天津市部分区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷 含答案

天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末考试高一数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{2,4,6,8}A =，{1,2,3,4}B =，则AB =（A ）{1,2,3,4,6,8} （B ）{2,4}（C ）{2}（D ）{2,3}2．已知角θ的终边与单位圆交于点1(,22P -，则tan θ的值为（A ）12-（B ）2（C ）（D3．已知1sin 3A =，则sin()A π-的值是 （A ）13（B ）13-（C（D ） 4．下列四个函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（A ）()f x x =（B ）2()2f x x x =-+（C ）12()f x x =（D ）1()1f x x=- 5．已知向量a ，b 满足||1a =，||2b =，()0b a a -⋅=，则a 与b 的夹角为（A ）6π（B ）3π （C ）23π（D ）56π6．要得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只需将函数sin2y x =的图象上所有点（A ）向右平移3π个单位长度 （B ）向左平移3π个单位长度（C ）向右平移6π个单位长度（D ）向左平移6π个单位长度7．已知132a =，12log 3b =，23log 2c =，则,,a b c 的大小关系为 （A ）a b c >> （B ）b a c >>（C ）a c b >>（D ）c a b >>8．关于函数sin 2y x =，下列说法正确的是（A ）函数在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减（B ）函数在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增（C ）函数图象关于直线2x π=对称（D ）函数图象关于点(,0)4π对称9．在ABC ∆中，120A ∠=，3AB =，4AC =.若2CM MB =，AN AC AB λ=+()λ∈R ，且43AN AM ⋅=，则λ的值为 （A ）1（B ）1- （C ）2-（D ）3-10．已知函数221222,,()|log |,.x mx m x m f x x x m ⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩其中01m <<，若存在实数a ，使得关于 x 的方程()f x a =恰有三个互异的实数解，则m 的取值范围是 （A ）104m <<（B ）102m << （C ）1142m <<（D ）112m << 第Ⅱ卷（非选择题，共80分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．设向量(3,4)a =-，则||a =_______. 12．函数()tan()4f x x π=+的定义域为________.13．已知3sin 4α=，则cos2α=________. 14．已知()f x 是定义在R 上且周期为４的奇函数，若当(0,2)x ∈时，1()2xf x =，则 (2019)f =_________.15．某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2018年全年投入研发资金5300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过7000万元的年份是_______年. （参考数据：lg1.080.03≈，lg5.30.73≈，lg 70.84≈）三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知向量1e ，2e 满足1||1e =，2||2e =，且1e 与2e 的夹角为45.若向量122te e +与向量12e te -垂直，其中0t >，求t 的值.17．（本小题满分12分）已知平面直角坐标系中，向量(1,2)a =，(cos ,sin )b x x =，且a b ∥. （Ⅰ）求tan x 的值； （Ⅱ）设(0,)2x π∈，求sin(2)3x π+的值．18．（本小题满分12分）设函数()lg()1af x a x =∈+R ，且(1)0f =. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求()f x 的定义域；（Ⅲ）判断()f x 在区间(0,)+∞上的单调性，并用单调性定义证明.19．（本小题满分12分）已知函数2()cos(2)2sin ,3f x x x x π=-+∈R .（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]46ππ-上的最大值和最小值.20．（本小题满分12分）已知函数2()f x x ax =-，()32h x x =-+，其中1a >. 设不等式(1)(1)2||f f x +-≥ 的解集为A .（Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）若对任意1x A ∈，存在2x A ∈，满足122()()f x h x =，求a 的取值范围.天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末考试高一数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.第Ⅱ卷（非选择题，共80分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．5 12．{|,}4x x k k ππ≠+∈Z 13．18- 14．12- 15．2022 三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）解：由向量数量积知1212||||cos451e e e e ⋅=⋅⋅= …………………………………………………3分因为向量122te e +与向量12e te -垂直，所以12(2)te e +⋅12()0e te -=， …………………………………………………5分 则22211222()(12)()0t e t e e t e +-⋅-=即2120t -=，又0t > ………………………………………10分所以2t =…………………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为(1,2)a =，(cos ,sin )b x x =且a b ∥，所以sin 2cos 0x x -=， ……………………………………………………4分 即tan 2x = ………………………………………………………………6分（Ⅱ）由tan 2x =，(0,)2x π∈，可得sin 5x =，cos 5x = ……………………………………………8分 4sin 22sin cos 5x x x ==…………………………………………9分 23cos 22cos 15x x =-=- ……………………………………………10分所以1sin(2)sin 2232x x x π+=+=分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为(1)lg 02af ==，所以2a =. ……………………………………2分 （Ⅱ）由201x >+，得10x +>，即1x >-， 所以()f x 的定义域为{|1}x x >-. …………………………………………5分 （Ⅲ）()f x 在区间(0,)+∞上单调递减. …………………………………………6分 设任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x <， 则112()lg1f x x =+，222()lg 1f x x =+，…………………………………………7分所以121222()()lglg 11f x f x x x -=-++211lg 1x x +=+ ……………………9分 因为120x x <<，所以12111x x <+<+，即21111x x +>+， …………………10分 得211lg01x x +>+. …………………………………………………11分 所以12()()0f x f x ->,即12()()f x f x >所以()f x 在区间(0,)+∞上单调递减. …………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()cos(2)2sin 3f x x x π=-+1cos 22cos 212x x x =+-+12cos 2122x x =-+ sin(2)16x π=-+ ……………………………………4分所以()f x 的最小正周期22T ππ==. ………………………………5分（Ⅱ）因为()f x 在区间[,]46ππ--上单调递减， 在区间[,]66ππ-上单调递增， ……………………………………………8分又()14f π-=-，()06f π-=，3()62f π=. ……………………………11分 所以()f x 在区间[,]46ππ-上的最大值为32，最小值为0. …………………12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2()f x x ax =-，得(1)(1)2f f +-=， …………………………1分 所以2||2x ≤，即11x -≤≤， …………………………………………3分 所以集合{|11}A x x =-≤≤. ………………………………………4分 （Ⅱ）由题意知121()()2f x h x =，设()f x 在区间[1,1]-上的取值范围为集合B ， 1()2h x 在区间[1,1]-上的取值范围为集合C ， 因为对任意1x A ∈，存在2x A ∈，满足121()()2f x h x =所以B C ⊆. ……………………………………………………………6分由132()22x h x -+=在区间[1,1]-上单调递减， 所以15[,]22C =- ……………………………………………………………7分2()f x x ax =-的对称轴为2ax =，① 当12a <<时，()f x 在区间[1,]2a -上单调递减，在区间[,1]2a上单调递增所以2min()()24a a f x f ==-，max ()(1)1f x f a =-=+，即2[,1]4a B a =-+， ……………………………………………………………8分 由B C ⊆，所以2142512a a ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得1a <≤ ……………………………9分② 当2a ≥时，()f x 在区间[1,1]-上单调递减， 所以min ()(1)1f x f a ==-，max ()(1)1f x f a =-=+，即[1,1]B a a =-+， …………………………………………………………10分由B C ⊆，所以112512a a ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩ ，解得a ∈∅；…………………………………11分综上所述，a的取值范围是1a <≤.…………………………………………12分。