数值计算课后答案2
《数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
《数值计算方法》 课后题 答案(曾金平)湖南大学
= 0.105 × 10 2 − 0.144 × 10 2 + 0.657 × 10 1 − 1
= 0.167 × 101
g ( 2.19) = ((−0.81) × 0.219 × 101 + 3) × 0.219 × 101 − 1
= 0.123 × 10 1 × 0.219 × 10 1 − 1 = 0.169 × 101 1 1 即 f ( x) = 0.167 × 10 ， g ( x) = 0.169 × 10
而当 x = 2.19 时 x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 的精确值为 1.6852，故 g ( x ) 的算法较正确。 8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算） ： （1）
∑3
i =1
6
1
i 6
；(2)
∑3
i =6
1
1
i
。
解： （1）
∑3
i =1 1
1
i
1 1 1 1 1 1 = + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 0.333 + 0.111 + 0.037 + 0.012 + 0.004 + 0.001 3 3 3 3 3 3
xk
1 1.5 1.25 1.125 1.0625 1.09375 1.109375 1.1171875 1.11328125 1.115234375 1.1142578125 1.11376953125
f ( xk )
-0.1585 0.4962 0.1862 0.015051 -0.0718 -0.02835 -0.00664 0.004208 -0.001216 0.001496 0.001398 -0.000538
数值计算方法课后习题答案
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值计算方法答案
1数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，92习题一1．设x>0相对误差为2%，4x的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈得（1）()f x=11()()*2%1%22x xδδδ≈===；（2）4()f x x=时444()()'()4()4*2%8%xx x x xxδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P关于1212.m nx a a a bb b=±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl≈⨯+⨯= 21(0.3197100.259110)fl⨯+⨯=0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？3解：设该正方形的边长为x，面积为2()f x x=，由(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈解得(())()()'()f x f xxxf xδδ≈=2(())(())22f x x f xx xδδ==0.5%5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x<<，（A）11121xyx x-=-++，（B）22(12)(1)xyx x=++；（2）已知1x>>，（A）y=，（B）y=；（3）已知1x<<，（A）22sin xyx=，（B）1cos2xyx-=；（4）（A）9y=（B）y=解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等) (修复的)
，。
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)
数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k kx a x x x x +-⎫⎛-=+==⎪ ⎝⎭（2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤-110218， 而()k k k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
数值计算课后规范标准答案2
习 题 二 解 答1．用二分法求方程x 3-2x 2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即误差不超过31102-⨯。
分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。
解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。
由34311*1022222n n n n n n b a b a x x -----≤===<⨯ 有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000， 所以n ＝11，即只需要二分11次即可。
x *≈x 11=3.632。
指出：（1）注意精确度的不同表述。
精确到10-3和误差不超过10-3是不同的。
（2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。
如果计算过程中取4位小数，结果取3位，则如下表：（3）用秦九韶算法计算f(x n )比较简单。
1*．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。
解：令32247y x x x =---， 则2344322()()y x x x x '=--=+-当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有12223,x x =-=。
函数单调区间列表分析如下：因为214902150327(),()y y -=-<=-<，所以方程在区间223(,)-上无根； 因为21490327()y -=-<，而函数在23(,)-∞-上单调增，函数值不可能变号，所以方程在该区间上无根；因为2150()y =-<，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。
所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。
2．证明1sin 0x x --=在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于41102-⨯的根，需要迭代多少次？分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等) (修复的)
，。
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
习 题 二 解 答1．用二分法求方程x 3-2x 2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即误差不超过31102-⨯。
分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。
解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。
由34311*1022222n nn nnnb a b a x x -----≤===<⨯有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000， 所以n ＝11，即只需要二分11次即可。
x *≈x 11=3.632。
指出：（1）注意精确度的不同表述。
精确到10-3和误差不超过10-3是不同的。
（2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。
（3）用秦九韶算法计算f(x n )比较简单。
1*．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。
解：令32247y x x x =---， 则2344322()()y x x x x '=--=+-当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有12223,x x =-=。
因为214902150327(),()y y -=-<=-<，所以方程在区间223(,)-上无根；因为21490327()y -=-<，而函数在23(,)-∞-上单调增，函数值不可能变号，所以方程在该区间上无根；因为2150()y =-<，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。
所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。
2．证明1sin 0x x --=在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于41102-⨯的根，需要迭代多少次？分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。
解：令()1sin f x x x =--，因为(0)10sin 010,(1)11sin 1sin 10f f =--=>=--=-<，则(0)(1)0f f <，由零点定理，函数f(x)在[0,1]区间有一个根。
由41011*1022222n nn nnnb a b a x x -----≤===<⨯有2n-1＞10000，又为210＝1024，213＝8192<10000，214＝16384>10000 所以n ＝15，即需要二分15次。
指出：要证明的是有一个解而不是唯一解，因此不必讨论单调性。
3．试用迭代公式10220,1210k k k x x x x +==++，求方程32210200x x x ++-=的根，要求精确到510-。
分析：精确到510-即误差不超过51102-⨯解：令32()21020f x x x x =++- 列表进行迭代如下：指出：精确到510-可以从两个方面判定。
第一，计算过程中取小数到510-位，最后两个计算结果相同，终止计算。
第二，计算过程中取小数到610-，当511102k k x x -+-<⨯终止计算。
本题采用第一种方法。
4．将一元非线性方程20cos x x e -=写成收敛的迭代公式，并求其在005.x =附近的根，要求精确到210-。
解：20cos x x e -=改写为222110cos cos cos x xxx x x e ee=⇒=⇒-=，则21cos xx x x e=+-，设 21cos ()xx g x x e=+-有22224111)sin cos (sin cos )()()xxxxxx xe xex x g x e eeπ+--+'=+=-=-在005.x =处，因为05054051096151..)(.).g eπ+'=-=<所以迭代法121cos ()kkk k x x g x x e+=+-在005.x =的邻域内收敛。
列表迭代如下：此时0692069000614.cos ..e -=。
5．为求方程3210x x --=在015.x =附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：12213223121121111121111311(),;(),();(),.()k kk kk k x x xx x x x x x x x x +++=+=+=+=+==--迭代公式迭代公式迭代公式 试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字的近似值。
解：（1）因为211x x=+，所以迭代函数为211()g x x =+，则23212()()()g x xxx--'''===-，3322152151153375(.)...g -'=-⨯==<满足局部收敛性条件，所以迭代公式1211k kx x+=+具有局部收敛性。
（2）因为1231()x x =+,所以迭代函数为1231()()g x x =+,则12122332231221213331()()()()xg x x x x x x --'=+=+=+,223215150********.(.).(.)g ⨯'==<+满足局部收敛性条件,所以迭代公式12311()k kx x +=+具有收敛性。
（3）因为1211()x x =-，所以迭代函数为1211()()g x x =-，则13122111122()()()g x x x ---'=--=--，323211151********205(.)(.)..g -'=-==>⨯不满足收敛性条件，所以迭代公式11211()k k x x +=-不具有收敛性。
用迭代公式1211k kx x+=+列表计算如下：所以，方程的近似根为1465*.x ≈。
6．设23()()x x C x ϕ=+-，应如何取C 才能使迭代公式1()k k x x ϕ+=具有局部收敛性？解：设C 为常数，因为23()()x x C x ϕ=+-，所以12()x Cx ϕ'=+，要使迭代公式具有局部收敛性，需00121()x Cx ϕ'=+<，此时即有01121Cx -<+<，也即010Cx -<<。
即只要C 取满足如上条件的常数，就可以使得迭代公式具有局部收敛性。
指出：本题的一般形式为：设()()x x Cf x ϕ=+，应如何取C 才能使迭代公式1()k k x x ϕ+=具有局部收敛性？显然，()()x x Cf x ϕ=+是迭代格式1()k k x x ϕ+=相应的迭代函数，因此该迭代格式要求解的方程是()()()0x x x x Cf x f x ϕ=⇒=+⇒=。
也就是说，这是如何选择C ，构造一个求解方程f(x)=0的收敛的迭代格式的问题。
因为()()x x Cf x ϕ=+，所以()1()x Cf x ϕ''=+， 要使迭代格式收敛，需()1()1x Cf x ϕ''=+< 解之得2()0Cf x '-<<，即C 与()f x '异号，且()2Cf x '<。
下面的讨论利用了本题的特殊条件，求出了具体的结果：因为23()()x x C x ϕ=+-，所以当2(3)x x C x =+-时，有2(3)0C x -=，则x =23()()x x C x ϕ=+-的不动点为*x =。
而12()x Cx ϕ'=+， 根据局部收敛性定理，当1210C c ϕ'=+<⇒-<<；当(12(10C c ϕ'=+<⇒<<时，迭代格式收敛到。
7．用牛顿法求方程3310x x --=在初始值02x =邻近的一个正根，要求3110k k x x -+-<。
解: 因为3310x x --=所以有3()31f x x x =--，相应的迭代公式为3312231213333k k k k k k k x x x x x x x +--+=-=--取x 0=2为迭代的初始近似值。
迭代的结果列表如下：因为33210.0001102x x --=<⨯,符合计算的精度要求,所以*3 1.8794x x ≈=。
8．用牛顿法解方程10c x-=，导出计算数c 的倒数而不用除法的一种简单的迭代公式。
用此公式求0.324的倒数，设初始值03x =，要求计算有5位有效数字。
解：对于方程10c x -=，有1()f x cx =-，相应的迭代公式为212121k k k k k kc x x x x cx x +-=-=--。
应用该迭代公式求0.324的倒数，列表计算如下所以1308640324..≈。
指出： 如果将方程10c x -=改写为等价的10cx -=，则有1()f x cx =-，相应的迭代公式为111k k k cx x x cc+-=-=无法展开迭代。
9．设alimk →∞。
解：设a 为正实数，n 为自然数，由牛顿法，方程0()n f x x a =-=的解为11111()()(1)1[(1)]k k k k nnnk k k k n n k kn k n kk n kf x x x f x x a nx x ax nxnx n x anx a n x nx+----=-'--+=-=-+==-+此即求 由此，则111111[(1)][(1)] lim lim lim1[(1)(1)]lim1[(1)(1)]lim1[((1)()limnk n k k k k knkknkknkkan x n x axx n xn a n xn a n xa n n xn--→∞→∞→∞--→∞-→∞-→∞-+-+==--+-=--+-=---=111]2(1)(1)(1)lim22limn nkk kka n a nx x-++→∞→∞-⨯---====指出：本题中，表面上是k→∞的问题，但实际上却是kx→的问题，1,k kx x+才是极限过程中实际的变量。
本质上。
本题实际上是求极限11111[(1)][(1)] lim lim lim1[(1)]nk n k k k k knxan x n x axx n xn x ax--→∞→∞→∞--+-+==-+=由于讨论的是0型不定式，且不定式的分母上有2次的“0”因子，因此两次应用罗必塔法则。
解二：首先证明一个定理：定理：设**()0,()0f x f x'=≠，又设f(x)在*x的某个邻域内具有连续的二阶导数，则牛顿迭代法具有局部收敛性，且有。