江西省宜春中学高中数学《1.5.1正弦函数的性质与图像》导学案新人教版必修4

1.5.1 正弦函数的性质与图像
一、课前自主导学
【教学目标】
1.理解正弦线的含义,能在单位圆中作出角α的正弦线.
2.了解正弦曲线的画法,能利用五点法画出正弦函数的简图.
3.掌握正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期，单调区间和最值． 【重点难点】
正弦函数的图像特征及性质，五点法作图，求正弦函数的最小正周期， 单调区间和最值． 【教材助读】
问题1:如下图,设任意角α的终边与单位圆交于点P (a ,b ),过点P 作x 轴的垂线, 垂足为M ,我们称 MP 为角α的 ,如果b>0,把MP 看作与
y 轴 ,规定此时MP 具有正值b ;如果b<0,把MP 看作与y 轴反向,规定
此时MP 具有负值b ,当角α的终边在x 轴上时,正弦线变成 .
问题1:有向线段正弦线同向一点 问题2:作正弦函数图像的一般方法 (1)描点法:列表,描点,连线.
(2)几何法:几何法就是利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图像. (3)五点法:正弦函数y=sin x ,x ∈[0,2π]中,
五个关键点为 、 、 、 、 . 问题2:(3)()0,0 ⎪⎭⎫
⎝⎛1,2π ()0,π ⎪⎭
⎫
⎝⎛-1,23π) ()0,2π 问题3:根据曲线写出正弦函数的一些性质: 【
取得最大值
问题3:R []1,1- π2 ()Z k k x ∈+=
π22
()Z k k x ∈+-
=π22
()Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-ππππ22,22 ()Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++ππππ223,22 奇函数()Z k k x ∈+=2ππ()()Z k k ∈0,π 【预习自测】
1．函数[]π2,0,sin 1∈-=x x y 的大致图像是下图中的 ( )
【答案】 B
2．函数x
y sin 1
=
的定义域为( )
A ．R
B ．{
}
Z k k x R x ∈≠∈,π
C ．[)(]1,00,1 -
D ．{}0≠x x
【答案】 B
3．正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像的一条对称轴是( )
A ．y 轴
B ．x 轴
C ．直线2
3π
=x D ．直线π=x 【解析】 结合R x x y ∈=,sin 的图像可知，其对称轴应过图像的最高点
或最低点，故选C. 【答案】 C
4．在[]π2,0内用五点法作出1sin --=x y 的简图． 【解】 (1)按五个关键点列表：
(2)如图所示：
【我的疑惑】
二、课堂互动探究
【例1】作出函数[]π2,0,sin 21∈+-=x x y 的简图．
【解答】 按五个关键点列表：
【例2】利用正弦函数图像或正弦线解三角不等式 求不等式2
2
sin -
>x 的解集．
【解】结合x y sin -=的图像可知，满足2
2
sin ->x 的x 的 取值范围是Z k k x k ∈+<
<-
,24
542ππ
π
π.
∴不等式的解集是⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,24542ππππ.
【例3】正弦函数的单调性及应用 (1)比较下列各组三角函数值的大小：
①521sin
π与542sin π；②⎪⎭⎫ ⎝⎛-53sin π与⎪⎭⎫
⎝⎛-413sin π. (2)求函数1sin 2--=x y 的增区间．
【解】 (1)①∵5sin 54sin 521sin
ππππ=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=， 52sin
528sin 542sin
ππππ=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=.∵25250πππ<<<， 又∵x y sin =在⎪⎭
⎫
⎝⎛2,0π上单调递增，∴52sin 5sin ππ<，
即<5
21sin π
542sin π
②∵53sin 53sin ππ-=⎪
⎭
⎫
⎝⎛-. 45sin
452sin 413sin ππππ-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-， 由于2345532ππππ<<<，且x y sin =在⎪⎭⎫
⎝⎛23,2ππ上单调递减，
∴45sin 53sin ππ>，∴45sin 53sin ππ-<-， 即⎪⎭
⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-413sin 53sin ππ．
(2)由于x y sin =的单调减区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
++232,22ππππ ∴1sin 2--=x y 的增区间为()Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+
+232,2
2πππ
π． 【我的收获】
三、课后知能检测
1．用五点法作函数x y 2sin 2-的图像时，首先应描出的五点的横坐标 可以是( )
A ．ππππ
2,23,
,2
,
0 B ．ππππ,4
3,2,4,0 C ．ππππ4,3,2,,0 D ．3
2,2,3,6,0π
πππ
【答案】B
2．下列不等式中成立的是( )
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-
10sin 8sin ππ B ．⎪⎭
⎫
⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-417sin 521sin ππ C ．2sin 3sin > D ．⎪⎭
⎫
⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛52sin 57sin ππ
【解析】由于28100π
π
π
<
<
<
，而x y sin =在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,
0π上单调递增， ∴8sin 10sin ππ<，∴8sin 10sin ππ->-，即⎪⎭
⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-10sin 8sin ππ故选A. 【答案】A
3．设函数R x x x f ∈=,sin )(,对于以下三个命题：①函数f (x )的值域是
[]1,1-；②当且仅当()Z k k x ∈+=2
2ππ时，)(x f 取得最大值1；
③当且仅当()Z k k x k ∈+
<<+2
322π
πππ时，0)(<x f .其中正确 命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【解析】显然①②正确，③不正确，故选C.【答案】 C 4．函数x x f sin 1)(+=的最小正周期是( )． A ．
2π B π C ．2
3π D ．π2 【答案】D 5．函数3
sin
π
=y 的定义域是( )．
A ．R
B ．[]1,1-
C ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
31,31 D ．[]3,3- 【答案】A
6．函数x y 2sin =的一个增区间是( ) A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
2,2ππ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π D ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-0,2π
【答案】B
7．函数x y sin 2-=的最大值及取最大值时x 的值为( ) A ．2
,3π
=
=x y B ．()Z k k x y ∈+=
=ππ
22
,1
C ．()Z k k x y ∈+-==ππ
22
,3 D ．()Z k k x y ∈+=
=ππ
22
,3
【答案】 C
8．函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛≤≤=320sin πx x y 的值域是________． 【答案】
(]1,0
9．函数[]π2,0,sin 1∈+=x x y 的图像与直线23
=
y 有________个交点． 【解析】在同一坐标系中作出函数x y sin 1+=，2
3
=y 的图像，
如图所示：在[]π2,0∈x 内共两个交点．【答案】两。