2019年高考数学一轮：单元评估检测7 文

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2019版高考数学理全国一轮复习单元过关检测七含解析

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单元过关检测(七)(第七章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【解析】选D.因为m⊥α,l⊥m,l⊄α,所以l∥α.同理可得l∥β.又因为m,n为异面直线,所以α与β相交,且l平行于它们的交线.2.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 ( )A.10B.12C.14D.16【解析】选B.由三视图可画出立体图,该立体图各面中只有两个相同的梯形的面,S梯=(2+4)×2÷2=6,S全梯=6×2=12.3.三棱锥P-ABC中,PA=PB,AC=BC,BD⊥PC,则A在平面PBC上的射影M 必在( )A.直线PB上B.直线PC上C.直线BD上D.在△PBC内部【解析】选C.取AB中点M,连接MP,MC,因为PA=PB,AC=BC,所以MP⊥AB,MC⊥AB,MP∩MC=M,所以AB⊥平面MPC,所以AB⊥PC,又因为BD⊥PC,AB∩BD=B,所以PC⊥平面ABD,平面ABD⊥平面PBC,A在平面PBC上的射影M必在直线BD上.4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BB1的中点,则直线MC与平面ACD1所成角的正弦值为( )A. B. C. D.【解析】选C.连接B1D,BD,设AC∩BD=O,连接OM,则B1D⊥平面ACD1,OM∥B1D,所以OM⊥平面ACD1,所以∠MCO为MC与平面ACD1所成的角,设正方体棱长为1,则MC==,OM=B1D=,所以sin ∠MCO==.5.(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A.πB.C.D.【解析】选B.如图,画出圆柱的轴截面:r=BC=,那么圆柱的体积V=πr2h=π××1=π.6.不共面的四个定点到平面α的距离都相等,这样的平面α共有( )A.3个B.4个C.6个D.7个【解析】选 D.空间中不共面的四个定点构成三棱锥,如图:三棱锥D-ABC,平面α到三棱锥D-ABC的四个定点距离相等,分成两类;一类是:当平面一侧有一点,另一侧有三点时,即对此三棱锥进行换底,则三棱锥由四种表示形式,此时满足条件的平面个数是四个,另一类是:当平面一侧有两点,另一侧有两点时,即构成的直线是三棱锥的相对棱所在直线,因三棱锥的相对棱有三对,则此时满足条件的平面个数是三个,综上所述,满足条件的平面共有7个.7.若一个圆锥的底面半径是母线长的一半,侧面积和它的体积的数值相等,则该圆锥的底面半径为( )A. B.2 C.2 D.4【解析】选 C.设圆锥的底面半径为r,则该圆锥母线长为2r,则×2πr〃2r=πr2〃r,所以r=2.8.已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于( )A. B. C. D.1【解析】选C.如图,作DE⊥BC于E,由α-l-β为直二面角,AC⊥l得AC ⊥平面β,进而AC⊥DE,又BC⊥DE,BC∩AC=C,于是DE⊥平面ABC,故DE为D到平面ABC的距离.在Rt△BCD中,利用等面积法得DE===.9.(2018·杭州模拟)矩形ABCD中,AB=,BC=1,将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折,在翻折过程中直线AD与直线BC所成角的范围(包含初始状态)为( )A. B.C. D.【解析】选C.初始状态直线AD与直线BC成的角为0,翻折过程中当BC⊥BD时,直线AD与直线BC成的角为直角,因此直线AD与直线BC成的角范围为.10.在△ABC中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,若使△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的体积是 ( )A.πB.πC.πD.π【解析】选A.如图△ABC中,若使△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩下的部分,因为AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,所以AE=ABsin 60°=,BE=ABcos 60°=1,V=π〃AE2〃CE-π〃AE2〃BE=π〃AE2〃CB=π〃()2×1.5=π.11.(2018·石家庄模拟)在正四棱锥V-ABCD中(底面是正方形,侧棱均相等),AB=2,VA=,且该四棱锥可绕着AB作任意旋转,旋转过程中CD∥平面α.则正四棱锥V-ABCD在平面α内的正投影的面积的取值范围是( )A.[2,4]B.(2,4]C.[,4]D.[2,2]【解析】选A.由题可知正四棱锥V-ABCD在平面α内的正投影图形为平面α截V-ABCD所得横截面图形,其中平面是平行于CD的平面,四棱锥底面积为S1=AB2=4,任意一个侧面的高为=,则侧面面积为S2=,四棱锥的高为=2,所以过V 且垂直于底面的截面面积为S3=2,经分析可知四棱锥绕AB旋转过程当底面与平面α平行时,投影面积最大,当底面与平面α垂直时,投影面积最小,所以投影面积的取值范围为[2,4].12.在Rt△ABC中,已知D是斜边AB上任意一点(如图①),沿直线CD 将△ABC折成直二面角B-CD-A(如图②).若折叠后A,B两点间的距离为d,则下列说法正确的是( )A.当CD为Rt△ABC的中线时,d取得最小值B.当CD为Rt△ABC的角平分线时,d取得最小值C.当CD为Rt△ABC的高线时,d取得最小值D.当D在Rt△ABC的斜边AB上移动时,d为定值【解析】选B.设BC=a,AC=b,∠ACD=θ,则∠BCD=-θ,过A作CD的垂线AG,过B作CD的延长线的垂线BH,所以AG=bsin θ,BH=acos θ,CG=bcos θ,则HG=CH-CG=asin θ-bcos θ,所以d=====,所以当θ=,即当CD为Rt△ABC的角平分线时,d取得最小值.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.在矩形ABCD中,对角线AC与相邻两边所成的角为α,β,则有cos 2α+cos 2β=1.类比到空间中的一个正确命题是:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线AC1与相邻三个面所成的角为α,β,γ,则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=________.【解析】设长方体的棱长分别为a,b,c,如图所示,所以AC1与下底面所成角为∠C1AC,记为α,所以cos 2α==,同理cos 2β=,cos 2γ=,所以cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2.答案:214.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,且对角线BD1与侧棱BB1所成角的余弦值为,则该长方体外接球表面积等于________.【解析】因为AB=BC=2,所以B1D1=BD=2.又cos ∠D1BB1=,所以sin ∠D1BB1=.即BD1=2.所以该长方体外接球半径为,所以S=4πR2=24π.答案:24π15.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后的图形如图所示,若E 为线段BC的中点,则直线AE与平面ABD所成角的余弦值为________.【解析】过点E作EF⊥BD,垂足为F,则∠EAF为直线AE与平面ABD所成的角,不妨设正方形的边长为2,则BF=EF=,AB=2,在△ABF中,由余弦定理:AF2= AB2+BF2-2×AB×BF×cos∠ABF=,所以AF=,在Rt△AEF中,AE2=AF2+EF2=3,所以AE=,故cos∠EAF==.答案:16.(2017·全国卷Ⅰ)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC, CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为________.【解析】由题意,连接OB,OD,交BC于点G,由题意得,OD⊥BC,OG=BC,设OG=x,则BC=2x,DG=5-x,三棱锥的高h===,S△ABC=2x〃3x〃=3x2,则V=S△ABC〃h=x2〃=〃,令f=25x4-10x5,x∈,f′=100x3-50x4,令f′>0,即x4-2x3<0,x<2,则f≤f=80,则V≤×=4,所以体积最大值为4 cm3.答案:4 cm3三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图所示,边长AC=3,BC=4,AB=5的三角形简易遮阳棚,其中A,B是地面上南北方向两个定点,正西方向射出的太阳光线与地面成30°角,试问:遮阳棚ABC与地面成多大角度时,才能保证所遮影面ABD面积最大?【解析】易知,△ABC为直角三角形,在平面ABC内由C点引AB的垂线,垂足为Q,则应有DQ为DC在地面上的阴影,且AB垂直于平面CQD,如图所示.因太阳光与地面成30°角,所以∠CDQ=30°,又知在△CQD中,CQ=,由正弦定理,有=,即QD=sin ∠QCD.为使面ABD的面积最大,需QD最大,只有当∠QCD=90°时才可达到,从而∠CQD=60°.故当遮阳棚ABC与地面成60°角时,才能保证所遮影面ABD面积最大. 【方法技巧】求解几何体中的面积最值的思路首先要明确所求图形面积的表示式,区分图形中的定值与变量,然后根据几何体的结构特征和已知条件确定变量的最值即可.18.(12分)如图,已知在△ABC中,∠C=90°,PA⊥平面ABC,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,AP=AB=2,∠AEF=θ,当θ变化时,求三棱锥P-AEF体积的最大值.【解析】因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,又因为BC⊥AC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,又AF⊂平面PAC,所以BC⊥AF,又AF⊥PC,PC∩BC=C,所以AF⊥平面PBC,即AF⊥EF.EF是AE在平面PBC上的射影,因AE⊥PB,所以EF⊥PB,即PE⊥平面AEF.在三棱锥P-AEF中,AP=AB=2,AE⊥PB,所以PE=,AE=,AF=sin θ,EF=cos θ,V P-AEF=S△AEF〃PE=××sin θ〃cos θ×=sin 2θ,因为0<θ<,所以0<2θ<π,0<sin 2θ≤1,因此,当θ=时,V P-AEF取得最大值为.【方法技巧】几何体体积的最值问题的解决,要根据几何体的结构特征确定其体积的求解方式,分清定量与变量,然后根据变量的取值情况,利用函数法或平面几何的相关结论判断相应的最值.19.(12分)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF且BE<CF,∠BCF=,AD=,EF=2.(1)求证:AE∥平面DCF.(2)若BE=-1,且=λ,当λ取何值时,直线AE与BF所成角的大小为60°?【解析】(1)过E作EG∥BC交FC于G,连接DG,因为BE∥CF,所以四边形BCGE是平行四边形,因此EG∥BC∥AD,且EG=BC=AD,所以四边形ADGE也是平行四边形,于是AE∥DG,又AE⊄平面DCF,DG⊂平面DCF,故AE∥平面DCF.(2)由(1)知EG∥BC∥AD,且EG=BC=AD,所以EG=AD=,又EF=2,所以GF=1.因为四边形ABCD是矩形,所以DC⊥BC.因为∠BCF=,所以FC⊥BC,又平面AC⊥平面BF,平面AC∩平面BF=BC,于是FC⊥平面AC,所以FC⊥CD.分别以CB,CD,CF为x,y,z轴建立空间直角坐标系.由=λ,得AB=(-1)λ.所以A(,(-1)λ,0),B(,0,0),E(,0,-1),F(0,0,), 所以=(0,(1-)λ,-1),=(-,0,),依题意有cos 60°=,即=,解得λ=1.故当λ=1时,直线AE与BF所成角的大小为60°.20.(12分)中秋节即将到来,为了做好中秋节商场促销活动,某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案如下:将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△SEE′,△SFF′,△SGG′,△SHH′,再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S-EFGH,其中A,B,C,D重合于点O,E与E′重合,F与F′重合,G与G′重合,H与H′重合(如图所示).(1)求证:平面SEG⊥平面SFH.(2)已知AE=,过O作OM⊥SH交SH于点M,求cos ∠EMO的值.【解析】(1)因为折后A,B,C,D重合于一点O,所以拼接成底面EFGH 的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形,所以底面EFGH是正方形,故EG⊥FH.因为在原平面图形中,等腰△SEE′≌△SGG′.所以SE=SG,所以EG⊥SO.又因为SO,FH⊂平面SFH,SO∩FH=O,所以EG ⊥平面SFH.又因为EG⊂平面SEG,所以平面SEG⊥平面SFH.(2)因为EO⊥平面SFH,所以EO⊥SH,所以SH⊥平面EMO,所以∠EMO为二面角E-SH-F的平面角.当AE=时,即OE=,Rt△SHO中,SO=5,SH=,所以OM==,Rt△EMO中,EM==,cos∠EMO===.所以所求角的余弦值为.【一题多解】由(1)知EG⊥FH,EG⊥SO,并可同理得到HF⊥SO,故以O 为原点,分别以OF,OG,OS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz,在原平面图形中,AE=,则底面正方形EFGH的对角线EG=5,所以H,E,G,=,=.在原平面图形中,可求得SE=,在Rt△SOE中,可求得SO==5,所以S(0,0,5),=.设平面SEH的一个法向量为n=(x,y,z),则得令x=2,则n=(2,2,-1),因为EG⊥平面SFH,所以是平面SFH的一个法向量,设二面角E-SH-F的大小为θ,则cos θ==.所以二面角E-SH-F的余弦值为,即cos∠EMO=.21.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD.(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.【解析】(1)由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F,由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,可得PF⊥平面ABCD.以F为坐标原点,的方向为x轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.令PA=1,由(1)及已知可得,A,P,B,C.所以=,=(,0,0),=,=( 0,1,0).设n=(x,y,z)是平面PCB的法向量,则可取n=(0,-1,-).设m=(x′,y′,z′)是平面PAB的法向量,则即可取m=(1,0,1).则cos <n,m>=错误！未找到引用源。

2019版高考数学文一轮新题AB卷全国：课时分层作业七

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课时分层作业七指数函数一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018·揭阳模拟)函数f(x)=x2-的大致图象是( )【解析】选B.由f(0)=-1可排除D,由f(-2)=4-4=0,f(-4)=16-16=0,可排除A,C.2.(2018·沈阳模拟)函数y=的值域为()A. B.C. D.(0,2]【解析】选A.u=f(x)=2x-x2=-(x-1)2+1≤1,函数y=是减函数,由复合函数的单调性可知,y≥,即函数的值域是.3.某宣传部门网站为弘扬社会主义思想文化,开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动,并以“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜索.此后,该网站的点击量每月都比上月增长50%,那么4个月后,该网站的点击量和原来相比,增长为原来的( )A.2倍以上,但不超过3倍B.3倍以上,但不超过4倍C.4倍以上,但不超过5倍D.5倍以上,但不超过6倍【解析】选 D.设第一个月的点击量为1,则4个月后点击量y=(1+50%)4=∈(5,6).该网站的点击量和原来相比,增长为原来的5倍以上,但不超过6倍.4.(2018·西安模拟)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.(-∞,-2]D.[1,+∞)【解析】选 B.由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.5.已知函数f(x)=x-4+,x∈(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a|x+b|的图象为 ( )【解析】选A.因为x∈(0,4),所以x+1>1,所以f(x)=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即x=2时,取等号.所以a=2,b=1.因此g(x)=2|x+1|,该函数图象由y=2|x|的图象向左平移一个单位得到,结合图象知A正确.【变式备选】(2018·安阳模拟)已知函数f(x)=a x(a>0,且a≠1),如果以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,那么f(x1)·f(x2)等于( ) A.1 B.a C.2 D.a2【解析】选A.因为以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,所以x1+x2=0.又因为f(x)=a x,所以f(x1)f(x2)===a0=1.6.已知函数y=f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠2},且y=f(x+2)是偶函数,当x<2时,f(x)=|2x-1|,那么当x>2时,函数f(x)的递减区间是( )A.(3,5)B.(3,+∞)C.(2,4]D.(2,+∞)【解析】选C.因为y=f(x+2)是偶函数,所以f(-x+2)=f(x+2),则f(x)关于x=2对称,则f(x)=f(4-x).若x>2,则4-x<2,又当x<2时,f(x)=|2x-1|,所以当x>2时,f(x)=f(4-x)=|24-x-1|.当x≥4时,4-x≤0,24-x-1≤0,f(x)=|24-x-1|=1-24-x=1-16·,此时函数递增,当2<x<4时,4-x>0,24-x>1,此时f(x)=|24-x-1|=24-x-1=16·-1,此时函数递减区间为(2,4].7.若f(x)=,g(x)=,则下列等式不正确的是( )A.f(2x)=2g2(x)+1B.f2(x)-g2(x)=1C.f2(x)+g2(x)=f(2x)D.f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)【解析】选D.f(2x)=,2g2(x)+1=2+1=,即f(2x)=2g2(x)+1,A正确;f2(x)-g2(x)=-=1,B成立;f2(x)+g2(x)=+=f(2x),C成立;f(x)f(y)-g(x)g(y)=×-×=,f(x+y)=,显然不等,所以D不正确.【题目溯源】本题源于教材人教A版必修1P83习题B组T4,“设f(x)=, g(x)=,求证:(1)[g(x)]2-[f(x)]2=1;(2)f(2x)=2f(x)g(x);(3)g(2x)= [g(x)]2+[f(x)]2”.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·保定模拟)函数f(x)=的定义域是________.【解题指南】根据使函数f(x)=的解析式有意义的原则,构造不等式,解得函数的定义域.【解析】若使函数f(x)=的解析式有意义,自变量x须满足:-2≥0,解得:x∈(-∞,-1],故函数f(x)=的定义域为:(-∞,-1].答案:(-∞,-1]【变式备选】函数f(x)=+的定义域为( )A.{x|x<1}B.{x|0<x<1}C.{x|0<x≤1}D.{x|x>1}【解析】选B.由已知得解得0<x<1.9.(2018·日喀则模拟)函数f(x)=a x(0<a<1)在[1,2]内的最大值比最小值大,则a的值为________.【解析】因为函数f(x)=a x(0<a<1),所以函数f(x)=a x(0<a<1)在[1,2]内是减函数,因为函数f(x)=a x(0<a<1)在[1,2]内的最大值比最小值大,所以f(1)-f(2)=a-a2=,解得a=,或a=0(舍).答案:10.函数y=的单调递增区间是________.【解析】使函数y=有意义,则-x2+2x+3≥0,得函数定义域为[-1,3],又因为函数t=-x2+2x+3在[-1,1]上递增,在[1,3]上递减,又因为函数y=可认为是由y=与t=-x2+2x+3复合而成的,所以函数y=的单调递增区间为[1,3].答案:[1,3]【误区警示】解答本题易出现以下两种错误:一是忽略函数的定义域,得出错误结论;二是对复合函数的理解错误造成错解.1.(5分)已知函数f(x)=若f(f(x))≥-2,则x的取值范围是( ) A.[-2,1] B.[,+∞)C.[-2,1]∪[,+∞)D.[0,1]∪[,+∞)【解析】选C.若x≤0,则f(f(x))=f(2x)=log22x=x≥-2,所以-2≤x≤0.若0<x≤1,则f(f(x))=f(log2x)==x≥-2,所以0<x≤1.若x>1,则f(f(x))=f(log2x)=log2log2x≥-2,即x≥4.综上所述,x的取值范围是[-2,1]∪[,+∞).2.(5分)(2018·长春模拟)若函数y=(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则log a+log a= ( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.当a>1时,函数y=在[0,1]上单调递减,所以解得a=2,此时log a+log a=log a4=2;当0<a<1时,函数y=在[0,1]上单调递增,所以解得:a∈∅.综上可知:log a+log a=2.3.(5分)已知函数f(x)=,x1,x2,x3∈R,且x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值( )A.一定等于零B.一定大于零C.一定小于零D.正负都有可能【解题指南】可先探究函数奇偶性、单调性,利用这两个性质再求解.【解析】选B.显然函数f(x)=为奇函数,且f(x)在R上是增函数,由x1+x2>0得,x1>-x2,所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2),即f(x1)+f(x2)>0.同理可得f(x2)+f(x3)>0,f(x3)+f(x1)>0,所以f(x1)+f(x2)+f(x3)>0.4.(12分)(2018·保定模拟)已知函数f(x)=为奇函数.(1)求a的值.(2)判断函数f(x)的单调性,并根据函数单调性的定义证明.【解题指南】(1)根据题意,f(x)在原点有定义,并且f(x)为奇函数,从而有f(0)=0,这样即可求出a=-1.(2)可分离常数得到f(x)=1-,设任意的x1<x2,然后作差,通分,便可得出f(x1)<f(x2),从而得出f(x)的单调性.【解析】(1)因为函数f(x)是奇函数,且f(x)的定义域为R;所以f(0)==0,所以a=-1.(2)f(x)==1-,函数f(x)在定义域R上单调递增.理由:设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=.因为x1<x2,所以<,所以-<0,所以f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在定义域R上单调递增.【变式备选】已知+=3(a∈R),求值:.【解析】因为+=3,所以a+a-1=7,所以a2+a-2=47,所以==6.5.(13分)已知定义在R上的函数f(x)=2x-.(1)若f(x)=,求x的值.(2)若2t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)当x<0时,f(x)=0,无解;当x≥0时,f(x)=2x-,由2x-=,得2·22x-3·2x-2=0,将上式看成关于2x的一元二次方程,解得2x=2或2x=-(舍),因为2x>0,所以x=1.(2)当t∈[1,2]时,2t+m≥0,即m(22t-1)≥-(24t-1),因为22t-1>0,所以m≥-(22t+1),因为t∈[1,2],所以-(22t+1)∈[-17,-5],故实数m的取值范围是[-5,+∞).关闭Word文档返回原板块。

2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟(七)数学(文)试题 Word版含答案(修改)

核心八模2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（文科）（七）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.设非空集合,P Q 满足P Q P =，则A.,x Q x P ∀∈∈B. ,x Q x P ∀∉∉C.00,x Q x P ∃∉∈D. 00,x P x Q ∃∈∉ 2.下面是关于复数21z i=-+的四个命题：2123:2;:2,:p z p z i p z ==的共轭复数为41;:i p z +的虚部为-1，其中的真命题为A. 23,p pB. 12,p pC. 24,p pD. 43,p p3.某学校高一、高二、高三年级分别有720、720,800名学生，现从全校随机抽取56人参加防火防灾问卷调查.先采用分层抽样确定各年级参加调查的人数，再在各年级内采用系统抽样确定参加调查的同学，若将高三年级的同学依次编号为001,002，…，800，则高三年级抽取的同学的编号不可能为 A. 001,041，…，800 B. 031，-71，…，791 C.027,067，…，787 D.055,095，…，7954.已知一组数据()()()()001,2,3,5,6,8,,,x y 的线性回归方程为ˆ2y x =+，则00x y -的值为A. 3-B. 5-C. 2-D.1- 5.已知长方体1111ABCD A BC D -中，12,AB BC BB ===在长方体的外接球内随机抽取一点M ，则落在长方体外的概率为12π D.212ππ-6.已知点P 为曲线3:C y x x =-上一点，曲线C 在点P 处的切线1l 交曲线C 于点Q（异于点P ），若直线1l 的斜率为1k ，曲线C 在点Q 处的切线2l 的斜率为2k ，则124k k -的值为A. -5B. -4C. -3D. 27.设,a b 为非零向量，2a b =，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344,,,,x y x y x y x y +++所有可能取值中的最小值为24a ，则,a b 的夹角为 A.23π B. 3π C. 6πD.0 8.已知等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，公差为d ，若201717100201717S S -=，则d 的值为 A.120 B. 110C. 10D.209.执行如图所示的程序框图，则输出的值是A.5B. 4C. 3D.210.已知函数()2232f x x ax a =+-，其中(]()0,3,0a f x ∈≤，对任意的[]1,1x ∈-都成立，在1和a 两数间插入2017个数，使之与1，a 构成等比数列，设插入的这2017个数的乘积为T,则T=A.20172 B. 20173 C. 201723 D.20172211.已知抛物线2:4C y x =的焦点F ，定点()0,2A ，若射线FA 与抛物线C 交于点M,与抛物线C 的准线交于点N,则:MN FN 的值是A.)2:1:(1+12.已知函数()x F x e =满足()()()F x g x h x =+，且()(),g x h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，若(]0,2x ∀∈使得不等式()()20g x ah x -≥恒成立，则实数a 的取值范围是A. (,-∞B. (,-∞C. (0,D.()+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数,x y 满足40300x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2x y z +=的最大值为 .14.已知双曲线()22210y x b b-=>的一条渐近线的方程为3y x =，则双曲线的离心率为 .15.已知三棱锥的三视图的正视图是等腰三角形，侧视图是等腰直角三角形，则三棱锥的四个面中面积最大值为 .16.已知ABC ∆的面积为S,三内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若2224S a b c +=+，则sin cos 4C B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值时，C = .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）某同学用“五点法”画函数()()s in 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式（2）将()y f x =图象上所有点向左平移6π个单位长度，得到()y g x =的图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.18.（本题满分12分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4,6, 3.PD PC AB BC ====（1）证明：//BC 平面PDA ；（2）证明：BC PD ⊥;（3）求点C 到平面PDA 的距离.19.（本题满分12分）某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福感指数的问卷调查，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于7，说明孩子的幸福感弱；幸福指数不低于70，说明孩子的幸福感强）.（1）根据茎叶图中的数据完成列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关？（2）从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访，求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，A ⎛ ⎝⎭为椭圆上一点，AF 交y 轴于点M ，且M 为AF 的中点.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点A,平行于OA 的直线l 交于P ，交椭圆C 于不同的两点D,E,问是否存在常数λ，使得2PA PD PE λ=⋅，若存在，求出λ的值若不存在，请说明理由.（已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>上点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=）21.（本题满分12分）已知函数()()()()2ln ln 1.f x ax x x x a R =--+∈ （1）若2ln ax x >，求证：()2ln 1f x ax x ≥-+；（2）若()()2000000,,1ln ln x f x x x x ∃∈+∞=+-，求a 的最大值.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

2019年高考数学一轮复(北师大版文科)：单元评估检测7 立体几何初步文北师大版

单元评估检测(七) 立体几何初步(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．中央电视台正大综艺以前有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为( )图1A2．(2017·衡阳模拟)如果一个几何体的三视图如图2所示，正视图与侧视图是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形(单位：cm)，则此几何体的侧面积是( )图2A．2 3 cm2B．4 3 cm2C．8 cm2D．14 cm2C3．若三棱锥的三视图如图3所示，则该三棱锥的体积为( )图3A．80 B．40C ．803D ．403D4．(2017·泉州模拟)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，以下命题正确的是( )A ．若l ∥α，α∥β，则l ∥βB ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥βC ．若l ⊥α，α⊥β，则l ∥βD ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥βD5．正四面体P ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．平面PDF ⊥平面ABC C ．DF ⊥平面PAED ．平面PAE ⊥平面ABC B6．(2017·武汉模拟)在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为( )【导学号：00090399】A ．34B ．32C ．334D ． 3B7．如图4，四面体ABCD 中，AB ＝DC ＝1，BD ＝2，AD ＝BC ＝3，二面角A BD C 的平面角的大小为60°，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角的余弦值是( )图4A ．13B ．33C ．63D ．223B8．如图5，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列结论错误的是( )图5A ．直线BD 1与直线B 1C 所成的角为π2B ．直线B 1C 与直线A 1C 1所成的角为π3C ．线段BD 1在平面AB 1C 内的投影是一个点 D ．线段BD 1恰被平面AB 1C 平分 D9．如图6，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 为线段CD 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在平面ABC 上的投影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成集合的长度为( )图6A ．32B ．233C ．π2D ．π3D10．(2017·九江模拟)棱长为43的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为( )【导学号：00090400】A ． 2B ．22C ．24D ．26B11．(2017·南阳模拟)如图7是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )图7A ．6＋2π3B ．8＋π3C ．4＋2π3D ．4＋π3C12．下列命题中错误的是( )A ．如果α⊥β，那么α内一定有直线平行于平面βB ．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC ．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．半径为336π的球的体积与一个长、宽分别为6,4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为________．8814．(2017·运城模拟)如图8，三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积为V 1，四棱锥A BCC 1B 1的体积为V 2，则V 1V 2＝________.图83215．如图9，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面是∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .图9a 或2a16．(2017·菏泽模拟)如图10，ABCD A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论：图10①BD ∥平面CB 1D 1； ②AC 1⊥BD ； ③AC 1⊥平面CB 1D 1；④异面直线AD 与CB 1所成角为60°.错误的有________．(把你认为错误的序号全部写上) ④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2017·南昌模拟)如图11所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2 m ，高为7 m ，制造这个塔顶需要多少面积的铁板？图11制造这个塔顶需要8 2 m 2的铁板．18．(12分)如图12，已知四棱锥P ABCD ，PD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是边长为2的正方形，M ，N 分别为PB ，PC 的中点．图12(1)证明：MN ∥平面PAD ．(2)若PA 与平面ABCD 所成的角为45°，求四棱锥P ABCD 的体积V . [解] (1)因为M ，N 分别是棱PB ，PC 的中点，所以MN ∥BC ，又四边形ABCD 是正方形，所以AD ∥BC ，于是MN ∥AD ．⎭⎪⎬⎪⎫MN ∥ADAD ⊂平面PAD MN ⊄平面PAD ⇒MN ∥平面PAD ． (2)由PD ⊥底面ABCD ，知PA 与平面ABCD 所成的角为∠PAD ，所以∠PAD ＝45°，在Rt △PAD 中，知PD ＝AD ＝2，故四棱锥P ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.19．(12分)如图13，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，CA ＝CB ，D ，E ，F 分别为AB ，A 1D ，A 1C 的中点，点G 在AA 1上，且A 1D ⊥EG .图13(1)求证：CD ∥平面EFG . (2)求证：A 1D ⊥平面EFG . 略20．(12分)(2016·全国卷Ⅲ)如图14，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．图14(1)证明MN ∥平面PAB ；(2)求四面体N BCM 的体积. 【导学号：00090401】 (1)略 (2)45321．(12分)(2017·新乡模拟)如图15①，在三角形PCD 中，AB 为其中位线，且2BD ＝PC ，若沿AB 将三角形PAB 折起，使∠PAD ＝θ，构成四棱锥P ABCD ，且PC PF ＝CD CE＝2，如图15②. (1)求证：平面BEF ⊥平面PAB ．(2)当异面直线BF 与PA 所成的角为60°时，求折起的角度θ.图15[解] (1)因为2BD ＝PC ，所以∠PDC ＝90°，因为AB ∥CD ，且PC PF ＝CD CE＝2，所以E 为CD 的中点，F 为PC 的中点，CD ＝2AB ，所以AB ∥DE 且AB ＝DE ，所以四边形ABED 为平行四边形，所以BE ∥AD ，BE ＝AD ，因为BA ⊥PA ，BA ⊥AD ，且PA ∩AD ＝A ，所以BA ⊥平面PAD ，因为AB ∥CD ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥PD 且CD ⊥AD ，又因为在平面PCD 中，EF ∥PD (三角形的中位线)，于是CD ⊥FE . 因为在平面ABCD 中，BE ∥AD ，于是CD ⊥BE ，因为FE ∩BE ＝E ，FE ⊂平面BEF ，BE ⊂平面BEF ，所以CD ⊥平面BEF ，又因为CD ∥AB ，AB 在平面PAB 内，所以平面BEF ⊥平面PAB ．(2)因为∠PAD ＝θ，取PD 的中点G ，连接FG ，AG ，所以FG ∥CD ，FG ＝12CD ，又AB ∥CD ，AB ＝12CD ，所以FG∥AB ，FG ＝AB ，从而四边形ABFG 为平行四边形，所以BF ∥AG ，所以BF 与PA 所成的角即为AG 与PA 所成的角，即∠PAG ＝60°，因为PA ＝AD ，G 为PD 中点，所以AG ⊥PD ，∠APG ＝30°，所以∠PDA ＝30°，所以∠PAD ＝180°－30°－30°＝120°.故折起的角度为120°.22．(12分)正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB ＝AD ＝12CD ＝2，点M 在线段EC 上且不与E ，C 重合．图16(1)当点M 是EC 中点时，求证：BM ∥平面ADEF . (2)当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥M BDE 的体积． [解] (1)取ED 的中点N ，连接MN ，AN ，又因为点M 是EC 的中点，所以MN ∥DC ，MN ＝12DC ，而AB ∥DC ，AB ＝12DC ，所以MN 綊AB ，所以四边形ABMN 是平行四边形，所以BM ∥AN ，而BM ⊄平面ADEF ，AN ⊂平面ADEF ，所以BM ∥平面ADEF .(2)取CD 的中点O ，过点O 作OP ⊥DM ，连接BP ，BO ，因为AB ∥CD ，AB ＝12CD ＝2，所以四边形ABOD 是平行四边形，因为AD ⊥DC ，所以四边形ABOD 是矩形，所以BO ⊥CD ，因为正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，ED ⊥AD ，所以ED ⊥平面ADCB ，所以平面CDE ⊥平面ADCB ，所以BO ⊥平面CDE ，所以BP ⊥DM ，所以∠OPB 是平面BDM 与平面DCE (即平面ABF )所成锐二面角，因为cos ∠OPB ＝66，所以sin ∠OPB ＝306，所以OB BP ＝306，解得BP ＝2305. 所以OP ＝BP cos ∠OPB ＝255，所以sin ∠MDC ＝OP OD ＝55，而sin ∠ECD ＝225＝55，所以∠MDC ＝∠ECD ，所以DM ＝MC ，同理DM ＝EM ，所以M 为EC 的中点，所以S △DEM ＝12S △CDE ＝2，因为AD ⊥CD ，AD ⊥DE ，且DE 与CD 相交于点D ，所以AD ⊥平面CDE ，因为AB ∥CD ，所以三棱锥B DME 的高＝AD ＝2，所以V M BDE ＝V B DEM ＝13S △DEM ·AD ＝43.。

2019年普通高等学校统一招生考试调研卷(七)数学答案

所以 cos n1, n2
n1 n2 n1 n2

33 4 2 1
36 8
,所以二面角 E AD B 的余弦值为 3 6 8
.………12 分
19.解：(Ⅰ)由直方图可知,抽出产品为合格品的频率为 0.75 0.65 0.2 0.5 0.8 ,
4
即抽出产品为合格品的概率为 ,…………………………………………………………1 分
当 m 2 3,1 7 时, f m 0 ,当 m 1 7, 2 3 时, f m 0 ,
所以,当 m 1 7 时, SABP 取得最大值,此时直线 l 的方程为 3x 2 y 2 7 2 0 . …………12 分
21. 解：(1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，……………1 分
AE n1

0 0
,即
4x 5x

2z 0 3y 2z

0
,
解得
y z

3 2x
3x
,令
x

1
,则
n1

1, 3
3, 2
,…………………………………………9 分
显然平面 ABD 的一个法向量为 n2 0,1, 0 ,………………………………………10 分
1 n 1

n
1
2

.……12
分
18. (Ⅰ)证明：因为 AB // CD , ABC 90 ，所以 CD BC .……1 分
因为 CD 4,CE 2, DE 2 5 ,所以 CD2 CE 2 DE 2 ,
所以 CD CE , ……………………………………………………………2 分因为 BC CE C ,所以 CD 平面 BCE . ……………………………3 分

2019年高考文科数学一轮单元卷：第二十单元统计、统计案例、概率A卷(含答案)

一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）第二十单元统计、统计案例、概率注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.32．峨眉山市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5D．233．总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）附：第6行至第9列的随机数表：26357900337091601620388277574950321149197306491676778733997467322748619871644148708628888519162074770111163024042979799196835125A．3 B．16 C．38 D．494．九江联盛某超市为了检查货架上的奶粉是否合格，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（）A．6，12，18，24，30 B．2，4，8，16，32C．2，12，23，35，48 D．7，17，27，37，475．某校高二（16）班共有50人，如图是该班在四校联考中数学成绩的频率分布直方图，则成绩在[]100,120内的学生人数为（）A．36 B．25 C．22 D．116．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取（）件．A．24 B．18 C．12 D．67．有人发现，多看手机容易使人变冷漠，下表是一个调査机构对此现象的调查结果：附表：则认为多看手机与人冷漠有关系的把握大约为（）A．99%B．97.5%C．95%D．90%8．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：若x ，y 线性相关，线性回归方程为0.6y x a =+，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（） A ．7.2万盒B ．7.6万盒C ．7.8万盒D ．8.6万盒9．现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为（） A ．16B ．13C ．56D ．2310．“0rand ”是计算机软件产生随机数的函数，每调用一次0rand 函数，就产生一个在区间[]0,1内的随机数．我们产生n 个样本点(),P a b ，其中201a rand =⋅-，201b rand =⋅-．在这n 个样本点中，满足220a b rand +=的样本点的个数为m ，当n 足够大时，可估算圆周率π的近似值为（） A ．4mnB ．4m nC ．4n mD ．4n m11．下面给出的是某校高二（2）班50名学生某次测试数学成绩的频率分布折线图，根据图中所提供的信息，则下列结论正确的是（）A ．成绩是50分或100分的人数是0B ．成绩为75分的人数为20C ．成绩为60分的频率为0.18D ．成绩落在60—80分的人数为2912．如果一组数1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，方差是2s 132x +232x +，，32n x + ）A 3x ，2sB 32x 2sC 32x 23sD 32x 23262s s ++二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[)25,30的一为等品，在区间[)20,25和[)30,35的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．14．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得到如下实验数据，计算得回归直线方程为0.950.15y x =-．由以上信息，得到下表中c 的值为__________．天数x (天) 3 4 5 6 7繁殖个数y (千个)2345c15．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：参照附表，在犯错误的概率最多不超过______(填百分比)的前提下，可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -++++＝16．已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为__________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．18．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)0,0.1 [)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4， [)0.40.5， [)0.50.6， [)0.60.7，频数 1 3 2 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量 [)00.1， [)0.10.2，[)0.20.3， [)0.30.4， [)0.40.5， [)0.50.6，频数151310165（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：0.35m的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于3（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）19．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()20.0500.0100.001|3.8416.63510.828P K kk≥．20．（12分）某淘宝商城在2017年前7个月的销售额y(单位:万元)的数据如下表，已知y与t具有较好的线性关系．（1）求y关于t的线性回归方程；（2）分析该淘宝商城2017年前7个月的销售额的变化情况，并预测该商城8月份的销售额．附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆni iiniit t y ybt t==--=-∑∑，ˆˆa y bt=-．21．（12分）某超市为调查会员某年度上半年的消费情况制作了有奖调查问卷发放给所有会员，并从参与调查的会员中随机抽取100名了解情况并给予物质奖励．调查发现抽取的100名会员消费金额（单位：万元）都在区间[]0.5,1.1内，调查结果按消费金额分成6组，制成如下的频率分布直方图．（1）求该100名会员上半年消费金额的平均值与中位数；（以各区间的中点值代表该区间的均值）（2）现采用分层抽样的方式从前4组中选取18人进行消费爱好调查，然后再从前2组选取的人中随机选2人，求这2人都来自第2组的概率．22．（12分）海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，因其外形仿照古代海盗船而得名．现有甲、乙两游乐场统计了一天6个时间点参与海盗船游玩的游客数量，具体数据如表：时间点 8点 10点 12点 14点 16点 18点甲游乐场 10 3 12 6 12 20 乙游乐场13432619（1）从所给6个时间点中任选一个，求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的概率；（2）记甲、乙两游乐场6个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为i x ，i y （123456=，，，，，i ），现从该6个时间点中任取2个，求恰有1个时间点满足>i i x y 的概率．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ）第二十单元统计、统计案例、概率一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】D【解析】设2名男同学为1A ，2A ，3名女同学为1B ，2B ，3B ，从以上5名同学中任选2人总共有12A A ，11A B ，12A B ，13A B ，21A B ，22A B ，23A B ，12B B ，13B B ，23B B 共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有12B B ，13B B ，23B B 共三种可能，则选中的2人都是女同学的概率为30.310P ==，故选D ．2．【答案】B【解析】由题意的，这组数据是：08，09，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，根据中位数的定义，可知其中位数为20，故选B ． 3．【答案】C【解析】从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始由左到右依次选取两个数字，列举出选出来编号在0049~的前4个个体的编号为33，16，20，38，所以选出来的第4个个体的编号为38，故选C ． 4．【答案】D【解析】∵系统抽样是确定出第一个数据后等距抽取的，因此只有D 符合，故选D ． 5．【答案】B【解析】由频率分别直方图可知：()0.0150.0300.0100.005101a a +++++⨯=，解得0.020a =，所以在[]100,120之间的概率为()0.0300.020100.5P =+⨯=，所以在[]100,120之间人数为500.525⨯=人，故选B ． 6．【答案】B【解析】由题意，丙中型号在总体中占的比例为300320040030010010=+++，根据分层抽样可得丙种型号的产品中抽取3601810⨯=，故选B ． 7．【答案】A【解析】∵221686838-204211.377888011058K ⨯⨯⨯=≈⨯⨯⨯（），且11.377 6.635＞．∴有99%的把握认为看电视与人变冷漠有关系，故选A ． 8．【答案】C【解析】由题意，根据表格中的数据可知：1234535x ++++==，5566865y ++++==，即样本中心为()3,6，代入回归直线0.6ˆˆy x a =+，解得ˆ 4.2a =，即0.6.2ˆ4y x =+令6x =，解得0.6647.8ˆ.2y=⨯+=万盒，故选C ． 9．【答案】C【解析】根据古典概型的概率计算，设白球为A ，蓝球为B ，红球为CC ，则不同的排列情况为ABCC ，ACBC ，ACCB ，BACC ，BCAC ，BCCA ，CABC ，CACB ，CBCA ，CBAC ，CCAB ，CCBA 共12种情况，其中红球在中间的有ACCB ，BCCA 两种情况，所以红球都在中间的概率为21126=，所以中间两个小球不都是红球的概率为15166-=，故选C ． 10．【答案】A【解析】221x y +<发生的概率为21144ππ⋅⋅=，在这n 个样本点中，满足220a b rand +=的样本点的个数为m ，当n 足够大时，可估算圆周率π的近似值为，4m n π=，即4mnπ=，故选A ． 11．【答案】D【解析】频率分布折线图表示的是某一个范围的频率，故A ，B ，C 选项是错误的，对于D 选项，60—80的人数为()500.0180.041029⨯+⨯=，故选D ． 12．【答案】C【解析】∵1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，方差是2s132x +232x +32n x 32x +22233s s =，故选C ．二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】100【解析】由题意得，三等品的长度在区间[)10,15，[)15,20和[]35,40内，根据频率分布直方图可得三等品的频率为()0.01250.02500.012550.25++⨯=， ∴样本中三等品的件数为4000.25100⨯=． 14．【答案】9【解析】根据上表的数据，根据平均数的公式可得：3456755x ++++==，23451455c cy +++++==，把()x y ，代入回归直线方程，得140.9550.155c+=⨯-，解得9c =． 15．【答案】5%【解析】由题意，计算观测值()2210010302040 4.762 3.84150503070K ⨯⨯-⨯=>⨯⨯⨯＝，参照附表，可得：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”．故答案为5%． 16．【答案】36【解析】600601000=S ，所以36=S ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；（2）（i ）{}A B ，，{}A C ，，{}A D ，，{}A E ，，{}A F ，，{}A G ，，{}B C ，，{}B D ，，{}B E ，，{}B F ，，{}B G ，，{}C D ，，{}C E ，，{}C F ，，{}C G ，，{}D E ，，{}D F ，，{}D G ，，{}E F ，，{}E G ，，{}F G ，；（ii ）521P M =（）．【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（2）（i ）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{}A B ，，{}A C ，，{}A D ，，{}A E ，，{}A F ，，{}A G ，，{}B C ，，{}B D ，，{}B E ，，{}B F ，，{}B G ，，{}C D ，，{}C E ，，{}C F ，，{}C G ，，{}D E ，，{}D F ，，{}D G ，，{}E F ，，{}E G ，，{}F G ，，共21种．（ii ）由（1），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{}A B ，，{}A C ，，{}B C ，，{}D E ，，{}F G ，，共5种．所以，事件M 发生的概率为521P M =（）． 18．【答案】（1）见解析；（2）0.48；（3）()347.45m ．【解析】（1）（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48．（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 ()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为 ()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ．估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=． 19．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能，见解析．【解析】（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：（i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．（iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．（2）由茎叶图知7981802+==m ．列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式 15 5 第二种生产方式515（3）由于()224015155510 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．20．【答案】（1）1046ˆy t =+；（2）预测该商城8月份的销售额为126万元．【解析】（1）由所给数据计算得()1123456747t =++++++= ()15866728896104118867y =++++++=，()21941014928nii tt=-=++++++=∑，()()()()()()()()132822011402110218332280nii i tty y =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯=∑()()()12128002ˆ18nii i nii tty y btt==--===-∑∑，86ˆ46ˆ104ay bt =-=-⨯=．所求回归方程为1046ˆyt =+．（2）由（1）知，ˆ100b =>，故前7个月该淘宝商城月销售量逐月增加，平均每月增加10万．将8t =，代入（1）中的回归方程，108ˆ46126y=⨯+=．故预测该商城8月份的销售额为126万元． 21．【答案】（1）0.752万元，0.76万元；（2）27．【解析】（1）根据频率分布直方图可知，所求平均数约为0.550.150.650.200.750.250.850.300.950.08 1.050.020.752⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元），设所求中位数为x 万元，由()()1.5 2.00.10.7 2.50.5x +⨯+-⨯=，解得0.76x =，所以该100名会员上半年的消费金额的平均数，中位数分别为0.752万元，0.76万元．（2）由题意可知，前4组分别应抽取3人，4人，5人，6人，在前2组所选取的人中，第一组的记为x ，y ，z ，第二组的记为a ，b ，c ，d ，所有情况有(),x y ，(),x z ，(),x a ，(),x b ，(),x c ，(),x d ，(),y z ，(),y a ，(),y b ，(),y c ，(),y d ，(),z a ，(),z b ，(),z c ，(),z d ，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共21种．其中这2人都是来自第二组的情况有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共6种，故这2人都是来自第二组的概率62217P ==．22．【答案】（1）13；（2）815．【解析】（1）事件“参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少”的情况有8点、10点两个时间点，一共有6个时间点，所以所求概率为2163==P ．（2）依题意，i i x y >有4个时间点，记为A ，B ，C ，D ；i i x y <有2个时间点，记为a ，b ；故从6个时间点中任取2个，所有的基本事件为()A B ，，()A C ，，()A D ，，()A a ，，()A b ，，()B C ，，()B D ，，()A B ，，()B b ，，()C D ，，()C a ，，()C b ，，()D a ，，()D b ，，()a b ，共15种，其中满足条件的为()A a ，，()A b ，，()A B ，，()B b ，，()C a ，，()C b ，，()D a ，，()D b ，共8种，故所求概率815P =．。

2019届新课标高考数学(文)一轮复习质量检测试题【1】及答案

质量检测(一)测试内容：集合常用逻辑用语与函数导数及应用时间：90分钟分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(2018·陕西卷)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M为( )A．[－1,1] B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：从函数定义域切入，∵1－x2≥0，∴－1≤x≤1，依据补集的运算知所求集合为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.答案：D2．(2018·福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆BD⇒/a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．答案：A3．(2018·山东烟台诊断)下列说法错误的是( )A．B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C．若p∧q为假D．解析：若p∧q为假答案：C4．(2018·西安长安区第一次质检)下列函数中，既是奇函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A．y＝m 1|x|B．y＝x3C．y＝2|x|D．y＝cos x解析：f(x)＝x3，f(－x)＝－x3＝－f(x)，∴f(x)＝x3为奇函数．且f(x)＝x3在R上单调递增，∴在(0，＋∞)上单调递增，故选B.答案：B5．若函数f(x)＝ax2＋(a2－1)x－3a为偶函数，其定义域为[4a＋2，a2＋1]，则f(x)的最小值为( ) A．3 B．0 C．2 D．－1解析：由f(x)为偶函数知a2－1＝0，即a＝±1，又其定义域需关于原点对称，即4a ＋2＋a 2＋1＝0必有a ＝－1. 这时f(x)＝－x 2＋3，其最小值为f(－2)＝f(2)＝－1. 故选D. 答案：D6．(2018·河北名校名师俱乐部二调)曲线y ＝12x 2＋x 在点(2,4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A ．1B ．2 C.43 D.23解析：y′＝x ＋1，所以切线在点(2,4)处的斜率为3，切线方程为y －4＝3(x －2)，令x ＝0，得y ＝－2，令y ＝0，得x ＝23，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×|－2|×23＝23.答案：D7．(2018·重庆卷)已知函数f(x)＝ax 3＋bsin x ＋4(a ，b ∈R)，f[lg(log 210)]＝5，则f[lg(lg 2)]＝( ) A ．－5 B ．－1 C ．3 D ．4解析：因为f[lg(log 210)]＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg2＝f[－lg(lg 2)]＝5，又f(x)＋f(－x)＝8，所以f[－lg(lg 2)]＋f[lg(lg 2)]＝8，所以f[lg(lg 2)]＝3，故选C.答案：C8．(2018·青岛市统一质检)已知函数f(x)对定义域R 内的任意x 都有f(x)＝f(4－x)，且当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x)，若2<a<4则( )A ．f(2a)<f(3)<f(log 2a) B ．f(3)<f(log 2a)<f(2a) C ．f(log 2a)<f(3)<f(2a ) D ．f(log 2a)<f(2a)<f(3)解析：由f(x)＝f(4－x)知函数f(x)关于x ＝2对称，x≠2时，有(x －2)f′(x)>0，∴x>2时f′(x)>0，x<2时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，2)上单调减，在(2，＋∞)上单调增，2<a<4时4<2a<16，klog 2a<2，∴log 2a<2<2a，知f(log 2a)<f(3)<f(2a)，选C.答案：C9．(2018·南平市质检)已知函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪e x ＋a e x ，(a ∈R ，e 是自然对数的底数)，在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[－1,0]C ．[－1,1]D ．(－∞，－e 2)∪[e 2，＋∞)解析：当a ＝1时，f(x)＝e x＋1exf′(x)＝e x－1e x ＝e x－1ex 在[0,1]上f′(x)≥0，所以f(x)在区间[0,1]上单调递增．a ＝－1时f(x)＝e x－1e很显然在区间[0,1]上单调递增，故选C.答案：C10．(2018·河北名校名师俱乐部二调)下图中，有一个是函数f(x)＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a≠0)的导函数f ′(x)的图象，则f(－1)等于( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或53 解析：∵f ′(x)＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)， ∴导函数f ′(x)的图象开口向上．又∵a≠0，∴其图象必为第(3)个图．由图象特征知f ′(0)＝0，且－a>0，∴a ＝－1， ∴f(x)＝13x 3－x 2＋1，故f(－1)＝－13－1＋1＝－13.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(2018·重庆市九校联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x>02x，x≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝－2，f(－2)＝14， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f(－2)＝14.答案：1412．f(x)＝xn 2－3n(n ∈Z)是偶函数，且y ＝f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝________.解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以n 2－3n<0，即0<n<3，又因为f(x)是偶函数，所以n 2－3n 是偶数，只有n ＝1或2满足条件．答案：1或213．(2018·山东菏泽模拟)设函数f(x)＝x m＋ax 的导函数f′(x)＝2x ＋1，则⎠⎛12f(－x)dx 的值等于________．解析：由于f(x)＝x m ＋ax 的导函数f′(x)＝2x ＋1，所以f(x)＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f(－x)dx ＝⎠⎛12(x 2－x)dx ＝(13x 3－12x 2)|21＝56.答案：5614．(2018·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．解析：如图，过A 作AH⊥BC 于H ，交DE 于F ，易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AF AH ⇒AF ＝x ⇒FH ＝40－x.则S ＝x(40－x)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4022，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号．所以满足题意的边长x 为20(m)．答案：20三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(满分12分)已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a≤0，若解：由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a)(x ＋a)＝0，∴x＝a 2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2. 又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a＝0或a ＝2. ∴当 ∴ ∵即a 的取值范围为{a|a>2或a<－2}．16．(满分12分)(2018·丰台区期末练习)已知函数f(x)＝(ax 2＋bx ＋c)e x(a>0)的导函数y ＝f ′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为－1，求f(x)的极大值．解：(1)f ′(x)＝(2ax ＋b)e x＋(ax 2＋bx ＋c)e x＝[ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c]e x. 令g(x)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c ， ∵e x>0，∴y＝f′(x)的零点就是g(x)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c 的零点，且f′(x)与g(x)符号相同．又∵a>0，∴当x<－3，或x>0时，g(x)>0，即f ′(x)>0，当－3<x<0时，g(x)<0，即f ′(x)<0，∴f(x)的单调增区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，单调减区间是(－3,0)． (2)由(1)知，x ＝0是f(x)的极小值点，所以有 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1，b ＋c ＝0，9a －＋＋b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝1，c ＝－1.所以函数的解析式为f(x)＝(x 2＋x －1)e x.又由(1)知，f(x)的单调增区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，单调减区间是(－3,0)．所以，函数f(x)的极大值为f(－3)＝(9－3－1)e －3＝5e3.17．(满分12分)2019年8月31日第十二届全运会在辽宁沈阳开幕，历时13天．某小商品公司以此为契机，开发了一种纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量得到提高，市场分析的结果表明：如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2，记改进工艺后，该公司销售纪念品的月平均利润是y 元．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使该公司销售该纪念品的月平均利润最大．解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x 2)件，则月平均利润为y ＝a(1－x 2)·[20(1＋x)－15]元，所以y 与x 的函数关系式为y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)． (2)由y′＝5a(4－2x －12x 2)＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍去)，所以当0<x<12时，y′>0；当12<x<1时，y′<0.所以函数y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)在x ＝12处取得最大值．故改进工艺后，纪念品的销售价为20×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝30元时，该公司销售该纪念品的月平均利润最大． 18．(满分14分)(2018·山西省第三次四校联考)已知函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a 的取值范围； (3)若对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1<x 2，且f(x 1)＋2x 1< f(x 2)＋2x 2恒成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－3x ＋ln x ，f(x)＝2x －3＋1x .因为f′(1)＝0，f(1)＝－2. 所以切线方程是y ＝－2.(2)函数f(x)＝2ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)．当a>0时，f′(x)＝2ax －(a ＋2)＋1x＝2ax 2－＋－1x(x>0)令f′(x)＝0，即f′(x)＝2ax 2－＋＋1x＝－－x＝0，所以x ＝12或x ＝1a.当0<1a ≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e]上单调递增，所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2；当1<1a <e 时，f(x)在[1，e]上的最小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f(1)＝－2，不合题意；当1a≥e 时，f(x)在(1，e)上单调递减，所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(e)<f(1)＝－2，不合题意． ∴综上a≥1.(3)设g(x)＝f(x)＋2x ，则g(x)＝ax 2－ax ＋ln x ，只要g(x)在(0，＋∞)上单调递增即可．而g′(x)＝2ax －a ＋1x ＝2ax 2－ax ＋1x当a ＝0时，g′(x)＝1x>0，此时g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≠0时，只需g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，因为x∈(0，＋∞)，只要2ax 2－ax ＋1≥0，则需要a>0，对于函数y ＝2ax 2－ax ＋1，过定点(0,1)，对称轴x ＝14>0，只需Δ＝a 2－8a≤0，即0<a≤8.综上0≤a≤8.。

2019年高考数学第一轮复习质量检测(一模)试卷

2019年高考第一轮复习质量检测2019年高考第一轮复习质量检测数学试题(文科)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足2z i i ⋅=-(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}}2230,03A x x x B x x A B =+-<=<<⋂=，则A ．(0，1)B ．(0，3)C ．(－1，1)D ．(－1，3) 3．设m 、n 是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，下列命题是真命题的是A ．若//,//,//m m αβαβ则B ．若//,//,//m m ααββ则C ．若,,m m αβαβ⊂⊥⊥则D ．若,,m m ααββ⊂⊥⊥则4．在区间[－1，1]上随机取一个数k ，使直线y =k (x +3)与圆x 2+y 2=1相交的概率为A ．12B ．13C D 5．执行如右图所示的程序框图，则输出的s 的值是A ．7B ．6C ．5D ．36．在△ABC 中，3,3AB AC AB AC AB AC +=-==，则CB CA ⋅的值为A ．3B ．3-C ．92-D ．927．某三棱锥的三视图如石图所示，其侧(左)视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于A． BCD．8．已知,x y 满足约束条件603,0x y x x y k -+≥⎧⎪≤⎨⎪++≥⎩且24z x y =+的最小值为2，则常数k 的值为A ．2B ．2-C ．6D ．39．将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后，得到()f x 的图象，则A ．()sin 2f x x =-B ．()f x 的图象关于3x π=-对称 C ．7132f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ D ．()f x 的图象关于,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 10．已知函数()3,0,0x f x ax b x +≥=+<⎪⎩满足条件：对于110,x R x ∀∈≠∃，且唯一的2x R ∈且12x x ≠，使得()()()()12.23f x f x f a f b ==当成立时，则实数a b +的值为B.C. 3+D. 3+ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。

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单元评估检测(七) 立体几何初步(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．中央电视台正大综艺以前有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为( )图1A2．(2017·衡阳模拟)如果一个几何体的三视图如图2所示，正视图与侧视图是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形(单位：cm)，则此几何体的侧面积是( )图2A．2 3 cm2B．4 3 cm2C．8 cm2D．14 cm2C3．若三棱锥的三视图如图3所示，则该三棱锥的体积为( )图3A．80 B．40C ．803D ．403D4．(2017·泉州模拟)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，以下命题正确的是( )A ．若l ∥α，α∥β，则l ∥βB ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥βC ．若l ⊥α，α⊥β，则l ∥βD ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥βD5．正四面体P ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．平面PDF ⊥平面ABC C ．DF ⊥平面PAED ．平面PAE ⊥平面ABC B6．(2017·武汉模拟)在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为( )【导学号：00090399】A ．34B ．32C ．334D ． 3B7．如图4，四面体ABCD 中，AB ＝DC ＝1，BD ＝2，AD ＝BC ＝3，二面角A BD C 的平面角的大小为60°，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角的余弦值是( )图4A ．13B ．33C ．63D ．223B8．如图5，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列结论错误的是( )图5A ．直线BD 1与直线B 1C 所成的角为π2B ．直线B 1C 与直线A 1C 1所成的角为π3C ．线段BD 1在平面AB 1C 内的投影是一个点 D ．线段BD 1恰被平面AB 1C 平分 D9．如图6，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 为线段CD 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在平面ABC 上的投影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成集合的长度为( )图6A ．32B ．233C ．π2D ．π3D10．(2017·九江模拟)棱长为43的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为( )【导学号：00090400】A ． 2B ．22 C ．24D ．26B11．(2017·南阳模拟)如图7是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )图7A ．6＋2π3B ．8＋π3C ．4＋2π3D ．4＋π3C12．下列命题中错误的是( )A ．如果α⊥β，那么α内一定有直线平行于平面βB ．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC ．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．半径为336π的球的体积与一个长、宽分别为6,4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为________． 8814．(2017·运城模拟)如图8，三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积为V 1，四棱锥A BCC 1B 1的体积为V 2，则V 1V 2＝________.图83215．如图9，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面是∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .图9a或2a16．(2017·菏泽模拟)如图10，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论：图10①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成角为60°.错误的有________．(把你认为错误的序号全部写上)④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2017·南昌模拟)如图11所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2 m，高为7 m，制造这个塔顶需要多少面积的铁板？图11制造这个塔顶需要8 2 m2的铁板．18．(12分)如图12，已知四棱锥PABCD，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M，N分别为PB，PC的中点．图12(1)证明：MN ∥平面PAD ．(2)若PA 与平面ABCD 所成的角为45°，求四棱锥P ABCD 的体积V . [解] (1)因为M ，N 分别是棱PB ，PC 的中点，所以MN ∥BC ，又四边形ABCD 是正方形，所以AD ∥BC ，于是MN ∥AD ．⎭⎪⎬⎪⎫MN ∥ADAD ⊂平面PAD MN ⊄平面PAD ⇒MN ∥平面PAD ． (2)由PD ⊥底面ABCD ，知PA 与平面ABCD 所成的角为∠PAD ，所以∠PAD ＝45°，在Rt △PAD 中，知PD ＝AD ＝2，故四棱锥P ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.19．(12分)如图13，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，CA ＝CB ，D ，E ，F 分别为AB ，A 1D ，A 1C 的中点，点G 在AA 1上，且A 1D ⊥EG .图13(1)求证：CD ∥平面EFG . (2)求证：A 1D ⊥平面EFG . 略20．(12分)(2016·全国卷Ⅲ)如图14，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．图14(1)证明MN ∥平面PAB ；(2)求四面体N BCM 的体积. 【导学号：00090401】 (1)略 (2)45321．(12分)(2017·新乡模拟)如图15①，在三角形PCD 中，AB 为其中位线，且2BD ＝PC ，若沿AB 将三角形PAB 折起，使∠PAD ＝θ，构成四棱锥P ABCD ，且PC PF ＝CD CE＝2，如图15②.(1)求证：平面BEF ⊥平面PAB ．(2)当异面直线BF 与PA 所成的角为60°时，求折起的角度θ.图15[解] (1)因为2BD ＝PC ，所以∠PDC ＝90°，因为AB ∥CD ，且PC PF ＝CDCE＝2，所以E 为CD 的中点，F 为PC 的中点，CD ＝2AB ，所以AB ∥DE 且AB ＝DE ，所以四边形ABED 为平行四边形，所以BE ∥AD ，BE ＝AD ，因为BA ⊥PA ，BA ⊥AD ，且PA ∩AD ＝A ，所以BA ⊥平面PAD ，因为AB ∥CD ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥PD 且CD ⊥AD ，又因为在平面PCD 中，EF ∥PD (三角形的中位线)，于是CD ⊥FE . 因为在平面ABCD 中，BE ∥AD ，于是CD ⊥BE ，因为FE ∩BE ＝E ，FE ⊂平面BEF ，BE ⊂平面BEF ，所以CD ⊥平面BEF ，又因为CD ∥AB ，AB 在平面PAB 内，所以平面BEF ⊥平面PAB ．(2)因为∠PAD ＝θ，取PD 的中点G ，连接FG ，AG ，所以FG ∥CD ，FG ＝12CD ，又AB ∥CD ，AB ＝12CD ，所以FG ∥AB ，FG ＝AB ，从而四边形ABFG 为平行四边形，所以BF ∥AG ，所以BF 与PA 所成的角即为AG 与PA 所成的角，即∠PAG ＝60°，因为PA ＝AD ，G 为PD 中点，所以AG ⊥PD ，∠APG ＝30°，所以∠PDA ＝30°，所以∠PAD ＝180°－30°－30°＝120°.故折起的角度为120°.22．(12分)正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB ＝AD ＝12CD ＝2，点M 在线段EC 上且不与E ，C 重合．图16(1)当点M 是EC 中点时，求证：BM ∥平面ADEF . (2)当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥M BDE 的体积． [解] (1)取ED 的中点N ，连接MN ，AN ，又因为点M 是EC 的中点，所以MN ∥DC ，MN ＝12DC ，而AB ∥DC ，AB ＝12DC ，所以MN 綊AB ，所以四边形ABMN 是平行四边形，所以BM ∥AN ，而BM ⊄平面ADEF ，AN ⊂平面ADEF ，所以BM ∥平面ADEF .(2)取CD 的中点O ，过点O 作OP ⊥DM ，连接BP ，BO ，因为AB ∥CD ，AB ＝12CD ＝2，所以四边形ABOD 是平行四边形，因为AD ⊥DC ，所以四边形ABOD 是矩形，所以BO ⊥CD ，因为正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，ED ⊥AD ，所以ED ⊥平面ADCB ，所以平面CDE ⊥平面ADCB ，所以BO ⊥平面CDE ，所以BP ⊥DM ，所以∠OPB 是平面BDM 与平面DCE (即平面ABF )所成锐二面角，因为cos ∠OPB ＝66，所以sin ∠OPB ＝306，所以OB BP ＝306，解得BP ＝2305. 所以OP ＝BP cos ∠OPB ＝255，所以sin ∠MDC ＝OP OD ＝55，而sin ∠ECD ＝225＝55，所以∠MDC ＝∠ECD ，所以DM ＝MC ，同理DM ＝EM ，所以M 为EC 的中点，所以S △DEM ＝12S △CDE ＝2，因为AD ⊥CD ，AD ⊥DE ，且DE 与CD 相交于点D ，所以AD ⊥平面CDE ，因为AB ∥CD ，所以三棱锥B DME 的高＝AD ＝2，所以V M BDE ＝V B DEM ＝13S △DEM ·AD ＝43.。