数分知识总结及例题

数分近一周知识点总结本周学习了第二章数列极限。

由于在数学分析中，变量的取值围是限制在实数集合，我们本章学习的重点便是实数系的基本性质和定理。

首先，经过严格的证明，引出了具有连续性的实数系，而确界存在定理就是R 连续性的表述之一——非空有上界的数集必有上确界，非空有下界的数集必有下确界，即非空有界数集的上（下）确界是唯一的。

接着，高中学习过的数列在数分课上也被进一步深化——无穷大量、无穷小量、极限等概念的引入，让我们知道数列是发散或收敛的。

数列极限有唯一性，且收敛数列必有界，而有界数列未必收敛。

由此展开的系列推论与性质，如夹逼性、保序性和四则运算定理也为我们数列运算和学习收敛准则（单调有界数列必收敛）提供了思路和工具。

数学是良好的工具。

应用极限，我们研究了兔群增长率变化情况，π、e、Euler 常数的起源，感受了极限的魅力。

接下来学习的闭区间套定理也解决了我们上一章遇到的问题——实数集是否可列。

Bolzano-Weierstrass定理是将收敛准则条件改动而得到的“稍弱的结论”，更重要的是它为我们最终证明Cauchy收敛原理提供了强有力的支持。

而Cauchy原理也说明了实数系的另一个性质——完备性。

回顾本章，我们会发现实数系的完备性等价于实数系的连续性，本章学习的5个实数基本定理也是相互等价的。

下面我们以5定理互证为例题补充：聚点有界数列的一个收敛子列的极限称为该数列的聚点，又称称极限点，因此Bolzano-Weierstrass 定理又称聚点定理。

下面我们用聚点定理代替B-W,是等效的例题：实数系完备性基本定理的循环证明摘 要:循环论证了实数系的5个基本定理,并最终形成所有完美的论证环,体现了数学论证之美.(单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛． (闭区间套定理） 设{[,]}n n a b 为一闭区间套： 1.11[,][,],1,2,,n n n n a b a b n ++⊃=L 2.lim()0n n n b a →∞-=则存在唯一一点[,],1,2,.n n a b n ξ∈=L(聚点定理)又称Bolzano-WEierstrass 定理 直线上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点ξ，即在ξ的任意小邻域都含有S 中无限多个点（ξ本身可以属于S ，也可以不属于S ）．或表述为：有界数列有至少一个收敛子列。

(柯西收敛准则) 数列{}n a 收敛的充要条件是：0,N ε∀>∃∈N ，n N >、m , 恒有|-|<m n a a ε．（后者又称为柯西（Cauchy ）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）(确界存在原理) 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .单调有界定理对其它定理的证明 一．用单调有界定理证明闭区间套定理证 由区间套定义,{n a }为递增有界数列，依单调有界定理,{n a } 有极限ξ,且有n a ≤ξn=1,2,L (1) 同理,递减有界数列{n b }也有极限,并按区间套的条件有lim lim n n x x b a →∞→∞==ξ (2)且 n b ≥ξ，n=1,2,K (3)联合(1) (3)即得n a ≤ξ≤n b 式.最后证明满足的n a ≤ξ≤n b 的ξ是唯一的,设数ξ'也满足n a ≤ξ'≤n b ，n=1,2,L 则由n a ≤ξ≤n b 式有|ξ- ξ'| ≤ n b -n a ，n=1,2,L由区间套的条件得|ξ-ξ' |≤lim()0n n x b a →∞-=，故有ξ'= ξ二．用单调有界定理证明确界原理证 我们不妨证明非空有上界的数集S 必有上确界.1.欲求一实数使它是非空数集S 的上确界.利用非空有上界的数集S ,构造一数列使其极限为我们所要求的实数.选取性质p :不小于数集S 中的任一数的有理数. 将具有性质p 的所有有理数排成一个数列{n γ} ,并令 {n x }=max{1γ,2γ,K ,n γ},则得单调递增有上界的数列{n x };2.由单调有界定理得,lim n x x ξ→∞=,且对任意的自然数n 有n γ≤n x ≤ξ;3.ξ是数集S 的上确界.用反证法.若有数0x ∈S 使0x >ξ,取02x ξε-=,由3.一定存在一个有理数N γ ,使ξ≤n γ<ξ+ε,从而N γ<0x ,这与N γ是数集S 的上界矛盾.所以对一切x ∈S,都有x ≤ξ,即ξ是数集S 的上界.任给ε>0,若∀x ∈S,都有x ≤ξ-ε,则存在有理数γ',使ξ-ε<γ'<ξ,即x ≤ξ-ε<γ' < ξ .这与3.矛盾,所以存在x '∈S ,使x '>ξ-ε.即ξ是数集S 的最小上界. 于是,我们证明了所需结论. 三.用单调有界定理证明柯西收敛准则 证 ""⇒若{}n a 收敛，设lim n n a a →∞=则有对∀0ε>，0N ∃>，当n N >时有︱n a a -︱/2ε<任取m n >，则有︱m a a -︱/2ε<从而︱n m a a -︱<︱m a a -︱+︱n a a -︱ε< 即{}n a 是Cauchy 列""⇐设{}n a 是Cauchy 列(i) 则对∀0ε>，10N ∃>，当11n N ≥时有︱11n N a a -︱ε<从而111N n N a a a εε-<<+取21N n =，22N n ∃≥，∍︱22N n a a -︱ε< 从而222N n N a a a εε-<<+ … …取1k k N n -=，k k N n ∃≥，∍︱k k N n a a -︱ε<从而k k k N n N a a a εε-<<+即得对k ∀有1k k n n a a ε--<，由ε的任意性有1k k n n a a -<(ii)由Cauchy 列的定义，任取0ε>，则N ∃，当,m n N >时有 ︱n m a a -︱ε<取1m N =+则1111N n N a a a ++-<<+ 所以{}n a 为有界序列由{}k n a ⊂{}n a 有{}k n a 为有界序列由有界单调收敛定理有{}k n a 收敛，设0lim k n k a a →∞=(iii)下证0lim n n a a →∞=因为对0ε∀>，K ∃，当k K >时有︱0k n a a -︱/2ε< 由{}n a 是Cauchy 列有当k n n >时有︱k n n a a -︱/2ε<所以︱0n a a -︱<︱k n n a a -︱+︱0k n a a -︱ε< 所以{}n a 收敛，且0lim n n a a →∞=证毕四.单调有界定理证明聚点定理证 设S 是以有界无限点集 ,则在S 中选取一个由可数多个互不相同的点组成的数列 {n a },显然数列{n a }是有界的.下面我们从{n a }中抽取一个单调子列, 从而由单调有界定理该子列收敛, 最后我们证明该子列的极限值 ,就是有界无限点集S 的聚点 .分两种情况来讨论.1)如果在{n a }的任意一项之后 ,总存在最大的项( 因S 是有界的且{n a }⊂S ,这是可能的). 设1a 后的最大项是1n a ;1n a 后的最大项是2n a 且显然2n a ≤1n a ;一般地, k n a 后的最大项记为1k n a +≤ k n a ,(k =1,2,…). 这样,就得到了{n a }的 一个单调递减的子数列{k n a },因为{n a }有界,根单调有界定理知,{k n a }收敛.2)如果1)不成立. 即从某一项后, 任何一项都不是最大的 (为证明书写简单起见 ,不妨设从第一项起,每一项都不是最大项). 于是, 取1n a =1a , 因1n a 不是最大项, 所以必存在另一项2n a >1n a (2n >1n ).又因为2n a 也不是最大项, 所以又有3n a >2n a ( 3n >2n ),…… 这样一直下去,就得到{n a }的一个单调递增的子列 {k n a }且有上界 单调有界定理知, {k n a }收敛。

总之不论{n a }属于情形 1）还是情形 2）都可作出{n a }的一个单调收敛的子列.设lim k n k a →∞=a ,今证a 是S 的聚点 .对∀ε>0,存在自然数K ,使得时k >K 时，a - ε< k n a < a +ε,若这时{k n a }单调递减 , 1k n a +< a +ε( k >K ) 且1k n a +≠ a ,1k n a +∈S 即a 的ε领域含有S 中异于a 的点,故a 是 的S 聚点. 单调递增时,类似可证 区间套定理对其它定理的证明一.用区间套定理证明数列的柯西收敛准则证 [必要性] 设lim n x a →∞= A.由数列极限定义,对任给的ξ>0,存在N >0,当m,n>N 时有|m a -A|<2ε , |n a -A|<2ε, 因而 | m a -n a |≤ |m a -A|+ |n a -A|<2ε+ 2ε=ε. [充分性] 按假设,对任给的ε>0,存在N >0,使得对一切n ≥N 有|n a -N a | ≤ε,即在区间[N a -ε,N a +ε] 含有{n a }中几乎所有的项(这里及以下,为叙述简单起见,我们用“ {n a } 中几乎所有的项”表示“ {n a } 中除有限项外的所有项”)据此,令ε=12,则存在1N ,在区间[1N a -12, 1N a + 12]含有{n a }中几乎所有的项.记这个区间为[1α,1β]. 再令ε=212,则存在2N (>1N ) ,在区间[2N a -212,2N a +212]含有{n a }中几乎所有的项.记 [2α,2β]=[2N a -212,2N a +212]I [1α,1β], 它也含有{n a } 中几乎所有的项,且满足继续依次令ε=312,L , 12n ,L ,照以上方法得一闭区间列{[n α,n β]},其中每个区间都含有{n a } 中几乎所有的项,且满足 [n α,n β]⊃[1n +∂,1n β+],n=1,2,L , n β-n α≤112n -→0 (n →∞), 即{[n α,n β]}是区间套,由区间套定理,存在唯一的一个数ξ∈[n α,n β]( n=1,2,L ). .现在证明ξ就是数列{n a }的极限.事实上,对任给的ε>0 ,存在N >0 ,使得当n >N 时有 [n α,n β]⊂U(ξ;ε).因此在U(ξ;ε)含有{n a } 中除有限项外的所有项,这就证得lim n x a →∞= ξ.二．用区间套定理证明聚点定理证 因S 为有界点集,故存在0M >,使得S ⊂[,]M M -,记[1α,1β]=[,]M M - .现将[1α,1β]等分为两个子区间,因S 为无限点集,故两个子区间至少有一个含有中S 无穷多个点,记此子区间为[2α,2β] ,则[1α,1β]⊃[2α,2β] ,且 2β-2α=12(1β-1α)=M. 再将[2α,2β]等分为两个子区间,则其中至少有一个子区间含有S 中无穷多个点,取出这样的一个子区间,记为[3α, 3β] ,则[2α,2β]⊃[3α,3β] ,且 3β-3α=12(2β-2α)=2M . 将此等分子区间的手续无限地进行下去,得到一个区间列{[n α,n β]} ,它满足[n α,n β]⊃[1n +∂,1n β+],n=1,2,L , n β-n α=22n M-→0 (n →∞),即{[n α,n β]}是区间套,且其中每一个闭区间都含有S 中无穷多个点. 由区间套定理,存在唯一的一点ξ∈[n α,n β] , n=1,2,L .于是对任给的ε>0,存在N >0 ,当n >N 时有[n α,n β]⊂U(ξ;ε).从而U(ξ;ε)含有S 中无穷多个点, ξ为S 的一个聚点. 三.用区间套定理证明确界原理证 仅证明非空有上界的数集S 必有上确界.1.要找一数ξ,使其是数集S 上的上确界. ξ是S 的上确界就要满足上确界定义中的两个条件:大于ξ 的数不在S 中, ξ的任何领域有S 中的点.这两条即为性质p .如果ξ在闭区[a ,b ]间中,则闭区间应有性质[a ,b ]:任何小a 于的数不在S 中, [a ,b ]中至少含有S 中的一个点,该性质即为*p .取S 的上界为b ,且 b ∉S ,取a ∈S ,则闭区间有性质*p ;2. 将闭区间[a ,b ]等分为两个闭区间,则至少有一个闭区间[1a ,1b ]也有性质*p .如此继续得一闭区间列,满足[a ,b ]⊃[1a ,1b ]⊃K ⊃[n a ,n b ]⊃L ; lim()n n x b a -→∞=1lim()2nx b a →∞-=0 3. 由闭区间套定理得ξ属于所有的闭区间[n a ,n b ],n=1,2,L , 并且每个闭区间[n a ,n b ]有性质*p ;4. 因为n a ≤ξ≤n b , n=1,2,L , 且lim()n n x b a -→∞=0,故lim n x a →∞=lim n x b →∞=ξ,由于对∀x ∈S ,有x ≤n b ,从而x ≤lim n x b →∞=ξ;又对∀ε>0,总存在N ,使得ξ- ε< N a ,故存在0x ∈S I [N a , N b ], 于是0x ≥N a >ξ- ε.因而ξ=sup S .四．用区间套定理证明单调有界定理证 设{n x }是单调有界数列 ,不妨设其为单调递增且有上界1b ,现在来构造以个闭区间套.在{n x }中任取一项记作1a , 这时1a <1b 于是,以1a ,1b 为端点的闭区间[1a ,1b ]一定含有数列{n x }中的无限多项,将区间[1a ,1b ]二等分,得闭区间[1a ,112a b +],[112a b+,1b ]. 由于{n x }单调递增，故[1a ,112a b +]和[112a b+，1b ]中只有一个包含{n x }的无限多项，记该区间为[2a ,2b ].再将[2a ,2b ]二等分，在所得区间中只有一个包含{n x }的无限多项，记该区间为[3a ,3b ],如此继续，得一闭区间列： [1a ,1b ]，[2a ,2b ]，…[n a ,n b ]，…，满足[1n a +,1n b +]⊂[n a ,n b ],(n =1,2,…); lim()n n n b a →∞-=0故1{[,]}n n n a b ∞=是一个闭区间套,由闭区间套定理,存在唯一实数ξ使得ξ∈[n a ,n b ](n =1,2,…).现在证明因lim n n x →∞=ξ.因lim()n n n b a →∞-=0,故对∀ε>0存在自然数N ',当n >N ' 时,︱n b -n a ︱<ε另外,由于[n a ,n b ]包含递增数列{n x }的 无限多项,所以必存在N '',当n >N '' 时,有n a ≤ξn b ,取N =max{N ', N ''},当n > N 时有 ︱n x -ξ︱<n b -n a <ε, 此即lim n n x →∞=ξ.柯西收敛准则对其它定理的证明 一.用柯西数列的收敛准则证明确界原理证 设为S 非空有上界数集.由实数的阿基米德性,对任何正数α,存在整数k α,使得αλ=k αα 为S 的上界,而αλ- α=(k α-1) α不是S 的上界,即存在1α∈S ,使得1α >(k α-1) α. .分别取α=1n，n =1,2,K ,则对每一个正整数n ,存在相应的n λ ,使得n λ为S 的上界,而n λ-1n不是S 的上界,故存在1α∈S ,使得1α>n λ-1n. (1)又对正整数m ,m λ是S 的上界,故有m λ≥1α.结合(1)式得n λ-m λ< 1n;同理有n λ-m λ< 1m.从而得|m λ -n λ|<max(1m ,1n).于是,对任给的ε>0 ,存在N >0 ,使得当m ,n >N 时有 |m λ -n λ|<ε. 由柯西收敛准则,数列{n λ} 收敛.记lim n x λ→∞=λ (2)现在证明λ就是S 的上确界.首先,对任何a ∈S 和正整数n 有a ≤n λ,由(2)式得a ≤λ,即λ是S 的一个上确界.其次,对任何δ>0 ,由1n→0(n →∞)及(2)式,对充分大的n 同时有1n <2δ,n λ>λ-2δ. 又因n λ-1n 不是S 的上界,故存在α'∈S ,使得α'>n λ- 1n.结合上式得 α'>n λ-2δ-2δ=λ-δ.这说明λ为S 的上确界.同理可证:若S 为非空有下界数集,则必存在下确界. 二.用柯西收敛准则证明聚点定理证 1.取a 为S 的下界,对任意固定的自然数n ，存在自然数n k , 使n x =a +nk n满足：1）S (,)n x +∞I 至多为有限点集；2）S 1(,)n x n-+∞I 为无限点集.2．由 1.对任意的自然数n ,m , 1n x n-< m x , 这是因为，若存在n,m 使1n x n-≥m x , 则 S 1(,)n x n-+∞I ⊂S (,)m x +∞I这与1），2）矛盾.从而 |n x -m x |≤max{1n ,1m} 因此{n x }满足柯西收敛准则；3．由柯西收敛准则得，ξ=lim n x x →∞;4．对∀ε>0, 由于1lim()n x x n→∞-=ξ,所以存在0n 使得0n x , 0n x -01n ∈(ξ-ε,ξ+ε), 从S 001(,)n x n -+∞I ⊂S (,)ξε-+∞I , 有2）得S (,)ξε-+∞I 是无限点集；又S (,)ξε-+∞I ⊂S 0(,)n x +∞I ,由1）得S (,)ξε++∞I 至多是有限点集.因此S I (ξ-ε,ξ+ε),是无限点集,即ξ是S 的聚点.三.用柯西收敛准则证明闭区间套定理证 不妨设{[,]}n n a b 是一列闭区间,满足如下两个条件:1)11[,][,]n n n n a b a b ++⊂， 1,2,,n =L 2)设lim()0n n n b a →∞-=.则00()m n n n a a b a n ≤-<-→→∞,所以数列{}n a 是一基本数列.从而由柯西收敛准则得:lim lim lim()n n n n n n n n a b b a a ξ→∞→∞→∞=⇒=-+=lim(n n b →∞)lim n n n a a ξ→∞-+=.由于数列{}n a 单调增加,数列{}n b 单调减少,可知ξ是属于所有闭区间[,](1,2,)n n a b n =L 的唯一实数,从而区间套定理得证.下面证明闭区间套的公共点是唯一的若()ζξζ∃≠⊂也属于所有的闭区间[,]n n a b ,则0n n b a ξζ<-<-,当n <∞时, lim()0n n n b a ξζ→∞->->,这与闭区间套的条件矛盾,即区间套的公共点是唯一的.四.用柯西收敛准则证明单调有界定理证 设{}n a 为一递增且有上界M 的数列．用反证法（ 借助柯西准则 ）可以证明：倘若{}n a 无极限，则可找到一个子列{}k n a 以+∞为广义极限，从而与{}n a 有上界相矛盾．现在来构造这样的{}k n a ．对于单调数列{}n a ，柯西条件可改述为：“+0,N N ε∀>∃∈,当n N >时，满足||n N a a ε-<”．这是因为它同时保证了对一切n m N >>，恒有||||n m n N a a a a ε-≤-<．倘若{}n a 不收敛，由上述柯西条件的否定述：00ε∃>，对一切N N ∈，n N ∃>，使0||n N n N a a a a ε-=-≥．依次取12111111021220101,,,,,,.k k n n n k k k k n n N n N a a N n n N a a N n n N a a εεε--=∃>-≥=∃>-≥=∃>-≥L L使；使；使把它们相加,得到10k n a a k ε-≥．故当1M a k ε->时，可使k n a M >，矛盾．所以单调有界数列{}n a 必定有极限．确界原理对其它定理的证明 一.用确界原理证明柯西收敛准则证 必要性是常规证法,故从略.只证充分性.1．构造非空有界数集S ,因为欲证明数列{n x }收敛，故数集S 必须含有数列{n x }中的无限多个数,为此，令S ={x |(-∞, x )I {n x }是空集或有限点集};2．由于满足柯西收敛准则充分条件的数列是有界的,故知数列{n x }的下界a ∈S ,上界b 也是S 的上界.所以S 是非空有上界的数集.由确界原理数集S 有上确界ξ=sup S ;3．对ε>0, (-∞,ξ)I {n x } 是无限点集,否则,就与ξ=sup S .矛盾.因(-∞,ξ+ε)I {n x }至多含有{n x }的有限多个点.故(ξ-ε,ξ+ε)含有{n x 的无限多个点.设k n x ∈(ξ-ε,ξ+ε),k= 1,2,K ,且1n < 2n < K . 取1N =max{N, 1n }, 则当n>1N 时,总存在k n >1N 使|n x -ξ| ≤|n x - k n x | + |k n x -ξ|<2ε 因此lim n x x →∞= ξ.二. 用确界原理证明闭区间套定理证 存在唯一的实数ξ使得ξ∈[n a ,n b ](n =1,2,…)令S = {n x } 显然S 非空且有上界( 任一n b 都是其上界) 据确界原理 ,S 有上确界.设sup S =ξ现在证明ξ属于每个闭区间[n a ,n b ](n =1,2,…)显然n a ≤ξ(n =1,2,…),所以只需证明对一切自然数n ,都有ξ≤n b . 实事上,对一切自然数n ，n b 都是S 的上界, 而上确界是上界中的最小者,因此必有ξ≤n b ,故证明了存在一实数ξ 使得ξ∈[n a ,n b ](n =1,2,…). 三.用确界原理证明聚点定理证 设S 为有界无限点集。