八年级下一元二次方程根的判别式和韦达定理练习
八年级数学下册17.3一元二次方程的根的判别式练习新版沪科版
课时作业(十二)[17.3 一元二次方程根的判别式]一、选择题1．一元二次方程x2－2x＝0根的判别式的值为( )A．4 B．2 C．0 D．－42．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝1，x2＝－1，那么下列结论一定成立的是( )A．b2－4ac>0 B．b2－4ac＝0C．b2－4ac<0 D．b2－4ac≤03．一元二次方程4x2－2x＋14＝0的根的情况是 ( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断4．下列关于x的方程有实数根的是( )A．x2－x＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0C．(x－1)(x＋2)＝0 D．(x－1)2＋1＝05．2018·湘潭若一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ( )A．m≥1 B．m≤1C．m＞1 D．m＜16．2018·娄底关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．不能确定7．已知关于x的一元二次方程mx2＋2mx＋2－m＝0有两个相等的实数根，则m的值是( )A．－2 B．1C．1或0 D．1或－28．若a，b，c为常数，且(a－c)2＞a2＋c2，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一个根为09．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2－4x＋c＝0一定有实数根的是( ) A．a＞0 B．a＝0C．c＞0 D．c＝0二、填空题10．如果关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是________．11．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝________，b＝________．12．2018·威海若关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实数根，则m的最大整数值是________．三、解答题13．不解方程，判别下列方程根的情况：(1)4x2－x＋3＝7x；(2)3(x2＋2)＝4x.14．2018·成都若关于x的一元二次方程x2－(2a＋1)x＋a2＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围.15．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．16．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根.17．如果关于x的方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根，试判断关于x的方程(m －5)x2－2(m－1)x＋m＝0的根的情况．探究题已知a，b，c是△ABC的三边长，关于x的一元二次方程x2＋2 bx＋2c－a ＝0有两个相等的实数根，关于x的方程3cx＋2b＝2a的根为x＝0.(1)试判断△ABC的形状；(2)若a，b是关于x的一元二次方程x2＋mx－3m＝0的两根，求m的值．详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[解析] A 在这个方程中，a ＝1，b ＝－2，c ＝0，所以根的判别式Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×0＝4.2．[解析] A 因为关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1＝1，x 2＝－1，所以一元二次方程有两个不相等的实数根，所以b 2－4ac>0.因此选A .3．[解析] B 在方程4x 2－2x ＋14＝0中，Δ＝(－2)2－4×4×14＝0，∴一元二次方程4x 2－2x ＋14＝0有两个相等的实数根．故选B .4．[答案] C 5．[解析] D ∵方程x 2－2x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4m ＞0，解得m ＜1.故选D .6．[解析] A 因为Δ＝[－(k ＋3)]2－4k ＝k 2＋2k ＋9＝(k ＋1)2＋8>0，所以原方程有两个不相等的实数根，故选A .7．[解析] B ∵已知关于x 的方程mx 2＋2mx ＋2－m ＝0是一元二次方程，∴m ≠0.∵方程mx 2＋2mx ＋2－m ＝0有两个相等的实数根，∴(2m)2－4m·(2－m)＝0.整理，得m 2－m ＝0，解得m 1＝0，m 2＝1，∴m ＝1.故选B .8．[解析] B 由(a －c)2>a 2＋c 2，得a 2－2ac ＋c 2>a 2＋c 2，∴ac<0，a ≠0，∴关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0是一元二次方程，且b 2－4ac>0.因此关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根．9．[解析] D ∵一元二次方程有实数根，∴a ≠0且Δ＝(－4)2－4ac ＝16－4ac ≥0，∴ac ≤4且a ≠0.若a ＞0，如当a ＝1，c ＝5时，ac ＝5＞4，故A 错误；若a ＝0，不符合一元二次方程的定义，故B 错误；若c ＞0，如当a ＝1，c ＝5时，ac ＝5＞4，故C 错误；若c ＝0，则ac ＝0<4，故D 正确．故选D .10．[答案] m<－411．[答案] 答案不唯一，满足b 2－4a ＝0(a ≠0)即可，如a ＝1，b ＝2 12．[答案] 4[解析] ∵关于x 的一元二次方程(m －5)x 2＋2x ＋2＝0有实数根，∴Δ＝4－8(m －5)≥0，且m －5≠0，解得m ≤5.5且m ≠5， 则m 的最大整数值是4.13．解： (1)原方程可化为4x 2－8x ＋3＝0， ∵Δ＝64－4×4×3＝64－48＝16>0， ∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程可化为3x 2－4x ＋6＝0， ∵Δ＝16－4×3×6＝－56<0， ∴原方程没有实数根．14．解：由题意可知，Δ＝[－(2a ＋1)]2－4×1×a 2＝(2a ＋1)2－4a 2＝4a ＋1. ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即4a ＋1＞0，解得a ＞－14.15．解：(1)∵Δ＝4m 2－4(m 2－1)＝4>0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)把x ＝3代入方程，得m 2＋6m ＋8＝0，解得m 1＝－2，m 2＝－4. 16．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2m ＋1)2－4(m 2－1)＝4m 2＋4m ＋1－4m 2＋4＝4m ＋5>0，解得m>－54.(2)答案不唯一，如取m ＝1，则方程为x 2＋3x ＝0，即x(x ＋3)＝0，解得x 1＝0，x 2＝－3.17．解：∵方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根，∴Δ＝[－2(m ＋2)]2－4m(m ＋5)＝4(m 2＋4m ＋4－m 2－5m)＝4(4－m)<0，∴m>4.对于方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0，当m ＝5时，此方程为一元一次方程－8x ＋5＝0，方程有一个实数根为x ＝58.当m ≠5时，Δ′＝4(m－1)2－4m(m －5)＝4(3m ＋1)．∵m>4，∴3m ＋1>13，∴Δ′＝4(3m ＋1)>0，∴方程有两个不相等的实数根．综上，当m ＝5时，方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0有一个实数根；当m>4且m ≠5时，方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根．[素养提升]解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2＋2 bx ＋2c －a ＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2 b)2－4×1×(2c －a)＝0， ∴a ＋b ＝2c.又∵关于x 的方程3cx ＋2b ＝2a 的根为x ＝0， ∴a ＝b ，∴a ＝b ＝c ，即△ABC 是等边三角形．(2)∵a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2＋mx －3m ＝0的两根， 又由(1)知a ＝b ，∴方程x 2＋mx －3m ＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝m 2＋4×3m ＝0， 解得m ＝0或m ＝－12.当m ＝0时，方程x 2＋mx －3m ＝0可化为x 2＝0， 解得x 1＝x 2＝0.又由a ，b ，c 是△ABC 的三边长，得a>0，b>0，c>0，故m ＝0不符合题意；当m ＝－12时，方程x 2＋mx －3m ＝0可化为 x 2－12x ＋36＝0，解得x 1＝x 2＝6， 可知m ＝－12符合题意． 故m 的值为－12.。
一元二次方程根的判别式与韦达定理专练
一元二次方程根的判别式与韦达定理专练一、单选题1.（2021九上·梁山月考）若实数a，b（a不等b）分别满足方程a2-7a+2=0，b2-7b+2=0，则的值为（）A. B. C. 或2 D. 或22.（2021九上·庆云月考）已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（）A. ﹣3或1B. 3或﹣1C. 3D. 13.（2021九上·呼和浩特月考）若一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1+x2＝x1x2，则m的值是（）A. ﹣1B. 3C. 3或﹣1D. ﹣3或14.（2021九上·汉阳月考）等腰三角形三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k+2＝0的两根，则k的值为（）A. 30B. 34或30C. 36或30D. 345.（2021·遵义）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1.小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A. x2+2x﹣3＝0B. x2+2x﹣20＝0C. x2﹣2x﹣20＝0D. x2﹣2x﹣3＝06.（2021八下·浦江期末）已知xy≠1，且3x2+2021x+6＝0，6y2+2021y+3＝0，则＝（）A. B. 2 C. 3 D. 97.（2021·阳西模拟）关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则的值为（）A. 1B.C. 1或D. 08.（2021·河东模拟）设，是方程的两根，则的值是（）A. 0B. 1C. 2000D. 40000009.（2021九上·襄汾月考）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）A. B. 且 C. 且 D.二、填空题10.（2021九上·大兴期中）若x＝2是一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根，则方程的另一根是．11.（2021九上·泸县期中）已知x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，则＋＝ .12.（2021九上·汉滨期中）设a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为 .13.（2021九上·皇姑月考）如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，那么α2+4α+β＝．14.（2021九上·绵阳月考）一元二次方程的两根之和为，则两根之积为 .15.（2021九上·达州月考）已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx﹣3＝0的两根，且满足，那么b的值为 .16.（2021九上·嘉祥月考）已知关于的方程x2+(2k+1)x+k2=0的两个实数根的平方和是7，则k= .17.（2021九上·滕州月考）若方程的两根是x1、x2，则代数式的值是．18.（2021九下·庆云月考）方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根x1，x2满足x12+x22＝4，则k的值为．19.（2021九上·长春期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．20.（2021九上·大兴期中）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．三、综合题21.（2021九上·路北期中）已知关于x的一元二次方程.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值.22.（2021九上·泸县期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.23.（2021九上·汉滨期中）已知：关于x的方程.（1）求证：无论m取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的腰长为4，另两边恰好是此方程的两个根，求此三角形的周长.24.（2021九上·隆昌期中）关于x的方程kx2+（k+1）x+ ＝0有实数根.（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程有两不等实根且他们的倒数和为0？若存在，求出k值；若不存在，说明理由.25.（2021九上·香洲月考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）当为正整数时，求的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【解析】【解答】解：∵实数a，b（a不等b）分别满足方程a2-7a+2=0，b2-7b+2=0，∴a，b是一元二次方程x2-7x+2=0的两个根，∴a+b=7，ab=2，∴a2+b2=（a+b）2-2ab=45，∴.故答案为：A.【分析】根据题意得出a，b是一元二次方程x2-7x+2=0的两个根，根据根与系数的关系得出a+b，ab 的值，从而得出a2+b2的值，再把化为，再代入进行计算，即可得出答案.2.【答案】C【解析】【解答】解：由根与系数的关系得：，,即,解得：或,而当时，原方程，无实数根，不符合题意，应舍去，∴故答案为：C．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可以得到，再根据求出m的值，再利用一元二次方程根的判别式判断即可。
第二章 一元二次方程专题复习2-根的判别式与韦达定理(含答案)
专题复习二 根的判别式与韦达定理重点提示： (1)根的判别式ac b 42-主要应用于判断方程根的情况.利用判别式判断方程根的情况时要注意方程是不是一元二次方程，如果方程的类型不确定还要进行分类讨论.（2）韦达定理主要反映一元二次方程根与系数的关系，利用韦达定理的前提条件是方程有解，即042≥-ac b .【夯实基础巩固】1． 已知x 1，x 2是方程x 2+2x ﹣5=0的两根，则的值为（ B ）A ．﹣B ．C ．D ．﹣2．已知x 2+px +q =0的两根是3，﹣4，则代数式x 2+px +q 分解因式的结果是（ C ）A ． （x +3）（x +4）B ． （x ﹣3）（x ﹣4）C ． （x ﹣3）（x +4）D ． （x +3）（x ﹣4）3．关于x 的方程x 2﹣2mx ﹣m ﹣1=0的根的情况是（ A ）A ． 有两个不相等的实数根B ． 有两个相等的实数根C ． 有两个实数根D ． 没有实数根4．关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x +m ﹣2=0的两根互为倒数，则m 的值是（ C ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 45．关于x 的方程x 2﹣（m ﹣3）x +m 2=0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是（ B ）A ． 2B ． 1C ． 0D ． ﹣16．已知关于x 的一元二次方程x 2+kx +1=0有两个相等的实数根，则k = ±2 ．7．已知x 1，x 2是方程的两根，则的值为 3 ．8．已知a ，b 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个实数根，则代数式（a ﹣b ）（a +b ﹣2）+ab 的值等于 ﹣1 ．9．已知关于x 的方程x 2+2mx +m 2﹣1=0.（1）不解方程，判别方程根的情况.（2）若方程有一个根为3，求m 的值．（1）∵∆=（2m ）2﹣4×1×（m 2﹣1）=4＞0，∴方程x 2+2mx +m 2﹣1=0有两个不相等的实数根.（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，∴32+2m×3+m2﹣1=0，解得m=﹣4或m=﹣2．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值.（2）在（1）的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．（1）∵x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴ =8﹣4m＞0，解得m＜2，∴m的最大整数值为1.（2）∵m=1，∴此一元二次方程为x2﹣2x+1=0.∴x1+x2=2，x1x2=1.∴x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=8﹣3=5．【能力提升培优】11．若a，b，c为三角形三边，则关于x的一元二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0的根的情况是（C）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定12．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），给出下列命题：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根．其中真命题有（C）A．1个B．2个C．3个D．0个13．设x1，x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p，q的值分别为（A）A．﹣1，﹣3 B．1，3 C．1，﹣3 D．﹣1，3【解析】∵x1，x2是x2＋px＋q=0的两根，x1＋1，x2＋1是x2＋qx＋p=0的两根，∴x1＋x2=-p，x1x2=q，x1＋1＋x2＋1= x1＋x2＋2=-q，（x1＋1）（x2＋1）= x1x2+（x1＋x2）＋1=p.∴-p+2=-q，q-p＋1=p.∴p=-1，q=-3.14．若一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a=0的两个实数根分别是3，b，则a+b=5．15．已知m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，则a的值等于﹣9．16．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③．则正确结论的序号是①②．17．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1x2，求k的值．（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴∆=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0，解得k＞.（2）∵k＞，∴x1+x2=﹣（2k+1）＜0.又∵x1x2=k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0.∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=2k+1.∵|x1|+|x2|=x1x2，∴2k+1=k2+1.∴k1=0，k2=2.又∵k＞，∴k=2．18．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若+=1，求的值.（2）求+﹣m2的最大值．∵方程有两个不相等的实数根，∴∆= 4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，解得m＜1.∴﹣1≤m＜1．（1）∵x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，∴+===1，解得m1=，m2=（不合题意，舍去）.∴=﹣2．（2）+﹣m2=﹣m2=﹣2（m﹣1）﹣m2=﹣（m+1）2+3．当m=﹣1时，最大值为3．【中考实战演练】19．【烟台】等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（B）A．9B．10 C．9或10 D．8或10【解析】∵a,b,2是等腰三角形的三边长，∴a=2,b＜4或a＜4，b=2或a=b＞1. ∵a,b是x2-6x+n-1=0的两根，∴a+b=6.∴a=b=3.∴ab=n-1=9.∴n=10.20．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2+a﹣2=0的两实根，那么m+n的最大值是4．【开放应用探究】21．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，x2+3x﹣=0，x2+6x ﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由.（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”？请说明理由．（1）不是.理由如下：解方程x2+x﹣12=0得x1=3，x2=﹣4．∴|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．∵3.5不是整数，∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程.（2）存在．理由如下：∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程，∴假设c=mb2+n.当b=﹣6，c=﹣27时，﹣27=36m+n．∵x2=0是偶系二次方程，∴n=0，m=﹣.∴c=﹣b2．∴可设c=﹣b2．对于任意一个整数b，c=﹣b2时， =b2﹣4c=4b2．∴x1=﹣b，x2=b．∴|x1|+|x2|=2|b|，∵b是整数，∴对于任何一个整数b，当c=﹣b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．。
中考数学复习一元二次方程之根与判别式专项练习60题
一元二次方程之根与判别式1．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当时，求m的值．2．关于x的方程2x2﹣（a2﹣4）x﹣a+1=0，（1）若方程的一根为0，求实数a的值；（2）若方程的两根互为相反数，求实数a的值．3．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k+2=0的两个实数根分别为x1和x2，且x12+x22=6，求k的值？4．已知关于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3=0．（1）请你为k选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根；（2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程实数根的情况．5．已知方程2（m+1）x2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m的值．（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程有两个相反的实数根；（3）方程的一个根为0．6．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，求m的值．8．已知关于x的一元二次方程x2+2（2一m）x+3﹣6m=0．（1）求证：无论m取何实数，方程总有实数根；（2）若方程的两个实数根x l和x2满足x l+x2=m，求m的值．9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k=0（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0的两根为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+12m+x22=10，求m的值．11．已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+k﹣2=0的两个实数根是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）若x12=11﹣x22，求k的值．12．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m=0有两个实数根（1）求m的取值范围；（2）若x=﹣1是方程的一个根，求m的取值及方程的另一个根．13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣2=0．14．一元二次方程x2+kx﹣（k﹣1）=0的两根分别为x1，x2．且x12﹣x22=0，求k值．15．在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．16．关于x的方程4kx2+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．17．已知关于x的二次方程a2x2+2ax+1=﹣3x的两个实数根的积为1，且关于x的二次方程x2+2（a+n）x ﹣a2=4﹣6a﹣2n有小于2的正实根，求n的整数值．18．关于的方程2x3+（2﹣m）x2﹣（m+2）x﹣2=0有三个实数根分别为α、β、x0，其中根x0与m无关．（1）如（α+β）x0=﹣3，求实数m的值．（2）如α＜a＜b＜β，试比较：与的大小，并说明你的理由．19．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80．求实数a的所有可能值．20．已知关于x的方程x2+（2m﹣3）x+m2+6=0的两根x1，x2的积是两根和的两倍，①求m的值；②求作以为两根的一元二次方程．21．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0．问：（1）当k为何值时，此方程有实数根；（2）若此方程的两实数根x1、x2，满足|x1|+|x2|=3，求k的值．22．已知，关于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求实数m的值．23．设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个整数根，求m的值．24．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根的平方和为23，求m的值．26．已知关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2+4=0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 的值．27．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当（x1+x2）•（x1﹣x2）=0时，求m的值．（友情提示：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则：，）28．关于x的方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k+2=0的两个实数根的平方和等于6，求k的值．29．已知x1、x2是方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两根，且，求m的值．30．已知关于x的方程k有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两实根为x1和x2（x1≠x2），那么是否存在实数k，使成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．31．已知：关于x的方程x2+kx+k﹣1=0（1）求证：方程一定有两个实数根；（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且（x1+x2）（x1﹣x2）=0，求k的值．32．设关于x的二次方程（a2+1）x2﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，若2x1x2=x1﹣3x2，试求a的值．33．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，（1）求a的取值范围；（2）若5x1+2x1x2=2a﹣5x2；求a的值．34．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．35．一元二次方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0，（1）m为何实数时，方程的两个根互为相反数？（2）m为何实数时，方程的一个根为零？（3）是否存在实数m，使方程的两个根互为倒数？36．已知一元二次方程kx2+x+1=0（1）当它有两个实数根时，求k的取值范围；（2）问：k为何值时，原方程的两实数根的平方和为3？37．关于x的方程为x2+（m+2）x+2m﹣1=0．（1）证明：方程有两个不相等的实数根．（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数？若存在，求出m的值及两个实数根；若不存在，请说明理由．38．已知：关于的方程x2﹣kx﹣2=0．（1）求证：无论k为何值时，方程有两个不相等的实数根．（2）设方程的两根为x1，x2，若2（x1+x2）＞x1x2，求k的取值范围．39．已知：关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m为何值时，方程总有两个实数根？（2）设方程的两实根分别为x1、x2，当x12+x22﹣x1x2=78时，求m的值．40．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣（2m+3）x+m2=0的两个实数根，且=1时求m的值．41．已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程有一根为2，求m的值，并求出此时方程的另一根．42．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7．求（x1﹣x2）2的值．43．已知方程x2+2（k﹣2）x+k2+4=0有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求k的值和方程的两个根．44．若关于x的一元二次方程4kx2+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根，是否存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．45．已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是x=﹣2，求k的值以及方程的另一根．47．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2=0．（1）求证：无论k为何值时，该方程总有实数根；（2）若两个实数根平方和等于5，求k的值．48．若关于x的方程x2+（m+1）x+m+4=0两实数根的平方和是2，求m的值．49．m为何值时，方程2x2+（m2﹣2m﹣15）x+m=0两根互为相反数？50．已知△ABC的两边AB、AC的长度是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+k2+2k=0的两个根，第三边长为10，问k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出这个等腰三角形的周长．51．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0（1）当k取什么值时，原方程有实数根；（2）对k选取一个合适的数，使方程有两个实数根，并求出这两个实数根的平方和．52．已知x1，x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2=0的两个实数根，（1）当a取何值时，方程两根互为倒数？（2）如果方程的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求a的值．53．已知关于x的方程（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．54．已知一元二次方程8x2﹣（2m+1）x+m﹣7=0，根据下列条件，分别求出m的值：（1）两根互为倒数；（2）两根互为相反数；（3）有一根为零；（4）有一根为1．55．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a=0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是一元二次方程（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a=0的两个根，且x12+x22=9，求a的值．56．已知一元二次方程8y2﹣（m+1）y+m﹣5=0．（1）m为何值时，方程的一个根为零？（2）m为何值时，方程的两个根互为相反数？（3）证明：是否存在实数m，使方程的两个根互为倒数．57．已知一元二次方程（m+1）x2﹣x+m2﹣3m﹣3=0有一个根是1，求m的值及方程的另一个根．58．若关于x的方程（a2﹣3）x2﹣2（a﹣2）x+1=0的两个实数根互为倒数，求a的值．（2）当m取最大值时，求△ABC的面积．60．已知等腰三角形的一边长a=1，另两边b、c恰是方程x2﹣（k+2）x+2k=0的两根，求△ABC的周长．一元二次方程之根与判别式60题参考答案：1．解：（1）根据题意得△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m ≤；（2）根据题意得x1+x2=﹣（2m﹣1），x1•x2=m2，∵，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=7，∴（2m﹣1）2﹣2m2=7，整理得m2﹣2m﹣3=0，解得m1=3，m2=﹣1，∵m ≤，∴m=﹣12．解：（1）把x=0代入原方程得﹣a+1=0，解得a=1；（2）设方程两个为x1，x2，根据题意得x1+x2==0，解得a=±2，当a=﹣2时，原方程化为2x2+3=0，此方程无实数解，∴a=23．解：由根与系数的关系可得：x1+x2=k+1，x1•x2=k+2，又知x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=（k+1）2﹣2（k+2）=6解得：k=±3．∵△=b2﹣4ac=（k+1）2﹣4（k+2）=k2﹣2k﹣7≥0，∴k=﹣34．解：（1）比如：取k=3，原方程化为3x2+8x﹣3=0．…（1分）即：（3x﹣1）（x+3）=0，解得：x1=﹣3，x2=；…（2分）（2）由16+k＞0，解得k ＞﹣．…（3分）∵当k=0时，原方程化为2x﹣3=0；解得：x=，∴当k=0时，方程有一个实数根…（4分）∵当k ＞﹣且k≠0时，方程kx2+2（k+1）x﹣3=0为一元二次方程，∴△=[2（k+1）]2﹣4×k×（﹣3）=4k2+8k+4+12k=4k2+20k+4 =[（2k）2+2×2k×1+1]+（16k+3）=（2k+1）2+16k+3，…（5分）∵（2k+1）2≥0，16k+3＞0，∴△=（2k+1）2+16k+3＞0．…（6分）∴当k ＞﹣且k≠0时，一元二次方程kx2+2（k+1）x﹣3=0有两个不等的实数根5．解：（1）∵△=16m2﹣8（m+1）（3m﹣2）=﹣8m2﹣8m+16，而方程有两个相等的实数根，∴△=0，即﹣8m2﹣8m+16=0，求得m1=﹣2，m2=1；（2）因为方程有两个相等的实数根，所以两根之和为0且△≥0，则﹣=0，求得m=0；（3）∵方程有一根为0，∴3m﹣2=0，∴m=．6．解：根据条件知：α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，∴+==﹣1，∴=﹣1，即：m2﹣2m﹣3=0，解得：m=3或﹣1，当m=3时，方程为x2+9x+9=0，此方程有两个不相等的实数根，当m=﹣1时，方程为x2+x+1=0，此方程无实根，不合题意，舍去，∴m=37．解：根据题意得△=（2m+3）2﹣4m2＞0，解得m ＞﹣；根据根与系数的关系得x1+x2=2m+3，则2m+3=m2，整理得m2﹣2m﹣3=0，即（m﹣3）（m+1）=0，解得m1=3，m2=﹣1，则m=38．（1）证明：方程根的判别式△=[2（2﹣m）]2﹣4×1×（3﹣6m）=4（4﹣4m+m2）﹣4（3﹣6m）=4（4﹣4m+m2﹣3+6m）=4（1+2m+m2）=4（m+1）2（4分）∵无论m为何实数，4（m+1）2≥0恒成立，即△≥0恒成立．（5分）∴无论m取何实数，方程总有实数根；（6分）（2）解：由根与系数关系得x1+x2=﹣2（2﹣m）（7分）由题知x1+x2=m，∴m=﹣2（2﹣m）（8分）解得m=4．9．解：（1）∵△=（8+k）2﹣4×8k=（k﹣8）2，∵（k﹣8）2，≥0，∴△≥0，∴无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）解方程x2﹣（8+k）x+8k=0得x1=k，x2=8，①当腰长为5时，则k=5，∴周长=5+5+8=18；②当底边为5时，∴x1=x2，∴k=8，∴周长=8+8+5=2110．解：（1）△=[2（1﹣m）]2﹣4m2=4﹣8m，∵方程有两根，∴△≥0，即4﹣8m≥0，∴m ≤．（2）∵x1+x2=2（1﹣m），x1•x2=m2，且x12+12m+x22=10，∴m2+2m﹣3=0，解得 m1=﹣3，m2=1，又∵m ≤，∴m=﹣311．解：（1）∵方程有两个实数根，∴k≠0且△=（2k+1）2﹣4k（k﹣2）≥0，解得：k ≥﹣且k≠0，∴k的取值范围：k ≥﹣且k≠0．（2）∵一元二次方程kx2+（2k+1）x+k﹣2=0的两个实数根是x1和x2，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∵x12=11﹣x22，∴x12+x22=11，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=11，∴﹣2（）=11，解得：k=﹣或k=1，∵k ≥﹣且k≠0，∴k=112．解：（1）∵方程x2+5x﹣m=0有两个实数根，∴△=25+4m≥0，解得：m ≥﹣；（2）将x=﹣1代入方程得：1﹣5﹣m=0，即m=﹣4，∴方程为x2+5x+4=0，设另一根为a，∴﹣1+a=﹣5，即a=﹣4，则m的值为﹣4，方程另一根为﹣413．解：（1）由题意得：△=[﹣（m+2）]2﹣4（m ﹣2）=m2+12，∵无论m取何值时，m2≥0，∴m2+12≥12＞0即△＞0恒成立，∴无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）设方程两根为x1，x2，由韦达定理得：x1•x2=m ﹣2，由题意得：m﹣2=m2+9m﹣11，解得：m1=﹣9，m2=1，∴14．解：∵x12﹣x22=0，∴（x1+x2）（x1﹣x2）=0，∴x1+x2=0或x1﹣x2=0，当x1+x2=0，则x1+x2=﹣k=0，解得k=0，原方程变形为x2+1=0，此方程没有实数根，当x1﹣x2=0，则△=k2﹣4（k﹣1）=0，解得k1=k2=2，∴k的值为215．解：原方程可化为2x2﹣3x﹣（k+3）=0，①（1）当△=0时，，满足条件；（2）若x=1是方程①的根，得2×12﹣3×1﹣（k+3）=0，k=﹣4；此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根；（3）当方程①有异号实根时，，得k＞﹣3，此时原方程也只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，k=﹣3，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根．综上所述，满足条件的k 的取值范围是或k=﹣4或k≥﹣316．解：（1）由△=[4（k+2）]2﹣4×4k•k＞0，∴k＞﹣1又∵4k≠0，∴k的取值范围是k＞﹣1，且k≠0；（2）不存在符合条件的实数k理由：设方程4kx2+4（k+2）x+k=0的两根分别为x1、x2，由根与系数关系有：x1+x2=﹣，x1•x2=，又==﹣=0，∴k=﹣2，由（1）知，k=﹣2时，△＜0，原方程无实解，∴不存在符合条件的k的值17．解：∵关于x的二次方程a2x2+2ax+1=﹣3x∴a2x2+2ax+3x+1=0，∵关于x的二次方程a2x2+2ax+1=﹣3x的两个实数根的积为1，∴=1，∴a=±1，∵12a+9≥0，∴a=1∴关于x的二次方程x2+2（a+n）x﹣a2=4﹣6a﹣2n 可化简为：x2+2（1+n）x+（1+2n）=0∴x1=﹣1，x2=﹣1﹣2n，∵关于x的二次方程x2+2（a+n）x﹣a2=4﹣6a﹣2n 有小于2的正实根，∴0＜﹣1﹣2n＜2，∴n的整数值为﹣118．解：（1）由2x3+（2﹣m）x2﹣（m+2）x﹣2=0得（x+1）（2x2﹣mx﹣2）=0，∴x0=﹣1，（2分）α、β是方程2x2﹣mx﹣2=0的根∴，∵（α+β）x0=﹣3，所以m=6（4分）（2）设T=﹣=（5分）∵a＜b，∴b﹣a＞0，又a2+1＞0，b2+1＞0，∴＞0（6分）设f（x）=2x2mx﹣2，所以α、β是f（x）=2x2mx ﹣2与x轴的两个交点，∵α＜a＜b＜β∴，即∴ma+mb＞2a2+2b2﹣4（8分）∴4﹣4ab+ma+mb＞2（a﹣b）2＞0（9分）∴T＞0，即＞19．解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a ﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即（3a﹣1）2﹣4（2a2﹣1）=a2﹣6a+5≥0 所以a≥5或a≤1．…（3分）∴x1+x2=﹣（3a﹣1），x1•x2=2a2﹣1，∵（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80，即3（x12+x22）﹣10x1x2=﹣80，∴3（x1+x2）2﹣16x1x2=﹣80，∴3（3a﹣1）2﹣16（2a2﹣1）=﹣80，整理得，5a2+18a﹣99=0，∴（5a+33）（a﹣3）=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=（﹣）2﹣6×（﹣）+6=（）2+6×+6＞0，∴实数a 的值为﹣20．解：（1）∵原方程有两实根∴△=（2m﹣3）2﹣4（m2+6）=﹣12m﹣15≥0得①…（3分）∵x1+x2=﹣（2m﹣3）x1x2=m2+6…（4分）又∵x1x2=2（x1+x2），∴m2+6=﹣2（2m﹣3）整理得m2+4m=0解得m=0或m=﹣4…（6分）由①知m=﹣4…（7分）（2）∵…（9分），…（11分）由韦达定理得所求方程为…21．解：（1）若方程有实数根，则△=（2k﹣3）2﹣4（k2+1）≥0，∴k ≤，∴当k ≤，时，此方程有实数根；（2）∵此方程的两实数根x1、x2，满足|x1|+|x2|=3，∴（|x1|+|x2|）2=9，∴x12+x22+2|x1x2|=9，∴（x1+x2）2﹣2x1x2+2|x1x2|=9，而x1+x2=2k﹣3，x1x2=k2+1，∴（2k﹣3）2﹣2（k2+1）+2（k2+1）=9，∴2k﹣3=3或﹣3，∴k=0或3，k=3不合题意，舍去；∴k=022．解：方程整理为x2﹣2（m+1）x+m2=0，∵关于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的两个实数根x1、x2，∴△=4（m+1）2﹣4m2≥0，解得m ≥﹣；∵|x1|=x2，∴x1=x2或x1=﹣x2，当x1=x2，则△=0，所以m=﹣，当x1=﹣x2，即x1+x2=2（m+1）=0，解得m=﹣1，而m ≥﹣，所以m=﹣1舍去，∴m 的值为﹣23．解：∵a=1，b=﹣2（2m﹣3），c=4m2﹣14m+8，∴△=b2﹣4ac=4（2m﹣3）2﹣4（4m2﹣14m+8）=4（2m+1）．∵方程有两个整数根，∴△=4（2m+1）是一个完全平方数，所以2m+1也是一个完全平方数．∵4＜m＜40，∴9＜2m+1＜81，∴2m+1=16，25，36，49或64，∵m为整数，∴m=12或24．代入已知方程，得x=16，26或x=38，52．综上所述m为12，或2424．解：（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，可得k﹣1≠0，∴k≠1且△=﹣12k+13＞0，可解得且k≠1；（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2，∵x1+x2=0，∴，∴，又∵且k≠1 ∴k不存在25．解：设关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2，则：x1+x2=m，x1•x2=2m﹣1，∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根的平方和为23，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=m2﹣2（2m﹣1）=m2﹣4m+2=23，解得：m1=7，m2=﹣3，当m=7时，△=m2﹣4（2m﹣1）=﹣3＜0（舍去），当m=﹣3时，△=m2﹣4（2m﹣1）=37＞0，∴m=﹣326．解：设x的方程x2+2（m﹣2）x+m2+4=0有两个实数根为x1，x2，∴x1+x2=2（2﹣m），x1x2=m2+4，∵这两根的平方和比两根的积大21，∴x12+x22﹣x1x2=21，即：（x1+x2）2﹣3x1x2=21，∴4（m﹣2）2﹣3（m2+4）=21，解得：m=17或m=﹣1，∵△=4（m﹣2）2﹣4（m2+4）≥0，解得：m≤0．故m=17舍去，∴m=﹣127．解：∵x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2，∴△=（2m﹣1）2﹣4m2=1﹣4m≥0，解得：m ≤；（2）∵x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2，∴x1+x2=1﹣2m，x1x2=m2，∴（x1+x2）•（x1﹣x2）=0，当1﹣2m=0时，1﹣2m=0，解得m=（不合题意）．当x1=x2时，（x1+x2）2﹣4x1x2=4m2﹣4m+1﹣4m2=0，解得：m=．故m 的值为：28．解：（1）依题意得△=（k+2）2﹣4k •＞0，解之得k＞﹣1，又∵k≠0，∴k的取值范围是k＞﹣1，且k≠0；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=k+1，x1•x2=k+2，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=6，即（k+1）2﹣2（k+2）=6，解得：k=±3，当k=3时，△=16﹣4×5＜0，∴k=3（舍去）；当k=﹣3时，△=4﹣4×（﹣1）＞0，∴k=﹣329．解：∵a=4，b=5﹣3m，c=﹣6m2，∴△=（5﹣3m）2+4×4×6m2=（5﹣3m）2+96m2，∵5﹣3m=0与m=0不能同时成立．△=（5﹣3m）2+96m2＞0则：x1x2≤0，又∵，∴，又∵，，∴，∴，解得：m1=1，m2=530．解：（1）由＞0，解得k＞﹣1，又∵k≠0，∴k的取值范围是k＞﹣1且k≠0；（2）不存在符合条件的实数k，理由如下：∵，，又，∴，解得经检验k=﹣是方程的解．由（1）知，当时，△＜0，故原方程无实根∴不存在符合条件的k的值31．（1）证明：△=k2﹣4（k﹣1）=k2﹣4k+4=（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程一定有两个实数根；（2）根据题意得x1+x2=﹣k，x1•x2=k﹣1，∵（x1+x2）（x1﹣x2）=0，∴x1+x2=0或x1﹣x2=0，当x1+x2=0，则﹣k=0，解得k=0，当x1﹣x2=0，则△=0，即（k﹣2）2=0，解得k=2，∴k的值为0或232．解：∵关于x的二次方程（a2+1）x2﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，∴①，②∵2x1x2=x1﹣3x2，∴2x1x2+（x1+x2）=2（x1﹣x2），平方得4（x1x2）2+4x1x2（x1+x2）=3（x1+x2）2﹣16x1x2，将式①、②代入后，解得a=3，a=﹣1，当a=3时，原方程可化为10x2﹣12x+2=0，△=122﹣4×10×2=64＞0，原方程成立；当a=﹣1时，原方程可化为2x2+4x+2=0，△=42﹣4×2×2=0，原方程成立．∴a=3或a=﹣133．解：（1）根据题意得a﹣1≠0且△=4﹣4（a﹣1）＞0，解得a＜2且a≠1；（2）根据题意得x1+x2=，x1•x2=，∵5x1+2x1x2=2a﹣5x2，∴5（x1+x2）+2x1x2=2a，∴+=2a，整理得a2﹣a﹣6=0，解得a1=3，a2=﹣2，∵a＜2且a≠1，∴a=﹣234．解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0，△=（2k+1）2﹣4（4k﹣3）=4k2﹣12k+13=4+4＞0恒成立，故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理得：b2+c2=a2=31①因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，则b+c=2k+1②，bc=4k﹣3③，因为（b+c）2﹣2bc=b2+c2=31，即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）=31，整理得：4k2+4k+1﹣8k+6﹣31=0，即k2﹣k﹣6=0，解得：k1=3，k2=﹣2（舍去），则b+c=2k+1=7，又因为a=，则△ABC的周长=a+b+c=+7．35．解：（1）∵一元二次方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的两个根互为相反数，∴x1+x2==0，解得m=1；（2）∵一元二次方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的一个根为零，∴x1•x2==0，解得m=7；（3）设存在实数m，使方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的两个根互为倒数，则x1•x2==1，解得m=15；则原方程为4x2﹣7x+4=0，△=49﹣4×4×4=﹣15＜0，所以原方程无解，这与存在实数m，使方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0有两个根相矛盾．故不存在这样的实数m36．解：（1）∵方程有两个实数根，∴△=1﹣4k≥0且k≠0．故k ≤且k≠0．（2）设方程的两根分别是x1和x2，则：x1+x2=﹣，x1x2=，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，=﹣=3，整理得：3k2+2k﹣1=0，（3k﹣1）（k+1）=0，∴k1=，k2=﹣1．∵k ≤且k≠0，∴k=（舍去）．故k=﹣137．（1）证明：△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4，∵（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数．由题知：x1+x2=﹣（m+2）=0，解得：m=﹣2，将m=﹣2代入x2+（m+2）x+2m﹣1=0，解得：x=，∴m的值为﹣2，方程的根为x=38．解：（1）证明：由方程x2﹣kx﹣2=0知a=1，b=﹣k，c=﹣2，∴△=b2﹣4ac=（﹣k）2﹣4×1×（﹣2）=k2+8＞0，∴无论k为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程x2﹣kx﹣2=0．的两根为x1，x2，∴x1+x2=k，x1x2=﹣2，又∵2（x1+x2）＞x1x2，∴2k＞﹣2，即k＞﹣139．解：（1）∵△≥0时，一元二次方程总有两个实数根，△=[2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣3）=8m+16≥0，m≥﹣2，所以m≥﹣2时，方程总有两个实数根．（2）∵x12+x22﹣x1x2=78，∴（x1+x2）2﹣3x1x2=78，∵x1+x2=﹣，x1•x2=，∴﹣[2（m+1）]2﹣3×1×（m2﹣3）=78，解得m=5或﹣13（舍去），故m的值是m=540．解：∵关于x的方程x2﹣（2m+3）x+m2=0有两个实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4m2≥0，解得：m ≥﹣，∵+=1，∴=1，∴2m+3=m2，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m1=3，m2=﹣1（舍去）．故可得m=341．（1）证明：∵△=（m+2）2﹣4×1×（2m﹣1）=（m﹣2）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：把x=2代入方程，得22+2（m+2）+2m﹣1=0解得m=﹣，设方程的另一根为x1，则2x1=2×（﹣）﹣1，解得x1=﹣42．解：∵x1+x2=m，x1x2=2m﹣1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=m2﹣2（2m﹣1）=7；解可得m=﹣1或5；当m=5时，原方程即为x2﹣5x+9=0的△=﹣11＜0无实根，当m=﹣1时，原方程即为x2+x﹣3=0的△=1+12=13＞0，有两根，则有（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=13．答：（x1﹣x2）2的值为1343．解：∵方程x2+2（k﹣2）x+k2+4=0有两个实数根，∴△=4（k﹣2）2﹣4（k2+4）≥0，∴k≤0，设方程的两根分别为x1、x2，∴x1+x2=﹣2（k﹣2）…①，x1•x2=k2+4…②，∵这两个实数根的平方和比两根的积大21，即x12+x22=x1•x2+21，即（x1+x2）2﹣3x1•x2=21，把①、②代入得，4（k﹣2）2﹣3（k2+4）=21，∴k=17（舍去）或k=﹣1，∴k=﹣1，∴原方程可化为x2﹣6x+5=0，解得x1=1，x2=544．解：不存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0．理由如下：设方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣∵一元二次方程4kx2+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根，∴4k≠0且△=16（k+2）2﹣4×4k×k＞0，∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，当x1+x2=0，∴﹣=0，∴k=﹣2，而k＞﹣1且k≠0，∴不存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0 45．解：把x=﹣2代入原方程得4﹣2（k+3）+k=0，解得k=﹣2，所以原方程为x2+x﹣2=0，设方程另一个根为t，则t+（﹣2）=﹣1，解得t=1，即k的值为﹣2，方程的另一根为146．解：∵x1、x2是方程x2﹣2mx+3m=0的两根，∴x1+x2=2m，x1x2=3m．又（x1+2）（x2+2）=22﹣m2，∴x1x2+2（x1+x2）+4=22﹣m2，3m+4m+4=22﹣m2，m2+7m﹣18=0，（m﹣2）（m+9）=0，m=2或﹣9．当m=2时，原方程为x2﹣4x+6=0，此时方程无实数根，应舍去，取m=﹣947．（1）证明：△=（k+1）2﹣4（2k﹣2）=k2﹣6k+9=（k﹣3）2，∵（k﹣3）2≥0，即△≥0，∴无论k为何值时，该方程总有实数根；（2）解：设方程两根为x1，x2，则x1+x2=k+1，x1•x2=2k﹣2，∵x12+x22=5，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，∴（k+1）2﹣2（2k﹣2）=5，∴k1=0，k2=248．解：设方程的两根为x1，x2，∴x1+x2=﹣（m+1），x1•x2=m+4，而x12+x22=2，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=2，∴（m+1）2﹣2（m+4）=2，解得m1=3，m2=﹣3，当m=3时，方程变形为x2+4x+7=0∵△=16﹣4×7＜0，∴此方程无实数根；当m=﹣3时，方程变形为x2﹣2x+1=0∵△=4﹣4×1=0，∴此方程有实数根，∴m=﹣349．解：若两根互为相反数，则△＞0，x1+x2=0，于是（m2﹣2m﹣15）2﹣4×2m≥0，又∵x1+x2=0，∴﹣=0，即m2﹣2m﹣15=0，解得，m=3，或m=5．当m=3时，（32﹣2×3﹣15）2﹣4×2×3=120＞0，符合题意；当m=5时，（52﹣2×5﹣15）2﹣4×2×5=﹣40＜0，不符合题意．故答案为：350．解：∵△ABC的两边AB、AC的长度是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+k2+2k=0的两个根，则AB+AC=2k+2，AC×AB=k2+2k，分为三种情况：①若AB=AC时，则2AB=2k+2，AB2=k2+2k，AB=k+1，代入得：（k+1）2=k2+2k，此方程无解，即AB≠AC；②若AB=BC=10，则10+AC=2k+2，10AC=k2+2k，即AC=2k+2﹣10，代入得：10（2k+2﹣10）=k2+2k，解得：k1=10，k2=8，∴AC=12或8，③若AC=BC=10时，与②同法求出k=10或8，∴当AC=12，AB=10，BC=10时，△ABC的周长=12+10+10=32，∴当AC=8，AB=10，BC=10时，△ABC的周长=10+10+8=28，∴当k=10或k=8时，△ABC为等腰三角形，△ABC 的周长为32或2851．解：（1）△=4（k﹣1）2﹣4k2=4（k2﹣2k+1）﹣4k2=﹣8k+4≥0，∴k ≤，故当k ≤时，原方程有实数根；（2）选k=0，则原方程化为：x2+2x=0，设两实数根为：x1，x2，由根与系数的关系：x1+x2=﹣2，x1x2=0，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，=4﹣0=452．解：（1）方程两根互为倒数，根据根与系数的关系x1•x2=1，即a2=1，a=±1，当a为1或﹣1时，方程两根互为倒数；（2）∵|x1|=x2，∴x1=x2或x1=﹣x2，当x1=x2时△=0，即（2a﹣1）2﹣4a2=0﹣4a+1=0，a=﹣，当x1=﹣x2时，2a﹣1=0，a=．∴方程的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，a的值是﹣或53．解：：（1）∵a=，b=﹣（m﹣2），c=m2方程有两个相等的实数根，∴△=0，即△=b2﹣4ac=[﹣（m﹣2）]2﹣4××m2=﹣4m+4=0，∴m=1．原方程化为：x2+x+1=0 x2+4x+4=0，（x+2）2=0，∴x1=x2=﹣2．（2）不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．∵x1+x2=﹣=4m﹣8，x1x2==4m2x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（4m﹣8）2﹣2×4m2=8m2﹣64m+64=224，即：8m2﹣64m﹣160=0，解得：m1=10，m2=﹣2（不合题意，舍去），又∵m1=10时，△=﹣4m+4=﹣36＜0，此时方程无实数根，∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．54．解：设原方程的两根为x1、x2（1）∵两根互为倒数，∴两根之积为1x1•x2==1，解得m=15，（2）∵两根互为相反数，∴x1+x2==0，∴m=﹣，（3）当有一根为零时，∴m﹣7=0，∴m=7，（4）当有一根为1时，∴8﹣2m﹣1+m﹣7=0，解得m=055．解：（1）当a﹣1=0即a=1时，方程不是一元二次方程；当a≠1时，由△=b2﹣4ac≥0，得（2a﹣3）2﹣4a （a﹣1）≥0，解得a ≤，∵a﹣1≠0，∴a≠1，则a的取值范围是a ≤且a≠1，（2）∵x1，x2是一元二次方程（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a=0的两个根，∴x1+x2=，x1x2=．又∵x12+x22=9，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=9．（）2﹣2×=9．整理，得7a2﹣8a=0，a（7a﹣8）=0．∴a1=0，a2=（舍去）．经检验0是方程的根．故a=056．解：（1）若方程的一个根为零，则m﹣5=0，解得m=5，（2）若方程的两个根互为相反数，则两根之和为0，故=0，解得m=﹣1，（3）若方程两根互为倒数，则=1，解得m=13，当m=13时，方程是8y2﹣14y+8=0，即4y2﹣7y+4=0，根的判别式△=﹣15＜0，故不存在实数m，使方程的两个根互为倒数57．解：设另一根为x，∵一元二次方程（m+1）x2﹣x+m2﹣3m﹣3=0有一个根是1，∴m+1﹣1+m2﹣3m﹣3=0，解得m=3或﹣1（舍去），故m=3，∴x+1==，∴x=﹣，故另一根为﹣．58．解：设方程的两根为x1，x2，∵关于x的一元二次方程（a2﹣3）x2﹣2（a﹣2）x+1=0的两个实数根互为倒数，∴a2﹣3≠0，x1•x2==1，∴a2=4，∴a=2或﹣2，当a=2时，原方程变形为x2+1=0，△=﹣4＜0，此方程无实数根，∴a=﹣2．即a的值是﹣259．解：（1）设另两边为x1，x2，且x1＞x2．∴由韦达定理，得x1+x2=6，x1•x2，=m；根据三边关系得：x1+x2=6＞5 ①；∴x1﹣x2==＜5；解得，m ＞；又∵△=36﹣4m≥0，解得，m≤9，∴m 的取值范围是：＜m≤9；（2）当m取最大值，即m=9时，由原方程得x2﹣6x+9=0，即（x﹣3）2=0，解得，x1=x2=3，过点A作AD⊥BC于点D．∴AD=∴S△ABC =．60．解：x2﹣（k+2）x+2k=0（x﹣2）（x﹣k）=0，∴x1=2，x2=k，∵当k=2时，b=c=2，周长为5，∴当k=1时，1+1=2，不能构成三角形，∴周长为5中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．将抛物线y＝x2﹣x+1先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．y＝x2+3x+6 B．y＝x2+3x C．y ＝x2﹣5x+10 D．y＝x2﹣5x+4【答案】A【解析】先将抛物线解析式化为顶点式，左加右减的原则即可.【详解】，当向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得.故选A．【点睛】本题考查二次函数的平移；掌握平移的法则“左加右减”，二次函数的平移一定要将解析式化为顶点式进行；2．在六张卡片上分别写有13，π，1.5，5，02六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（）A．16B．13C．12D．56【答案】B【解析】无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式：一是开方开不尽的数，二是圆周率π，三是构造的一些不循环的数，如1.010010001……（两个1之间0的个数一次多一个）.然后用无理数的个数除以所有书的个数，即可求出从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率.【详解】∵这组数中无理数有π22个，∴卡片上的数为无理数的概率是21=63.故选B.【点睛】本题考查了无理数的定义及概率的计算.3．为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表：甲 2 6 7 7 8乙 2 3 4 8 8关于以上数据，说法正确的是（）A．甲、乙的众数相同B．甲、乙的中位数相同C．甲的平均数小于乙的平均数D．甲的方差小于乙的方差【答案】D【解析】分别根据众数、中位数、平均数、方差的定义进行求解后进行判断即可得.【详解】甲：数据7出现了2次，次数最多，所以众数为7，排序后最中间的数是7，所以中位数是7，26778==65x++++甲，()()()()()22222 21S=2666676786 5⎡⎤⨯-+-+-+-+-⎣⎦甲=4.4，乙：数据8出现了2次，次数最多，所以众数为8，排序后最中间的数是4，所以中位数是4，23488==55x 乙++++，()()()()()2222221S =25354585855乙⎡⎤⨯-+-+-+-+-⎣⎦=6.4，所以只有D 选项正确， 故选D. 【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，熟练掌握相关定义及求解方法是解题的关键.4．如图，△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，则图中阴影部分的面积等于( )A ．2﹣2B ．1C ．2D ．2﹣l【答案】D【解析】∵△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，AC′=AC=2， ∴AD ⊥BC ，B′C′⊥AB ，∴AD=12BC=1，AF=FC′=22AC′=1，∴DC′=AC′-AD=2-1， ∴图中阴影部分的面积等于：S △AFC′-S △DEC′=12×1×1-12×（2 -1）2=2-1， 故选D.【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD ，AF ，DC′的长是解题关键．5．如果关于x 的分式方程1311a xx x --=++有负数解，且关于y 的不等式组2()43412a y y y y ---⎧⎪⎨+<+⎪⎩无解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．﹣2B ．0C ．1【答案】B【解析】解关于y 的不等式组2()43412a y y y y ---⎧⎪⎨+<+⎪⎩，结合解集无解，确定a 的范围，再由分式方程1311a xx x --=++有负数解，且a 为整数，即可确定符合条件的所有整数a 的值，最后求所有符合条件的值之和即可．【详解】由关于y 的不等式组2()43412a y y y y ---⎧⎪⎨+<+⎪⎩，可整理得242y a y +⎧⎨<-⎩∵该不等式组解集无解， ∴2a+4≥﹣2 即a≥﹣3又∵1311a x x x --=++得x ＝42a - 而关于x 的分式方程1311a x x x --=++有负数解 ∴a ﹣4＜1∴a＜4于是﹣3≤a＜4，且a 为整数∴a＝﹣3、﹣2、﹣1、1、1、2、3则符合条件的所有整数a的和为1．故选B．【点睛】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．6．下列事件中，属于必然事件的是（）A．三角形的外心到三边的距离相等B．某射击运动员射击一次，命中靶心C．任意画一个三角形，其内角和是180°D．抛一枚硬币，落地后正面朝上【答案】C【解析】分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．详解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；故选C．点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7．将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于（）A．75°B．90°C．105°D．115°【答案】C【解析】分析：依据AB∥EF，即可得∠BDE=∠E=45°，再根据∠A=30°，可得∠B=60°，利用三角形外角性质，即可得到∠1=∠BDE+∠B=105°．详解：∵AB∥EF，∴∠BDE=∠E=45°，又∵∠A=30°，∴∠B=60°，∴∠1=∠BDE+∠B=45°+60°=105°，故选C．点睛：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】解：第一个图是轴对称图形，又是中心对称图形；第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．故选B．9．如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据俯视图中每列正方形的个数，再画出从正面的，左面看得到的图形:几何体的左视图是：．故选D.10．完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（）A．6（m﹣n）B．3（m+n）C．4nD．4m【答案】D【解析】解：设小长方形的宽为a，长为b，则有b=n-3a，阴影部分的周长：2(m-b)+2(m-3a)+2n=2m-2b+2m-6a+2n=4m-2(n-3a)-6 a+2n=4m-2n+6a-6a+2n=4m．故选D．二、填空题（本题包括8个小题）11．请写出一个比2大且比4小的无理数：________. 【答案】π（5或7）【解析】利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算，然后找出无理数即可【详解】设无理数为x，4x16<<，所以x的取值在4~16之间都可，故可填5【点睛】本题考查估算无理数的大小，能够判断出中间数的取值范围是解题关键12．如图，正方形ABCD的边长为422+，点E 在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长是__________．【答案】2【解析】设EF=x，先由勾股定理求出BD，再求出AE=ED，得出方程，解方程即可．【详解】设EF=x，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，∴BD=2AB=42+4，EF=BF=x，∴BE=2x，∵∠BAE=22.5°，∴∠DAE=90°-22.5°=67.5°，∴∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠AED=∠DAE，∴AD=ED，∴BD=BE+ED=2x+4+22=42+4，解得：x=2，即EF=2.13．如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____．【答案】72°【解析】首先根据正五边形的性质得到AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，然后利用三角形内角和定理得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，最后利用三角形的外角的性质得到∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°．【详解】∵五边形ABCDE为正五边形，∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°，故答案为72°．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，利用数形结合求解是解答此题的关键14．如图，点A，B在反比例函数y＝1x(x＞0)的图象上，点C，D在反比例函数y＝kx(k＞0)的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为32，则k的值为_____．【答案】1【解析】过A作x轴垂线，过B作x轴垂线，求出A（1，1），B（2，12），C（1，k），D（2，2k），将面积进行转换S△OAC＝S△COM﹣S△AOM，S△ABD＝S 梯形AMND﹣S梯形AAMNB进而求解．【详解】解：过A作x轴垂线，过B作x轴垂线，点A，B在反比例函数y＝1x（x＞0）的图象上，点A，B的横坐标分别为1，2，∴A（1，1），B（2，12），∵AC∥BD∥y轴，∴C（1，k），D（2，2k），∵△OAC 与△ABD 的面积之和为32， 111112222OACCOMAOMk SSSk ∴=-=⨯-⨯⨯=-，S △ABD ＝S 梯形AMND ﹣S 梯形AAMNB 1k 11k 1111122224-⎛⎫⎛⎫=+⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1132242k k -∴-+=， ∴k ＝1， 故答案为1． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，k 的几何意义．能够将三角形面积进行合理的转换是解题的关键．15．若a 、b 为实数，且b ＝22117a a a -+-++4，则a+b ＝_____． 【答案】5或1【解析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】由被开方数是非负数，得221010a a ⎧-≥⎨-≥⎩， 解得a ＝1，或a ＝﹣1，b ＝4， 当a ＝1时，a+b ＝1+4＝5， 当a ＝﹣1时，a+b ＝﹣1+4＝1， 故答案为5或1． 【点睛】本题考查了函数表达式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．16．从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是__________． 【答案】【解析】根据概率的公式进行计算即可.【详解】从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是.故答案为：.【点睛】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.17．如图，AB 为⊙O 的弦，C 为弦AB 上一点，设AC ＝m ，BC ＝n(m ＞n)，将弦AB 绕圆心O 旋转一周，若线段BC 扫过的面积为(m 2﹣n 2)π，则m n＝______15+ 【解析】先确定线段BC 过的面积：圆环的面积，作辅助圆和弦心距OD ，根据已知面积列等式可得：S=πOB 2-πOC 2=（m 2-n 2）π，则OB 2-OC 2=m 2-n 2，由勾股定理代入，并解一元二次方程可得结论． 【详解】如图，连接OB 、OC ，以O 为圆心，OC 为半径画圆，。
一元二次方程韦达定理、根与系数的关系练习+答案
韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于x 的方程0322=+-m x x ，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。
2、已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ．3、如果1x ，2x 是方程0652=+-x x 的两个根，那么=⋅21x x ．4、已知1x ，2x 是方程0362=++x x 的两实数根，则2112x x x x +的值为______． 5、设1x 、2x 是方程03422=-+x x 的两个根，则=++)1)(1(21x x ．6、若方程03422=--x x 的两根为βα、，则=+-22ββ2a a ．7、已知1x 、2x 是关于x 的方程01)1(22=-++-a x x a 的两个实数根，且1x ＋2x ＝31，则21x x ⋅＝ ．8、已知关于x 的一元二次方程0642=--x mx 的两根为1x 和2x ，且221-=+x x ，则=m ，()=+⋅2121x x x x 。
9、若方程0522=+-k x x 的两根之比是2：3，则=k ．10、如果关于x 的方程062=++k x x 的两根差为2，那么=k 。
11、已知方程0422=-+mx x 两根的绝对值相等，则=m 。
12、已知方程022=+-mx x 的两根互为相反数，则=m 。
13、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数，则=a 。
14、已知关于x 的一元二次方程0)1(222=+--m x m x 。
若方程的两根互为倒数，则=m ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则=m 。
15、一元二次方程)0(02≠=++p r qx px 的两根为 0 和 －1，则=q p : 。
16、已知方程0132=-+x x ，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为 。
《一元二次方程根的判别式和韦达定理》同步练习
《一元二次方程根的判别式和根与韦达定理》 同步练习一、填空题和选择题1、（泸州）设12,x x 是方程2330x x +-=的两个实数根，则2112x x x x +的值为 A.5 B.-5 C.1 D.-12、（眉山）已知关于x 的一元二次方程032=--x x 的两个实数根分别为α、β，则(α+3)(β+3)=______3、（2牡丹江）若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0（a ≠0）的解是x=1，则2013﹣a ﹣b 的值是（ ）A ．2018B ． 2008C ． 2014D ． 20124. （2012湖北襄阳）如果关于x 的一元二次方程2kx 2k 1x 10-++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是【 】A ．k ＜12B ．k ＜12且k ≠0C ．﹣12≤k ＜12D ．﹣12≤k ＜12且k ≠05、（2013•自贡）已知关于x 的方程x 2﹣（a+b ）x+ab ﹣1=0，x 1、x 2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x 1≠x 2；②x 1x 2＜ab ；③．则正确结论的序号是 ．（填上你认为正确结论的所有序号） 二、解答题1．设关于x 的方程kx 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0的两实数根为x 1、x 2，，若,4171221=+x x x x 求k 的值.2、（2013• 日照）已知，关于x 的方程x 2－2mx = －m 2＋2x 的两个实数根1x 、2x 满足12x x =，求实数m 的值.3、（2013•孝感）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+2k=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k 使得≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．4、（2013•荆州）已知：关于x的方程kx2－(3k－1)x+2(k－1)=0（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x1，x2,且│x1－x2│=2,求k的值.5. (2010．十堰)已知关于x的方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x的二次函数y= mx2-(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.6、如图，平行四边形 ABCD中，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程3)12(22=++-+mxmx的根。
一元二次函数解法、韦达定理、根的判别式精分类习题
一、概念习题1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=15、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
6、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
7、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
8、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
9、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为 。
10、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
11、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。
⑴求k 的值 ⑵方程另一个解。
12、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2。
13、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622。
14、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a -15、若=•=-+yx 则y x 324,0352 。
二、解法习题直接开平方法1、解关于x 的方程：();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132=--x （4）02=-b ax2、若()()2221619+=-x x ，则x 的值为 。
_专题5一元二次方程两种关系—根判别式、韦达定理题型总结 2022—2023学年沪科版数学八年级下册
一元二次方程两种关系【知识点1 一元二次方程根的判别式】一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；③当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.【例1】下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1 C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0 【变式1】关于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定【变式2】函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【变式3】已知a，b，c分别是△ABC的边长，则一元二次方程（a+b）x2+2cx+a+b＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法判断【练习 1】关于x的一元二次方程2x2+5x﹣1＝0根的说法，正确的是（）A．方程没有实数根 B．方程有两个相等实数根C．方程有两个不相等实数根 D．方程有一个实数根【练习 2】已知关于x 的不等式组{x −m ＞07−2x ＞1无解，且关于y 的一元二次方程my 2+4y+1＝0有两个不相等的实数根，则整数m 为 ．【练习 3】对于一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a ≠0），有下列说法：①若a+b+c ＝0，则b2﹣4ac ≥0；②若方程ax 2+c ＝0有两个不相等的实根，则方程ax 2+bx+c ＝0必有两个不相等的实根；③若c 是方程ax 2+bx+c ＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x 0是一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，其中说法正确的有 ．（填序号）【例2】关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x+2＝0有两个不相等实数根，则a 的值可以（ ） A ．1B ．12C ．0D ．﹣1【变式1】关于x 的一元二次方程（a+2）x 2﹣3x+1＝0有实数根，则a 的取值范围（ ） A ．a ≤14且a ≠﹣2B ．a ≤14C ．a ＜14且a ≠﹣2D ．a ＜14【变式2】方程kx 2﹣6x+1＝0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ≤9B ．k ≤9且≠0C ．k ≠0D ．k ＞9【变式3】关于x 的方程kx 2+√k +1x+2＝0有实根，则k 的取值范围是 ． 【变式4】关于x 的方程x 2+bx+c ＝0有两个相等的实数根，x 取m 和m+2时，代数式x 2+bx+c 的值都等于n ，则n ＝ ．【练习1】关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x+2＝0有两个相等的实数根，则a 的值为 ．【练习2】已知关于x 的一元二次方程5x 2+2x+m ＝0有实数根，则m 的取值范围是 ． 【练习3】关于x 的方程（k ﹣1）2x 2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞14且k ≠1B ．k ≥14且k ≠1C ．k ＞14D ．k ≥14【例3】关于x 的一元二次方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2﹣1＝0有两个不相等的实数根 （1）求m 的取值范围；（2）若m 是满足条件的最大整数，求方程的根．【变式1】已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0（1）若x＝﹣1是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一根；（2）对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由．【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根；（2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根．（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【变式3】关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．【变式4】已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k 的值；（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．【练习1】已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，求此时方程的解．【练习2】已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【练习3】关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？（3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．【知识点2 一元二次方程的根与系数的关系-韦达定理】如果一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个实数根是， 那么，；注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 【例1】如果1是方程2x 2+bx ﹣4＝0的一个根，则方程的另一个根是（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．1【变式1】若一元二次方程x 2﹣x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）＝ ． 【变式2】设x 1，x 2是方程x 2+3x ﹣3＝0的两个实数根，则x 2x 1+x1x 2的值为 ．【变式3】已知a 、b 是方程2x 2+5x+1＝0的两实数根，则式子a √a b+b √b a的值为 ．【练习1】一元二次方程x 2﹣4x+a ＝0的两根之积为2，则常数a 的值（ ） A ．﹣2B ．−12C ．12D ．2【练习2】已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两个根，则（m ﹣1）（n ﹣1）的值为（ ） A ．2B ．0C ．﹣4D ．﹣5【练习3】一元二次方程x 2+4x+1＝0的两个根是x 1，x 2，则x2x 1−x1x 2的值为 ．（其中x 2＞x 1）【例2】若a 、b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两根，则a 2+2a+b ＝ ．【变式1】一元二次方程x 2﹣3x+1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2+1的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．7【变式2】设x 1、x 2是方程x 2﹣4x+1＝0的两个根，则x 13+4x 22+x 1﹣1的值为 ． 【练习1】如果方程x 2﹣x ﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（ ） A ．7B ．6C ．﹣2D ．0【练习2】已知α、β是方程x 2﹣x ﹣1＝0的两个实数根，则α4+3β的值是（ ） A ．4B ．4√2C ．5D ．5√221x x ，a b x x -=+21acx x =21【例3】如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2023＝．【变式1】已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则a2+b2的值为（）A．36 B．50 C．28 D．25【变式2】已知a2﹣2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且ab≠1，则ab+b+1b的值为．【变式3】已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则1α2+3β的值为．【例4】已知：关于x的一元二次方程x2+√m x+m﹣3＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两根为x1，x2，且满足x12+x22＝5，求m的值．【变式1】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值．【变式2】关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的二根为x1，x2，且x12﹣x1+x2＝3x1x2，则m ＝．【变式3】已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根．（1）试确定m的取值范围；（2）当1α+1β=−1时，求m的值．【变式4】已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0（1）求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝2，求m的值．=0的两个实数根为α和β，若【练习1】已知二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32|α|+|β|＝4，求m的值．【练习2】已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，则k的值是．【练习3】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2；①求代数式x12+x22−4x1x2的最大值；②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．【例5】定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k ＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（）A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根【变式1】对于实数m、n，定义一种运算：m△n＝mn+n．（1）求﹣2△√32得值；有两个相等的实数根，求实数a的值．（2）如果关于x的方程x△（a△x）=−14【变式2】如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0有两个实数根x 1，x 2，且满足数轴上x 1，x 2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有 ．（填序号） ①方程x 2﹣4x ＝0是关于2的等距方程；②当5m ＝﹣n 时，关于x 的方程（x+1）（mx+n ）＝0一定是关于2的等距方程； ③若方程ax 2+bx+c ＝0是关于2的等距方程，则必有b ＝﹣4a （a ≠0）； ④当两根满足x 1＝3x 2，关于x 的方程px 2﹣x +34=0是关于2的等距方程．【变式3】如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t ，则另一根为2t ，因此ax 2+bx+c ＝a （x ﹣t ）（x ﹣2t ）＝ax 2﹣3atx+2t 2a ，所以有b 2−92ac ＝0；我们记“K ＝b 2−92ac ”，即K ＝0时，方程ax 2+bx+c ＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：（1）以下为倍根方程的是 ；（写出序号） ①方程x 2﹣x ﹣2＝0；②x 2﹣6x+8＝0；（2）若关于的x 方程mx 2+（n ﹣2m ）x ﹣2n ＝0是倍根方程，求4m 2+5mn+n 2的值； （3）若A （m ，n ）在一次函数y ＝3x ﹣8的图象上，且关于x 的一元二次方程x 2−√mx +23n ＝0是倍根方程，求此倍根方程．【课后练习】1．关于x的一元二次方程x2+4x+2＝0根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根2．若方程x2+3x+c＝0没有实数根，则c的取值范围是（）A．c＜94B．c＜49C．c＞49D．c＞943．关于x的一元二次方程﹣kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣3 B．k＜3 C．k＜3且k≠0 D．k＞﹣3且k≠0 4．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论正确的是（）A．x1+x2＝﹣2 B．x1•x2＝0 C．x1+x2＝0 D．x1•x2＝﹣2 5．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根，则x1﹣x1x2+x2的值为．6．已知a，b是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则a2﹣b+2023的值是（）A．2025 B．2024 C．2023 D．20227．已知关于x的方程2x2+（m+2）x+m＝0；（1）证明：方程总有实数根；（2）若方程有一个根大于1，求m的范围．8．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+m4=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若1x1+1x2=4m，求m的值．。
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光明中学八年级下一元二次方程根的判别式和韦达定理练习
班级 姓名 . 知识小结：
1、对于一个一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．我们把把b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示． 当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根； 当△＜0时，没有实数根． 反之亦然．
2、韦达定理：如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是X 1 , X 2 ,
那么a
c
x x a b x x =•-=+2121,（能用韦达定理的前提条件为△≥0 ）
巩固练习： 一、填空题
1．（2007芜湖）
已知2是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是 ．
2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝ 。
3.已知关于x 的方程10x 2－(m+3)x+m －7=0，若有一个根为0，则m= ，这时
方程的另一个根是 ；若两根之和为－3
5
，则m= ，这时方程的两个根
为 .
4．若关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数，则m ＝ 。
5.方程2x(mx －4)=x 2－6没有实数根，则最小的整数m= ;
6.已知方程2(x －1)(x －3m)=x(m －4)两根的和与两根的积相等，则m= ;
7.设关于x 的方程x 2－6x+k=0的两根是m 和n ，且3m+2n=20，则k 值为 ; 三、解答题
8.已知方程012=--x x 的两个实数根为21,x x ，求：
(1)2
221x x +；2111)2(x x +；(3)21x x -；
)1)(1)(4(21--x x 。
9.设x 1,x 2是方程2x 2+4x －3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：
(1) (x 1+1)(x 2+1) (2)x 2x 1 + x 1
x 2
（3）x 12+ x 1x 2+2 x 1
10.（2009，鄂州）关于x 的方程04
)2(2
=+
++k
x k kx 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围。
(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由
11.（2007孝感市）已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m －1)x －2m 2＋m=0（m 为实数）有两个实数根
1
x 、
2
x ．（1）当m 为何值时，
12x x ≠；（2）若22122x x += ，求m 的值.
12.（2009，潍坊）已知
12,x x 是方程220x x a -+=的两个实数根，且1223x x +=
(1)求12,x x 及a 的值；(2)求32111232x x x x -++的值．
13．（04四川省）已知关于x 的方程222(1)230x m x m m -++--=的两个不相等的实数根中有一个根为0，是否存在实数k ，使关于x 的方程22()520x k m x k m m ----+-=的两个实数根1x 、2x 之差的绝对值为1？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由
14. 【2008年河南省】已知2x 2x 是关于x 的一元二次方程062=+-k x x 的两个实数根，且
21x 22x —1x —2x =115
(1)求k 的值；（2）求21x +22x +8的值。