导数基本公式与运算法则1
导数的四则运算法则
一、复习回顾
1、基本求导公式 : ' 1
(1)C 0(C为常数)
(2)( x ) x
x ' x
(为常数）
(3)(a ) a lna(a 0, 且a 1)
1 (4)(log a x ) (a 0, 且a 1) xlna 1 ' x ' x (6)(lnx) (5)(e ) e x
2
(2)求函数g ( x) x x x 2的导数.
3 2
法则 2: 两个函数的积的导数，等于第一
个函数的导数乘以第二个函数加上第一个 函数乘以第二个函数的导数．即：
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
例2： (1)求函数h( x) x sin x的导数. (2)求函数f ( x) x ln x的导数.
法则3:
[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)
3 2 (3)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
(4)求函数f ( x) 2 x ln x的导数.
法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的 导数与分母的积，减去分母的导数与分子 的积，再除以分母的平方,即：
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] ( x) 0
t 1 例3 ： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
x (2)求函数f(x) x 的导数. e
练 习
2. 求 y (2x 3)(3x 2)的导数
1.求 y 2x 3x 5x 4 的导数
2
3
导数的基本公式和四则运算法则
导数的基本公式和四则运算法则导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的基本公式和四则运算法则是学习导数的基础，也是解决导数相关问题的重要工具。
首先，我们来看导数的基本公式。
对于函数f(x)，它在点x处的导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) f(x)] / h.这个公式描述了函数在点x处的变化率，也就是函数曲线在该点的切线斜率。
通过这个公式，我们可以求得函数在任意点的导数值，从而描绘出函数的变化规律。
接下来，我们来看四则运算法则在导数中的应用。
四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
在导数的计算中，我们可以利用这些法则简化复杂函数的导数计算。
对于两个函数f(x)和g(x)，它们的和、差、积和商的导数计算规则如下：1. 和的导数，(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。
2. 差的导数，(f-g)'(x) = f'(x) g'(x)。
3. 积的导数，(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
4. 商的导数，(f/g)'(x) = (f'(x)g(x) f(x)g'(x)) / g(x)^2。
利用四则运算法则，我们可以将复杂函数的导数计算转化为简单函数的导数计算，从而更方便地求得函数的导数值。
在实际问题中，导数的基本公式和四则运算法则是非常有用的工具。
它们可以帮助我们分析函数的变化规律，解决最优化问题，以及研究曲线的性质。
因此，掌握导数的基本公式和四则运算法则对于理解微积分的重要性不言而喻。
希望通过本文的介绍，读者对导数的基本概念有了更清晰的认识，也能够更加灵活地运用导数的基本公式和四则运算法则解决实际问题。
导数的基本公式与运算法则讲解
导数的基本公式与运算法则讲解在微积分中，导数是描述函数变化率的重要概念。
导数的基本公式和运算法则是求导的基础，下面将详细讨论这些内容。
导数的定义给定函数f(f)，在某一点f=f处的导数定义为：$$ f'(a) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$其中f表示自变量f的增量。
导数可以理解为函数在某一点处的瞬时变化率。
导数的基本公式1.幂函数的导数如果f(f)=f f，其中f为常数，则有：f′(f)=ff f−1这个公式可以通过求导的定义和一些简单的代数运算来推导。
2.常数函数的导数对于常数函数f(f)=f，导数恒为零：f′(f)=03.和差法则设f(f)和f(f)在f处可导，则有：$$ (f \\pm g)'(x) = f'(x) \\pm g'(x) $$4.积的法则如果f(f)和f(f)在f处可导，则有：(ff)′(f)=f′(f)f(f)+f(f)f′(f)5.商的法则如果f(f)和f(f)在f处可导且f(f)ff0，则有：$$ \\left(\\frac{f}{g}\\right)'(x) = \\frac{f'(x)g(x) -f(x)g'(x)}{(g(x))^2} $$导数的运算法则1.复合函数的导数如果f=f(f)和f=f(f)均可导，则复合函数f=f(f(f))的导数为：$$ \\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx} $$2.反函数的导数如果f=f(f)在区间f上严格单调且可导，且f′(f)ff0，则它的反函数f−1在相应的区间上也可导，且有：$$ (y^{-1})'(x) = \\frac{1}{f'(y^{-1}(x))} $$3.链式法则设f=f(f)和f=f(f)均可导，则有：$$ \\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx} =f'(u) \\cdot g'(x) $$总结导数的基本公式和运算法则是微积分中的重要内容，它们为我们求各种函数的导数提供了便利。
导数的基本公式和运算法则
导数的基本公式和运算法则在微积分中，导数是描述函数变化率的重要概念。
导数的基本公式和运算法则是求解导数的基础，掌握这些公式和法则对于解决微积分中的各类问题至关重要。
本文将介绍导数的基本公式和运算法则，并通过具体的例子帮助读者更好地理解和应用。
导数的定义导数可以理解为函数在某一点处的变化率。
对于函数f(f)，其在点f处的导数可以表示为f′(f)或 $\\frac{df}{dx}$。
导数的定义公式如下：$$ f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$这个公式表示函数f(f)在点f处的导数是函数在f点微小变化量f趋近于 0 时的极限值。
导数的基本公式常数函数对于一个常数函数f(f)=f，其中f为常数，则导数f′(f)=0。
这是因为常数函数的图像是一条水平的直线，斜率恒为 0。
幂函数对于幂函数f(f)=f f，其中f为常数，则导数f′(f)=ff f−1。
这是幂函数求导公式的基本形式。
指数函数指数函数f(f)=f f，其中f为常数且f>0，则导数$f'(x) = a^x \\cdot \\ln(a)$。
这是指数函数求导的基本公式。
对数函数对于自然对数函数 $f(x) = \\ln(x)$，则导数 $f'(x) =\\frac{1}{x}$。
自然对数的求导结果可以简单表达。
导数的运算法则导数具有一些运算法则，使得我们可以利用已知函数的导数求其它函数的导数。
以下是导数运算法则的一些常见规则：常数因子法则若f为常数，f(f)是可导函数，则 $(c \\cdot u(x))' = c\\cdot u'(x)$。
加法法则若f(f)和f(f)都是可导函数，则(f(f)+f(f))′=f′(f)+f′(f)。
乘法法则若f(f)和f(f)都是可导函数，则 $(u(x) \\cdot v(x))' =u'(x) \\cdot v(x) + u(x) \\cdot v'(x)$。
常用的基本求导法则与导数公式
常用的基本求导法则与导数公式在微积分中，求导是一项重要的基本操作。
通过求导，我们可以计算一个函数在给定点的斜率，求得函数的极值和拐点，以及解决各种实际问题。
本文将介绍一些常用的基本求导法则与导数公式，帮助大家更好地理解求导的过程与应用。
一、导数的定义导数描述的是一个函数在某点附近的变化率。
对于函数y = f(x)，其在点x处的导数表示为f'(x)或dy/dx。
导数的定义为：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗二、常用的基本求导法则1. 常数法则若C为常数，则d(C)/dx = 0。
2. 幂函数法则对于函数y = x^n，其中n为任意实数，使用幂函数法则可以得到其导数：d(x^n)/dx = nx^(n-1)3. 四则运算法则对于两个可导函数f(x)和g(x)，使用四则运算法则可以得到它们的和、差、积和商的导数：若h(x) = f(x) ± g(x)，则h'(x) = f'(x) ± g'(x)若h(x) = f(x) * g(x)，则h'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)若h(x) = f(x) / g(x)，则h'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g^2(x)，其中g(x)≠04. 反函数法则若y = f(x)的反函数为x = g(y)，且g(y)在y点可导，则有：d(g(y))/dy = 1 / f'(x)5. 复合函数法则若y = f(u)和u = g(x)是可导函数，则复合函数y = f(g(x))的导数为：(d(f(u))/du) * (d(g(x))/dx)6. 指数函数法则对于函数y = a^x，其中a为常数且a>0，使用指数函数法则可以得到其导数：d(a^x)/dx = ln(a) * a^x三、导数公式1. 常见函数的导数公式- 常数函数导数为0- 幂函数导数为nx^(n-1)- 指数函数导数为a^x * ln(a)- 对数函数ln(x)的导数为1/x- 正弦函数sin(x)的导数为cos(x)- 余弦函数cos(x)的导数为-sin(x)- 正切函数tan(x)的导数为sec^2(x)2. 反函数的导数公式若y = f(x)的反函数为x = g(y)，且f'(x)和g'(y)均存在且不为0，则有以下关系：f'(x) = 1 / g'(y)3. 链式法则对于复合函数y = f(u)和u = g(x)，使用链式法则可以得到复合函数的导数：dy/dx = (df/du) * (du/dx)四、应用示例1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在x = 2处的导数。
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1
1 2 作业1：求 y 2 的导数. x x 作业2:求下列函数的导数:
x (1) y ; 2 1 x (2) y tan x;
2
(3) y (2 x 3)(1 x );
2
作业3：P18习题1.2 A组 第4题（1） 第6题
小结:
导数运算法则：
1. f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
2. f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
特别地：(cf(x)) = cf (x) (c 为常数).
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 3. ( g ( x) 0) 2 g ( x) g ( x)
1.2.2基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式
1、若f ( x ) c, 则 2、若f ( x ) x , 则 3、若f ( x ) sin x, 则 4、若f ( x ) cos x, 则 5、若f ( x ) a , 则
x
1. f '( x) 0; 2. f '( x) x 1 ; 3. f '( x) cos x; 4. f '( x) sin x; 5. f '( x) a ln a (a 0);
x
6、若f ( x ) e x , 则 7、若f ( x ) log a x, 则 8、若f ( x ) ln x, 则
6. f '( x) e x ; 1 7. f '( x) (a 0, 且a 1); x ln a 1 8. f '( x) ; x
第三章第三节 导数的基本公式与运算法则(一)
二、反函数的导数
如果函数x=ϕ(y)在某区间Iy内单调、可导且ϕ ′(y)≠0， 那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 1 f ′( x) = 。 ϕ ′( y ) 简要证明： 简要证明： 因为y=f(x)连续，所发当∆x→0时，∆y→0。
∆y 1 1 ， f ′( x) = lim = lim = ∆x → 0 ∆x ∆y → 0 ∆x ϕ ′( y ) ∆y 1 f ′( x) = 。 ϕ ′( y)
第三章
导数与微分
3.3导数的基本公式与运算法则 3.3导数的基本公式与运算法则
复习
(C )′ = 0; ′ = α ⋅ xα −1; (x )
(
3
α
(a x )′ = a x ln a; 1 (loga x )′ = ; x ln a
1 6
(e x )′ = e x ; 1 (ln x)′ = . x
u
x3
复合函数的求导法则： 复合函数的求导法则： dy = dy ⋅ du ，或 y′=y′u⋅u′x 。 dx du dx 2x dy 例 5． y = sin ． ，求 。 2 dx 1+ x 2x 2x 是由 y=sin u， u = 复合而成， 解： y = sin 2 2 1+ x 1+ x 2(1 + x 2 ) − (2 x) 2 dy dy du = cos u ⋅ = ⋅ dx du dx (1 + x 2 ) 2
u( x ) 的可导函数， 则 也是 x 的可导函数，且 v( x ) ′ u( x ) u ′( x ) v ( x ) − u ( x ) v ′( x ) v( x) = v 2(x)
1− x , 求 例3 设 y = 1+ x
常用导数公式及运算法则
常用导数公式及运算法则导数的概念导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在某一点处的变化率。
在数学中，导数表示函数在无限小的变化量情况下的变化率，通常表示为函数的斜率或切线的倾斜程度。
导数在许多领域中都有着广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域都扮演着重要的角色。
常用导数公式下面列出了一些常用的导数公式：1.常数函数的导数–若f(f)=f，其中f为常数，则f′(f)=0。
2.幂函数的导数–若f(f)=f f，其中f为常数，则f′(f)= ff f−1。
3.指数函数的导数–若f(f)=f f，其中f为常数且f>0，则$f'(x)=a^x\\ln(a)$。
4.对数函数的导数–若$f(x) = \\log_a(x)$，其中f为常数且f>0且f ff1，则$f'(x)=\\frac{1}{x\\ln(a)}$。
5.三角函数的导数–若$f(x) = \\sin(x)$，则$f'(x)=\\cos(x)$。
–若$f(x) = \\cos(x)$，则$f'(x)=-\\sin(x)$。
–若$f(x) = \\tan(x)$，则$f'(x)=\\sec^2(x)$。
导数运算法则在求导数时，有一些常用的导数运算法则可以帮助简化计算：1.和差法则–$(f(x) \\pm g(x))' = f'(x) \\pm g'(x)$2.常数倍法则–(ff(f))′=ff′(f)，其中f为常数。
3.乘法法则–$(f(x) \\cdot g(x))' = f'(x) \\cdot g(x) + f(x) \\cdot g'(x)$4.商法则–$\\left(\\frac{f(x)}{g(x)}\\right)' = \\frac{f'(x) \\cdot g(x) - f(x) \\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$5.复合函数求导–若有函数f(f)=f(f(f))，则$F'(x) = f'(g(x)) \\cdot g'(x)$总结通过对常用导数公式和运算法则的了解，可以帮助我们更快更准确地计算函数的导数。
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第二节导数基本公式与运算法则教学目的：1.使学生掌握函数的和、差、积、商的求导法则；2使学生掌握反函数的导数法则、复合函数的求导法则；教学重点：初等函数的求导公式、复合函数的求导法则 教学过程：一、函数的和、差、积、商的求导法则定理 1：若函数)(x u 和)(x v 在点都可导，则)()()(x v x u x f ±=在点也可导，且)()()(000x v x u x f '±'='。
证明：00000)]()([)]()([lim)()(lim00x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x -±-±=--→→ =0000)()(lim)()(lim00x x x v x v x x x u x u x x x x --±--→→=)()(00x v x u '±' 所以)()()(000x v x u x f '±'='。
注 1：本定理可推广到有限个可导函数上去。
2：本定理的结论也常简记为v u v u '±'='±)(。
定理2：若)(x u 和)(x v 在0x x =点可导，则)()()(x v x u x f =在点可导，且有)()()()()(00000'+'='x v x u x v x u x f 。
证明：00000)()()()(lim)()(lim00x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x --=--→→ =00000)()()()()()()()(lim0x x x v x u x v x u x v x u x v x u x x --+-→=00000)()()(lim )()()(lim00x x x v x v x u x v x x x u x u x x x x --+--→→ =00000)()(lim)()(lim )()(lim000x x x v x v x u x v x x x u x u x x x x x x --+--→→→ =)()()()(0000x v x u x v x u '+'即 )()()()()(00000x v x u x v x u x f '+'='。
注 1：若取c x v ≡)(为常数，则有：u c cu '=')(；2：本定理可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如： w uc w v u vw u uvw '+'+'=')(s uvw s w uv ws v u vws u uvws '+'+'+'=')(等。
定理3：若)(),(x v x u 都在0x x =点可导，且0)(0≠x v ，则)()()(x v x u x f =在点也可导，且)()()()()()(0200000x v x v x u x v x u x f '-'='。
证明：)()()()()()()(lim)()()()(lim )()(lim 000000000000x v x v x x x v x u x v x u x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x x x --=--=--→→→ =])()(1)()()()(1)()([lim 0000000x v x v x x x v x v x u x v x x x u x u x x -----→=)(1)()()(1)(020000x v x v x u x v x u '-' =)()()()()(020000x v x v x u x v x u '-' 即)()()()()()(0200000x v x v x u x v x u x f '-'=' 注1：本定理也可通过)(1)()(x v x u x f ⋅=，及])(1[x v 的求导公式来得； 2：本公式简化为2)(vv u v u v u '-'='； 3：以上定理1~3中的，若视为任意，并用代替，使得函数的和、差、积、商的求导函数公式。
【例1】 设xx x x f 22)(-+=，求)(x f '。
解： 31)21(21221)2()2()()22()(xx x x x xx x x f ⋅--⋅+='-'+'='-+='3111xx++=。
【例2】设x xe x f x ln )(=，求)(x f '。
解：)(ln ln )(ln )()ln ()('+'+'='='x xe x e x x e x x xe x f x x x xxxe x xe x e x x x 1ln ln ⋅++= )ln ln 1(x x x e x ++=。
【例3】xc x x xc x x x xx tan csc )(csc ,sin 1)tan (,tan sec )(sec ,cos 1)(tan 22⋅-='-='⋅='='二、反函数的导数法则定理1：设)(x f y =为)(y x ϕ=的反函数，若)(y ϕ在的某邻域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ϕ，则)(x f 在（即)(0y f 点有导数），且)(1)(00y x f ϕ'='。
证明：00000)()(1lim )()(lim )()(lim000y y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→ϕϕϕϕ )(1)()(lim 10000y y y y y y y ϕϕϕ'=--=→所以 )(1)(00y x f ϕ'='。
注1：00y y x x →⇔→，因为)(y ϕ在点附近连续，严格单调；2：若视为任意，并用代替，使得)(1)(y x f ϕ'='或)(1dydx dx dy =，其中dydx dx dy ,均为整体记号，各代表不同的意义；3：)(x f '和)(y ϕ'的“′”均表示求导，但意义不同；4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。
【例1】求x y arcsin =的导数，解：由于]1,1[,arcsin -∈=x x y ，是]2,2[,sin ππ-∈=y y x 的反函数，由定理1得：2211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin xy y y x -=-=='='。
注1：同理可证：22211)tan (,11)(arctan ,11)(arccos xx arcc x x x x +-='+='--='； 2：2tan arctan arccos arcsin π=+=+x arcc x x x 。
【例2】求x y a log =的导数)1,0(≠>a a 。
解：利用指数函数的导数，自己做。
三、复合函数的求导法则复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。
定理2（复合函数求导法则）：如果)(x u ϕ=在0x x =点可导，且)(u f y =在)(00x u u ϕ== 点也可导，那么，以)(u f y =为外函数，以)(x u ϕ=为内函数，所复合的复合函数))((x f y ϕ=在0x x =点可导，且)()(000x u f dxdyx x ϕ''==，或)()(]))(([000x u f x f x x ϕϕ''='= 证明： 000000)()()()(lim ))(())((lim00x x x x u u u f u f x x x f x f x x x x --⋅--=--→→ϕϕϕϕ =0000)()(lim)()(lim00x x x x u u u f u f x x u u --⋅--→→ϕϕ=)()(00x u f ϕ'⋅' 所以)()(,]))(([00x u f x f ϕϕ''=∃'。
注 1：若视为任意，并用代替，便得导函数：)())(())((x x f dxx df ϕϕϕ'⋅'=，或)())((]))(([x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' 或dxdu du dy dx dy ⋅=。
2：))((x f ϕ'与]))((['x f ϕ不同，前者是对变量)(x u ϕ=求导，后者是对变量求导，注意区别。
3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。
4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如：)())(()))(((])))((([x h x h g x h g f x h g f '⋅'⋅'='等。
【例3】 求xy 1arctan=的导数。
解：x y 1arctan=可看成u arctan 与xu 1=复合而成， 211)(arctan u u +='，21)1(x x -='， 22211)1()1(11)1(arctan x x xx y +-=-⋅+='='⇒。
【例4】求μx y =（为常数）的导数。
解：x e x y ln μμ==是u e y =，x v v u ln ,=⋅=μ复合而成的。
所以111)(ln )()()(-⋅=⋅⋅=⋅⋅='⋅'⋅'='='μμμμμμμμx x xx e x v e x y u 。
这就验证了前面§2、1的[例4]。
由此可见，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确。
在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接写出结果。
【例5】21x y -=，求。
解：22221221)1(1121])1[()1(xxx x x x y --='-⋅-⋅='-='-='。