2019高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数 第10讲 Word版含解析
2019高考数学文一轮：第2章函数的概念与基本初等函数 第1讲
则 f(－a)＝( )
A．－2
B．0
C．1
D．－1
解析：选 B.因为 f(x)＝3x3＋2x＋1，
所以 f(a)＋f(－a)＝3a3＋2a＋1＋3(－a)3＋2×(－a)＋1＝2，所
以 f(－a)＝2－f(a)＝0，故选 B.
(必修 1 P18 例 2 改编)下列哪个函数与 y＝x 相等( )
A．y＝xx2
A．3
B．6
C．9
D．12
解析：选 C.因为－2<1，
所 以 f( － 2) ＝ 1 ＋ log2(2 ＋ 2) ＝ 1 ＋ log24 ＝ 1 ＋ 2 ＝ 3. 因 为 log212>1，所以 f(log212)＝2log212－1＝122＝6.
所以 f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选 C.
2．已知 f(x)是二次函数且 f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则 f(x) ＝________． 解析：设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 因为 f(0)＝2，所以 c＝2. 又 f(x＋1)－f(x)＝x－1， 所以ff（ （12） ）－ －ff（ （01） ）＝ ＝－ 0. 1，
(必修 1 P24 A 组 T3(4)改编)已知函数 y＝ax2－6x＋7a(a≠0) 的值域为[－2，＋∞)，则 a 的值为( )
A．－1
B．－97
C．1
D．2
解析：选 C.由 y＝ax2－6x＋7a(a≠0)的值域为[－2，＋∞)知 a
＞0，且4a×7a－4a（－6）2＝－2.
即 7a2＋2a－9＝0，
求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪 一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正 整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值， 应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变 量的值是否属于相应段自变量的范围．
2019届高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数2-10函数模型及其应用课件文
4．(2017·湖北孝感模拟)将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙 中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线 y＝aent；假设过
5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 m min 甲桶中的水只有a4 L，则 m 的值为( )
A．5
B．8
C．9
D．10
[解析] 由题意得 ae5n＝a－ae5n，可得 e5n＝0.5，若再过 m min
[答案] A
3．(2018·北京朝阳区模拟)为了缓解城市拥堵，某市对非居民
区的公共停车场制定了不同的收费标准(见下表).
地区类别 首小时内
首小时外
一类 2.5 元/15 分钟 3.75 元/15 分钟
二类 1.5 元/15 分钟 2.25 元/15 分钟
三类 0.5 元/15 分钟 0.75 元/15 分钟
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：
[小题速练]
1．某沙漠地区的某天某时段气温(℃)与时间(h)的函数关系是
f(t)＝－t2＋24t－101(4≤t≤18)，则该沙漠地区在该时段的最大℃
C．64℃
D．68℃
[解析] 易知当 t＝12 时，f(t)max＝43，当 t＝4 时，f(t)min＝－
甲桶中的水只有a4 L，可得 ae(5＋m)n＝a4，解得 m＝5.故选 A. [答案] A
考点突破 提能力
研一研 练一练 考点通关
考点一 二次(一次)函数模型——常考点 (2017·江西三校联考)食品安全问题越来越引起人们
的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害， 为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入 200 万元， 搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入 20 万元， 其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发 现种西红柿的年收入 P(单位：万元)、种黄瓜的年收入 Q(单位： 万元)与投入 a(单位：万元)满足 P＝80＋4 2a，Q＝14a＋120，设 甲大棚的投入为 x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为 f(x)(单 位：万元)．
2019高考数学文一轮分层演练第2章函数的概念与基本初等函数 第1讲 Word版含解析
一、选择题．函数()＝＋(－)的定义域是( )．(，＋∞)．(，＋∞)．(，)∪(，＋∞)．(，)解析：选.由解得＜＜，则该函数的定义域为(，)，故选.．已知函数()＝，∈，若()＝，则的值为( )．．－．－或解析：选.当≥时，()＝，()＝，即＝，解得＝.当＜时，()＝－，()＝，即－＝，无解．所以＝，故选.．(·广州综合测试(一))已知函数()＝，则(())＝( )．．－．－解析：选.因为()＝－＝＜，所以(())＝()＝＋＝＝，故选.．已知＝－，且()＝，则等于( )．－．－．解析：选.令＝－，则＝＋，所以()＝(＋)－＝－所以()＝－＝，即＝.．已知函数()＝若()＋()＝，则实数的值等于( )．－．－．．解析：选.因为()＝，所以()＝－()＝－，当＞时，()＝＝－，无解；当≤时，()＝＋＝－，所以＝－.综上，＝－，选.．(·云南第一次统考)已知函数()＝－，()＝＋(＞)，对任意的∈[－，]都存在∈[－，]，使得()＝()，则实数的取值范围是( )．(，]．．(，)．解析：选.当∈[－，]时，由()＝－，得()∈[－，]．又对任意的∈[－，]都存在∈[－，]，使得()＝()，所以当解得≤.综上所述，实数的取值范围是.二、填空题．函数()，()分别由下表给出．()()则(())的值为；满足(())＞(())的的值为．解析：因为()＝，()＝，所以(())＝.当＝时，(())＝()＝，(())＝()＝，不合题意．当＝时，(())＝()＝，(())＝()＝，符合题意．当＝时，(())＝()＝，(())＝()＝，不合题意．答案：．若()对于任意实数恒有()－(－)＝＋，则()＝．解析：令＝，得()－(－)＝，①令＝－，得(－)－()＝－，②联立①②得()＝.答案：．已知函数()＝若[()－(－)]>，则实数的取值范围为．解析：易知≠.由题意得，当>时，则－<，故[()－(－)]＝(＋－)>，化简可得－>，解得>或<.又因为>，所以>.当<时，则－>，故[()－(－)]＝[－－(－)]>，化简可得＋>，解得>或<－，又因为<，所以<－.综上可得，实数的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．答案：(－∞，－)∪(，＋∞)．已知函数()满足对任意的∈都有＋＝成立，则＋＋…＋＝．解析：由＋＝，得＋＝，＋＝，＋＝，又＝＝×＝，所以＋＋…＋＝×＋＝.答案：三、解答题．设函数()＝且(－)＝，(－)＝()．()求()的解析式；()画出()的图象．解：()由(－)＝，(－)＝()，得解得＝－，＝，所以()＝()()的图象如图：．已知函数()对任意实数均有()＝－(＋)，且()在区间[，]上有表达式()＝.()求(－)，()；()写出()在区间[－，]上的表达式．解：()由题意知(－)＝－(－＋)＝－()＝，()＝(＋)＝－()＝－×＝－.()当∈[，]时，()＝；当∈(，]时，－∈(，]，()＝－(－)＝－(－)；当∈[－，)时，＋∈[，)，()＝－(＋)＝－(＋)；当∈[－，－)时，＋∈[－，)，()＝－(＋)＝－×[－(＋＋)]＝(＋).所以()＝.。
2019届高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数 2-9 函数与方程课件 文
C．y＝x2－12 D．y＝－x3
[解析] 在(－1,1)内单调递增的，只有选项 B 中的函数．
[答案] B
4．已知函数 y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的 对应值表：
则函数 y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( ) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 [解析] ∵f(2)>0，f(3)<0，∴在(2,3)内有一个零点，同理在 (3,4)，(4,5)内各有一个零点，故至少有 3 个零点． [答案] B
B．(2,3)
C．(1,2)
D．(0,1)
[解析] 因为函数 f(x)＝lgx－1x是增函数，且 f(2)＝lg2－12<0,
f(3)＝lg3－13>0，所以 f(x)只有一个零点，且所在的区间是(2,3)．故
选 B.
[答案] B
3．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A．y＝log1 x B．y＝2x－1
[温馨提示] 一个易混点：函数的零点不是点 (1)从“数”的角度看：即是使 f(x)＝0 的实数 x. (2)从“形”的角度看：即是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横
坐标．如：函数 f(x)＝2x＋1 的零点是__x＝ __－ __12__，但并非所有函数 都有零点．如：函数 f(x)＝x2＋1，没有零点．
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
计算各选项中区间端 确定所 [思路引导] (1) 点函数值的符号 → 在区间
[解析] (1)因为 f1e＝－12＋1e－e－2<0, f(1)＝－2<0, f(2)＝12 ln2－12<0, f(e)＝12＋e－1e－2>0，所以 f(2)f(e)<0，所以函数 f(x)＝12 lnx＋x－1x－2 的零点所在的区间是(2，e)，故选 C.
2019高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数 第2讲 Word版含解析
一、选择题1．函数f (x )＝x1－x在( )A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数解析：选C.函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}．f (x )＝x 1－x ＝11－x－1，根据函数y ＝－1x 的单调性及有关性质，可知f (x )在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．2．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1) C ．(－1，0)∪(0，1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C.因为f (x )在R 上为减函数，且f ⎝⎛⎭⎫1|x |<f (1)，所以1|x |>1，即0<|x |<1， 所以0<x <1或－1<x <0.3．若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，8] B ．[40，＋∞) C ．(－∞，8]∪[40，＋∞) D ．[8，40]解析：选C.法一：由题意知函数f (x )＝8x 2－2kx －7的图象的对称轴为x ＝k8，因为函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，所以k 8≤1或k8≥5，解得k ≤8或k ≥40，所以实数k 的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．故选C.法二：取k ＝0，则函数f (x )＝8x 2－7在[1，5]上为单调递增函数，所以排除B 、D ；取k ＝40，则函数f (x )＝8x 2－80x －7在[1，5]上为单调递减函数，所以排除A.故选C.4．(2018·贵阳检测)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12 解析：选C.由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，因为f (x )＝x －2在[－2，1]上是增函数， 所以f (x )≤f (1)＝－1，因为f (x )＝x 3－2在(1，2]上是增函数， 所以f (x )≤f (2)＝6， 所以f (x )max ＝f (2)＝6.5．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B.因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.6．(2018·湖北八校联考(一))设函数f (x )＝2xx －2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2M ＝( )A ．2B ．3C ．83D ．103解析：选C.易知f (x )＝2x x －2＝2＋4x －2，所以f (x )在区间[3，4]上单调递减，所以M ＝f (3)＝2＋43－2＝6，m ＝f (4)＝2＋44－2＝4，所以m 2M ＝166＝83.二、填空题7．函数f (x )＝|x －1|＋x 2的值域为________．解析：因为f (x )＝|x －1|＋x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －1，x ≥1x 2－x ＋1，x ＜1，所以f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x ＋122－54，x ≥1⎝⎛⎭⎫x －122＋34，x ＜1， 作出函数图象如图，由图象知f (x )＝|x －1|＋x 2的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．答案：[0，1)9．已知函数f (x )＝x |2x －a |(a >0)在区间[2，4]上单调递减，则实数a 的值是________．解析：f (x )＝x |2x －a |＝⎩⎨⎧x （2x －a ），x >a2，－x （2x －a ），x ≤a2(a >0)，作出函数图象(图略)可得该函数的递减区间是⎣⎡⎦⎤a 4，a2，所以⎩⎨⎧a4≤2，a2≥4，解得a ＝8.答案：810．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3（a －3）x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x >1，对于任意的x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0，得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，所以函数f (x )为R 上的单调递减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，3（a －3）＋2≥－4a ，解得1≤a <3.答案：[1，3) 三、解答题11．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0， 所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.12．已知函数f (x )＝2x －ax的定义域为(0，1](a 为实数)．(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x，任取1≥x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2＋1x 1x 2.因为1≥x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0.所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f (x )的值域为(－∞，1]．(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；当a <0时，f (x )＝2x ＋－ax ，当 －a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当 －a 2<1，即a ∈(－2，0)时，y ＝f (x )在⎝⎛⎦⎤0， －a 2上单调递减，在⎣⎡⎦⎤－a2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a .。
(新课标)2019届高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数Ⅰ2.4二次函
自查自纠
1．(1)ax2＋bx＋c (2)a(x－h)2＋k (3)a(x－x1)(x－x2) 2 b b 4ac－b 2．(1)－ (2) － ， (3)向上 向下 2a 4a 2a 4ac－b2 4ac－b2 (4) ，＋∞ －∞， 4a 4a b b (5)－∞，－2a －2a，＋∞ 增函数 减函数 3．根 端点值 4．端点 顶点 6．{x|x≥0} {x|x≠0} (－∞，0] {y|y≥0} {y|y≥0} {y|y≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 (0，＋∞) (1，1) [0，＋∞) [0，＋∞) (－∞，0)
上是减函数，在 上是增函数；a＜0 b ，在－2a，＋∞上是________．
3．二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系 二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(图象与 x 轴交点的横坐标)是 相应一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的 ax2＋bx＋c≥0(或 ax2＋bx＋c≤0)解集的 4．二次函数在闭区间上的最值 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值． 它只能在区间的 处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值． 5．一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布) 设 x1， x2 是实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根， 则 x1， x2 的分布范围与系数之间的关系如表所示． 或二次函数的 ，也是一元二次不等式 ．
m＜x1＜n＜x2＜p
f（m）>0， ⑤ f（n）<0， f（p）>0.
m<x1＝x2<n
Δ ＝0， ⑥ b m<－2a<n.
⑦ f(m)· f(n)<0.
只有一根在区间(m，n)内
6.幂函数 α (1)定义： 形如 y＝x (α∈R)的函数称为幂函数， 其中 x 是自变量， α 是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 图象 性质 定义 公共 值域 奇偶性 单调性 域 点 ____ 在 R 上单调递 y＝x R R 函数 增 在____上单 调递减；在 ____ y＝x2 ____ R 函数 ____上单调 递增 ____ 在 R 上单调递 ___ y＝x3 R R 函数 增 1 在____上单 ____ ____ ____ y＝x2 函数 调递增 在____和 ____ －1 y＝x ____上单调 ____ ____ 函数 递减
2019高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数 第1讲 Word版含解析
一、选择题1、函数f (x )＝1x －2＋ln(3x －x 2)的定义域是( ) A 、(2,＋∞) B 、(3,＋∞)C 、(2,3)D 、(2,3)∪(3,＋∞)解析:选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3x －x 2＞0，解得2＜x ＜3,则该函数的定义域为(2,3),故选C. 2、已知函数f (x )＝x |x |,x ∈R ,若f (x 0)＝4,则x 0的值为 ( )A 、－2B 、2C 、－2或2 D. 2解析:选B.当x ≥0时,f (x )＝x 2,f (x 0)＝4,即x 20＝4,解得x 0＝2.当x ＜0时,f (x )＝－x 2,f (x 0)＝4,即－x 20＝4,无解、所以x 0＝2,故选B.3、(2018·广州综合测试(一))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤01－log 2x ，x ＞0,则f (f (3))＝( ) A 、43B.23 C 、－43 D 、－3解析:选A.因为f (3)＝1－log 23＝log 2 23＜0, 所以f (f (3))＝f (log 2 23)＝2 log 223＋1＝2log 243＝43,故选A. 4、已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5,且f (a )＝6,则a 等于( ) A 、－74 B.74C 、43D 、－43解析:选B.令t ＝12x －1,则x ＝2t ＋2, 所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1所以f (a )＝4a －1＝6,即a ＝74. 5、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0,则实数a 的值等于( ) A 、－3 B 、－1C 、1D 、3解析:选A.因为f (1)＝2,所以f (a )＝－f (1)＝－2,当a ＞0时,f (a )＝2a ＝－2,无解；当a ≤0时,f (a )＝a ＋1＝－2,所以a ＝－3.综上,a ＝－3,选A.6、(2018·云南第一次统考)已知函数f (x )＝x 2－2x ,g (x )＝ax ＋2(a ＞0),对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2],使得g (x 1)＝f (x 0),则实数a 的取值范围是( )A 、⎝⎛⎭⎫0，12 B 、(0,1] C 、⎝⎛⎦⎤0，12 D 、(0,1) 解析:选C.当x 0∈[－1,2]时,由f (x )＝x 2－2x ,得f (x 0)∈[－1,3]、又对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2],使得g (x 1)＝f (x 0),所以当⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，解得a ≤12.综上所述,实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 二、填空题7、函数f (x ),g (x )分别由下表给出、则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))＞g (f (x ))的x 的值为________、解析:因为g (1)＝3,f (3)＝1,所以f (g (1))＝1.当x ＝1时,f (g (1))＝f (3)＝1,g (f (1))＝g (1)＝3,不合题意、当x ＝2时,f (g (2))＝f (2)＝3,g (f (2))＝g (3)＝1,符合题意、当x ＝3时,f (g (3))＝f (1)＝1,g (f (3))＝g (1)＝3,不合题意、答案:1 28、若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1,则f (1)＝________、解析:令x ＝1,得2f (1)－f (－1)＝4,①令x ＝－1,得2f (－1)－f (1)＝－2,②联立①②得f (1)＝2.答案:29、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0.若a [f (a )－f (－a )]>0,则实数a 的取值范围为________、 解析:易知a ≠0.由题意得,当a >0时,则－a <0,故a [f (a )－f (－a )]＝a (a 2＋a －3a )>0,化简可得a 2－2a >0,解得a >2或a <0.又因为a >0,所以a >2.当a <0时,则－a >0,故a [f (a )－f (－a )]＝a [－3a －(a 2－a )]>0,化简可得a 2＋2a >0,解得a >0或a <－2,又因为a <0,所以a <－2.综上可得,实数a 的取值范围为(－∞,－2)∪(2,＋∞)、答案:(－∞,－2)∪(2,＋∞)10、已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立,则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________、解析:由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2,得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2,f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2,f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2,又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1,所以f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7. 答案:7三、解答题11、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3,f (－1)＝f (1)、 (1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )的图象、解:(1)由f (－2)＝3,f (－1)＝f (1),得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1,b ＝1, 所以f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图:12、已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1),且f (x )在区间[0,1]上有表达式f (x )＝x 2.(1)求f (－1),f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的表达式、解:(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0,f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18. (2)当x ∈[0,1]时,f (x )＝x 2；当x ∈(1,2]时,x －1∈(0,1],f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2； 当x ∈[－1,0)时,x ＋1∈[0,1),f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2,－1)时,x ＋1∈[－1,0),f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12（x －1）2，x ∈（1，2]x 2，x ∈[0，1]－2（x ＋1）2，x ∈[－1，0）4（x ＋2）2，x ∈[－2，－1）.。
2019高考数学文科一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数 第2讲含解析
一、选择题1．函数f (x )＝x 1－x在( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数 解析：选C.函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}．f (x )＝x 1－x ＝11－x－1，根据函数y ＝－1x 的单调性及有关性质，可知f (x )在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．2．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C.因为f (x )在R 上为减函数，且f ⎝⎛⎭⎫1|x |<f (1)，所以1|x |>1，即0<|x |<1， 所以0<x <1或－1<x <0.3．若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，8]B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8，40]解析：选C.法一：由题意知函数f (x )＝8x 2－2kx －7的图象的对称轴为x ＝k 8，因为函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，所以k 8≤1或k 8≥5，解得k ≤8或k ≥40，所以实数k 的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．故选C.法二：取k ＝0，则函数f (x )＝8x 2－7在[1，5]上为单调递增函数，所以排除B 、D ；取k ＝40，则函数f (x )＝8x 2－80x －7在[1，5]上为单调递减函数，所以排除A.故选C.4．(2018·贵阳检测)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C.由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，因为f (x )＝x －2在[－2，1]上是增函数，所以f (x )≤f (1)＝－1，因为f (x )＝x 3－2在(1，2]上是增函数，所以f (x )≤f (2)＝6，所以f (x )max ＝f (2)＝6.5．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B.因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.6．(2018·湖北八校联考(一))设函数f (x )＝2x x －2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2M ＝( ) A ．2 B ．3C ．83D ．103解析：选C.易知f (x )＝2x x －2＝2＋4x －2，所以f (x )在区间[3，4]上单调递减，所以M ＝f (3)＝2＋43－2＝6，m ＝f (4)＝2＋44－2＝4，所以m 2M ＝166＝83. 二、填空题7．函数f (x )＝|x －1|＋x 2的值域为________．解析：因为f (x )＝|x －1|＋x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －1，x ≥1x 2－x ＋1，x ＜1， 所以f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x ＋122－54，x ≥1⎝⎛⎭⎫x －122＋34，x ＜1， 作出函数图象如图，由图象知f (x )＝|x －1|＋x 2的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________． 解析：由题意知g (x )＝⎩⎨⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．答案：[0，1)9．已知函数f (x )＝x |2x －a |(a >0)在区间[2，4]上单调递减，则实数a 的值是________．解析：f (x )＝x |2x －a |＝⎩⎨⎧x （2x －a ），x >a 2，－x （2x －a ），x ≤a 2(a >0)，作出函数图象(图略)可得该函数的递减区间是⎣⎡⎦⎤a 4，a 2，所以⎩⎨⎧a 4≤2，a 2≥4，解得a ＝8. 答案：810．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3（a －3）x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x >1，对于任意的x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0，得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，所以函数f (x )为R 上的单调递减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，3（a －3）＋2≥－4a ，解得1≤a <3. 答案：[1，3)三、解答题11．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0， 所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2， 解得a ＝25. 12．已知函数f (x )＝2x －a x的定义域为(0，1](a 为实数)． (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x，任取1≥x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2＋1x 1x 2.因为1≥x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0.所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f (x )的值域为(－∞，1]．(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；当a <0时，f (x )＝2x ＋－a x， 当 －a 2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当 －a 2<1，即a ∈(－2，0)时，y ＝f (x )在⎝⎛⎦⎤0， －a 2上单调递减，在⎣⎡⎦⎤－a 2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－a 2时取得最小值2－2a .。
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一、选择题 1．在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )
A.y ＝2x －2 B ．y ＝1
2(x 2－1)
C ．y ＝log 2x
D ．y ＝log 12
x
解析：选B.由题中表可知函数在(0,＋∞)上是增函数,且y 的变化随x 的增大而增大得越来越快,分析选项可知B 符合,故选B.
2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是( )
解析：选A.前3年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有A 、C 图象符合要求,而后3年年产量保持不变,故选A.
3．一种放射性元素的质量按每年10%衰减,这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1,已知lg 2＝0.301 0,lg 3＝0.477 1)( )
A ．5.2
B ．6.6
C ．7.1
D ．8.3
解析：选B.设这种放射性元素的半衰期是x 年,则(1－10%)x ＝12,化简得0.9x ＝1
2,即x ＝
log 0.91
2＝lg
1
2lg 0.9＝－lg 22lg 3－1＝－0.301 02×0.477 1－1
≈6.6(年)．故选B.
4．某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的,按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的,超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元,则该职工这个月实际用水为( )
A ．13 m 3
B ．14 m 3
C ．18 m 3
D ．26 m 3
解析：选 A.设该职工用水x m 3时,缴纳的水费为y 元,由题意得y ＝
⎩⎪⎨⎪⎧mx （0<x ≤10），10m ＋（x －10）·
2m （x >10），
则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ,解得x ＝13.
5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边
角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x ,y 应为( )
A ．x ＝15,y ＝12
B ．x ＝12,y ＝15
C ．x ＝14,y ＝10
D ．x ＝10,y ＝14
解析：选A.由三角形相似得
24－y
24－8＝x 20
.得x ＝54(24－y ),所以S ＝xy ＝－5
4(y －12)2＋180,
所以当y ＝12时,S 有最大值,此时x ＝15.检验符合题意．
6．某类产品按工艺共分10个档次,最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次,每
件利润增加2元．用同样工时,可以生产最低档次产品60件,每提高一个档次将少生产3件产品,则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
解析：选C.由题意,当生产第k 档次的产品时,每天可获利润为y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10,k ∈N *),配方可得y ＝－6(k －9)2＋864,所以当k ＝9时,获得利润最大．选C.
二、填空题
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为________升．
解析：因为每次都把油箱加满,第二次加了48升油,说明这段时间总耗油量为48升,而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米),故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．
答案：8
8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价
付费)；超过3 km 但不超过8 km 时,超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了________km.
解析：设出租车行驶x km 时,付费y 元, 则y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧9，0＜x ≤3，8＋2.15（x －3）＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85（x －8）＋1，x ＞8，
由y ＝22.6,解得x ＝9.
答案：9
9．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0,其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A 0是相应的标准地震的振幅．则8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
解析：设8级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A 1,A 2,则8＝lg A 1－lg A 0
＝lg
A 1A 0,则A 1
A 0
＝108, 5＝lg A 2－lg A 0＝lg
A 2A 0,则A 2A 0＝105,所以A 1
A 2
＝103. 即8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的1 000 倍．
答案：1 000
10．某汽车销售公司在A 、B 两地销售同一种品牌的汽车,在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2,在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ,其中x 为销售量(单位：辆),若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是________万元．
解析：设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆,则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆,所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2
＋2(16－x )＝－0.1x 2
＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎫x －2122
＋0.1×21
2
4
＋32.因为x ∈[0,16]且x ∈N ,所以当x ＝10或11时,总利润取得最大值43万元．
答案：43
三、解答题
11.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式；
(2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后
治疗疾病有效的时间．
解：(1)由题图,设y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t ＞1，
当t ＝1时,由y ＝4得k ＝4,由⎝⎛⎭
⎫
121－a
＝4得a ＝3.
所以y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t ＞1.
(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，
4t ≥0.25
或
⎩⎨⎧t ＞1，
⎝⎛⎭⎫
12t －3
≥0.25，
解得1
16
≤t ≤5.
因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝79
16
(小时)．
12．某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t 小时内供水总量为1206t 吨(0≤t ≤24),
(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问：在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象．
解：(1)设t 小时后蓄水池中的存水量为y 吨, 则y ＝400＋60t －1206t ；
令6t ＝x ,则x 2＝6t ,即y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40,所以当x ＝6,即t ＝6时,y min
＝40,
即从供水开始到第6小时时,蓄水池存水量最少,只有40吨． (2)令400＋10x 2－120x <80,即x 2－12x ＋32<0, 解得4<x <8,即4<6t <8,83<t <32
3
.
因为323－8
3＝8,所以每天约有8小时出现供水紧张现象．。