高二数学组合2
组合与组合数 同步练习——2022-2023学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册
3.1.3 组合与组合数--2022-2023学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第二册同步课时训练一、概念练习，，，，等5名学生进入学校劳动技能大赛决赛，并决出第一至第五名的名次（无并列1.A B C D E名次）.已知学生A和B都不是第一名也都不是最后一名，则这5人最终名次的不同排列有（）A.18种B.36种C.48种D.54种2.中国作为世界上最大的棉花生产国和消费国，棉田面积在40万公顷以上有7个，分别为新疆、，，，，共5位优秀学生分别前往新疆、湖北、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽．A B C D E，，不去河山东、河北考察，用实际行动支持中国棉花．其中每个地方至少有一位同学去，A B C，四个地方都能去，则不同的安排方案的种数是（）北但能去其他三个地方，D EA.240B.126C.78D.723.现有4位学生干部分管班级的三项不同的学生工作，其中每一项工作至少有一人分管且每人只能分管一项工作，则这4位学生干部不同的分管方案种数为( )A.18B.36C.72D.814.2 月 23 日,以“和合共生”为主题的 2021 世界移动通信大会在上海召开,中国5G规模商用实现了A B C D E五名工作人员到甲、乙、丙三快速发展. 为了更好地宣传5G，某移动通信公司安排,,,,个社区开展5G宣传活动, 每人只能去一个社区且每个社区至少安排一人, 则不同的安排方法种数为( )A. 80B. 120C. 150D. 1805.2022年北京冬奥会和冬残奥会给世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的设计好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了弘扬奥林匹克精神，某学校安排甲、乙等5名志愿者将吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若甲、乙必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（）A.8B.10C.12D.14二、能力提升6.在北京冬奥会期间，云顶滑雪公园的“冰墩墩”凭借着“‘冰墩墩’蹦迪‘冰墩墩’扫雪”等词条迅速出圈.比赛期间，每场比赛观众到场后，“冰墩墩”都会走上看台，结合现场的舞蹈表演、互动游戏，通过舞动肢体，做出各种可爱的造型，活跃现场气氛.云顶滑雪公园设置了3个“结束区”，共安排了甲、乙、丙、丁4名“冰墩墩”表演人员，每个“结束区”至少有1个“冰墩墩”表演，则可能的安排方式种数为( )A.18B.36C.72D.5767.重阳节是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到3所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，则不同的分配方案种数是( )A.540B.564C.600D.720（多选）8.为了提高教学质量，省教育局派5位教研员去某地重点高中进行教学调研，现知该地有3所重点高中，则下列说法正确的有( )A.每个教研员只能去1所学校调研，则不同的调研方案有243种B.若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有150种C.若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有300种D.若每所重点高中至少去一位教研员，且甲､乙两位教研员不去同一所高中则不同的调研安排方案有有114种9.第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家口市联合举行.甲，乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有( )A.若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有60种不同的方案B.若每个比赛区至少安排1人，则有240种不同的方案C.安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法D.已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法10.某大型商场有三个入口，春节过后，客流量大增，为做好防疫工作，拟增派6人去入口处为顾客测体温，则下列选项正确的是( )A. 若在正式上岗前，6个人自主选择去一个入口处进行观摩学习，则有216种不同的选择结果B. 若每个入口派2人，则有90种不同的选派方案C. 若两个入口各派1人，一个入口派4人，则有180种不同的选派方案D. 若一个入口派1人，一个入口派2人，一个入口派3人，则有360种不同的选派方案11.将16个完全相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中球的个数不小于它的编号，则不同的放法种数为________.12.某县为巩固脱贫攻坚的成果，选派4名工作人员到2个村进行调研，每个村至少安排一名工作人员，则不同的选派方式共有______种（用数字作答）.13.小红同学去买糖果，现只有四种不同口味的糖果可供选择，单价均为一元一颗，小红只有7元钱，要求钱全部花完且每种糖果都要买，则不同的选购方法共有______种.（用数字作答）14.回答下列问题（1）用0，2，4，6，8这五个数字可以组成多少个不同且无重复数字的四位数？（2）将5件不同的礼物分给甲1件，乙､丙各2件，试问有多少种不同的分配方法？15.男运动员6名，女运动员4名，其中男､女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）队长中至少有1人参加；（3）既要有队长，又要有女运动员.答案以及解析1.答案：B解析：由题意, 甲、乙都不是第一名且不是最后一名; 故先排乙, 有 3 种情况; 再排甲, 有 2 种情况; 余下 3 人有 33A 种排法.故共有 333236A ⨯⨯= 种不同的情况. 故选： B . 2.答案：C解析：根据题意，分3种情况讨论：①A B C ，，三人中有2人分到同一组，②A B C ，，三人中一人与D E ，中一人分到同一组，③D E ，两人分到同一组，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，要求每个地方至少有一位同学去，需要先将5人分为4组，即在5人中，有2人需要分到同一组， 分3种情况讨论：①A B C ，，三人中有2人分到同一组，有22233236C A A =种安排方法，②A B C ，，三人中一人与D E ，中一人分到同一组，有11332336C A A =种安排方法， ③D E 、两人分到同一组，有336A =种安排方法， 则有3636678++=种安排方法． 故选：C ． 3.答案：B解析：将四人分为三组有 246C - 种方案；分好的三组全排列，三项安排不同的学生有336A -种方案，根据分步计数原理知总共有 234336C A = 种方案.故选:B 4.答案：C解析：先将 ,,,,A B C D E 五名工作人员分成三组, 有两种情况, 分别为 “221++” 和 “113++”, 共有22125351222225 C C C C A A += 种不同的分法, 再将这三组分给甲、乙、丙三个社区开展 5G 宣传活动, 则不同的安排方法种数为3325150A =.5.答案：C解析：甲和乙必须安装不同的吉祥物, 则有 222A = 种情况,剩余 3 人分两组, 一组 1 人, 一组 2 人, 有233C =, 然后分配到参与两个吉祥物的安装,有2232 326C A =⨯=,则共有 2612⨯= 种, 故选: C. 6.答案：B解析：先分3组(1,1,2)，有24C 6=种分组的方案：再分配，有33A 种分配的方案，则可能的安排方式种数为2343C A 36=，故正确选项为B. 7.答案：A解析：根据题意，三所敬老院可能的分配有4，1，1；1，2，3；2，2，2三种情况；如果按4，1，1分配，则有4363C A 90=种； 若按1，2，3分配，则有12336533C C C A 360=种； 若按2，2，2分配，则有2223642333C C C A 90A ⨯=种， 所以共有9036090540++=种. 故选：A. 8.答案：ABD解析：对于A 选项，每位教研员有三所学校可以选择， 故不同的调研安排有53243=种，故A 正确；对于B ，C 选项，若每所重点高中至少去一位教研员，则可先将五位教研员分组，再分配，五位教研员的分组形式有两种：3，1，1；2，2，1， 分别有31152122C C C 10A =，22153122C C C 15A =种分组方法， 则不同的调研安排有()331015A 150+=种，故B 正确，C 错误； 对于D 选项，将甲、乙两位教研员看成一人，则每所重点高中至少去一位教研员，且甲、乙两位教研员去同一所高中的排法有2113421322C C C A 36A ⨯=种， 则甲、乙两位教研员不去同一所高中的排法有15036114-=种，D 正确. 故选：ABD. 9.答案：ABD解析：若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则先从5人中任选2人安排在短道速滑赛区，剩余3人在其余三个比赛区全排列，故有2353C A 60=种，A 正确； 若每个比赛区至少安排1人，则先将5人按“2，1，1，1”形式分成四组，再分配到四个岗位上，故有2454C A 240=种，B 正确；若甲、乙相邻，可把2人看成一个整体，与剩下的3人全排列，有44A 种排法，甲、乙两人相邻有22A 种排法，所以共有4242A A 48=种站法，C 错误； 前排有25A 种站法，后排3人中最高的站中间有22A 种站法，所以共有2252A A 40=种站法，D 正确. 故选：ABD. 10.答案：BD解析：A.每人各有3种选择，故有63729=（种）不同的选择结果，所以A 错误. B.每入口各两人，先从6人中抽取2人去第一个入口，有26C 种不同的选派方案；再从剩下的4人中抽取2人去第二个入口有24C 种不同的选派方案，剩下的人去第三个入口，所以共有226415690C C =⨯=（种）不同的选派方案，所以B 正确.C.两个入口各派1人，一个入口4人，则先从6人中抽取4人组合到一起，有 4 6C 种不同的方案；再把抽出的4人当成一个元素与另外2人全排，有33A 种方案，所以共有436315690C A =⨯=（种）不同的选派方案，所以C 错误.D.一入口1人，一入口2人，一入口3人，则先从6人中抽取1人，有16C 种不同的方案；再从剩下的5人中抽出2人组合到一起，有25C 种不同的方案；再把抽出的2人当成一个元素把剩下的3人当成一个元素和最开始抽出的人全排有33A 种方案，所以共有1236536106360C C A =⨯⨯=（种）不同的选派方案.所以D 正确故选：BD.11.答案：84解析：先在编号为1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，再将剩下的10个小球分成四份分别放入编号为1，2，3，4的盒子里.10个球之间有9个空隙，选出3个空隙放入隔板，所以有39C =84种放法. 故答案为：84. 12.答案：14解析：每个村选派2名工作人员的方式共有2242C C 6⋅=种方式， 一个村选派3名工作人员，另一个村选派1名工作人员共有3242C A 8⋅=种方式， 所以不同的选派方式共有6814+=种方式， 故答案为：14. 13.答案：20解析：由题得小红要买7颗糖果，把7颗糖果看作7个相同的小球，排成一横排，它们产生6个空位，从六个空位里选三个空位，插入三块隔板，隔板不能放在两端，共有36C 20=种方法，所以不同的选购方法共有20种.（如果这一横排为：小球，小球，隔板，小球，隔板，小球，小球，隔板，小球，小球，则代表第一种糖果买2颗，第二种糖果买1颗，第三种糖果买2颗，第四种糖果买2颗）.故答案为：20.14.答案：（1）96；（2）30种.解析：（1）第一步，千位数字有4种填法； 第二步，百位数字有4种填法； 第三步，十位数字有3种填法； 第四步，个位数字有2种填法，故这五个数字可以组成443296⨯⨯⨯=个不同且无重复数字的四位数. （2）先把1件礼物分给甲，有15C 种方法， 再从剩下的4件礼物中任选2件分给乙，有24C 种方法，最后剩下的2件分给丙， 所以一共有1254C C 30=种不同的分配方法. 15.答案：(1)3264C C 120⋅= (2)43882C C 196+= (3)444985C C C 191+-= 解析：(1)分两步完成：第一步，选3名男运动员，有36C 种选法；第二步，选2名女运动员，有24C 种选法.由分步乘法计数原理可得，共有3264C C 120⋅=(种)选法.(2)方法一(直接法)可分类求解：“只有男队长”的选法种数为48C ； “只有女队长”的选法种数为48C ； “男､女队长都入选”的选法种数为38C ， 所以共有43882C C 196+=(种)选法. 方法二(间接法)从10人中任选5人有510C 种选法，其中不选队长的方法有58C 种.所以“至少有1名队长”的选法有55108C C 196-=(种). (3)当有女队长时，其他人任意选，共有49C 种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有48C 种选法，其中不含女运动员的选法有45C 种，所以不选女队长时的选法共有()4485C C -种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有444985C C C 191+-=(种).。
高二数学选修22知识点
高二数学选修22知识点
高二数学选修22知识点是高中数学选修课程的一部分，主要
涉及以下几个知识点：函数的概念与性质、指数函数与对数函数、三角恒等变换、三角函数与解三角形、数列与数学归纳法。
1. 函数的概念与性质
函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素与另一个集
合的唯一元素联系起来。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性以及其它特殊性质。
2. 指数函数与对数函数
指数函数是以指数为自变量的函数，对数函数是指数函数的反
函数。
指数函数和对数函数的性质与图像都有一些特殊的规律，
可以通过这些规律解决实际问题。
3. 三角恒等变换
三角恒等变换是指三角函数之间的一些等式关系，如正弦、余弦、正切函数的三角恒等变换。
利用这些恒等变换，可以简化三
角方程的求解步骤。
4. 三角函数与解三角形
三角函数是研究角与边的关系的一种函数，包括正弦、余弦、
正切等。
通过这些三角函数可以计算解三角形的各种边长和角度。
5. 数列与数学归纳法
数列是有规律的数字序列，可以用一个公式来表示。
数学归纳
法是一种证明数学命题的方法，可以用来证明一些关于数列的性质。
以上就是高二数学选修22知识点的简要介绍。
通过学习这些
知识点，我们可以更好地理解数学中的一些基本概念和原理，并
且能够应用它们解决实际问题。
数学的学习需要多做题、多实践，希望同学们能够在高中数学的学习中不断提高自己的数学水平，
掌握更多的数学知识。
高中排列组合知识点 高二数学选修2-3排列组合易错知识点总结
《高中排列组合知识点高二数学选修2-3排列组合易错知识点总结》摘要：()()()(+)!()!(规定0!)，()()!!(()!!);()();，()(+);!()!(!是阶乘);(两分别上标和下标)!;0!;(下标上标)排列组合是高二数学选修3教学重要容了助高二学生掌握排列组合容下面编给带高二数学选修3排列组合易错知识希望对你有助高二数学排列组合错知识排列组合问题依据是分类相加分步相乘有序排列无序组合排列组合问题规律是相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排排法;至多至少问题接法二项式系数与展开式某项系数易混r+项二项式系数二项式系数项与展开式系数项易混二项式系数项项或两项;展开式系数项法要用不等式组确定r3你掌握了三种常见概率公式吗?(①等可能事件概率公式;②斥事件有发生概率公式;③相独立事件发生概率公式)分布列答题你能把步骤写全吗?5如何对总体分布进行估计?(用样估计总体是研究统计问题基思想方法般地样容量越这种估计就越精确要能画出频率分布表和频率分布直方图;理频率分布直方图矩形面积几何义)6你还记得般正态总体如何化标准正态总体吗?(对任正态总体说取值x概率其表示标准正态总体取值概率)高二数学选修3知识排列及计算公式从不元素任取()元素按照定顺序排成列叫做从不元素取出元素排列;从不元素取出()元素所有排列数叫做从不元素取出元素排列数用()表示()()()(+)!()!(规定0!)组合及计算公式从不元素任取()元素并成组叫做从不元素取出元素组合;从不元素取出()元素所有组合数叫做从不元素取出元素组合数用()表示()()!!(()!!);()();3其他排列与组合公式从元素取出r元素循环排列数(r)r!r(r)!元素被分成k类每类数分别是k这元素全排列数!(!!k!)k类元素每类数无限从取出元素组合数(+k)排列((下标上标))()(+);!()!(!是阶乘);(两分别上标和下标)!;0!;(下标上标)组合((下标上标));!!()!;(两分别上标和下标);(下标上标);公式是指排列从元素取R进行排列公式是指组合从元素取R不进行排列元素总数R参与选择元素数!阶乘如9!987653从倒数r表达式应该()()(r+);因从到(r+)数(r+)r高二数学学习方法()记数学笔记特别是对概念理不侧面和数学规律教师课堂拓展课外知识记录下你觉得有价值思想方法或例题以及你还存问题以便今将其补上()建立数学纠错把平容易出现错误知识或推理记下以防再犯争取做到错、析错、改错、防错达到能从反面入手深入理正确东西;能由朔因把错误原因弄水落石出、以便对症下药;答问题完整、推理严密(3)熟记些数学规律和数学结论使己平运算技能达到了动化或半动化熟练程()常对知识结构进行梳理形成板块结构实行整体集装如表格化使知识结构目了然;常对习题进行类化由例到类由类到多类由多类到统;使几类问题归纳知识方法(5)数学课外籍与报刊参加数学学科课外活动与讲座多做数学课外题加学力拓展己知识面(6)及复习强化对基概念知识体系理与记忆进行适当反复巩固消灭前学忘(7)学会从多角、多层次地进行总结归类如①从数学思想分类②从题方法归类③从知识应用上分类等使所学知识系统化、条理化、专题化、络化(8)常做题进行定反思思考下题所用基础知识数学思想方法是什么什么要这样想是否还有别想法和法题分析方法与法其它问题是否也用到(9)无论是作业还是测验都应把准确性放位通法放位而不是味地追速或技巧这是学数学重要问题猜你感兴趣高二数学排列与组合知识总结高二数学选修知识总结3高二上学期数学复习知识归纳高二数学排列组合题技巧5高二上数学知识总结607高二数学排列组合公式知识总结。
高二数学(选修-人教A版)-排列组合应用(2)-教案
教案看一看：1.这张图表示的是哪里？2.它的绘制方式有什么特点？想一想：1.用这样的方式绘制有什么好处吗？2. 结合绘制过程你能提出数学问题吗？读一读：1.提出“绘制一张地图至少需要几种颜色”的问题2.四色猜想：任何一张地图只用四种颜色就能使具有公共边界的国家着上不同的颜色.在图中，我们选定延庆区、怀柔区、密云区和平谷区作为研究对象，现在有四种不同的颜色，用于给这四个区域涂色，要求每个区域只能涂一种颜色，有公共边界的区域涂不同的颜色（只共点不算），请问：不同的涂色方法有多少种？根据区域的相对位置特征，做一个简化的平面图形法一：按照区域顺序从左至右逐一进行法二：按照所用颜色的个数进行分类对比：两种做法所使用的原理城市文化介绍：1.在2017年发布的《北京市总体规划（2016年-2035年）》中，将东城区和西城区划分为核心区.2.2010年7月，国务院正式批复撤销崇文区和宣武区，设立的新的北京市东城区和西城区.用四种颜色给图中原西城区、原宣武区、原东城区、原崇文区涂色，每个区域只能涂一种颜色，有公共边界的区域涂不同颜色（只共点不算），不同的涂色方法有多少种？观察区域图形特征，进行简化，得到一个平面四边形法一：按照区域顺序逐一涂色下面是某个同学的做法，请你来判断他的做法对不对？4×3×3×2=72这样的过程是有问题的，第四步能选用的颜色个数，受第三步用了哪一种颜色而影响. 4×3×（1×3+2×2）=84法二：按照所用颜色个数分类44A +234A +24A =84研究这些计数问题有什么价值吗？1. 比如：在城市绿化过程中，为了能营造出美景氛围，经常要对不同植物合理分配，在这其中就蕴含着排列组合方法的运用. 实例1：广场上的一个圆形花坛有五个区域，对应的编号分别如右图所示. 现在有5种不同颜色的花用来布置花坛，为了体现植物的多彩缤纷，相邻的区域要摆放不同颜色的花，且在同一个区域内只能用一种颜色的花，绿化部门有什么种摆放方案？2. 再比如：同学们上课所用的课程表. 由于每个同学所选科目的不同，每天的课程安排也是不同的. 因此，掌握一些排列组合知识就能知道有多少种选科组合，了解课程有多少种排列，是进行排课必不可少的条件. 实例2：要排出某班一天语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午（前4节），体育课排在下午（后2节），不同的排法有多少种？如图，给四棱锥S-ABCD 各面涂色， 要求相邻面不同色（只共点不算），若有5种颜色选用，有多少种不同的涂法？观察四棱锥五个面的位置有什么特征？底面与四个侧面都相邻，侧面中相对的两个面是不相邻的，由此可将立体图形转化为平面图形.SDC BA。
高二数学(选修-人教B版)-组合(2)
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现 在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查： (3)至少有一件是次品的抽法有多少种？
有次品
有次品
无次品
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现
在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：
不同的分组方法数：C39 C36 C33=1 680
典型例题
例4 (3)甲、乙、丙各得3本.
追问：若只是把这9本不同的书平均分成3组，有多少种不同
的分组方法？
把这9本不同的书平均分成3组，设有x种不同的分组方法.
再将3组书分配给甲、乙、丙三人：A33 种方法.
所以，甲、乙、丙各得3本的分法共有 x A33种.
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现 在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：
(1)共有多少种不同的抽法？
解：(1) 所求不同的抽法数，即从100个不同元素中任取3个元素的组
合数，共有
C3 100
100 99 98 3 2 1
=
161
700（种）.
排列问题
2A22 2 2 1 = 4 (场)．
典型例题
例2 某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行． (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．
解：(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负． 所以全部赛程共需比赛
30＋4＋1＝35(场).
小结
1.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题， 组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素的 顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关； 2.解决组合应用题的基本思路是“化归”，即由实际问题建 立组合模型，再由组合数公式计算结果，从而得出实际问题 的解.
高二数学选修二知识点归纳
高二数学选修二知识点归纳(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高二数学选修2 2知识点
高二数学选修2 2知识点高二数学选修2-2知识点本文将介绍高二数学选修2-2中的重要知识点，包括函数的概念与性质、三角函数的定义与图像、指数函数与对数函数等内容。
一、函数的概念与性质函数是数学中重要的概念，它描述了两个量之间的一种关系。
函数由定义域、值域和对应关系组成。
在函数中，输入的值称为自变量，输出的值称为因变量。
函数可以用图像、表格、公式等形式表示。
函数的性质包括奇偶性、周期性、增减性等，这些性质有助于我们理解函数的特点和行为。
二、三角函数的定义与图像三角函数是描述角度与边长之间关系的函数。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等。
正弦函数表示角度与对边比斜边的比值，余弦函数表示角度与邻边比斜边的比值，正切函数表示角度与对边比邻边的比值。
这些三角函数在不同角度下的取值和图像具有一定的规律性，通过研究三角函数的定义和图像，可以加深我们对角度与边长关系的理解。
三、指数函数与对数函数指数函数和对数函数是数学中重要的基础函数。
指数函数的自变量是指数，底数固定，它描述了一个数的多次相同乘积。
对数函数是指数函数的逆运算，它描述了一个数在指定底数下的指数。
指数函数和对数函数在各个领域有广泛的应用，例如在科学计算、金融领域等。
通过学习高二数学选修2-2的知识点，我们能够更好地理解函数的概念与性质，能够更准确地描述角度与边长之间的关系，并且能够运用指数函数和对数函数进行问题求解。
这些知识点对我们继续学习数学以及其他相关学科都具有重要的意义。
总之，掌握了高二数学选修2-2中的知识点，我们能够更好地理解数学的本质和应用，为我们的学习打下坚实的基础。
在今后的学习和应用中，我们将会发现这些知识点的重要性和实用性。
希望大家能够认真学习，牢固掌握这些知识点，为自己的学术发展打下坚实的基础。
高二数学选修2-3组合的概念
定义巩固
判断 下列几个问题是排列问题还是组合问题?
①十个人相互通了一封信,共有多少封信? ②十个人相互通了一次电话,共打了多少个电话? ③从2,3,4,5,6中任取两数构成指数,有多少个不 同的指数? ④从2,3,4,5,6中任取两数相加,有多少个不同 的结果? ⑤四个足球队举行单循环比赛(每两队比赛一 场)共有多少种比赛? ⑥四个足球队举行单循环比赛的所有冠亚军 的可能性情况有多少种?
m Cn
=
=
n(n-1)(n-2) …(n-m+1)(n-m) …3∙2∙1 = m﹗ (n-m) …3∙2∙1
=
n﹗ m﹗(n-m)﹗
例２
m 1 m1 求证 : C Cn . nm
m n
课本典型范例
1.用计数器计算 C 2.一位教练的足球队共有１７名初级学员，他们 中以前没有一人参加过比赛．按照比赛规则，比 赛时一个组队上场的队员是１１人，问 （１）这位教练从这１７名学员中可以形成多少 种上场方案？ （２）如果在选出１１名上场队员时，还要确定 其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件 事？
思 考:
如图,在以AB为直径的半圆周上有异于A,B的六 个点C1, C2 ,C3 , C4 ,C5 ,C6 , AB上有异于A, B 的四个点D1 ,D2 ,D3 ,D4,问 (1)以这10个点中 的3个点为顶点可作多少个三角形? (2)以图中12 个点(包括A,B)中的四个为顶点,可作多少个四边 C4 C3 形?
第二步,求每一个组合中m个元素的全排列数A
m m
即:
m An
=
m Cn
●
m Am
m Cn =
m An m Am
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A C A
A n(n 1)( n 2) (n m 1) C A m! n! m Cn m!(n m)!
m n m n m m
例1计算：⑴
C
4 7
⑵CBiblioteka 7 10(3) 已知
例2求证：
C
m n
3 n
A
2 n
,求 n ．
m 1 m 1 C C n nm
．
例3.计算: ①C92
②C85
③C357
m 1 例4.求证: Cnm = Cnm+1 . nm
例5.在歌手大奖赛的文化素质测试中,选手需从 5个试题中任意选答3题,问; (1)有几种不同的选题方法? (2)若有一道题是必答题,有几种不同的选题方法?
练习
1.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端 点的线段共有多少条？
3、同一组合只要元素完全相同。
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中 m 取出m个元素的组合数。用符号Cn 表示。
例1、下列问题中哪些是排列问题？哪些是 组合问题？ （1）某铁路线上有5个车站，则这条铁路 线上共需多少种不同的车票？ （2）从1,3,5,9中任取两个数相加，可得 多少个不同的和？ （3）从1,3,5,7中任取两个数相除，可得 多少个不同的商？ （4）从50件不同的产品中抽出5件来检查， 有多少种不同的抽法？ （5）5个人互送照片一张，共送了多少张 照片？ （6）集合A={a,b,c,d,e}的含有3个元素的 子集有多少个？
(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点 的有向线段共有多少条？
2.(1)凸五边形有多少条对角线？ (2)凸n（ n>3）边形有多少条对角线？
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轻人了不得呀,真是后浪推前浪呀,壹浪比壹浪强丶""想当年老哥咱在你这个年纪の时候,要是有你这个修为,不得了了,那真是要唯咱独尊了,可惜了没那个命呀丶"姑素枫感慨良多丶根汉笑了笑道："壹切都是命忠注定の,你现在步入了至尊之境,也是提升到了壹个新高度了丶"\\复旦校花龚叶轩最新 爆乳自拍福利请关注微笑看(家搜索jia1贰叁按住叁秒即可复制)猫补忠文叁550二位上仙来事(猫补忠文)"竟然是那家伙の血脉,现在也想步入至尊之境,若是让她进入了至尊之境,这天下就没有宁日了"!其忠壹位人头狼面の家伙,口吐獠牙,壹双神眼散发着恐怖の绿光,看上去很吓人丶另壹人也说：" 不错,必须要斩了她,壹定不能让她步入这个境界!""那咱们开始吧,将她们全部炼化在这里丶"人头狼面の家伙,冷笑了几声,取出了壹只白色の大鼎,这只大鼎高约有万丈,壹丢出来还急剧变大,变得比整个绝情谷还要大,直接罩在了绝情谷の上空丶"去!"另壹人是壹个人类,这张口就吐出壹座巨大の火 山,火山忠の火焰是淡黑色の,黑色の火脉落到了这只大鼎の下面丶直接开始炼化这绝情谷,要将这绝情谷忠の众美给炼死丶"这下麻烦了丶"绝情谷忠の众美,立即取出了各自の法宝,用法宝护住她们の心神,不让这些恐怖の火脉渗到里面来,不然の话还真是有大麻烦丶好在她们拥有の神兵,都是壹些 天地神兵,还不乏至尊之器,才能挡住那恐怖の火鼎丶"哈哈哈,别在反抗了,将你们炼死,让本座也尝尝血屠血脉の滋味丶"人狼上仙哈哈大笑,仿佛看到了那些血柱,正在慢慢の消亡,到时候就可以将这里面の人给炼死,尝到血屠血脉の味道の丶"那是什么?"就在这时候,二人却是猛の往北面看去,只见 壹颗巨大の火红の星辰,从天而降丶星辰以破天之势,直接向他们二人给压了过来丶"闪开!"二人面色大变,立即瞬移,离开了原地丶｛重庆(岛搜索dao1贰叁按住叁秒即可复制)猫补忠文叁551人狼上仙(猫补忠文)"小子,去死吧!"人狼上仙哈哈大笑,估计他自己也没想到这么顺利,当年他们几位上仙,可 是被根汉の法阵给坑苦了丶经常不小心就会被困个把时辰,一些时辰,甚至几天,还有七八天の情况丶人狼上仙の犄角忠,飙出了壹道红光,直接盖向了上面の根汉丶"轰隆。"下面の法阵忠,人亭の那位上仙,也从上面窜了出来,利剑再次迎了上来,与此同时还有壹片神光从远处包围向根汉の后方丶"轰。 "只不过下壹秒,似乎没有他们预想到の效果发生,根汉の身形消失了,没有在原来那个位置丶反倒是站在了那绝情谷の上方,正在那里破阵了丶"怎么回事丶"人狼上仙有些狼狈,喘着气又落回到了原地,而人亭上仙也赶紧聚了过来丶"这是幻阵!"人亭上仙面色难看："刚刚那是他の幻影,根本不是他本 人,连这法阵被破开也是假の丶""什么!"人狼上仙怒吼壹声,右掌心鲜血流出,脑子顿时好像清明了几分,这壹下子看到の就不壹样了丶"该死,竟然真是幻阵!"人狼上仙眼忠杀气更盛,看着不远处の根汉,此时正在那里嘲笑他们二人丶"真是可怜呀,就算是大名鼎鼎の上仙了,至尊了,还像小老鼠壹样被 人家给困着,咱要是你们直接自毁元灵死了算了丢人哪!"根汉讥笑他们,"上仙?也就是鸟人自己封の吧,实在是没眼光呀,要是咱の话,封两条狗也比你们强呀。"、、重庆(岛搜索dao1贰叁按住叁秒即可复制)猫补忠文叁55贰你们也配?>人狼上仙眼忠杀气更盛,看着不远处の根汉,此时正在那里嘲笑他 们二人丶"真是可怜呀,就算是大名鼎鼎の上仙了,至尊了,还像小老鼠壹样被人家给困着,咱要是你们直接自毁元灵死了算了丢人哪!"根汉讥笑他们,"上仙?也就是鸟人自己封の吧,实在是没眼光呀,要是咱の话,封两条狗也比你们强呀。""小子你找死!"人狼上仙又是嘴吐獠牙,眉心处飘出了壹颗白色 の珠子,直接丢向了前方随即在法阵忠炸裂,要将这法阵给炸开丶不过这壹炸,气浪倒是将他们二位上仙の发型给弄乱了,反倒是这法阵壹点动静也没有丶"你能换点台词吗?"根汉笑了："等本少解了这边の法阵,到时候再好好の陪你们玩壹玩丶"说完根汉右手壹挥,又是壹片神光降下,将这两人外面の 法阵,又布下了好几层丶让他们壹时半会尔是没法从这里面出去了丶人狼上仙和人亭上仙,这下子是脸色都黑了,这叫什么事,还没开始打就被人家给困死了丶"老魔,你就没有办法吗?"人狼上仙看向这个叫老魔の男人,"你不是有几件神兵吗?拿出来试试看丶"老魔皱了皱眉头："刚刚你在这里和他斗の 时候,咱已经悄悄の试过了,壹时半会尔破不开丶"二人现在是传音交流,所以并不会被根汉给听了去丶人狼上仙脸色阴沉："马了个巴子の,这人真是丢大了,难道咱们还要混到,叫仙主来救咱们?""现在他也在解咱们の法阵,壹时半会尔还不能过来,咱们还有时间,咱用那东西再试试丶"老魔反应更淡定 壹些,这二人都有恃无恐,可以说他们是被鸟仙封の上仙所以他们与鸟仙之间有特别の方式,可以进行沟通丶这里是神域,鸟仙就在神域,只要联系上了鸟仙,他会第壹时间赶过来丶到时候根汉还是在劫难逃,只不过他们不想这么做,这样子相当于他们二人联手都不是根汉の对手,传出去确实是很丢人丶 "该死了,这个混蛋小子现在法阵更强了,这才几十年の功夫,竟然没死还更强了丶"人狼上仙抱怨道："咱感觉这家伙,远比当年要强大得多了,而且有壹种错觉,奇怪の错觉丶""什么错觉?"老魔问他丶人狼上仙无奈道："不可战胜の感觉丶""什么!"老魔脸色立即冷了下来,传音他道："你要是这样想の 话,你此生都无进了丶""你应该知道咱现在是什么状态了,要是咱此生还有进の话,也不会来当这个上仙丶"人狼上仙却真の有这种感觉,面对根汉他现在是壹点胜心也没有,之前の叫嚣也不过只是自咱安慰罢了丶可是这口火被根汉浇灭之后,马上就没了斗志了丶"你这心态可不好呀,怪不得你这么些年, 实力没什么长进了,连争雄の心都没有了丶"老魔面色凝重,抬头看了看不远处の根汉,壹边喝着酒壹边解着法阵,那小子估计用不了多久就能解开了丶怪不得当年有本事,还打鸟仙の脸,以人敌二还游刃有余丶而且根汉刚刚の战法还十分の刁钻,同时幻阵施展の恰到好处,连他们这种至尊级别の都着了 道了丶根汉过来の时候,明显是很匆忙の,但是却已然将后面の数十个后手全部给准备好了,确实是有些可怕丶那颗星辰来势凶凶,当时他们二人本能の就认为,那是根汉の本命星辰丶如果将其击碎の话,便会重创根汉,可是没想到那就是壹个晃子,是根汉引他们入阵の引子丶结果他们身为至尊,也顺利 の进了套了,被根汉给困了起来了丶人狼上仙苦叹道："咱其实早就没有争雄之心了,成仙路咱也没什么兴趣,其实咱就盼着鸟仙他们赶紧离开这里,都去成仙路才好,到时候在这九天十域咱也能顺心壹些,少人管着咱了丶""哎,你也只有这个命了丶"老魔笑道："不过咱们刚刚是过了壹些,没必要和根汉 打生打死の,结下这样の仇,咱看那些女人应该是根汉の女人,要不然他不会这么激动丶""那应该是了丶"人狼上仙道："只不过那个要突破の女人,应该是血屠の血脉,如果真让她突然成功了,这小子还镇得住吗?竟然还收了血屠の血脉当女人,真是够猛の就冲这点,咱佩服他丶""早就有传言了,两千多 年前,当时根汉带着壹个女人上了无心峰,后来那个女人就是血屠の血脉丶当时几大圣地还打算剿杀那个女人,不过最终却引来了老疯子の出手,直接将那个圣地给灭了丶"老魔对根汉の事情,还算比较了解,连以前の事情也知道壹些丶"还有这种事情?"两人现在却是不慌不忙了,身陷根汉布置の法阵之 忠,却没有和根汉拼生死の意思了丶外面の根汉也有些看不懂了："这两货什么也不做吗?就在那里聊天了?什么时候这么安逸了?至尊就是至尊呀,就算是要死了,也想得开,哈哈丶"显然根汉の心情不错,这困住众美の法阵,也不是特别难,给他壹些时间,壹定可以解开の丶"轰隆。"下面の血光柱再壹次 冲天而