2017版考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做 “12+4”专项练3 Word版含答案
2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科知识 方法
第12练 导数几何意义的必会题型[题型分析·高考展望] 本部分题目考查导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数即为函数图象在该点处的切线的斜率，考查形式主要为选择题和填空题或者在解答题的某一步中出现(难度为低中档)，内容就是求导，注意审题是过点(x 0，y 0)的切线还是在点(x 0，y 0)处的切线.体验高考1.(2016·四川)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )A.(0，1)B.(0，2)C.(0，＋∞)D.(1，＋∞) 答案 A解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1，∴f ′(x )＝⎩⎨⎧－1x，0<x <1，1x ，x >1.若k 1·k 2＝－1，则两个切点一个在x ∈(0，1)的图象上为P 1，一个在x ∈(1，＋∞)的图象上为P 2.设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 则k 1＝－1x 1，k 2＝1x 2.∵k 1k 2＝－1，∴x 1x 2＝1. 令x 1＝x 0(0<x 0<1)，则x 2＝1x 0.∴P 1(x 0，－ln x 0)，P 2⎝⎛⎭⎫1x 0，－ln x 0.∴l 1：y ＋ln x 0＝－1x 0(x －x 0)⇒y ＝－1x 0x ＋1－ln x 0，∴A (0，1－ln x 0).l 2：y ＋ln x 0＝x 0(x －1x 0)⇒y ＝x 0x －1－ln x 0，∴B (0，－1－ln x 0)，∴|AB |＝1－ln x 0－(－1－ln x 0)＝2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1x 0x ＋1－ln x 0，y ＝x 0x －1－ln x 0，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0x 20＋1，x 20－1x 20＋1－ln x 0.∴S △P AB ＝12·2|x 0|x 20＋1·|AB |＝12·2x 0x 20＋1·2＝2x 0x 20＋1＝2x 0＋1x 0.∵x 0∈(0，1)，∴0＜2x 0＋1x 0＜1，故S △P AB ∈(0，1).2.(2016·课标全国丙)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________. 答案 y ＝2x解析 设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x ，因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 所以f (x )＝e x －1＋x .因为当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1，所以f ′(1)＝2，所以曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程为 y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .3.(2016·课标全国甲)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________. 答案 1－ln 2解析 y ＝ln x ＋2的切线为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)，y ＝ln(x ＋1)的切线为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点横坐标为x 2)，∴⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x2x 2＋1，解得⎩⎨⎧x 1＝12，x 2＝－12，，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.4.(2015·天津)已知函数f (x )＝4x －x 4，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)设曲线y ＝f (x )与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝g (x )，求证：对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )；(3)若方程f (x )＝a (a 为实数)有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2－x 1≤－a3＋431.(1)解 由f (x )＝4x －x 4，可得f ′(x )＝4－4x 3. 当f ′(x )＞0，即x ＜1时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＞1时，函数f (x )单调递减. 所以f (x )的单调递增区间为(－∞，1)， 单调递减区间为(1，＋∞). (2)证明 设点P 的坐标为(x 0，0)， 则x 0＝431，f ′(x 0)＝－12.曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)·(x －x 0)， 即g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0). 令函数F (x )＝f (x )－g (x )， 即F (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)， 则F ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0).由于f ′(x )＝－4x 3＋4在(－∞，＋∞)上单调递减， 故F ′(x )在(－∞，＋∞)上单调递减. 又因为F ′(x 0)＝0，所以当x ∈(－∞，x 0)时，F ′(x )＞0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在(－∞，x 0)上单调递增， 在(x 0，＋∞)上单调递减，所以对于任意的实数x ，F (x )≤F (x 0)＝0， 即对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x ). (3)证明 由(2)知g (x )＝－12⎝⎛⎭⎫x －431.设方程g (x )＝a 的根为x 2′，可得x 2′＝－a12＋431.因为g (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， 又由(2)知g (x 2)≥f (x 2)＝a ＝g (x 2′)， 因此x 2≤x 2′.类似地，设曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝h (x )， 可得h (x )＝4x .对于任意的x ∈(－∞，＋∞)，有f (x )－h (x )＝－x 4≤0，即f (x )≤h (x ). 设方程h (x )＝a 的根为x 1′，可得x 1′＝a4.因为h (x )＝4x 在(－∞，＋∞)上单调递增， 且h (x 1′)＝a ＝f (x 1)≤h (x 1)，因此x 1′≤x 1， 由此可得x 2－x 1≤x 2′－x 1′＝－a3＋431.5.(2016·课标全国甲)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1). (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞). 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)， f ′(x )＝ln x ＋1x －3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0，曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0.(2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a (x －1)x ＋1>0，设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a(x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0.①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时， x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增， 因此g (x )>0；②当a >2时，令g ′(x )＝0得，x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1. 由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1， 故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)上单调递减， 因此g (x )<0.综上，a 的取值范围是(－∞，2].高考必会题型题型一 直接求切线或切线斜率问题例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝______. (2)曲线y ＝x e x－1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A.2eB.eC.2D.1 答案 (1)1 (2)C解析 (1)f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝1＋3a ，f (1)＝a ＋2. 在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(1＋3a )(x －1). 将(2，7)代入切线方程，得7－(a ＋2)＝(1＋3a )，解得a ＝1. (2)∵y ＝x ex －1＝x e x e， ∴y ′＝1e (e x ＋x ·e x )＝1e·e x·(x ＋1)，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2. 点评 导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0.(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.变式训练1 (2016·课标全国丙)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________. 答案 2x ＋y ＋1＝0解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1. 题型二 导数几何意义的综合应用例2 (2015·山东)设函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝x 2e x . 已知曲线y ＝f (x ) 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行. (1)求a 的值；(2)是否存在自然数k ，使得方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)，求m (x )的最大值. 解 (1)由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2， 又f ′(x )＝ln x ＋ax ＋1，即f ′(1)＝a ＋1＝2，所以a ＝1.(2)当k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根.设h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)ln x －x 2e x ，当x ∈(0，1]时，h (x )＜0.又h (2)＝3ln 2－4e 2＝ln 8－4e 2＞1－1＝0，所以存在x 0∈(1，2)，使得h (x 0)＝0. 因为h ′(x )＝ln x ＋1x ＋1＋x (x －2)e x ，所以当x ∈(1，2)时，h ′(x )＞1－1e ＞0，当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0， 所以当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增，所以k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根. (3)由(2)知方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根x 0. 且x ∈(0，x 0)时，f (x )＜g (x )， x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )＞g (x )，所以m (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)ln x ，x ∈(0，x 0]，x 2e x ，x ∈(x 0，＋∞).当x ∈(0，x 0)时，若x ∈(0，1]，m (x )≤0； 若x ∈(1，x 0)，由m ′(x )＝ln x ＋1x ＋1＞0，可知0＜m (x )≤m (x 0)； 故m (x )≤m (x 0).当x ∈(x 0，＋∞)时，由m ′(x )＝x (2－x )e x ，可得x ∈(x 0，2)时，m ′(x )＞0，m (x )单调递增； x ∈(2，＋∞)时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减； 可知m (x )≤m (2)＝4e 2，且m (x 0)＜m (2).综上可得，函数m (x )的最大值为4e2.点评 已知切线求参数问题，主要利用导数几何意义，通过切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解.变式训练2 (2015·广东)设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x －a . (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；(3)若曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M (m ，n )处的切线与直线OP 平行(O是坐标原点)，证明：m ≤3a －2e－1.(1)解 f ′(x )＝2x e x ＋(1＋x 2)e x ＝(x 2＋2x ＋1)e x ＝(x ＋1)2e x ，∀x ∈R ，f ′(x )≥0恒成立.∴f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)，无单调减区间. (2)证明 ∵f (0)＝1－a ，f (a )＝(1＋a 2)e a －a ， ∵a >1，∴f (0)<0，f (a )>2a e a －a >2a －a ＝a >0， ∴f (0)·f (a )<0，∴f (x )在(0，a )上有一零点， 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增， ∴f (x )在(0，a )上仅有一个零点， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点. (3)证明 f ′(x )＝(x ＋1)2e x ，设P (x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝ex (x 0＋1)2＝0，∴x 0＝－1，把x 0＝－1代入y ＝f (x )得y 0＝2e －a ，∴k OP ＝a －2e .f ′(m )＝e m (m ＋1)2＝a －2e，令g (m )＝e m －(m ＋1)，g ′(m )＝e m －1.令g ′(x )>0，则m >0，∴g (m )在(0，＋∞)上单调递增， 令g ′(x )<0，则m <0，∴g (m )在(－∞，0)上单调递减， ∴g (m )min ＝g (0)＝0.∴e m －(m ＋1)≥0，即e m ≥m ＋1. ∴e m (m ＋1)2≥(m ＋1)3，即a －2e ≥(m ＋1)3.∴m ＋1≤3a －2e ，即m ≤ 3a －2e－1.高考题型精练1.已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0B.x －y －1＝0C.x ＋y ＋1＝0D.x －y ＋1＝0答案 B解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0). 又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0， 解得x 0＝1，y 0＝0. ∴切点为(1，0)， ∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B.2.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 等于( ) A.－1 B.－3 C.－4 D.－2 答案 D解析 ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1， y 0＝12x 20＋mx 0＋72(m <0)， 于是解得m ＝－2.故选D.3.已知直线l 与曲线f (x )＝x 2－3x ＋2＋2ln x 相切，则直线l 倾斜角的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 B解析 函数的定义域为(0，＋∞).由导数的几何意义可知，曲线上任意一点P (x ，y )处的切线的斜率为f ′(x )＝2x －3＋2x ，因为x ＞0，故2x ＋2x≥22x ×2x ＝4(当且仅当2x ＝2x，即x ＝1时取等号)，所以f ′(x )＝2x －3＋2x ≥4－3＝1，即直线l 的斜率的最小值为1，此时直线的倾斜角取得最小值π4.故选B.4.设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( ) A.y ＝3x B.y ＝－2x C.y ＝－3x D.y ＝2x答案 C解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，又f ′(x )是偶函数，∴a ＝0，即f ′(x )＝3x 2－3. ∴k ＝f ′(0)＝－3，∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－3x ， 故选C. 5.曲线y ＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D.1 答案 A解析 因为y ′＝－2e－2x，∴曲线在点(0，2)处的切线斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点为A ⎝⎛⎭⎫23，23，所以三角形的面积S ＝12×1×23＝13.6.若曲线f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ＋d (a ，b ，c >0)上不存在斜率为0的切线，则f ′(1)b －1的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.[1，＋∞) C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)答案 A解析 因为函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ， 所以f ′(1)b －1＝a ＋b ＋c b －1＝a ＋cb .函数f (x )图象上不存在斜率为0的切线，也就是f ′(x )＝0无解，故Δ＝b 2－4ac <0，即ac >b 24，所以a ＋c b ≥2ac b >2b 24b＝1，即f ′(1)b －1＝a ＋c b的取值范围是(1，＋∞).7.(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P的坐标为________. 答案 (1，1)解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2 (m >0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1).8.已知f (x )＝x 3＋f ′(23)x 2－x ，则f (x )的图象在点(23，f (23))处的切线斜率是________.答案 －1解析 f ′(x )＝3x 2＋2f ′(23)x －1，令x ＝23，可得f ′(23)＝3×(23)2＋2f ′(23)×23－1，解得f ′(23)＝－1，所以f (x )的图象在点(23，f (23))处的切线斜率是－1.9.已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1，0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________. 答案278解析 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a ). 由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ， 切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，① 所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ).②将点(1，0)代入②式得，－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意它们互为相反数，得a ＝278.10.已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________.答案 x －y －2＝0解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2，0)，所以切线方程为x －y －2＝0.11.(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x . (1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；(2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min {}f (x )，g (x )(x >0)，讨论h (x )零点的个数.解 (1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0，0)，则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0， 解得⎩⎨⎧ x 0＝12，a ＝－34.因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线. (2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0，从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0，故h (x )在(1，＋∞)内无零点.当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋54≥0， h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故x ＝1是h (x )的零点；若a <－54， 则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0，故x ＝1不是h (x )的零点.当x ∈(0，1)时，g (x )＝－ln x >0.所以只需考虑f (x )在(0，1)上的零点个数.(ⅰ)若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0，1)内无零点，故f (x )在(0，1)上单调.而f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当a ≤－3时，f (x )在(0，1)有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0，1)内没有零点.(ⅱ)若－3<a <0，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0， －a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫ －a 3，1上单调递增，故在(0，1)中，当x ＝－a 3时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎫ －a 3＝2a 3 －a 3＋14.①若f ⎝⎛⎭⎫ －a 3>0，即－34<a <0，f (x )在(0，1)内无零点； ②若f ⎝⎛⎭⎫ －a 3＝0，即a ＝－34，则f (x )在(0，1)内有唯一零点； ③若f ⎝⎛⎭⎫－a 3<0，即－3<a <－34，由于f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当－54<a <－34时，f (x )在(0，1)内有两个零点；当－3<a ≤－54时，f (x )在(0，1)内有一个零点. 综上，当a >－34或a <－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时，h (x )有两个零点；当－54<a <－34时，h (x )有三个零点. 12.(2016·北京)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )的单调区间.解 (1)f (x )的定义域为R .∵f ′(x )＝e a －x －x e a －x ＋b ＝(1－x )e a －x ＋b . 依题设，⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1. 解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x ， 由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知， f ′(x )与1－x ＋e x －1同号. 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增.故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )＞0，x ∈(－∞，＋∞).综上可知，f ′(x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞).。
考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做考前回扣回扣10含答案
回扣10 复数、算法、推理与证明1.复数的相关概念及运算法则 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类 ①z 是实数⇔b ＝0. ②z 是虚数⇔b ≠0.③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. (2)共轭复数复数z ＝a ＋b i 的共轭复数z ＝a －b i. (3)复数的模：复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2. (4)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ). 特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R ). (5)复数的运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； 乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； 除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i ；其中a ，b ，c ，d ∈R . 2.复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i ； (2)1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ； (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈Z )； (4)ω＝－12±32i ，且ω0＝1，ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.3.程序框图的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构：如图(1)所示. (2)条件结构：如图(2)和图(3)所示. (3)循环结构：如图(4)和图(5)所示.程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线带有方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连接起来.程序框图的基本逻辑结构包括顺序结构、条件结构和循环结构三种.4.推理推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论.合情推理的思维过程(1)归纳推理的思维过程：实验、观察―→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理的思维过程：实验、观察―→联想、类推→猜测新的结论5.证明方法(1)分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知.推理模式：框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件(2)综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知.推理模式：框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论).(3)反证法在假定命题结论成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此判定命题结论成立的方法叫反证法.1.复数z 为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0(z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ).还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.2.复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i 2＝－1化简合并同类项.3.在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件.注意理解循环条件中“≥”与“>”的区别.4.解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应.5.类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比.用数学归纳法证明时，易盲目以为n 0的起始值n 0＝1，另外注意证明传递性时，必须用n ＝k 成立的归纳假设.6.在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果.1.复数z ＝1＋i1－2i 的虚部为( )A.－15B.15C.－35D.35答案 D解析 z ＝1＋i 1－2i ＝(1＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－15＋35i ，所以其虚部为35.2.复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则复数z 的共轭复数为( ) A.－1－3i B.－1＋3i C.1＋3i D.1－3i 答案 A解析 z (2－i)＝1＋7i ，∴z ＝1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－5＋15i5＝－1＋3i ，共轭复数为－1－3i.3.阅读如图所示的程序框图，若m ＝8，n ＝10，则输出的S 的值等于( )A.28B.36C.45D.120 答案 C解析 第一次循环：S ＝10，k ＝1； 第二次循环：S ＝10×92＝45，k ＝2；第三次循环：S ＝45×83＝120，k ＝3；第四次循环：S ＝120×74＝210，k ＝4；第五次循环：S ＝210×65＝252，k ＝5；第六次循环：S ＝252×56＝210，k ＝6；第七次循环：S ＝210×47＝120，k ＝7；第八次循环：S ＝120×38＝45，k ＝8＝m ；结束循环，输出S ＝45.4.已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比有x ＋ax n ≥n ＋1 (n ∈N *)，则a 等于( ) A.n B.2n C.n 2 D.n n 答案 D解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝1， 第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝4， 第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33，归纳可以知道a＝n n.5.“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是()A.正方形都是对角线相等的四边形B.矩形都是对角线相等的四边形C.等腰梯形都是对角线相等的四边形D.矩形都是对边平行且相等的四边形答案 B解析用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，∵由四边形ABCD 为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，∴大前提一定是矩形的对角线相等.6.用反证法证明命题：“已知a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A.a，b都被5整除B.a，b都不能被5整除C.a，b不能被5整除D.a不能被5整除答案 B解析由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证.命题“a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”.7. 以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①，②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是()A.①—综合法，②—分析法B.①—分析法，②—综合法C.①—综合法，②—反证法D.①—分析法，②—反证法答案 A解析根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①—综合法，②—分析法.8.执行如图所示的程序框图，若输出的是n＝6，则输入整数p的最小值为()A.15B.16C.31D.32 答案 B解析 列表分析如下是否继续循环 S n 循环前 0 1 第一圈 是 1 2 第二圈 是 3 3 第三圈 是 7 4 第四圈 是 15 5 第五圈 是 31 6 第六圈 否故当S 值不大于15时继续循环，大于15但不大于31时退出循环，故p 的最小正整数值为16. 9.在平面上，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是______________.答案 S 21＋S 22＋S 23＝S 24解析 将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.10.若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________________. 答案x 0x a 2－y 0y b 2＝1 解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 则P 1，P 2的切线方程分别是 x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上， 故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1，这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0yb2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0yb2＝1.合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。
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回扣8计数原理1.分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种方法(也称加法原理).2.分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种方法(也称乘法原理).3.排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示.(3)排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1).(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！(n－m)！，这里规定0！＝1.4.组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示.(3)组合数的计算公式：C m n＝A m nA m m＝n！m！(n－m)！＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！，由于0！＝1，所以C0n＝1.(4)组合数的性质：①C m n＝C n－mn ；②C m n＋1＝C m n＋C m－1n.5.二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*).这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C k n(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.式中的C k n a n－k b k叫做二项展开式的通项，用T k＋1表示，即展开式的第k ＋1项：T k ＋1＝C k n an －k b k. 6.二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .7.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －m n. (2)增减性与最大值：二项式系数C k n，当k <n ＋12时，二项式系数是递增的；当k >n ＋12时，二项式系数是递减的.当n 是偶数时，那么其展开式中间一项12+n T 的二项式系数最大.当n 是奇数时，那么其展开式中间两项112-+n T 和112++n T 的二项式系数相等且最大.(3)各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C k n ＋…＋C n n ＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1.1.关于两个计数原理应用的注意事项(1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.(2)混合问题一般是先分类再分步. (3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏.(4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律. 2.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数. 3.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件. 4.对于二项式定理应用时要注意：(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a ，b 有关，可正可负，二项式系数只与n 有关，恒为正.(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k ，再求所需的某项；有时需先求n ，计算时要注意n 和k 的取值范围及它们之间的大小关系. (3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1. (4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a 、b .1.用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( ) A.36个 B.18个 C.9个 D.6个 答案 B解析 利用树状图考察四个数位上填充数字的情况，如：1⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2⎩⎪⎨⎪⎧ 1⎩⎨⎧ 233⎩⎨⎧123⎩⎪⎨⎪⎧1⎩⎨⎧ 232⎩⎨⎧ 13，共可确定8个四位数，但其中不符合要求的有2个，所以所确定的四位数应有18个，故选B.2.某学习小组男女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男，女生人数为( ) A.2，6 B.3，5 C.5，3 D.6，2 答案 B解析 设男生人数为n ，则女生人数为8－n ，由题意可知C 2n C 18－n A 33＝90，即C 2n C 18－n ＝15，解得n ＝3，所以男，女生人数为3，5，故选B.3.将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有( ) A.150种 B.180种 C.240种 D.540种答案 A解析 先将5个人分成三组，(3，1，1)或(1，2，2)，分组方法有C 35＋C 15C 24C 222＝25(种)，再将三组全排列有A 33＝6(种)，故总的方法数有25×6＝150(种).4.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有( ) A.210种 B.420种 C.630种 D.840种 答案 B解析 因为要求3位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况，1男2女或2男1女.若选出的3位教师是1男2女则共有C 15C 24A 33＝180(种)不同的选派方法，若选出的3位教师是2男1女则共有C 25C 14A 33＝240(种)不同的选派方法，所以共有180＋240＝420(种)不同的方案，故选B.5.若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a 等于( )A.2B.54 C.1 D.24答案 C解析 二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T k ＋1＝C k 7(2x )7－k (a x )k ＝C k 727－k a k x 7－2k，令7－2k ＝－3，得k ＝5.故展开式中1x 3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 6.(x －1)4－4x (x －1)3＋6x 2(x －1)2－4x 3(x －1)＋x 4等于( ) A.－1 B.1 C.(2x －1)4 D.(1－2x )5 答案 B解析 (x －1)4－4x (x －1)3＋6x 2(x －1)2－4x 3(x －1)＋x 4＝((x －1)－x )4＝1.7.某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙中两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有( )A.30种B.600种C.720种D.840种 答案 C解析 A 47－A 45＝720(种).8.如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为( )A.180B.240C.360D.420 答案 D解析 若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A 55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2，4两个花池栽同一种颜色的花，或3，5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2A 45种；若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A 35种，所以最多有A 55＋2A 45＋A 35＝420(种).9.(x ＋1ax )5的各项系数和是1 024，则由曲线y ＝x 2和y ＝x a 围成的封闭图形的面积为______.答案512解析 设x ＝1，则各项系数和为(1＋1a )5＝1 024＝45，所以a ＝13，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝x 31可得交点坐标分别为(0，0)，(1，1)，所以曲线y ＝x 2和y ＝x 31围成的封闭图形的面积为⎠⎛01(x 31－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 34－13x 3⎪⎪⎪10＝34－13＝512.10.圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为______. 答案 120解析 圆上任意三点都不共线， 因此有三角形C 310＝120(个).11.一排共有9个座位，现有3人就坐，若他们每两人都不能相邻，每人左右都有空座，而且至多有两个空座，则不同坐法共有________种. 答案 36解析 可先考虑3人已经就座，共有A 33＝6(种)，再考虑剩余的6个空位怎么排放，根据要求可产生把6个空位分为1，1，2，2，放置在由已经坐定的3人产生的4个空中，共有C 24＝6，所以不同的坐法共有6×6＝36(种).12.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机(甲、乙、丙、丁、戊)准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种. 答案 24解析 先把甲、乙捆绑在一起有A 22种情况，然后对甲、乙整体和戊进行排列，有A 22种情况，这样产生了三个空位，插入丙、丁，有A 23种情况，所以着舰方法共有A 22A 22A 23＝2×2×6＝24(种).13.实验员进行一项实验，先后要实施5个程序(A ，B ，C ，D ，E )，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序C 或D 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有______种. 答案 24解析依题意，当A在第一步时，共有A22A33＝12(种)；当A在最后一步时，共有A22A33＝12(种).所以实验的编排方法共有24种.14.用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________.答案288解析从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有A23＝6(种)，先排3个奇数，有A33＝6(种)，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的4个空中，方法有A24＝12(种).根据分步乘法计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×6×12＝432(种).若1排在两端，1的排法有A12A22＝4(种)，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的3个空中，方法有A23＝6(种)，根据分步乘法计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×4×6＝144(种)，故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为432－144＝288(种).。
2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科知识 方法
第16练 定积分问题[题型分析·高考展望] 定积分在理科高考中，也是重点考查内容.主要考查定积分的计算和利用定积分求不规则图形的面积，题目难度不大，多为中低档题目，常以选择题、填空题的形式考查，掌握定积分的计算公式，会求各种类型的曲边图形的面积是本节重点.体验高考1.(2015·湖南)⎠⎛02(x －1)d x ＝________.答案 0解析 ⎠⎛02(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－x ⎪⎪⎪20＝12×22－2＝0. 2.(2015·陕西)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________.答案 1.2解析 由题意可知最大流量的比即为横截面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，如图所示.设抛物线方程为y ＝ax 2，将点(5，2)代入抛物线方程得a ＝225，故抛物线方程为y ＝225x 2，抛物线的横截面面积为S 1＝2⎠⎛05⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫2x －275x 3⎪⎪⎪50＝403(m 2)， 而原梯形下底为10－2tan 45°×2＝6(m)，故原梯形面积为S 2＝12(10＋6)×2＝16(m 2)，S 2S 1＝16403＝1.2.3.(2015·天津)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________. 答案 16解析 曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1，1)， 面积S ＝⎠⎛01x d x －⎠⎛01x 2d x ＝12x 2⎪⎪⎪10－13x 3⎪⎪⎪10＝12－13＝16.4.(2015·福建)如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________.答案512解析 由题意知，阴影部分的面积 S ＝⎠⎛12(4－x 2)d x ＝(4x －13x 3)⎪⎪⎪21＝53，∴所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.高考必会题型题型一 定积分的计算例1 (1)⎠⎜⎜⎛－π2π2 (sin x ＋cos x )d x 的值为( )A.0B.π4C.2D.4(2)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋sin x ，－1≤x ≤1，2，1＜x ≤2.则⎠⎛－12 f (x )d x 等于( )A.0B.1C.2D.3 答案 (1)C(2)C解析 (1)原式＝(－cos x ＋sin x ) ⎪⎪⎪π2－π2＝1－(－1)＝2，故选C.(2)⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－11(x 3＋sin x )d x ＋⎠⎛122d x＝(14x 4－cos x )⎪⎪⎪1－1＋(2x )⎪⎪⎪21＝0＋2＝2. 点评 (1)计算定积分，要先将被积函数化简，然后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解；(2)对有关函数图象和圆的定积分问题可以利用定积分的几何意义求解.变式训练1 (1)已知复数z ＝a ＋(a －2)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，则⎠⎛0a ()4－x 2＋x d x的值为( )A.2＋πB.2＋π2 C.4＋2π D.4＋4π(2)⎠⎛03|x 2－4|d x 等于( )A.213B.223C.233D.253 答案 (1)A (2)C解析 (1)因为z ＝a ＋(a －2)i(a ∈R )为实数，所以a ＝2，⎠⎛0a (4－x 2＋x )d x ＝⎠⎛024－x 2d x＋12x 2⎪⎪⎪20，由定积分的几何意义知，⎠⎛02 4－x 2d x 的值为以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，即是π，所以⎠⎛024－x 2d x ＋12x 2⎪⎪⎪2的值为2＋π，故选A.(2)画出函数图象如图所示，可知⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x ＝8－83＋(9－12－83＋8)＝233.题型二 利用定积分求曲边梯形的面积例2 (1)由曲线y ＝x 2与y ＝x 的边界所围成区域的面积为( )A.13B.23C.1D.16 (2)y ＝12ex 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B.4e 2 C.2e 2 D.e 2 (3)由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(如图中的阴影部分所示)的面积是( )A.1B.π4C.223 D.22－2答案 (1)A (2)D (3)D解析 (1)由题意可知，曲线y ＝x 2与y ＝x 的边界所围成区域的面积 S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝(23x 32－13x 3)⎪⎪⎪10＝23－13＝13.(2)因为y ′＝1212e x ，所以y ′|x ＝4＝12e 2，所以在点(4，e 2)处的切线方程是y －e 2＝12e 2(x －4)，当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝2， 所以切线与坐标轴所围成三角形的面积是 S ＝12×|－e 2|×2＝e 2，故选D. (3)方法一 由sin x ＝cos x (x ∈(0，π2))，得x ＝π4.故所求阴影部分的面积S ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x ) ⎪⎪⎪π2π4＝sin π4＋cos π4－sin 0－cos 0＋[(－cos π2－sin π2)－(－cos π4－sin π4)]＝22－2.故选D.方法二 由sin x ＝cos x (x ∈(0，π2))，得x ＝π4.根据图象的对称性，可知所求阴影部分的面积S ＝2⎠⎜⎛0π4(cos x －sin x )d x ＝2(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π40＝2(sin π4＋cos π4－sin 0－cos 0)＝22－2.点评 求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形. (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限. (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和. (4)计算定积分.变式训练2 如图所示，由函数f (x )＝sin x 与函数g (x )＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，3π2上的图象所围成的封闭图形的面积为( )A.32－1B.42－2C. 2D.2 2 答案 B解析 f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 在⎣⎡⎦⎤0，3π2上的交点坐标为⎝⎛⎭⎫π4，22，⎝⎛⎭⎫5π4，－22， 两函数图象所围成的封闭图形的面积为S ＝⎠⎜⎛0π4(cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π45π4(sin x －cos x )d x ＋⎠⎜⎜⎛5π43π2(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4－(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪5π4π4＋(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪3π25π4＝42－2.故选B.高考题型精练1.已知自由落体运动的速率v ＝gt ，则落体运动从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.gt 203 B.gt 20 C.gt 202 D.gt 206 答案 C解析 由题意，可知所走路程为⎠⎛0t 0v d t ＝⎠⎛0t 0gt d t ＝12gt 2⎪⎪⎪t 00＝12gt 20.2.定积分⎠⎛01(e x ＋2x )d x 的值为( )A.1B.e －1C.eD.e ＋1 答案 C解析 ⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝⎠⎛01e x d x ＋⎠⎛012x d x＝e x ⎪⎪⎪10＋x 2⎪⎪⎪1＝e ，故选C. 3.若⎠⎜⎛0π2(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A.－1B.1C.－ 3D. 3 答案 A解析 ⎠⎜⎛0π2(sin x －a cos x )d x ＝(－cos x －a sin x )⎪⎪⎪⎪π20＝－a ＋1＝2，a ＝－1.4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ，S 20＝17，则S 30为( )A.15B.20C.25D.30 答案 A解析 由已知得S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ＝12，根据等差数列性质可得S 10＝12，S 20－S 10＝5，S 30－S 20＝S 30－17亦成等差数列，故有12＋S 30－17＝10⇒S 30＝15. 5.由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.4 B.6 C.103 D.163答案 D解析 因为⎩⎨⎧y ＝xy ＝x －2⇒x ＝4，根据定积分的几何意义可得，⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝(23x 32－12x 2＋2x )⎪⎪⎪40＝163，故选D.6.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈[1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为( )A.43B.54C.65D.76 答案 A解析 根据定积分的运算法则，由题意，可知⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪e1＝13＋1＝43.7.如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f (x )＝sin x ，x ∈(0，π)及直线x ＝a ，a ∈(0，π)与x 轴围成.向矩形OABC 内随机投掷一点，若此点落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6 答案 B解析 由题意可得，是与面积有关的几何概型，构成试验的全部区域是矩形OACB ，面积为a ×6a ＝6.记“向矩形OACB 内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A ， 则构成事件A 的区域即为阴影部分， 面积为⎠⎛0a sin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪a＝1－cos a ，由几何概型的计算公式可得P (A )＝14＝1－cos a 6，cos a ＝－12，又∵a ∈(0，π)，∴a ＝2π3，故选B.8.已知⎠⎛02(3x 2＋k )d x ＝16，则k 等于( )A.1B.2C.3D.4 答案 D解析 ⎠⎛02(3x 2＋k )d x ＝(x 3＋kx )⎪⎪⎪20＝8＋2k ＝16，所以k ＝4.故选D.9.定积分⎠⎛01(2＋1－x 2)d x ＝________.答案 π4＋2解析 ⎠⎛01(2＋1－x 2)d x ＝⎠⎛012d x ＋⎠⎛011＋x 2d x＝2x ⎪⎪⎪10＋⎠⎛011＋x 2d x ＝2＋⎠⎛011＋x 2d x ， 令y ＝1＋x 2，得x 2＋y 2＝1(y ≥0)， 点(x ，y )的轨迹表示半圆.⎠⎛011＋x 2d x 表示以原点为圆心， 以1为半径的圆的面积的14，故⎠⎛011＋x 2d x ＝14×π×12＝π4，∴⎠⎛01(2＋1－x 2)d x ＝π4＋2.10.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________.答案 －1解析 由曲线在原点处与x 轴相切，可得f ′(0)＝0＝b ， 此时f (x )＝－x 3＋ax 2＝x 2(a －x )，据定积分知，阴影部分面积为－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112，解得a ＝－1. 11.已知a ＞0，(ax －x )6的展开式的常数项为15，则⎠⎛－aa (x 2＋x ＋4－x 2)d x ＝______. 答案2＋2π3＋ 3 解析 根据二项展开式的通项公式可知，T k ＋1＝C k 6(－1)k a6－k1(6)2k k x－－＝C k 6(－1)k a 6－k332k x－，∴令k ＝2，∴C 26(－1)2a 4＝15⇒a ＝1(a ＞0)，∴⎠⎛－a a (x 2＋x ＋4－x 2)d x＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11x d x ＋⎠⎛－114－x 2d x .作出⎠⎛－114－x 2d x 表示的图象如图，根据定积分的几何意义及定义， 从而可知⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11x d x ＋⎠⎛－114－x 2d x＝23＋0＋12·1·3·2＋16π·4＝2＋2π3＋ 3. 12.计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积.解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积 S ＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2⎪⎪⎪30＝92.。
2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科知识课件 方法篇 专题1 集合与常用逻辑用语二 第1练 精品
点评
解析答案
变式训练1 A.[0，1)
(1)(2015· 浙江)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}， ) C.(1，2) √ D.[1，2] B.(0，2]
则(∁RP)∩Q等于(
解析 ∵P＝{x|x≥2或x≤0}，
∁RP＝{x|0＜x＜2}，
∴(∁RP)∩Q＝{x|1＜x＜2}，故选C.
解析
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高考必会题型
题型一 单独命题独立考查
常用的运算性质及重要结论：
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U；
(4)A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B.
例1 A.∅ √ C.{0} 解析
(1)(2015· 广东)若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}， N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}， ) B.{－1，－4} D.{1，4} 因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4， －1}， N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}
则M∩N等于(
＝{1，4}， 所以M∩N＝∅，故选A.
解析
(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范 4 围是(c，＋∞)，其中c＝______. 解析 由log2x≤2，得0＜x≤4，即A＝{x|0＜x≤4}， 而B＝(－∞，a)，由A⊆B，如图所示， 则a＞4，即c＝4.
故A，B，C均错，D是正确的，选D.
解析
1
2
3
4
5
2.(2015· 福建)若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则 A∩B等于( A.{－1} C.{1，－1} √ 解析 ) B.{1} D.∅
考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做 压轴大题突破练(二)
压轴大题突破练(二) 直线与圆锥曲线(2)1.(2016·浙江)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1).(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围. 解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1， 得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2， 因此|AM |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k 2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2.由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由于k 1≠k 2，k 1，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝⎛⎭⎫1k 21＋1⎝⎛⎭⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2). ①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2. 因此，任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2，由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22.所求离心率的取值范围是(0，22]. 2.已知过点M ⎝⎛⎭⎫p 2，0的直线l 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝－3，其中O 为坐标原点.(1)求p 的值；(2)当|AM |＋4|BM |最小时，求直线l 的方程.解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋p 2. 联立⎩⎨⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px 消去x ，得y 2－2pmy －p 2＝0.∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2.∵OA →·OB →＝－3，∴x 1x 2＋y 1y 2＝－3.又x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝p 24， ∴p 24－p 2＝－3⇒p 2＝4. ∵p >0，∴p ＝2.(2)由抛物线定义，得|AM |＝x 1＋p 2＝x 1＋1， |BM |＝x 2＋p 2＝x 2＋1， ∴|AM |＋4|BM |＝x 1＋4x 2＋5≥24x 1x 2＋5＝9，当且仅当x 1＝4x 2时取等号.将x 1＝4x 2代入x 1x 2＝p 24＝1， 得x 2＝12(负值舍去). 将x 2＝12代入y 2＝4x ， 得y 2＝±2，即点B ⎝⎛⎭⎫12，±2.将点B 代入x ＝my ＋1，得m ＝±24. ∴直线l 的方程为x ＝±24y ＋1，即4x ±2y －4＝0.3.已知动点S (x ，y )到直线l ：x ＝22的距离是它到点T (2，0)的距离的2倍.(1)求动点S 的轨迹C 的方程；(2)设轨迹C 上一动点P 满足：OP →＝λOM →＋2μON →，其中M ，N 是轨迹C 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12，若Q (λ，μ)为一动点，E 1(－32，0)，E 2(32，0)为两定点，求|QE 1|＋|QE 2|的值.解 (1) 点S (x ，y )到直线x ＝22的距离，是到点T (2，0)的距离的2倍，则|x －22|＝ 2 (x －2)2＋y 2， 化简得x 24＋y 22＝1. 所以轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则OP →＝λOM →＋2μON →，即x ＝λx 1＋2μx 2，y ＝λy 1＋2μy 2，因为点P ，M ，N 在椭圆x 24＋y 22＝1上， 所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，x 2＋2y 2＝4，故x 2＋2y 2＝λ2(x 21＋2y 21)＋4μ2(x 22＋2y 22)＋4λμ(x 1x 2＋2y 1y 2) ＝4λ2＋16μ2＋4λμ(x 1x 2＋2y 1y 2)＝4，设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题意知，k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12， 因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以λ2＋4μ2＝1，所以点Q 是椭圆λ2＋4μ2＝1上的点，而E 1，E 2恰为该椭圆的左，右焦点，所以由椭圆的定义可得，|QE 1|＋|QE 2|＝2.4.已知曲线C 上任意一点P 到两定点F 1(－1，0)与F 2(1，0)的距离之和为4.(1)求曲线C 的方程；(2)设曲线C 与x 轴负半轴交点为A ，过点M (－4，0)作斜率为k 的直线l 交曲线C 于B 、C 两点(B 在M 、C 之间)，N 为BC 中点.①证明：k ·k ON 为定值；②是否存在实数k ，使得F 1N ⊥AC ？如果存在，求直线l 的方程，如果不存在，请说明理由.(1)解 由已知可得：曲线C 是以两定点F 1(－1，0)和F 2(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，所以a ＝2，c ＝1⇒b ＝a 2－c 2＝3，故曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 设过点M 的直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)， 设B (x 1， y 1)，C (x 2， y 2)(x 2>x 1).①联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋4)，x 24＋y 23＝1， 得(4k 2＋3)x 2＋32k 2x ＋64k 2－12＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3.故x N ＝x 1＋x 22＝－16k 24k 2＋3， y N ＝k (x N ＋4)＝12k 4k 2＋3. 所以k ON ＝－34k， 所以k ·k ON ＝－34为定值. ②解 若F 1N ⊥AC ，则k AC ·kF 1N ＝－1，因为F 1(－1，0)，kF 1N ＝12k4k 2＋3－16k 24k 2＋3＋1＝4k 1－4k 2， 因为A (－2，0)，k AC ＝y 2x 2＋2， 故y 2x 2＋2·4k 1－4k 2＝－1， 代入y 2＝k (x 2＋4)得x 2＝－2－8k 2，y 2＝2k －8k 3， 而x 2≥－2，故只能k ＝0，显然不成立，所以这样的直线不存在.。
2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科知识 方法篇 专题3 函数与导数 第10练 含答案 精品
第10练 重应用——函数的实际应用[题型分析·高考展望] 函数的实际应用也是高考常考题型，特别是基本函数模型的应用，在选择题、填空题、解答题中都会出现，多以实际生活、常见的自然现象为背景，较新颖、灵活，解决此类问题时，应从实际问题中分析涉及的数学知识，从而抽象出基本函数模型，然后利用基本函数的性质或相应的数学方法，使问题得以解决.体验高考1.(2015·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析 由已知得，当点P 沿着边BC 运动， 即0≤x ≤π4时，P A ＋PB ＝4＋tan 2x ＋tan x ；当点P 在CD 边上运动时， 即π4≤x ≤3π4时， P A ＋PB ＝(1－1tan x)2＋1＋ (1＋1tan x)2＋1，当x ＝π2时，P A ＋PB ＝22；当点P 在AD 边上运动时，即3π4≤x ≤π时，P A ＋PB ＝tan 2x ＋4－tan x .从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线x ＝π2对称，且f (π4)＞f (π2)，且轨迹非线型，故选B.2.(2015·四川)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时. 答案 24解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k ＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b＝⎝⎛⎭⎫123·e b ＝18×192＝24. 3.(2015·上海)如图，A ，B ，C 三地有直道相通，AB ＝5千米，AC ＝3千米，BC ＝4千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f (t )(单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设t ＝t 1时乙到达C 地.(1)求t 1与f (t 1)的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t 1≤t ≤1时，求f (t )的表达式，并判断f (t )在[t 1，1]上的最大值是否超过3？说明理由. 解 (1)t 1＝38.记乙到C 时甲所在地为D ，则AD ＝158千米.在△ACD 中，CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos A ，所以f (t 1)＝CD ＝3841(千米).(2)甲到达B 用时1小时；乙到达C 用时38小时，从A 到B 总用时78小时.当t 1＝38≤t ≤78时，f (t )＝(7－8t )2＋(5－5t )2－2(7－8t )(5－5t )·45＝25t 2－42t ＋18；当78≤t ≤1时，f (t )＝5－5t ，所以f (t )＝⎩⎨⎧25t 2－42t ＋18，38≤t ≤78，5－5t ，78＜t ≤1.因为f (t )在⎣⎡⎦⎤38，78上的最大值是f ⎝⎛⎭⎫38＝3418， f (t )在⎣⎡⎦⎤78，1上的最大值是f ⎝⎛⎭⎫78＝58， 所以f (t )在⎣⎡⎦⎤38，1上的最大值是3418，不超过3. 4.(2015·江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l .如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米.以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b (其中a ，b 为常数)模型.(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度. 解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5). 将其分别代入y ＝ax 2＋b，得⎩⎨⎧a25＋b ＝40，a400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫t ，1 000t 2，设在点P 处的切线l 分别交x ，y 轴于A ，B 点，y ′＝－2 000x 3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t 3(x －t )，由此得A ⎝⎛⎭⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎫0，3 000t 2. 故f (t )＝⎝⎛⎭⎫3t 22＋⎝⎛⎭⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5，20].②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t 5.令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数； 当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数. 从而当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值， 所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.答 当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米.高考必会题型题型一 基本函数模型的应用例1 某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(x －0.4)(元)成反比.又当x ＝0.65时，y ＝0.8. (1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)] 解 (1)∵y 与(x －0.4)成反比， ∴设y ＝k x －0.4(k ≠0).把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k0.65－0.4，k ＝0.2.∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2，即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2.(2)根据题意，得(1＋15x －2)·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%).整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5，x 2＝0.6. 经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根. ∵x 的取值范围是0.55～0.75， 故x ＝0.5不符合题意，应舍去.∴x ＝0.6.∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.点评 解决实际应用问题的关键在于读题，读题必须细心、耐心，从中分析出数学“元素”，确定该问题涉及的数学模型，一般程序如下： 读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.变式训练1 (1)(2015·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A.6升 B.8升 C.10升 D.12升(2)2015年“五一”期间某商人购进一批家电，每台进价已按原价a 扣去20%，他希望对货物定一新价，以便每台按新价让利25%销售后，仍可获得售价20%的纯利，则此商人经营这种家电的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式是______________. 答案 (1)B (2)y ＝a3x (x ∈N *)解析 (1)由表知，汽车行驶路程为35 600－35 000＝600千米，耗油量为48升，∴每100千米耗油量8升.(2)设每台新价为b ，则售价b (1－25%)，让利b ×25%，由于原价为a ，则进价为a (1－20%)，根据题意，得每件家电利润为b ×(1－25%)×20%＝b ×(1－25%)－a (1－20%)，化简得b ＝43a .∴y ＝b ×25%·x ＝43a ×25%×x ＝a3x (x ∈N *)，即y ＝a3x (x ∈N *).题型二 分段函数模型的应用例2 已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40， 当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104， 所以W max ＝W (32)＝6 104；②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以此时W 有最大值5 760.因为6 104＞5 760， 所以当x ＝32时，W 取得最大值6 104万元. 点评 函数有关应用题的常见类型及解题关键(1)常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、 路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.变式训练2 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km. 答案 9解析 设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，由y ＝22.6，解得x ＝9.高考题型精练1.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况答案 B解析 设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损.2.如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，lg 109＝2.037 4，lg 0.09＝－2.954 3)( )A.2015年B.2011年C.2016年D.2008年 答案 B解析 设1995年生产总值为a ，经过x 年翻两番，则a ·(1＋9%)x ＝4a .∴x ＝2lg 2lg 1.09≈16.3.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是( )答案 A解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A ，C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.4.某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A.10.5万元 B.11万元 C.43万元 D.43.025万元答案 C解析 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆， 则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32 ＝－0.1(x －212)2＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0，16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元.5.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米，那么此人( )A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车，但期间最近距离为14米D.不能追上汽车，但期间最近距离为7米 答案 D解析 s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7.当t ＝6时，d 取得最小值7.6.一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm 、60 cm ，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm 2. 答案 600解析 设直角边为40 cm 和60 cm 上的矩形边长分别为x cm 、y cm ，则40－x 40＝y60，解得y＝60－32x .矩形的面积S ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫60－32x ＝－32(x －20)2＋600，当x ＝20时矩形的面积最大，此时S ＝600.7.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元. 答案 5 8解析 由题意知每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x ＞0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元.8.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg /mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少.为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL.那么一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车.(精确到1小时) 答案 5解析 设至少经过x 小时才能开车， 由题意得0.3(1－25%)x ≤0.09， ∴0.75x ≤0.3，x ≥log 0.750.3＝lg 0.3lg 0.75≈4.2， ∴至少经过5个小时才能开车.9.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a ).这里，x 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________. 答案5－12解析 依题意得x ＝c －ab －a ，(c －a )2＝(b －c )(b －a )，∵b －c ＝(b －a )－(c －a )， ∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )， 两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52.∵0<x <1，∴x ＝5－12. 10.某公司生产的商品A 每件售价为5元时，年销售10万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多提高多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x 元，公司拟投入12(x 2＋x )万元作为技改费用，投入x4万元作为宣传费用.试问：技术革新后生产的该商品销售量m 至少应达到多少万件时，才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？ 解 (1)设商品的销售价格提高a 元， 则(10－a )(5＋a )≥50，即0≤a ≤5， 所以商品的价格最多可以提高5元.(2)由题意知改革后的销售收入为mx 万元，若改革后的销售收入等于原销售收入与总投入总和，只需要满足mx ＝12(x 2＋x )＋x4＋50(x ＞5)，即m ＝12x ＋34＋50x≥212x ·50x ＋34＝434， 当且仅当x ＝10时等号成立.故销售量至少应达到434万件时，才能使改革后的销售收入等于原销售收入与总投入之和.11.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成，按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度). (1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？解 (1)设扇环的圆心角为θ， 则30＝θ(10＋x )＋2(10－x )， 所以θ＝10＋2x10＋x(0＜x ＜10).(2)花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2＋5x ＋50(0＜x ＜10)，装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ，所以花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x ＝－x 2－5x －5010(17＋x )，令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎫t ＋324t ≤310，当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211. 综上，当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.12.在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元.(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解 设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，① 由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2P ＋50 (14≤P ≤20)，－32P ＋40 (20<P ≤26)， 代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (－2P ＋50)(P －14)×100－5 600 (14≤P ≤20)，⎝⎛⎭⎫－32P ＋40(P －14)×100－5 600 (20<P ≤26) ＝⎩⎪⎨⎪⎧－200P 2＋7 800P －75 600(14≤P ≤20)，－150P 2＋61 00P －61 600(20＜P ≤26). (1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元；当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元. 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元.(2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20，即最早可望在20年后脱贫.。
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回扣7 解析几何1.直线方程的五种形式(1)点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线).(2)斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线).(3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线).(4)截距式：x a ＋yb ＝1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b ≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线).(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0). 2.直线的两种位置关系当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时： (1)两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (2)两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.提醒：当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略. 3.三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离： |AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0).(3)两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0).提醒：应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等. 4.圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0). 5.直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法.6.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质|x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥07.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断.弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|.8.范围、最值问题的常用解法(1)几何法①直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到直线的垂线段的长度.②圆C外一定点P到圆上各点距离的最大值为|PC|＋R，最小值为|PC|－R(R为圆C的半径).③过圆C内一定点P的圆的最长的弦即为经过点P的直径，最短的弦为过点P且与经过点P 的直径垂直的弦.④圆锥曲线上本身存在最值问题，如(ⅰ)椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长)；(ⅱ)双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长)；(ⅲ)椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；(ⅳ)在抛物线上的点中，顶点与抛物线的准线距离最近.(2)代数法把要求的最值表示为某个参数的解析式，然后利用函数、最值、基本不等式等进行求解.9.定点、定值问题的思路求解直线或曲线过定点问题的基本思路是把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.求证某几何量为定值，首先要求出这个几何量的代数表达式，然后对表达式进行化简、整理，根据已知条件列出必要的方程(或不等式)，消去参数，最后推出定值.10.解决存在性问题的解题步骤第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论.1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错.2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为xa＋ya＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等.3.讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.4.在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合.5.求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C1－C2|A2＋B2，导致错解.6.在圆的标准方程中，误把r2当成r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件.7.易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解.8.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支.9.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误.10.已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解. 11.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、 弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行.1.直线2mx －(m 2＋1)y －m ＝0倾斜角的取值范围为( ) A.[0，π) B.[0，π4]∪[3π4，π)C.[0，π4] D.[0，π4]∪(π2，π)答案 C解析 由已知可得m ≥0.直线的斜率k ＝2m m 2＋1.当m ＝0时，k ＝0，当m >0时，k ＝2m m 2＋1＝2m ＋1m ≤22m ·1m＝1，又因为m >0，所以0<k ≤1.综上可得直线的斜率0≤k ≤1.设直线的倾斜角为θ，则0≤tan θ≤1，因为0≤θ<π，所以0≤θ≤π4.2.若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a 等于( ) A.2或－1 B.2C.－1 D.以上都不对 答案 C解析 由题意a (a －1)＝2，得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，l 1方程为2x ＋2y ＋6＝0，即x ＋y ＋3＝0，l 2方程为x ＋y ＋3＝0，两直线重合，不合题意，舍去；当a ＝－1时，直线l 1，l 2的方程分别为－x ＋2y ＋6＝0，x －2y ＝0，符合题意.所以a ＝－1.故选C.3.直线x ＋y ＝3a 与圆x 2＋y 2＝a 2＋(a －1)2相交于点A ，B ，点O 是坐标原点，若△AOB 是正三角形，则实数a 等于( ) A.1 B.－1C.12 D.－12答案 C解析 由题意得，圆的圆心坐标为O (0，0)，设圆心到直线的距离为d ， 所以弦长为2r 2－d 2＝r ，得4d 2＝3r 2. 所以6a 2＝3a 2＋3(a －1)2， 解得a ＝12，故选C.4.直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( ) A.4 3 B.33C.2 3 D. 3答案 C解析 由于圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0，0)，半径r ＝2，而圆心O (0，0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|32＋42＝1，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.5.与圆O 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0都相切的直线条数是( ) A.4 B.3C.2 D.1 答案 B解析 圆O 1(－2，2)，r 1＝1，圆O 2(2，5)，r 2＝4， ∴|O 1O 2|＝5＝r 1＋r 2，∴圆O 1和圆O 2相外切， ∴与圆O 1和圆O 2相切的直线有3条.故选B.6.已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A.m ∥l ，l 与圆相交 B.m ⊥l ，l 与圆相切 C.m ∥l ，l 与圆相离 D.m ⊥l ，l 与圆相离答案 C解析 以点P 为中点的弦所在的直线的斜率是－ab ，直线m ∥l ，点P (a ，b )是圆x 2＋y 2＝r 2内一点，所以a 2＋b 2<r 2，圆心到ax ＋by ＝r 2，距离是r 2a 2＋b 2>r ，故相离.7.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝30°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是( )A.7－4 3B.2－3C.3－1D.4－2 3 答案 B解析 由题意设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2a 21－y 2b 21＝1，且c ＝c 1.由题意c a ·ca 1＝1，(*)由∠F 1PF 2＝30°，由余弦定理得：椭圆中4c 2＝4a 2－(2＋3)|PF 1||PF 2|， 双曲线中：4c 2＝4a 21＋(2－3)|PF 1||PF 2|，可得b 21＝(7－43)b 2，代入(*)式，c 4＝a 21a 2＝(c 2－b 21)a 2＝(8－43)c 2a 2－(7－43)a 4，即e 4－(8－43)e 2＋(7－43)＝0， 得e 2＝7－43，即e ＝2－3，故选B.8.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成5∶3两段，则此椭圆的离心率为( ) A.255 B.41717 C.35 D.45答案 A解析 ∵c ＋b2c －b 2＝53，a 2－b 2＝c 2，c ＝2b ，∴5c 2＝4a 2，∴e ＝c a ＝25＝255.9.如图，已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，|F 1F 2|＝4，点A 在双曲线的右支上，线段AF 1与双曲线左支相交于点B ，△F 2AB 的内切圆与BF 2相切于点E ，若|AF 2|＝2|BF 1|，|BE |＝22，则双曲线C 的离心率为________.答案2解析 设|AF 2|＝2|BF 1|＝2m ，由题意得|AF 1|＝2m ＋2a ，|BF 2|＝m ＋2a ，因此|AB |＝m ＋2a ，2|BE |＝|AB |＋|BF 2|－|AF 2|＝4a ， 即a ＝2，又|F 1F 2|＝4⇒c ＝2，所以离心率为ca＝ 2.10.已知F 1，F 2是双曲线x 216－y 29＝1的焦点，PQ 是过焦点F 1的弦，且PQ 的倾斜角为60°，那么|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |的值为________. 答案 16解析 由双曲线方程x 216－y 29＝1知，2a ＝8，由双曲线的定义得，|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8， ① |QF 2|－|QF 1|＝2a ＝8，②①＋②得|PF 2|＋|QF 2|－(|QF 1|＋|PF 1|)＝16， ∴|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝16.11.抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________.答案32解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线为y ＝±ba x ，即y ＝±3x .由于焦点(1，0)到双曲线的两条渐近线距离相等，所以只考虑焦点到其中一条之间的距离d ＝|3|3＋1＝32. 12.过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________. 答案 56解析 ∵1|AF |＋1|BF |＝2p ＝2，|AB |＝|AF |＋|BF |＝2512，|AF |<|BF |，∴|AF |＝56，|BF |＝54.13.已知圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝r 2与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝(4－r )2 (0<r <4)的公共点的轨迹为曲线E ，且曲线E 与y 轴的正半轴相交于点M .若曲线E 上相异两点A 、B 满足直线MA ，MB 的斜率之积为14.(1)求曲线E 的方程；(2)证明：直线AB 恒过定点，并求定点的坐标； (3)求△ABM 的面积的最大值. 解 (1)设圆F 1，圆F 2的公共点为Q ， 由已知得，|F 1F 2|＝2，|QF 1|＝r ，|QF 2|＝4－r ， 故|QF 1|＋|QF 2|＝4>|F 1F 2|，因此曲线E 是长轴长2a ＝4，焦距2c ＝2的椭圆，且b 2＝a 2－c 2＝3，所以曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由曲线E 的方程得，上顶点M (0，3)，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，x 1≠0，x 2≠0，若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 的方程为x ＝x 1，故y 1＝－y 2，且y 21＝y 22＝3(1－x 214)，因此k MA ·k MB ＝y 1－3x 1·y 2－3x 2＝－y 21－3x 21＝34，与已知不符，因此直线AB 的斜率存在，设直线AB ：y＝kx ＋m ，代入椭圆E 的方程x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0.①因为直线AB 与曲线E 有公共点A ，B ，所以方程①有两个非零不等实根x 1，x 2， 所以x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2，又k AM ＝y 1－3x 1＝kx 1＋m －3x 1，k MB ＝y 2－3x 2＝kx 2＋m －3x 2， 由k AM ·k BM ＝14，得4(kx 1＋m －3)(kx 2＋m －3)＝x 1x 2，即(4k 2－1)x 1x 2＋4k (m －3)(x 1＋x 2)＋4(m －3)2＝0，所以4(m 2－3)(4k 2－1)＋4k (m －3)(－8km )＋4(m －3)2(3＋4k 2)＝0， 化简得m 2－33m ＋6＝0，故m ＝3或m ＝23， 结合x 1x 2≠0知m ＝23，即直线AB 恒过定点N (0，23). (3)由Δ>0且m ＝23得k <－32或k >32，又S △ABM ＝|S △ANM －S △BNM |＝12|MN |·|x 2－x 1|＝32(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝32(－8km 3＋4k 2)2－4·4(m 2－3)3＋4k 2＝64k 2－93＋4k 2＝64k 2－9＋124k 2－9≤32， 当且仅当4k 2－9＝12，即k ＝±212时，△ABM 的面积最大，最大值为32.。
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“12＋4”专项练3
1.(2016·天津)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B 等于( )
A.{1}
B.{4}
C.{1，3}
D.{1，4}
答案 D
解析 因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1；
当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4；
当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7；
当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10.
即B ＝{1，4，7，10}.
又因为A ＝{1，2，3，4}，所以A ∩B ＝{1，4}.故选D.
2.设z 是纯虚数，若1－i z ＋2
是实数，则z 等于( ) A.－2i B.－i C.i D. 2i
答案 A
解析 设z ＝b i(b ≠0)，
1－i z ＋2＝1－i b i ＋2＝(2－b )－(2＋b )i 4＋b 2
∈R ， ∴2＋b ＝0，b ＝－2，∴z ＝－2i.
3.已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题， 则实数a 的取值范围是( )
A.{a |a ≤－2或a ＝1}
B.{a |a ≥1}
C.{a |a ≤－2或1≤a ≤2}
D.{a |－2≤a ≤1}
答案 A
解析 p 为真，则x 2≥a ，所以a ≤1；
q 为真，则Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0，
解得，a ≥1或a ≤－2.命题“p 且q ”为真命题，
则a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1.
4.已知条件p ：x 2－2x －3＜0，条件q ：x ＞a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( )
A.a ＞3
B.a ≥3
C.a ＜－1
D.a ≤－1
答案 D
5.函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图，则φ、ω可以取的一组值是( )
A.ω＝π2，φ＝π4
B.ω＝π3，φ＝π6
C.ω＝π4，φ＝π4
D.ω＝π4，φ＝5π4
答案 C
解析 由图象得T 4＝2，∴T ＝8，ω＝2πT ＝π4
， 当x ＝1时，y ＝1，∴sin(π4
＋φ)＝1， 则φ＝π4
时符合，故选C. 6.由a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1
给出的数列{a n }的第34项是( ) A.1100 B.100 C.34103 D.14
答案 A
解析 由a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1
得， a 2＝13＋1＝14，a 3＝143×14
＋1＝17， a 4＝173×17＋1＝110，a 5＝1103×110
＋1＝113， a 6＝1133×113
＋1＝116，…，各项分子为1，分母构成等差数列{b n }，首项b 1＝1，公差为d ＝3， 所以b 34＝b 1＋(34－1)d ＝1＋33×3＝100，故选A.
7.给出以下四个命题：
①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；
②若a >b ，则am 2>bm 2；
③在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；
④在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根.
其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是(
)
A.①
B.②
C.③
D.④
答案 C
8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.73
B.172
C.13
D. 17＋3102
答案 C
解析 该三视图的几何体是三棱台ABC —DEF ，为正方体中的一部分，如图.
BC ＝2，EF ＝22，BE ＝CF ＝5，
S BCFE ＝12(2＋22)× (5)2－(22)2＝92
， 所以S 表＝12＋2＋2×12×(1＋2)×2＋92
＝13.故选C.
9.已知三角形的三边分别为a ，b ，c ，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为S ＝12
(a ＋b ＋c )r ；四面体的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为R .类比三角形的面积可得四面体的体积为( )
A.V ＝12
(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R B.V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R C.V ＝14
(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R D.V ＝(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R
答案 B
解析 根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而
面积与体积进行类比，∴△ABC 的面积为S ＝12
(a ＋b ＋c )r ， 对应于四面体的体积为V ＝13
(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R . 10.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把
乙猜的数字记为b ，且a ，b ∈{0，1，2，…，9}.若|a －b |≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为( )
A.725
B.925
C.750
D.950
答案 A
解析 共有10×10＝100(种)猜字结果，其中满足|a －b |≤1的有：当a ＝0时，b ＝0，1；当a ＝1时，b ＝0，1，2；当a ＝2时，b ＝1，2，3；当a ＝3时，b ＝2，3，4；当a ＝4时，b ＝3，4，5；当a ＝5时，b ＝4，5，6；当a ＝6时，b ＝5，6，7；当a ＝7时，b ＝6，7，8；当a ＝8时，b ＝7，8，9；当a ＝9时，b ＝8，9，共28种，所以他们“心有灵犀”的概率为
P ＝28100＝725
，故选A. 11.函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递减区间是( )
A.(0，12
) B.(－12，0)和(12，＋∞) C.(12
，＋∞) D. (－∞，－12)和(0，12
) 答案 A
解析 由题意，得f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ＝(2x ＋1)(2x －1)x (x >0)，又当x ∈(0，12
)时，f ′(x )<0， 所以函数f (x )的单调递减区间是(0，12
)，故选A. 12.已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )
A.43
B.53
C.2
D.73
答案 B
解析 由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，
① 又|PF 1|＝4|PF 2|，
②
联立①②解得|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23
a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理，
得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2. 要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，
当cos ∠F 1PF 2＝－1时，
解得e ＝53(e ＝－53
不合题意，舍去)， 即e 的最大值为53
，故选B. 13.(1－12
x )(1＋2x )5展开式中x 2的系数为________. 答案 60
解析 因为(1＋2x )5展开式的通项公式为
T k ＋1＝C k 5·2k ·x 2k
，
所以(1－12
x )(1＋2x )5展开式中x 2的系数为 1×C 45×24－12
×C 25×22＝60. 14.曲线y ＝x 3－2x 在(1，－1)处的切线方程为__________________.
答案 x －y －2＝0
解析 y ′＝3x 2－2，y ′|x ＝1＝1，
所以切线方程为x －y －2＝0.
15.程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是__________________.
答案 13
解析 由程序框图知：第一次循环S ＝1＋21－2＝－3，i ＝2；第二次循环S ＝1－31＋3
＝－12，i ＝3；第三次循环S ＝1－121＋12＝13，i ＝4；第四次循环S ＝1＋131－13
＝2，i ＝5；第五次循环S ＝1＋21－2＝－3，i ＝6；…S 值的周期为4，∵跳出循环体的i 值为2 106，∴共循环了2 015次，∴输出的S ＝13.
16.已知向量OP →＝(2，1)，OA →＝(1，7)，OB →＝(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原
点)，那么XA →·XB →的最小值是________.
答案 －8
解析 直线OP 方程为y ＝12
x ， 设点X 坐标为(m ，12
m )， 则XA →＝(1－m ，7－12m )，XB →＝(5－m ，1－12
m )， 所以XA →·XB →＝(1－m )(5－m )＋(7－12m )(1－12
m ) ＝54m 2－10m ＋12＝54
(m －4)2－8， 当m ＝4时，XA →·XB →有最小值为－8.。