(完整版)北师大八年级上册第一章勾股定理的逆定理(基础)

勾股定理的逆定理（基础）【学习目标】1.理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2.能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3.理解勾股数的含义；4.通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.【要点梳理】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系.若c2=a2+b2，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若c2≠a2+b2，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：当a2+b2<c2时，此三角形为钝角三角形；当a2+b2>c2时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y、z 为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a、b、c 是勾股数，当t 为正整数时，以at、b、t ct 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）n2-1，2，n n2+1（n>1,n是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）2n2+ 2n, 2n +1, 2n2+ 2n +1（n≥1，n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）m2-n2,m2+n2,2mn （m >n, m、n 是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、勾股定理的逆定理1、判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形．（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25；（2）a ＝43，b ＝1，c ＝3；4（3）a =m2-n2，b =m2+n2，c = 2mn ( m >n > 0 )；【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．【答案与解析】解：（1）∵a2+b2= 72+ 242= 625 ，c2= 252= 625 ，∴ a2+b2=c2．∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形．⎛3 ⎫2（2）∵ a >b >c ，b2+c2=12+ ⎪⎝4 ⎭ = 1+9=2516 16⎛4 ⎫2，a2= ⎪⎝3 ⎭=16，9∴ b2+c2≠a2．∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形．（3）∵∴m >n > 0 ，m2+n2> 2mn ，m2+n2>m2-n2．∵a2+c2= (m2-n2 )2+ (2mn)2=m4- 2m2n2+n4+ 4m2n2=m4+ 2m2n2+n4，b2= (m2+n2 )2=m4+ 2m2n2+n4，∴ a2+c2=b2．∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形．【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证c2与a2+b2是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形．举一反三：【变式】（2015 春•安陆市期中）发现下列几组数据能作为三角形的边：（1） 8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（）A.1 组B.2 组C.3 组D.4 组【答案】C.解：①∵82+152=172，∴能组成直角三角形；②∵52+122=132，∴能组成直角三角形；③122+152≠202，∴不能组成直角三角形；④72+242=252，∴能组成直角三角形． 故选 C ．2、（2016 春•丰城市期末）如图，已知四边形 ABCD 中，∠B＝∠90°， AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13，求四边形 ABCD 的面积．【思路点拨】由 AB ＝3，BC ＝4，∠B＝90°，应想到连接 AC ，则在 Rt△ABC 中即可求出△ ABC 的面积，也可求出线段 AC 的长．所以在△ACD 中，已知 AC ，AD ，CD 三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积． 【答案与解析】解：连接 AC ，在△ABC 中，因为∠B＝90°，AB ＝3，BC ＝4，所以 AC 2 = AB 2 + BC 2 = 32 + 42 = 9 +16 = 25 ，所以 AC ＝5， 在△ACD 中，AD ＝13，DC ＝12，AC ＝5，所以 DC 2 + AC 2 = 52 +122 = 25 +144 = 169 = 132 = AD 2 ，即 DC 2 + AC 2 = AD 2 ．所以△ACD 是直角三角形，且∠ACD＝90°．1 1所以 S 四边形ABCD = S △△ABC + S ACD = 2 AB BC + 2AC DC= 1 ⨯ 3⨯ 4 + 1⨯ 5⨯12 = 6 + 30 = 36 ． 2 2【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解，本题是勾股定理及逆定理的综合考察．类型二、勾股定理逆定理的应用3、已知： a , b , c 为∆ABC 的三边且满足 a 2 + b 2 + c 2 + 338 = 10a + 24b + 26c ，试判断∆ABC 的形状. 【答案与解析】解：∵ a 2 + b 2 + c 2 + 338 = 10a + 24b + 26c∴a 2- 10a +b 2- 24b +c 2- 26c + 338 = 0(a - 5)2+ (b - 12)2+ (c - 13)2= 0∴a = 5, b = 12, c = 13 ，a 2+b 2=c 2∴△ABC 是直角三角形.【总结升华】此类问题中要判断的三角形一般都是特殊三角形，一定要善于把题目中已知的条件等式进行变形，从而得到三角形的三边关系.对条件等式进行变形常用的方法有配方法，因式分解法等.举一反三：【变式】请阅读下列解题过程：已知a、b、c 为△ABC 的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC 的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，第一步∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），第二步∴c2=a2+b2，第三步∴△ABC为直角三角形．第四步问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：；（2）错误的原因是：；（3）本题正确的结论是：．【答案】解：（1）第三步；（2）方程两边同时除以（a2﹣b2）时，没有考虑（a2﹣b2）的值有可能是0；（3）∵c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）∴c2=a2+b2 或a2﹣b2=0∵a2﹣b2=0∴a+b=0 或a﹣b=0∵a+b≠0∴c2=a2+b2或a﹣b=0∴c2=a2+b2 或a=b∴该三角形是直角三角形或等腰三角形．4、（2015•秦皇岛校级模拟）如图，铁路MN 和铁路P Q 在 P 点处交汇，点 A 处是第九十四中学，AP=160 米，点 A 到铁路 MN 的距离为 80 米，假使火车行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响．（1）火车在铁路 MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，已知火车的速度是 180 千米/时那么学校受到影响的时间是多久？【思路点拨】（1）过点 A 作AE⊥MN于点E，由点 A 到铁路 MN 的距离为 80 米可知 AE=80m，再由火车行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；（2）以点 A 为圆心，100 米为半径画圆，交直线 MN 于BC 两点，连接 AB、AC，则AB=AC=100m，在Rt△ABE中利用勾股定理求出 BE 的长，进而可得出 BC 的长，根据火车的速度是 180 千米/时求出火车经过 BC 是所用的时间即可．【答案与解析】解：（1）会受到影响．过点 A 作AE⊥MN 于点 E，∵点 A 到铁路 MN 的距离为 80 米，∴AE=80m，∵周围 100 米以内会受到噪音影响，80＜100，∴学校会受到影响；（2）以点 A 为圆心，100 米为半径画圆，交直线 MN 于BC 两点，连接 AB、AC，则AB=AC=100m，在Rt△ABE 中，∵AB=100m，AE=80m，∴BE===60m，∴BC=2BE=120m，∵火车的速度是 180 千米/时=50m/s，∴t===2.4s．答：学校受到影响的时间是 2.4 秒．【总结升华】题考查的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解．【巩固练习】一.选择题1.（2016 春•庆云县期末）下列各组数中，以a，b，c 为边的三角形不是直角三角形的是（）A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=52.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）．A.CD、EF、GHB.AB、EF、GHC.AB、CF、EFD.GH、AB、CD3.下列说法：（1）在△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；（2）若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2；（3）在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C=90°；（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5 和12，则斜边上的高为．其中说法正确的有（）．A.4个B.3 个C.2 个D.1 个4.（2015 春•临沂期末）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对5.已知三角形的三边长为n、n、+1 m (其中m2= 2n +1)，则此三角形( )．A.一定是等边三角形B.一定是等腰三角形C.一定是直角三角形D.形状无法确定6.三角形的三边长分别为a2+b2、2ab 、a2-b2（a、b 都是正整数），则这个三角形是（）．A.直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定二.填空题7．（2016 春•岳池县期末）若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的高为．8.（2015•本溪模拟）如图，在2×2的正方形网格中有9 个格点，已经取定点A 和B，在余下的7 个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的点C 有个．9.已知x-5+y-3+Z-4=0,则由此x，y，z为边的三角形是三角形.10.在△ABC中，若其三条边的长度分别为 9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是．11.若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60 cm ，则它的面积为．12.如图，AB＝5，AC＝3，BC 边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为．三.解答题113.已知：如图，在正方形 ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且 CE＝CB ，4求证：AF⊥FE．14.观察下列各式：33+ 42= 52，82+ 62=102，152+82=172，242+102= 262，…，你有没有发现其中的规律?请用含n 的代数式表示此规律，再根据规律写出接下来的式子．15.（2015 春•石林县校级月考）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4 米，CD=3 米，∠ADC=90°，AB=13 米，BC=12 米，求这块空地的面积？【答案与解析】一.选择题1.【答案】A【解析】∵1.52+22≠32，故构不成直角三角形.2.【答案】B【解析】AB2=22+22=8，CD2=42+22=20，EF2=12+22=5，GH2=32+22=13，所以 AB2+EF2=GH2．3.【答案】B【解析】（1）根据勾股定理的逆定理，若a2+c2=b2，则△ABC 也为直角三角形，故错误；（2）符合勾股定理，故正确；（3）符合勾股定理的逆定理，故正确；（4）首先根据勾股定理计算其斜边是 13，再根据面积计算其斜边上的高，该高等于两条直角边的乘积除以斜边，故正确．4.【答案】A.【解析】解：∵正方形小方格边长为 1，∴BC==2，AC==，AB==，在△ABC 中，∵BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC 是直角三角形．故选：A．5.【答案】C【解析】n2+m2=(n +1)2, n2+ 2n +1 =(n +1)2，满足勾股定理的逆定理.6.【答案】A【解析】(a2-b2 )2+(2ab)2= (a2+b2 )2，满足勾股定理的逆定理.二.填空题7.【答案】4.8；【解析】∵三角形三边的长分别为6、8 和10，62+82=100=102，∴此三角形是直角三角形，边长为10 的边是最大边，设它的最大边上的高是h，∴6×8=10h，解得，h=4.8．8.【答案】4；【解析】解：如图，C 1，C 2，C 3，C 4 均可与点 A 和 B 组成直角三角形． 故答案为：4．9. 【答案】直角； 10. 【答案】108【解析】△ABC 是直角三角形. 11. 【答案】120【解析】这个三角形是直角三角形，设三边长为5x ;12x ;13x ，则5x +12x +13x = 30x = 60 ，解得 x = 2 ，它的面积为15x ⋅12x = 1⨯ 60 ⨯ 4 = 120 . 2 212. 【答案】6【解析】延长 AD 到 E ，使 DE ＝AD ，连结 BE ，可得△ABE 为 Rt△． 三.解答题13. 【解析】解：连结 AE ，设正方形的边长为4a ，则 DF ＝CF ＝ 2a ，CE ＝ a ，BE ＝ 3a ，在 Rt△ADF 中， AF 2 = AD 2 + DF 2 = 16a 2 + 4a 2 = 20a 2 ， 在 Rt△CEF 中， EF 2 = CE 2 + CF 2 = a 2 + 4a 2 = 5a 2 ，在 Rt△ABE 中， AE 2 = AB 2 + BE 2 = 16a 2 + 9a 2 = 25a 2 ，因为 AE 2 = AF 2 + EF 2 ，所以三角形 AEF 为直角三角形，AF⊥FE．14. 【解析】解： 352 +122 = 372 ，⎡(n +1)2 -1⎤2 + ⎡2 (n +1)⎤2 = ⎡(n +1)2 +1⎤2．( n ≥1 且 n 为整数)⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦15. 【解析】解：如图，连接 AC ．在△ACD 中，∵AD=4 米，CD=3 米，∠ADC=90°， ∴AC=5 米，又∵AC 2+BC 2=52+122=132=AB 2， ∴△ABC 是直角三角形，∴这块地的面积=△ABC的面积﹣△ACD的面积= ×5×12﹣×3×4=24（平方米）．。