2019-2020年高中数学第三3.1.2两条直线平行与垂直的判定优化练习新人教A版必修2

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定[课时作业][A 组 基础巩固]1．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，下面四个结论：①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④RP ⊥QS .正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由斜率公式知k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35， k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4， k PR ＝6－212＋4＝14，∴PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，RP ⊥QS . 而k PS ≠k QS ，所以PS 与QS 不平行，故①②④正确，选C.答案：C2．给定三点A (1,0)、B (－1, 0)、C (1,2)，则过A 点且与直线BC 垂直的直线经过点( )A ．(0,1)B ．(0,0)C ．(－1,0)D ．(0，－1)解析：∵k BC ＝2－01－－＝1， ∴过A 点且与直线BC 垂直的直线的斜率为－1.又∵k ＝1－00－1＝－1，∴直线过点(0,1)． 答案：A3．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形解析：如图所示，易知k AB ＝－1－12－－＝－23， k AC ＝4－11－－＝32， 由k AB ·k AC ＝－1知三角形是以A 点为直角顶点的直角三角形．答案：C4．若直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．3 C ．0或1D ．1或3 解析：∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－－0－3a＝－1，解得a ＝1或a ＝3. 答案：D5．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0，k BD ＝－14，k AC ＝34，所以 k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－316，故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直，所以四边形ABCD 为平行四边形．答案：B6．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2经过点A (1,2)，B (2，a )，若直线l 1∥l 2，则a ＝__________；若直线l 1⊥l 2，则a ＝__________.解析：l 1∥l 2时，a －22－1＝3，则a ＝5；l 1⊥l 2时，a －22－1＝－13，则a ＝53. 答案：5 537．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－4k ＋m ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则m ＝________.若l 1∥l 2，则m ＝________.解析：由一元二次方程根与系数的关系得k 1·k 2＝m 2， 若l 1⊥l 2，则m 2＝－1，∴m ＝－2. 若l 1∥l 2则k 1＝k 2，即关于k 的二次方程2k 2－4k ＋m ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(－4)2－4×2×m ＝0，∴m ＝2.答案：－2 28．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，若点D 使直线BC ∥AD ，直线AB ⊥CD ，则点D 的坐标是________．解析：设D (x ，y )，由BC ∥AD ，得2－02－3＝y ＋1x －1，① 由AB ⊥CD ，得2＋12－1×y x －3＝－1，②※精 品 试 卷※ ∴由①②解得x ＝0，y ＝1.答案：(0,1)9．已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．解析：因为A ，B 两点的纵坐标不相等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，所以－m ≠3，即m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1.当m ＝－1时，C ，D 两点的纵坐标均为－1，则CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式，得k AB ＝4－2－2m －4－－m －＝2－m ＋，k CD ＝3m ＋2－m 3－－m ＝m ＋m ＋3.因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，即2－m ＋·m ＋m ＋3＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.10．已知△ABC 的顶点分别为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5×1＋11－5＝－1，解得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5×m －12－1＝－1，解得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5×m －12－1＝－1，解得m ＝±2.综上，m 的值为－7，－2,2或3.[B 组 能力提升]1．已知直线l 1和l 2互相垂直且都过点A (1,1)，若l 1过原点O (0,0)，则l 2与y 轴交点的坐标为() A ．(2,0) B ．(0,2) C ．(0,1) D ．(1,0)解析：l 1的斜率为k 1＝1，设l 2与y 轴的交点为(0，y )，∴l 2的斜率k 2＝y －1－1＝－1，∴y ＝2，∴l 2与y 轴的交点为(0,2)．答案：B2．过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，73，B (7,0)的直线l 1与过点C (2,1)，D (3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 等于( )A ．－3B ．3C ．－6D ．6解析：如图所示，∵圆的内接四边形对角互补，∴l 1和l 2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1.∵k 1＝73－7＝－13， k 2＝k ＋1－13－2＝k ，∴k ＝3. 答案：B3．点A 是x 轴上的动点，一条直线过点M (2,3)，垂直于MA ，交y 轴于点B ，过点A ，B 分别作x 轴、y 轴的垂线交于点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足的关系式是________．解析：∵PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，P (x ，y )，∴A (x,0)，B (0，y )．由MA ⊥MB ，∴k MA ·k MB ＝－1，即32－x ·3－y 2＝－1(x ≠2)，化简，得2x ＋3y －13＝0.当x ＝2时，点P 与点M 重合，点P (2,3)的坐标也满足方程2x ＋3y －13＝0，所以P (x ，y )满足的关系式为2x ＋3y －13＝0.答案：2x ＋3y －13＝04．已知l 1的斜率是2，l 2过点A (－1，－2)，B (x,6)，且l 1∥l 2，则＝________. 解析：因为l 1∥l 2，所以6＋2x ＋1＝2，解得x ＝3. 所以＝－12. 答案：－125．在平面直角坐标系xOy 中，四边形OPQR 的顶点坐标分别为O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t >0.试判断四边形OPQR 的形状．解析：由斜率公式，得k OP ＝t －01－0＝t ， k QR ＝2－＋t －2t －－2t ＝－t －1＝t ， k OR ＝2－0－2t －0＝－1t ， k PQ ＝2＋t －t 1－2t －1＝2－2t ＝－1t.∴k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，∴OP ∥QR ，OR ∥PQ ，∴四边形OPQR 为平行四边形．又k OP ·k OR ＝－1，∴OP ⊥OR ，∴四边形OPQR 为矩形．6．直线l 的倾斜角为30°，点P (2,1)在直线l 上，直线l 绕点P (2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l 1的位置，此时直线l 1与l 2平行，且l 2是线段AB 的垂直平分线，其中A (1，m －1)，B (m,2)，试求m 的值． 解析：如图，直线l 1的倾斜角为30°＋30°＝60°，∴直线l 1的斜率k 1＝tan 60°＝ 3.当m ＝1时，直线AB 的斜率不存在，此时l 2的斜率为0，不满足l 1∥l 2.当m ≠1时，直线AB 的斜率k AB ＝m －1－21－m ＝m－31－m ，∴线段AB 的垂直平分线l 2的斜率为k 2＝m －1m －3.∵l 1与l 2平行，∴k 1＝k 2，即3＝m －1m －3，解得m ＝4＋ 3.。