2019届苏教版(理科数学) 第5章第3节平面向量的数量积及平面向量应用举例单元测试

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江苏专版高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积及其应用教案理含解析苏教版

江苏专版高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积及其应用教案理含解析苏教版第三节平面向量的数量积及其应用1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作OA―→＝a，OB―→＝b，则∠AOB就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b2.平面向量的数量积设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b.3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22[小题体验]1．已知|a|＝2，|b|＝6，a ·b ＝－63，则a 与b 的夹角θ为________．答案：5π62．已知向量a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，若(a －2b)⊥a ，则|b|＝________.解析：因为a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，所以a －2b ＝(－3,3－2t )．因为(a －2b)⊥a ，所以(a －2b )·a ＝0，即(－1)×(－3)＋3(3－2t )＝0，即t ＝2，所以b ＝(1,2)，所以|b|＝12＋22＝ 5. 答案： 53．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.解析：由b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，得b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22.因为e 1，e 2为单位向量，〈e 1，e 2〉＝π3，所以b 1·b 2＝3－2×12－8＝－6.答案：－61．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c(a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b ＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b ＜0，反之不成立．3．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b. 4．在用|a|＝a 2求向量的模时，一定要把求出的a 2再进行开方． [小题纠偏] 1．给出下列说法：①向量b 在向量a 方向上的投影是向量；②若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角，若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角； ③(a ·b)c ＝a(b ·c)； ④若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0. 其中正确的说法有________个．答案：02．已知向量BA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝________.解析：因为BA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA ―→·BC ―→＝34＋34＝32.所以cos∠ABC ＝BA ―→·BC ―→| BA ―→||BC ―→|＝32，又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.答案：30°3．已知平面向量a 与b 的夹角为π3，a ＝(1，3)，|a －2b|＝23，则|b|＝________.解析：因为a ＝(1，3)，所以|a|＝2，又|a －2b|＝23，即|a|2－4a ·b ＋4|b|2＝12，故22－4×2×|b |×cos π3＋4|b|2＝12，化简得|b|2－|b|－2＝0，所以|b|＝2.答案：2考点一平面向量的数量积的运算基础送分型考点——自主练透 [题组练透]1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝________. 解析：因为a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，所以(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－3. 答案：－32．(2018·南京高三年级学情调研)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM ―→＝λBC ―→.若AM ―→·BC ―→＝－173，则实数λ＝________.解析：因为BC ―→＝AC ―→－AB ―→，AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝AB ―→＋λ(AC ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λAC ―→，AB ―→·AC ―→＝2×3×cos 120°＝－3.所以AM ―→·BC ―→＝(λ－1)AB―→2＋λAC ―→2＋(1－2λ)AB ―→·AC ―→＝19λ－12＝－173，所以λ＝13.答案：133．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b|＝10，则a ·b ＝________. 解析：因为a ＝(－2，－6)，所以|a|＝－22＋－62＝210，又|b|＝10，向量a与b 的夹角为60°，所以a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12＝10.答案：104．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为BC的中点，则AB―→·AD―→＝________.解析：法一：由题意知，AC＝BC＝2，AB＝22，所以AB―→·AD―→＝AB―→·(AC―→＋CD―→)＝AB―→·AC―→＋AB―→·CD―→＝|AB―→|·|AC―→|cos 45°＋|AB―→|·|CD―→|cos 45°＝22×2×22＋22×1×22＝6.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A(0,2)，B(－2,0)，D(－1,0)，所以AB―→＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)，AD―→＝ (－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，所以AB―→·AD―→＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6.答案：6[谨记通法]向量数量积的2种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cos θ适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题考点二平面向量数量积的性质题点多变型考点——多角探明[锁定考向]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为填空题．常见的命题角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直．[题点全练]角度一：平面向量的模1．(2018·苏州高三暑假测试)已知平面向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，若|a ＋b|＝52，则|b|＝________.解析：因为a ＝(2,1)，所以|a|＝5，又|a ＋b|＝52，所以a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，所以b 2＝25，所以|b|＝5.答案：5角度二：平面向量的夹角2．(2018·太湖高级中学检测)已知|a|＝1，|b|＝2，且a ⊥(a －b)，则向量a 与向量b 的夹角为________．解析：因为a ⊥(a －b)，所以a ·(a －b)＝a 2－a ·b ＝1－2cos a ，b ＝0，所以cos a ，b ＝22，所以a ，b ＝π4.答案：π43．(2019·启东中学检测)已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围是________．解析：如图，在△ABC 中，设BC ―→＝β，BA ―→＝α，则AC ―→＝BC ―→－BA ―→＝β－α.因为α与β－α的夹角为120°，所以A ＝60°.由正弦定理得BC sin A ＝BA sin C ，则BA ＝233sin C ．又0＜sin C ≤1，所以0＜BA ≤233，故α的模的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，233.答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，233角度三：平面向量的垂直4．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量AB ―→＝(6,1)，BC ―→＝(x ，y )，CD ―→＝(－2，－3)，且AD ―→∥BC ―→.(1)求x 与y 之间的关系式；(2)若AC ―→⊥BD ―→，求四边形ABCD 的面积．解：(1)由题意得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝(x ＋4，y －2)，BC ―→＝(x ，y )．因为AD ―→∥BC ―→，所以(x ＋4)y －(y －2)x ＝0，即x ＋2y ＝0.(2)由题意得AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝(x ＋6，y ＋1)，BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝(x －2，y －3)．因为AC ―→⊥BD ―→，所以(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0，即x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1时，AC ―→＝(8,0)，BD ―→＝(0，－4)，S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝16；当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3时，AC ―→＝(0,4)，BD ―→＝(－8,0)，S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝16.所以四边形ABCD 的面积为16.[通法在握]平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a ·b| a |·|b|，要注意θ∈[0，π]．(2)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a|2或|a|＝a ·a. ②|a ±b|＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2.③若a ＝(x ，y )，则|a|＝x 2＋y 2.(3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b|＝|a ＋b|.[演练冲关]1．(2019·海安模拟) 已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a－3b|＝________.解析：由题意可得a ·b ＝|a |·|b|cos π3＝3，所以|2a －3b|＝2a －3b2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61.答案：612．已知向量a ，b 满足a ＝(4，－3)，|b|＝1，|a －b|＝21，则向量a ，b 的夹角为________．解析：易知|b|＝1，|a|＝5，对|a －b|＝21两边平方，整理得2a ·b ＝5，即2|a||b|cos θ＝5，解得cos θ＝12，则向量a ，b 的夹角为π3.答案：π33．已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λ AB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．解析：BC ―→＝AC ―→－AB ―→，由于AP ―→⊥BC ―→，所以AP ―→·BC ―→＝0，即(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→) ＝－λAB ―→2＋AC ―→2＋(λ－1)AB ―→·AC ―→＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝0，解得λ＝712.答案：712考点三平面向量与三角函数的综合重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·启东高三期中)已知向量a ＝(sin x,2)，b ＝(cos x ，1)，函数f (x )＝a ·b.(1)若a ∥b ，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的值；(2)求函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值和最大值．解：(1)由a ∥b ，得sin x ＝2cos x ．所以tan x ＝2.所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋11－tan x ＝－3.(2)因为f (x )＝a ·b ＝sin x ·cos x ＋2＝12sin 2x ＋2，所以y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，从而－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.于是，当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12有最小值74，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12有最大值52. [由题悟法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等．[即时应用]已知向量m ＝(3cos x ，－1)，n ＝(sin x ，cos 2x )． (1)当x ＝π3时，求m ·n 的值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，且m ·n ＝33－12，求cos 2x 的值．解：(1)当x ＝π3时，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，14，所以m ·n ＝34－14＝12.(2)m ·n ＝3cos x sin x －cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12. 若m ·n ＝33－12，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝33－12，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝33.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以－π6≤2x －π6≤π3，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝63，则cos 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6sin π6＝63×32－33×12＝32－36.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·海门模拟)向量a ＝(3,4)在向量b ＝(1，－1)方向上的投影为________．解析：∵向量a ＝(3,4)，b ＝(1，－1)， ∴向量a 在向量b 方向上的投影为|a|cos θ＝a ·b | b|＝3×1＋4×－112＋－12＝－22. 答案：－222．(2018·江苏百校联盟联考)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且a ·(a －b)＝8，|a|＝2，则|b|＝________.解析：因为a ·(a －b)＝8，所以a ·a －a ·b ＝8，即|a|2－|a||b|cos a ，b ＝8，所以4＋2|b |×12＝8，解得|b|＝4.答案：43．(2018·苏州期末)已知a ＝(m,2)，b ＝(1，n )，m ＞0，n ＞0，且|a|＝4，|b|＝2，则向量a 与b 的夹角是________．解析：设向量a 与b 的夹角是θ，θ∈[0，π]，∵a ＝(m,2)，b ＝(1，n )，m ＞0，n ＞0，且|a|＝4，|b|＝2， ∴m 2＋4＝16,1＋n 2＝4，解得m ＝23，n ＝ 3.∴a ·b ＝m ＋2n ＝43＝4×2×cos θ， ∴cos θ＝32，则向量a 与b 的夹角是π6. 答案：π64．(2018·滨海期末)已知向量a ＝(－1,3)，b ＝(3，t )，若a ⊥b ，则|2a ＋b|＝________. 解析：∵向量a ＝(－1,3)，b ＝(3，t )，a ⊥b ， ∴a ·b ＝－3＋3t ＝0，解得t ＝1， ∴b ＝(3,1)，2a ＋b ＝(1,7)，故|2a ＋b|＝1＋49＝5 2. 答案：5 25．(2018·淮安高三期中)在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠ABC ＝60°，则AB ―→·AC ―→＝________.解析：由题意得AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，所以AB ―→·AC ―→＝AB ―→·(AB ―→＋AD ―→)＝AB ―→2＋AB ―→·AD ―→＝4＋2×1×cos 120°＝3.答案：36．(2018·南通一调)已知边长为6的正三角形ABC ，BD ―→＝12BC ―→，AE ―→＝13AC ―→，AD 与BE 交于点P ，则PB ―→·PD ―→的值为________．解析：如图，以D 为原点，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (－3,0)，C (3,0)，D (0,0)，A (0，33)，E (1, 23)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，332，所以PB ―→·PD ―→＝|PD ―→|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＝274. 答案：274二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·淮安调研)已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a|＝________.解析：由已知得2a －b ＝(3，x )，而(2a －b )·b ＝0⇒－3＋x 2＝0⇒x 2＝3，所以|a|＝1＋x 2＝4＝2. 答案：22．(2019·如皋模拟)已知平面向量a 与b 的夹角为60°， a ＝(3,4)，|b|＝1，则|a －2b|＝________.解析：∵a ＝(3,4)，∴|a|＝32＋42＝5，又|b|＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 60°＝5×1×12＝52，∴|a －2b|2＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝25＋4－10＝19，则|a －2b|＝19. 答案：193．(2018·苏北四市期末)已知非零向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|，则a 与2a －b 夹角的余弦值为________．解析：因为非零向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|，所以a 2＝b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，a ·b ＝－12a 2＝－12b 2，所以a ·(2a －b)＝2a 2－a ·b ＝52a 2，|2a －b|＝2a －b2＝5a 2－4 a ·b＝ 7|a|，cos 〈a,2a －b 〉＝a ·2a －b |a |·|2a －b|＝52a 2|a|·7|a|＝527＝5714.答案：57144．(2018·泰州中学高三学情调研)矩形ABCD 中，P 为矩形ABCD 所在平面内一点，且满足PA ＝3，PC ＝4，矩形对角线AC ＝6，则PB ―→·PD ―→＝________.解析：由题意可得PB ―→·PD ―→＝(PA ―→＋AB ―→)·(PA ―→＋AD ―→)＝PA ―→2＋PA ―→·AD ―→＋AB ―→·PA ―→＋AB ―→·AD ―→＝9＋PA ―→·(AD ―→＋AB ―→)＋0＝9＋PA ―→·AC ―→＝9＋3×6×cos(π－∠PAC )＝9－18×PA 2＋AC 2－PC 22×PA ×AC ＝9－18×9＋36－162×3×6＝－112.答案：－1125．(2018·苏锡常镇调研)已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP ―→＝λAB ―→，λ∈R ，若BD ―→·CP ―→＝－3，则λ＝________.解析：法一：由题意可得BA ―→·BC ―→＝2×2cos π3＝2，BD ―→·CP ―→＝(BA ―→＋BC ―→) ·(BP ―→－BC ―→) ＝(BA ―→＋BC ―→)·[(AP ―→－AB ―→)－BC ―→] ＝(BA ―→＋BC ―→)·[(λ－1)·AB ―→－BC ―→]＝(1－λ)BA ―→2－BA ―→·BC ―→＋(1－λ)BA ―→·BC ―→－BC ―→2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3，所以λ＝12.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，D (－1，3)．令P (x,0)，由BD ―→·CP ―→＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1.因为AP ―→＝λAB ―→，所以λ＝12.答案：126．(2018·苏北四市调研)如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB ―→·AD ―→＝－7，则BC ―→·DC ―→＝________.解析：BC ―→·DC ―→＝(OC ―→－OB ―→)·(OC ―→－OD ―→)＝(OC ―→＋OD ―→)·(OC ―→－OD ―→)＝OC ―→2－OD ―→2，同理，AB ―→·AD ―→＝AO ―→2－OD ―→2＝－7，所以BC ―→·DC ―→＝OC ―→2－OD ―→2＝OC ―→2－AO ―→2－7＝9.答案：97．(2019·崇川一模)若非零向量a 与b 满足|a|＝|a ＋b|＝2，|b|＝1，则向量a 与b 夹角的余弦值为________．解析：∵非零向量a 与b 满足|a|＝|a ＋b|＝2，|b|＝1， ∴|a|2＝|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a ·b ，即a ·b ＝－12|b|2＝－12×12＝－12，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a||b|＝－122×1＝－14，∴向量a 与b 夹角的余弦值为－14.答案：－148．(2018·盐城期中)如图，在四边形ABCD 中，A ＝π3，AB ＝2，AD ＝3，分别延长CB ，CD 至点E ，F ，使得CE ―→＝λCB ―→，CF ―→＝λCD ―→，其中λ＞0，若EF ―→·AD ―→＝15，则λ的值为________．解析：∵EF ―→＝CF ―→－CE ―→＝λCD ―→－λCB ―→＝λBD ―→＝λ(AD ―→－AB ―→)， ∴EF ―→·AD ―→＝λ(AD ―→－AB ―→)·AD ―→＝λ(AD ―→2－AB ―→·AD ―→)＝λ(9－3)＝15， ∴λ＝52.答案：529．(2019·通州调研)设两个向量a ，b 不共线．(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)若|a|＝2，|b|＝3，a ，b 的夹角为60°，求使向量k a ＋b 与a ＋k b 垂直的实数k 的值．解：(1)证明：∵AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝(a ＋b)＋(2a ＋8b)＋3(a －b) ＝6(a ＋b)＝6AB ―→，∴AD ―→与AB ―→共线，且有公共点A ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 垂直， ∴(k a ＋b )·(a ＋k b)＝0，∴k a 2＋(k 2＋1)|a||b |·cos 60°＋k b 2＝0，即3k 2＋13k ＋3＝0，解得k ＝－13±1336.10．在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP ―→＝2PD ―→. (1)若四边形ABCD 是矩形，求AP ―→·BP ―→的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP ―→·BP ―→＝6，求AB ―→与AD ―→夹角的余弦值．解：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ―→⊥AD ―→，即AB ―→·AD ―→＝0，又AB ＝9，BC ＝6，CP ―→＝2PD ―→，所以AP ―→＝AD ―→＋DP ―→＝AD ―→＋13AB ―→，BP ―→＝BC ―→＋CP ―→＝AD ―→－23AB ―→，所以AP ―→·BP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋13AB ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－23AB ―→＝AD ―→2－13AB ―→·AD ―→－29AB ―→2＝62－29×92＝18.(2)设AB ―→与AD ―→的夹角为θ，由(1)得， AP ―→·BP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋13AB ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－23AB ―→＝AD ―→2－13AB ―→·AD ―→－29AB ―→2＝62－ 13×9×6×cos θ－29×92＝6，所以cos θ＝23.故AB ―→与AD ―→夹角的余弦值为23.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·徐州高三年级期中考试)如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，P 为AB 上的一点，若OP ―→·OA ―→＝2，则OP ―→·AB ―→＝________.解析：如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (2,0)，B (0,2)，设P (x ，y )，由OP ―→·OA ―→＝2，可得2x ＝2，x ＝1，P 为A B 上的一点，所以|OP ―→|＝2，所以P (1，3)，OP ―→＝(1，3)，又AB ―→＝(－2,2)，所以OP ―→·AB ―→＝－2＋2 3. 答案：－2＋2 32．(2018·南通、扬州、泰州、淮安调研)如图，已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q.若||AB ―→＝3，||AC ―→＝5，则(AP ―→＋A Q ―→)·(AB ―→－AC ―→)的值为________．解析：法一：因为AP ―→＝A Q ―→＋Q P ―→，所以AP ―→＋A Q ―→＝2A Q ―→＋Q P ―→，而AB ―→－AC ―→＝CB ―→，由于Q P ―→⊥CB ―→，所以Q P ―→·CB ―→ ＝0，所以(AP ―→＋A Q ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝(2A Q ―→＋Q P ―→)·CB ―→＝2A Q ―→·CB ―→，又因为Q 是BC 的中点，所以2A Q ―→＝AB ―→＋AC ―→，故2A Q ―→·CB ―→＝(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝AB ―→2－AC ―→2＝9－25＝－16.法二：由题意得△ABC 是不确定的，而最后的结果是唯一的，因此取AB ⊥BC ，从而P 为AC 的中点．又|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝5，所以|BC ―→|＝4，cos ∠BAC ＝35，故AP ―→＋A Q ―→＝12AC ―→＋12(AB ―→＋AC ―→)＝12AB ―→＋AC ―→，从而(AP ―→＋A Q ―→)·(AB ―→－AC ―→) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ―→＋AC ―→·(AB ―→－AC ―→) ＝12AB ―→2＋12AB ―→·AC ―→－AC ―→2 ＝12×9＋12×3×5×35－25＝－16. 答案：－163．(2019·姜堰中学调研)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，AD ⊥BC 于D ，求BA ―→·AD ―→的值．解：(1) 由m ·n ＝35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )·sin B ＝35，所以cos A ＝35.因为0＜A ＜π2，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.(2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22.因为0＜B ＜π2，所以B ＝π4，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝22(sin A ＋cos A )＝7210. 又|AD ―→|＝|AC ―→|sin C ＝5×7210＝722，所以BA ―→·AD ―→＝(BD ―→＋DA ―→)·AD ―→＝－AD ―→2＝－|AD ―→|2＝－492.命题点一平面向量基本定理1．(2018·全国卷Ⅰ改编)在△ABC 中，AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝________.(用a ，b 表示)解析：由题知EB ―→＝EA ―→＋AB ―→＝－12AD ―→＋AB ―→＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AB ―→＋AC ―→＋AB ―→＝34AB ―→－14AC ―→＝34a －14b. 答案：34a －14b2．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b)，则λ＝________.解析：由题易得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b)，所以4λ＝2，解得λ＝12.答案：123．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量OA ―→，OB ―→，OC ―→的模分别为1,1，2，OA ―→与OC ―→的夹角为α，且tan α＝7，OB ―→与OC ―→的夹角为45°.若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________.解析：如图，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )，则x C ＝|OC ―→|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC ―→|sin α＝2×752＝75，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，75.又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin(α＋45°)＝752×12＋152×12＝45，则x B ＝|OB ―→|cos(α＋45°)＝－35，y B ＝|OB ―→|sin(α＋45°)＝45，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3.答案：34．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：因为m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，所以m －n ＝2－5＝－3.答案：－3命题点二平面向量的数量积1.(2016·江苏高考)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA ―→·CA ―→＝4，BF ―→·CF ―→＝－1，则BE ―→·CE ―→的值是________．解析：由题意，得BF ―→·CF ―→＝(BD ―→＋DF ―→)·(CD ―→＋DF ―→)＝(BD ―→＋DF ―→)·(－BD ―→＋DF ―→)＝DF ―→2－BD ―→2 ＝|DF ―→|2－|BD ―→|2＝－1，①BA ―→·CA ―→＝(BD ―→＋DA ―→)·(CD ―→＋DA ―→) ＝(BD ―→＋3DF ―→)·(－BD ―→＋3DF ―→) ＝9DF ―→2－BD ―→2＝9|DF ―→|2－|BD ―→|2＝4.② 由①②得|DF ―→|2＝58，|BD ―→|2＝138.所以BE ―→·CE ―→＝(BD ―→＋DE ―→)·(CD ―→＋DE ―→) ＝(BD ―→＋2DF ―→)·(－BD ―→＋2DF ―→)＝4DF ―→2－BD ―→2 ＝4|DF ―→|2－|BD ―→|2＝4×58－138＝78.答案：782．(2014·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP ―→＝3PD ―→，AP ―→·BP ―→＝2，则AB ―→·AD ―→的值是________．解析：因为AP ―→＝AD ―→＋DP ―→＝AD ―→＋14AB ―→，BP ―→＝BC ―→＋CP ―→＝AD ―→－34AB ―→，所以AP ―→·BP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋14AB ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－34AB ―→＝|AD ―→|2－316|AB ―→|2－12AD ―→·AB ―→＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入解得AB ―→·AD ―→＝22.答案：223．(2018·全国卷Ⅱ改编)已知向量a ，b 满足|a|＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b)＝________.解析：a ·(2a －b)＝2a 2－a ·b ＝2|a|2－a ·b. ∵|a|＝1，a ·b ＝－1， ∴原式＝2×12＋1＝3.答案：34．(2018·北京高考)设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b)，则m ＝________. 解析：因为a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )，所以m a －b ＝(m ＋1，－m )．由a ⊥(m a －b)，得a ·(m a －b)＝0，即m ＋1＝0，所以m ＝－1. 答案：－15.(2018·天津高考改编)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE ―→·BE ―→的最小值为________．解析：如图，以D 为坐标原点建立平面直角坐标系，连接AC . 由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°，则D (0,0)，A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，C (0，3)．设E (0，y )(0≤y ≤3)，则AE ―→＝(－1，y )，BE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y －32，∴AE ―→·BE ―→＝32＋y 2－32y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342＋2116，∴当y ＝34时，AE ―→·BE ―→有最小值2116. 答案：21166．(2017·北京高考)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO ―→·AP ―→的最大值为________．解析：法一：由题意知，AO ―→＝(2,0)，令P (cos α，sin α)，则AP ―→＝(cos α＋2，sin α)，AO ―→·AP ―→＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”成立，故AO ―→·AP ―→的最大值为6.法二：由题意知，AO ―→＝(2,0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO ―→·AP ―→＝(2,0)·(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，当且仅当x ＝1，P (1,0)时“＝”成立，故AO ―→·AP ―→的最大值为6.答案：67．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m ＝________.解析：因为|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a ·b ＝|a|2＋|b|2，所以a ·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，所以m ＋2＝0，所以m ＝－2. 答案：－28．(2017·江苏高考)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x . 则tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.1。

平面向量数量积的定义

1
A1
c
B1
C
证明：任取一点 O, 作 OA a , AB b , OC c . 因为 a b (即OB) 在 c 方向上的投影等于 a 、b 在 c 方向上的投影的和. 由此可证，运算律（ 3 ）成立（以下见黑板） .
练一练
判断题 (1) (a b)c a(b c)
注：两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关. （2）“ a b a b ”能不能写成“ 式？ ”或者 ab “ ” 的形
例题分析：例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a· b。
解：a· b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120°
1、已知a
a 与b 的交角为90 o，则a b 0 2， b 3，
；
（1）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) 2、若 a
a、b共线，则 a b 3或－ b 3， . 3 1，
（2）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向时， a · b = -| a | · | b | ．( a // b 特别地
B
B b
B
b
b

O a

B1
A
B1Biblioteka Oa A O( B1 ) a
A
θ为锐角时， | b | cosθ＞0 a O b B 。 0时，它是 | b |
θ为钝角时， | b | cosθ＜0 b A B O
θ为直角时， | b | cosθ=0 a A
θ为
。 θ为 180时，它是 -| b |
向量数量积的性质

2019届高三理科数学苏教版一轮复习教学课件：第五章第3节平面向量的数量积及平面向量应用举例

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5．已知平面向量 a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b 与 a 垂直，
－1 则 λ＝________.
解析：由题意得 λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)，因为(λa＋b)⊥a，所以(λa＋b)· a＝0，所以 λ＋4＋9λ＋6＝0，解得 λ＝－1.
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2．已知向量 a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)，若 a⊥b，则实数 k 等于
3 ________ ．
解析：b＝(a＋b)－a＝(－1，k－1)． ∵a⊥b，∴a· b＝－2＋k－1＝0. ∴k＝3.
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五、数量积的坐标运算设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 1．a· b＝ a1b1＋a2b2 . 2．a⊥b⇔ a1b1＋a2b2＝0 .
2 3．|a|＝ a2 ＋ a 1 2.
a1b1＋a2b2 4．cos〈a，b〉＝ 2 2 2 2. a1＋a2 b1＋b2
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1 2 3 － 3．设向量 a＝(cos α， )的模为，则 cos 2α＝________. 2 2 2
3 解析：由＝ 2 1 α－1＝－ . 2
22 1 2 cos α＋得 cos α＝，所以 cos 2α＝2cos2 2 4
2
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高中数学知识点总结(第五章平面向量第三节平面向量的数量积)

第三节平面向量的数量积一、基础知识1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角． (2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．当θ＝0时，两向量a ，b 共线且同向；当θ＝π2时，两向量a ，b 相互垂直，记作a ⊥b ；当θ＝π时，两向量a ，b 共线但反向． 2．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a||b| cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a·b ，即a·b ＝|a||b|cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定：零向量与任一向量的数量积为零． 3．平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a ，b 的夹角，则|b|cos θ叫做向量b 在向量a 的方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a 在向量b 的方向上的投影．(2)a·b 的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积．投影和两向量的数量积都是数量，不是向量. 4．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b ＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)分配律：(a ＋b)·c ＝a·c ＋b·c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c 不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c 表示一个与c 共线的向量，a·(b·c)表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．5．平面向量数量积的性质设a ，b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|. 特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a. (4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a·b|≤|a||b|.6．平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则(1)|a|＝x 21＋y 21； (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；(2)a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2;_ (4)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.二、常用结论汇总1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b)·(a －b)＝a 2－b 2； (2)(a±b)2＝a 2±2a·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．考点一平面向量的数量积的运算[典例] (1)(2018·新乡二模)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4,1)共线，则m·n ＝( ) A ．0 B ．4 C ．－92D ．－172(2)(2018·天津高考)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM ―→＝2MA ―→，CN ―→＝2NA ―→，则BC ―→·OM ―→的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0[解析] (1)∵向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4,1)共线，∴2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，∴m ＝⎝⎛⎭⎫－2，－12， ∴m ·n ＝－2×4＋⎝⎛⎭⎫－12×1＝－172.(2)法一：如图，连接MN . ∵BM ―→＝2MA ―→，CN ―→＝2NA ―→， ∴AM AB ＝AN AC ＝13. ∴MN ∥BC ，且MN BC ＝13.∴BC ―→＝3MN ―→＝3(ON ―→－OM ―→)． ∴BC ―→·OM ―→＝3(ON ―→·OM ―→－OM ―→2) ＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.法二：在△ABC 中，不妨设∠A ＝90°，取特殊情况ON ⊥AC ，以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为∠MON ＝120°，ON ＝2，OM ＝1，所以O ⎝⎛⎭⎫2，32，C ⎝⎛⎭⎫0，332，M ⎝⎛⎭⎫52，0，B ⎝⎛⎭⎫152，0. 故BC ―→·OM ―→＝⎝⎛⎭⎫－152，332·⎝⎛⎭⎫12，－32＝－154－94＝－6.[答案] (1)D (2)C[解题技法] 求非零向量a ，b 的数量积的策略(1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a ，b ，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a ，b 的坐标，通过坐标运算求解．[题组训练]1．(2019·济南模拟)已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC ―→·CB ―→＝( ) A ．1 B ．－1 C.6D ．22解析：选B 设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则a·b ＝0， ∵|a|＝2，|b|＝1，∴AC ―→·CB ―→＝(a ＋b)·(－b)＝－a·b －b 2＝－1.2．(2019·南昌调研)已知向量a ，b 满足a·(b ＋a)＝2，且a ＝(1,2)，则向量b 在a 方向上的投影为( )A.55B ．－55C ．－255D ．－355解析：选D 由a ＝(1,2)，可得|a|＝5，由a·(b ＋a)＝2，可得a·b ＋a 2＝2， ∴a·b ＝－3，∴向量b 在a 方向上的投影为a·b |a|＝－355.3．(2018·石家庄质检)在△ABC 中，已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，M 为BC 上的一点，且AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→ (λ，μ∈R)，且AM ―→·BC ―→＝0，则 λμ的值为________．解析：法一：∵BC ―→＝AC ―→－AB ―→，AM ―→·BC ―→＝0， ∴(λAB ―→＋μAC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝0，∵AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1， ∴－λ|AB ―→|2＋μ|AC ―→|2＝0，即－4λ＋μ＝0，∴λμ＝14.法二：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB ―→＝(0,2)，AC ―→＝(1,0)，BC ―→＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM ―→＝(x ，y )，所以AM ―→·BC ―→＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y 2y ＝14. 答案：14考点二平面向量数量积的性质考法(一) 平面向量的模[典例] (1)(2019·昆明适应性检测)已知非零向量a ，b 满足a·b ＝0，|a|＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π4，则|b|＝( )A ．6B ．32C ．22D ．3(2)(2019·福州四校联考)已知向量a ，b 为单位向量，且a·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c|的最小值为( )A ．1 B.12C.34D.32[解析] (1)∵a ·b ＝0，|a|＝3，∴a·(a ＋b)＝a 2＋a·b ＝|a||a ＋b|cos π4，∴|a ＋b|＝32，将|a ＋b|＝32两边平方可得，a 2＋2a·b ＋b 2＝18，解得|b|＝3，故选D.(2)∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t (a ＋b)(t ∈R)，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c)2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)·a·b ＋t 2b 2， ∵向量a ，b 为单位向量，且a·b ＝－12，∴(a ＋c)2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，∴|a ＋c|≥32，∴|a ＋c|的最小值为32，故选D. [答案] (1)D (2)D考法(二) 平面向量的夹角[典例] (1)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a|＝1，|b|＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( )A.π6 B.5π6C.π4D.3π4(2)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )且b 在a 方向上的投影为－3，则向量a 与b 的夹角为________．[解析] (1)因为|a ＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b ＝1＋1＋4×1×12×cos π3＝3，所以|a ＋2b|＝ 3.又(a ＋2b)·b ＝a·b ＋2|b|2＝1×12×cos π3＋2×14＝14＋12＝34，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝a ＋2b ·b|a ＋2b||b|＝343×12＝32，所以a ＋2b 与b 的夹角为π6.(2)因为b 在a 方向上的投影为－3，所以|b|cos 〈a ，b 〉＝－3，又|a|＝12＋32＝2，所以a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉＝－6，又a·b ＝3＋3m ，所以3＋3m ＝－6，解得m ＝－33，则b ＝(3，－33)，所以|b|＝32＋－332＝6，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝－62×6＝－12，因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以a 与b 的夹角为2π3. [答案] (1)A (2)2π3考法(三) 平面向量的垂直[典例] (1)若非零向量a ，b 满足|a|＝223|b|，且(a －b)⊥(3a ＋2b)，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π(2)已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．[解析] (1)设a 与b 的夹角为θ，因为|a|＝223|b|，(a －b)⊥(3a ＋2b)，所以(a －b)·(3a ＋2b)＝3|a|2－2|b|2－a·b ＝83|b|2－2|b|2－223|b|2cos θ＝0，解得cos θ＝22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4. (2)由AP ―→⊥BC ―→，知AP ―→ ·BC ―→＝0，即AP ―→ ·BC ―→＝(λAB ―→＋AC ―→ )·(AC ―→－AB ―→)＝(λ－1)AB ―→·AC ―→－λAB ―→2＋AC ―→2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. [答案] (1)A (2)712[解题技法]1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．[题组训练]1．(2018·深圳高级中学期中)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n)⊥(m －n)，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1解析：选B ∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝m 2－n 2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B.2．(2018·永州二模)已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b|＝1，|2a －b|＝1，则|a|＝( ) A.12 B ．1 C.2D ．2解析：选A ∵非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b|＝1，∴a·b ＝|a|×1×12＝|a|2，∵|2a －b|＝1，∴|2a －b|2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，∴4|a|2－2|a|＝0，∴|a|＝12，故选A.3．(2019·益阳、湘潭调研)已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a ＋b ＝(1，3)，记向量a ，b 的夹角为θ，则tan θ＝________.解析：∵|a|＝1，|b|＝2，a ＋b ＝(1，3)，∴(a ＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b ＝5＋2a·b ＝1＋3，∴a·b ＝－12，∴cos θ＝a·b |a|·|b|＝－14，∴sin θ＝1－⎝⎛⎭⎫－142＝154，∴tan θ＝sin θcos θ＝－15. 答案：－15[课时跟踪检测]1．已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b·(2a －b)等于( )A ．2B ．－1C ．－6D ．－18解析：选D ∵a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3＝－32，∴a·b ＝－3，b·(2a －b)＝2a·b －b 2＝－18.2．已知平面向量a ＝(－2,3)，b ＝(1,2)，向量λa ＋b 与b 垂直，则实数λ的值为( ) A.413 B ．－413C.54D ．－54解析：选D ∵a ＝(－2,3)，b ＝(1,2)，∴λa ＋b ＝(－2λ＋1,3λ＋2)．∵λa ＋b 与b 垂直，∴(λa ＋b)·b ＝0，∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－54.3．已知向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(2,1)，且a·b ＝0，则|a －b|＝( ) A.6 B.5 C ．2D.3解析：选A 因为|a|＝1，b ＝(2,1)，且a·b ＝0，所以|a －b|2＝a 2＋b 2－2a·b ＝1＋5－0＝6，所以|a －b|＝ 6.故选A.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(a ＋c)∥b ，c ⊥(a ＋b)，则c ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 解析：选D 设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，因为(a ＋c)∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )，即3m ＋2n ＝－7，又c ⊥(a ＋b)，则有3m －n ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋2n ＝－7，3m －n ＝0.解得⎩⎨⎧m ＝－79，n ＝－73.所以c ＝⎝⎛⎭⎫－79，－73. 5．(2018·襄阳调研)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－2，23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析：选C 不妨令i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，则a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，因为它们的夹角为锐角，所以a·b ＝1－2λ>0且a ，b 不共线，所以λ<12且λ≠－2，故选C.6．(2019·石家庄质检)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|＝2|b|，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵|a ＋b|＝|a －b|，∴|a ＋b|2＝|a －b|2，∴a·b ＝0.又|a ＋b|＝2|b |，∴|a ＋b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，∴|a|＝3|b|，cos 〈a ＋b ，a 〉＝a ＋b ·a |a ＋b||a|＝a 2＋a·b |a ＋b||a|＝|a|22|b||a|＝|a|2|b|＝32，故a ＋b 与a 的夹角为π6.7．(2018·宝鸡质检)在直角三角形ABC 中，角C 为直角，且AC ＝BC ＝1，点P 是斜边上的一个三等分点，则CP ―→·CB ―→＋CP ―→·CA ―→＝( )A ．0B ．1 C.94D ．－94解析：选B 以点C 为坐标原点，分别以CA ―→，CB ―→的方向为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则C (0,0)，A (1，0)，B (0,1)，不妨设P ⎝⎛⎭⎫13，23，所以CP ―→·CB ―→＋CP ―→·CA ―→＝CP ―→·(CB ―→＋CA ―→)＝13＋23＝1.故选B.8．(2019·武汉调研)已知平面向量a ，b ，e 满足|e|＝1，a·e ＝1，b·e ＝－2，|a ＋b|＝2，则a·b 的最大值为( )A ．－1B ．－2C ．－52D ．－54解析：选D 不妨设e ＝(1,0)，则a ＝(1，m )，b ＝(－2，n )(m ，n ∈R)，则a ＋b ＝(－1，m ＋n )，所以|a ＋b|＝1＋m ＋n2＝2，所以(m ＋n )2＝3，即3＝m 2＋n 2＋2mn ≥2mn ＋2mn＝4mn ，当且仅当m ＝n 时等号成立，所以mn ≤34，所以a·b ＝－2＋mn ≤－54，综上可得a·b 的最大值为－54.9．已知平面向量a ，b 满足a·(a ＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a 与b 的夹角的正弦值为________．解析：∵a·(a ＋b)＝a 2＋a ·b ＝22＋2×1×cos 〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝32. 答案：3210．(2018·湖北八校联考)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且|a|＝1，|b|＝2，若(λa ＋b)⊥(a －2b)，则λ＝________.解析：∵|a|＝1，|b|＝2，且a ，b 的夹角为2π3，∴a ·b ＝1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，又∵(λa ＋b)⊥(a －2b)，∴(λa ＋b)·(a －2b)＝0，即(λa ＋b)·(a －2b)＝λa 2－2b 2＋(1－2λ)a·b ＝λ－8－(1－2λ)＝0，解得λ＝3.答案：311．(2018·合肥一检)已知平面向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，|a ＋b|＝3，则a 在b 方向上的投影等于________．解析：∵|a|＝1，|b|＝2，|a ＋b|＝3， ∴(a ＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b ＝5＋2a·b ＝3， ∴a·b ＝－1，∴a 在b 方向上的投影为a·b |b|＝－12.答案：－1212.如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ―→＝4AC ―→，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝________.解析：由已知得|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝24，则OC ―→ ·(OB ―→－OA ―→ )＝(OA ―→＋AC ―→ )·AB ―→＝OA ―→ ·AB ―→＋AC ―→ ·AB ―→＝ 2 c os 3π4＋24 ×2＝－12. 答案：－1213．(2019·南昌质检)设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，且|2a －b|＝ 5. (1)求|2a －3b|的值；(2)求向量3a －b 与a －2b 的夹角θ.解：(1)∵|2a －b|2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝4－4a·b ＋1＝5，∴a·b ＝0， ∴|2a －3b|＝4a 2－12a·b ＋9b 2＝4＋9＝13.(2)cos θ＝3a －b ·a －2b |3a －b||a －2b|＝3a 2＋2b 29a 2＋b 2×a 2＋4b 2＝510×5＝22， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.。

苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积及其应用教案理解析版

１．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a 和b，作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB 就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤１80°θ＝0°或θ＝１80°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b２．平面向量的数量积设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b.３．向量数量积的运算律（１）a·b＝b·a.（２）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）．（３）（a＋b）·c＝a·c＋b·c.４．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝错误!|a|＝错误!夹角cos θ＝错误!cos θ＝错误!a⊥b的充要条件a·b＝0x１x２＋y１y２＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x１x２＋y１y２|≤错误![小题体验]１．已知|a|＝２，|b|＝6，a·b＝—6错误!，则a与b的夹角θ为________．答案：错误!２．已知向量a＝（—１,３），b＝（１，t），若（a—２b）⊥a，则|b|＝________.解析：因为a＝（—１,３），b＝（１，t），所以a—２b＝（—３,３—２t）．因为（a—２b）⊥a，所以（a—２b）·a＝0，即（—１）×（—３）＋３（３—２t）＝0，即t＝２，所以b＝（１,２），所以|b|＝错误!＝错误!.答案：错误!３．已知两个单位向量e１，e２的夹角为错误!，若向量b１＝e１—２e２，b２＝３e１＋４e２，则b１·b＝________.２解析：由b１＝e１—２e２，b２＝３e１＋４e２，得b１·b２＝（e１—２e２）·（３e１＋４e２）＝３e错误!—２e１·e２—8e错误!.因为e１，e２为单位向量，〈e１，e２〉＝错误!，所以b１·b２＝３—２×错误!—8＝—6．答案：—6１．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c（a≠0）不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．２．两个向量的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立．３．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.４．在用|a|＝错误!求向量的模时，一定要把求出的a２再进行开方．[小题纠偏]１．给出下列说法：１向量b在向量a方向上的投影是向量；２若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角，若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角；３（a·b）c＝a（b·c）；４若a·b＝0，则a＝0或b＝0.其中正确的说法有________个．答案：0２．已知向量错误!＝错误!，错误!＝错误!，则∠ABC＝________.解析：因为错误!＝错误!，错误!＝错误!，所以错误!·错误!＝错误!＋错误!＝错误!.所以cos∠ABC＝错误!＝错误!，又0°≤∠ABC≤１80°，所以∠ABC＝３0°.答案：３0°３．已知平面向量a与b的夹角为错误!，a＝（１，错误!），|a—２b|＝２错误!，则|b|＝________.解析：因为a＝（１，错误!），所以|a|＝２，又|a—２b|＝２错误!，即|a|２—４a·b＋４|b|２＝１２，故２２—４×２×|b|×cos 错误!＋４|b|２＝１２，化简得|b|２—|b|—２＝0，所以|b|＝２．答案：２错误!错误![题组练透]１．设a＝（１，—２），b＝（—３,４），c＝（３,２），则（a＋２b）·c＝________.解析：因为a＋２b＝（１，—２）＋２（—３,４）＝（—５,6），所以（a＋２b）·c＝（—５,6）·（３,２）＝—３．答案：—３２．（２0１8·南京高三年级学情调研）在△ABC中，AB＝３，AC＝２，∠BAC＝１２0°，错误!＝λ错误!.若错误!·错误!＝—错误!，则实数λ＝________.解析：因为错误!＝错误!—错误!，错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋λ错误!＝错误!＋λ（错误!—错误!）＝（１—λ）错误!＋λ错误!，错误!·错误!＝２×３×cos １２0°＝—３．所以错误!·错误!＝（λ—１）错误!２＋λ错误!２＋（１—２λ）错误!·错误!＝１9λ—１２＝—错误!，所以λ＝错误!.答案：错误!３．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝（—２，—6），|b|＝错误!，则a·b＝________.解析：因为a＝（—２，—6），所以|a|＝错误!＝２错误!，又|b|＝错误!，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝２错误!×错误!×错误!＝１0．答案：１0４．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝２，D为BC的中点，则错误!·错误!＝________.解析：法一：由题意知，AC＝BC＝２，AB＝２错误!，所以错误!·错误!＝错误!·（错误!＋错误!）＝错误!·错误!＋错误!·错误!＝|错误!|·|错误!|cos ４５°＋|错误!|·|错误!|cos ４５°＝２错误!×２×错误!＋２错误!×１×错误!＝6．法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A（0,２），B（—２,0），D（—１,0），所以错误!＝（—２,0）—（0,２）＝（—２，—２），错误!＝（—１,0）—（0,２）＝（—１，—２），所以错误!·错误!＝—２×（—１）＋（—２）×（—２）＝6．答案：6[谨记通法]向量数量积的２种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cosθ适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题法求解，即若a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a·b ＝x１x２＋y１y２错误!错误![锁定考向]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为填空题．常见的命题角度有：（１）平面向量的模；（２）平面向量的夹角；（３）平面向量的垂直．[题点全练]角度一：平面向量的模１．（２0１8·苏州高三暑假测试）已知平面向量a＝（２,１），a·b＝１0，若|a＋b|＝５错误!，则|b|＝________.解析：因为a＝（２,１），所以|a|＝错误!，又|a＋b|＝５错误!，所以a２＋２a·b＋b２＝５0，所以b ２＝２５，所以|b|＝５．答案：５角度二：平面向量的夹角２．（２0１8·太湖高级中学检测）已知|a|＝１，|b|＝错误!，且a⊥（a—b），则向量a与向量b的夹角为________．解析：因为a⊥（a—b），所以a·（a—b）＝a２—a·b＝１—错误!cos a，b＝0，所以cos a，b＝错误!，所以a，b＝错误!.答案：错误!３．（２0１9·启东中学检测）已知平面向量α，β满足|β|＝１，且α与β—α的夹角为１２0°，则α的模的取值范围是________．解析：如图，在△ABC中，设错误!＝β，错误!＝α，则错误!＝错误!—错误!＝β—α.因为α与β—α的夹角为１２0°，所以A＝60°.由正弦定理得错误!＝错误!，则BA＝错误!sin C．又0＜sin C≤１，所以0＜BA≤错误!，故α的模的取值范围是错误!.答案：错误!角度三：平面向量的垂直４．在平面直角坐标系xOy中，已知向量错误!＝（6,１），错误!＝（x，y），错误!＝（—２，—３），且错误!∥错误!.（１）求x与y之间的关系式；（２）若错误!⊥错误!，求四边形ABCD的面积．解：（１）由题意得错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝（x＋４，y—２），错误!＝（x，y）．因为错误!∥错误!，所以（x＋４）y—（y—２）x＝0，即x＋２y＝0．（２）由题意得错误!＝错误!＋错误!＝（x＋6，y＋１），错误!＝错误!＋错误!＝（x—２，y—３）．因为错误!⊥错误!，所以（x＋6）（x—２）＋（y＋１）（y—３）＝0，即x２＋y２＋４x—２y—１５＝0，联立错误!解得错误!或错误!当错误!时，错误!＝（8,0），错误!＝（0，—４），S四边形ABCD＝错误!AC·BD＝１6；当错误!时，错误!＝（0,４），错误!＝（—8,0），S四边形ABCD＝错误!AC·BD＝１6．所以四边形ABCD的面积为１6．[通法在握]平面向量数量积求解问题的策略（１）求两向量的夹角：cos θ＝错误!，要注意θ∈[0，π]．（２）求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：１a２＝a·a＝|a|２或|a|＝错误!.２|a±b|＝错误!＝错误!.３若a＝（x，y），则|a|＝错误!.（３）两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a—b|＝|a＋b|.[演练冲关]１．（２0１9·海安模拟）已知平面向量a与b的夹角等于错误!，若|a|＝２，|b|＝３，则|２a—３b|＝________.解析：由题意可得a·b＝|a|·|b|cos 错误!＝３，所以|２a—３b|＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!２．已知向量a，b满足a＝（４，—３），|b|＝１，|a—b|＝错误!，则向量a，b的夹角为________．解析：易知|b|＝１，|a|＝５，对|a—b|＝错误!两边平方，整理得２a·b＝５，即２|a||b|cos θ＝５，解得cos θ＝错误!，则向量a，b的夹角为错误!.答案：错误!３．已知向量错误!与错误!的夹角为１２0°，且|错误!|＝３，|错误!|＝２．若错误!＝λ错误!＋错误!，且错误!⊥错误!，则实数λ的值为________．解析：错误!＝错误!—错误!，由于错误!⊥错误!，所以错误!·错误!＝0，即（λ错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝—λ错误!２＋错误!２＋（λ—１）错误!·错误!＝—9λ＋４＋（λ—１）×３×２×错误!＝0，解得λ＝错误!.答案：错误!错误!错误![典例引领]（２0１8·启东高三期中）已知向量a＝（sin x,２），b＝（cos x，１），函数f（x）＝a·b.（１）若a∥b，求tan错误!的值；（２）求函数y＝f错误!，x∈错误!的最小值和最大值．解：（１）由a∥b，得sin x＝２cos x．所以tan x＝２．所以tan错误!＝错误!＝—３．（２）因为f（x）＝a·b＝sin x·cos x＋２＝错误!sin ２x＋２，所以y＝f错误!＝错误!sin错误!＋２．因为x∈错误!，所以２x—错误!∈错误!，从而—错误!≤sin错误!≤１．于是，当２x—错误!＝—错误!，即x＝0时，函数y＝f错误!有最小值错误!，当２x—错误!＝错误!，即x＝错误!时，函数y＝f错误!有最大值错误!.[由题悟法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路（１）题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．（２）给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等．[即时应用]已知向量m＝（错误!cos x，—１），n＝（sin x，cos２x）．（１）当x＝错误!时，求m·n的值；（２）若x∈错误!，且m·n＝错误!—错误!，求cos ２x的值．解：（１）当x＝错误!时，m＝错误!，n＝错误!，所以m·n＝错误!—错误!＝错误!.（２）m·n＝错误!cos x sin x—cos２x＝错误!sin ２x—错误!cos ２x—错误!＝sin错误!—错误!.若m·n＝错误!—错误!，则sin错误!—错误!＝错误!—错误!，即sin错误!＝错误!.因为x∈错误!，所以—错误!≤２x—错误!≤错误!，所以cos错误!＝错误!，则cos ２x＝cos错误!＝cos错误!cos错误!—sin错误!sin错误!＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·海门模拟）向量a＝（３,４）在向量b＝（１，—１）方向上的投影为________．解析：∵向量a＝（３,４），b＝（１，—１），∴向量a在向量b方向上的投影为|a|cos θ＝错误!＝错误!＝—错误!.答案：—错误!２．（２0１8·江苏百校联盟联考）已知平面向量a，b的夹角为错误!，且a·（a—b）＝8，|a|＝２，则|b|＝________.解析：因为a·（a—b）＝8，所以a·a—a·b＝8，即|a|２—|a||b|cos a，b＝8，所以４＋２|b|×错误!＝8，解得|b|＝４．答案：４３．（２0１8·苏州期末）已知a＝（m,２），b＝（１，n），m＞0，n＞0，且|a|＝４，|b|＝２，则向量a与b的夹角是________．解析：设向量a与b的夹角是θ，θ∈[0，π]，∵a＝（m,２），b＝（１，n），m＞0，n＞0，且|a|＝４，|b|＝２，∴m２＋４＝１6,１＋n２＝４，解得m＝２错误!，n＝错误!.∴a·b＝m＋２n＝４错误!＝４×２×cos θ，∴cos θ＝错误!，则向量a与b的夹角是错误!.答案：错误!４．（２0１8·滨海期末）已知向量a＝（—１,３），b＝（３，t），若a⊥b，则|２a＋b|＝________.解析：∵向量a＝（—１,３），b＝（３，t），a⊥b，∴a·b＝—３＋３t＝0，解得t＝１，∴b＝（３,１），２a＋b＝（１,7），故|２a＋b|＝错误!＝５错误!.答案：５错误!５．（２0１8·淮安高三期中）在平行四边形ABCD中，AB＝２，AD＝１，∠ABC＝60°，则错误!·错误!＝________.解析：由题意得错误!＝错误!＋错误!，所以错误!·错误!＝错误!·（错误!＋错误!）＝错误!２＋错误!·错误!＝４＋２×１×cos １２0°＝３．答案：３6．（２0１8·南通一调）已知边长为6的正三角形ABC，错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，AD 与BE交于点P，则错误!·错误!的值为________．解析：如图，以D为原点，以BC为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，则B（—３,0），C（３,0），D（0,0），A（0，３错误!），E（１, ２错误!），P错误!，所以错误!·错误!＝|错误!|２＝错误!２＝错误!.答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１8·淮安调研）已知向量a＝（１，x），b＝（—１，x），若２a—b与b垂直，则|a|＝________.解析：由已知得２a—b＝（３，x），而（２a—b）·b＝0⇒—３＋x２＝0⇒x２＝３，所以|a|＝错误!＝错误!＝２．答案：２２．（２0１9·如皋模拟）已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝（３,４），|b|＝１，则|a—２b|＝________.解析：∵a＝（３,４），∴|a|＝错误!＝５，又|b|＝１，∴a·b ＝|a|·|b|cos 60°＝５×１×错误!＝错误!，∴|a—２b|２＝a２＋４b２—４a·b＝２５＋４—１0＝１9，则|a—２b|＝错误!.答案：错误!３．（２0１8·苏北四市期末）已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与２a—b夹角的余弦值为________．解析：因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以a２＝b２＝a２＋２a·b＋b２，a·b＝—错误!a２＝—错误!b２，所以a·（２a—b）＝２a２—a·b＝错误!a２，|２a—b|＝错误!＝错误!＝错误!|a|，cos〈a,２a—b〉＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!４．（２0１8·泰州中学高三学情调研）矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且满足PA ＝３，PC＝４，矩形对角线AC＝6，则错误!·错误!＝________.解析：由题意可得错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝错误!２＋错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!＝9＋错误!·（错误!＋错误!）＋0＝9＋错误!·错误!＝9＋３×6×cos（π—∠PAC）＝9—１8×错误!＝9—１8×错误!＝—错误!.答案：—错误!５．（２0１8·苏锡常镇调研）已知菱形ABCD边长为２，∠B＝错误!，点P满足错误!＝λ错误!，λ∈R，若错误!·错误!＝—３，则λ＝________.解析：法一：由题意可得错误!·错误!＝２×２cos 错误!＝２，错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝（错误!＋错误!）·[（错误!—错误!）—错误!]＝（错误!＋错误!）·[（λ—１）·错误!—错误!]＝（１—λ）错误!２—错误!·错误!＋（１—λ）错误!·错误!—错误!２＝（１—λ）·４—２＋２（１—λ）—４＝—6λ＝—３，所以λ＝错误!.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B（２,0），C（１，错误!），D（—１，错误!）．令P（x,0），由错误!·错误!＝（—３，错误!）·（x—１，—错误!）＝—３x＋３—３＝—３x＝—３得x＝１．因为错误!＝λ错误!，所以λ＝错误!.答案：错误!6．（２0１8·苏北四市调研）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝３，OC＝５．若错误!·错误!＝—7，则错误!·错误!＝________.解析：错误!·错误!＝（错误!—错误!）·（错误!—错误!）＝（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝错误!２—错误!２，同理，错误!·错误!＝错误!２—错误!２＝—7，所以错误!·错误!＝错误!２—错误!２＝错误!２—错误!２—7＝9．答案：97．（２0１9·崇川一模）若非零向量a与b满足|a|＝|a ＋b|＝２，|b|＝１，则向量a与b夹角的余弦值为________．解析：∵非零向量a与b满足|a|＝|a＋b|＝２，|b|＝１，∴|a|２＝|a＋b|２＝|a|２＋|b|２＋２a·b，即a·b＝—错误!|b|２＝—错误!×１２＝—错误!，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝错误!＝错误!＝—错误!，∴向量a与b夹角的余弦值为—错误!.答案：—错误!8．（２0１8·盐城期中）如图，在四边形ABCD中，A＝错误!，AB＝２，AD＝３，分别延长CB，CD至点E，F，使得错误!＝λ错误!，错误!＝λ错误!，其中λ＞0，若错误!·错误!＝１５，则λ的值为________．解析：∵错误!＝错误!—错误!＝λ错误!—λ错误!＝λ错误!＝λ（错误!—错误!），∴错误!·错误!＝λ（错误!—错误!）·错误!＝λ（错误!２—错误!·错误!）＝λ（9—３）＝１５，∴λ＝错误!.答案：错误!9．（２0１9·通州调研）设两个向量a，b不共线．（１）若错误!＝a＋b，错误!＝２a＋8b，错误!＝３（a—b），求证：A，B，D三点共线；（２）若|a|＝２，|b|＝３，a，b的夹角为60°，求使向量k a＋b与a＋k b垂直的实数k的值．解：（１）证明：∵错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝（a＋b）＋（２a＋8b）＋３（a—b）＝6（a＋b）＝6错误!，∴错误!与错误!共线，且有公共点A，∴A，B，D三点共线．（２）∵k a＋b与a＋k b垂直，∴（k a＋b）·（a＋k b）＝0，∴k a２＋（k２＋１）|a||b|·cos 60°＋k b２＝0，即３k２＋１３k＋３＝0，解得k＝错误!.１0．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，错误!＝２错误!.（１）若四边形ABCD是矩形，求错误!·错误!的值；（２）若四边形ABCD是平行四边形，且错误!·错误!＝6，求错误!与错误!夹角的余弦值．解：（１）因为四边形ABCD是矩形，所以错误!⊥错误!，即错误!·错误!＝0，又AB＝9，BC＝6，错误!＝２错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!＝错误!—错误!错误!，所以错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!２—错误!错误!·错误!—错误!错误!２＝6２—错误!×9２＝１8．（２）设错误!与错误!的夹角为θ，由（１）得，错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!２—错误!错误!·错误!—错误!错误!２＝6２—错误!×9×6×cos θ—错误!×9２＝6，所以cos θ＝错误!.故错误!与错误!夹角的余弦值为错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·徐州高三年级期中考试）如图，在半径为２的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P为AB上的一点，若错误!·错误!＝２，则错误!·错误!＝________.解析：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（２,0），B（0,２），设P（x，y），由错误!·错误!＝２，可得２x＝２，x＝１，P为A错误!上的一点，所以|错误!|＝２，所以P（１，错误!），错误!＝（１，错误!），又错误!＝（—２,２），所以错误!·错误!＝—２＋２错误!.答案：—２＋２错误!２．（２0１8·南通、扬州、泰州、淮安调研）如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若错误!＝３，错误!＝５，则（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）的值为________．解析：法一：因为错误!＝错误!＋错误!，所以错误!＋错误!＝２错误!＋错误!，而错误!—错误!＝错误!，由于错误!⊥错误!，所以错误!·错误!＝0，所以（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝（２错误!＋错误!）·错误!＝２错误!·错误!，又因为Q是BC的中点，所以２错误!＝错误!＋错误!，故２错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝错误!２—错误!２＝9—２５＝—１6．法二：由题意得△ABC是不确定的，而最后的结果是唯一的，因此取AB⊥BC，从而P为AC的中点．又|错误!|＝３，|错误!|＝５，所以|错误!|＝４，cos∠BAC＝错误!，故错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!，从而（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝错误!·（错误!—错误!）＝错误!错误!２＋错误!错误!·错误!—错误!２＝错误!×9＋错误!×３×５×错误!—２５＝—１6．答案：—１6３．（２0１9·姜堰中学调研）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝（cos （A—B），sin（A—B）），n＝（cos B，—sin B），且m·n＝错误!.（１）求sin A的值；（２）若a＝４错误!，b＝５，AD⊥BC于D，求错误!·错误!的值．解：（１）由m·n＝错误!，得cos（A—B）cos B—sin（A—B）·sin B＝错误!，所以cos A＝错误!.因为0＜A＜错误!，所以sin A＝错误!＝错误!.（２）由正弦定理，得错误!＝错误!，则sin B＝错误!＝错误!＝错误!.因为0＜B＜错误!，所以B＝错误!，所以sin C＝sin（A＋B）＝错误!（sin A＋cos A）＝错误!.又|错误!|＝|错误!|sin C＝５×错误!＝错误!，所以错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·错误!＝—错误!２＝—|错误!|２＝—错误!.命题点一平面向量基本定理１．（２0１8·全国卷Ⅰ改编）在△ABC中，错误!＝a，错误!＝b，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则错误!＝________.（用a，b表示）解析：由题知错误!＝错误!＋错误!＝—错误!错误!＋错误!＝—错误!错误!＋错误!＝错误!错误!—错误!错误!＝错误!a—错误!b.答案：错误!a—错误!b２．（２0１8·全国卷Ⅲ）已知向量a＝（１,２），b＝（２，—２），c＝（１，λ）．若c∥（２a＋b），则λ＝________.解析：由题易得２a＋b＝（４,２），因为c∥（２a＋b），所以４λ＝２，解得λ＝错误!.答案：错误!３．（２0１7·江苏高考）如图，在同一个平面内，向量错误!，错误!，错误!的模分别为１,１，错误!，错误!与错误!的夹角为α，且tan α＝7，错误!与错误!的夹角为４５°.若错误!＝m错误!＋n错误!（m，n∈R），则m＋n＝________.解析：如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（１，0），由tan α＝7，α∈错误!，得sin α＝错误!，cos α＝错误!，设C（x C，y C），B（x B，y B），则x C＝|错误!|cos α＝错误!×错误!＝错误!，y C＝|错误!|sin α＝错误!×错误!＝错误!，即C错误!.又cos（α＋４５°）＝错误!×错误!—错误!×错误!＝—错误!，sin（α＋４５°）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!，则x B＝|错误!|cos（α＋４５°）＝—错误!，y B＝|错误!|sin（α＋４５°）＝错误!，即B错误!.由错误!＝m错误!＋n错误!，可得错误!解得错误!所以m＋n＝错误!＋错误!＝３．答案：３４．（２0１５·江苏高考）已知向量a＝（２,１），b＝（１，—２），若m a＋n b＝（9，—8）（m，n ∈R），则m—n的值为________．解析：因为m a＋n b＝（２m＋n，m—２n）＝（9，—8），所以错误!所以错误!所以m—n＝２—５＝—３．答案：—３命题点二平面向量的数量积１．（２0１6·江苏高考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，错误!·错误!＝４，错误!·错误!＝—１，则错误!·错误!的值是________．解析：由题意，得错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝（错误!＋错误!）·（—错误!＋错误!）＝错误!２—错误!２＝|错误!|２—|错误!|２＝—１，１错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝（错误!＋３错误!）·（—错误!＋３错误!）＝9错误!２—错误!２＝9|错误!|２—|错误!|２＝４．２由１２得|错误!|２＝错误!，|错误!|２＝错误!.所以错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝（错误!＋２错误!）·（—错误!＋２错误!）＝４错误!２—错误!２＝４|错误!|２—|错误!|２＝４×错误!—错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１４·江苏高考）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝５，错误!＝３错误!，错误!·错误!＝２，则错误!·错误!的值是________．解析：因为错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!＝错误!—错误!错误!，所以错误!·错误!＝错误!·错误!＝|错误!|２—错误!|错误!|２—错误!错误!·错误!＝２，将AB＝8，AD＝５代入解得错误!·错误!＝２２．答案：２２３．（２0１8·全国卷Ⅱ改编）已知向量a，b满足|a|＝１，a·b＝—１，则a·（２a—b）＝________.解析：a·（２a—b）＝２a２—a·b＝２|a|２—a·b.∵|a|＝１，a·b＝—１，∴原式＝２×１２＋１＝３．答案：３４．（２0１8·北京高考）设向量a＝（１,0），b＝（—１，m）．若a⊥（m a—b），则m＝________.解析：因为a＝（１,0），b＝（—１，m），所以m a—b＝（m＋１，—m）．由a⊥（m a—b），得a·（m a—b）＝0，即m＋１＝0，所以m＝—１．答案：—１５．（２0１8·天津高考改编）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝１２0°，AB＝AD＝１．若点E为边CD上的动点，则错误!·错误!的最小值为________．解析：如图，以D为坐标原点建立平面直角坐标系，连接AC.由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝３0°，则D（0,0），A（１,0），B错误!，C（0，错误!）．设E（0，y）（0≤y≤错误!），则错误!＝（—１，y），错误!＝错误!，∴错误!·错误!＝错误!＋y２—错误!y＝错误!２＋错误!，∴当y＝错误!时，错误!·错误!有最小值错误!.答案：错误!6．（２0１7·北京高考）已知点P在圆x２＋y２＝１上，点A的坐标为（—２,0），O为原点，则错误!·错误!的最大值为________．解析：法一：由题意知，错误!＝（２,0），令P（cos α，sin α），则错误!＝（cos α＋２，sin α），错误!·错误!＝（２,0）·（cos α＋２，sin α）＝２cos α＋４≤6，当且仅当cos α＝１，即α＝0，P（１,0）时“＝”成立，故错误!·错误!的最大值为6．法二：由题意知，错误!＝（２,0），令P（x，y），—１≤x≤１，则错误!·错误!＝（２,0）·（x＋２，y）＝２x＋４≤6，当且仅当x＝１，P（１,0）时“＝”成立，故错误!·错误!的最大值为6．答案：67．（２0１6·全国卷Ⅰ）设向量a＝（m,１），b＝（１,２），且|a＋b|２＝|a|２＋|b|２，则m＝________.解析：因为|a＋b|２＝|a|２＋|b|２＋２a·b＝|a|２＋|b|２，所以a·b＝0．又a＝（m,１），b＝（１,２），所以m＋２＝0，所以m＝—２．答案：—２8．（２0１7·江苏高考）已知向量a＝（cos x，sin x），b＝（３，—错误!），x∈[0，π]．（１）若a∥b，求x的值；（２）记f（x）＝a·b，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．解：（１）因为a＝（cos x，sin x），b＝（３，—错误!），a∥b，所以—错误!cos x＝３sin x.则tan x＝—错误!.又x∈[0，π]，所以x＝错误!.（２）f（x）＝a·b＝（cos x，sin x）·（３，—错误!）＝３cos x—错误!sin x＝２错误!cos错误!.因为x∈[0，π]，所以x＋错误!∈错误!，从而—１≤cos错误!≤错误!.于是，当x＋错误!＝错误!，即x＝0时，f（x）取到最大值３；当x＋错误!＝π，即x＝错误!时，f（x）取到最小值—２错误!.。

(完整版)《平面向量的数量积》教学设计及反思

《平面向量的数量积》教学设计及反思交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。

向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。

一、总体设想：本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。

教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。

二、教学目标：1.了解向量的数量积的抽象根源。

2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算三、重、难点：【重点】1.平面向量数量积的概念和性质2.平面向量数量积的运算律的探究和应用【难点】平面向量数量积的应用四、课时安排：2课时五、教学方案及其设计意图：1．平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。

首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为Wθ⋅F，这里的θ是矢量F和s的夹角，也即是两个=scos⋅向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。

这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b的数量积的概念。

2．平面向量数量积（内积）的定义已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义a⋅b = |a||b|cosθ无法得到，因此另外进行了规定。

2019届高考数学复习平面向量第三节平面向量的数量积及应用举例夯基提能作业本文

第三节平面向量的数量积及应用举例A组基础题组1.已知向量a,b均为单位向量,若它们的夹角是60°,则|a-3b|=( )A.3B.2C. D.2.(2018云南第一次统一检测)在▱ABCD中,||=8,||=6,N为DC的中点,=2,则·=( )A.48B.36C.24D.123.已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=,|b|=2,在△ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D为BC的中点,则||等于( )A.2B.4C.6D.84.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=·,I2=·,I3=·,则( )A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I35.设单位向量e1,e2的夹角为,a=e1+2e2,b=2e1-3e2,则b在a方向上的投影为.6.(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是.7.(2017河北石家庄质量检测(一))已知与的夹角为90°,||=2,||=1,=λ+μ(λ,μ∈R),且·=0,则的值为.8.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.9.如图,已知O为坐标原点,向量=(3cos x,3sin x),=(3cos x,sin x),=(,0),x∈.(1)求证:(-)⊥;(2)若△ABC是等腰三角形,求x的值.B组提升题组1.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a-b的夹角为( )A. B. C. D.2.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为.3.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|;(3)若=a,=b,求△ABC的面积.4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cos B,-sin B),且m·n=-.(1)求sin A的值;(2)若a=4,b=5,求角B的大小及向量在方向上的投影.答案精解精析A组基础题组1.D (a-3b)2=|a|2-6a·b+9|b|2=1-6cos 60°+9=7,∴|a-3b|=,故选D.2.C ·=(+)·(+)=·=-=×82-×62=24,故选C.3.A 因为=(+)=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以||2=4(a-b)2=4(a2-2b·a+b2)=4×=4,则||=2.4.C 解法一:因为AB=BC,AB⊥BC,∴∠BCO=45°.过B作BE⊥AC于E,则∠EBC=45°.因为AD<DC,所以D、A在BE所在直线的同侧,从而∠DBC>45°,又∠BCO=45°,∴∠BOC为锐角.从而∠AOB为钝角,所以∠DOC为钝角.故I1<0,I3<0,I2>0.又OA<OC,OB<OD,故可设=-λ1(λ1>1),=-λ2(λ2>1),从而I3=·=λ1λ2·=λ1λ2I1,又λ1λ2>1,I1<0,∴I3<I1<0,∴I3<I1<I2.故选C.解法二:如图,建立直角坐标系,则B(0,0),A(0,2),C(2,0).设D(m,n),由AD=2和CD=3,得从而有n-m=>0,∴n>m.从而∠DBC>45°,又∠BCO=45°,∴∠BOC为锐角.从而∠AOB为钝角.故I1<0,I3<0,I2>0.又OA<OC,OB<OD,故可设=-λ1(λ1>1),=-λ2(λ2>1),从而I3=·=λ1λ2·=λ1λ2I1,又λ1λ2>1,I1<0,I3<0,∴I3<I1,∴I3<I1<I2.故选C.5.答案-解析依题意得e 1·e2=1×1×cos=-,|a|===,a·b=(e1+2e2)·(2e1-3e2)=2-6+e1·e2=-,因此b在a方向上的投影为==-.6.答案解析由题意不妨设e 1=(1,0),e2=(0,1),则e1-e2=(,-1),e1+λe2=(1,λ).根据向量的夹角公式得cos 60°===,所以-λ=,解得λ=.7.答案解析根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(0,2),C(1,0),所以=(0,2),=(1,0),=(1,-2).设M(x,y),则=(x,y),所以·=(x,y)·(1,-2)=x-2y=0,所以x=2y,又=λ+μ,即(x,y)=λ(0,2)+μ(1,0)=(μ,2λ),所以x=μ,y=2λ,所以==.8.解析(1)∵m⊥n,∴m·n=0,故sin x-cos x=0,∴tan x=1.(2)∵m与n的夹角为,∴cos<m,n>===,故sin=.又x∈,∴x-∈,则x-=,即x=,故x的值为.9.解析(1)证明:∵-=(0,2sin x),∴(-)·=0×+2sin x×0=0,∴(-)⊥.(2)△ABC是等腰三角形,则AB=BC,∴(2sin x)2=(3cos x-)2+sin2x,整理得2cos2x-cos x=0,解得cos x=0或cos x=.∵x∈,∴cos x=,x=.B组提升题组1.D 由|a+b|=|a-b|可知a⊥b,设=b,=a,如图,作矩形ABCD,连接AC,BD,可知=a+b,=a-b,设AC与BD的交点为O,结合题意可知OA=OD=AD,∴∠AOD=,∴∠DOC=,又向量a+b与a-b的夹角为与的夹角,故所求夹角为,选D.2.答案解析由=2得=+,所以·=·(λ-)=λ·-+λ-·,又·=3×2×cos 60°=3,=9,=4,所以·=λ-3+λ-2=λ-5=-4,解得λ=.3.解析(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64-4a·b-27=61,所以a·b=-6,所以cos θ===-.又0≤θ≤π,所以θ=π.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13.所以|a+b|=.(3)因为与的夹角θ=π,所以∠ABC=π-=.又||=|a|=4,||=|b|=3,所以S△ABC=||||·sin∠ABC=×4×3×=3.4.解析(1)由m·n=-,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-,所以cos A=-,因为0<A<π,所以sin A===.(2)由正弦定理,得=,则sin B===,因为a>b,所以A>B,且B是△ABC一内角,则B=.由余弦定理得(4)2=52+c2-2×5c×,解得c=1,c=-7(舍去),故向量在方向上的投影为||cos B=ccos B=1×=.。

江苏专版2019版高考数学一轮复习第五章平面向量5.2平面向量的数量积课件

1 . 所以AB的长为 2 1 2
2
答案
A Q =(1A P =λ A B , 例4 (1)已知△ABC为等边三角形,AB=2.设点P,Q满足

BQ· C P =- A C ,λ∈R.若 λ ) ,则λ=
2

3
.
(2)(2017江苏丹阳期中,12)在平面直角坐标系中,A(0,0),B(1,2)两点绕定
(3)cos θ=
a b | a || b |
.
三、平面向量数量积的坐标表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b= x1x2+y1y2 .
拓展延伸
(1)当a≠0时,由a· b=0不一定推出b=0,这是因为对任一个与a垂直的向量b,都有a· b=0. 当a≠0时,由a· b=a· c也不一定推出b=c,这是因为由a· b=a· c得a· (b-c)=0,则 b=c或a与(b-c)垂直. (2)数量积的运算不满足结合律,即(a· b)· c不一定等于a· (b· c),这是由于(a· b)· c表示一个与c共线的向量,a· (b· c)表示一个与a共线的向量,这两个向
点P顺时针方向旋转θ后,分别到A‘(4,4),B’(5,2)的位置,则cos θ的值为
.
解析 (1)如图,
A Q - B Q = A B , A P - C P = AC ,
BQ · C P =- ∵ ,
2

3
A Q - A B )· A P - A C )=- ∴( ( ,
|a | |b 而|a||b|≤ 2
1 2
.
|
2

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一、填空题
1．已知点A (－1,0)、B (1,3)，向量a ＝(2 －1,2)，若AB →⊥a ，则实数的值为________．
解析：AB →＝(2,3)，a ＝(2 －1,2)，由AB →⊥a 得2×(2 －1)＋6＝0，解得＝－1. 答案：－1
2．已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，则△ABC 的形状是________．
解析：AB →＝(1,1)，AC →＝(－3,3)，知AB →·AC →＝0，
故△ABC 是直角三角形．
答案：直角三角形
3．设O 为△ABC 的外心，OD ⊥BC 于D ，且|AB →|＝3，|AC →|＝1，则AD →·(AB →－AC →)
的值是________．
解析：由已知，D 为BC 的中点，AD →＝12(AB →＋AC →)，
∴AD →·(AB →－AC →)＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)
＝12(|AB →|2－|AC →|2)＝1.
答案：1
4．设向量a ＝(cos 55°，sin 55°)，b ＝(cos 25°，sin 25°)，若t 是实数，则|a －t b |的最小值为________．
解析：因为|a －t b |＝(a －t b )2＝|a |2＋|t b |2－2t a ·b ＝1＋t 2－2ta ·b ，而a ·b ＝(cos 55°，sin 55°)·(cos 25°，sin 25°)
＝cos 55°×cos 25°＋sin 55°×sin 25°
＝cos (55°－25°)＝32，
所以|a －t b |＝
1＋t 2－2t a ·b ＝t 2－3t ＋1 ＝(t －32)2＋14，故|a －t b |的最小值为12.
25．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是________．解析：a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，而cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－23，∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝6×(－23)＝－4.
答案：－4
6．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj 且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．
解析：a ·b ＝(i －2j )·(i ＋λj )＝1－2λ>0，λ<12，
又a 、b 同向共线时，a ·b >0，
∴a ＝ b ( >0)，i －2j ＝ (i ＋λj )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝1，
－2＝kλ，
∴λ＝－2，∴a 、b 夹角为锐角的λ的取值范围是 (－∞，－2)∪(－2，12)．
答案：(－∞，－2)∪(－2，12)
7．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1，
那么c ＝________.
解析：由题知AB →·AC →＋BA →·BC →＝2，即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →)＝(AB →)2＝2
⇒c ＝|AB →|＝ 2. 答案： 2
8．已知单位向量a ，b 满足| a ＋b |＝3|a － b |( >0)，则a ·b 的最小值为________．
解析：把| a ＋b |＝3|a － b |两边平方并化简得a ·b ＝k 2＋14k ＝14( ＋1k )≥12(∵ >0)．故
a ·
b 的最小值为12.
29．已知△ABO 三顶点坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，
且满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．
解析：由已知得(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，且(x ，y －2)·(0,2)＝2 (y －2)≥0，即x ≤1
且y ≥2，所以OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝－x ＋2y ≥－1＋4＝3.
答案：3
二、解答题
10．已知向量a ＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b ＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R.
(1)求|a |2＋|b |2的值；
(2)若a ⊥b ，求θ；
(3)若θ＝π20，求证：a ∥b .
解析：(1)因为
|a |＝
cos 2(λθ)＋cos 2[(10－λ)θ]， |b |＝sin 2[(10－λ)θ]＋sin 2(λθ)，
所以|a |2＋|b |2＝2.
(2)因为a ⊥b ，
所以cos λθ·sin (10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0.
所以sin[(10－λ)θ＋λθ ＝0，
所以sin 10θ＝0，
所以10θ＝ π， ∈ ，所以θ＝k π10， ∈ .
(3)证明：因为θ＝π20，所以
cos λθ·sin λθ－cos(10－λ)θ·sin (10－λ)θ
＝cos λπ20·sin λπ20－cos(π2－λπ20)·sin(π2－λπ20)
＝cos λπ20·sin λπ20－sin λπ20·cos λπ20＝0，
所以a ∥b .
11．设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2te 1＋7e 2
与e 1＋te 2的夹角为钝角，求实数t 的范围．
解析：由向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，
得(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)|2te 1＋7e 2|·|e 1＋te 2|
<0，即(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0，
化简即得2t 2＋15t ＋7<0，
解得－7<t <－12，
当夹角为π时，也有(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0，
但此时夹角不是钝角，2te 1＋7e 2与e 1＋te 2反向．
设2te 1＋7e 2＝λ(e 1＋te 2)，λ<0，
可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ＝λ7＝λt λ<0，∴⎩⎨⎧ λ＝－14t ＝－14
2 .
因此所求实数t 的范围是(－7，－142)∪(－142，－12
)． 12．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin 2x ，1－cos 2x )，c ＝(0,1)，x ∈(0，π)．
(1)向量a ，b 是否共线？并说明理由；
(2)求函数f (x )＝|b |－(a ＋b )·c 的最大值．
解析：(1)b ＝(sin 2x,1－cos 2x )＝(2sin x cos x,2sin 2x )
＝2sin x (cos x ，sin x )＝2sin x ·a ，且|a |＝1，即a ≠0.
∴a与b共线．
(2)f(x)＝|b|－(a＋b)·c
＝2sin x－(cos x＋sin 2x,1－cos 2x＋sin x)·(0,1) ＝2sin x－1＋cos 2x－sin x＝sin x－1＋1－2sin2x
＝－2sin2x＋sin x＝－2(sin x－1
4)
2＋1
8，
∴当sin x＝1
4时，f(x)有最大值
1
8.。