矩阵论2

(Image and Kernel of a Linear Transformation) Transformations) and Eigenvectors) Matrices)
特征值与特征向量(Eigenvalues
矩阵的相似对角形(Diagonalizable 线性变换的不变子空间 酉(正交)变换与酉(正交)矩阵
P(i(k )) A : 用k乘矩阵A的第i行； AP(i(k )) : 用k乘矩阵A的第i列；
P(i, j (k )) A : 将矩阵A的第j行的k倍加到第i行； AP(i, j (k )) : 将矩阵A的第i列的k倍加到第j列。
设 A P ，并且 rank( A) r 1 ,则通过一 系列初等变换可将A 化为
定义2.1.2 设A,B P ，如果存在数域P上的m 阶 非奇异矩阵 P 和n 阶非奇异矩阵 Q 使得 B = PAQ 则称A 与B 相抵（等价）。
mn
定理2.1.8 设A,B P mn ，如果 A与 B 相抵，则它们 可作为 n 维线性空间V1 到 m 维线性空间 V2 的同一 线性映射在两对基下所对应的矩阵。
矩阵的初等变换
下列三种变换称为矩阵的初等变换：
（1） 交换矩阵的两行（列）；
（2） 矩阵的某一行（列）乘以非零常数 k；
（3） 矩阵某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）。
初等矩阵
对单位矩阵施行初等变换所得的矩阵称为初等 矩阵。
（1）交换单位矩阵的第i, j行（列）
1 1 0 1 ith row 1 P(i, j ) 1 1 0 jth row 1 1
mn
I r 0
0 0
(2.1.4)
其中 I r 是r 阶单位矩阵，(2.1.4)称为矩阵 A 的相抵 标准形。 一个矩阵可逆的充分必要条件是它能表示成一 些初等矩阵的乘积。 矩阵 A 与 B 相抵的充分必要条件是A可以经过 有限次初等变换化成B 。
定理2.1.9 设AP mn ,且 rank( A) r 1 ，则存 在m 阶可逆矩阵 P 和n 阶可逆矩阵 Q 使得
(Invariant Subspaces of Transformations) (Unitary Transformations and Unitary Matrices)
2.1
线性映射及其矩阵表示
(Linear Mappings and Their Matrix Representation)
P(i, j ) 称为初等交换矩阵。
（2）用k乘单位矩阵的第i行（列）
1 P(i (k )) ith row 1
1 k 1
（3） 将单位矩阵的第j行（第i列）的k倍 加到第i行（第j列）
1 P(i, j (k )) ith row jth row 1
设 A( 1 ) a111 a 21 2 a m1 m A( ) a a a 2 12 1 22 2 m2 m A( n ) a1n1 a 2 n 2 a mn m
A(1 , 2 ,, n ) (A(1 ), A( 2 ),, A( n )) (1 ,2 ,,m ) A
(V1 ,V2 ) 上定义线性映射的加法(addition)“+”， 在￡ 对A , B ￡ (V1 ,V2 ) ，定义A+B为： V1 (A+B)( ) = A( ) + B ( ) ， 利用映射的乘积可定义线性映射的乘积， 对A ￡(V1 ,V2 ) ,B￡(V2 ,V3 ) ，定义BA为： ( ) = B (A ( ))， V1 （BA）
2.1.1 线性映射的定义及其性质
(Definition of Linear Mappings and Their Properties)
定义2.1.1 设 V1 ,V2是数域 P 的两个线性空间，A是 V1到 V2 的一个映射，如果对 V1 中任意向量 , 和 任意数 k P, 都有
A ( ) A ( ) +A ( )
I r A P 0
0 Q 0
mn
(2.1.5)
定理2.1.10 设A,BP ，则A 与B 相抵的充分 必要条件是它们有相同的秩。
2.2
线性映射的值域与核
(Image and Kernel of a Linear Mapping)
定义2.2.1 设 A 是数域P上线性空间 V1 到 V2 的线性 映射，令 R(A) = Im(A) = {A ( ) | V1 } Ker(A) = N(A) = { V1 |A ( ) 0 } 称R(A)是线性映射 A 的值域(image or range)； 而称 ker(A)是线性映射 A 的核(kernel)。
(2) 设A ￡(V1 ,V2 ) ,B ￡(V2 ,V3 ) ，则BA￡(V1 ,V3 ) 。
容易验证线性映射的加法和数量乘法满足以下规则: (1) A+B = B + A; (2) (A+B)+C = A+(B+C); (3) 存在零映射O使得A + O = A, A ￡(V1 ,V2 ); (V1 ,V2 )，它的负映射－A￡ (V1 ,V2 ) (4) 对每一个A ￡ 满足A +(－A) = O ;
定理2.1.2 设A，B是n 维线性空间V1 到线性空间V2 的两个线性映射，如果1 , 2 ,, n 是V1 的一组基， 并且 A ( i ) = B ( i ) (i 1,2,, n) ，则A=B。
定理2.1.3 设1 , 2 ,, n 是n 维线性空间V1 的一组基， 1 , 2 ,, n是线性空间V2 的任意n个向量，则存在 V1到 V2 的唯一线性映射A，使得 A( i ) i , i 1,2,, n
定理2.1.7 设A是n 维线性空间V1 到m 维线性空间V2 , , n 是 1 ,, n 和 1 V1 的两组基， 的一个线性映射， 的过渡矩阵为Q， 1 ,,m 和 由 1 ,, n到 1 ,, n ,,m 是V 的两组基，由1 ,,m 到 1 ,,m 1 2 的过渡矩阵为P，A在基 1 ,, n 与基 1 ,,m 下 ,,m 下的矩阵 与1 的矩阵为A，而在基 1 ,, n 为B，则 1 B P AQ
1
k 1
初等矩阵的性质：
初等矩阵都是可逆的，并且
P(i, j ) P(i, j ),
P(i(k )) P(i(k )),
P(i, j(k )) P(i, j(k )).
1
1
1
1
初等矩阵的作用：
P(i, j ) A : 交换矩阵A的第i, j行； AP(i, j ) : 交换矩阵A的第i, j列；
定理2.2.1 设A是线性空间 V1 到 V2 的线性映射，则 (1) R(A)是 V2 的一个子空间； (2) Ker(A)是 V1 的一个子空间。
第 2章
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
线性映射与线性变换
(Linear Mappings and Linear Transformations)
线性映射及其矩阵表示 线性映射的值域与核 线性变换(Linear
(Linear Mappings and Their Matrix Representation)
2.1.2 线性映射的运算
(Operations of Linear Mappings)
设 V1 ,V2 ,V3 都是数域 P上的线性空间。 V1到 V2的所有线性映射组成的集合记为￡ (V1 ,V2 ) 。 ￡(V2 ,V3 ) 和￡ (V1 ,V3 ) 分别表示 V2 到 V3和 V1 到 V3 的所有线性映射组成的集合。
A(k ) = kA ( )
则称A是 V1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ到 V2 的线性映射或线性算子 (linear mapping or linear operator)。
例2.1.1(零映射)， 例2.1.2(恒等映射)， 例2.1.3(数乘映射)，例2.1.4(负映射)。
定理2.1.1 设A是线性空间 V1到 V2 的线性映射, 则 (1) A(0) = 0; (2) A ( ) = －A ( ) , V1; (3) 如果1,2 ,,m 是 V1 的一组向量， k1 , k2 ,, km P，有 A(k11 km m ) k1A(1 ) kmA( m ) (4) 如果 1,2 ,,m 是 V1 的一组线性相关向量， 则A (1 ) , A ( 2 ),, A( m ) 是 V2 中的一组线性相关 V1中线性 向量；并且当且仅当A是一一映射时， 无关向量组的像是 V2中的线性无关向量组。
2.1.1 线性映射的定义及其性质
(Definition of Linear Mappings and Their Properties)
2.1.2 线性映射的运算
(Operations of Linear Mappings)
2.1.3 线性映射的矩阵表示
(Matrix Representation of Linear Mappings)
定理2.1.6 设A是n 维线性空间 V1到m 维线性空间V2 的一个线性映射，并且A在V1 的基 1, 2 ,, n 和V2 的 基 1 ,2 ,,m下的矩阵为A。对任意 V1 ，若
xi i , A( ) y j j ,
则
i 1
j 1
n
m
y1 x1 A ym xn
其中