第五章 5.2.5.2.1 第一课时 三角函数的定义2019(秋)数学 必修 第一册 人教A版(新教材)

A.tan α C.cos α
B.sin α D.都有意义
解析 由三角函数的定义 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx，可知 tan α 无意义. 答案 A
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2.若角 α 的终边上一点的坐标为(1，－1)，则 cos α 为( )
A.1
B.－1
答案 －1
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一、素养落地 1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、直观想象素养. 2.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函
数.
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二、素养训练 1.若角α的终边上有一点P(0，3)，则下列式子无意义的是( )
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【训练 2】 已知角 α 的终边经过点 P(5m，12)，且 cos α＝－153，则 m＝________.
解析
r＝
（5m）2＋122 ＝
25m2＋144 ， cos
α
＝
5m r
＝
－
5 13
<0
，
m<0，
∴
25mm2＋144＝－113，解得 m＝－1.
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2.若点 P(3，y)是角 α 终边上的一点，且满足 y<0，cos α＝35，则 tan α＝________. 解析 ∵cos α＝ 323＋y2＝35， ∴ 32＋y2＝5.∴y2＝16， ∵y<0，∴y＝－4，∴tan α＝－43. 答案 －43
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义知
sin
α＝－12，cos
α＝－
23，tan
α＝
3 3.
答案
－12
－
3 2
3 3
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(2)利用定义求23π的正弦、余弦和正切值. 解 如图所示，23π的终边与单位圆的交点为 P，过点 P 作 PB⊥x 轴于点 B，在 Rt△OPB
中，|OP|＝1，∠POB＝π3，则|PB|＝ 23，|OB|＝12，则 P－12， 23.所以 sin 23π＝ 23，
sin α＝yr＝45aa＝45，cos α＝xr＝－53aa＝－35， 所以 2sin α＋cos α＝85－35＝1.
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②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝－4a5a＝－45，cos α＝－ －35aa＝35. 所以 2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.
5.2 三角函数的概念 5.2.1 三角函数的概念 第一课时 三角函数的定义
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课标要求
素养要求
1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义. 2.能利用定义解决相关问题.
通过对正弦函数、余弦函数、正切函 数定义的理解，重点提升学生的数学 抽象和直观想象素养.
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定义
正切
y
y
___x__叫做 α 的正切函数，记作 tan α，即 tan α＝__x___
(x≠0)
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点
三角函数 的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三
角函数
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2.正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域 (1)正弦函数 y＝sin x 的定义域为____R____； (2)余弦函数 y＝cos x 的定义域为____R____； (3)正切函数 y＝tan x 的定义域为_{_x_|_x_∈__R_且__x_≠__k_π_＋__，__k_∈__Z_}___.
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规律方法 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线还是应 分两种情况处理.
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【训练 1】 (1)已知角 α 的终边经过点(－ 23，－12)，则 sin α＝________，cos α
＝________，tan α＝________. 解析 因为(－ 23)2＋(－12)2＝1，所以点(－ 23，－12)在单位圆上，由三角函数的定
教材知识探究
如图所示是光明游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面的高度为h0，它的直 径为2R，逆时针方向匀速运动，转动一周需要360秒.
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问题 1.若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的 高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？ 2.如图所示建立直锐角α的正弦函数的定义吗？能否也定义其他函数(余弦、正切)？ 改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？
3 cos 23π＝－12，tan 23π＝－212＝－ 3.
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题型二 利用角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值 【例2】 已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.
在求r时应注意r＝|OP|>0.
解 r＝ （－3a）2＋（4a）2＝5|a|， ①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限.
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1.任意角的三角函数的定义
如图，设α是一个任意角，它的终边与 单位圆 前提
交于点P(x，y) 圆心在坐标原点，半径为1的圆为单位圆
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正弦 余弦
___y__叫做 α 的正弦函数，记作 sin α，即 sin α＝__y__ ___x__叫做 α 的余弦函数，记作 cos α，即 cos α＝__x__
规律方法 首先求出角的终边与单位圆交点的坐标，然后利用任意角的三角函数的定 义求解.
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【例1－2】 已知角α的终边在直线y＝x上，则sin α＝________.
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解析 易知角 α 的终边在第一象限或第三象限，
当角
α
的终边在第一象限时，角
α
的终边与单位圆的交点
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规律方法 (1)已知角 α 终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 在 α 的终边上任选一点 P(x，y)，设 P 到原点的距离为 r(r>0)，则 sin α＝yr，cos α ＝xr.当已知 α 的终边上一点求 α 的三角函数值时，用该方法更方便. (2)当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数 进行分类讨论.
解析 由题意知 r＝ 52＋122＝13，所以，cos α＝153， sin α＝1123，所以，cos α－sin α＝－173，故选 C.
答案 C
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4.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a的取值范围是 ________. 解析 由三角函数的定义可知sin α>0 a＋2>0，cos α≤0 3a－9≤0，∴－2<a≤3. 答案 (－2，3]
标为35，求 tan α. 解 由题意，设点 A 的坐标为(x，35)，所以 x2＋(35)2＝1，
解得 x＝45或－45.
3
当 x＝45时，角 α 在第一象限，tan α＝54＝34；
53
当 x＝－45时，角 α 在第二象限，tan α＝－545＝－34.
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[微思考] 1.三角函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关？
提示 三角函数值是比值，是一个实数，没有单位，这个实数大小和点P(x，y) 在终边上的位置无关，而仅由角α的终边位置所决定.对于确定的角α，其终边 的位置也唯一确定了，就是说，三角函数值的大小仅与角有关，它是角的函数.
2 C. 2
D.－
2 2
解析 ∵角 α 的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离 r＝ 12＋（－1）2
＝
2，∴cos
α＝xr＝
1＝ 2
2 2.
答案 C
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3.若角 α 的终边过点(5，12)，则 cos α－sin α＝( )
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A.13
B.13
C.－173
D.－153
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2.若两个角α，β的正弦值相等，那么α＝β吗？ 提示 不一定相等，α，β可能相等，也可能为终边相同的角，还可能终边关于 y轴对称.
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题型一 三角函数定义的应用
【例 1－1】 在平面直角坐标系中，角 α 的终边与单位圆交于点 A，点 A 的纵坐
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提示 1.30 秒时 h＝h0＋R·sin 30°＝h0＋12R； 45 秒时 h＝h0＋Rsin 45°，t 秒时 h＝h0＋Rsin t°. 2.能，sin α＝yP，cos α＝xP，tan α＝yxPP，改变终边上点的位置，比值不会改变.