2019年高考数学一轮复习(文科)训练题：推理与证明
2019版高考数学(文科 课标版)一轮复习题组训练：第十四章推理与证明
第十四章 推理与证明题组1 合情推理与演绎推理1.[2016北京,8,5分][文]某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远(单位:米)1.961.921.821.81.781.761.741.721.681.630秒跳绳(单位:次)63a7560637270a-1b65在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( )A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛2.[2017北京,14,5分][文]某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(i)男学生人数多于女学生人数;(ii)女学生人数多于教师人数;(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 .②该小组人数的最小值为 .3.[2016山东,12,5分][文]观察下列等式:(sin )-2+(sin )-2=×1×2;π32π343(sin )-2+(sin )-2+(sin )-2+(sin )-2=×2×3;π52π53π54π543(sin )-2+(sin )-2+(sin )-2+…+(sin )-2=×3×4;π72π73π76π743(sin )-2+(sin )-2+(sin )-2+…+(sin )-2=×4×5;π92π93π98π943……照此规律,(sin )-2+(sin )-2+(sin )-2+…+(sin )-2= .π2n +12π2n +13π2n +12nπ2n +14.[2015陕西,16,5分][文]观察下列等式1-=12121-+-=+12131413141-+-+-=++1213141516141516……据此规律,第n 个等式可为 .5.[2014新课标全国Ⅰ,14,5分][文]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C 三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市;乙说:我没去过C 城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 .6.[2014福建,15,4分]若集合{a ,b ,c ,d }={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b ≠1;③c=2;④d ≠4有且只有一个是正确的, 则符合条件的有序数组(a ,b ,c ,d )的个数是 .7.[2014安徽,12,5分][文]如图14-1,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2.过点A 作BC 2的垂线,垂足为A 1;过点A 1作AC 的垂线,垂足为A 2;过点A 2作A 1C 的垂线,垂足为A 3;…,依此类推.设BA=a 1,AA 1=a 2,A 1A 2=a 3,…,A 5A 6=a 7,则a 7= .图14-18.[2014陕西,14,5分][文]已知f (x )=,x ≥0,若f 1(x )=f (x ), f n+1(x )=f (f n (x )),n ∈N +,则f 2 014(x )的表x1+x 达式为 .9.[2013湖北,17,5分][文]在平面直角坐标系中,若点P (x ,y )的坐标x ,y 均为整数,则称点P 为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S ,其内部的格点数记为N ,边界上的格点数记为L.例如图14-2中△ABC 是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.图14-2(Ⅰ)图中格点四边形DEFG 对应的S ,N ,L 分别是 ;(Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c ,其中a ,b ,c 为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S= (用数值作答). 题组2 直接证明与间接证明10.[2017北京,20,13分]设{a n }和{b n }是两个等差数列,记c n =max{b 1-a 1n ,b 2-a 2n ,…,b n -a n n }(n=1,2,3,…),其中max{x 1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数.(Ⅰ)若a n =n ,b n =2n-1,求c 1,c 2,c 3的值,并证明{c n }是等差数列;(Ⅱ)证明:或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n ≥m 时,>M ;或者存在正整数m ,使得c nn c m ,c m+1,c m+2,…是等差数列.11.[2016浙江,20,15分][文]设函数f (x )=x 3+,x ∈[0,1].证明:11+x (Ⅰ)f (x )≥1-x+x 2;(Ⅱ)<f (x )≤.343212.[2013北京,20,13分]已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列.该数列前n 项的最大值记为A n ,第n 项之后各项a n+1,a n+2,…的最小值记为B n ,d n =A n -B n .(Ⅰ)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *,a n+4=a n ),写出d 1,d 2,d 3,d 4的值;(Ⅱ)设d 是非负整数.证明:d n =-d (n=1,2,3,…)的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列;(Ⅲ)证明:若a 1=2,d n =1(n=1,2,3,…),则{a n }的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.A 组基础题1.[2018郑州一中高三入学测试,12]数学上称函数y=kx+b (k ,b ∈R,k ≠0)为线性函数.对于非线性可导函数f (x ),在点x 0附近一点x 的函数值f (x ),可以用如下方法求其近似代替值:f (x )≈f (x 0)+f '(x 0)(x-x 0).利用这一方法,m=的近似代替值( )4.001A.大于m B.小于m C.等于mD.与m 的大小关系无法确定2.[2018吉林百校联盟联考,5]甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后,甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是( )A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了3.[2017南昌市三模,4]已知13+23=()2,13+23+33=()2,13+23+33 +43=()2,…,若6212220213+23+33+43+…+n 3=3 025,则n=( )A.8B.9C.10D.114.[2017长春市高三第二次质量监测,14] 将1,2,3,4,…这样的正整数按如图14-3所示的方式排成三角形数组,则第10行左数第10个数为 .图14-35.[2017甘肃兰州高考实战模拟,14]观察下列式子:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…,由以上可推测出一个一般性结论:对于n∈N*,则1+2+…+n+…+2+1= .6.[2017郑州市高三第三次质量预测,13][数学文化题]中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放有纵横两种形式,如下表:表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位用横式表示,以此类推,例如6 613用算筹表示就是,则5 288用算筹可表示为 .B组提升题7.[2017长沙市五月模拟,7]某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步,每52秒跑完一圈,在学生A开始跑步时,在教室内有一个学生B,往操场看了一次,以后每50秒他都往操场看一次,则该学生B“感觉”到学生A的运动是( )A.逆时针方向匀速前跑B.顺时针方向匀速前跑C.顺时针方向匀速后退D.静止不动8.[2017沈阳市高三三模,9][数学文化题]“杨辉三角”又称“贾宪三角”,是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算,而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了贾宪三角形数表,并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数是( )2 017 2 016 2 015 2 014……6 5 4 3 2 1 4 033 4 031 4 029……………11 9 7 5 3 8 064 8 060……………………20 16 12 8 16 124 …………………………36 28 20 …………………………A.2 017×22 016B.2 018×22 015C.2 017×22 015D.2 018×22 0169.[2018山东省东明一中模拟,15]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为,记第n 个k 边形数为N (n ,k )(k ≥3),以下列出了部分n 2+n2k 边形数中第n 个数的表达式:三角形数: N (n ,3)=n 2+n ;正方形数: N (n ,4)=n 2;五边形数: N (n ,5)=n 2-n ;六边形数: N (n ,6)12123212=2n 2-n ,…,由此推测N (8,8)= .10.[2017长春市高三第四次质量监测,16]有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师,期间他们做了一个游戏,张老师的生日是m 月n 日,张老师把m 告诉了甲,把n 告诉了乙,然后张老师列出来如下10个日期供选择:2月5日,2月7日,2月9日,5月5日,5月8日,8月4日,8月7日,9月4日,9月6日,9月9日.看完日期后,甲说:“我不知道,但你一定也不知道.”乙听了甲的话后,说:“本来我不知道,但现在我知道了.”甲接着说:“哦,现在我也知道了.”请问,张老师的生日是 .答案1.B 由数据可知,进入立定跳远决赛的8人为1~8号,所以进入30秒跳绳决赛的6人从1~8号里产生.数据排序后可知3号,6号,7号必定进入30秒跳绳决赛,则得分为63,a ,60,63,a-1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛.若1号,5号学生未进入30秒跳绳决赛,则4号学生就会进入决赛,与事实矛盾,所以1号,5号学生必进入30秒跳绳决赛.故选B .2.6 12 令男学生、女学生、教师人数分别为x ,y ,z ,且x>y>z ,①若教师人数为4,则4<y<x<8,当x=7时,y 取得最大值6.②当z=1时,1=z<y<x<2,不满足条件;当z=2时,2=z<y<x<4,不满足条件;当z=3时,3=z<y<x<6,y=4,x=5,满足条件.所以该小组人数的最小值为3+4+5=12.3.n (n+1) 根据已知,归纳可得结果为n (n+1).43434.1-+-+…+-=++…+ 观察所给等式的左右两边可以归纳出1-+-+…+12131412n -112n 1n +11n +212n 121314-=++…+.12n -112n 1n +11n +212n 5.A 根据甲和丙的回答推测乙没去过B 城市,又知乙没去过C 城市,故乙去过A 城市.6.6 因为①正确,②也正确,所以只有①正确是不可能的;若只有②正确,①③④都不正确,则符合条件的有序数组为(2,3,1,4),(3,2,1,4);若只有③正确,①②④都不正确,则符合条件的有序数组为(3,1,2,4);若只有④正确,①②③都不正确,则符合条件的有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上,符合条件的有序数组的个数是6.7. 解法一 直接递推归纳:等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2,所以142AB=AC=a 1=2,AA 1=a 2=,A 1A 2=a 3=1,…,A 5A 6=a 7=a 1×()6=.22214解法二 求通项:等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2,所以2AB=AC=a 1=2,AA 1=a 2=,…,A n-1A n =a n+1=sin ·a n =a n =2×()n ,故a 7=2×()6=.2π4222222148. 由f 1(x )=⇒f 2(x )=f ()==;又可得f 3(x )=f (f 2(x ))==,故可猜x1+2 014x x 1+x x 1+x x 1+x1+x 1+x x 1+2x x 1+2x1+x1+2x x1+3x 想f 2 014(x )=.x1+2 014x 9.(Ⅰ)3,1,6 由定义知,四边形DEFG 由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成,其内部格点有1个,边界上格点有6个,S 四边形DEFG =3.(Ⅱ)79 由待定系数法可得⇒,{12=a ·0+b ·3+c ,1=a ·0+b ·4+c ,3=a ·1+b ·6+c {a =1,b =12c =-1,故当N=71,L=18时,S=1×71+×18-1=79.1210.(Ⅰ)c 1=b 1-a 1=1-1=0,c 2=max{b 1-2a 1,b 2-2a 2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,c 3=max{b 1-3a 1,b 2-3a 2,b 3-3a 3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=-2.当n ≥3时,(b k+1-na k+1)-(b k -na k )=(b k+1-b k )-n (a k+1-a k )=2-n<0,所以b k -na k 关于k ∈N *单调递减.所以c n =max{b 1-a 1n ,b 2-a 2n ,…,b n -a n n }=b 1-a 1n=1-n.所以对任意n ≥1,c n =1-n ,于是c n+1-c n =-1,所以{c n }是等差数列.(Ⅱ)设数列{a n }和{b n }的公差分别为d 1,d 2,则b k -na k =b 1+(k-1)d 2-[a 1+(k-1)d 1]n =b 1-a 1n+(d 2-nd 1)(k-1).所以c n ={b 1-a 1n +(n -1)(d 2-nd 1),当d 2>nd 1时,b 1-a 1n ,当d 2≤nd 1时.①当d 1>0时,取正整数m>,则当n ≥m 时,nd 1>d 2,因此c n =b 1-a 1n.d 2d 1此时,c m ,c m+1,c m+2,…是等差数列.②当d 1=0时,对任意n ≥1,c n =b 1-a 1n+(n-1)max{d 2,0}=b 1-a 1+(n-1)(max{d 2,0}-a 1).此时,c 1,c 2,c 3,…,c n ,…是等差数列.③当d 1<0时,当n>时,有nd 1<d 2.d 2d 1所以=c n n b 1-a 1n +(n -1)(d 2-nd 1)n=n (-d 1)+d 1-a 1+d 2+b 1-d 2n≥n (-d 1)+d 1-a 1+d 2-|b 1-d 2|.对任意正数M ,取正整数m>max{,},M +|b 1-d 2|+a 1-d 1-d 2-d 1d 2d 1故当n ≥m 时,>M.c nn 11.(Ⅰ)因为1-x+x 2-x 3==,x ∈[0,1],所以≤,即1-x+x 2-x 3≤,1-(-x )41-(-x )1-x 41+x 1-x 41+x 1x +11x +1所以f (x )≥1-x+x 2.(Ⅱ)由0≤x ≤1得x 3≤x ,故f (x )=x 3+≤x+=x+-+=+≤,1x +11x +11x +13232(x -1)(2x +1)2(x +1)3232所以f (x )≤.32由(Ⅰ)得f (x )≥1-x+x 2=(x-)2+≥.123434因为f ()=>,所以f (x )>.1219243434综上,<f (x )≤.343212.(Ⅰ)d 1=d 2=1,d 3=d 4=3.(Ⅱ)(充分性)因为{a n }是公差为d 的等差数列,且d ≥0,所以a 1≤a 2≤…≤a n ≤…,因此A n =a n ,B n =a n+1,d n =a n -a n+1=-d (n=1,2,3,…).(必要性)因为d n =-d ≤0(n=1,2,3,…),所以A n =B n +d n ≤B n ,又a n ≤A n ,a n+1≥B n ,所以a n ≤a n+1,于是,A n =a n ,B n =a n+1,因此a n+1-a n =B n -A n =-d n =d ,即{a n }是公差为d 的等差数列.(Ⅲ)因为a 1=2,d 1=1,所以A 1=a 1=2,B 1=A 1-d 1=1.故对任意n ≥1,a n ≥B 1=1.假设{a n }(n ≥2)中存在大于2的项.设m 为满足a m >2的最小正整数,则m ≥2,并且对任意1≤k<m ,a k ≤2.又a 1=2,所以A m-1=2,且A m =a m >2.于是,B m =A m -d m >2-1=1,B m-1=min{a m ,B m }≥2.故d m-1=A m-1-B m-1≤2-2=0,与d m-1=1矛盾.所以对于任意n ≥1,有a n ≤2,即非负整数列{a n }的各项只能为1或2.因为对任意n ≥1,a n ≤2=a 1,所以A n =2.故B n =A n -d n =2-1=1.因此对于任意正整数n ,存在m 满足m>n ,且a m =1,即数列{a n }有无穷多项为1.A 组基础题1.A 依题意,取f (x )=,则f '(x )=,则≈+(x-x 0).令x=4.001,x 0=4,则x 12x x x012x 0≈2+×0.001,注意到(2+×0.001)2=4+0.001+(×0.001)2>4.001,即m=的近似代4.0011414144.001替值大于m ,故选A .2.C 若乙的说法错误,则甲、丙的说法都正确,而两人的说法互相矛盾,据此可得,乙的说法是正确的,即甲被录用了.故选C .3.C 13+23=()2=()2,622×3213+23+33=()2=()2,1223×4213+23+33+43=()2=()2,2024×52…由此归纳可得13+23+33+43+…+n 3=[]2,n (n +1)2因为13+23+33+43+…+n 3=3 025,所以[]2=3 025,所以n 2(n+1)2=(2×55)2,所以n=10,故选n (n +1)2C .4.91 由三角形数组可推断出,第n 行共有2n-1个数,且最后一个数为n 2,所以第10行共19个数,最后一个数为100,左数第10个数是91.5.n 2 由1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42,…,归纳猜想可得1+2+…+n+…+2+1=n 2.6. 根据题意知,5 288用算筹表示,从左到右依次是横式的5,纵式的2,横式的8,纵式的8,即.B 组提升题7.C 令操场的周长为C ,则学生B 每隔50秒看一次,学生A 都距上一次学生B 观察的位置(弧长),并在上一次位置的后面,故学生B “感觉”到学生A 的运动是顺时针方向匀速后退的.C 268.B 从给出的数表可以看出,该数表每行都是等差数列,其中第一行从右到左是公差为1的等差数列,第二行从右到左的公差为2,第三行从右到左的公差为4,…,即第n 行从右到左的公差为2n-1,而从右向左看,每行的第一个数分别为1=2×2-1,3=3×20,8=4×21,20=5×22,48=6×23,…,所以第n 行的第一个数为(n+1)×2n-2.显然第2 017行只有一个数,其值为(2 017+1)×22 017-2=2 018×22 015.故选B .9.176 由题意可得,三角形数:N=(n ,3)=n 2+n ;1212正方形数:N=(n ,4)=n 2+0n ;22五边形数:N=(n ,5)=n 2-n ;3212六边形数:N (n ,6)=n 2-n ;4222……由此归纳可得N (n ,k )=n 2+n ,k -224-k 2故N (8,8)=×82-×8=176.624210.8月4日 根据甲说的“我不知道,但你一定也不知道”,可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日;根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道,但现在我知道了”,可排除2月7日、8月7日;根据甲接着说的“哦,现在我也知道了”,可以得知张老师生日为8月4日.。
2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第11章复数、算法、推理与证明第1讲(含答案解析)
[学生用书P283(单独成册)]一、选择题1．已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( )A ．5－5iB ．7－5iC ．5＋5iD ．7＋5i解析：选C ．(2＋i)(3＋i)＝6＋5i ＋i 2＝5＋5i ，故选C ．2．设i 是虚数单位，若复数a ＋5i 1－2i(a ∈R )是纯虚数，则a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2解析：选D ．因为a ＋5i 1－2i ＝a ＋5i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝a ＋－10＋5i 5＝a －2＋i 是纯虚数，所以a ＝2．故选D ． 3．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数2z＋z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A ．因为z ＝1＋i ，所以2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＋1＋2i ＋i 2＝2（1－i ）2＋2i ＝1＋i ，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故选A ．4．(2018·福建基地综合测试)已知x 1＋i＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( ) A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i 解析：选D ．x 1＋i ＝12(x －x i)＝1－y i ，所以⎩⎨⎧12x ＝1，－12x ＝－y ，解得x ＝2，y ＝1，所以x ＋y i ＝2＋i ，其共轭复数为2－i 故选D ．5．(2018·安徽江南十校联考)若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( )A ．2－12B ．2－1C ．1D ．2＋12解析：选A ．由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2－12＋2＋12i ，故z 的实部为2－12，故选A ．6．已知⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝( )A ．－7B ．7C ．－4D ．4解析：选A ．因为⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝1＋4i ＋4i 2＝－3－4i ， 所以－3－4i ＝a ＋b i ，则a ＝－3，b ＝－4，所以a ＋b ＝－7，故选A ．二、填空题 7．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于________．解析：因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ，又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝－34． 答案：－348．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝⎛⎭⎫z ＋1z ·z －＝________． 解析：因为z ＝1＋2i ，所以z ＝1－2i ．所以⎝⎛⎭⎫z ＋1z ·z －＝z ·z －＋1＝5＋1＝6． 答案：69．已知复数z 满足z ＋2z －2＝i(其中i 是虚数单位)，则|z |＝________． 解析：由z ＋2z －2＝i 知，z ＋2＝z i －2i ，即z ＝－2－2i 1－i ，所以|z |＝|－2－2i||1－i|＝222＝2． 答案：210．已知复数z ＝4＋2i （1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则实数m ＝________． 解析：z ＝4＋2i （1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i 2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5． 答案：－5三、解答题11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →、BC →所表示的复数；(2)对角线CA →所表示的复数；(3)B 点对应的复数．解：(1)AO →＝－OA →，所以AO →所表示的复数为－3－2i ．因为BC →＝AO →，所以BC →所表示的复数为－3－2i ．(2)CA →＝OA →－OC →，所以CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i ． (3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，所以OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i ．12．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数； ②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由． 解：这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i ．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ＋b i ＋5（a －b i ）a 2＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5b a 2＋b 2i ． 因为z ＋5z 是实数，所以b －5b a 2＋b 2＝0． 又因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝5．①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数，所以a ＋3＋b ＝0．②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1， 故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i ．。
2019年高考数学(文)：专题04-算法、推理证明(命题猜想,含答案)
【考向解读】1.以客观题形式考查算法的基本逻辑结构，会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题．2.以客观题形式考查复数的运算、复数的相等、共轭复数和复数及其代数运算的几何意义，与其他知识较少结合，应注意和三角函数结合的练习．3.推理与证明在选择、填空、解答题中都有体现，但很少单独命题，若单独命题，一般以客观题形式考查归纳与类比．4.通常是以数列、三角、函数、解析几何、立体几何等知识为载体，考查对推理与证明的掌握情况，把推理思路的探求、推理过程的严谨，推理方法的合理作为考查重点．【命题热点突破一】程序框图例1、（2018年北京卷）执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立； 第二次：成立， 循环结束，输出，故选B. 【变式探究】(1)观察下列各式：C 01＝40；C 03＋C 13＝41；C 05＋C 15＋C 25＝42；C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________．(2)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法可以求出过点A(－2，3)，且法向量为n ＝(－1，2)的直线方程为(－1)×(x ＋2)＋2×(y －3)＝0，化简得x －2y ＋8＝0.类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n ＝(－1，2，－3)的平面的方程为________．【答案】（1）4n －1 （2）x －2y ＋3z －6＝0【感悟提升】由特殊结论得出一般结论的推理是归纳推理，归纳出的一般性结论要包含已知的特殊结论；根据已有结论推断相似对象具有相应结论的推理就是类比推理．归纳和类比得出的结论未必正确，其正确性需要通过演绎推理进行证明．合情推理和演绎推理在解决数学问题中是相辅相成的．【变式探究】已知cos π3＝12，cos π5c os 2π5＝14，cos π7cos 2π7·cos 3π7＝18，……根据以上等式，可猜想的一般结论是________________．【答案】cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n （n ∈N *）【解析】从已知等式的左边来看，3，5，7，…是通项为2n＋1的等差数列，等式的右边是通项为12n的等比数列.由以上分析可以猜想出一般结论为cos π2n＋1cos 2π2n＋1…cos nπ2n＋1＝12n（n∈N*）.4. （2018年天津卷）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B1. 【2017山东，文6】执行右侧的程序框图,当输入的x值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为A.3x >B.4x >C.4x ≤D.5x ≤【答案】B【解析】由题意得4x = 时判断框中的条件应为不满足，所以选B.【考点】程序框图2.【2017课标1，文10】如图是为了求出满足的最小偶数nA ．A >1000和n =n +1B ．A >1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +2【答案】D3.【2017课标3，文8】执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】若2N =,第一次进入循环，12≤成立，，2i =2≤成立，第二次进入循环，此时，3i =2≤不成立，所以输出9091S =<成立，所以输入的正整数N 的最小值是2，故选D. 7.【2017北京，文14】某学习小组由学生和【答案】C4．(2015·新课标全国Ⅱ，8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．14【答案】B5．(2015·山东，13)执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为________.【解析】当n ＝1时，T ＝1＋⎠⎛01x 1d x ＝1＋21102x ＝1＋12＝32； 当n ＝2时，T ＝32＋⎠⎛01x 2d x ＝32＋31103x ＝32＋13＝116； 当n ＝3时，结束循环，输出T ＝116.【答案】116。
2019年高考数学文科复习第十二章 推理与证明
理进行的,只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确
的,其结论一定是正确的,一定要注意推理过程的正确性与完备性.
例1 (2017河南郑州二模,6)平面内凸四边形有2条对角线,凸五边形有5 条对角线,以此类推,凸13边形对角线的条数为 ( B ) A.42 C.143 解题导引 B.65 D.169
综合法又叫顺推证法,或者由因导果法,是数学中最常用的证明方法. 2.分析法.在证明过程中,从结论出发的每一步所得到的判断都是结论成 立的充分条件,最后一步归结到已知或已被证明了的事实,这个倒推的
证明方法就是分析法.
例2 (2016浙江,20,15分)设函数f(x)=x3+ ,x∈[0,1].证明:
1 1 x
(1)f(x)≥1-x+x2;
(2) < f (x )≤ .
3 4 3 2
证明
1 ( x) 4 1 x 4 (1)因为1-x+x -x = = , 1 ( x) 1 x
2 3
1 x4 1 1 由于x∈[0,1],有 ≤ ,即1-x+x2-x3≤ , 1 x x 1 x 1
题设矛盾(或与已知的定义、公理或定理相矛盾,或自相矛盾),得出原结
论的反面不正确,从而肯定原结论是正确的,这种间接证明的方法叫做 反证法.
方法 1合情推理与演绎推理
方法技巧
1.归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理,在进行归纳时,要先 根据已知的部分个体,把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳 出一般结论. 2.类比推理是由特殊到特殊的推理,是两类类似对象之间的推理,其中一 个对象具有某个性质,则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时, 要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后类比推导类比对象的性质. 3.演绎推理是由一般到特殊的推理,数学的证明过程主要是通过演绎推
2019版高考数学文科一轮复习：第十三章 推理与证明
a
b
c
d
e
f
2019/8/12
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任意改变A的行次序或列次序,或把A中的每个数换成它的相反数,所得数表A*仍满足性质P,并 且k(A)=k(A*). 因此,不妨设r1(A)≥0,c1(A)≥0,c2(A)≥0. 由k(A)的定义知,k(A)≤r1(A),k(A)≤c1(A),k(A)≤c2(A). 从而3k(A)≤r1(A)+c1(A)+c2(A) =(a+b+c)+(a+d)+(b+e) =(a+b+c+d+e+f)+(a+b-f) =a+b-f≤3. 所以k(A)≤1. 由(2)知,存在满足性质P的数表A使k(A)=1.故k(A)的最大值为1.
2019/8/12
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3
思路分析 本题较易得出9号和10号学生首先会被淘汰,难点为在1~8号学生中淘汰2名学生. 可将1~8号学生中已知的30秒跳绳成绩由大到小排列:75,72,70,63,63,60.接下来将两个连续数 字a,a-1捆绑起来整体插空即可.若要只有6人同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛,则插空 的情况只有2种:75,72,70,63,63,a,a-1,60或75,72,70,63,63,60,a,a-1.
①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为
;
②该小组人数的最小值为
.
答案 ①6 ②12
x y,
解析
设男学生人数为x,女学生人数为y,教师人数为z,由已知得
2019版高考文科数学大一轮复习人教A版第十二章 推理与证明、算法、复数12.1 Word版含答案
§ 合情推理与演绎推理最新考纲考情考向分析.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用..了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理. .了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题．注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查，属于中、高档题.．合情推理()归纳推理 ①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)． ②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．()类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：由特殊到特殊的推理．()合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．．演绎推理()演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．()“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)()由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)()在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)()“所有的倍数都是的倍数，某数是的倍数，则一定是的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)()一个数列的前三项是，那么这个数列的通项公式是＝(∈*)．(×)()在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)题组二教材改编。
2019年高考数学一轮复习专题10.4推理与证明练
专题10.4 推理与证明1.若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系.【答案】P<Q2.给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0a＝c”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2 a＝c，b＝d”；③“a，b∈R，则a－b＞0a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0a＞b”；④“若x∈R，则|x|＜1－1＜x＜1”类比推出“若z∈C，则|z|＜1－1＜z＜1”．其中类比结论正确的个数为.【答案】2【解析】类比结论正确的有①②.3.请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足，那么.证明：构造函数，因为对一切实数x，恒有，所以，从而得，所以.根据上述证明方法，若n个正实数满足时，你能得到的结论为.（不必证明）【答案】【解析】构造因为恒成立，∴，即，∴，即.4.已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：；已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为____________．这个数列的前项和的计算公式为_____________________________________．【解析】在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；；5.由中可猜想出的第个等式是_____________6.设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是____________．【答案】③【解析】 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1， 但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b >2，则a ， b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.7.已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x2＋1的图像上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图像上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为__________．【答案】c n ＞c n ＋1。
2019年高三文科数学一轮单元卷：第二十二单元 算法初步、推理与证明、复数 A卷 含答案
， ， ，是．
输出
．故选C．
7．【答案】B
【解析】当 ， 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后， ， ；
当 ， 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后， ， ；
当 ， 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后， ， ；
当 ， 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后， ， ；
当 ， 时，满足退出循环的条件，
A．甲B．乙C．丙D．丁
11．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了 ， ， ， 四件奖品（每扇门里仅放一件）．甲同学说：1号门里是 ，3号门里是 ；乙同学说：2号门里是 ，3号门里是 ；丙同学说：4号门里是 ，2号门里是 ；丁同学说：4号门里是 ，3号门里是 ．如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（）
【解析】（1） ．
（2）当 时， ， ；
当 时， ， ，
所以 或3．
20．【答案】（1） ， ；（2） ．
【解析】（1）当输入的 的值为 时，输出的 ；
当输入的 的值为2时，输出的 ．
（2）根据程序框图，可得 ，
当 时， ，此时 单调递增，且 ；
当 时， ；
当 时， 在 上单调递减，
在 单调递增，且 ．
17．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1） ，
若 ，则 ，所以 ， ．
（2）若 在复平面内对应的点位于第一象限，则 且 ，
解得 ，即 的取值范围为 ．
18．【答案】（1） ；（2） 或 ．
【解析】（1）由 是纯虚数得 ，
即 ，所以 ．
（2）根据题意得 ，由此得 ，
即 或 ．
19．【答案】（1） ；（2） 或3．
∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；
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推理与证明
一、选择题
1．要证明3＋7<25可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )
A ．综合法
B ．分析法
C ．反证法
D ．归纳法
答案：B
解析：综合法由已知条件入手开始证明，分析法从所求的结论入手寻找使其成立的条件，反证法适合证明含有“存在”“唯一”等字眼的题目，归纳法适合证明与正整数有关的题目．结合以上特点，本题的证明适合采用分析法．
2．(2018·洛阳一模)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )
A ．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无理数，结论——π是无限不循环小数
B ．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无限不循环小数，结论——π是无理数
C ．大前提——π是无限不循环小数，小前提——无限不循环小数是无理数，结论——π是无理数
D ．大前提——π是无限不循环小数，小前提——π是无理数，结论——无限不循环小数是无理数
答案：B
解析：A 中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A 错误；C 、D 都不是由一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，所以C 、D 都不正确，只有B 正确，故选B.
3．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1
<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )
A ．1＋12<2
B ．1＋12＋13<2
C ．1＋12＋13<3
D ．1＋12＋13＋14<3
答案：B
解析：本题考查数学归纳法．依题意得，当n ＝2时，不等式为1＋12＋13<2，故选B.
4．(2017·新课标全国卷Ⅱ，7)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )
A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩
答案：D
解析：由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．
故选D.
5．(2018·山东菏泽模拟)设m ，n ，t 都是正数，则m ＋4n ，n ＋4t ，
t ＋4m 三个数( )
A ．都大于4
B ．都小于4
C ．至少有一个大于4
D ．至少有一个不小于4
答案：D
解析：依题意，令m ＝n ＝t ＝2，则三个数为4,4,4，排除A ，B ，C 选项，故选D.
6．用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a 是实数，所以a 的绝对值大于0”，你认为这个推理( )
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．是正确的
答案：A
解析：大前提是任何实数的绝对值大于0，显然是不正确的．故选A.
7．(2018·合肥一模)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数
a ，
b ，
c 中恰有一个是偶数”的正确假设为( )
A ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数
B ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数
C ．自然数a ，b ，c 都是奇数
D ．自然数a ，b ，c 都是偶数
答案：B
解析：“自然数a ，b ，c 中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数，其否定是“自然数a ，b ，c 均为奇数或自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数”．
8．(2018·大同质检)分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”，则索的因应是( )
A ．a －b >0
B ．a －c >0
C ．(a －b )(a －c )>0
D ．(a －b )(a －c )<0
答案：C
解析：要证 b 2－ac <3a ，需证b 2－ac <3a 2，因为a ＋b ＋c ＝0，所以即证(a ＋c )2－ac <3a 2，即证a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0，即证－2a 2＋ac ＋c 2<0，即证2a 2－ac －c 2>0，即证(2a ＋c )(a －c )>0，即证(a －c )(a －b )>0.故选C.
二、填空题
9．(2018·河北唐山一中调研)用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边应增加的代数式为________．
答案：2(2k ＋1)
解析：首先写出当n ＝k 时和n ＝k ＋1时等式左边的式子．
当n ＝k 时，左边等于(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝(k ＋1)(k ＋2)…(2k )，①
当n ＝k ＋1时，左边等于(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，②
∴从n ＝k 到n ＝k ＋1的证明，左边需增加的代数式是由②①
得到(2k ＋1)(2k ＋2)(k ＋1)
＝2(2k ＋1)． 10．(2018·山东日照一模)有下列各式：1＋12＋13>1,1＋12＋…＋
17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：________.
答案：1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1
>n ＋12(n ∈N *)
解析：观察各式左边为1n 的和的形式，项数分别为3,7,15，…，
∴可猜想第n 个式子中左边应有2n ＋1－1项，不等式右边分别写成22，
32，42，…，∴猜想第n 个式子中右边应为n ＋12，按此规律可猜想此类
不等式的一般形式为：1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1
>n ＋12(n ∈N *)． 11．(2018·长沙二模)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC
的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2
＝14.推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积
为V 2，则V 1V 2
＝________. 答案：127
解析：由平面图形类比空间图形，由二维类比三维，如图，设正
四面体P －ABC 的棱长为a ，E 为等边三角形ABC 的中心，O 为内切
球与外接球的球心，则AE ＝33a ，PE ＝63a .设OA ＝R ，OE ＝r ，则r ＝63a －R ，又在Rt △AOE 中，OA 2＝OE 2＋AE 2，即R 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫63a －R 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫33a 2，∴R ＝64a ，r ＝612a ，∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是，故正四面体P －ABC 的内切球体积V 1与外接球体积V 2
之比等于1，即V 1V 2
＝127. 三、解答题
12．(2018·安徽合肥测试)给出四个等式：
1＝1；
1－4＝－(1＋2)；
1－4＋9＝1＋2＋3；
1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)；
……
(1)写出第5,6个等式，并猜测第n (n ∈N *)个等式；
(2)用数学归纳法证明你猜测的等式．
解析：(1)第5个等式：1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5； 第6个等式：1－4＋9－16＋25－36＝－(1＋2＋3＋4＋5＋6)； 猜测第n (n ∈N *)个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1n 2＝(－
1)n －1(1＋2＋3＋…＋n )．
(2)证明：①当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×1×(1＋1)2
＝1，
左边＝右边，等式成立；
②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即
12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1k (k ＋1)2，
则当n ＝k ＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2
＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k (k ＋1)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤(k ＋1)－k 2＝(－1)k (k ＋1)[(k ＋1)＋1]2， ∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．
根据①②可知，对于任何n ∈N *等式均成立．。