精选高中数学第二章解析几何初步2.1.2直线的方程第一课时直线方程的点斜式高效测评北师大版必修2
高中数学 第二章 解析几何初步 2.1.2 直线的方程课件2高一数学课件
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（二）直线(zhíxiàn)方程的实际应用
• 直线方程的实际(shíjì)应用常常与实际(shíjì)应用题相结 合，
• 它涉及到直线方程的求法、函数建模思想、消元 思想、二次函数最值求解等知识的综合应用，重 要的是通过解析法的思想，把实际问题转化成数 学问题来求解.
∴ 由中点公式，可设 B点坐标为（6-x1，-y1）
oPx
∵A、B两点分别在直线 2x-y-2=0 和x+y+3=0 上
∴
2x-y-2=0
B
由两点式可得直线 的方程为：8x-y-24=0
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变式2：直线 过点P（3，2）且与x、y轴
的正半轴分别相交于A、B两点，△OAB的
2、当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1；
3、当直线倾斜角90 °时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示，这时直线
方程为x=x1。
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②直线(zhíxiàn)方程的斜截式
直线的斜率为k，与y轴的交点(jiāodiǎn)是P（0，b），
则直线 l 的方程是：
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【规范解答】(1)由题意知,直线(zhíxiàn)的斜截式方程为
y=2x+1,化为一般式方程为2x-y+1=0.
(2)由题意知, 直线的两点式方程为 化为一般式方程为x-5y+7=0. (3)由题意知, 直线的截距式方程为 化为一般式方程为5x-3y-15=0. (4)由题意知,直线方程为x=4, 化为一般式方程为x-4=0.
高中数学 第二章 解析几何初步2.1.2.1 直线方程的点斜式
一般式推导
01 已知直线上一点$P_1(x_1, y_1)$和斜率k，则直线 的点斜式为$y - y_1 = k(x - x_1)$。
02 将点斜式展开，得到$y = kx - kx_1 + y_1$。
02 整理后可得一般式：$kx - y + (y_1 - kx_1) = 0$ ，其中A=k，B=-1，C=$y_1 - kx_1$。
已知直线上一点和斜率，可以直接套用点斜式求 出直线方程。
02 判断两直线是否平行
若两直线斜率相等且不重合，则两直线平行。利 用点斜式可以方便地求出两直线的斜率并进行比 较。
03 解决与直线相关的问题
如求点到直线的距离、判断点是否在直线上等， 都可以通过点斜式进行求解。
03
两点式直线方程
两点式定义
直线方程形式
点斜式
已知直线上一点 $(x_1, y_1)$ 和斜率 $m$，则直线方程可 表示为 $y - y_1 = m(x - x_1)$。
斜截式
已知直线斜率 $m$ 和在 $y$ 轴上的截距 $b$，则直线方程可 表示为 $y = mx + b$。
两点式
已知直线上两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，则直线 方程可表示为 $frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = frac{x - x_1}{x_2 x_1}$。
直线方程在几何中的应用
平行与垂直判断
平行直线
两条直线的斜率相等且不重合， 则这两条直线平行。
垂直直线
两条直线的斜率互为相反数的倒 数，则这两条直线垂直。
距离计算
点到直线距离
利用点到直线距离公式，可以求出点 到直线的垂直距离。
高中数学 第二章 解析几何初步 2.1.2.2 直线方程的两点式和一般式课件高一数学课件
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[答一答] 1．直线的两点式方程的表示与点的选取有关吗？
提示：(1)两点确定一条直线，直线的两点式方程的表示与 P1，P2 的选取无关．
(2)yy2－－yy11＝xx2－－xx11⇔yy1－－yy22＝xx1－－xx22，即直线的两点式方程的 表示与 P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)这两点的顺序无关．
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类型一 直线方程的两点式 【例 1】 已知△ABC 的顶点分别为 A(2,8)，B(－4,0)，C(6,0)， 求过点 B 且将△ABC 的面积平分的直线方程． 【思路探究】 三角形面积＝12底×高，将△ABC 的面积平 分，可以考虑取底的一半就可以了，即中线从面积上平分三角形．
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2．过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线是否一定可用两点式 方程表示？
提示：不一定．(1)若 x1＝x2 且 y1≠y2，则直线垂直于 x 轴， 方程为 x－x1＝0 或 x＝x1.
(2)若 x1≠x2 且 y1＝y2，则直线垂直于 y 轴，方程为 y－y1＝0 或 y＝y1.
时，这条直线垂直于 x 轴，没有斜率．
；当 B＝0
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(3)二元一次方程与直线的关系：二元一次方程的每一组解 都可以看成平面直角坐标系中一个点的 坐标 ，这个方程
的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集 合，这些点的集合就组成了一条 直线 ．二元一次方程与平面
高中数学 第二章 解析几何初步 2.1.2 直线的方程 第一课时 直线方程的点斜式高效测评 北师大版
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一课时直线方程的点斜式高效测评北师大版必修2（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!)一、选择题(每小题5分,共20分)1．直线y－3＝－错误!（x＋4)的斜率为k,在y轴上的截距为b，则有（）A．k＝－错误!，b＝3 B．k＝－错误!,b＝－2C．k＝－错误!，b＝－3 D．k＝－错误!，b＝－3解析：原方程可化为y＝－错误!x－3，故k＝－错误!，b＝－3.答案: C2．直线y＝ax－错误!的图像可能是( ）解析：当a＞0时,－错误!＜0，直线过一、三、四象限．当a＜0时，－错误!＞0，直线过一、二、四象限，可得B正确．答案: B3．直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线都通过定点（)A．（0,0）B．(0,1)C．(3，1）D．（2,1）解析：将直线方程化为y－1＝k(x－3)可得过定点（3,1）．答案：C4．直线l不经过第三象限，l的斜率为k，在y轴上的截距为b（b≠0)，则有（) A．k·b＞0 B．k·b＜0C．k·b≥0 D．k·b≤0解析：由题意知k≤0，b＞0,所以k·b≤0.答案：D二、填空题（每小题5分，共10分)5．过点P(2,1)，以－错误!为斜率的直线方程为________．解析：由已知得，y－1＝－3（x－2），即y＝－错误!x＋2错误!＋1.答案：错误!x＋y－2错误!－1＝06．直线l的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________．解析: 由已知得直线方程y＋1＝tan 45°（x－4)，即y＝x－5。
高中数学 第二章 解析几何初步 1 1.2 直线的方程(1)课件高一数学课件
直线 l 过点(2,2)，且与 x 轴和直线 y＝x 围成的三角 形的面积为 2，求直线 l 的方程．
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【错解】 设直线 l 的方程为 y－2＝k(x－2)，即 y＝kx－2k＋2. 令 y＝0 得，x＝2k－k 2. 由三角形的面积为 2，得12×2k－k 2×2＝2. 解得 k＝12. 所以直线 l 的方程为 y－2＝12(x－2)．
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3 求斜率为4，且与坐标轴所围成的三角形的周长是 12 的直线 l 的方程．
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【解】 设直线方程为 y＝34x＋b.
令 x＝0，得 y＝b；令 y＝0，得 x＝－43b.
由题意知：|b|＋－43b＋ 整理得：|b|＝3，则 b＝±3.
b2＋－43b2＝12，
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2|k＋1|2＝|k|若 k＞0，则 2k2＋3k＋2＝0. Δ＝－7＜0，此方程无解． 若 k＜0，得 2k2＋5k＋2＝0，解得 k＝－2 或 k＝－12. ∴y－2＝－2(x＋2)或 y－2＝－12(x＋2)， 即 2x＋y＋2＝0 或 x＋2y－2＝0.
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2．怎样理解直线在 y 轴上的截距？ 答：直线斜截式方程为 y＝kx＋b，其中 b 称为直线在 y 轴上 的截距，b 的取值可为正数、零、负数，其本质为直线与 y 轴交 点的纵坐标．
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课堂互动(hù 探究 dònɡ)
典例精析 规律(guīlǜ)总结
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D．k＝－23，b＝－3
解析：y＝－32x－3，∴k＝－32，b＝－3.
答案：C
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高中数学 第二章 解析几何初步 2.1.2.1 直线方程的点斜式课件高一数学课件
12/11/2021
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【解】 (1)直线的点斜式方程为 y－5＝4(x－2)，可化为 4x －y－3＝0.
(2)∵倾斜角为 45°，∴直线的斜率 k＝tan45°＝1，∴直线的 点斜式方程为 y－4＝x＋1，可化为 x－y＋5＝0.
(3)∵倾斜角为 90°，∴直线的斜率不存在． 而直线过点(－1,4)，∴直线的方程为 x＝－1. (4)∵直线与 x 轴平行，∴直线的斜率 k＝0. 而直线过点(－1,4)，∴直线的方程为 y＝4.
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解：如图，∵A(3,2)关于 x 轴的对称点为 A′(3，－2)， ∴kA′B＝3－－2－－61＝－2，由点斜式可得直线 A′B 的方程为 y－6＝－2(x＋1)，即 2x＋y－4＝0.同理，点 B 关于 x 轴的对称点 为 B′(－1，－6)，kAB′＝23－－－－61＝2，直线 AB′的方程为 y－2 ＝2(x－3)，即 2x－y－4＝0. 故入射光线、反射光线所在直线方程分别为 2x－y－4＝0 和 2x＋y－4＝0.
式．
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[答一答] 3．直线方程的斜截式 y＝kx＋b 与一次函数 y＝ax＋b 之间 有何关系？
提示：(1)斜截式中的 k 可以为 0，一次函数中的 a 不能为 0； (2)它们的图像都是一条直线．
高中数学 第二章 解析几何初步 2.1 直线与直线的方程 2.1.2.2 直线方程的两点式和一般式课
-3
+2
= 4+2,化简得 2x+3y-5=0.
-1-3
(2)由截距式方程,得 + =1,化简得 3x-4y-24=0.
8
-6
解:(1)由两点式方程,得
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.已知两点的坐标,求过此两点的直线方程时,可首先考虑两
点式方程;若两点所在直线的斜率存在时,也可利用点斜式表示方
2-6
=
+2
,即
-4+2
2x-y+10=0.
故 AC 边上的中线 BD 所在直线的方程为 2x-y+10=0.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
直线方程的一般式
【例2】 根据下列条件写出直线方程,并化为一般式方程.
(1)斜率为2,且在y轴上的截距为1;
(2)经过P1(-2,1),P2(3,2)两点;
程,但不论用何种方式,最后结果通常化为一般式.
2.因为直线的截距式方程不能表示与坐标轴垂直和过原点的直
线,所以在用待定系数法设直线的截距式方程求解时,要注意这一
局限性,避免造成丢解.一般地,当直线在两坐标轴上截距相等、互
为相反数、或在x轴上的截距是y轴上截距的k倍时,经过原点的直
线均符合这些要求,求方程时应分类讨论.
是截距为 0 时的相等,而后者常常被忽视,导致漏解.
题型一
题型二
题型三
题型四
正解:①当横纵截距均为 0 时,直线 l 过点(0,0),(2,3),
3-0
3
∵直线 l 的斜率 k=2-0 = 2,
高中数学第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.2直线的方程第一课时直线的点斜式方程课件苏教版必修2
故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.
答案：C
3．经过点(－1,1)，斜率是直线 y＝ 22x－2 的斜率的 2 倍的直线方
程是
()
A．x＝－1
B．y＝1
C．y－1＝ 2(x＋1)
D．y－1＝2 2(x＋1)
解析：由方程知，已知直线的斜率为 22，所以所求直线的斜 率是 2.由直线的点斜式方程可得方程为 y－1＝ 2(x＋1)．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)经过点(2,1)的所有直线都可以表示为 y－1＝k(x－2)，k∈
R.
( ×)
(2)直线的截距式方程与一次函数的解析式意义相同. ( × )
(3)直线的点斜式方程也可写成xy－－yx00＝k.
(×)
(4)无论实数 k 如何变化，直线 kx＋y－1＝0 始终经过定点
(0,1)．
( √)
2．已知直线的方程是 y＋2＝－x－1，则
()
A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为 1 解析：直线方程 y＋2＝－x－1 可化为 y－(－2)＝－[x－(－1)]，
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
图形
不适合 与 x 轴垂直
适用范围
不适合 与 x 轴垂直 的直线
的直线
[点睛] (1)直线的点斜式方程的前提条件是： ①已知一点 P(x0，y0)和斜率 k； ②斜率必须存在，只有这两个条件都具备才可以写出点斜式
方程． (2)若直线的斜率不存在，则过定点 P(x0，y0)的直线应为 x
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2016-2017学年高中数学 第二章 解析几何初步 2.1.2 直线的方程
第一课时 直线方程的点斜式高效测评 北师大版必修2
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．直线y －3＝－32(x ＋4)的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则有( )
A ．k ＝－32，b ＝3
B ．k ＝－32，b ＝－2
C ．k ＝－32，b ＝－3
D ．k ＝－23，b ＝－3
解析： 原方程可化为y ＝－32x －3，故k ＝－32，b ＝－3.
答案： C
2．直线y ＝ax －1a 的图像可能是( )
解析： 当a ＞0时，－1a ＜0，直线过一、三、四象限．
当a ＜0时，－1a ＞0，直线过一、二、四象限，可得B 正确．
答案： B
3．直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点( )
A ．(0,0)
B ．(0,1)
C ．(3,1)
D ．(2,1)
解析： 将直线方程化为y －1＝k (x －3)可得过定点(3,1)．
答案： C
4．直线l 不经过第三象限，l 的斜率为k ，在y 轴上的截距为b (b ≠0)，则有(
) A ．k ·b ＞0 B ．k ·b ＜0
C ．k ·b ≥0
D ．k ·b ≤0
解析： 由题意知k ≤0，b ＞0，所以k ·b ≤0.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．过点P (2,1)，以－3为斜率的直线方程为________．
解析： 由已知得，y －1＝－3(x －2)，
即y ＝－3x ＋23＋1.
答案： 3x ＋y －23－1＝0
6．直线l 的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________．
解析： 由已知得直线方程y ＋1＝tan 45°(x －4)，即y ＝x －5.
当x ＝0时，y ＝－5；当y ＝0时，x ＝5.
∴被坐标轴所截得的线段长|AB |＝52＋52＝5 2.
答案： 5 2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求斜率为直线y ＝3x ＋1的斜率的倒数，且分别满足下列条件的直线方程．
(1)经过点(－4,1)；
(2)在y 轴上的截距为－10.
解析： 直线y ＝3x ＋1的斜率为3，由题意知所求直线的斜率为
33. (1)由于直线过点(－4,1)，由直线的点斜式方程得y －1＝
33
(x ＋4)，即x －3y ＋4＋3＝0.
(2)由于直线在y 轴上的截距为－10，由直线的斜截式方程得y ＝
33x －10，即x －3y －103＝0.
8．若直线的斜率是直线x ＋y －1＝0斜率的12
，在y 轴上的截距是直线2x －3y ＋5＝0在y 轴上截距的2倍．求直线的方程．
解析： 直线方程x ＋y －1＝0化为y ＝－x ＋1，其斜率为－1， 所以，所求直线斜率为－12
， 又∵直线方程2x －3y ＋5＝0可化为y ＝23x ＋53，
其截距为53，所以，所求直线的截距为103
， ∴所求直线的方程为y ＝－12x ＋103
即3x ＋6y －20＝0. 尖子生题库☆☆☆
9．(10分)如图，直线l ：y －2＝3(x －1)过定点P (1,2)，求过点P 且与直线l 所夹的锐角为30°的直线l ′的方程．
解析： 设直线l ′的倾斜角为α′，由直线l 的方程：y －2＝3(x －1)知直线l 的斜率为3，则倾斜角为60°.
当α′＝90°时满足l 与l ′所夹的锐角为30°，此时直线l ′的方程为x ＝1； 当α′＝30°时也满足l 与l ′所夹的锐角为30°，此时直线l ′的斜率为33，由直线方程的点斜式得l ′的方程为y －2＝
33(x －1)，即x －3y ＋23－1＝0. 综上所述，
所求l ′的方程为x ＝1或x －3y ＋23－1＝0.。