人教版高一数学集合

高一数学集合
课题：§1.1 集合
教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。

另一方面，集合论及其所反映的
数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。

课型：新授课
课时计划：本课题共安排1课时
教学目的：（1）初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；
（2）初步了解“属于”关系的意义；
（3）初步了解有限集、无限集、空集的意义；
教学重点：集合的基本概念与表示方法；
教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；
教具使用：常规教学
教学过程：
一、听课要求
1.课前要预习，课后要复习，作业要认真，按时完成，优秀的学生往往是能自学的；
2.认真听讲，积极思维，听课时要做笔记，笔记本要大。

记录教师范例、练习、课本重点难点，不懂就问；
3.每周一测，每天都有作业，按时完成作业，作业要求每个月装订一次。

二、温故知新，引入课题
军训前学校通知： 8月15日8点，高一年段在体育馆进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，我们感兴趣的是问题中的对象整体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念（宣布课题）
三、新课教学
1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些
东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.在本书，一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。

3.集合的正例和反例
（1）{2，3，4}，{（2，3），（3，4）}， {三角形}， { x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，{51，52，53，…，100}，{2，4，6，8，…}，{1，2，（1，2），{1，2}}
（2）“好心的人”“著名的数学家”……这类对象一般不能构成数学意义上的集合，因为找不到用以判别每一具体对象是否属于集合的明确标准。

{1，1，2}由于出现重复元素，也不是集合的正确表示。

4.关于集合的元素的特征
（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。

5.集合中的每个对象叫做这个集合的元素集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A
例如：1∈Z，2.5∉Z，0∈N；
6.集合的表示方法，常用的有列举法和描述法
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；
（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，…；
7.有限集和无限集的概念
8.常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作N
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
除0数集用符号*或+表示，比如正整数集，记作N*或N+；非零整数集记作Z*；
9.描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，
例如：{整数}，即代表整数集Z 。

注意：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。

下列写法{实数集}，{R}也是错误的。

10.不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；
11.韦恩图表示集合
12.列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般无限集，不宜采用列举法。

13.课堂练习
（1）由实数332x ,x |,x |,x ,x --所组成的集合，最多含有 2 个元素； （2）求数集{1，x ，x 2-x}中的元素x 应满足的条件；
由互异性知，⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠-≠x
x x 1x x 1
x 22，得25
1,2,1,0x ±≠
（3）表示所有正偶数组成的集合；{x|x=2n,n ∈N*}，是无限集；
（4）用描述法表示不超过30的非负偶数的集合是
}Z k ,15k 0,k 2x |x {∈≤≤=
（5）用列举法表示}0)1x )(2x )(32x )(1x (|Q x {A 2
2=+--+∈=
}32
,1{A -=
（6）用列举法表示*}N m 36
|Z m {B ∈-∈=
}2,1,0,3{B -=
（7）已知集合}R x ,R a ,01x 2ax |x {A 2∈∈=++=
①若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个集合；
a=0时，2x+1=0，得21
x -=，集合为{21
}
a ≠0时，∆=4-4a=0，得a=1，集合为{-1}
②若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围；
a=0时，2x+1=0，得21
x -=
a ≠0时，∆=4-4a<0，得a>1
∴a 的取值范围是a>1或a=0；
（8）问集合A 与B 相等吗？集合A 与C 相等吗？其中
}
R x ,1x y |)y ,x {(C }
R t ,1t x |x {B }
R x ,1x y |y {A 222∈+==∈+==∈+==
A=B ，A 与C 是两个不同的集合；
（9）写出方程2x 2+2x-1=0的解集，并化简
（10）写出不等式2x 2+3x-1>2(x+1)(x-1)的解集，并化简
四、归纳小结，强化思想
本节课从初中代数与几何涉及的几何实例入手，引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子。

五、作业布置
1、 读书部分：课本1.1
2、 课后思考：
3、 书面作业：习题1.1，课时训练1.1
4、 提高内容：
当集合S ⊆N*，且满足命题“如果x ∈S ，则8-x ∈S ”时，回答下列问题：
（1）试写出只有一个元素的集合S ；
（2）试写出元素个数为2的S 的全部。

（3）满足上述条件的集合S 总共有多少个？
[解] ∵x ，8-x 都是自然数，∴1≤x ≤7。

可组成S 的元素仅限于自然数1，2 ， (7)
（1）∵S 中只有一个元素，∴x=8-x ，即x=4；S={4}
（2）S={1，7}；{2，6}；{3，5}
（3）3个元素的集合有{1，4，7}，{2，4，6}，{3，4，5}；
4个元素的集合有{1，2，6，7}，{1，3，5，7}，{2，3，5，6}；
5个元素的集合有{1，2，4，6，7}，{1，3，4，5，7}，{2，3，4，5，6}；
6个元素的集合有{1，2，3，5，6，7}；
7个元素的集合有{1，2，3，4，5，6，7}；
∴满足已知命题的集合S 共有15个。

六、教学反馈
（附加）数学的重要性和数学的研究方法
有人比做数学是扎根在土地的大树，大树的主干是数字和基本图形，它分出的支干是数学
的各个分支，后来有人说，数学的发展已经远远超过其他学科，它已高高在上，在遥遥的宇宙之颠，俯瞰、指点着事间的任何一个学科。

这当然是对数学的赞誉，也从侧面反映数学的重要性，但数学家却不认为数学高高在上之说，第一种观点是对的，第二种观点是错的，你们知道为什么吗？第一种观点指出数学这棵大树之所以根繁叶茂，是因为它来源于实践，是建立在现实需要的基础之上的。

而第二种提法却将数学与哲学相提并论。

数学是应用学科，因此它的学习和要求就有其特别的地方。

数学的处理方法也有其不同。

科学的处理方法与数学的处理方法有何不同，让我们举个例子来说明：我们有一张移走两个对角方块的棋盘，它只剩下62个方块。

现在我们取31张多米诺骨牌，每一张骨牌恰好能覆盖住2个方块。

要问：是否将这31张多米诺骨牌摆得使它们覆盖住棋盘上的62个方块？
对这个问题有两种处理方法：
（1）科学的处理方法
科学家将试图通过试验来解答这个问题，在试过几十种摆法后会发现都失败了。

最终，科学家相信有足够的证据说棋盘不能被覆盖。

当然科学家也不得不承认有这种前景：某天这个理论可能被推翻。

（2）数学的处理方法
数学家试图通过逻辑论证来解答这个问题，这种论证将推导出无可怀疑的正确的并且永远不会引起争论的结论。

论证如下：
▲棋盘上被移去的两个角都是白色的。

于是现在有32个黑方块而只有30个白方块。

▲每块多米诺骨牌覆盖2个相邻的方块，而相邻方块的颜色总是不同的，即1块黑色和一块白色。

▲于是，不管如何摆骨牌，最先放在棋盘上的30张多米诺骨牌必定覆盖30个白色方块和30个黑色方块。

▲结果，总是留给你一张多米诺骨牌和2个剩下的黑色方块。

▲但是，请记住每张多米诺骨牌覆盖2个相邻的方块，而相邻方块的颜色是不同的，可是这2个剩下的方块颜色是相同的，所以它们不可能被剩下的1张多米诺骨牌覆盖。

▲于是覆盖这张棋盘肯定不可能的。