最新人教版高中数学选修2-1第一章《全称量词、存在量词复习》教学设计

教学设计本章复习教学目标知识与技能了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，会分析四种命题间的相互关系，通过数学实例，了解逻辑联接词“或”“且”“非”的含义；理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．过程与方法通过本章的学习，体会逻辑用语在数学表述和论证及实际生活中的运用，引导学生在使用常用逻辑用语的过程中，掌握逻辑用语的用法，纠正出现的错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性和简洁性，避免对逻辑用语的机械记忆和抽象表示．培养学生由具体到抽象的思维方法，发展理性思维能力．情感、态度与价值观通过本章的学习，提高学生理性分析，逻辑推理的能力；体会数学的严谨性，提高思维的深刻性和批判性，感受对立统一的思想，培养良好的思维品质．重点难点教学重点：(1)理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；(2)理解充分条件，必要条件及充要条件的意义；(3)学会用定义解题，理解数形结合、分类讨论、等价转换等思想方法．教学难点：(1)理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；(2)理解充分条件，必要条件及充要条件的意义；(3)学会用定义解题，理解数形结合、分类讨论及等价变换等思想方法．教学过程形成网络1．本章的知识结构图2．本章基本知识点(1)命题：用语言、符号或式子表达的，可以______叫做命题，其中判断为真的语句叫做______，判断为假的语句叫做______．(2)四种命题的形式及其关系：①四种命题：若原命题为“若p，则q”，则其逆命题为______；否命题是______；逆否命题是______．②四种命题之间的关系：(3)充分条件、必要条件与充要条件：①充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为______，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，______，记作______，并且说______的充分条件，______的必要条件．②充要条件：一般地，如果既有______，又有______，就记作p q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的______条件．概括地说，如果p q，那么______互为充要条件．(4)逻辑联接词①命题中的______、______、______叫做逻辑联接词．②命题“p∧q、p∨q、p(或q)”真假判断.(5)全称量词与存在量词①全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做______，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题，叫做______．②存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做______，并用符号“ ”表示．含有存在量词的命题，叫做______．(6)含有一个量词的命题的否定①全称命题p：x∈M，p(x)，它的否定p：______.②存在命题p：x0∈M，p(x0)，它的否定p：______.提出问题：1.请同学们独立完成知识填空．2．在完成知识填空的同时，回想一下本章有哪些基本题型，解决这些基本题型的方法和步骤是什么？活动设计：学生独立完成基本知识填空，然后让几位同学口答填空答案，教师借助多媒体投影出知识填空的答案，适当地规范学生的表述；通过回忆旧知识，并思考、讨论回答问题．学情预测：学生在前面几节学习的基础上，能够顺利地完成基本知识填空，但在准确性、规范表达上会存在着一定的差距．题型和方法的总结更是五花八门．活动结果：知识填空答案：(1)判断真假的陈述句真命题假命题(2)①若q，则p若p，则q若q，则p(3)①真命题由p可以推出q p q p是q q是p②p q q p充要p与q(4)①或且非(5)①全称量词全称命题②存在量词特称命题(6)①x0∈M，p(x0)②x∈M，p(x)设计意图：全面系统地梳理基础知识，帮助学生巩固基础，加深对概念、公式、定理的理解，虽然题型和方法总结得不到位，教师利用下一环节“典型示例”和同学们一块儿总结一下本章的重点题型和方法．典型示例类型一：命题的关系及真假的判断1写出命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．思路分析：写成“若p，则q”的形式，再分别写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后逐一判断真假．解：逆命题：当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b，是真命题；否命题：当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc，是真命题；逆否命题：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b，是真命题．点评：对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件和结论，只有将条件和结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．巩固练习1．对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是()A．所给命题为假B．它的逆否命题为真C．它的逆命题为真D．它的否命题为真2．“若x≠a，则x2－(a＋b)x＋ab≠0”的否命题()A．若x≠a，则x2－(a＋b)x＋ab＝0B．若x＝a，则x2－(a＋b)x＋ab≠0C．若x＝a，则x2－(a＋b)x＋ab＝0D ．以上都不对 答案：1.B 2.C类型二：充分条件与必要条件的判定 2指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：a ＋b ＝2; q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a)2＋(y －b)2＝2相切； (2)p ：|x|＝x ；q: x 2＋x ≥0；(3)设l ，m 均为直线，α为平面，其中l α，m α ，p ：l ∥α；q ：l ∥m ； (4) 设α∈(－π2，π2)，β∈(－π2，π2)；p: α<β；q ：tanα<tanβ.思路分析：利用定义，逐一判断即可． 解：(1)p 是q 的充要条件； (2)p 是q 的充分不必要条件； (3)p 是q 的必要不充分条件； (4)p 是q 的充要条件．点评：注意p 与q 之间关系的方向性，充分条件与必要条件正好相反，不要混淆．巩固练习设a ，b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题q ：(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，则p 是q 成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B类型三：充要条件的证明3求证：直线l ：ax －y ＋b ＝0经过两直线l 1：2x －2y －3＝0和l 2：3x －5y ＋1＝0交点的充要条件是17a ＋4b ＝11.思路分析：从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明．解：(必要性)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y －3＝0，3x －5y ＋1＝0， 得交点P(174，114)．∵直线l 过点P ， ∴ a ×174－114＋b ＝0.∴ 17a ＋4b ＝11.(充分性)：设a ，b 满足17a ＋4b ＝11，∴ b ＝11－17a 4.代入直线l 的方程：ax －y ＋11－17a4＝0， 整理得：a(x －174)－(y －114)＝0.此方程表明，直线恒过两直线y －114＝0，x －174＝0的交点(174，114)，而此点为l 1与l 2的交点． ∴充分性得证． ∴综上所述，命题为真．点评：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“ ”，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性．类型四：用“或、且、非”连接简单命题，并判断真假4已知命题p ： x ∈R ，使tanx ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧q ”是假命题；③命题“p ∨q ”是真命题； ④命题“p ∨q ”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④思路分析：首先判断每个简单命题的真假，然后依照真值表逐个判断每个复合命题的真假．解：命题p ：x ∈R ，使tanx ＝1是真命题，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x|1<x<2}是真命题，由真值表可知，命题“p ∧q ”是真命题，命题“p ∧q ”是假命题，命题“p ∨q ”是真命题， 命题“p ∨q ”是假命题，即四个结论均正确，应选D.点评：本题的关键是判断每个简单命题的真假．巩固练习如果命题“(p 或q)”为假命题，则( ) A ．p 、q 均为真命题 B ．p 、q 均为假命题C ．p 、q 中至少有一个为真命题D ．p 、q 中至多有一个为真命题 答案：C类型五：全称、特称命题的真假及全称、特称命题的否定5写出下列命题的否定，判断它们否定的真假．(1)无论x为何实数，sin2x＋cos2x＝1；(2)不等式x2＋x＋1≤0有实数解．思路分析：否定量词，否定判断词，写出命题的否定，然后判断命题的真假．解：(1)存在x0 为实数，sin2x0＋cos2x0≠1.是假命题．(2) x∈R，都有不等式x2＋x＋1>0成立．是真命题．点评：只否定全称量词和存在量词，或只否定判断词，会因为否定不全面或否定词不准确而致错．巩固练习命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是()A．不存在x0∈R,2x0>0 B．存在x0∈R,2x0≥0C．对任意的x∈R,2x≤0 D．对任意的x∈R, 2x>0答案：D拓展实例1用反证法证明：已知x、y∈R，x＋y≥2，则x、y中至少有一个大于1.思路分析：因原命题与逆否命题是等价命题，可以考虑证明它的逆否命题为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．当然也可选用反证法．证明：(法一)若设x<1且y<1，则由不等式同向相加的性质得到：x＋y<2，这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题，∴若x、y∈R，x＋y≥2, 则x、y中至少有一个大于1成立．(法二)假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质得到x＋y<2；与已知x＋y≥2矛盾，∴假设不成立．∴x、y中至少有一个大于1.点评：反证法的理论依据是：欲证“若p，则q”为真，先证“若p，则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件(不能同时成立，但必有一个成立)，所以当“若p，则非q”为假时，“若p，则q”一定为真．2若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件．思路分析：利用“”“”符号分析各命题之间的关系．解：由D C B A ，∴DA ，D 是A 的充分条件．点评：符号“”“”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的．变练演编设集合M ＝{x|0<x ≤3}，N ＝{x|x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0}，若“x ∈M ”是“x ∈N ”成立的必要不充分条件，求a 的取值范围．思路分析：将“x ∈M ”是“x ∈N ”成立的必要不充分条件，转化为集合之间的关系即N M.解：由x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，解得a ≤x ≤a ＋1， ∴N ＝{x|a ≤x ≤a ＋1}，由于N M ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a>0，a ＋1≤3.解得0<a ≤2. 所以a 的取值范围为{a|0<a ≤2}．点评：在涉及求字母参数的取值范围的充要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑．提出问题：设集合M ＝{x|0<x ≤3}，N ＝{x|x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0}，若“x ∈M ”是“x ∈N ”成立的______条件，求a 的取值范围．活动设计：引导学生适当改变题目的条件和结论，进行一题多变，学生自己设计题目进行研究，将所有发现的结果一一列举，熟练充要条件的判断方法．活动结果：(1)充分不必要；a ∈ ； (2)必要；{a|0<a ≤2}； (3)充要；a ∈．设计意图：通过本题产生对充要条件一个认识上的升华，完成对充分条件、必要条件、充要条件的再认识．达标检测1．命题“方程|x|＝1的解是x ＝±1”中，使用逻辑联结词的情况是( ) A ．使用了逻辑联结词“或” B ．使用了逻辑联结词“且” C ．使用了逻辑联结词“非”D．没有使用逻辑联结词2．已知条件p：k＝3，条件q：直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＝1相切，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．命题“若a>b, 则2a>2b”的否命题为______．4．命题p：x∈R，f(x)≥m.则命题p的否定p是______．答案：1.A 2.A 3.若a≤b，则2a≤2b 4. x0∈R，f(x0)＜m课堂小结1．知识收获：(1)命题的概念；(2)四种命题的形式及其关系；(3)充分条件、必要条件与充要条件；(4)逻辑联结词；(5)全称量词与存在量词；(6)含有一个量词的命题的否定．2．方法收获：(1)命题的关系及真假的判断；(2)充分条件与必要条件的判定；(3)充要条件的证明；(4)用“或、且、非”连接简单命题，并判断真假；(5)全称特、称命题的真假及全称、特称命题的否定．3．思维收获：体会数学的严谨性，提高思维的深刻性和批判性，养成严谨缜密的思维习惯．布置作业课本复习参考题：A组第5题、第6题．补充练习1．在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，为真命题的是()A．若l β且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β且α⊥β，则l∥αD．若α∩β＝m且l∥m，则l∥α2．下列命题中不正确的是()A．a，b∈R，a n＝an＋b，有{a n}是等差数列B．a，b∈R，a n＝an2＋bn，使{a n}是等差数列C．a，b，c∈R，S n＝an2＋bn＋c，有{a n}是等差数列D．a，b，c∈R，S n＝an2＋bn＋c，使{a n}是等差数列3．以下判断正确的是()A．若p是真命题，则“p且q”一定是真命题B．命题“p且q”是真命题，则命题p一定是真命题C．命题“p且q”是假命题时，命题p一定是假命题D．命题p是假命题时，命题“p且q”不一定是假命题4．“m＝12”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的()A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件5．设p：大于90°的角叫钝角，q：三角形三边的垂直平分线交于一点，则p、q的复合命题“p或q”“p且q”“非q”中，是真命题的有______．答案：1.B 2.C 3.B 4.B 5.p或q设计说明设计思想通过基础知识填空，帮助学生回顾基本概念、定理和相关结论，通过典型示例总结本章的基本题型和方法；通过练习和作业加深对概念的理解和应用概念的熟练性．设计意图由于本章概念多、理论性较强，通过基础知识填空，帮助学生准确记忆相关概念，并形成本章的知识网络；通过典型示例教学既要总结题型和方法，又要熟练相关题型的解题步骤和准确规范的表述；教学中不要急于求成，而应在后续的教学中经常借助这些概念表达、阐述和分析．设计特点从学生的认知基础出发结合具体的题型和方法，在加深概念理解的同时，熟练相关概念的应用，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，使自己的认知结构更趋合理．备课资料1已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2－mx ＋2＝0}，若A 是B 的必要不充分条件，求实数m 的范围．思路分析：化简条件得A ＝{1,2}，由于A 是B 的必要不充分条件，即B A ，只需根据集合B 中含有的元素个数进行分类讨论即可．解：当B ＝ 时，Δ＝m 2－8<0，∴ －22<m<2 2.当B ＝{1}或{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，1－m ＋2＝0或4－2m ＋2＝0，m 无解； 综上所述，m 的取值范围是{m|－22<m<22}．点评：全面地挖掘题中隐藏条件是解题过程中需考虑的一个重要方面，如本题当B ＝{1}或{2}时，不能遗漏Δ＝0；即对于分类讨论要做到不重不漏．2已知a>0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对 x ∈R 恒成立，若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围．思路分析：要判断含有逻辑联结词的复合命题的真假，首先要先确定构成复合命题的简单命题的真假，即求出此时简单命题成立的条件；其次求出含逻辑联结词的复合命题成立的条件；注意p ∧q 为假且p ∨q 为真，等价于p ，q 中一真一假．解：∵y ＝a x 在R 上单调递增，∴a>1.又不等式ax 2－ax ＋1>0对 x ∈R 恒成立， ∴Δ<0，a>0.即a 2－4a<0.解得0<a<4.而命题p 且q 为假，p 或q 为真，那么p ，q 中有且只有一个为真，一个为假．(1)若p 真q 假，则a ≥4，(2)若q 真p 假，则0<a ≤1.所以a 的取值范围是(0,1]∪[4，＋∞)．点评：本题也可先求出每个命题为真时，相应的a 的取值范围，再根据p ，q 之间的关系确定a 的取值范围．(设计者：赵海彬)。