2019学年度高中数学第一章集合与函数的概念1.1集合1.1.1第一课时集合的含义练习新人教A版必修1
高中一年级数学必修1第一章 集合与函数的概念1.1 集合第一课时课件
1、什么是集合？什么是元素？怎么表 示？
2、常用的数集用哪些符号表示？
3、
4、
2.重要的数集:
N：自然数集(含0)
N+：正整数集(不含0)
Z：整数集
Q：有理数集
R：实数集
数集的扩充过程
N
*
N
N
自然数 集
或
Z
整数集
正整数 集
实数集
有理数 集
4.集合元素的性质:
⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一. ⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同 的. 如:方程 x2－x＋＝0的解集为{1} 而非{1，1}. ⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同一集合.
那么{(1，2)}，{(2，1)}是否为同一集合?
3 这些数组成的一个集合中 (2)由1，3，0，5， 有5个元素，这种说法对吗？
集合中的元素是 互异的！
课堂探究
探究点2：集合中元素的性质.
(3)高一（4）班的全体同学组成一个集合，调 整座位后，这个集合有没有变化？
集合中的元素是 无序的！
4.集合元素的性质:
⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一.
1.了解集合的含义；
2.掌握集合中元素的三个特性；（重点）
3.会用符号表示元素与集合之间的关系；（难点） 4.理解常用数集符号表示的含义.
1、什么是集合？什么是元素？怎么表 示？
史化集合
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为： 许多的人或物聚集在一起.
康托尔（G.Cantor,1845-1918），德 国数学家，集合论的创始人，他于1895年 谈到“集合”一词.
高中数学第一章集合与函数概念1.1.1.1集合的含义人教A版必修1
解 (1)因为－3∈A，所以 a－2＝－3 或 2a2＋5a＝－3， 解得 a＝－1 或 a＝－32.
当 a＝－1 时，A 中三个元素分别为－3，－3,12，不符 合集合中元素的互异性，舍去．
【跟踪训练 2】 (1)用符号“∈”或“∉”填空． ①0.3· ____∉____N*；②1____∈____N； ③1.5_____∉___Z；④2 2____∉____Q； ⑤2＋ 3____∈____R；⑥若 x2＋1＝0，则 x____∉____R. (2)设 x∈R，集合 A 中含有三个元素 3，x，x2－2x. ①求实数 x 应满足的条件； ②若－2∈A，求实数 x 的值．
集合，且 2∈A，则实数 m 为( )
A．2
B．3
C．0 或 3 D．0,2,3 均可
解析 ∵2∈A，∴m＝2 或 m2－3m＋2＝2，当 m＝2 时， m2－3m＋2＝0 与集合互异性矛盾．当 m2－3m＋2＝2 时，m ＝0(舍去)或 m＝3，符合题意，故 m＝3.
4．m，n∈R，由两个数mn ，1 组成的集合 P 与由两个 元素 n,0 组成的集合 Q 相等，则 m＋n 的值等于____1____．
解 (1)由－3∈A 且 a2＋1≥1，可知 a－3＝－3 或 2a －1＝－3，
当 a－3＝－3 时，a＝0；当 2a－1＝－3 时，a＝－1. 经检验，0 与－1 都符合要求． ∴a＝0 或－1. (2)当 x＝0,1，－1 时，都有 x2∈B， 但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故 x＝－1.
或a＝14， b＝12.
解法二：∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．
高中数学第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1第1课时集合的含义aa高一数学
归纳升华 1．判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个 元素是否满足该集合元素的条件．若满足，就是“属于” 关系；若不满足，就是“不属于”关系．特别注意，符号 “∈”与“∉”只表示元素与集合的关系．
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2．判断元素与集合关系主要有两种方法：(1)直接法 (当集合中元素直接给出时)；(2)推理法，对一些没有直接 给出元素的集合，常用推理法判断元素是否具有集合中元 素所具有的特征．
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[变式训练] 由形如 x＝3k－1，k∈Z 的数组成集合
A，则下列表示正确的是( )
A．－1∉A
B．－11∈A
C．3k＋2∉A
D．3k2－1∈A
解析：A 中，当 k＝0 时，x＝－1，所以－1∈A；
B 中，令－11＝3k－1，得 k＝－130∉Z，所以－11∉A；
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类型 1 集合的概念(自主研析) [典例 1] 下列各组对象不能组成集合的是( ) A．大于 6 的所有整数 B．高一(3)班的高个子同学 C．被 3 除余 2 的所有整数 D．函数 y＝1x图象上所有的点
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解析：判断一组对象能否构成集合，关键是看是否满 足集合元素的确定性．在选项 A 、C、D 中的元素符合集 合的确定性，而选项 B 中，高个子同学没有标准，不符 合集合元素的确定性，不能构成集合．
正整数集
整数集
有理数 集
实数集
符 号
_N___
N*或__N_＋___ Z ____ Q ____R ____
高中数学第一章集合与函数的概念1.1集合1.1.1第一课时集合的含义aa高一数学
(2)互异性:对于给定的集合,其中的元素一定是不同的,相同的对象归入同一个集合时只能算
作集合的一个元素.
(3)无序性:对于给定的集合,其中的元素是不考虑顺序的.如1,2,3与3,2,1构成的集合是同一个
集合.
3.集合相等
只要构成两个集合的元素是
的,我们就称这两个集合是相等的.
一样(yīyàng)
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一定不是( ) (A)锐角三角形
(B)直角D三角形
(C)钝角三角形
(D)等腰三角形
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4.(元素与集合的关系(guān xì))下列所给关系正确的个数是
.
①π∈R;② 3 ∉Q;③0∈N*;④|-4|∉N*.
答案(dá àn):2
5.(元素的互异性)已知集合A中只含有1,a2两个(liǎnɡ ɡè)元素,则实数a不能取的值
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自主学习——新知(xīn zhī)建构·自我整合
【情境(qíngjìng)导学】 导入 问题1:你能找出班级中比较(bǐjiào)高的同学,比较(bǐjiào)胖的同学吗? 答案:不能.比较高,比较胖没有明确的标准,是一个模糊的概念. 问题2:你能找出班级中身高在1米75以上的同学吗?体重在60 kg以上的呢?
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4.元素(yuán sù)与集合的关系
元素与集合 的关系
关系 属于 不属于
概念
如果a是集合A的 元素,就说a属于集 合A
如果a不是集合A 中的元素,就说a不 属于集合A
记法 a∈A.
a∉A .
读法
a属于集合A
a不属于集合 A
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高中数学必修1知识点总结：第一章 集合与函数概念
子龙辅导中心1高中数学必修1知识点总结第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念： 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系：对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算B{x A A = ∅=∅ B A ⊆ B B ⊆子龙辅导中心2B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇()U A =ð 2()U A A U =ð【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（20)〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中)()()U U B A B = )()()U U B A B =都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性o ②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[(y f g x =（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x m a x ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点 1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。
高中数学第一章集合与函数的概念1.1集合1.1.1第一课时集合的含义练习新人教A版必修1(2021
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第一课时集合的含义【选题明细表】知识点、方法题号集合的概念1，5集合中元素的性质2，4，7,10元素与集合的关系3,6，8,9,11,12,131.下列所给对象能构成集合的是( D )(A）某校高一（5）班数学成绩非常突出的男生能组成一个集合(B)《数学1(必修）》课本中所有的难题能组成一个集合(C)性格开朗的女生可以组成一个集合(D）圆心为定点,半径为1的圆内的点能组成一个集合解析：A、某校高一（5）班数学成绩非常突出的男生不确定，无法确定集合的元素，不能构成集合，故本选项错误；B。
《数学1（必修）》课本中所有的难题不确定，无法确定集合的元素，不能构成集合，故本选项错误;C.性格开朗的女生不确定,无法确定集合的元素，不能构成集合,故本选项错误；D。
圆心为定点,半径为1的圆内的点,元素确定，能构成集合,故本选项正确.故选D。
2。
若由a2,2 016a组成的集合M中有两个元素,则a的取值可以是（ C ）（A)0 （B)2 016（C)1 (D）0或2 016解析:若集合M中有两个元素，则a2≠2 016a。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示 第2课时 集合的表示学
第2课时 集合的表示学习目标 1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法(重点).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单的集合(难点).知识点 集合的表示方法 (1)列举法：①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法；②形式：A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }. (2)描述法：①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 【预习评价】(1)集合{x ∈N *|x －4<2}的另一种表示形式是( ) A.{0，1，2，3，4} B.{0，1，2，3，4，5} C.{1，2，3，4}D.{1，2，3，4，5}(2)方程x 2－1＝8的解集用列举法表示为________.解析 (1)由x －4<2得x <6，又x ∈N *，故x 的值为1，2，3，4，5，用列举法表示为{1，2，3，4，5}.(2)由x 2－1＝8得x 2＝9，即x ＝±3，故其解集用列举法表示为{－3，3}. 答案 (1)D (2){－3，3}题型一 用列举法表示集合 【例1】 用列举法表示下列集合： (1)15的正约数组成的集合； (2)不大于10的正偶数集；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋6＝0，x －y ＋3＝0的解集.解 (1)因为15的正约数为1，3，5，15， 所以所求集合可表示为{1，3，5，15}.(2)因为不大于10的正偶数有2，4，6，8，10， 所以所求集合可表示为{2，4，6，8，10}.(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋6＝0，x －y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝0.所以所求集合可表示为{(－3，0)}. 规律方法 用列举法表示集合的三个注意点(1)用列举法表示集合时，首先要注意元素是数、点，还是其他的类型，即先定性. (2)当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便.(3)搞清集合中元素是有限个还是无限个是选择恰当的表示方法的关键. 【训练1】 用列举法表示下列集合： (1)绝对值小于5的偶数组成的集合； (2)24与36的公约数组成的集合；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1的解集.解 (1)绝对值小于5的偶数集为{－2，－4，0，2，4}. (2){1，2，3，4，6，12}.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴所求集合可表示为{(1，1)}.(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数组成的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.解 (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}.(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }.(3)坐标轴上的点(x ，y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy ＝0，故坐标轴上的点组成的集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}.【迁移1】 (变换条件)例2(3)改为“用描述法表示平面直角坐标系中位于第二象限的点组成的集合.”解 位于第二象限的点(x ，y )的横坐标为负，纵坐标为正，即x <0，y >0，故第二象限的点组成的集合为{(x ，y )|x <0，y >0}.【迁移2】 (变换条件)例2(3)改为“用描述法表示图中阴影部分的点(含边界)组成的集合.”解 本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言.用描述法表示(即用符号语言表示)为{(x ，y )|－1≤x ≤32，－12≤y ≤1，且xy ≥0}.规律方法 用描述法表示集合的注意点 (1)“竖线”前面的x ∈R 可简记为x ； (2)“竖线”不可省略；(3)p (x )可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；(4)同一集合用描述法表示可以不唯一. 题型三 集合表示方法的综合应用【例3】 (1)用列举法表示集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈Z ，且86－x ∈N ＝________. (2)集合A ＝{x ∈R |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .(1)解析 ∵x ∈Z 且86－x ∈N ，∴1≤6－x ≤8，－2≤x ≤5.当x ＝－2时，1∈N ；当x ＝－1时，87∉N ；当x ＝0时，43∉N ；当x ＝1时，85∉N ；当x ＝2时，2∈N ；当x ＝3时，83∉N ；当x ＝4时，4∈N ；当x ＝5时，8∈N . 综上可知A ＝{－2，2，4，5}. 答案 {－2，2，4，5} (2)解 ①当k ＝0时， 原方程为16－8x ＝0. ∴x ＝2，此时A ＝{2}； ②当k ≠0时，∵集合A 中只有一个元素，∴方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根. ∴Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1. 从而x 1＝x 2＝4， ∴A ＝{4}.综上可知，实数k 的值为0或1. 当k ＝0时，A ＝{2}； 当k ＝1时，A ＝{4}.规律方法 1.识别集合的两个步骤：一看代表元素：例如{x |p (x )}表示数集，{(x ，y )|y ＝p (x )}表示点集； 二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性). 2.方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的个数在涉及ax 2＋bx ＋c ＝0的根的集合中，要讨论二次项的系数a 是否为0，当a ＝0时，方程为bx ＋c ＝0，再分b 是否为0两种情况讨论其根的个数；当a ≠0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0为二次方程，结合判别式的符号判定其根的个数. 【训练2】 用列举法表示下列集合. (1)A ＝{y |y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }； (2)B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }. 解 (1)因为y ＝－x 2＋6≤6，且x ∈N ，y ∈N ， 所以x ＝0，1，2时，y ＝6，5，2，符合题意， 所以A ＝{2，5，6}.(2)(x ，y )满足条件y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ，则应有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以B ＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}.课堂达标1.用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为( ) A.{1，1} B.{1}C.{x ＝1}D.{x 2－2x ＋1＝0}解析 集合{x |x 2－2x ＋1＝0}实质是方程x 2－2x ＋1＝0的解集，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}.故选B. 答案 B2.下列各组集合中，表示同一集合的是( ) A.M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)} B.M ＝{3，2}，N ＝{2，3}C.M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D.M ＝{3，2}，N ＝{(3，2)}解析 由于集合中的元素具有无序性，故{3，2}＝{2，3}. 答案 B3.设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{1，3，9}，x ∈A ，且x ∉B ，则x ＝( ) A.1 B.2 C.3D.9解析 比较A 和B 中的元素可知x ＝2. 答案 B4.大于3并且小于10的整数组成的集合用描述法表示为________.解析 设该数为x ，由题意得3<x <10，且x ∈Z ，故集合是：{x |3<x <10，x ∈Z }. 答案 {x |3<x <10，x ∈Z } 5.选择适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于3的整数组成的集合；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解组成的集合； (3)一次函数y ＝x ＋6图象上所有点组成的集合.解 (1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1，0，1，2，3，共有7个元素，则用列举法表示为{－3，－2，－1，0，1，2，3}.(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是53，－2，用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，－2.(3)一次函数y ＝x ＋6图象上有无数个点，用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ＋6}.课堂小结1.集合表示的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则； (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合. 2.在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；(2)元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.基础过关1.下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A.{0} B.{y |y 2＝0} C.{x |x ＝0}D.{x ＝0}解析 A 是列举法，C 是描述法，对于B 要注意集合的代表元素是y ，故与A ，C 相同，而D 表示该集合含有一个元素，即方程“x ＝0”.故选D. 答案 D2.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，2x ＋y ＝6的解集是( )A.{x ＝3，y ＝0}B.{3}C.{(3，0)}D.{(x ，y )|(3，0)}解析 方程组解的形式是有序实数对，故可排除A ，B ，而D 不是集合表示的描述法的正确形式，排除D. 答案 C3.下列集合中恰有2个元素的集合是( ) A.{x 2－x ＝0}B.{y |y 2－y ＝0}C.{x |y ＝x 2－x }D.{y |y ＝x 2－x }解析 选项A 中的集合只有一个元素为：x 2－x ＝0；集合{y |y 2－y ＝0}的代表元素是y ，则集合{y |y 2－y ＝0}是方程y 2－y ＝0根的集合，即{y |y 2－y ＝0}＝{0，1}，故选B ；选项C ，D 中的集合中都有无数多个元素. 答案 B4.－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－4x －a ＝0}中所有元素之和为________. 解析 由题意可知(－5)2－a ×(－5)－5＝0，得a ＝－4，故方程x 2－4x ＋4＝0的解为x 1＝x 2＝2，即{x |x 2－4x －a ＝0}＝{2}，则其所有元素和为2. 答案 25.已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，若a ∈A ，a ∈B ，则a 为________.解析 由题知，a ∈A ，a ∈B ，所以a 是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，y ＝x ＋3的解，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，即a 为(2，5). 答案 (2，5)6.用适当的方法表示下列集合： (1)16与24的公约数组成的集合； (2)不等式3x －5>0的解构成的集合.解 (1)16与24的公约数组成的集合为{1，2，4，8}.(2)不等式3x －5>0的解集为{x |3x －5>0}或⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >53.7.设y ＝x 2－ax ＋b ，A ＝{x |y －x ＝0}，B ＝{x |y －ax ＝0}，若A ＝{－3，1}，试用列举法表示集合B .解 将y ＝x 2－ax ＋b 代入集合A 中的方程并整理得x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0.因为A ＝{－3，1}，所以方程x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0的两根为－3，1.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋1＝a ＋1，－3×1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－3.所以y ＝x 2＋3x －3.将y ＝x 2＋3x －3，a ＝－3代入集合B 中的方程并整理得x 2＋6x －3＝0， 解得x ＝－3±23，所以B ＝{－3－23，－3＋23}.能力提升8.集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，52，73，94，…可表示为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n ＋12n ，n ∈N *B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n ＋3n ，n ∈N * C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n －1n，n ∈N * D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n ＋1n，n ∈N * 解析 ∵3＝31，观察集合中的元素，不难发现，若令分母为n ，则分子为2n ＋1，且n ∈N *，∴集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n ＋1n，n ∈N *. 答案 D9.用描述法表示图中所示阴影部分的点(包括边界上的点)组成的集合是( )A.{－2≤x ≤0且－2≤y ≤0}B.{(x ，y )|－2≤x ≤0且－2≤y ≤0}C.{(x ，y )|－2≤x ≤0且－2≤y <0}D.{(x ，y )|－2≤x <0或－2≤y ≤0}解析 由阴影知，－2≤x ≤0且－2≤y ≤0，∴集合{(x ，y )|－2≤x ≤0，且－2≤y ≤0}表示阴影部分的点组成的集合. 答案 B10.若集合A ＝{－2，2，3，4}，集合B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B ＝________.解析 当t ＝－2，2，3，4时，x ＝4，4，9，16，故集合B ＝{4，9，16}. 答案 {4，9，16}11.定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若集合A ＝{x |2x ＋1>0}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －23<0，则集合A －B ＝________.解析 易知A ＝{x |x >－12}，B ＝{x |x <2}，故A －B ＝{x |x ≥2}.答案 {x |x ≥2}12.用列举法表示下列集合：(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (2)式子|a |a ＋|b |b(a ≠0，b ≠0)的所有值组成的集合.解 (1)满足条件的数有3，5，7，所以所求集合为：{3，5，7}. (2)∵a ≠0，b ≠0，∴a 与b 可能同号也可能异号，故 ①当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |b ＝2；②当a <0，b <0时，|a |a＋|b |b＝－2； ③当a >0，b <0或a <0，b >0时，|a |a ＋|b |b＝0.故所有的值组成的集合为{－2，0，2}.13.(选做题)已知集合S 满足若a ∈S ，则11－a ∈S .请解答下列问题：(1)求证：若a ∈S ，则1－1a∈S ；(2)在集合S 中，元素能否只有一个？若能，把它求出来，若不能，请说明理由. (1)证明 由题意可知a ≠1且a ≠0，由11－a ∈S ，得11－11－a∈S ， 即11－11－a ＝1－a 1－a －1＝1－1a ∈S . ∴若a ∈S ，则1－1a∈S .(2)解 集合S 中的元素不能只有一个.理由如下： 令a ＝11－a，即a 2－a ＋1＝0. ∵Δ＝(－1)2－4<0，∴此方程无实数解，∴a ≠11－a.因此集合S中不可能只有一个元素.。
高中数学第一章集合与函数的概念1.1集合1.1.3第一课时并集、交集aa高一数学
(2)符号表示:A与B的并集记作
,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
A∪B
(3)图示,用Venn图表示(biǎoshì)A∪B,如图所示.
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探究1:A∪B就是由集合A和集合B的所有元素组成吗? 答案:不一定,由集合元素的互异性知集合A和集合B的公共(gōnggòng)元素只能出现一次.
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【备用例2】 (2017·嵊州高中高一期(yī qī)中)已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2-
px-2q=0},且A∩B={-1},求A∪B.
解:因为(yīn wèi)A∩B={-1}, 所以-1∈A,-1∈B,
所以1-p+q=0,1+p-2q=0,
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题型二 与参数(cānshù)有关的交集、并集问题 【例2】 (1)已知集合(jíhé)S={x|x>5或x<-1},集合T={x|a<x<a+8},若S∪T=R,求a的取值范围; (2)已知集合A={x|a-1<x<2a+1},B={x|0<x<1},若A∩B= ,求实数a的取值范围.
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题后反思 求列举(lièjǔ)法表示的两个集合的并集或交集运算,要抓住两个集合中的公共元素,
然后根据定义用列举法写出运算结果;若两个集合用描述法表示,尤其是不等式对应集合
的交集与并集的运算,要借助Venn图,数轴表示,借助图形的直观性求运算结果.
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)C
(A){x|x>0} (B){x|x<3}
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第一课时集合的含义
【选题明细表】
1.下列所给对象能构成集合的是( D )
(A)某校高一(5)班数学成绩非常突出的男生能组成一个集合
(B)《数学1(必修)》课本中所有的难题能组成一个集合
(C)性格开朗的女生可以组成一个集合
(D)圆心为定点,半径为1的圆内的点能组成一个集合
解析:A、某校高一(5)班数学成绩非常突出的男生不确定,无法确定集合的元素,不能构成集合,故本选项错误;B.《数学1(必修)》课本中所有的难题不确定,无法确定集合的元素,不能构成集合,故本选项错误;C.性格开朗的女生不确定,无法确定集合的元素,不能构成集合,故本选项错误;D.圆心为定点,半径为1的圆内的点,元素确定,能构成集合,故本选项正确.故选D.
2.若由a2,2 016a组成的集合M中有两个元素,则a的取值可以是( C )
(A)0 (B)2 016
(C)1 (D)0或2 016
解析:若集合M中有两个元素,则a2≠2 016a.
即a≠0且a≠2 016.
故选C.
3.集合M是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是( D )
(A)∈M (B)0∉M
(C)1∈M (D)-∈M
解析:>1,故A错;-2<0<1,故B错;1不小于1,故C错;-2<-<1,故D正确.
4.由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合,最多含元素( A )
(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个
解析:当x>0时,x=|x|=,-=-x<0,此时集合共有2个元素,
当x=0时,x=|x|==-=-x=0,此时集合共有1个元素,
当x<0时,=|x|=-x,-=-x,此时集合共有2个元素,
综上,此集合最多有2个元素,
故选A.
5.下列各组中集合P与Q,表示同一个集合的是( A )
(A)P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-|构成的
集合
(B)P是由π构成的集合,Q是由3.14159构成的集合
(C)P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合
(D)P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的
解集
解析:由于A中P,Q的元素完全相同,所以P与Q表示同一个集合,而B,C,D中P,Q的元素不相同,所以P与Q不能表示同一个集合.故选A.
6.设A是方程x2-ax-5=0的解集,且-5∈A,则实数a的值为( A )
(A)-4 (B)4 (C)1 (D)-1
解析:因为-5∈A,所以(-5)2-a×(-5)-5=0,所以a=-4.故选A.
7.集合A中含有三个元素0,-1,x,且x2∈A,则实数x的值为.
解析:因为x2∈{-1,0,x},
所以x2=0或x2=-1或x2=x,
由x2=0,得x=0,由x2=-1得x无实数解,
由x2=x得x=0或x=1.
综上x=1,或x=0.
当x=0时,集合为{-1,0,0}不成立.
当x=1时,集合为{-1,0,1}成立.
答案:1
8.已知集合A含有三个元素1,0,x,若x2∈A,则实数x= .
解析:因为x2∈A,所以x2=1,或x2=0,或x2=x,所以x=±1,或x=0,当x=0,或x=1时,不满足集合中元素的互异性,所以x=-1.
答案:-1
9.(2018·徐州高一期中)设A是由一些实数构成的集合,若a∈A,则∈A,且1∉A,
(1)若3∈A,求A;
(2)证明:若a∈A,则1-∈A;
(3)A能否只有一个元素,若能,求出集合A,若不能,说明理由.
(1)解:因为3∈A,
所以=-∈A,
所以=∈A,
所以=3∈A,
所以A=（3,-,）.
(2)证明:因为a∈A,
所以∈A,
所以==1-∈A.
(3)解:假设集合A只有一个元素,记A={a},
则a=,
即a2-a+1=0有且只有一个解,
又因为Δ=(-1)2-4=-3<0,
所以a2-a+1=0无实数解.
与a2-a+1=0有且只有一个实数解矛盾.
所以假设不成立,即集合A不能只有一个元素.
10.由实数-a,a,|a|,所组成的集合最多含有元素( B )
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
解析:对a进行分类讨论:①当a=0时,四个数都为0,只含有一个元素;②当a≠0时,含有两个元素a,-a,所以集合中最多含有2个元素.故选B.
11.已知集合M={m|m=a+b,a,b∈Q},则下列元素中属于集合M的元素个数是( )
①m=1+π②m=③m=④m=+
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:①m=1+π,π∉Q,故m∉M;
②m==2+∉M;
③m==1-∈M;
④m=+=∉M.
故选B.
12.已知集合A含有两个元素a和a2,若1∈A,求实数a的值.
解:因为集合A含有两个元素a和a2,且1∈A,
所以若a=1,此时a2=1,不满足元素的互异性,不成立.
若a2=1,则a=1(舍去)或a=-1,
当a=-1时,两个元素为1,-1,满足条件.故a=-1.
13.设A表示集合{2,3,a2+2a-3},B表示集合{|a+3|,2},已知5∈A且5∉B.求a的值. 解:因为5∈A,5∉B,
所以即
所以a=-4.。