一类亚纯函数的级
某类亚纯函数的例外集
０ 引言及 主要结 果
本 文使 用 Ｎｅａ ｌ ｎ 值 分布 理论 中的常用记 号 ｖ ｎｉ ａ ｎ 及基 本结 果［引 设 厂 开平 面 Ｃ上非 常数 亚纯 函数 ， ． 为 Ｔ ｒｆ （， ）为 亚 纯 函 数 厂 的 特 征 函 数 ， Ｓ ｒ厂 （， ）为
定理 １ 若 Ｐ ｑ 正整数且 Ｐ＞ｑ≥１ ，为 ，ｆ为开平 面内非 常数亚 纯 函数 ，满 足
数学的实践与认识， ０ ０ ４ （ ： ８ ．８ ． ２ １ ， Ｏ ） １３１ ８ ６
【］郑建华．区域常数 以及 它们在 亚纯函数动力系统 中的应用（ ７ 英
文）Ｊ＿ 【 江西师范大学学报： 】 自然科学版， ０ ０ ３ （ ： ４ —４ ． ２ １， ４５ ４ ｌ ７ ） ４
由（） ８式，有 Ｔｒ （
［１Ｙ ｎ ｈ ｎ ｃｕ ， ｉ ｎ ｘ ｎ Ｕｎｑ ｅｅｓｔｅ ｒ ｆ ｒｍｏ－ ３ ａ ｇＣ ｕ ｇｈ ｎ Ｙ ｇ ｕ ． ｉｕｎ ｓ ｏ ｏ ｏ ｒ Ｈｏ ｈ ｙ ｍｅ
’
ｐ ｉ ｕ ｃｉｎ 【 ．Ｄｏｄｅｈ：Ｋｌｗｅ ａｅ ｃ Ｐ ｂｉ ｅｓ ｈｃｆｎ ｔ ｓ Ｍ】 ｏ ｒｒｃｔ ｕ ｒＡｃｄ ｍｉ ｕ ｌｈ ｒ， ｓ
由（） 知 ，存 在 常 数 Ｃ 以 及 ｒ ，当 ， 时 ， ７式 ｏ ． ＞
Ｍ ）
（ 满足（ 式， ｒ ） ４ 则引理 １ ） 成立．
由（） ，对于 任意实 数 ，有 ３式
ｌ 训 ， 一 ｒ ｏ （， ） ｇ ｒ厂 ． ㈣ 一
【 ６ ］徐洪焱， 易才凤， 崔永琴 ． 纯函数 结合 其导数的值分布 ［． 亚 Ｊ 】
ｌ ｉ ｍ
，’ ∞ — ｌｇ ０ ｇ，
（） ３
那 么（） 成立 至多 除去集 满足 ２式
第4节 整函数与亚纯函数
e , sin z , cos z 都是超越整函数.
注1 整函数按唯一奇点z 的不同类型而被分成三类.
z
注2 定理5.10(1)与刘维尔定理一致.
二 亚纯函数的概念及其与有理函数的关系
1 定义5.6 在z平面上除极点外无其它类型奇 点的单值解析函数,称为亚纯函数.
e 如f ( z ) z 1 为亚纯函数.
第四节 整函数与亚纯函数
Department of Mathematics
一 整函数的概念及其分类
1 整函数 在整个z平面上解析的函数.
显然每一个整函数f ( z )都以z 为唯一孤立奇点, 故它在无穷远点的去心邻域0 z 内Laurent展式, 就是它在原点邻域0 z 内的Taylor展式, 即可设
(2) z 为f ( z)的m阶极点 f ( z)是一个m次多项式, m 即f ( z ) c0 c1 z cm z , (cm 0); ( f ( z )在z 的主要部分为c1 z cm z m , cm 0);
(3) z 为f ( z)的本质奇点 展开式(5.14)有无限项. 此时f(z)称为超越整函数. ( f ( z)在z 的主要部分有无穷多项正幂不等于零).
故f ( z)的奇点zk (2k 1) i (k 0, 1, )为极点; 因为(e 1) e 0, 故zk为f ( z)的一阶极点;
z ' z
因为zk ,
故是f ( z)的非孤立奇点,
即f ( z)为超越亚纯函数.
3 例2 考察函数f ( z ) sin z, g ( z ) z 2 z 1 的类型. z
至多以z 为极点, 而在z平面解析; 故g ( z)必为多项式(或常数), 从而为f ( z)有理函数.
亚纯函数的正规族与正规函数
早在1907年, P.Montel({82])就引入了正规族的概念．一族亚纯函数称为正规的，如果族中任一列函数都含有一个按球面 距离局部一致收敛的子列。最近一二十年中，由于在复解析动力系统中的重要地位，正规族理论焕发了勃勃机．
在正规族理论中，著名的Bloch原理和最近由W.Bergweiler和L.Zal-cman(参{17})建议的变形说，如果有某个性质使得在 全平面上只有常数函数所具有，或者稍广一点，如果有某个性质使得在全平面上具有这个性质的亚纯函数(整函数)形成一个正 规族，那么在某—个区域上具有该性质的亚纯函数(全纯函数)族就是一个正规族．尽管Bloch原理—般而言并不成立 ([96])，本论文§2.6和§3.6中的反例说明它的变形一般也不成立，但在正规族理论的研究中Bloch原理及其变形仍然起着重 要的指导作用．可以说，本论文中所有正规族的结果均与Bloch原理及其变形相关．
（１９８９），７８２－７９１．
５】ｐ戢埠Ｘｕｅｃｈｅｎｇ＆Ｚａｌｃｍａｎ，Ｌ．，Ｓｈａｒｉｎｇ ｖａｌｕｅｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌｉｔｙ瞬，Ａｖｋｉ”歹拇Ｍａｔｈ８撒８ｔ魄 ３８：１（２０００），１７１ １８２．
６】Ｓｃｈｗｉｃｋ，Ｗ．，Ｓｈａｒｉｎｇ ｖａｌｕｅｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌｉｔｙ ＩＪｌ，Ａｒｃｈ．Ｍａｔｈ．，５９（１９９２），５０－５４． ７】Ｙａｎｇ Ｌｏ，Ｖａｌｕｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ【Ｍ】，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇｅ，１９９３．
３ ｊ Ｌａｐｐ，≈ｎ，Ｐ．，Ｔｈｅ ｓｐｈｅｒｉｃａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ｝霸，Ａｎｎ。Ａｃａｄ．＆ｉ．托ｎｎ。 Ｓｅｔ．Ａ，Ｍａｔｈ．，３（１９７７），３０１－３１０．
特定类型微分方程的亚纯解与亚纯函数的唯一性
特定类型微分方程的亚纯解与亚纯函数的唯一性
现在，随着科学技术日新月异的发展，有关特定类型微分方程的亚纯解与亚纯函数的唯一性问题成为学术界最具挑战性的研究方向之一。
鉴于在相关理论中普遍存在着复杂而又不稳定的存在性，该问题极其考验学者们对于动态数据变化及方程复杂性的理解能力。
首先，针对有关特定类型微分方程的亚纯解与亚纯函数的唯一性问题，分析师们普遍采用的运筹学方法。
其基本思想是通过采用反规模矩乘法、遗传算法、偏微分方程数值方法、原子结构优化等多种先进分析手段，使有关的特定类型微分方程的计算结果更为准确和有效。
其中，最为重要的反规模矩乘法可以准确计算出某一种特定类型微分方程的亚纯解及其唯一性，以此为基础，其他多种分析方法更加方便和有效地探索亚纯函数的唯一性问题。
此外，近期多位学者利用深度学习等技术，提供了新的技术手段来解决复杂情况下的亚纯解与亚纯函数的唯一性问题，这不仅带来了更多精准的计算结果，而且也使在实践应用中受益。
使用深度学习模型，分析师可以更快地计算出某一特定类型微分方程的亚纯解和其唯一性，为后续基于该结果的亚纯函数的研究奠定良好的基础。
综上所述，有关特定类型微分方程的亚纯解与亚纯函数的唯一性问题仍然被视为学术界极具挑战性的研究方向。
为了给该问题带来突出的新思路和获得更准确的算法结果，学者们应多花心思来完善理论方面的研究，并积极探索新的技术手段，以更好地解决该问题。
涉及分担函数的亚纯函数族的正规定则
０ ａｄｆｒ ａｈ ， ， ｅｆ ｇ∈Ｆ， ”ａｄ ｓａｅ （ ） ｎ ｗ ｅｅ ｚ ０ｉａｈｉｍ ｒｈｃ ｕ ｃｏ ， ｈｓ ｕ ｉｌ ｉ ｎ ｏｅ ｎ ｇ ｈｒ Ｏ ｚ ｉ Ｄ， ｈｒ （） ０ ｏ ｉ ｆｎｔ ｎ ｗ ｏｅｍ ｈｐ ｃ ｓ ｏ ｐ ｉ ｉ・
ｔ ｓ ｏ ｅ ｏ ｎＤ ｒ ｔｍｏ ｔ ，ｗ ｅｅ ｋ ｒ ｏ ｉ ｖ ｎ ｅ ｅ ． ｉ ｆｚ ｒｓ ｉ ｅ ａｅ ａ ｓ ｌ ｈ ｒ ，Ｚ ｅ ｐ ｓｔ ｅ ｉ ｔｇ ｒ ａ ｉ ｓ
≠０ 且其极点个数记为 ｔ若满足条件（ ） ｚ 的极点重数都至少为 ｄ ｔ＜ｋ＋ｄ 或条件 ， ， １ ） 且 ，
（ ） 其极 点重 数都 至少 为 ｄ＋１那么 ¨ 一ｐ ｚ ２： ， （）至少有 两个 不 同的零点 ， 且 ¨ 一Ｐ ０ （） ．
证明 由于 ） 是一个非多项式有理函数 ， 石 且 ）≠ ０ 所以可设 ，
如果对每个，Ｅ， ） ” ≠０且－ （） 零点重数至少为 ， ≠ｏ （） ， ， ＜ ¨一 彳 的
上正规 ．
， Ｆ 则 必在Ｄ
２１ ０２年丁杰 ， 戚建明， 朱泰英［ ］ 以下结果 ： ３有
定理 Ｃ 设 （）事０区域 Ｄ 内的全纯 函数 ， 是正 整数 ， ｋ Ｆ是 区域 Ｄ内 的一 族亚 纯 函数 ，
所 以 ｄｇ ｇ ）＝ｋ ｔ一１ ｅ（１ （ ）．
（） Ｉ假设 式 可设
一Ｐ（）只有一 个零 点 Ｚ． ０注意 到 ｄｇ ｇ ）＝ｋ ｔ ）＜ｋ ＋Ｎ， 以由 （ ． ） ｅ （ （ 一１ ｔ 所 ２２
ｆ Ｐ ｋ （ ） ㈤＿
这里 Ｃ是一 个非 零 常数 ．
警
３
（） ２ ・ ４
由（ ） Ｉ） 所 以引理 １得证 ． Ｉ （Ｉ ，
亚纯函数第一基本定理
亚纯函数第一基本定理
亚纯函数第一基本定理是复分析中的一个重要定理，它是指在复平面上的亚纯函数的极点和零点的数量是相等的。
这个定理在复分析中有着广泛的应用，特别是在解析数论和物理学中。
我们需要了解什么是亚纯函数。
亚纯函数是指在复平面上除了有限个孤立奇点外，都是解析的函数。
孤立奇点是指在某个点处函数不解析，但是在该点的邻域内函数是解析的。
亚纯函数可以看作是解析函数和多项式函数的组合。
亚纯函数第一基本定理告诉我们，亚纯函数的极点和零点的数量是相等的。
极点是指在某个点处函数趋于无穷大，而零点是指在某个点处函数等于零。
这个定理的证明可以通过利用亚纯函数的Laurent 级数展开来完成。
这个定理的应用非常广泛。
在解析数论中，亚纯函数第一基本定理可以用来证明黎曼猜想的一些特殊情况。
在物理学中，亚纯函数第一基本定理可以用来计算量子场论中的费曼图。
亚纯函数第一基本定理是复分析中的一个重要定理，它告诉我们亚纯函数的极点和零点的数量是相等的。
这个定理在解析数论和物理学中有着广泛的应用。
关于亚纯函数及其导数的特征函数
关于亚纯函数及其导数的特征函数亚纯函数是复变函数中的一类特殊函数。
它们具有一些特殊的性质，特别是在复平面上的孤立奇点处。
亚纯函数在复平面上定义，并且不能在复数的一些点处取无限大值，例如极点或本质奇点。
它们的导数可以在它们定义的范围内计算，并且仍然是亚纯函数。
为了更好地理解亚纯函数及其导数的特征，我们首先来讨论亚纯函数的定义。
一个函数f(z)是亚纯函数，如果它在数学上满足以下两个条件：1.函数f(z)在复平面除有限个奇点外处处解析。
即它是除有限个孤立奇点外的解析函数。
2.函数f(z)在它的孤立奇点处都不取无穷大值。
也就是说，除非孤立奇点是可去奇点，否则它们是极点或本质奇点。
亚纯函数类似于整函数，但亚纯函数还可以具有极点或本质奇点。
亚纯函数的一个重要性质是它们的导数仍然是亚纯函数，除非导数恒等于零。
对于亚纯函数f(z)，它的导数f'(z)的特征函数可以用以下方式定义：1.亚纯函数的导数也是亚纯函数：如果f(z)是亚纯函数，则它的导数f'(z)也是亚纯函数。
2.亚纯函数的导数为零：如果亚纯函数的导数恒等于零，那么该亚纯函数是一个常数。
3.亚纯函数的导数的极点：亚纯函数的导数f'(z)在与f(z)具有相同奇点的点上可能具有极点，这些点称为f(z)的极点。
亚纯函数的导数的特征函数提供了研究亚纯函数性质的有效方法。
通过分析亚纯函数及其导数的特征函数，我们可以了解亚纯函数的奇点分布情况，以及计算亚纯函数的导数在不同点的性质。
亚纯函数和其导数的特征函数在复分析领域有广泛的应用。
通过研究亚纯函数及其导数的特征函数，我们可以推导出很多有关复变函数的重要性质，例如Riemann映射定理、辐角原理等。
总而言之，亚纯函数是一类特殊的复变函数，它在复平面上除了有限个孤立奇点处解析，并且不在其孤立奇点处取无穷大值。
亚纯函数的导数具有一些重要的特征函数，通过分析亚纯函数及其导数的特征函数，我们可以深入了解亚纯函数的性质及其在复变函数理论中的应用。
一线性算子定义下的亚纯多叶函数的子类
（ ｃ ）＝ ～２ ｌ１ ａ ｃ ） ａ， ； Ｆ（， ；； ，
收 稿 日期 ： ０ ０ ２２ ２ １－ —０ ０
作者简介 ： 周伟 （９ ５） １７ ．，男，江苏淮安人 ， 讲师 ，硕士 ，主要从事复变 函数的教学与研究
２８ ８
淮 阴师 范 学 院 学 报 （ 自然 科 学 ）
第９ 卷
证 明 设 ∈ （ ｎ＋１ Ｃ Ａ， ， ， ； Ｂ）令
一 ＿ 卜错 ＿ 网
其 中 （ ） Ｅ内解 析或亚 纯 ， ｚ在 且满 足 ｗ（）＝０ ｏ ． 对 （） 两边关 于 ｚ 行对数 求导 ， 利用 （） 可得 ： ９式 进 并 ７式
ｃ ｛ 。 （｛－ ＋ ＿
ｐ Ｂ—Ａ） ． （ Ｗ（ ）
一
线性 算子定义下 的亚纯 多叶函数的子类
周 伟
（ 阴师范学 院 数学科学学 院，江苏 淮安 淮 ２ ３０ ） ２０ １
摘 要 ： 利用 一线性算子定义了亚纯 多叶函数 的子类， 并研 究了函数在积分 算子作用下 的函
数 类 的从 属性 质 ．
关键词 ：线 性算 子 ； － ｐ 叶亚 纯 函数 ； 属性 质 从
２ 主 要 结论
这里 我们先介 绍一个 引理 ， 然后将应 用它来 证 明下 面 的定 理 １ 及定 理 ２ ．
Ｊｃ ａｋ引
≤ Ｉ Ｉ Ｉ ０Ｉ ｚ
设非 常数 函数 ∞（ 在单 位 圆盘 Ｅ ＝ ｛：Ｉ Ｉ １ 中解析 ， ｃ（）＝０若 存在 。 ） ｚ ＜ ｝ 且 ｏｏ ，
设∑ 表 如 示形 厂ｚ ＝ｚ ＋∑ ａｋ（ ∈Ｎ：｛２ ， ） （ ） 一 ｋ－ ｐ ｚｐ １ ， …｝ ，３
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Ｊ≤ ［ ｒ ＋ ） Ｄ ５一（ ］ １ ． ｒ 定理 Ｄ 如果整函数厂 ） （ 的零点位于 口 条射线 上 ａ ＝ （： ， ， ｑ ， ｒ ｚ ＿ １２ …，）则 ｇ 『 ２ｆ ４（ ］ １． ｐ￣ ［， ＋ ） ＜ 个 自然的问题是： 对于下级有穷的亚纯函数 ） 如果其零 点 和极 点 只位 于 有 限条 射线 上 或者 ， 只有有限条 Ｊｌ 方向， ｕａ ｉ 那么 ｚ 的级是否也有类似 ） 于上述结果中的估计？ 本文构造了一个零点和极点只位于一条射线并 且 只有 一条 Ｊｌ 方 向的亚纯 函数否定 该 问题． 到 ｕｉ ａ 得
１２…， ） ， ｐ≤［ｒ ＋ ． ， ，， ｍ 上 那么 ， ］ ｍ 同时 他还证明了
ｍ＝１ ｍ＝ ， ２时 ， 上述猜 测是成 立的．
（ ， ０ｐ 可以为充分大的有理数． ３ ＝； ， 由于定理 ｌ 所构造的函数的零点和极点位于同 条射 线上 ， 有趣 的是 当亚纯 函数 零 点 和极 点分 别 位于 ２条不 同的射线 时 ， 上述 问题不仅 是对 的 ， 而且 级 具有 ≤［ ］＋２的线性估 计． ｒ 定理 ２ 设亚 纯 函数 ） 的零点位 于 ａｇ ｒ ＝０ ｆ ， 极点位于 ａ ＝ （ ） ， ｒ ｇ Ｊ ≠ ， Ｇ［ ，＝ ， Ｂ ｏ２ｒ 那么它 ） 的级和下级满足ｐ≤［ ｒ ＋ ． ， ］ ２
一
详细参见文献［ ］ 以下记 ｐ 表示亚纯函数厂 ｚ 的 １． ， （） 级， 记 示亚纯函数 ） 的下级． １６ 年 ，Ｄ Ｅ 和 Ｆ Ｃ Ｓ ９０ Ｅ Ｒ Ｉ Ｕ Ｈ 在文献［ ］ ２ 中证明了： 定理 Ａ 如果 下级有穷 的整 函数 的零点 只位 于
有 限条从原点 出发 的射 线 上 ， 么该 整 函数 的级 为 那 有 限数．
文章编号：１０ ５ ６ （ ００ ０ ０２ ｏ ００— ４ ３ ２ １ ）２— ０４一 ３
一
类 亚纯 函数 的级
叶枝宏 ，尹爱军
（ 思茅师范高等专科学校数学系 ， 云南普洱 ６ ５０ ） ６ ００
摘要： 构造 了下级为 ０ 级可以为任意取定 的大干 １的有理数 、 、 零点和极点位于正实轴上 、 只有一条 Ｊｌ ｕ ａ方 向的亚纯 ｉ
一
１９ ９３年 ， ＩＯ在 文 献 ［ ］ ＱＡ ５ 中得到 了与 Ｊｌ ｕｉ ａ方 向或者是零点所 在 射线 的几何 分 布无 关 ， 但依 赖 于 下级 和 Ｊｌ 方 向个 数或 零 点 所 在射 线 个数 的整 函 ｕｉ ａ 数级 的上界估计 ． 他证 明 了下述定 理 ：
２ 主 要 引理 以及 证 明
华南师 范大学学报 （ 自然科 学版 ）
２１ ００年 ５月
Ｍａ ０ ０ ｙ２ １
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｓ ＯＵＴ ＣＨＩ Ｈ ＮＡ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮＩ ＶＥＲＳ Ｙ Ｉ ｒ
２ １ 第 ２期 ０ ０年
Ｎｏ ２， ０ ０ ． ２ １
（ Ａ ＵＲ Ｃ Ｅ Ｃ ＤＴ Ｏ Ｎ Ｔ ＡＬＳ ＩＮ Ｅ Ｅ ＩＩＮ）
引理 ｉ 若 ） 为开 平 面上 的亚 纯 函数 ， 则
定理 Ｃ 如果整 函数ｆ ｚ 仅有有 限条 Ｊｌ 方 （） ｕａ ｉ
向 ａｇ ＝８ Ｊ ，， ，）则 ｒ （ ：１２ … ｑ ， ｚ
收 稿 日期 ： ０ ９— ３—１ ２０ ０ ６
对 于任 何复数 ａ有 ：
：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｈ ＋∞
ｌ Ｋ ｏ ｒ
Ｈ ＋∞
ｌ ｏＲ ｒ
，
作者简介：叶枝宏 （９ ０ ）男 ， １８ 一 ， 云南普洱人 ， 思茅师范高等专科学校助教 ， 主要研究方向 ： 复分析 ， ｍ ｉ ｙｈｘｙ ｘ ６ ．ｏ ． Ｅ ａｌ ｚａｙ ．ｊ ３ ｃｒ ： ＠１ ｎ
第 ２期
叶枝 宏等 ： 类 亚 纯 函 数 的 级 一
１ 问题 的提 出及 相 关结 果
零 点 和极 点位 于有 限条从原 点 出发 的射线上 或 只有有限个 Ｊｌ ｕｉ 向的亚 纯 函数 类 是 一个 十 分 重 ａ方 要 、 许多数 学工作者 都十分关 注 的函数 类． 且 人们 对 它 已经有 比较 深入 的研 究 ， 并取 得 了一 批 丰 富 的成 果 ． 文采用 Ｎ ｖｎｉｎ 理论 中的结果 和相关 记号 ， 本 ｅａｌ ａ ｎ
２ ５
ｉ 掣 ｉ ｍ
：ｉ 车 型 ． ｌ ｍ
厂） （ ＝兀 （ ）・兀 （） ｚ．
ｋ ：ｐ ＝Ｎ ＋ｌ
ｌ － Ｉ
引理２ 设 （） ｚ是开平面上的以｛ ｝ 工 为零
点、 ｂ｝ 以｛ 墨 为极点的亚纯函数 ， （ ） ， ； 且厂 ０ ≠０ 。 则 。 对任何 有 ｍ∈Ｎ＋ ：
函数． 利用这个 函数 回答 了亚纯 函数的级 的估计 的一个 问题． 同时得到： 若一个亚纯函数 的零点和极点位于 ２条从原 点出发的不同的射线上 ， 那么该 亚纯 函数的级 与下级之差不超过 ２ ．
关 键 词 ： 纯 函 数 ；零 点和 极 点 ； 与 下 级 ； ｕ ａ 向 亚 级 Ｊｌ 方 ｉ 中图 分类 号 ： １４ ５ Ｏ ７ ．２ 文献 标 志 码 ： Ａ
如下结 果 ： 定 理 １ 存在 亚纯 函数 ）满 足 ： ，
（） １ 仅有一 限条 Ｊｌ 方 向 ； ｕｉ ａ （） ２ 零点和极点只位于 Ｊｌ 方向上 ； ｕａ ｉ
１７ 年 ， ９ ８ 张广厚在文献［ ］ ３ 中证明了： 定理 Ｂ 设 ＝ 为下 级有 穷 的整 函数 ， ） 如果 它