2019版高考数学(课标版-文科)一轮-空间几何体的表面积和体积PPT课件
2019版高考数学文科一轮复习(全国2卷 B版)课件：§8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积
方法点拨 对于正方体与长方体,其体对角线为其外接球的直径,即外接球的半径等于体对角 线的一半.
3.(2016课标全国Ⅰ,7,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相 垂直的半径.若该几何体的体积是 28 ,则它的表面积是 ( )
3
A.17π B.18π C.20π D.28π
解题关键 正确理解圆柱的轴截面及熟记圆柱的表面积公式是解决本题的关键.
2.(2016课标全国Ⅱ,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 (
) A.12π C.8π
B. 32 π
3
D.4π
答案 A 设正方体的棱长为a,则a3=8,解得a=2. 设球的半径为R,则2R= 3 a,即R= 3 ,所以球的表面积S=4πR2=12π.故选A.
解析 (1)证明:因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD. 因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE. (2分) 又PD∩DE=D,所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG. 又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点. (4分) (2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影. (5分) 理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC, 又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,又PA∩PC=P,因此EF⊥平面PAC,即点F为E在平面PAC内的 正投影. (7分) 连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心,由(1)知,G是AB的中
A.2 17 B.2 5 C.3 D.2
答案 B 本题主要考查空间几何体的三视图、直观图以及最短路径. 由圆柱的三视图及已知条件可知点M与点N的位置如图1所示,设ME与FN为圆柱的两条母线, 沿FN将圆柱侧面展开,如图2所示,MN即为从M到N的最短路径,由题知,ME=2,EN=4,∴MN=
2019高考数学一轮复习-8.2 空间几何体的表面积与体积课件
1
1
3-2=1.
4
所以 VP-ABCD=3SABCD·
PO=3×4×1=3.
(2)旋转后形成的几何体是一个圆柱挖去一个倒置的圆锥,其中
圆柱、圆锥的底面半径、高均为 3,所以 V=V 圆柱-V 圆锥
1
3
=π×32×3- ×π×32×3=18π.
-22考点一
展开图
侧面积公式 S 圆柱侧= 2πrl
S 圆锥侧= πrl
S 圆台侧
= π(r1+r2)l
-4知识梳理
考点自测
3.柱、锥、台和球的表面积和体积
表面积
柱体(棱柱和
圆柱)
锥体(棱锥和
圆锥)
台体(棱台和
圆台)
球
体积
S 表面积=S 侧+2S 底
V=
1
Sh
3
S 表面积=S 侧+S 底
V=
4πR2
S 表面积=S 侧+S 上+S 下
2,侧
4
棱长是 3,则该正四棱锥的体积为
.
3
(2)如图所示,BD 是边长为 3 的正方形 ABCD 的对角线,将△BCD
绕直线 AB 旋转一周后形成的几何体的体积等于 18π
.
-21考点一
考点二
考点三
解析:如图,正四棱锥 P-ABCD 中,AB=2,PA= 3,
设正四棱锥的高为 PO,连接 AO,则 AO= 2.
一周所形成的几何体的体积为9π. ( ×)
2π
(5)将圆心角为
,面积为3π的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的表
3
面积等于4π. (
)
高考数学一轮复习 第七章 第2讲 空间几何体的表面积与体积 文
第2讲 空间几何体的表面积与体积
精选课件
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面 展开 图
侧面 积公 式
S圆柱侧＝
S圆锥侧＝Байду номын сангаас
___2_π_rl_____ ___π_r_l_____
S圆台侧＝ __π_(_r＋__r_′)_l__
精选课件
2．空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体
表面积
体积
柱体 (棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
锥体 (棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
台体 (棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S
下
球
S＝_4_π_R__2 _____
V＝__S_h__ V＝__13_S_h__ V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h V＝___43_π_R__3 ___
A．90 cm2 C．132 cm2
B．129 cm2 D．138 cm2
精选课件
(2)(2015·长春市调研)某几何体的三视图如图所示，则它的 表面积为( A )
A．2＋1＋2 5π C．2＋(1＋ 5)π
精选课件
B．2＋1＋22 5π D．2＋2＋2 5π
[解析] (1)该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别 为 6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边 长分别为 3 cm，4 cm，5 cm，所以表面积 S＝[2×(4×6＋
A．6
B．3 3
C．2 3
D．3
解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面
为侧视图，该侧视图是底边为 2，高为 3的三角形，正视
高考数学一轮复习第8章立体几何第2讲空间几何体的表面积与体积课件文
【对点通关】
1．(必修 2 P27 例 4 改编)已知正四面体 A-BCD 的棱长为 12， 则其内切球的表面积为( )
A．12π
B．16π
C．20π
D．24π
解析：选 D．如图，作 BF⊥CD 于 F，AE⊥BF 于 E，
由 ABCD 为正四面体可知 AE⊥平面 BCD，设 O 为正四面体 ABCD 的内切球的球心，连接 OB．正四面体的棱长为 12， 则 OE 为内切球的半径，BF＝AF＝6 3，BE＝4 3， 所以 AE＝ 122－（4 3）2＝4 6．
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台 体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用 转换法、分割法、补形法等方法进行求解． (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几 何体的直观图，然后根据条件求解．
令 f(a)＝3a4－a6(0<a< 3)，则 f′(a)＝12a3－6a5＝－6a3(a2－2)，
令 f′(a)＝0，解得 a＝ 2．
因为当 a∈(0， 2)时，f′(a)>0；当 a∈( 2， 3)时，f′(a)<0， 所以函数 f(a)在(0， 2)上单调递增，在( 2， 3)上单调递减． 所以 f(a)在 a＝ 2处取得极大值 f( 2)＝4． 因为函数 f(a)在区间(0， 3)上有唯一的极值，所以 f( 2)＝4 也是最大值．故三棱柱体积的最大值为 24＝1．
第八章 立体几何
第 2 讲 空间几何体的表面积与体积
1．圆柱、圆锥、圆台的面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展 开图
侧面积 公式
【2019版课标版】高考数学文科精品课件§8.2 空间几何体的表面积和体积
§8.2空间几何体的表面积和体积考纲解读分析解读高考对本节内容的考查形式有两种:一是直接求柱、锥、球、台的表面积或体积,考查化归思想的应用.二是已知某几何体的表面积或体积求某些元素的量或元素之间的关系.考查形式以选择题和填空题为主,分值约为5分,主要以三视图为背景进行考查,对学生的识图能力和空间想象能力要求较高,所以在备考复习时应加强训练.五年高考考点一空间几何体的表面积1.(2016课标全国Ⅱ,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A.12πB.πC.8πD.4π答案A2.(2016课标全国Ⅲ,10,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A.18+36B.54+18C.90D.81答案B3.(2015课标Ⅱ,10,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π答案C4.(2015课标Ⅰ,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )A.1B.2C.4D.8答案B5.(2015福建,9,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )A.8+2B.11+2C.14+2D.15答案B6.(2017课标全国Ⅱ,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.答案14π7.(2013课标全国Ⅰ,15,5分)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为.答案教师用书专用(8—13)8.(2015陕西,5,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案D9.(2014大纲全国,10,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A. B.16π C.9π D.答案A10.(2013重庆,8,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.180B.200C.220D.240答案D11.(2014山东,13,5分)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为.答案1212.(2013课标全国Ⅱ,15,5分)已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.答案24π13.(2013陕西,12,5分)某几何体的三视图如图所示,则其表面积为.答案3π考点二空间几何体的体积1.(2017课标全国Ⅲ,9,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A.πB.C.D.答案B2.(2015课标Ⅰ,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B3.(2014课标Ⅱ,7,5分)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为( )A.3B.C.1D.答案C4.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.答案5.(2016浙江,9,6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.答案80;406.(2017课标全国Ⅱ,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°.(1)证明:直线BC∥平面PAD;(2)若△PCD的面积为2,求四棱锥P-ABCD的体积.解析(1)证明:在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,故BC∥平面PAD.(2)取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=AD及BC∥AD,∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形,则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD.因为CM⊂底面ABCD,所以PM⊥CM.设BC=x,则CM=x,CD=x,PM=x,PC=PD=2x.取CD的中点N,连接PN,则PN⊥CD,所以PN=x.因为△PCD的面积为2,所以×x×x=2,解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=2所以四棱锥P-ABCD的体积V=××2=4.7.(2016课标全国Ⅱ,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(1)证明:AC⊥HD';(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD'=2,求五棱锥D'-ABCFE的体积.解析(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得=,故AC∥EF.(2分)由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.(4分)(2)由EF∥AC得==.(5分)由AB=5,AC=6得DO=BO=-=4.所以OH=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(22+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',于是AC⊥OD'.又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.(8分)又由=得EF=.五边形ABCFE的面积S=×6×8-××3=.(10分)所以五棱锥D'-ABCFE的体积V=××2=.(12分)教师用书专用(8—27)8.(2015浙江,2,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )A.8cm3B.12cm3C.cm3D.cm3答案C9.(2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=新工件的体积原工件的体积( )A. B. C.- D.-答案A10.(2014湖北,10,5分)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A. B. C. D.答案B11.(2014四川,4,5分)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )锥体体积公式:V=Sh,其中S为底面面积,h为高A.3B.2C.D.1答案D12.(2014重庆,7,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.12B.18C.24D.30答案C13.(2013课标全国Ⅰ,11,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π答案A14.(2013浙江,5,5分)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )A.108cm3B.100cm3C.92cm3D.84cm3答案B15.(2016四川,12,5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.答案16.(2015天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案π17.(2015四川,14,5分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形.设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是.答案18.(2014天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案19.(2013湖北,16,5分)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 答案320.(2013天津,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为.答案21.(2015安徽,19,13分)如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)证明:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求的值.22.(2015课标Ⅱ,19,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.解析(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=-=6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为也正确.23.(2014福建,19,12分)如图,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.(1)求证:CD⊥平面ABD;(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.解析(1)证明:∵AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.又∵CD⊥BD,AB∩BD=B,AB⊂平面ABD,BD⊂平面ABD,∴CD⊥平面ABD.(2)解法一:由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD.∵AB=BD=1,∴S△ABD=.∵M是AD的中点,∴S△ABM=S△ABD=.由(1)知,CD⊥平面ABD,∴三棱锥C-ABM的高h=CD=1,因此三棱锥A-MBC的体积V A-MBC=V C-ABM=S△ABM·h=.解法二:由AB⊥平面BCD知,平面ABD⊥平面BCD,又平面ABD∩平面BCD=BD,如图,过点M作MN⊥BD交BD于点N,则MN⊥平面BCD,且MN=AB=,又CD⊥BD,BD=CD=1,∴S△BCD=.∴三棱锥A-MBC的体积V A-MBC=V A-BCD-V M-BCD=AB·S△BCD-MN·S△BCD=.24.(2014广东,18,13分)如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如图2折叠:折痕EF∥DC,其中点E,F分别在线段PD,PC 上,沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M,并且MF⊥CF.(1)证明:CF⊥平面MDF;(2)求三棱锥M-CDE的体积.解析(1)证明:∵PD⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴PD⊥AD.∵四边形ABCD是矩形,∴AD⊥DC.又∵PD∩DC=D,∴AD⊥平面PCD.∵CF⊂平面PCD,∴AD⊥CF.又∵MF⊥CF,MF∩AD=M,∴CF⊥平面MDF.(2)由(1)知CF⊥DF,PD⊥DC,在△PCD中,DC2=CF·PC.∴CF==.又∵EF∥DC,∴=⇒ED=·==.∴PE=ME=-=,∴S△CDE=DC·ED=×1×=.在Rt△MDE中,MD=-=,∴V M-CDE=S△CDE·MD=××=.25.(2014江西,19,12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥BC,A1B⊥BB1.(1)求证:A1C⊥CC1;(2)若AB=2,AC=,问AA1为何值时,三棱柱ABC-A1B1C1体积最大?并求此最大值.解析(1)证明:由AA1⊥BC知BB1⊥BC,又BB1⊥A1B,故BB1⊥平面BCA1,则BB1⊥A1C,又BB1∥CC1,所以A1C⊥CC1.(2)解法一:设AA1=x,在Rt△A1BB1中,A1B=-=同理,A1C=-=.在△A1BC中,cos∠BA1C=-·=---,所以sin∠BA1C=--,所以△=A1B·A1C·sin∠BA1C=.从而三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=△·AA1=.因为x=-=--,故当x==,即AA1=时,体积V取到最大值.解法二:过A1作BC的垂线,垂足为D,连接AD.由于AA1⊥BC,A1D⊥BC,故BC⊥平面AA1D,BC⊥AD.又∠BAC=90°,所以S△ABC=AD·BC=AB·AC,得AD=.设AA1=x,在Rt△AA1D中,A1D=-=-,=A1D·BC=.△从而三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=△·AA1=.因为x=-=--,故当x==,即AA1=时,体积V取到最大值.26.(2013课标全国Ⅱ,18,12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(1)证明:BC1∥平面A1CD;(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C-A1DE的体积.解析(1)连接AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.又D是AB中点,连接DF,则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=2得∠ACB=90°,CD=1D=1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.所以-=××××=1.27.(2013重庆,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2∠ACB=∠ACD=.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P-BDF的体积.解析(1)证明:因BC=CD,即△BCD为等腰三角形,又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD⊥平面PAC.(2)三棱锥P-BCD的底面BCD的面积S△BCD=BC·CD·sin∠BCD=·2·2·sin=由PA⊥底面ABCD,得V P-BCD=·S△BCD·PA=·2=2.由PF=7FC,得三棱锥F-BCD的高为PA,故V F-BCD=·S△BCD·PA=···2=,所以V P-BDF=V P-BCD-V F-BCD=2-=.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一空间几何体的表面积1.(2018湖北武汉部分学校调研,8)一个几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( )A.28B.24+2C.20+4D.20+2答案B2.(2018安徽合肥调研,6)一个几何体的三视图及其尺寸如图所示,其中俯视图和侧视图圆弧部分为半圆,则该几何体的表面积为( )A.4π+4B.5π+4C.6πD.7π答案A3.(2017江西七校联考,8)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )A.48+πB.48-πC.48+2πD.48-2π答案A4.(2018江西南昌二中12月月考,15)已知四面体PABC中,PA=PB=4,PC=2,AC=2,PB⊥平面PAC,则四面体PABC的外接球的表面积为.答案36π5.(2016江西九江四校联考,14)已知一个空间几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积是.答案4+4π考点二空间几何体的体积6.(2018湖南师大附中期中,7)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.2B.4C.D.答案C7.(2018吉林长春质检,8)《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1丈),那么该刍甍的体积为( )A.4立方丈B.5立方丈C.6立方丈D.12立方丈答案B8.(2017河南郑州一中押题卷二,8)一个多面体的直观图和三视图如图所示,点M是AB上的动点,记四面体EFMC的体积为V1,多面体ADF-BCE的体积为V2,则=( )A. B.C. D.不是定值,随点M位置的变化而变化答案B9.(2017河北“五个一联盟”一模,6)某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形(含对角线),则此四面体的外接球的体积为( )A. B.3π C.π D.π答案C10.(2018福建六校12月联考,15)已知矩形ABCD的顶点都在半径为13的球O的球面上,且AB=8,BC=6,过点D作DE垂直于平面ABCD,交球O于E,则四棱锥E-ABCD的体积为.答案384B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:55分时间:45分钟)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018河南开封定位考试,8)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为( )A.4πB.2πC.D.π答案B2.(2018湖北部分重点中学12月联考,8)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.16B.26C.32D.20+答案C3.(2018云南玉溪一中期中,11)已知三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上,且PA⊥平面ABC,若该三棱锥的体积为,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,则球的表面积等于( )A.5πB.20πC.8πD.16π答案B4.(2017安徽黄山二模,7)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.4B.4C.4D.答案C5.(2017河南八市12月联考,8)如图,网格纸上小正方形的边长均为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.(B.(C.(2+1)π+96D.(2+2)π+96答案A6.(2017河南天一12月联考,10)如图,在四面体PABC中,PA=PB=PC=4,点O是点P在平面ABC上的投影,且tan∠APO=,则四面体PABC的外接球的体积为( )A.24πB.48πC.8πD.32答案C7.(2016广东汕头模拟,9)某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( )A.4B.12πC.24πD.48π答案B二、填空题(共5分)8.(2018河北衡水中学9月大联考,16)在《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,若四棱锥M-ABCD为阳马,侧棱MA⊥底面ABCD,且MA=BC=AB=2,则该阳马的外接球与内切球表面积之和为.答案36π-16π三、解答题(共15分)9.(2018湖南益阳、湘潭调研考试,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PA=AB=1,E为PC的中点.(1)求证:PA∥平面BDE;(2)求三棱锥P-BDE的体积.解析(1)证明:连接AC,设AC∩BD=O,连接OE,则O为AC的中点,∵E为PC的中点,∴PA∥OE,又OE⊂平面BDE,PA⊄平面BDE,∴PA∥平面BDE.(2)连接AE,由(1)知PA∥平面BDE,∴P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等,即V P-BDE=V A-BDE,又V A-BDE=V E-ABD=V P-ABD=××1××1×1×sin 120°=,∴V P-BDE=.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 空间几何体表面积的求解方法1.(2018福建六校12月联考,11)如图是某几何体的三视图,正视图是等边三角形,侧视图和俯视图为直角三角形,则该几何体的表面积为( )A.4B.4+C.3+D.4+答案B2.(2017河北衡水中学周测卷(十六),2)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.48B.32+8C.48+8D.80答案C3.(2017江西七校联考,10)如图,ABCD是边长为2的正方形,点E,F分别为边BC,CD的中点,将△ABE,△ECF,△FDA分别沿AE,EF,FA折起,使B,C,D三点重合于点P,若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上,则该球的表面积是( )A.6πB.12πC.18πD.9π答案C方法2 空间几何体体积的求解方法4.(2018广东深圳12月模拟,9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为( )A. B. C. D.16答案B方法3 与球有关的切、接问题的求解方法5.(2018河南新乡一模,12)在三棱锥D-ABC中,CD⊥底面ABC,AE∥CD,△ABC为正三角形,AB=CD=AE=2,三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分为一个三棱锥,则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.πB.6πC.πD.π答案A6.(2016广东汕头模拟,8)一个正三棱柱ABC-DEF的正视图是边长为的正方形,如图,则它的外接球的表面积等于( )A.8πB.C.9πD.答案B7.(2018湖南五市十校12月联考,16)某几何体的三视图如图所示,若该几何体的所有顶点都在一个球面上,则该球的表面积为.答案8.(2017福建四地六校联考,15)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切,已知这个球的体积为π,则该正三棱柱的体积为.答案48。
【2019版课标版】高考数学文科精品课件§8.2 空间几何体的表面积与体积
§8.2空间几何体的表面积与体积考纲解读分析解读 1.理解柱、锥、台、球的侧面积、表面积和体积的概念.2.结合模型,在理解的基础上熟练掌握柱、锥、台、球的表面积公式和体积公式.3.备考时关注以三视图、柱、锥与球的接切问题为命题背景,突出空间几何体的线面位置关系的命题.4.高考对本节内容的考查以计算几何体的表面积和体积为主,分值约为5分,属中档题.五年高考考点一几何体的表面积1.(2016课标全国Ⅱ,6,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20πB.24πC.28πD.32π答案C2.(2015课标Ⅰ,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.8答案B3.(2015北京,5,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()A.2+B.4+C.2+2D.5答案C4.(2016浙江,11,6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.答案72;32教师用书专用(5—8)5.(2015课标Ⅱ,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π答案C6.(2014重庆,7,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.54B.60C.66D.72答案B7.(2014浙江,3,5分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是()A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2答案D8.(2014大纲全国,8,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A. B.16πC.9πD.答案A考点二几何体的体积1.(2017课标全国Ⅱ,4,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A.90πB.63πC.42πD.36π答案B2.(2017课标全国Ⅲ,8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.πB.C. D.答案B3.(2017浙江,3,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.+1B.+3C.+1D.+3答案A4.(2015课标Ⅰ,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B5.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.答案6.(2017山东,13,5分)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如下图,则该几何体的体积为.答案2+教师用书专用(7—21)7.(2016山东,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为()A.+πB.+πC.+πD.1+π答案C8.(2016北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A. B. C. D.1答案A9.(2015山东,7,5分)在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C. D.2π答案C10.(2015浙江,2,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是()A.8cm3B.12cm3C.cm3D.cm3答案C11.(2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=新工件的体积()原工件的体积A. B.C.-D.-答案A12.(2014陕西,5,5分)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A. B.4π C.2π D.答案D13.(2014湖北,8,5分)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A. B. C. D.答案B14.(2013天津,4,5分)已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的;②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;③直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切,其中真命题的序号是()A.①②③B.①②C.①③D.②③答案C15.(2013湖北,8,5分)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有()A.V1<V2<V4<V3B.V1<V3<V2<V4C.V2<V1<V3<V4D.V2<V3<V1<V4答案C16.(2017天津,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.答案π17.(2016天津,11,5分)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.答案218.(2016四川,13,5分)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是.答案19.(2015江苏,9,5分)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.答案20.(2013江苏,8,5分)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V∶V2=.1答案21.(2016江苏,17,14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高OO是正四棱锥的高PO1的4倍.1(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?解析(1)由PO=2知O1O=4PO1=8.1因为AB1=AB=6,1所以正四棱锥P-AB1C1D1的体积1V锥=·A1·PO1=×62×2=24(m3);正四棱柱ABCD-AB1C1D1的体积1V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0<h<6,O1O=4h(m).连接O1B1.因为在Rt△POB1中,O1+P=P,1所以+h2=36,即a2=2(36-h2).于是仓库的容积V=V柱+V锥=a2·4h+a2·h=a2h=(36h-h3),0<h<6,从而V'=(36-3h2)=26(12-h2).令V'=0,得h=2或h=-2(舍).当0<h<2时,V'>0,V是单调增函数;当2<h<6时,V'<0,V是单调减函数.故h=2时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO=2m时,仓库的容积最大.1三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一几何体的表面积1.(2018云南玉溪模拟,5)若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示,则其表面积为()A.6+2B.6+C.6+4D.10答案A2.(2018安徽皖南八校二联,8)榫卯(sǔn mǎo)是我国古代工匠极为精巧的发明,它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.我国的北京紫禁城,山西悬空寺,福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构.图中网格小正方形的边长为1,粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图,则其体积与表面积分别为()A.24+52π,34+52πB.24+52π,36+54πC.24+54π,36+54πD.24+54π,34+52π答案C3.(2017河北沧州月考,11)已知四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,其中底面ABCD为正方形,△PAD为等腰直角三角形,PA=PD=,则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为()A.10πB.4πC.16πD.8π答案D4.(2017河南洛阳期中,9)在四面体S-ABC中,SA⊥平面ABC,∠BAC=120°,SA=AC=2,AB=1,则该四面体的外接球的表面积为()A.11πB.C.D.答案D5.(2016安徽江南十校3月联考,11)某几何体的三视图如图所示,其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧,则该几何体的表面积为()A.4π+16+4B.5π+16+4C.4π+16+2D.5π+16+2答案D考点二几何体的体积6.(2018云南玉溪模拟,6)如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边长均为1,则该几何体的体积为()A. B.C. D.1答案A7.(2018广东茂名模拟,7)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.7B.C. D.答案D8.(人教A必2,一,1-3B,1,变式)一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是()A.cm3B.cm3C.cm3D.7cm3答案A9.(2017安徽皖北协作区3月联考,10)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图,则该几何体外接球的体积为()A.24πB.29πC.48πD.58π答案BB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:25分钟)选择题(每小题5分,共35分)1.(2018四川泸州模拟,7)已知一个几何体的三视图如图所示,俯视图是一个等腰直角三角形和半圆,则该几何体的体积为()A.2+B.+πC.2+D.+π答案D2.(2018四川达州模拟,8)四棱锥P-ABCD的所有顶点都在半径为的球上,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,当△PAB的面积最大时,四棱锥P-ABCD的体积为()A.8B.C.D.4答案D3.(2018四川绵阳诊断,7)如图,虚线网格小正方形的边长为1,网格中是某几何体的三视图,这个几何体的体积是()A.27-πB.12-3πC.32-(-1)πD.12-π答案D4.(2017湖南郴州质检,8)已知一个正方体截去两个三棱锥后,所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.8B.7C.D.答案B5.(2017河北沧州月考,6)已知一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是()A. B. C. D.答案D6.(2017河南新乡二模,8)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.答案C7.(2016广东汕头模拟,9)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球表面积为()A.4πB.12πC.24πD.48π答案BC组2016—2018年模拟·方法题组方法1几何体表面积的求解方法1.(2018广东广州一调,7)如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积为()A.πB.6πC.11πD.12π答案C2.(2018安徽安庆模拟,6)用长度分别为2、3、5、6、9(单位:cm)的五根木棒连接(只允许连接,不允许折断),组成共顶点的长方体的三条棱,则能够得到的长方体的最大表面积为()A.258cm2B.414cm2C.416cm2D.418cm2答案C3.(2017河北衡水中学三调,10)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的体积为π,将正方体割去部分后,剩余几何体的三视图如图所示,则剩余几何体的表面积为()A.+B.3+或+C.2+D.+或2+答案B4.(2017江西新余模拟,10)已知A、B、C是球O的球面上三点,AB=2,AC=2,∠ABC=60°,且三棱锥O-ABC的体积为,则球O的表面积为()A.10πB.24πC.36πD.48π答案D方法2几何体体积的求解方法5.(2018四川德阳模拟,8)已知一个简单几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.3π+6B.6π+6C.3π+12D.12答案A6.(2017河南、河北、山西百校联考,9)已知某四棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,则该四棱锥的体积为()A. B.40 C. D.答案D方法3与球有关的表面积、体积的求解方法7.(2018云南民族大学附中月考,8)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”,若某“阳马”的三视图如图所示(单位:cm),则该阳马的外接球的体积为()A.100πcm3B.πcm3C.400πcm3D.πcm3答案B8.(2018四川泸州模拟,6)已知圆锥的高为5,底面圆的半径为它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上,则该球的表面积为()A.4πB.36πC.48πD.24π答案B9.(2018四川南充模拟,9)已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为()A.32B.48πC.24πD.16π答案A10.(2017湖北七市3月联考,10)一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为()A.36πB.πC.32πD.28π答案B11.(2016河南中原名校3月联考,11)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,四棱锥S-ABCD是高为1的正四棱锥,若点S,A1,B1,C1,D1在同一个球面上,则该球的表面积为()A.πB.πC.πD.π答案D。
2019届高考数学一轮复习第八章立体几何8.2空间几何体的表面积与体积课件文新人教A
台体(棱台和圆台) S 表面积=S 侧+S 上+S 下 V=13(S 上+S 下+ S上S下)h
球
S= 4πR2
V= 43πR3
-5-
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1234
4.常用结论
(1)与体积有关的几个结论
①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.
②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.
则 AC=1,AB=1,底面圆的半径 r=BC= 3,所以圆柱的体积是
2
2
VB=πr2h=π×
3 2
2×1=34π,故选 B.
关闭
解析 答答案案
-9-
知识梳理 双基自测 自测点评
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4.(2017天津,文11)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若
这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为
2.求几何体的体积,要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分 割或补形将其转化为规则的几何体求解.
-12-
考点1
考点2
考点3
考点 1 空间几何体的表面积
例1下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何 体的表面积为( )
关闭
由题意可知,该几何体由同底面的一个圆柱和一个圆锥构成, 圆柱的侧面积为 S1=2π×2×4=16π,圆锥的侧面积为
12345
2.已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC,它的表面
积为
.
关闭
3a2
答答案案
-8-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
3.(2017全国Ⅲ,文9)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直
径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )
高考数学一轮复习第六章第二讲空间几何体的表面积与体积课件
图 6-2-7
解析：设上部圆柱的体积为 V1，则
V1＝π×322×2
3＝9
3π 2.
设中、下部圆台的体积分别为 V2，V3，则
V2＝31×49π＋841π＋247π×3 3
＝1174 3π，
V3＝31×49π＋841π＋247π× 3
＝39
4
3π .
所以该青铜器的体积为 V＝V1＋V2＋V3＝87 2 3π(cm3).故选 A.
因为R2＋R1＝2l ， R2－R1＝4l ，
所以RR12＝＝8l2－＋88lll82，．
因为 R1>0 且 R2>0，所以 l∈(0，2 2).
设圆台的体积为 V， V＝13(πR21 ＋πR22 ＋ πR21 ·πR22 )·h ＝13(πR21 ＋πR22 ＋πR1R2)·h ＝ 135π(R21 ＋R22 ＋R1R2)·(R2－R1). ＝ 135π34(R2＋R1)2＋14(R2－R1)2(R2－R1)
三棱台 ABC-A1B1C1 的体积记为 V1，三棱锥 B-A1B1C 的体积记为
V2，则VV12＝(
)
图 6-2-4
A.74
B.73
C.72
D.7
解析：∵AB∶A1B1＝1∶2， ∴BC∶B1C1＝1∶2. ∴SBCB1∶SB1C1C ＝1∶2，S△ABC∶SA1B1C1＝1∶4. ∴V A1BCB1∶V A1B1C1C＝1∶2. 设三棱台的上、下底面面积分别为 S 和 4S，高为 h，
【题后反思】(1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积 之和. (3)求组合体的表面积时应注意对衔接部分的处理.
【变式训练】 1.(2023 年宜宾市期末) 在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝2 ，将 △ABC 绕直线 AB 旋转一周，得到的旋转体的表面积为( )
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2021
6
例1 (2016课标全国Ⅱ,7,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体 的三视图,则该几何体的表面积为 ( C )
A.20π B.24π C.28π D.32π
解题导引 三视图 直观图
选用公式求其表面积
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7
解析 由三视图知圆锥的高为2 3 ,底面半径为2,则圆锥的母线长为4,
所以圆锥的侧面积为 1 ×4π×4=8π.圆柱的底面积为4π,圆柱的侧面积为4
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9
例2 (2017北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积 为 (D)
A.60 B.30 C.20 D.10 解题导引 由几何体的三视图还原其直观图 观察图形选择公式进行求解 得 结果
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10
解析 根据三视图将三棱锥P-ABC还原到长方体中,如图所示,
∴VP-ABC=
截面图.如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长
等于球的直径;球外接于正方体,正方体的各个顶点均在球面上,正方体
的体对角线长等于球的直径;球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面
解题;球与多面体的组合,通常过多面体的一条侧棱和球心、“切点”
或“接点”作出截面图进行解题.
例4 (2016课标全国Ⅲ,11,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个 体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是 ( B )
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13
因为△B1O1H∽△B1DD1,所以O1H=
B1O1 DD1 B1D
=
6 a.
6
所以VC1 B1EDF
=1
3
S四边形B1EDF ·O1H=
13×12
·EF·B1D·O1H=13
×1
2
·2 a·3
a·6
6
a=1 a3.
6
解法二:连接EF,B1D.
设B1到平面C1EF的距离为h1,D到平面C1EF的距离为h2,则h1+h2=B1D1=
1 3
ห้องสมุดไป่ตู้
×1
2
×3×5×4=10.故选D.
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11
例3 (2016宁夏银川一中月考,15)已知E、F分别是棱长为a的正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点,则四棱锥C1-B1EDF的体积为
.
解题导引 解法一:求四棱锥C1-B1EDF的高及其底面积 利用棱锥的体积公式求出体 积 解法二:将四棱锥C1-B1EDF分成两个三棱锥(B1-C1EF和D-C1EF) 分别求出 两个三棱锥的体积 求出四棱锥C1-B1EDF的体积
3.关于空间几何体体积的常用结论 (1)相同的几何体的体积相同; (2)一个组合体的体积等于它的各部分体积之和; (3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积⑨ 相等 .
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5
方法技巧
方法1 空间几何体表面积的求解方法 1.求多面体的表面积时,把各个面的面积相加即可. 2.求旋转体(球除外)的表面积时,将旋转体(球除外)展成平面图形求其 面积,注意弄清楚它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长 关系. 3.求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割或补形成基本的 柱、锥、台体.先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和 或作差获得所求几何体的表面积.
得到外接球半径
代入球的体积
解析 设正方体的棱长为a,球的半径为R,由题意可知6a2=18,所以a= 3 ,
由题意知R=
3 2
a=
3 2
,因此这个球的体积V=
4 3
πR3=
4 3
π×
3 2
3
=9
2
π.
答案 9 π
2
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17
A.4π
B. 9
2
C.6π D. 32
3
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解题导引 求出△ABC的内切圆 半径r 比较底面△ABC内切圆的直径与柱体的高的大小 两者较小 的为直三棱柱内切球直径的最大值 利用球的体积公式求得V的最大值
解析 易得AC=10.设底面△ABC的内切圆的半径为r,则 1 ×6×81= ×(6+8
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解析 解法一:如图所示,连接A1C1,B1D1交于点O1,连接B1D,EF,过O1作 O 1H⊥B1D于H.
易知EF∥A1C1,且A1C1⊄平面B1EDF,EF⊂平面B1EDF, 所以A1C1∥平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF 的距离. 易知平面B1D1D⊥平面B1EDF,又平面B1D1D∩平面B1EDF=B1D,所以O1H ⊥平面B1EDF,所以O1H的长等于四棱锥C1-B1EDF的高.
2
a.由题意得,VC1
B1EDF
=VB1
C1EF
+VDC1EF
=
1 3
·S
C1EF
·(h1+h2)=16
a3.
答案 1 a3
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方法 3 与球有关的切、接问题的求解方法
与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图
形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的
2
×4π=16π,从而该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π,故选C.
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方法 2 空间几何体体积的求解方法
1.公式法:当所给几何体是常见的柱、锥、台等规则的几何体时,可以直 接代入各自几何体的体积公式进行计算. 2.割补法:求不规则几何体的体积时,可以将所给几何体分割成若干个常 见几何体,分别求出这些几何体的体积,从而得出所求几何体的体积. 3.等体积转化法:利用三棱锥的特性,即任意一个面都可以作为底面,从 而进行换底换高计算.此种方法充分体现了数学的转化思想,在运用过 程中要充分注意距离之间的等价转化.
高考文数
第八章 立体几何
§8.2 空间几何体的表面积和体积
知识清单
考点一 空间几何体的表面积 1.多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和,也就是展开图的面积. 2.旋转体的表面积
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2
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3
考点二 空间几何体的体积 1.柱体、锥体、台体、球体的体积
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4
2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
2
2
+10)·r,所以r=2,因为2r=4>3,所以最大球的直径2R=3,即R=3 .此时球的体
2
积V= 4 πR3= 9 π.故选B.
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例5 (2017天津,11,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若
这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为
.
解题导引 由正方体表面积得正方体棱长 公式得结果