2014年考研数学大纲(数学二)
考研数学二考试大纲
考研数学二考试大纲考研数学二考试大纲主要分为高等数学、线性代数和概率统计三个部分。
以下是对这三个部分内容的详细介绍。
1. 高等数学：高等数学内容主要包括数列、函数、极限、微分与积分等基础概念和理论。
具体包括以下几个方面：- 函数与极限：函数的概念与性质，极限的定义与运算法则；- 函数的连续性与可微性：连续函数的判定、常用函数的连续性与可微性；- 微分学：导数的概念与性质，高阶导数，隐函数与参数方程求导；- 微分中值定理与 Taylor 公式：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式；- 不定积分与定积分：不定积分的定义与性质，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的定义与性质；- 定积分应用：平面图形的面积与弧长，旋转体的体积与曲线的弧长；- 多元函数微分学：多元函数的极限、连续性以及偏导数的定义与计算；- 重积分：重积分的概念与性质，二重积分与三重积分的计算方法。
2. 线性代数：线性代数内容主要包括矩阵、向量空间和特征值与特征向量等基础概念和理论。
具体包括以下几个方面：- 矩阵与行列式：矩阵特征与运算法则，行列式的定义与性质；- 向量空间：向量空间的定义与性质，基与维度，向量组的线性相关性与线性无关性；- 线性方程组：线性方程组的解的存在性与唯一性，线性方程组解的结构；- 特征值与特征向量：特征值与特征向量的定义与性质，对角化与相似变换；- 线性空间与线性映射：线性空间的定义与性质，线性映射的定义与性质。
3. 概率统计：概率统计内容主要包括概率论和数理统计两个部分。
具体包括以下几个方面：- 概率基础：事件与概率，条件概率，全概率公式与贝叶斯公式；- 随机变量与概率分布：随机变量的概念与分类，离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布与性质；- 多维随机变量的分布：二维随机变量的联合分布、条件分布与独立性，边缘分布与随机变量的函数分布；- 数理统计基础：参数估计与区间估计，假设检验；- 统计分布与抽样分布：常见离散型与连续型统计分布，样本与抽样分布，中心极限定理；- 结合概率与数理统计的应用：参数估计与假设检验的应用，方差分析与回归分析等。
2014年考研数学二真题
x⎪2014 年考研数学(二)真题一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．1１．当 x → 0+ 时，若 ln α(1 + 2 x ) ， (1 - cos x )α 均是比 x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（）（A ） (2,+∞)（B ） (1,2)（C ） ( 1,1)2（D ） (0, 1)212⎧α> 1 【详解】ln α(1 + 2 x ) ~ 2α x α，是α阶无穷小，(1 - cos x )α~1 α是 2 阶无穷小，由题意可知 ⎪1α2α⎨ 2 > 1⎩α所以α的可能取值范围是 (1,2) ，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是（A ） y = x + sin x（B ） y = x 2+ sin x （C ） y = x + sin 1x（D ） y = x 2+ sin 1x【详解】对于 y = x + sin 1，可知 limy= 1且 lim( y - x ) = lim sin 1= 0 ，所以有斜渐近线 y = x应该选（C ）xx →∞ x x →∞ x →∞ x3．设函数 f ( x ) 具有二阶导数， g ( x ) = f (0)(1 - x ) + f (1) x ，则在[0,1] 上（ ）（A ）当 f '( x ) ≥ 0 时， f ( x ) ≥ g ( x ) （B ）当 f '( x ) ≥ 0 时， f ( x ) ≤ g ( x )（C ）当 f ' ( x ) ≥ 0 时， f ( x ) ≥ g ( x ) （D ）当 f ' ( x ) ≥ 0 时， f ( x ) ≤ g ( x )【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解 1】如果对曲线在区间 [a , b ] 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然g ( x ) = f (0)(1 - x ) + f (1) x 就是联接 (0, f (0)),(1, f (1)) 两点的直线方程．故当 f ' ( x ) ≥ 0 时，曲线是凹的，也就是 f ( x ) ≤ g ( x )，应该选（D ）【详解 2】如果对曲线在区间 [a , b ] 上凹凸的定义不熟悉的话，可令F ( x ) = f ( x ) - g ( x ) = f ( x ) - f (0)(1 - x ) - f (1) x ，则F (0) = F (1) = 0 ，且 F "( x ) = f "( x ) ，故当f ' ( x ) ≥ 0 时，曲线是凹的，从而 F ( x ) ≤ F (0) = F (1) = 0 ，即 F ( x ) = f ( x ) -g ( x ) ≤ 0 ，也就是- 22f ( x ) ≤g ( x )，应该选（D ）⎧ x = t 2 + 7, 4．曲线 ⎨⎩ y = t 2+ 4t + 1上对应于 t = 1的点处的曲率半径是（ ）（Ａ）50 （Ｂ） 100(Ｃ）10 10 （Ｄ） 5 101 【详解】 曲线在点 ( x , f ( x )) 处的曲率公式 K = R =．K2 d 2 y2 1 dx dy dy 2t + 4 2 本题中 = 2t , = 2t + 4 ，所以 = = 1 + ，= t = - ， dt dt dx 2t t dx 2t t 31 1对应于 t = 1的点处 y '= 3, y "= -1，所以 K ，曲率半径 R = = 10 10 ．应该选（C ）(1 + y '2 )3 10 10K ξ25．设函数 f ( x ) = arctan x ，若 f ( x ) = xf '(ξ) ，则 lim x →0x 2= （ ）（Ａ）1（Ｂ）2 （Ｃ）1 （Ｄ） 1323【详解】注意（1） f '( x ) =1 1 + x2 ，（2） x → 0时,arctan x = x - 1 x3 + o ( x 3 ) ．3由于 f ( x ) = xf '(ξ) ．所以可知 f '(ξ) =1 = f ( x ) = arctan x ，ξ2 = x - arctan x ，1 + ξ2 x x (arctan x )2lim ξ= limx - arx tan x = lim x - ( x - 1x 3 3 ) + o ( x 3 ) = 1．x →0 x2 x →0 x (arctan x )2 x →0 x 33 6．设 u ( x , y ) 在平面有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足 ∂ 2 u∂x ∂y≠ 0 及∂ 2u + ∂x 2∂ 2 u∂y 2= 0 ，则（ ）．（A ） u ( x , y ) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的边界上；（B ） u ( x , y ) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的内部；（C ） u ( x , y ) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；10 10（D ） u ( x , y ) 的最小值点在区域 D 的内部，最大值点在区域 D 的边界上．【详解】u ( x , y ) 在平面有界闭区域 D 上连续，所以 u ( x , y ) 在 D 内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点 ( x 0 , y 0 ) ，也就是 ，由条件，显然 AC - B 2< 0 ，显然 u ( x , y ) 不是极值点，当然也不是最值点，所以 u ( x , y ) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的边界上． 所以应该选（A ）．0 a b 0a 0 0b 7．行列式等于0 c d 0 c 0 0 d（A ） (ad - bc )2（B ） - (ad - bc )2（C ） a 2 d 2 - b 2 c 2（D ） - a 2 d 2 + b 2 c 2【详解】0 a b 0 a 0 ba 0 ba 0 0 b= -a 0 d 0 + b 0 c a 0 = -ad b a + bcb= -(ad - bc )2 0 c d 0 c 0 0 dc 0d c 0 dc d c d应该选（B ）． 8．设α1 ,α2 ,α3是三维向量，则对任意的常数 k , l ，向量α1 + k α3 ，α2 + l α3 线性无关是向量α1 ,α2 ,α3线性无关的（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件（C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件【详解】若向量α1 ,α2 ,α3 线性无关，则⎛ 1 （α1 + k α3 ，α2 + l α3 ） = (α1 ,α2 ,α3 ) 0 ⎝ 0⎫ ⎪1⎪ = (α1 ,α2 ,α3 )K ，对任意的常数 k , l ，矩阵 K 的秩都等⎪ ⎭于 2，所以向量α1 + k α3 ，α2 + l α3 一定线性无关．⎛ 1⎫ ⎛ 0⎫ ⎛ 0⎫⎪ ⎪ ⎪而当 α1 = 0⎪,α2 = 1⎪,α3 = 0⎪ 时， 对任意的常数 k , l ， 向量 α1 + k α3 ， α2 + l α3 线性无关， 但⎪ ⎪ ⎪ ⎝ 0⎭ ⎝ 0⎭ ⎝ 0⎭α1 ,α2 ,α3 线性相关；故选择（A ）．∂u= ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂x ∂y = 0 ，在这个点处 A = ∂x 2 ,C = ∂y 2 , B = = ∂x ∂y ∂y ∂xk l2 2 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）11dx ．9． ⎰-∞ x 2 + 2 x + 5 =11 1 dx 1 x + 1 1 1 ⎛ π π ⎫ 3π 【详解】 ⎰-∞x 2+ 2 x + 5 dx = ⎰-∞ ( x + 1)2 + 4 =2 arc tan 2 |-∞ = 2 4 - (- 2 )⎪ = 8．⎝ ⎭10．设 f ( x ) 为周期为 4 的可导奇函数，且 f '( x ) = 2( x - 1), x ∈ [0,2]，则 f (7) =．【 详 解 】 当 x ∈ [0,2] 时 ， f ( x ) =⎰ 2( x - 1)dx = x 2- 2 x + C ， 由 f (0) = 0 可 知 C = 0 ， 即f ( x ) = x 2 - 2 x ； f ( x ) 为周期为 4 奇函数，故 f (7) = f (-1) = f (1) = 1．11．设 z = z ( x , y ) 是由方程 e2 yz+ x + y 2+ z = 7确定的函数，则 dz |⎛1 1 ⎫ = ．4, ⎪ ⎝ 2 2 ⎭【详解】设 F ( x , y , z ) = e2 yz+ x + y 2+ z - 7 4，F x = 1, F y = 2ze2 yz+ 2 y , F z = 2 ye2 yz+ 1，当 x = y = 12时， z = 0 ， ∂z= - F x= - 1， ∂z = - F y = - 1 ，所以 dz |⎛ 1 1 ⎫= - 1 dx - 1 dy ． ∂x F z 2 ∂y F z 2 , ⎪ 2 2⎝ 2 2 ⎭⎛ π π⎫12．曲线 L 的极坐标方程为 r = θ，则 L 在点 (r ,θ) = , ⎝ 2 ⎪ 处的切线方程为．2 ⎭⎧ x = r (θ)cos θ= θcos θ【 详解 】 先把曲线方程化为参数方程 ⎨⎩ y = r (θ)sin θ= θsin θππ， 于是在θ=处， x = 0, y =，22dy | = sin θ+θcos θ | 2 ⎛ π π⎫ π 2 ，则 L 在点 (r ,θ) = , 处的切线方程为 y - = - ( x - 0) ，即 dx πcos θ-θsin θ π = - π ⎪ ⎝ 2 2 ⎭ 2 πy = - 2 x + π.π 213．一根长为 1 的细棒位于 x 轴的区间 [0,1]上，若其线密度 ρ( x ) = - x 2+ 2 x + 1，则该细棒的质心坐标x =．1 ⎰0x( x )dx1 ⎰0(- x+ 2 x11 + x )dx 12 11ρ 32【详解】质心坐标 x = === ． 1 ⎰ ( x )dx 1⎰(- x 2+ 2 x + 1)dx 5 20 ρ 032214 ． 设 二 次 型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 - x 2 + 2ax 1 x 3 + 4 x 2 x 3 的 负 惯 性 指 数 是 1 ， 则 a 的 取 值 范 围3 ⎰ 是 ． 【详解】由配方法可知f ( x , x, x ) = x 2 - x 2 + 2ax x+ 4 x x123121 32 3= ( x 1 + ax 3 )2 - ( x - 2 x 3 )2 + (4 - a 2 ) x 2由于负惯性指数为 1，故必须要求 4 - a 2≥ 0 ，所以 a 的取值范围是 [- 2,2]．三、解答题15．（本题满分 10 分）1x⎰ (t 2(e t- 1) - t )dt 求极限 lim 1．x →+∞x 2 ln(1 + 1)x【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】lim x →+∞ 1 x(t 2 (e t1- 1) - t )dt 1 = lim x →+∞ 1 x (t 2 (e t - 1) - t )dt 1 x = lim( x 2 x →∞1 (e x - 1) - x ) x2 ln(1 + )x21 1 1 ⎪ = 1 = lim ⎛ x x →∞⎝ 16．（本题满分 10 分）( + x 2 x 2 + o ( x 2) - x ⎫⎭ 2已知函数 y = y ( x ) 满足微分方程 x 2 + y 2y '= 1 - y ' ，且 y (2) = 0 ，求 y ( x ) 的极大值和极小值． 【详解】解：把方程化为标准形式得到 (1 + y 2)dy= 1 - x 2 ，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分dx112可得方程通解为：y 3+ y = x - x 3+ C ，由 y (2) = 0 得 C = ， 3 3 3即 1 y 33+ y = x - 1 x 3+ 2．332 2 2 2 2 2dy 1 - x d y - 2 x (1 + y ) - 2 y (1 - x )令 = = 0 ，得 x = ±1 ，且可知 = ；dx 1 + y 2 dx 2 (1 + y 2 )3当 x = 1时，可解得 y = 1， y "= -1 < 0 ，函数取得极大值 y = 1；当 x = -1 时，可解得 y = 0 ， y "= 2 > 0 ，函数取得极小值 y = 0 ． 17．（本题满分 10 分）2 ⎰x s i n(π x 2+ y 2) D 2 1 1 1设平面区域 D = {( x , y ) |1 ≤ x 2 + y 2≤ 4, x ≥ 0. y ≥ 0}．计算 【详解】由对称性可得Dx + y1 ⎰⎰ x + y 1 dxd = ⎰⎰ D1 π x + y2 dxd = ⎰⎰ D3x + y dxdy = ⎰⎰ dxd = ⎰ 2 d θ⎰ r sin πrdr = - 2 D 12 0 1 4 18．（本题满分 10 分）2 2设 函 数 f (u ) 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， z = f (e xcos y ) 满 足 ∂ z + ∂ z= (4z + e x cos y )e 2 x ． 若 ∂x 2 ∂y 2f (0) = 0, f '(0) = 0 ，求 f (u ) 的表达式．【详解】设 u = e xcos y ，则 z = f (u ) = f (e xcos y ) ，∂z = ∂xf '(u )e x cos y ,∂ 2z = ∂x2f "(u )e 2 x cos 2 y +f '(u )e x cos y ;∂z = - f '(u )e xsin y , ∂y ∂ 2 z = ∂y 2f "(u )e 2 x sin 2 y - f '(u )e x cos y ；22∂ z + ∂ z = f "(u )e 2 x = f "(e x cos y )e 2 x∂x 2 ∂y 22 2∂ z ∂ z 由条件 + = (4z + e x cos y )e 2 x ，∂x 2 ∂y 2可知f "(u ) = 4 f (u ) + u这是一个二阶常用系数线性非齐次方程． 对应齐次方程的通解为：f (u ) = C e 2u+ C对应非齐次方程特解可求得为 y * = - 1u ．4e -2u 其中 C ,C 为任意常数．故非齐次方程通解为 f (u ) = C e 2u+ C e -2u - 1 u ． 2 4( x + y )s i n(π x 2 + y 2 ) s i n(π x 2 + y 2 ) y s i n(π x 2+ y 2)22． ⎰⎰⎰1 ， f 将初始条件 f (0) = 0, f '(0) = 0 代入，可得 C 1 = 1 ,C 162= - 116所以 f (u ) 的表达式为 f (u ) = 1e 2u- 1e-2u- 1u ．19．（本题满分 10 分）16 164设函数 f ( x ), g ( x ) 在区间 [a .b ]上连续，且 f ( x ) 单调增加， 0 ≤ g ( x ) ≤ 1，证明：（1）x0 ≤ ⎰a g (t )dt ≤ x - a , x∈ [a , b ]；（2）ba + g ( t )dtb⎰a f ( x )dx ≤ ⎰ f ( x )g ( x )dx ．aa【详解】xx x（1）证明：因为 0 ≤ g ( x ) ≤ 1，所以 ⎰0dx ≤⎰ g (t )dt ≤ ⎰ 1dtx ∈ [a , b ]．x即 0 ≤⎰ag (t )dt ≤ x - a ,aaax ∈ [a , b ]．xx a + g ( t )dt（2）令 F ( x ) =⎰ f (u )g (u )du - ⎰a f (u )du ，a则可知 F (a ) = 0 ，且 F '( x ) = af ( x )g ( x ) - g ( x ) f ⎛ a +⎰ g (t )dt ⎪⎫ ，x因为 0 ≤⎰g (t )dt ≤ x - a , ⎝a⎭且 f ( x ) 单调增加，a所以 f ⎛ a + ⎰g (t )dt ⎪⎫ ≤ f (a + x - a ) = f ( x ) ．从而 ⎝a⎭xF '( x ) =f ( x )g ( x ) - g ( x ) f ⎛ a + ⎰ g (t )dt ⎪⎫ ≥ f ( x )g ( x ) - g ( x ) f ( x ) = 0 ， x ∈ [a , b ]⎝ a ⎭也是 F ( x ) 在 [a , b ]单调增加，则 F (b ) ≥ F (a ) = 0 ，即得到ba + g ( t )dtb⎰a f ( x )dx ≤ ⎰ f ( x )g ( x )dx ．aa20．（本题满分 11 分）设函数 f ( x ) =x, x ∈ [0,1]，定义函数列1 + xf 1 ( x ) = f ( x ) ， f 2 ( x ) = f ( f 1 ( x )) ， , f n ( x ) = f ( f n -1 ( x )),设 S n 是曲线 y = 【详解】f n ( x ) ，直线 x = 1, y = 0 所围图形的面积．求极限lim nS n ． n →∞f ( x ) = x , f( x ) =f 1 ( x ) x= 1 + x = x ( x ) = x, ，1 + x 1 + f 1 ( x ) 1 + x1 + x1 +2 x 1 + 3x x x2 31 ⎪ ⎪ ⎭ ⎭ 利用数学归纳法可得 f n ( x ) =x. 1 + nx1S = ⎰ f 1x 1 1 1 1 ln(1 + n )( x )dx = ⎰ dx = ⎰ (1 - )dx = (1 - ) ， n 0 n0 1 + nx n 0 1 + nx n n⎛ ln( + n ) ⎫lim nS = lim 1 -1 ⎪ = 1 ． n →∞ n →∞⎝ n ⎭21．（本题满分 11 分） 已知函数 f ( x , y ) 满足∂f = 2( y + 1) ，且 f ( y , y ) = ( y + 1)2 - (2 - y ) l n y ，求曲线 f ( x , y ) = 0 所成的∂y图形绕直线 y = -1旋转所成的旋转体的体积． 【详解】由于函数 f ( x , y ) 满足 ∂f = 2( y + 1) ，所以 f ( x , y ) = y 2 + 2 y + C ( x ) ，其中 C ( x ) 为待定的连续函数．∂y又因为 f ( y , y ) = ( y + 1)2- (2 - y ) l n y ，从而可知 C ( y ) = 1 - (2 - y ) l n y ， 得到 f ( x , y ) = y 2+ 2 y + C ( x ) = y 2+ 2 y + 1 - (2 - x ) l n x ．令 f ( x , y ) = 0 ，可得 ( y + 1)2= (2 - x ) l n x ．且当 y = -1时， x = 1, x 2 = 2 ．曲线 f ( x , y ) = 0 所成的图形绕直线 y = -1旋转所成的旋转体的体积为225V = π⎰ ( y + 1)2 dx = π⎰ (2 - x ) l n xdx = (2 l n 2 -)π 11422．（本题满分 11 分）⎛ 1 - 2 3 - 4⎫⎪ 设 A = 0 1 ⎝ 1 2 - 1 1 0 3 ⎪ ，E 为三阶单位矩阵．⎪ ⎭（1） 求方程组 AX = 0 的一个基础解系；（2） 求满足 AB = E 的所有矩阵．【详解】（1）对系数矩阵 A 进行初等行变换如下：A = ⎝ 1 2 0 3 ⎭ ⎝ 04 - 3 1 ⎭ ⎝ 0 01 - 3⎪ ⎝ 0 0 1 ，- 3⎪ 得到方程组 AX = 0 同解方程组n⎛ 1 - 2 3 - 4⎫ ⎪ ⎛ 1 - 2 3 - 4⎫ ⎪ ⎛ 1 - 2 3 - 4⎫ ⎪ ⎛ 1 0 0 1 ⎫ ⎪ 0 1 - 1 1 ⎪ → 0 1 - 1 1 ⎪ → 0 1 - 1 1 ⎪ → 0 1 0 - 2⎪⎪ 1 1 1 1 n ⎭ ⎭ ⎝ ⎭⎪ ⎭⎛ - 1⎫⎧ x 1 = - x 4 ⎪⎨ x 2 = 2 x 4 ⎩ x 3 = 3x 4得到 AX = 0 的一个基础解系ξ = ⎝ ⎪ 2 ⎪3 ⎪ ．⎪ ⎪ ⎭⎛ xy z ⎫ 1 11 ⎪ x 2y 2 z 2⎪（2）显然 B 矩阵是一个 4 ⨯ 3 矩阵，设 B = x3y 3 z 3 ⎪ ⎪ ⎝ x 4y 4z 4 ⎭对矩阵 ( AE ) 进行进行初等行变换如下：⎛ 1- 23 -4 1 0 0⎫ ⎪ ⎛ 1 - 23- 4 1 0 0⎫⎪⎛ 1 - 2 3- 4 1 0 0⎫ ⎪ ⎛ 1 0 012 6 - 1⎫⎪→ 0 1 - 1 1 0 1 0⎪ → 0 1 0- 2 - 1 - 3 1 ⎪ ⎝0 0 1 - 3 - 1 - 4 ⎪ ⎝ 0 0 1 - 3 - 1 - 4 ⎪由方程组可得矩阵 B 对应的三列分别为⎛ x ⎫ ⎛ 2 ⎫ ⎛ - 1⎫ ⎛ y ⎫ ⎛ 6 ⎫ ⎛ - 1⎫ ⎛ z ⎫ ⎛ - 1⎫ ⎛ - 1⎫ 1 ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪x 2 ⎪ = - 1⎪ 2 ⎪ y 2 ⎪ - 3⎪ ， = + 2 ⎪ z 2 ⎪ 1 ⎪ ， = + 2 ⎪ ， x ⎪ - 1⎪ + c 1 3 ⎪ y ⎪ - 4⎪ c 2 3 ⎪ z ⎪ 1 ⎪ c 3 3 ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ x 4 ⎭ ⎝ 0 ⎭ ⎝ 1 ⎭ ⎝ y 4 ⎭ ⎝ 0 ⎭ ⎝ 1 ⎭ ⎝ z 4 ⎭ ⎝ 0 ⎭ ⎝ 1 ⎭ 即满足 AB = E 的所有矩阵为 ⎛ 2 - c 16 - c 2- 1 - c 3 ⎫ ⎪ - 1 + 2c 1 - 3 + 2c 2 1 + 2c 3 ⎪ B =- 1 + 3c - 4 + 3c 1 + 3c ⎪其中 c 1 , c 2 , c 3 为任意常数． 23．（本题满分 11 分）1 c 123 ⎪ c 2 c 3 ⎪⎛1 11 1 1⎫ ⎪ 1⎪ ⎛ 00 1 ⎫⎪0 0 2 ⎪ 证明 n 阶矩阵⎪ 与 ⎪ 相似． ⎪ ⎝1 1 ⎭ ⎪⎝ 00 ⎪1 ( AE ) = 01 - 1 1 0 1 0⎪ → 0 1- 1 1 0 1 0⎪⎝ 1 2 0 3 0 0 1⎪ 0 ⎭ ⎝ 4- 3 1 - 1 0 1⎪ ⎭⎪ 1 n ⎭ ⎪ 1 n ⎭⎛1 11 1 1⎫ ⎪ 1⎪ ⎛ 00 1 ⎫⎪0 0 2 ⎪ 【详解】证明：设 A = ⎪， B = ⎪ ． ⎪⎝1 1 ⎭⎪⎝ 0 0 ⎪分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：λ- 1- 1 - 1 - 1 λE - A =- 1λ- 1- 1 - 1λ- 1= (λ- n )λn -1 ，所以 A 的 n 个特征值为λ1 = n ,λ2 = λ3 = λn = 0 ；⎛λ ⎫⎪ 而且 A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且 A ~ 0 ⎪；⎪ ⎪ ⎪ ⎭ λ 0 0 λ λE - B =0 0 - 1 - 2λ- n= (λ- n )λn -1所以 B 的 n 个特征值也为 λ1 = n ,λ2 = λ3 = λn = 0 ；对于 n - 1重特征值λ= 0 ，由于矩阵 (0E - B ) = - B 的秩显然为 1，所以矩阵 B 对应 n - 1重特征值λ= 0的特征向量应该有 n - 1个线性无关，进一步矩阵 B 存在 n 个线性无关的特征向量，即矩阵 B 一定可以对⎛λ 角化，且 B ~ 0⎝⎛11 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎭ 1 1⎫ ⎪ 1 1⎪⎛ 00 1 ⎫⎪0 0 2 ⎪ 从而可知 n 阶矩阵⎪ 与 ⎪ 相似． ⎪ ⎝1 1 ⎭ ⎪⎝ 00 ⎪0 ⎝。
2014年考研数学二试题及答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
（1）当x →0+时，若1ln (12),(1-cos )x x αα+均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是（ ） （A ）），（∞+2 （B ）（1，2） （C ）），（121 （D ））（210， 【答案】B【解析】当x →0+时，∵()()ln12~2x x αα+，111211(1cos )~()()22x x ααα-=·2x α ，∴由2111 2.ααα>>⇔<<且（2）下列曲线有渐近线的是（ ）（A ）.sin x x y += （B ）.sin 2x x y +=（C ）.1sin x x y += （D ）21sin .y x x=+【答案】C【解析】1sin()11lim lim lim(1sin )1x x x x f x x a x x x x→∞→∞→∞+===+= 11lim[()]lim[sin ]lim sin 0x x x b f x ax x x x x→∞→∞→∞=-=+-==∴y=x 是y=x +1sin x的斜渐近线注：渐近线有3种：水平、垂直、斜渐近线。
本题中(A)(B)(D)都没有渐近线，(C)只有一条斜渐近线。
（3）设函数()f x 具有2阶导数，()()()()011g x f x f x =-+,则在区间[0，1]上（ ）(A)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≥.(B)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≤ (C)当0f ''≥时，()()f x g x ≥.(D)当0f ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】方法1：（利用函数的凹凸性）当() 0f x "≥时，()f x 是凹函数，而()g x 是连接()()0,0f 与()1,1f （）的直线段，如右图 故()()f xg x ≤方法2：（利用函数的单调性）()()()h x g x f x =-令，则(0)(1)0h h ==，由洛尔定理知，(0,1)()0,h ξξ'∃∈=，使若()0f x ''≥，则()0,()h x h x '''≤单调递减， 当(0,)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≥=，()h x 单调递增，()(0)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即； 当(,1)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≤=，()h x 单调递减，()(1)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即；注：当0f x '≥（）时，只能说明()f x 是单调增加的，但增加的方式可能是以凸的形式，也可能是以凹的形式，若是前者，则()()f x g x ≥，此时(A)成立，如()f x x =；若是后者，则()()f x g x ≤，此时(B)成立，如2()f x x =.（4）曲线⎪⎩⎪⎨⎧++=+=，t t y ，t x 14722上对应1t =的点处的曲率半径是（ ）（A ）.5010 （B ）.10010 （C ）.1010 （D ）.105 【答案】C【解析】令()27x t t ϕ==+ ()241y t t t ψ==++则2,()2t t t ϕϕ'''=（）=; ()24t t ψ'=+ ()2t ψ"=当t =1时，(1)2,(1)2(1)6,(1)2ϕϕψψ''''''====则332222|2226|811010(26)40K ⨯-⨯===+,曲率半径11010.K ρ== （5）设函数()arctan f x x =，若)()(ξf x x f '=，则22limx xξ→=（ ）（A ）1. （B ）.32 （C ）.21（D ）.31【答案】D【解析】由()()arctan , f x x f x ==()xf ξ'得21arctan 1x x ξ=⋅+ ()3322222|||()()()()|1[()()]y t t t t K y t t ϕψϕψϕψ''''''''-=='''++2arctan arctan x x x ξ-=,222232000011arctan arctan 11lim lim lim lim arctan 33x x x x x x x xx x x x xx ξ→→→→---+∴==== （6）设函数()u x y ，在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足0022222=∂∂+∂∂≠∂∂∂yux u y x u 及，则（ ） （A ）()u x y ，的最大值和最小值都在D 的边界上取得. （B ）()u x y ，的最大值和最小值都在D 的内部取得.（C ）()u x y ，的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得. （D ）()u x y ，的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得. 【答案】A【解析】A=22u x ∂∂，B=2u x y∂∂∂，C=22u y ∂∂，22200 0B A C AC B A B ≠+=-=--<，，，∴D 内部无极值.（7）行列式=dc dc b a ba 00000000（ ）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc --（C ）2222a dbc - (D)2222b c a d -【答案】B【解析】41440000004(1)00(1)00000000a ba b a ba bc bd a c d c d c dc d++-+-按第行展开 32212(1)(1)()()()()()a b a b c b d a c dc dad bc bc ad ad bc ad bc bc ad ad bc ++=-⋅-+⋅⋅-=-⋅--=--=--注：此题按其它行或列展开计算都可以。
2014年考研数学二大纲56245
2013考研数学（二）考试大纲考试科目：高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等教学约78％线性代数约22%四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题8小题，每小题4分，共32分填空题6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x →=， 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则．7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5．理解并会用罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）中值定理和泰勒（Taylor ）定理，了解并会用柯西( Cauchy ）中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(),a b 内，设函数()f x 具有二阶导数．当()0f x ''>时，()f x 的图形是凹的；当()0f x ''<时，()f x 的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用考试要求1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式．5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）．五、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程．3．会用降阶法解下列形式的微分方程：()(),(,)n y f x y f x y '''== 和 (,)y f y y '''=．4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．7．会用微分方程解决一些简单的应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的的正交规范化方法考试要求1．理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系．5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解考试要求1．会用克拉默法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法．4．理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念．5．会用初等行变换求解线性方程组．五、矩阵的特征值及特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵特征值和特征向量．2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵．3．理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1．了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2．了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．。
考研数学二考试大纲
考研数学二考试大纲考研数学二考试大纲前言：数学二是考研数学科目中的一门重要课程，主要涉及微积分、概率论和数理统计等内容。
掌握数学二的考试大纲对于备考考研数学二至关重要，本文将对考研数学二的考试大纲进行全面介绍。
一、微积分部分微积分作为数学的基础学科，是考研数学二的重要组成部分。
在微积分部分的考试大纲中，主要包括以下内容：1. 导数与微分：涉及导数的定义与性质、常见函数的导数计算、高阶导数、隐函数与参数方程的求导、微分的定义与性质等。
2. 微分中值定理：包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗尔中值定理等，以及利用中值定理证明函数性质和计算极限等相关知识点。
3. 不定积分与定积分：主要包括不定积分的基本性质、换元积分法、分部积分法、定积分的定义和性质、牛顿—莱布尼茨公式等内容。
4. 微分方程：重点涉及一阶线性微分方程、可分离变量微分方程、齐次微分方程、二阶线性齐次微分方程及其特解、常系数线性齐次微分方程等。
5. 多元函数微积分：主要包括偏导数与全微分的计算、多元函数的极值、条件极值及其求解、二重积分与三重积分的计算等。
二、概率论与数理统计部分概率论与数理统计是数学二考试中的另一重要组成部分。
在该部分的考试大纲中，主要包括以下内容：1. 随机变量与概率分布：包括随机变量的概念、离散型随机变量与连续性随机变量的基本性质及其概率分布，如二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布等。
2. 随机变量的数字特征：主要涉及随机变量的数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数等数字特征的计算和性质。
3. 大数定律与中心极限定理：着重介绍大数定律和中心极限定理的定义、性质和应用，以及林德伯格—莱维定理等相关知识。
4. 参数估计：包括点估计、矩估计、最大似然估计等估计方法的原理、性质和计算，以及样本大小对估计精度的影响等内容。
5. 假设检验：主要涉及假设检验的基本原理、检验统计量的构造、拒绝域的确定、检验的错误类型和功效、参数的区间估计等相关知识。
2014年考研数学二真题与解析
推荐：考研数字题库与资料 2014年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210【详解】αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα211211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>>121αα所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin+= （D ）x x y 12sin +=【详解】对于xx y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ）（Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式321)'("y y K +=，曲率半径KR 1=． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222122tt t dx y d -=-=，对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10101132=+=)'("y y K ，曲率半径10101==KR ． 应该选（C ）5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22xx ξlim（ ）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）31 【详解】注意（1）211xx f +=)('，（2）)(arctan ,33310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=211ξξ，22)(arctan arctan x x x -=ξ， 313133302022=+--=-=→→→xx o x x x x x xarx x x x x x )()(lim )(arctan tan limlimξ． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u及02222=∂∂+∂∂y ux u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；。
2014年考研数学二真题
2014年考研数学二真题2014年考研数学二真题是考研数学备考中的一个重要参考资料，它不仅可以帮助考生了解考试内容和难度，还可以帮助考生提高解题能力和应对考试的策略。
本文将从不同角度对2014年考研数学二真题进行分析和讨论。
首先，我们来看一下2014年考研数学二真题的整体结构和难度分布。
该真题共有12道大题，涵盖了数学分析、线性代数、概率论与数理统计等多个领域。
其中，数学分析和线性代数的题目数量较多，难度也相对较大。
概率论与数理统计的题目数量相对较少，但难度适中。
整体上，该真题的难度较高，考生需要具备扎实的数学基础和解题能力才能应对。
接下来，我们分别对数学分析、线性代数和概率论与数理统计这三个领域的题目进行讨论。
在数学分析部分，该真题涉及了极限、连续性、可微性等多个概念和定理。
其中，有一道题目考察了函数的连续性和可微性的定义和判断，要求考生掌握相关的定义和判定方法。
另外，还有一道题目考察了极限的性质和计算方法，要求考生熟练掌握极限的基本性质和计算方法。
这些题目既考察了考生对基本概念和定理的理解，又考察了考生的计算能力和解题能力。
在线性代数部分，该真题主要考察了矩阵的性质和运算、线性方程组的解法等内容。
其中，有一道题目考察了矩阵的秩和逆矩阵的性质，要求考生掌握矩阵的基本性质和运算规则。
另外，还有一道题目考察了线性方程组的解法和线性无关性的判定，要求考生熟练掌握线性方程组的解法和线性无关性的判定方法。
这些题目既考察了考生对基本概念和定理的理解，又考察了考生的计算能力和解题能力。
在概率论与数理统计部分，该真题主要考察了随机变量的分布、期望和方差等内容。
其中，有一道题目考察了随机变量的分布和期望的计算，要求考生掌握随机变量的分布和期望的基本计算方法。
另外，还有一道题目考察了随机变量的方差和协方差的计算，要求考生熟练掌握随机变量的方差和协方差的计算方法。
这些题目既考察了考生对基本概念和定理的理解，又考察了考生的计算能力和解题能力。
2014年考研数学二真题试卷及答案解析
2
D
x y
dxdy xy
1 2
D
sin(
x2
y )dxdy
1
2 d
2 sin( r)r d r 1
2
rd cos( r)
20
1
1
1 4
r
cos(
r)
|12
2
cos( r) d r
1
11 3 24 4
18、
解
：
z x
f ' ex
cos y ,
2z x 2
cos y
(f'' e x
22、（本题满分 11 分）
1 2 3 4 设 A 0 1 1 1 , E 为 3 阶单位矩阵.
1 2 0 3
（I）求方程组 Ax 0的一个基础解系；
（II）求满足 AB E 的所有矩阵 B .
23、（本题满分 11 分）
1 1 1 0 0 1
证明：
n
阶矩阵
1 1
1 1
1 1
（）
（A） (2, ) （B） (1, 2)
（C） (1 ,1) 2
2、下列曲线中有渐近线的是（ ）
（D） (0, 1) 2
（A） y x sin x
（B） y x2 sin x
（C） y x sin 1 x
（D） x2 sin 1 x
3、设函数 f (x) 具有 2 阶导数， g(x) f (0)(1 x) f (1)x ，则在区间[0,1] 内（ ）
棒的质心坐标 x
.
14、设二次型 f (x1, x2, x3) x1 x22 2ax1x3 4x2x3 的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围
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2014考研数学（二）考试大纲考试科目：高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等教学 约78％线性代数 约22%四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题 8小题，每小题4分，共32分填空题 6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x →=， 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则．7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L'Hospital ）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径考试要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5．理解并会用罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）中值定理和泰勒（Taylor ）定理，了解并会用柯西( Cauchy ）中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(),a b 内，设函数()f x 具有二阶导数．当()0f x ''>时，()f x 的图形是凹的；当()0f x ''<时，()f x 的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用考试要求1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式．5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值．四、多元函数微积分学多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数的偏导数和全微分 多元复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数 多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值 二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）．五、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程．3．会用降阶法解下列形式的微分方程：()(),(,)n y f x y f x y '''== 和 (,)y f y y '''=．4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．7．会用微分方程解决一些简单的应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理考试要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的的正交规范化方法考试要求1．理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系．5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解考试要求1．会用克拉默法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法．4．理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念．5．会用初等行变换求解线性方程组．五、矩阵的特征值及特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵特征值和特征向量．2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵．3．理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1．了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2．了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．。