双曲线的标准方程和几何性质

点且过点 ( −2,
2
2
10)的双曲线方程. 的双曲线方程
一炮弹在某处爆炸,在 处听到爆炸的 例2: 一炮弹在某处爆炸 在A处听到爆炸的 声音的时间比在B处晚 处晚2s. 声音的时间比在 处晚 (1)爆炸点应在什么样的曲线上 爆炸点应在什么样的曲线上? 爆炸点应在什么样的曲线上 (2)已知 、B两地相距 已知A、 两地相距 两地相距800m，并且此时声 已知 ， 速为340m/s，求曲线的方程。 速为 ，求曲线的方程。
x2 y 2 + =1 25 9
与双曲线
=15的焦点相同 的焦点相同. x2-15y2=15的焦点相同. 变式: 变式: 上题的椭圆与双曲线的一个交点为P 上题的椭圆与双曲线的一个交点为P， 焦点为F 焦点为F1,F2,求|PF1|.
x y + = 1 有共同焦 练习:求与椭圆 练习 求与椭圆 16 25
m < −1 或 m > 2 范围_________________. 范围_________________.
变式二: 变式二:
上述方程表示焦点在y轴的双曲线时， 上述方程表示焦点在y轴的双曲线时，求m 的范围和焦点坐标。 的范围和焦点坐标。 m>2 F (0 , ± 2m −1)
练习2 练习2:证明椭圆
2 2
2 2
x2 y2 − = −1 49 25
8 2
4
6 18 |x|≥3 (±3,0)
4 4 |y|≥2 (0,±2)
10 14 |y|≥5 (0,±5)
|x|≥ 4 2
(± 4
e=
2 ,0
)
(± 6,0)
3 2 2
(± 3
10 ,0
)
(0,±2 2 )
e= 2
y = ±x
(0,±
e =
74
)
e = 10
2 2
(x 和圆Ｂ： 和圆Ｂ： − 5) + y = 1 都外切的圆 的圆心Ｐ的轨迹方程． 的圆心Ｐ的轨迹方程．
2 2
定义 图象
||MF1|—|MF2||=2a（2a＜|F1F2|） （ ＜ ）
y F1 o F2 x o F1 x y F2
方程 焦点 a.b.c的 的 关系
x2 y2 − 2 =1(a > 0, b > 0) 2 a b
椭圆的标准方程和 双曲线的标准方程 有何区别呢？、c的关系是 （3）双曲线标准方程中 、b、 的关系是 ）双曲线标准方程中a、
c2 =a2+b2；有别于椭圆方程中 2=a 2-b 2。 有别于椭圆方程中c
Ex： ：
的焦点。 与双曲线 x2 − 15 y2 = 15的焦点。 椭圆中c 椭圆中 2=a2-b2,得:c2=25-9=16,c= ±4.故F1(-4,0),F2(4,0) 故 若为双曲线,则 若为双曲线 则(2+m)(m+1)>0， ， 2 2 x y − = 1又c2=a2+b2得:c2=15+1=16, ,又 2 m 0 双曲线为 + > 15 1 若为椭圆， 若为椭圆，则 c= ±4.故F1(-4,0),F2(4,0) m + 1 < 0 故 x2 y2 − = 1表示双曲 2、已知方程 、 2+ m m+1 或 的取值范围是________________； 线，则m的取值范围是 {m|m>-1或m<-2}； 的取值范围是 若表示椭圆,则 的取值范围是 的取值范围是_____________. 若表示椭圆 则m的取值范围是 {m|-2<m<-1}
x2 y2 + = 1的焦点 1、分别求椭圆 、 25 9
同为 F( ± 4,0)
x2 y2 练习1 表示双曲线， 练习1:如果方程 2 − m − m + 1 = 1 表示双曲线，
求m的取值范围. 的取值范围.
变式一: 变式一:
x2 y2 + = 1表示双曲线时，则m的取值 表示双曲线时， 方程 2 − m m+ 1
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
c2=a2+b2
变式： 变式： 若题目改为：一炮弹在某处爆炸 在 若题目改为：一炮弹在某处爆炸,在A 、B两处 两处 听到爆炸的声音的时间相差2s。 听到爆炸的声音的时间相差 。
1、填表
方程 2a 2b 范 围 顶 点 焦点 离心率 渐近线
x − 8 y = 32
2 2
9x − y = 81 x − y = −4
74 5
2 y=± x 4
y=±3x ±
5 y定， 例3：在△ＡＢＣ中，ＢＣ固定， ： 顶点Ａ移动． 顶点Ａ移动．设｜ＢＣ｜＝ m1 ， 当三个角满足条件 sin C −sin B = sin A 2 时，求Ａ的轨迹方程式 例4：求与圆Ａ： ( x + 5 ) + y = 49 ：求与圆Ａ：
y
M
F
o
1
F2
x
椭圆标准方程和双曲线标准方程的区别： （1）双曲线标准方程中，a>0，b>0，但a不 ）双曲线标准方程中， ， ， 不 一定大于b；有别于椭圆中a>b. 一定大于 ；有别于椭圆中 （2）双曲线标准方程中，如果 2项的系数是 ）双曲线标准方程中，如果x 正的，那么焦点在x轴上 如果y 轴上； 正的，那么焦点在 轴上；如果 2项的系数是 正的，那么焦点在y轴上．有别于椭圆通过比 正的，那么焦点在 轴上． 轴上 较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上。 较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上。