v⇔u=λv;
1、已知直线a,b和平面a,其中aaα,bcα,且al/b,求证： a//a.解：设直线a,b的方向向,k∈R.又因为u 是平面α的法向量，bcα, 所以 u ⊥b,所以ū·b=0,u·a=ū·kb=0.所以a lla.
例3如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4,BC=3,CC₁=2.B₁C 上是否存在点P,使得A₁P// 平面ACD₁?解：以D为原点，DA,DC,DD₁ 所在直线分别为x轴、
C(0,4,0),D₁(0,0,2),∴AC=(-3,4,0),AD₁=(-3,0,2).设n=(x,y,z) 是平面ACD₁的法
面AEF// 面BDG.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
解 令z₂=2,得y₂=-1,所以n₂=(0,-1,2).因为n₁=n2,即n₁//n2,所以平面ADE//平面B₁C₁F.
∴AE//FG
Ax
例2 证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面 内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.已知：如图，acβ,bcβ,a∩b=P,alla,blla,求证： α/lβ.分析：设平面α的法向量为n,直线a,b的方向向量分别为u,v,则由已知条件可得n·u=n·v=0, 由此可以证明n 与平面β内的任意一个向量垂直，即n 也是β的法向量.
归纳小结 设直线l,m 的方向向量分别为a , b 平面a,β的法向量分别为ū ,v; 则a —l m (1)I//m⇔ a//b⇔a=λb ;(2)l//a→ (1) a//AC→(2)alü⇔a·ü=0
设平面a,β 的 法 向 量 分 别 为 ū , ; 则
(3)α//β⇔ ū //v⇔u=λv;
1、已知直线a,b和平面a,其中aaα,bcα,且al/b,求证： a//a.解：设直线a,b的方向向,k∈R.又因为u 是平面α的法向量，bcα, 所以 u ⊥b,所以ū·b=0,u·a=ū·kb=0.所以a lla.
例3如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4,BC=3,CC₁=2.B₁C 上是否存在点P,使得A₁P// 平面ACD₁?解：以D为原点，DA,DC,DD₁ 所在直线分别为x轴、
C(0,4,0),D₁(0,0,2),∴AC=(-3,4,0),AD₁=(-3,0,2).设n=(x,y,z) 是平面ACD₁的法
面AEF// 面BDG.
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2024课件
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解 令z₂=2,得y₂=-1,所以n₂=(0,-1,2).因为n₁=n2,即n₁//n2,所以平面ADE//平面B₁C₁F.
【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册《空间向量及其线性运算》课件(共71张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算
1
学习目标
核心素养
1.理解空间向量的概念．(难点) 1.通过空间向量有关概念的学习，
2.掌握空间向量的线性运算．(重 培养学生的数学抽象核心素养.
点) 2.借助向量的线性运算、共线向量
3.掌握共线向量定理、共面向量 及共面向量的学习，提升学生的直
b．分配律：(λ＋μ)a＝_λ_a_＋__μ_a__，λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b___.
10
思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ [提示] 没有关系．
11
4.共线向量 (1) 定 义 ： 表 示 若 干 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线
_互__相__平__行_或__重__合__，则这些向量叫做_共_线__向__量__或平行向量． (2)方向向量：在直线 l 上取非零向量 a，与向量 a_平__行_的非零向
2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
5
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大__小__和方__向__的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的_大__小_．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用_有__向_线__段__表示；
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A，
a＝b
7
3.空间向量的线性运算
(1)向量的加法、减法
空间向量的 加法 O→B＝_O→_A_＋__O_→_C＝a＋b
运算
减法 C→A＝_O→_A_－__O→_C_＝a－b
①交换律：a＋b＝__b_＋__a__ 加法运算律 ②结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c_) _
1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算
1
学习目标
核心素养
1.理解空间向量的概念．(难点) 1.通过空间向量有关概念的学习，
2.掌握空间向量的线性运算．(重 培养学生的数学抽象核心素养.
点) 2.借助向量的线性运算、共线向量
3.掌握共线向量定理、共面向量 及共面向量的学习，提升学生的直
b．分配律：(λ＋μ)a＝_λ_a_＋__μ_a__，λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b___.
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思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ [提示] 没有关系．
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4.共线向量 (1) 定 义 ： 表 示 若 干 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线
_互__相__平__行_或__重__合__，则这些向量叫做_共_线__向__量__或平行向量． (2)方向向量：在直线 l 上取非零向量 a，与向量 a_平__行_的非零向
2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
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1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大__小__和方__向__的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的_大__小_．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用_有__向_线__段__表示；
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A，
a＝b
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3.空间向量的线性运算
(1)向量的加法、减法
空间向量的 加法 O→B＝_O→_A_＋__O_→_C＝a＋b
运算
减法 C→A＝_O→_A_－__O→_C_＝a－b
①交换律：a＋b＝__b_＋__a__ 加法运算律 ②结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c_) _
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底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥
F
E
底面ABCD，PD=DC，E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F。
(1)求证PA∥平面EDB
D
C
(2)求证PB⊥平面EFD
G
(3)求二面角C---PB---D的大小 A
B
.解：如图建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：连结AC，AC交BD
内任一向量 p可以表示为如下形式：
。 p xb yc, x, y R.
a p a (xb yc) xa b ya c 0, l与内的任一直线垂直.即l .
例2、已知点P是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，如
果 AB (2, 1, 4) ，AD (4, 2,0) ，AP (1, 2, 1)
为 PF k PB所以 x, y, z 1 k1,11 k,k,k ，
。因坐为以标为kPB• D13F0，, 01点, 1F所的以所坐以1,标1,1为F• E k,k13,1,
k
1
3
k k 1 k 3k 1 0 所
,
2 3
，又点E的
因为 1 , 1 , 1 3 6 6
2 2 1 , 1 , 1 • 1 , 1 , 2 1
面叫。做平,记面作n
⊥ ，如果
的法向量.
n⊥
，那
么
向
量n
l
给定一点A和一个向量 n,那么
过点A,以向量 n 为法向量的平面是
n
完全确定的.
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都
互相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向
量m 是与平面平行或在平面
内，则有 n m 0
求法：在空间坐标系中,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) ,
O a
P
存在有序实数对 ( x, y) ,使得
OP xa yb
这样，点O与向量 a、b 不仅可以确定平面的位 置，还可以具体表示出 内的任意一点。
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量 (这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平
任一点 P ,存在实数 t
使得
P
a
⑶平面
A
空间中平面 的位置可以由 内两
条相交直线(两个不共线向量)来确定.
对于平面 上的任
。
一点 P ,存在有序实数
对 ( x, y) ,使得
b
O a
2、直线的向量参数方程
l
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一
个定点 A 以及一个定方向确定.对于直线 l 上的任一点P ,
(一）、知识梳理，方法定位 1、点、直线、平面的位置的向量表示
⑴点 在空间中，我们取一定点O 作 为基点，那么空间中任意一点 P 的位 置就可以用向量OP 来表示，我们把 向量OP 称为点 P 的位置向量.
⑵直线
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上。一个定点 A 以及一个定方向确定.
对于直线 l 上的
.
（二）例题探析
例1、用向量法证明：一条直线与一个平面内两条相
交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
已知：直线m，n是平面 内的任意两条相交直线，
且 l m,l n. 解：设直线l, m, n的方向向量分别为a, b, c.
l m,l n,a b, a b 0. 同理a c 0.
m, n ,且m, n相交，
. 于（点G0，, 1连, 1结）EG，依因题为意底得面A（AB1C，D0是，正0）方P形（，0，所0以，点1）G是E 此正
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方形的中心，
故点G的坐标为（ 1 , 1 ,0 ）且
PA 1,0,1
，
EG
1 ,0, 2
1 2
2
，所以
2
PA 2EG,及PA// EG
而EG 平面EDB，且PA
（1）求证： AP 是平面 ABCD 的法向量；
（2）求平行四边形 ABCD 的面积．
（1）证明：∵ AP AB (1,2,1)(2,1,4) 0， AP AD (1,2,1)(4,2,0) 0 ，
∴ AP AB，AP AD，又 AB AD A，AP 平 面
，
∴ AB是C平D面
的法向量．
cosEFD FE • FD 3 6 6 3 3 3 6 1
第十三章
《空间向量与立体几何》
立体几何中的向量方法(一)
一、复习目标：1、理解直线的方向向量与平
面的法向量并会求直线的方向向量与平面的法向 量。2、理解和掌握向量共线与共面的判断方法。 3、用向量法会熟练判断和证明线面平行与垂直。
二、重难点：概念与方法的运用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合。 四、教学过程
存在实数 t 使得
a
P此方程称为直线的向量参数方程。这
样点A和向量 不仅可以确定直线 l
的位置，还可以具体写出l上的任意一
A
点。
3、平面的法向 量
OP OA ta ， OP xOA yOB (x y 1）
. 空间中平面 的位置可以由 内两条相
交直线来确定.
对于平面 上的任一点 P ,
b
AP
ABCD
。| AB | (2)2 (1)2 (4)2 21 | AD | 42 22 02 2 5
。AB AD (2, 1, 4) (4, 2,0) 6
cos(AB, AD)
6 3 105 212 5 105
sin BAD 1 9 32 105 35
S ABCD | AB | | AD | sin BAD 8 6 P
C(0, 0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
步骤：
4、用方向向量和法向量判定位置关系
注意：这里的线线平行包括线线重合，线 面平行包括线在面内，面面平行包 括面面重合.
设直线l的方向向量为a (a1, b1, c1), 平面的
法向量为u (a2 , b2 , c2 ),则
若. a (a1,b1,c1),u (a2,b2,c2),则
平面EDB，因此PA//平面
EDB。
(B2（)证1，明1；，依0）题P意B 得 1,1,1,
所以 PB DE
又DE 0，1，1 ，故PB• DE
2 2
PB EF，且EF DE
01 2
E
1 2
0
PB 平面EFD
（3）解：已知 PB EF，由（2）可知 PB DF，故
设点F的EF坐D标是为二（面x角，yC，-Pz ）B-，D的则平P面F角。x, y, z 1，因