2020年江苏省连云港市东海县高二(下)期中数学试卷(选修历史)

期中数学试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={0，1，2，3}，B={-1，0，2}，则A∩B=______2.已知复数z满足z=1+2i，则|z|=______．3.将下列三句话按“三段论”模式排列，正确的序号顺序是______．①铁能导电；②所有的金属都能导电；③铁是金属．4.函数f（x）=的定义域为______．5.设a=0.32，b=20.3，c=log2，将a，b，c用“＞”连接起来为______．6.计算：log327-e ln2+0.125=______．7.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是单调增函数，若f（a+1）+f（2a）＞0，则实数a的取值范围是______．8.若曲线|y|=2-x+2与直线y=b没有公共点，则实数b的取值范围是______．9.在直角坐标系xOy中，AB是圆O的弦，M是AB中点，若AB，OM都存在非零斜率k AB，k OM，则k AB•k OM=-1．类比于圆，在直角坐标系xOy中，AB是椭圆=1（a＞b＞0）的弦，M是AB中点，若AB，OM都存在非零斜率k AB，k OM，则k AB•k OM=______．10.若函数f（x）=x|x-a|（a＞0）在区间[2，4]上单调递减，则实数a的值是______．11.已知函数f（x）=，g（x）=+m，∀x1∈（0，3]，∃x2∈[-1，2]，使得f（x1）＜g（x2），则实数m的取值范围是______．12.若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-1）是偶函数，则f（1）+f（2）+f（3）=______．13.观察下列算式：1=13，3+5=23，7+9+11=33，13+15+17+19=43，……111+113+115++m=n3，则m+n=______．14.已知函数f（x）=，若方程f（x）=-x-a有两个不同实根，则实数a的取值范围为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.设设集合A={x|（x-a）2＜1}，B={x|log0.5（3-x）≥-2}（1）当a=3时，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．16.已知函数f（x）=4x-2x+1+c（其中c是常数）．（1）若当x∈[0，1]时，恒有f（x）＜0成立，求实数c的取值范围；（2）若存在x0∈[0，1]，使f（x0）＜0成立，求实数c的取值范围．17.用分析法或综合法证明：（1）求证：2-＞；（2）设a＞0，求证：a2≥a+．18.设函数f（x）=a x-（k+2）a-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求实数k的值；（2）若f（1）=，g（x）=a2x+a-2x-2mf（x），且g（x）在[1，+∞）上的最小值为1，求实数m的值．19.学生人均课外学习时间是指单日内学生不在教室内的平均学习时间．某校高中学生群体G有走读生和住校生两种，调查显示：当群体G中x% （0＜x＜100）的学生为走读生时，走读生的人均课外学习时间（单位分钟）为f（x）=，而住校生的人均课外学习时间恒为40分钟，试根据上述调查结果回答下列问题：（1）当x为何值时，住校生的人均课外学习时间等于走读生的课外人均学习时间？（2）求该校高中学生群体G的人均课外学习时间g（x）的表达式，并求g（x）的最小值．20.已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-2x+2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[m，n]时，f（x）的取值范围为[2m，2n]，试求实数m，n的值．答案和解析1.【答案】{0，2}【解析】解：∵A={0，1，2，3}，B={-1，0，2}；∴A∩B={0，2}．故答案为：{0，2}．进行交集的运算即可．考查列举法表示集合的定义，以及交集的运算．2.【答案】【解析】解：∵复数z满足z=1+2i，∴|z|==．故答案为：．利用复数的模的性质直接求解．本题考查复数的模的求法，考查复数的模的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】②③①【解析】解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：③铁是金属是“小前提”；②所有的金属都能导电是“大前提”；①铁能导电是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②③①，故答案为：②③①．根据三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”⇒“结论”，分析即可得到正确的次序．本题考查的知识点是演绎推理的基本方法：大前提一定是一个一般性的结论，小前提表示从属关系，结论是特殊性结论．4.【答案】（0，4]【解析】解：由2-log2x≥0，得log2x≤2，解得0＜x≤4．∴函数f（x）=的定义域为（0，4]．故答案为：（0，4]．由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案．本题考查函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，是基础题．5.【答案】c＞b＞a【解析】解：∵a=0.32=0.09，20=1＜b=20.3＜21=2，c=log2=2，∴将a，b，c用“＞”连接起来为c＞b＞a．故答案为：c＞b＞a．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．6.【答案】5【解析】解：log327-e ln2+0.125=3-2+4=5．故答案为：5．利用指数、对数的性质、运算求则直接求解．本题考查指数式、对数式化简的求值，考查指数、对数的性质、运算求则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】（-）【解析】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是单调增函数；∴f（x）在R上单调递增；又f（a+1）+f（2a）＞0；∴f（a+1）＞-f（2a）；∴f（a+1）＞f（-2a）；∴a+1＞-2a；∴；∴实数a的取值范围是．故答案为：．据题意即可得出f（x）在R上单调递增，且得出f（a+1）＞f（-2a），从而得出a+1＞-2a，解出a的范围即可．考查奇函数的概念，奇函数在对称区间上的单调性特点，以及增函数的定义．8.【答案】[-2，2]【解析】解：|y|=2-x+2，由2-x＞0，可得y＞2或y＜-2，作出曲线|y|=2-x+2，可得-2≤b≤2时，曲线与直线y=b无公共点，故答案为：[-2，2]．由指数函数的值域可得y＞2或y＜-2，作出曲线|y|=2-x+2与直线y=b，即可得到所求范围．本题考查曲线与直线的位置关系，考查数形结合思想，属于基础题．9.【答案】-【解析】解：依题意，对于圆O，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）圆的方程为x2+y2=r2，则，且x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，则①-②得，==-1=k•k，则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，又，所以==-=k AB•k OM．故答案为：-．对于圆O，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）圆的方程为x2+y2=r2，则，且x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，则①-②得，==-1=k AB•k OM，所以在椭圆中，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，又，所以==-．本题考查了类比推理，考查了点差法求斜率的乘积．属于中档题．10.【答案】4【解析】解：由题意，可知：去掉绝对值，可得：f（x）=，整理，可得：f（x）=．则f（x）的图象如下：由图象可知：f（x）在区间[，a]上单调递减．本题先对函数f（x）去掉绝对值，然后画出f（x）的图象，根据图象分析可得a的值．本题主要考查将绝对值函数转化为分段函数，然后画出分段函数的图象，利用数形结合法得出结果，本题属基础题．11.【答案】【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．∀x1∈（0，3]，∃x2∈[-1，2]，使得f（x1）＜g（x2），可得f（x1）max＜g（x2）max，x∈[-1，2]．利用以及函数f（x），g（x）的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：∀x1∈（0，3]，∃x2∈[-1，2]，使得f（x1）＜g（x2），∴f（x1）max＜g（x2）max，函数，x∈（0，3]，f′（x）=，可得x=e时函数f（x）取得极大值即最大值，∴f（x1）max=f（e）=．函数，x∈[-1，2]，g′（x）=x2-x=x（x-1），易知在和上递增，在上递减，所以x=0时，函数g（x）取得极大值，g（0）=m．又g（2）==+m．可得：g（x）max=+m．∵f（x1）max＜g（x）max，∴＜+m，解得m＞-．∴m的取值范围为：．故答案为：．12.【答案】0【解析】解：∵f（x-1）是偶函数；∴f（-x-1）=f（x-1），且f（x）是R上的奇函数；∴f（0）=f（-2）=-f（2）=0，f（-3）=f（1）=-f（3）；∴f（1）+f（2）+f（3）=0．故答案为：0．根据f（x-1）是偶函数即可得出f（-x-1）=f（x-1），并且根据f（x）是R上的奇函数可得f（0）=0，从而得出f（2）=0，f（3）=-f（1），从而得出f（1）+f（2）+f（3）=0．考查奇函数、偶函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0．【解析】解：观察各个等式左侧，第n个奇数之和，分析各行的第一个奇数依次为1，3，7，13，21，…进一步可写成0+1，2+1，6+1，12+1，20+1，…即0×1+1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，…故可猜想第n行左边第一个奇数为（n-1）n+1，进而后续奇数依次为：（n-1）n+3，（n-1）n+5，…，（n-1）n+（2n-1）．由于第n行第一个数为111，即：111=（n-1）n+1，解得n=11，可得：m=（11-1）×11+（2×11-1）=131，可得：m+n=131+11=142．故答案为：142．观察已知等式的规律，可猜想第n行左边第一个奇数为（n-1）n+1，后续奇数依次为：（n-1）n+3，（n-1）n+5，…，（n-1）n+（2n-1），由第n行第一个数为111，即：111=（n-1）n+1，解得n=11，可得：m=（11-1）×11+（2×11-1）=131，即可得解．本题主要考查了归纳与推理，猜想第n行左边第一个奇数为（n-1）n+1，进而后续奇数依次为：（n-1）n+3，（n-1）n+5，…，（n-1）n+（2n-1）是解题的关键，属于中档题．14.【答案】（-1，+∞）【解析】解：当x＞0时，y=2x-1，画出x＞0时的图象，当-1≤x＜0时，f（x）=f（x+1）=2x+1-1，当-2≤x＜-1时，f（x）=f（x+1）=2x+2-1，…作出y=f（x）的图象，方程f（x）=-x-a有两个不同实根，即为y=f（x）和直线y=-x-a有两个交点，由直线经过点（0，1）可得a=-1；直线经过原点时，a=0；直线经过（-1，0），可得a=1，…由于图象不过（0，1），（-1，1），（-2，1），…，可得a＞-1时，y=f（x）和直线y=-x-a有两个交点，故答案为：（-1，+∞）．求得当-1≤x＜0时，当-2≤x＜-1时的解析式，作出y=f（x）的图象，结合直线y=-x-a的平移，即可得到所求a的范围．本题考查分段函数的图象和性质，考查函数方程的转化思想，以及数形结合思想，属于中档题．15.【答案】解：集合A={x|（x-a）2＜1}={x|a-1＜x＜a+1}，当a=3时，A=（x|2＜x＜4}，B={x|log0.5（3-x）≥-2}={x|0＜3-x≤4}={x|-1≤x＜3 }所以A∩B={x|2＜x＜3}（2）由（1）知：A={x|a-1＜x＜a+1}A⊆B，所以：a+1≤3，a-1≥-1；同时成立．解得：0≤a≤2，实数a的取值范围{a|0≤a≤2}【解析】（1）根据集合的基本运算即可求a=3时A∩B；（2）根据A⊆B，建立条件关系即可求实数a的取值范围．令g（t）=t2-2t+c=f（x），是开口向上对称轴为t=1的二次函数．（1）当x∈[0，1]时，恒有f（x）＜0成立⇔t∈[1，2]时，恒有g（t）＜0成立⇔g（2）=c＜0⇔c∈（-∞，0）．（2）存在x0∈[0，1]，使f（x0）＜0成立⇔存在t0∈[1，2]，使g（t0）＜0成立⇔g（1）=-1+c＜0⇔c∈（-∞，1）．【解析】f（x）的解析式中暗含其为二次函数与指数函数的复合，所以先用换元法将问题转化为二次函数的恒成立和存在性问题，再利用二次函数的性质解答问题．首先需要发现f（x）中暗含的复合函数．对于复合函数的问题，用换元法来解答是非常方便的．17.【答案】证明：（1）要证2-＞-，即证2+＞+，即为9+4＞9+2，即为2＞，即20＞18，上式显然成立，以上均可逆，则2-＞-；（2）要证a2≥a+，由a＞0，只要证a4+1≥a3+a，即证a4-a3+1-a≥0，即证（a3-1）（a-1）≥0，只要证（a-1）2（a2+a+1）≥0，由a＞0，可得（a-1）2（a2+a+1）≥0，成立，则a＞0，a2≥a+．【解析】（1）运用分析法证明，考虑移项两边平方，即可得证；（2）运用分析法，考虑去分母和因式分解，由条件和不等式的性质，即可得证．本题考查不等式的证明，注意运用分析法证明，考查化简变形能力和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）=1-（k+2）=0⇒k=-1，当k=-1时，f（x）=a x-a-x，对任意的x∈R，f（-x）=a-x-a x=-（a x-a-x）=-f（x），所以f（x）是R上的奇函数．（2）f（1）=a-=⇔2a2-3a-2=0⇒a=2或a=-（舍）．所以g（x）=22x+2-2x-2m（2x-2-x），令t=2x-2-x，则t关于x单调递增，x≥1⇒t≥，又2x-2-x＞2x-1，所以t∈[，+∞）．22x+2-2x=（2x-2-x）2+2=t2+2，所以g（x）=t2-2mt+2是关于t的开口向上、对称轴为t=m 的二次函数．i．当m＜时，g（x）在t=时取最小值-3m+2=1⇒m=＜；ii．当m≥时，g（x）在t=m时取最小值m2-2m2+2=1⇒m=±1（舍去）．综上m=．这是一道基础的函数最值问题，（1）考察了函数的奇偶性，（2）则需要用换元法，并且考察了二次函数的性质．19.【答案】解：（1）因走读生的人均课外学习时间为f（x）=，由于住校生的人均课外学习时间等于走读生的课外人均学习时间，故40=2x+-90（x∈（30，100），则（x-20（x-45）=0，得x=45，所以当x=45时，两类学生的课外学习时间相等；（2）由题意可得g（x）==，当0＜x≤30时，g（x）单调递减，最小值是37，所以当30＜x＜100时，x2-x+58=（x-）2+，所以当x=时，g（x）min=，因为＜37，所以g（x）min=，答：当x=45时，两类学生的课外学习时间相等，g（x）的最小值为，【解析】（1）因为住校生的人均课外学习时间恒为40分钟，由分段函数f（x）=，可计算40=2x+-90（x∈（30，100），从而得到答案．（2）由题意可得g（x）=，求g（x）的分段表达式的最小值进行比较，可得求g（x）的最小值．本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）设x＜0，则-x＞0，因为f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x）=x2+2x+2，∴f（x）=，（2）∵函数f（x）的值域为[1，+∞），显然有2m≥1，即m≥，①当时，f（x）单调递减，此时，∴m2=n2，显然不成立，f（x）min=f（1）=1=2m，f（m）=，f（n）=n2-2n+2，若，即（舍），若f（x）max=f（n），即2n=n2-2n+2，n =或（舍），∴，n =；③当1＜m＜n时，f（x）单调递增，此时，∴（舍）；综上，，．【解析】（1）运用偶函数的定义，可得x＜0的解析式，即可得到所求f（x）的解析式；（2）分①②③1＜m＜n，三种情况讨论f（x）的单调性，然后根据条件列不等式求解．本题考查分段函数的图象和性质，主要是单调区间和奇偶性，考查数形结合思想和方程思想，属中档题．第11页，共11页。