高一上学期期末考试数学试题
四川省眉山市高一上学期期末考试数学试题(解析版)
高一上期末考试数学试题本试卷共150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效； 3．考试结束后，将答题卡交回.第I 卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1. 命题：“，有”的否定形式为（ ） p Q x ∀∈2Q x ∈p ⌝A. ，有 B. ，有 Q x ∀∉2Q x ∉Q x ∀∈2Q x ∉C. ，使 D. ，使Q x ∃∉2Q x ∉Q x ∃∈2Q x ∉【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题得命题：“，有”的否定形式为，使 p Q x ∀∈2Q x ∈p ⌝Q x ∃∈2Q x ∉故选：D.2. 已知集合，，则（ ） {}2A x x =<{}2120B x x x =-->A B = A. B.C.D.(,4)-∞-(,3)-∞-()3,2-(4,2)-【答案】B 【解析】【分析】求出集合中元素范围，再直接求交集即可.B 【详解】或，{}{2120|3B x x x x x =-->=<-}4x >{}2A x x =<则 A B = (,3)-∞-故选：B.3. 已知，，则的取值范围是（ ） 13x <<31y -<<3x y -A. B.C.D.(0,12)(2,10)-(2,12)-(0,10)【答案】C 【解析】【分析】利用不等式的性质得到的范围，再和的范围相加即可. 3y -x 【详解】,31y -<< ，又， 339y ∴-<-<13x <<2312x y ∴-<-<故选：C4. 设，下列说法中错误的是（ ） ,x y ∈R A. “”是“”的充分不必要条件 1x >21x >B. “”是“”的必要不充分条件 0xy =220x y +=C. “”是“”的充要条件 1,1x y >>2,1x y xy +>>D. “”是“”的既不充分也不必要条件 x y >22x y >【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的概念依次判断各选项即可.【详解】解：对于A ，因为的解集为，所以“”是“”的充分不必要条21x >()(),11,-∞-⋃+∞1x >21x >件，故正确；对于B ，“”时， “”不一定成立，反之“”成立时，“”一定成0xy =220x y +=220x y +=0xy =立，所以“”是“”的必要不充分条件，故正确；0xy =220x y +=对于C ，“”时，“”一定成立，反之 “”成立时，1,1x y >>2,1x y xy +>>2,1x y xy +>>不一定成立，例如，所以 “”是“”的充分不必要条1,1x y >>1,32x y ==1,1x y >>2,1x y xy +>>件，故错误；对于D ，当时，满足“”，但不满足“”；当时，满足“x 1,y 2==-x y >22x y >2,1x y =-=-22x y >”，但不满足“”，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故正确. x y >x y >22x y >故选：C 5. 函数的定义域为，则的取值范围为（ ）()f x =R a A. B.C.D.{2}[]1,2(2,)+∞[2,)+∞【答案】A 【解析】【分析】先验证时的情况，再当时，利用二次函数的性质列不等式求解. 1a =1a ≠【详解】当时，；1a =()f x =R 当时，若函数的定义域为，1a ≠()f x =R 则，解得 ()()210Δ410a a a ->⎧⎪⎨=---≤⎪⎩2a =故选：A. 6. 函数的图象大致为（ ）0.5log ||()22xxx fx -=+A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】判断函数的奇偶性可排除C 、D ，，，排除A ，即可得出答案.()0,1x ∈()0.5log 022xxx f x -=>+【详解】因为的定义域为，0.5log ||()22x xx f x -=+}{0x x ≠则，所以为偶函数，()0.5log ()22xxx f x f x ---==+()f x 所以排除C 、D ；当时，，()0,1x ∈0.5log 0,220xxx ->+>所以，排除A .()0.5log 022x xx f x -=>+故选：B .7. 设，则的最小值为（ ） ||1a <1211a a+-+A.B.C. 1D. 232+32【答案】A 【解析】【分析】先得到，再变形，展开，利用10,10a a ->+>()121121111211a a a a a a ⎛⎫+=+-++ ⎪-+-+⎝⎭基本不等式求最值即可.【详解】，则，||1a < 10,10a a ->+>()()21121121111311211211a a a a a a a a a a ⎡⎤-+⎛⎫∴+=+-++=++⎢⎥ ⎪-+-+-+⎝⎭⎣⎦，(13213322⎛ ≥+=+= +⎝当且仅当，即时，等号成立. ()21111a aa a-+=-+3a =-故选：A.8. 已知函数满足，若与的图像有交点，()()f x x ∈R ()()2f x f x +-=1y x =+()y f x =()11,x y ，，则（ ）()22,x y ()33,x y 123123x xx y y y +++++=A. B. 0C. 3D. 63-【答案】C 【解析】【分析】两个函数图像都关于点对称，则图像交点也关于点对称，可求值. ()0,1()0,1【详解】由可得，()()2f x f x +-=()()2f x f x -=-函数的图像上任意一点关于点的对称点为， 即点，()f x ()(),x f x ()0,1()(),2x f x --()(),x f x --函数的图像可以由奇函数的图像向上平移1个单位得到，所以函数的图像也关于1y x =+y x =1y x =+点对称，()0,1若与的图像有交点，，，不妨设， 1y x =+()y f x =()11,x y ()22,x y ()33,x y 123x x x <<由对称性可得，，，， 1302x x +=20x =1312y y +=21y =所以. 1231233x x x y y y +++++=故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知为全集，集合M ，，若，则（ ） I N I ⊆M N ⊆A. B.C.D.M N N ⋃=M N N ⋂=I I M N ⊆ðð()I N M ⋂=∅ð【答案】AD 【解析】【分析】直接根据集合间的关系逐一判断即可.【详解】因为，则，，则A 正确，B 错误； M N ⊆M N N ⋃=M N M ⋂=又为全集，集合M ，，则，，C 错误，D 正确； I N I ⊆I I M N ⊇ðð()I N M =∅ ð故选：AD.10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 已知且， B. 若，则 0x >1x ≠1ln 2ln x x+≥a b c >>a c b c ->-C. 若，则D.0a b >>55a b >1<【答案】BCD 【解析】【分析】根据对数函数的性质，结合不等式的性质、假设法进行逐一判断即可. 【详解】对A ：当时，，显然不成立，故本选项不是真命题； (0,1)x ∈ln 0x <1ln 2ln x x+≥对B ：根据不等式的性质，由，即，所以本选项是真命题； ()()a b a c b c >⇒+->+-a c b c ->-对C ：根据不等式的性质，由，所以本选项是真命题； 0a b >>⇒55a b >对D ：，所以本选项是真命题.)()2216230+-=-=-<1<11. 现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60℃.一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃，65℃，给出两个茶温T （单位：℃）关于茶泡好后置于室内时间t （单位：分钟，）的函数模型：①；②.根据所给的数据，下列结论中正确的t ∈N 380204t T ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭260203tT ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭是（ ）（参考数据：，） lg 20.30≈lg 30.48≈A. 选择函数模型① B. 选择函数模型②C. 该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2分钟D. 该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟 【答案】AD 【解析】【分析】将分别代入与，从而可判断AB ；解不等式2x =380204t T ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭260203tT ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭可得判断CD.38020604tT ⎛⎫=⋅+≤ ⎪⎝⎭【详解】将代入，得；2x =380204tT ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭65T =将代入，得. 2x =260203tT ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭1403T =故选择函数模型①.由，可得， 38020604tT ⎛⎫=⋅+≤ ⎪⎝⎭1lglg 22 2.532lg 2lg 3lg 4t ≥=≈-故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分. 故选:AD.12. 函数满足，，，则（ ）()f x ()()2111f x f x x -++=+()()224f x f x x +=-+x ∈R A. B.()932f =()()246f f +=C. 为偶函数 D. 当时，()22y f x x =+-0x ≥()()48f x f x +-≥【答案】ACD【分析】利用赋值法可判断AB 选项；将已知等式变形为，利用函数奇偶()()2222f x x f x x +-=-+性的定义可判断C 选项；由已知等式推导得出的表达式，可判断D 选项的正误. ()()4f x f x +-【详解】对于A 选项，在等式中，令可得，则， ()()2111f x f x x -++=+0x =()211f =()112f =在等式中，令可得，A 对； ()()224f x f x x +=-+1x =()()93142f f =+=对于B 选项，在等式中令可得， ()()2111f x f x x -++=+1x =()()022f f +=在等式中，令可得， ()()224f x f x x +=-+2x =()()408f f =+所以，，因此，，B 错；()()4822f f -+=()()4210f f +=对于C 选项，因为可得， ()()224f x f x x +=-+()()2222f x x f x x +-=-+令，则，所以，， ()()22g x f x x =+-()()22g x f x x -=-+()()g x g x -=所以，函数为偶函数，C 对；()22y f x x =+-对于D 选项，由可得，()()2111f x f x x -++=+()()()2221122f x f x x x x ++-=++=++由可得， ()()224f x f x x +=-+()()()()44248f x f x x f x x +=-++=-++所以，，()()()224222486102f x x x f x x x x f x +=++-+++=++-+所以，，①()()242610f x f x x x +++=++所以，，②()()()()2222621022f x f x x x x x ++=-+-+=++①②可得，故当时，，D 对. -()()448f x f x x +-=+0x ≥()()4488f x f x x +-=+≥故选：ACD.第II 卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13. 函数的定义域为______．0()f x x =【答案】 ()(],00,4-∞ 【解析】【分析】直接根据被开方数不小于零，0的0次无意义列不等式求解.【详解】由已知得，解得且，40x -≥⎧⎨4x ≤0x ≠即函数的定义域为0()f x x =()(],00,4-∞ 故答案为：.()(],00,4-∞ 14. 已知幂函数的图象经过点，则函数的图象必经过定点()y f x =(2,8)()1()(0,1)f x g x a a a +=>≠______． 【答案】 ()1,1-【解析】【分析】先设出，代入点可得，则可得到，令即()y f x x α==(2,8)3()f x x =31()x g x a +=310x +=可得定点.【详解】设，则由已知，得，()y f x x α==(2)28f α==3α=，3()f x x ∴=，31()xg x a +∴=令，得， 310x +==1x -则01(1)g a -==所以函数的图象必经过定点. ()1()(0,1)f x g x a a a +=>≠()1,1-故答案为：.()1,1-15. 已知函数，则的零点个数为______． ()32022||x f x x =-()f x 【答案】 3【解析】【分析】零点转化为两个函数交点的问题，利用两个函数的单调性的性质进行求解即可.【详解】令，的零点个数问题转化为函数与()32022||32022x xf x x x =-⇒=()f x 3x y =函数的图象交点问题，2022,020222022,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩当时，函数单调递增，且，0x <3x y =031x <<函数单调递减，且，所以此时两个函数有一个交点， 2022y x =-20220y x =->当时，函数单调递增，且，0x ≥3x y =31x ≥函数单调递减，且，2022y x =20220y x =≥当，则；当，则； 0x =031202200=>⨯=1x =133202212022=<⨯=所以，在上、有一个交点，(0,1)2022y x =3x y =而随的增大，由指数函数增长的远快于正比例函数，在上、有一个交点， x (1,)+∞2022y x =3x y =所以当时，两个函数的图象有两个交点， 0x ≥综上所述：函数与函数的图象有3个交点，3x y =2022,020222022,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩所以函数，则的零点个数为， ()32022||x f x x =-()f x 3故答案为：316. 设函数则满足的的取值范围是______．()ln ,1,0,1,x x f x x ≥⎧=⎨<⎩(1)(3)f x f x -<x 【答案】 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据函数的单调性列式，求解即可.3131x x x >⎧⎨>-⎩【详解】由对数函数单调性可得，则有，故所求的取值范围为(1)(3)f x f x -<311313x x x x >⎧⇒>⎨>-⎩x . 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故答案为：.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （1）已知，求的值；2log 31a =442358log 93a a ⨯++（2）已知，求的值． 22x x -+=1616x x -+【答案】（1）；（2） 1000434【解析】【分析】（1）直接利用指数幂和对数的运算性质计算即可；【详解】（1）由得2log 31a =，，2222log 9log 32log 32a a a ===321log 2log 33233a ===；4143344258log 93221041000458a a ⎛∴⎫=++=+= ⎪⎭⨯++⨯⎝（2）由，两边平方得， 22x x -+=4482x x -++=即，再两边平方得，446x x -+=6121636x x -++=416163x x -+=∴18. 请在①充分不必要条件，②必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充在下面的问题（2）中．若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．已知全集，集合是不m m U =R A 等式的解集，集合是函数在上的值域． 12317x x <+<B 22y x x m =-++[]0,4（1）求集合；A （2）若是成立的______条件，判断实数是否存在． x A ∈xB ∈m 【答案】（1）{}03A x x =<<（2）选①，；选②，实数不存在. 28m ≤≤m 【解析】【分析】（1）令，分析函数的单调性，将不等式变形为()23xf x x =+()f x 12317x x <+<，结合函数的单调性可求得集合；()()()03f f x f <<()f x A （2）求出集合，选①，可得出 ，可得出关于实数的不等式，解之即可；选②，可得出 ，B A B m A B 根据集合的包含关系可得出结论. 【小问1详解】解：令，其中，()23xf x x =+x ∈R 因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数，2x y =3y x =R ()f x R 又因为，，由可得，()01f =()3232317f =+=12317x x <+<()()()03f f x f <<可得，所以，. 03x <<{}03A x x =<<【小问2详解】[]2[]若选①，若是成立的充分不必要条件，则 ，则，解得；x A ∈x B ∈A B 8013m m -≤⎧⎨+≥⎩28m ≤≤若选②，若是成立的必要不充分条件，则 ，则，解得.x A ∈x B ∈A B 8013m m ->⎧⎨+<⎩m ∈∅19. 如图，在直角三角形 中，，动点P 从点A 出发，以 的速度沿 向ABC 8cm AB AC ==1cm/s AB B 点移动，动点Q 从点C 出发，以 的速度沿 向A 点移动．若 同时出发，设运动时间2cm /s CA ,P Q 为（）， 的面积为．s t 04t <<APQ △2cm S（1）求S 与之间的函数关系式； t （2）求S 的最大值；（3）当为多少时，为等腰直角三角形，并求出此时S 的值． t APQ △【答案】（1）；24,(04)S t t t =-+<<（2）4；2cm （3），. 8s 3232cm 9S =【解析】【分析】（1）由题意表示出，根据三角形面积公式 cm,2 cm,(82)cm AP t CQ t AQ AC CQ t ===-=-即可得答案.（2）利用二次函数性质求得答案即可.（3）由为等腰直角三角形，得,即得方程，即可求得答案. APQ △AP AQ =82t t =-【小问1详解】设同时出发后经过 ，的面积为， ,P Q s t APQ △2cm S 则， cm,2 cm,(82)cm AP t CQ t AQ AC CQ t ===-=-所以. 211(82)4,(04)22S AP AQ t t t t t =⋅=-=-+<<【小问2详解】由（1）知， 224(2)4,(04)S t t t t =-+=--+<<当时，取得最大值4. 2t =S 【小问3详解】若为等腰直角三角形，则, APQ △AP AQ =即，此时. 882,(s)3t t t =-=28832(4339S =-+⨯=20. 已知函数． ()215()log 2f x x mx =-+（1）若在内单调递增，求的取值范围； ()f x (,1]-∞m （2）若任意，都有，求的取值范围．1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()0f x <m 【答案】（1）23m ≤<（2） 2m <【解析】【分析】（1）根据复合导函数的单调性，函数在内单调递减，且恒大于零，据此22y x mx =-+(,1]-∞列不等式组求解即可；（2）将问题转化为对任意都成立，参变分离得，利用基本不等式221x mx -+>1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1m x x <+求出的最小值即可. 1x x+【小问1详解】若在内单调递增，()f x (,1]-∞则根据复合导函数的单调性，函数在内单调递减，且恒大于零，22y x mx =-+(,1]-∞即， 12120m m ⎧≥⎪⎨⎪-+>⎩解得 23m ≤<【小问2详解】，即对任意都成立()215()log 20f x x mx =-+<221x mx -+>1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即对任意都成立， 1m x x <+1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即 min1m x x ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦又，当且仅当时等号成立，12x x +≥=1x =2m <∴21. 已知函数．()441f x x x =-+（1）判断在上的单调性，并用定义证明； ()f x ()1,+∞（2）求零点的个数．()f x 【答案】（1）函数在上为增函数，证明见解析()f x ()1,+∞（2） 4【解析】【分析】（1）判断出在上为增函数，任取、且，作差()f x ()1,+∞1x ()21,x ∈+∞12x x >，因式分解，并判断的符号，即可证得结论成立；()()12f x f x -()()12f x f x -（2）分析函数在上的单调性，并分析函数的奇偶性，结合零点存在定理可得出结论. ()f x ()0,1()f x 【小问1详解】解：当时，，函数在上为增函数，证明如下：1x >()441f x x x =-+()f x ()1,+∞任取、且，则，，， 1x ()21,x ∈+∞12x x >120x x ->122x x +>22122x x +>()()()()()()4444121122121241414f x f x x x x x x x x x -=-+--+=---， ()()()()()()()222212121212121212440x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-++--=-++->⎣⎦，所以，函数在上为增函数.()()12f x f x ∴>()f x ()1,+∞【小问2详解】解：当时，，01x <<()441f x x x =-+任取、且，则，，，1x ()20,1x ∈12x x >120x x ->1202x x <+<221202x x <+<则，，()()()()()221212121240f x f x x x x x x x ⎡⎤-=-++-<⎣⎦()()12f x f x ∴<所以，函数在上为增函数，()f x ()0,1对任意的，， x ∈R ()()()444141f x x x x x f x -=---+=-+=所以，函数为上的偶函数，()f x R 故当时，，，， ()0,x ∈+∞()()min 120f x f ==-<()010f =>()290f =>由零点存在定理可知，函数在、上各有一个零点， ()f x ()0,1()1,2由于函数为偶函数，故函数的零点个数为.()f x ()f x 422. 已知函数（其中，均为常数，且）的图象经过点与点 ()log a f x x b =+a b 0a >1a ≠(2,5)(8,7)（1）求，的值； a b （2）求不等式的解集；()425-<x xf （3）设函数，若对任意的，存在，使得2()x xg x b a +=-1[1,4]x ∈[]220,log 5x ∈()()12f x g x m=+成立，求实数的取值范围．m 【答案】（1）；（2）；（3）. 2,4a b ==()0,1[]1,8【解析】【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式进行求解可得.,a b （2）根据（1）的条件解出的解，即，然后令进行求解即可. ()5f x <02x <<2042x x <-<（3）记函数的值域为，函数的值域为，则，列出不等式组，从而得到实数的()f x A ()h x B A B ⊆m 取值范围.【详解】（1）由已知得，log 25log 87a ab b +=⎧⎨+=⎩消去得，即，又，， b log 8log 2log 42a a a -==24a =0a >1a ≠解得.2,4a b ==（2）由（1）可知：，则 2()log 4f x x =+2()log 4502f x x x =+<⇒<<又，所以，()425-<x xf 2042xx <-<即 ()()4200122210422x x x x x xx x >⎧⎧->⎪⇒⇒<<⎨⎨-+<-<⎩⎪⎩所以不等式的解集为()425-<x xf ()0,1（3）由（1）知函数的解析式为..()f x ()2log 4f x x =+()242x x g x +=-当时，函数单调递增，其值域为；[]1,4x ∈()2log 4f x x =+[]4,6A =令，当时，，2x t =[]20,log 5x ∈[]1,5t ∈于是 .()()22242424x x g x t t t +=-=-=--[]4,5∈-设函数，则函数的值域为，()()hx g x m =+()h x []4,5B m m =-++根据条件知，于是，解得.A B ⊆5644m m +≥⎧⎨-+≤⎩18m ≤≤所以实数的取值范围为. m []1,8【点睛】思路点睛：本题第（1）问主要代点计算；第（2）问可以使用整体法进行计算；第（3）问在于理解值域之间的关系.。
高一数学上学期期末考试试题含解析
【分析】
先由奇函数的性质，得到 ，求出 ;再由二次函数的单调性,以及奇函数的性质，得到函数 在区间 上单调递减,进而可求出结果。
【详解】因为函数 是奇函数,
所以 ,即 ,解得: ；
因此
根据二次函数的性质，可得,当 时，函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增；
又因为 ,所以由奇函数的性质可得:函数 在区间 上单调递减;
，即至少遇到4个红灯的概率为0。33。
（3）设事件 为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件 .
则 。
【点睛】本题主要考查互斥事件的概率计算，以及概率的性质的应用，熟记概率计算公式,以及概率的性质即可，属于常考题型。
19。一商场对5年来春节期间服装类商品的优惠金额 (单位：万元）与销售额 （单位：万元）之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下表格.
【分析】
根据奇偶性的概念，判断函数 的奇偶性，再结合函数单调性，即可解所求不等式。
【详解】因为 的定义域为 ，
由 可得，函数 是奇函数；
根据幂函数单调性可得, 单调递增;所以函数 是增函数;
所以不等式 可化为 ，
因此 ，解得： 。
故选：D
【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式,熟记函数奇偶性的概念，会根据函数解析式判定单调性即可，属于常考题型.
【解析】
【分析】
（1）根据换元法，令 ，即可结合已知条件求出结果；
(2）根据指数函数单调性，即可得出单调区间.
【详解】(1)令 ,即 ，
代入 ，可得 ，
所以
（2)因为 ，根据指数函数单调性，可得：
函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 。
【点睛】本题主要考查求函数解析式,以及求指数型函数的单调区间,灵活运用换元法求解析式，熟记指数函数的单调性即可，属于常考题型.
甘肃省兰州市第一中学2022高一数学上学期期末考试试题(含解析)
A.快、新、乐B.乐、新、快
C.新、乐、快D.乐、快、新
【答案】A
【解析】
【分析】
根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，即可得出结论．
设点 坐标为 ，则 ，
即 ，
由于点 在圆 上，则 ，所以， ，
整理得 对任意的 恒成立，
，解得 或 （舍去），
所以，存在点 ，对于圆 上任意一点 ，都使得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查动点的轨迹方程，涉及两点间距离公式的应用，同时也要注意到点在圆上这一条件的应用，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
19.如图所示，矩形 中， ⊥平面 ， ， 为 上的点，且 ⊥平面 .
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
试题分析：解:(1)∵ 平面 ， ∥ ，
∴ 平面 ，∴ ，
又∵ 平面 ，∴ ，
又∵ ，∴ 平面 .
(2)由题意可得， 是 的中点，连接 ，
∵ 平面 ，∴1）求弦 的垂直平分线方程；
（2）求弦 的长.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将圆 方程化为标准式，可得出圆心坐标，由垂径定理可知，线段 的垂直平分线为过圆心且与直线 垂直的直线，由此可得出线段 的垂直平分线方程；
（2）计算出圆心到直线 的距离 ，然后利用勾股定理可计算出弦 的长.
∴ 是 的中点，
四川省南充市2023-2024学年高一上学期期末考试 数学(含答案)
南充市2023—2024学年度上期普通高中年级学业质量监测数学试题（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，{}26A x x =<<，{}04B x x =<≤，则()U B A ⋂=ð（）A.{}02x x <≤ B.{}02x x << C.{}0,2 D.∅2.命题“01x ∃>，20010x ax ++≤”的否定是（）A .1x ∀>，210x ax ++≤ B.1x ∀>，210x ax ++>C.1x ∀≤，210x ax ++≤ D.1x ∀≤，210x ax ++>3.函数()sin f x x x =⋅的部分图象可能是（）A. B.C. D.4.函数()2log 4f x x x =+-的零点所在的一个区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,45.已知()1,3P 为角α终边上一点，则()()()()2sin πcos πsin 2π2cos αααα-++=++-（）A.17-B.1C.2D.36.已知33log 2a =，2log 5b =，3πcos 4c =，则（）A.a b c<< B.b c a << C.c a b<< D.b a c<<7.已知()33ln43xf x ax b x+=+--，若()26f =，则()2f -=（）A.14- B.14C.6- D.108.我国某科研机构新研制了一种治疗支原体肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量()c t （单位：mg /L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0ektc t c -=描述，假定该药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量03000mg /L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg /L 时才会对支原体肺炎起疗效，现给某支原体肺炎患者注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈）A.5.32hB.6.23hC.6.93hD.10.99h二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如果0a b >>，那么下列不等式正确的是（）A.11a b< B.22ac bc < C.11a b b a+>+ D.22a ab b <<10.下列说法正确的有（）A.21x y x+=的最小值为2；B.已知1x >，则41y x x =+-的最小值为5；C.若正数x 、y 满足213x y+=，则2x y +的最小值为3；D.设x 、y 为实数，若223x y xy ++=，则x y +的取值范围为[]22-,.11.已如定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，()()40f x f x ++=且对任意的1x ，[]22,0x ∈-，当12x x ≠时，都有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦，则以下判断正确的是（）A.函数()f x 是偶函数B.函数()f x 的最小正周期是4C.函数()f x 在[]2,6上单调递增D.直线1x =是函数()1f x +图象的对称轴12.已知函数()2log ,04ππ2sin ,41666x x f x x x ⎧<<⎪=⎨⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若方程()f x m =有四个不等的实根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A.02m <<B.121=x x C.()[)123422,x x x x ∞+++∈+ D.31x x 取值范围为()1,7三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设()20243,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()()1f f =______.14.如果1sin 3α=-，α为第三象限角，则3πsin 2α⎛⎫-=⎪⎝⎭______.15.若()()11121a a ---<+，则实数a 的取值范围为______.16.我们知道，函数()f x 的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数()f x 为奇函数，由此可以推广得到：函数()f x 的图象关于点(),P a b 成中心对称的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数()2xn f x m =+的图象关于点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，则m n -=______.第Ⅱ卷四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合{A x y ==，{}521B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =时，求A B ⋃；（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18.（1）求值：1ln 222314lg 25lg 2e log 9log 22+++-⨯（2）已知()tan π2α+=.求222sin sin cos cos αααα-⋅+的值.19.已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的周期以及单调递增区间；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值及相应的x 值.20.已知函数()21f x x mx =-+.（1）若关于x 的不等式()10f x n +-≤的解集为[]1,2-，求实数m ，n 的值；（2）求关于x 的不等式()()10f x x m m -+->∈R 的解集.21.已知()22xxf x a -=⋅-是定义域为R 的奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；（3）若不等式()()92350xxf f t -++⋅-<在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围.22.已知函数()2log 1f x x =+，()22xg x =-.（1）求函数()()()()2123F x f x mf x m =--+∈⎡⎤⎣⎦R 在区间[]2,4上的最小值；（2）若函数()()()h x g f x =，且()()y h g x =的图象与()()243y g x n g x n =-⋅+⎡⎤⎣⎦的图象有3个不同的交点，求实数n 的取值范围.南充市2023—2024学年度上期普通高中年级学业质量监测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，{}26A x x =<<，{}04B x x =<≤，则()U B A ⋂=ð（）A.{}02x x <≤ B.{}02x x << C.{}0,2 D.∅【答案】A 【解析】【分析】应用集合的交补运算求集合.【详解】由题设{|2U A x x =≤ð或6}x ≥，故(){|02}U A B x x ⋂=<≤ð.故选：A2.命题“01x ∃>，20010x ax ++≤”的否定是（）A.1x ∀>，210x ax ++≤B.1x ∀>，210x ax ++>C.1x ∀≤，210x ax ++≤D.1x ∀≤，210x ax ++>【答案】B 【解析】【分析】由特称命题的否定是将存在改为任意并否定原结论，即可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题知：原命题的否定为1x ∀>，210x ax ++>.故选：B3.函数()sin f x x x =⋅的部分图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】定义判断函数的奇偶性并结合π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的符号，应用排除法即可得答案.【详解】由()sin()sin ()f x x x x x f x -=-⋅-==且定义域为R ，即函数为偶函数，排除A 、C ；由πππsin 0444f ⎛⎫=⋅>⎪⎝⎭，排除B.故选：D4.函数()2log 4f x x x =+-的零点所在的一个区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4【答案】C 【解析】【分析】根据解析式判断单调性，结合零点存在定理确定区间.【详解】由解析式知()2log 4f x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，又()130f =-<，()210f =-<，()23log 310f =->，所以零点所在的一个区间为()2,3.故选：C5.已知()1,3P 为角α终边上一点，则()()()()2sin πcos πsin 2π2cos αααα-++=++-（）A.17-B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】应用诱导公式及由弦化切化简目标式为2tan 1tan 2αα-+，结合三角函数的定义求得tan 3α=，即可求值.【详解】由()()()()2sin πcos π2sin cos 2tan 1sin 2π2cos sin 2cos tan 2αααααααααα-++--==++-++，又tan 3α=，所以2tan 12311tan 232αα-⨯-==++.故选：B6.已知33log 2a =，2log 5b =，3πcos 4c =，则（）A.a b c <<B.b c a <<C.c a b<< D.b a c<<【答案】C 【解析】【分析】利用对数函数的单调性及中间量0和2即可求解.【详解】因为333log 2log 8a ==，函数3log y x =在()0,∞+上单调递增，所以330log 8log 92<<=，即02a <<.又因为函数2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log 5log 42>=，即2b >.又因为3πcos 042c ==-<，所以c a b <<.故选：C.7.已知()33ln43xf x ax b x+=+--，若()26f =，则()2f -=（）A.14- B.14C.6- D.10【答案】A 【解析】【分析】构造(x)(x)4g f =+并判断其奇偶性，利用奇偶性求()2f -即可.【详解】令33()()4ln3xg x f x ax b x+=+=+-，且定义域为()3,3-，3333()ln ln ()33x xg x ax b ax b g x x x-+-=-+=--=-+-，即()g x 为奇函数，所以()()()()80g x g x f x f x -+=-++=，即()(2)28(2)14f f f -+=-⇒-=-.故选：A8.我国某科研机构新研制了一种治疗支原体肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量()c t （单位：mg /L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0ektc t c -=描述，假定该药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量03000mg /L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg /L 时才会对支原体肺炎起疗效，现给某支原体肺炎患者注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈）A.5.32hB.6.23hC.6.93hD.10.99h【答案】D 【解析】【分析】由题设有103000e1000t-≥，利用指数函数单调性及指对数关系求解，即可得答案.【详解】由题意()103000e 1000t c t -=≥，则1ln 10ln 310.99103t t -≥⇒≤≈小时.故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如果0a b >>，那么下列不等式正确的是（）A.11a b< B.22ac bc < C.11a b b a+>+ D.22a ab b <<【答案】AC 【解析】【分析】根据不等式性质判断A 、C 、D ；特殊值0c =判断B.【详解】由0a b >>，则22a ab b >>，110b a >>，故11a b b a+>+，A 、C 对，D 错；当0c =时22ac bc =，故B 错.故选：AC10.下列说法正确的有（）A.21x y x+=的最小值为2；B.已知1x >，则41y x x =+-的最小值为5；C.若正数x 、y 满足213x y+=，则2x y +的最小值为3；D.设x 、y 为实数，若223x y xy ++=，则x y +的取值范围为[]22-,.【答案】BCD 【解析】【分析】由0x <对应函数符号即可判断A ；应用基本不等式及其“1”的代换、一元二次不等式解法判断B 、C 、D ，注意取最值条件.【详解】A ：当0x <时，210x y x+=<，若存在最小值，不可能为2，错；B ：由10x ->，411151y x x =-++≥=-，当且仅当3x =时取等号，所以41y x x =+-的最小值为5，对；C ：由题设12112212(2)((5)(53333y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当1x y ==时取等号，所以2x y +的最小值为3，对；D ：22222()()3()4x y x y xy x y xy x y +=+-=++-+≥，可得2()4x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，则22x y -≤+≤，故x y +的取值范围为[]22-,，对.故选：BCD11.已如定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，()()40f x f x ++=且对任意的1x ，[]22,0x ∈-，当12x x ≠时，都有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦，则以下判断正确的是（）A.函数()f x 是偶函数B.函数()f x 的最小正周期是4C.函数()f x 在[]2,6上单调递增D.直线1x =是函数()1f x +图象的对称轴【答案】CD 【解析】【分析】由题设()()f x f x -=-且()(4)f x f x =-+、()f x 在[]2,0-上递减，再进一步判断函数的奇偶性、周期性、区间单调性和对称性.【详解】由()()0()()f x f x f x f x +-=⇒-=-，函数为奇函数，A 错；由()()40()(4)(8)f x f x f x f x f x ++=⇒=-+=+，函数的周期为8，B 错；对任意的1x ，[]22,0x ∈-，当12x x ≠时，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤-⋅-<⎣⎦，所以()f x 在[]2,0-上递减，结合奇函数知：函数在[0,2]上递减，即函数[2,2]-上函数递减，由上可知()()(4)f x f x f x =--=-+，即()(4)f x f x -=+，故()f x 关于2x =对称，所以()f x 在[]26,上单调递增，且直线1x =是函数()1f x +图象的对称轴，C 、D 对.故选：CD12.已知函数()2log ,04ππ2sin ,41666x x f x x x ⎧<<⎪=⎨⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若方程()f x m =有四个不等的实根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A.02m <<B.121=x x C.()[)123422,x x x x ∞+++∈+ D.31x x 取值范围为()1,7【答案】ABD 【解析】【分析】根据解析式画出函数大致图象，数形结合可得02m <<，且1234114713164x x x x <<<<<<<<<，结合对数函数、正弦型函数性质可得121=x x 、3420x x +=，综合运用基本不等式、区间单调性判断各项正误.【详解】由函数解析式可得函数大致图象如下，由上图，要使方程()f x m =有四个不等的实根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则02m <<，且1234114713164x x x x <<<<<<<<<，3421020x x +=⨯=，由2122|log ||log |x x =，则212221212log log log ()01x x x x x x -=⇒=⇒=，A 、B 对；所以1234111202022x x x x x x +++=++≥+，又1114x <<，即等号取不到，所以()1234(22,)x x x x ∞+++∈+，C 错；由图知：()f x 在区间(1,14)、(4,7)上单调性相同，且1311,474x x <<<<，所以13,x x 随m 变化同增减，故31x x 取值范围为()1,7，D 对.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据解析式得到图象并确定02m <<，且1234114713164x x x x <<<<<<<<<为关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设()20243,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()()1f f =______.【答案】1【解析】【分析】根据分段函数的解析式，从内到外运算求解即可．【详解】由题意，()20241log 10f ==，则()()1f f =0(0)31f ==．故答案为：1．14.如果1sin 3α=-，α为第三象限角，则3πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【答案】3【解析】【分析】由平方关系及角所在象限得cos 3α=-，应用诱导公式即可求函数值.【详解】由1sin 3α=-，α为第三象限角，则cos 3α=-，33πsin cos 2αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭.故答案为：315.若()()11121a a ---<+，则实数a 的取值范围为______.【答案】()1,2,12⎛⎫-∞-⋃-⎪⎝⎭【解析】【分析】利用函数1y x -=的单调性，分三类讨论即可求解.【详解】考虑函数1y x -=.因为函数1y x -=的单调递减区间为()0,∞+和(),0∞-.所以不等式()()11121a a ---<+等价于10210121a a a a -<⎧⎪+<⎨⎪->+⎩或者10210a a -<⎧⎨+>⎩或者10210121a a a a ->⎧⎪+>⎨⎪->+⎩，解得：2a <-或112a -<<.所以实数a 的取值范围为：()1,2,12∞⎛⎫--⋃-⎪⎝⎭.故答案为：()1,2,12∞⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭16.我们知道，函数()f x 的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数()f x 为奇函数，由此可以推广得到：函数()f x 的图象关于点(),P a b 成中心对称的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数()2x n f x m =+的图象关于点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，则m n -=______.【答案】2±【解析】【分析】由题设定义有()11[()]22f x f x -+=-+，进而得到22()2(21)20x x n m m mn n m ++++⋅++=恒成立，求参数值，即可得答案.【详解】由题意()12y f x =+为奇函数，所以()11[()]22f x f x -+=-+，则112222x x n n m m -=+++--，所以202(2221)(12)(2)122(12)(2)10x x x x x x x x x n n n m m m m m m m ⋅+⋅+++=⋅+++⋅++++⇒=⋅，所以22()2(21)20x x n m m mn n m ++++⋅++=恒成立，故2012101m n m m mn n +==-⎧⎧⇒⎨⎨++==⎩⎩或11m n =⎧⎨=-⎩，所以2m n -=±.故答案为：2±【点睛】关键点点睛：根据定义得到22()2(21)20x x n m m mn n m ++++⋅++=恒成立为关键.第Ⅱ卷四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合{A x y ==，{}521B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =时，求A B ⋃；（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}45A B x x ⋃=-≤≤（2）[]2,3【解析】【分析】（1）先将集合A 化简，利用并集运算得解；（2）根据题意可得AB ，列式运算可求解.【小问1详解】由y =+，所以2050x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得25x ≤≤，{}25A x x ∴=-≤≤，当1m =时，{}43B x x =-≤≤，{}45A B x x ∴⋃=-≤≤.【小问2详解】由题x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，即A B ，则25521521m m m m -≥-⎧⎪≤+⎨⎪-≤+⎩（等号不同时取），解得23m ≤≤，所以实数m 的取值范围为[]2,3.18.（1）求值：1ln 222314lg 25lg 2e log 9log 22+++-⨯（2）已知()tan π2α+=.求222sin sin cos cos αααα-⋅+的值.【答案】（1）3；（2）75.【解析】【分析】（1）应用指对数运算性质及指对数关系化简求值；（2）由题设tan 2α=，再应用“1”的代换及齐次运算求值即可.【详解】（1）原式232lg 5lg 222log 3log 2523=+++-⨯=-=；（2）由()tan πtan 2αα+==，22222222222sin sin cos cos 2tan tan 1222172sin sin cos cos sin cos tan 1215ααααααααααααα-⋅+-+⨯-+-⋅+====+++.19.已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的周期以及单调递增区间；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值及相应的x 值.【答案】19.π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈20.最大值为1，相应的5π12x =；最小值为2-，相应的0x =.【解析】【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式即可求解函数的周期；利用整体代入法和正弦函数的性质即可求出函数的单调增区间.（2）利用整体代入法和正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】由()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得：函数()f x 的周期为2ππ2T ==.令πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，解得：π5πππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．【小问2详解】令π23t x =-，因为π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，所以π2π,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.所以当ππ232x -=，即5π12x =时，()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上可取得最大值，最大值为1；当233x -=-ππ，即0x =时，()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上可取得最小值，最小值为.故()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值为1，相应的5π12x =；最小值为2，相应的0x =.20.已知函数()21f x x mx =-+.（1）若关于x 的不等式()10f x n +-≤的解集为[]1,2-，求实数m ，n 的值；（2）求关于x 的不等式()()10f x x m m -+->∈R 的解集.【答案】（1）1,2m n ==-；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由不等式解集可得1,2-是20x mx n -+=的两个根，利用根与系数关系求参数值；（2）由题意有()(1)0x m x -->，讨论1m <、1m =、1m >求不等式解集.【小问1详解】由题设20x mx n -+≤的解集为[]1,2-，即1,2-是20x mx n -+=的两个根，所以121,122m n =-+==-⨯=-.【小问2详解】由题意()21(1)()(1)0f x x m x m x m x m x -+-=-++=-->，当1m <时，解得x m <或1x >，故解集为(,)(1,)m -∞+∞ ；当1m =时，解得1x ≠，故解集为{|1}x x ∈≠R ；当1m >时，解得1x <或x >m ，故解集为(,1)(,)-∞+∞ m ；21.已知()22x xf x a -=⋅-是定义域为R 的奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；（3）若不等式()()92350x x f f t -++⋅-<在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】21.1a =22.单调递增，答案见解析23.(,∞-【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质即可得出a 的值；（2）先判断单调性，再根据函数单调性的定义判断即可；（3）结合（2）的结论和奇函数的性质，不等式可转化为3t m m<+，利用基本不等式求出最值即可．【小问1详解】()f x 是R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，对任意x ∈R ，即()2222x x x x a a --⋅-=-⋅-，即()()1220x x a --+=，对任意x ∈R 恒成立，10a ∴-=，即1a =.【小问2详解】()f x 为R 上的增函数，证明如下：任取1x ，2R x ∈，且12x x <，()()()1122122222x x x x f x f x ---=---()121212222222x x x x x x -=-+⋅()1212122122x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⋅⎝⎭，12x x < ，1212122,1022x x x x ∴<+>⋅，()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 为R 上的增函数.【小问3详解】不等式()()92350x x f f t -++⋅-<在R 上恒成立，()()()929235x x x f f f t ∴--+=->⋅-，又()f x 为R 上的增函数，9235x x t ∴->⋅-在R 上恒成立，即()23330x x t -⨯+>，令3x m =，0m >，上式等价于230m tm -+>对0m >恒成立，即3t m m <+，令()3g m m m =+，只需()min t g m <即可，又()3g m m m =+≥()min g m ∴=，t ∴<.所以实数t的取值范围为(,∞-.22.已知函数()2log 1f x x =+，()22x g x =-.（1）求函数()()()()2123F x f x mf x m =--+∈⎡⎤⎣⎦R 在区间[]2,4上的最小值；（2）若函数()()()h x g f x =，且()()y h g x =的图象与()()243y g x n g x n =-⋅+⎡⎤⎣⎦的图象有3个不同的交点，求实数n 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）25n ³【解析】【分析】（1）根据已知条件求出()[]()()222log 2log 13F x x m x m =-++∈R ，令2log x t =换元后()F x 变为2223y t mt m =--+，利用二次函数的性质确定最小值；（2）求出()2log 12222x h x x +=-=-，进而确定()()()22h g x g x =-，令()g x a =换元后有()()y h g x =化为22y a =-，()()243y g x n g x n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦化为243y a na n =-+，问题转化为()242320a n a n -+++=有两个根，且一个根在()0,2内，一个根在[)2,+∞内，设()()24232a a n a n ϕ=-+++，通过限制二次函数根所在区间得出不等式，求解不等式即可解出实数n 的取值范围.【小问1详解】()()()()2123F x f x mf x m ⎡⎤=--+∈⎣⎦R ，所以()()()()222log 2log 13F x x m x m =-++∈R ，令2log x t =，因为[]2,4x ∈，则[]1,2t ∈，所以()F x 变为2223y t mt m =--+，函数的对称轴为t m =，当1m £时，函数在[]1,2上单调递增，1t =时，函数有最小值44m -；当12m <<时，函数在[]1,m 上单调递增减，函数在(],2m 上单调递增，t m =时，函数有最小值223m m --+；当2m ≥时，函数在[]1,2上单调递减，2t =时，函数有最小值67m -+.【小问2详解】()()()h x g f x =即()()2log 122220x h x x x +=-=->，所以()22y g x =-，令()g x a =，所以()()y h g x =化为：()220y a a =->，()()243y g x n g x n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦化为243y a na n =-+；令22243a a na n -=-+，整理有：()242320a n a n -+++=；因为()22xa g x ==-，作出简图如下注意到0a >，可得：当02a <<时，22x a =-有两个根；当2a ≥时，22x a =-有一个根；因为()()y h g x =的图象与()()243y g x n g x n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦的图象有3个不同的交点，所以()242320a n a n -+++=有两个根，且一个根在()0,2内，一个根在[)2,+∞内，设()()24232a a n a n ϕ=-+++，则有：()x ϕ为关于a 的二次函数，图象开口向上，对称轴为21a n =+，根据题意有：()()0020ϕϕ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即320520n n +>⎧⎨-+<⎩解得25n >，或()()00200212n ϕϕ⎧>⎪=⎨⎪<+<⎩，即3205201122n n n ⎧⎪+>⎪-+=⎨⎪⎪-<<⎩解得25n =综上所述：25n ³.【点睛】方法点睛：①换元法的应用，注意取值范围；②数形结合的应用.。
2022-2023学年河北省邢台市第一中学高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2022-2023学年河北省邢台市第一中学高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．()sin 1320︒-=（ ）A ．12B ．12-C D ．【答案】C【分析】利用诱导公式进行化简求值.【详解】()()480480sin120sin 1320sin 1800sin ︒︒︒︒︒+-=-==故选：C.2．已知集合212112x x A x +-⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，304x B x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，则()RA B =（ ）A ．{}34x x -<<B ．{}33x x -<<C ．{}34x x -<≤D ．{}33x x -<≤【答案】D【分析】分别解不等式求出集合A 和集合B ，然后再求()RAB 即可.【详解】不等式212112x x +-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭等价于2121122x x +-⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∵12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，∴2120x x +-≤，解得43x -≤≤，∴{}21211432x x A x x x +-⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥=-≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭， 不等式304x x +≥-等价于()()34040x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得3x ≤-或>4x ， ∴{3034x B xx x x ⎧⎫+=≥=≤-⎨⎬-⎩⎭或}4x >， ∴{}34B x x =-<≤R ， ∴(){}33A B x x ⋂=-<≤R . 故选：D.3．下列函数中，既是奇函数又在定义域上是减函数的是（ ） A ．ln y x =- B ．()tan y x =- C ．3y x =- D ．1y x=【答案】C【分析】根据奇函数和减函数的特征，结合选项进行判定. 【详解】对于选项A ，ln y x =-不是奇函数，排除A ；对于选项B ，()tan y x =-是奇函数，但是在其定义域上不是减函数，排除B ； 对于选项C ，3y x =-是奇函数，在其定义域上也是减函数，符合题意； 对于选项D ，1y x=是奇函数，但是在其定义域上不是减函数，排除D. 故选：C.4．函数()()1ln 23f x x x =---的零点所在区间为（ ）A ．()4,3--B ．()3,e --C ．()e,2--D ．()2,1--【答案】B【分析】根据公共定义域内判断函数的单调性及复合函数的单调性， 得出函数()f x 的单调性，再利用函数零点的存在性定理即可求解. 【详解】由题意可知，()f x 的定义域为(),0-∞， 令u x =-，则ln y u =，由u x =-在(),0-∞上单调递减， ln y u =在定义域内单调递增，所以()ln y x =-在(),0-∞单调递减.所以函数()()1ln 23f x x x =---在(),0-∞上单调递减.所以()()()12214ln 442ln 4ln e 03333f -=---⨯--=->-=>⎡⎤⎣⎦ ()()()13ln 332ln 31ln e 103f -=---⨯--=->-=⎡⎤⎣⎦()()()1e e ln e e 21033f -=---⨯--=-<⎡⎤⎣⎦ ()()()1442ln 222ln 2ln e 0333f -=---⨯--=-<-<⎡⎤⎣⎦ ()()()151ln 112033f -=---⨯--=-<⎡⎤⎣⎦故()3(e)0f f -⋅-<，根据零点的存在性定理，可得 函数()()1ln 23f x x x =---的零点所在区间为()3,e --.故选：B.5．命题0:p x ∃∈R ，使得200680kx kx k -++<成立.若p 是假命题，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[]0,1B ．(]0,1C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．][(),01,∞∞-⋃+【答案】A【分析】根据p 是假命题，得出p ⌝为真命题，利用恒成立知识求解.【详解】因为p 是假命题，所以p ⌝为真命题，即x ∀∈R ，使得2680kx kx k -++≥成立. 当0k =时，显然符合题意；当0k ≠时，则有0k >，且()236480k k k -+≤，解得01k <≤.故选：A.6．已知幂函数()y f x =的图象过()4,2A 、()cos1,B m 、()sin1,C n 三点，则m 与n 的大小关系为（ ） A ．m n > B ．m n < C ．m n = D ．不能确定【答案】B【分析】设()af x x =，根据点A 在函数()f x 的图象上可求得a 的值，可得出()f x 的解析式，分析函数()f x 的定义域与单调性，比较cos1与sin1，利用函数()f x 的单调性可得出m 、n 的大小关系.【详解】设()af x x =，则()442a f ==，可得12a =，()12f x x ∴= 所以，函数()f x 是定义在[)0,∞+上的增函数， 因为ππ0cos1cos sin sin144<<=<，所以，()()cos1sin1f f <，即m n <. 故选：B.7．已知tan π22α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则π3π1cos sin 22π14ααα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A．2B．C ．12D ．1【答案】C【分析】利用诱导公式可求得tan2α，利用三角恒等变换化简所求代数式，可求得结果.【详解】因为tan πtan 222αα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，则tan 22α=，若cossin022αα+=，则tan12α=-，矛盾，故cossin022αα+≠.因此，()π3π1cos sin 1sin cos 1cos sin 22π1cos sin 1cos sin 14ααααααααααα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭==---+⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 222coscos sin 12cos 12sincos112222222tan112sin 2sin cos 2sin cos sin 2222222ααααααααααααα⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭====⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.8．“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系e ax b y +=（,a b 为常数），若该果蔬在5C 的保鲜时间为216小时，在20C 的保鲜时间为8小时，那么在10C 时，该果蔬的保鲜时间为（ ）小时. A ．72 B ．36C ．24D ．16【答案】A【分析】根据题意列出5,20x x ==时,a b 所满足等式，利用指数幂的运算分别可求解出5e ,e a b 的值，然后即可计算出10x =时y 的值，则对应保鲜时间可求. 【详解】当5x =时，5e 216a b +=；当20x时，20e 8a b +=，则520e 21627e 8a b a b ++==，整理可得51e 3a=，于是e 2163648b =⨯=， 当10x =时，10521e(e )e 648729a ba b y +==⋅=⨯=． 故选：A二、多选题9．下到说法错误的是（ ）A ．若α终边上一点的坐标为()()3,40k k k ≠，则3cos 5α= B ．α为第二或第三象限角的充要条件是sin tan 0αα<C ．将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π3个单位长度，得到函数()cos2g x x =的图象D ．若1sin cos 5αα+=，且0απ<<，则4tan 3α=-【答案】AC【分析】结合选项逐个判定，利用定义可知A 错误，结合象限符号可得B 正确，根据平移规则可得C 错误，利用平方关系和商关系可得D 正确. 【详解】对于A ，3355cos k k α===±，故不正确； 对于B ，α为第二象限时，sin 0,tan 0αα><，所以sin tan 0αα<；α为第三象限角时，sin 0,tan 0αα<>，所以sin tan 0αα<；反之，sin tan 0αα<，则sin ,tan αα异号，所以α为第二或第三象限角，故正确；对于C ，将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π3个单位长度，得到的函数解析式为()πcos 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故不正确；对于D ，因为1sin cos 5αα+=，所以12sin cos 25αα=-，所以222sin cos tan 12sin cos tan 125αααααα==-++，解得3tan 4α=-或4tan 3α=-. 因为1sin cos 05αα+=>，12sin cos 025αα=-<，且0πα<<，所以sin >cos αα， 所以4tan 3α=-，故D 正确.故选：AC.10．已知a ，b 为正数，41a b +=，则下列说法正确的是（ ） A ．114a b+的最小值为4 B ．11a b+的最小值为9 C ．()()411a b ++的最大值为94D ．()()11a b ++的最大值为94【答案】ABC【分析】选项A 和选项B 使用基本不等式“1”的妙用求解，选项C 和选项D 构造“和为定值”对“积的最大值”进行求解. 【详解】对于A ，()1111442444a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，∵0a >，0b >，∴40a b >，04b a >，∴由基本不等式424a b b a +≥=， 当且仅当44a b b a =，即18a =，12b =时，等号成立， ∴114222444a b a b b a+=++≥+=，114a b +的最小值为4，故选项A 正确；对于B ，()1111445a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， ∵0a >，0b >，∴40a b >，0b a >，∴由基本不等式44a b b a +≥， 当且仅当4a bb a =，即16a =，13b =时，等号成立， ∴1145549a ba b b a +=++≥+=，11a b+的最小值为9，故选项B 正确； 对于C ，∵0a >，0b >，∴410a +>，10+>b ，∴由基本不等式()()()()222411421294112224a b a b a b +++⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫++≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当411a b +=+，即18a =，12b =时，等号成立，∴()()411a b ++的最大值为94，故选项C 正确；对于D ，∵0a >，0b >，∴440a +>，10+>b ，∴由基本不等式()()()()()()2244111145911441442424a b a b a b a b +++⎡⎤++⎛⎫++=++≤⋅=⋅=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，当且仅当441a b +=+，即14a =-，2b =时，等号成立，这与0a >矛盾，上式无法取等号，故选项D 错误. 故选：ABC.11．已知函数()()4log 1,11,14x x x f x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，则下列结论正确的是（ ）A ．若()1f a =，则5a =B ．202320222022f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()2f a ≥，则12a ≤-或17a ≥D ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则14k ≥ 【答案】BCD【分析】解方程可()1f a =判断A 选项；求出20232022f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值，可判断B 选项；解不等式()2f a ≥可判断C 选项；数形结合可判断D 选项.【详解】对于A 选项，当1a ≤时，由()114af a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，可得0a =，当1a >时，由()()4log 11f a a =-=，可得5a =. 综上所述，若()1f a =，则5a =或0，A 错； 对于B 选项，41420231log log 2022020222022f ⎛⎫==< ⎪⎝⎭， 所以，14log 20221420231log 2022202220224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 对；对于C 选项，当1a ≤时，由()21224aa f a -⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭，可得21a -≥，解得12a ≤-，此时12a ≤-，当1a >时，由()()4log 12f a a =-≥，可得116a -≥，解得17a ≥，此时17a ≥， 综上所述，若()2f a ≥，则12a ≤-或17a ≥，C 对；对于D 选项，作出函数y k =与函数()f x 的图象如下图所示：由图可知，当14k ≥时，直线y k =与函数()f x 的图象有两个交点， 此时方程()f x k =有两个不等的实根，D 对. 故选：BCD.12．设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意的1x D ∈，存在2x D ∈，使得12()()2f x f x c +=（c 为常数），则称函数()y f x =在D 上的均值为c ，下列函数中在其定义域上的均值为1的有（ ） A ．3y x = B ．tan y x =C ．2sin y x =D ．24y x -【答案】ABD【分析】根据题意将问题转化为关于2x 的方程是否存在有解问题，然后逐个分析判断即可 【详解】由题意可得1c =，则12()()12f x f x +=，即12()()2f x f x +=，将问题转化为关于2x 的方程是否存在有解问题，对于A ，3y x =的定义域为R ，则对于任意1R x ∈，关于2x 的方程为33122x x +=，则33212x x =-，2x ，方程一定有解，所以A 正确，对于B ，tan y x =的定义域为,2D x x k k Z ππ⎧⎫=≠+∈⎨⎬⎩⎭，值域为R ，则对于任意1x D ∈，总存在2x D ∈，使得12tan tan 2x x +=，所以B 正确，对于C ，2sin y x =的定义域为R ，值域为[2,2]-，当12x π=-时，1()2f x =-，此时不存在2x R ∈，使12()()2f x f x +=，所以C 错误，对于D ，y {}22D x x =-≤≤，值域为[0,2]，则对于任意1x D ∈，关于2x 的方2，整理得(22242x =-，则总存在2x D ∈满足上式，所以D 正确，故选：ABD三、填空题13．已知集合(){}222810A x ax a x =+-+=有且仅有两个子集，则a 的取值集合为___________.【答案】{}0,2,8【分析】根据题意集合A 有一个元素，考虑0a =和0a ≠两种情况，计算得到答案即可.【详解】由题意，集合(){}222810A x ax a x =+-+=有且仅有两个子集，则集合A 只有一个元素，当0a =时，810x -+=，解得18x，符合题意； 当0a ≠时，()2284210a a ∆=--⨯⨯=，解得2a =或8a =， 当2a =时，{}2144102A x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭，符合题意，当8a =时，{}21168104A x x x ⎧⎫=++==-⎨⎬⎩⎭，符合题意.综上所述，a 的取值集合为{}0,2,8. 故答案为：{}0,2,8.14．已知函数()()212log 2f x x x t =-++的定义域是(),6m m +，则函数()f x 的单调增区间为__________. 【答案】()1,4【分析】先根据定义域求出,m t 的值，再结合复合函数求出单调区间.【详解】因为函数()()212log 2f x x x t =-++的定义域是(),6m m +，所以,6m m +是方程220x x t -++=的两个根，所以()()22206260m m t m m t ⎧-++=⎪⎨-++++=⎪⎩，解得28m t =-⎧⎨=⎩，即()()212log 28f x x x =-++. 令()222819n x x x =-++=--+，0n >，则12log y n=为减函数，函数()219n x =--+是开口向下，对称轴为1x =的二次函数，且()1,4x ∈时，为减函数；所以函数()f x 的单调增区间为()1,4. 故答案为：()1,4.15．如图，在Rt PBO 中，90PBO ∠= ，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点．若圆弧AB 等分POB 的面积，且AOB α∠=弧度，则tan αα=________.【答案】12【详解】设扇形的半径为r ，则扇形的面积为212r α，直角三角形POB 中， tan PB r α=， POB ，面积为1tan 2r r α⨯，由题意得211222r rtan r αα⨯=⨯，∴tan 2αα=，∴1tan 2αα=，故答案为12. 点睛：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题；设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高PB ，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出tan α与α的关系，即可得出结论. 16．函数()f x 为定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数，且()31f =，对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞≠，都有()()1122120x f x x f x x x ->-成立，则()3f x x≤的解集为__________. 【答案】(](]30,3-∞-⋃，【分析】构造函数，利用函数的单调性和奇偶性进行求解.【详解】设函数()()g x xf x =，因为()f x 为奇函数，所以()g x 为偶函数； 因为()()1122120x f x x f x x x ->-，所以()()12120g x g x x x ->-，即()g x 在()0,∞+为增函数；因为(3)3(3)3g f ==，()g x 为偶函数，所以(3)3g -=，且()g x 在(),0∞-为减函数；当0x >时，()3f x x ≤等价于()3(3)g x g ≤=，所以03x <≤； 当0x <时，()3f x x ≤等价于()3(3)g x g ≥=-，所以3x ≤-；即()3f x x≤的解集为(](]30,3-∞-⋃，. 故答案为：(](]30,3-∞-⋃，.四、解答题17．设a ∈R ，集合(){}(){}22log 2,30A x x a B x x a x =+<=-+<，(1)若2a =，求A B ⋃(2)若()3A B ∈⋂R ，求a 的取值范围. 【答案】(1){}|25A B x x ⋃=-<< (2)30a -<≤【分析】（1）先根据2a =，化简两个集合，再求两个集合的并集； （2）由3在集合A 中，不在集合B 中，可求取值范围.【详解】（1）当2a =时，(){}{}{}{}22|log 22|22|50|05A x x x x B x x x x x =+<=-<<=-<=<<，，所以{}{}{}|22|05|25A B x x x x x x ⋃=-<<⋃<<=-<<.（2）集合(){}2|30B x x a x =-+<，所以(){}2|30.B x x a x =-+≥R因为()3A B ∈⋂R ，所以3A ∈且3B ∈R.则()()22log 323330a a ⎧+<⎪⎨-+≥⎪⎩，即03430a a <+<⎧⎨-≥⎩，解得30a -<≤.18．函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭部分图象如图所示，已知41x x π-=.再从条件①112x π=､条件②26x π=､条件③32x π=这三个条件中选择两个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式； (2)求6f x π⎛⎫-⎪⎝⎭的单调增区间. 【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z【分析】（1）先由41x x π-=求出ω，分三种情况讨论求解，代入点的坐标求出,A ϕ，从而得到解析式； （2）先求6f x π⎛⎫-⎪⎝⎭的解析式，整体代换可求6f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调增区间. 【详解】（1）因为41x x π-=，由图可知T π=，所以22Tπω==.所以()()sin 2f x A x ϕ=+. 若选择条件①②，即112x π=，26x π=.因为()1sin 0126f x f A ππϕ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由图可知26k πϕπ+=，k ∈Z ，即26k πϕπ=-+.因为02πϕ<<，所以6πϕ=-，所以()sin 26f x A x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又因为()2sin 166f x f A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以2A =，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若选择条件①③，即112x π=，32x π=. 因为()1sin 0126f x f A ππϕ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由图可知26k πϕπ+=，k ∈Z ，即26k πϕπ=-+.因为02πϕ<<，所以6πϕ=-，所以()sin 26f x A x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又因为()3sin 126f x f A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以2A =，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若选择条件②③，即26x π=，32x π=. 因为()()23f x f x =，由图可知，当2323x x x +π==时，()f x 取得最大值， 即3f A π⎛⎫= ⎪⎝⎭，sin 23A A πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，由2sin 13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，得2232k ϕππ+=+π，k ∈Z ， 因为02πϕ<<，所以6πϕ=-. 又()216f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以2A =，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）()2sin[2()]2sin(2)2sin(2)66666f x x x x πππππ-=--=-=--，故()6f x π-的单调增区间即为2sin(2)6x π-的单调递减区间.由3222262k x k πππππ+≤-≤+，k ∈Z ，得536k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z .所以()6f x π-的单调递增区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 19．已知函数()5ππ3πsin 22sin cos 644f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期及对称轴方程；(2)ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()g x af x b =+的最大值为7，最小值为1，求a ，b 的值.【答案】(1)最小正周期为πT =，对称轴方程为ππ23k x =+，k ∈Z (2)4a =，5b =或4a =-，3b =【分析】（1）使用两角和差的正余弦公式、二倍角公式、辅助角公式进行化简后，即可求得最小正周期和对称轴方程；（2）结合正弦函数的图象和性质，分别对0a >和a<0两种情况进行讨论即可. 【详解】（1）()5ππ3πsin 22sin cos 644f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos 2sin 222x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1cos 22sin cos cos sin 2x x x x x x =----()221cos22cos sin 22x x x x =+--1cos 22cos 22x x x =-12cos 22x x =- πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，∵sin y x =的对称轴为直线ππ+2=x k ，k ∈Z ， ∴由ππ2π62x k -=+，k ∈Z ，解得ππ23k x =+，k ∈Z ， ∴()f x 的对称轴方程为ππ23k x =+，k ∈Z . （2）πsi 2()(n 6)x b g x af x b a =+=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴ππ2[,]23x ∈-，∴π2ππ2[,]636x -∈-，∴π1sin(2)[1,]62x -∈-，当0a >时，()()g x af x b =+的最大值为12a b +，最小值为a b -+，∴由1721a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得45a b =⎧⎨=⎩，当a<0时，()()g x af x b =+的最大值为a b -+，最小值为12a b +，∴由7112a b a b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得43a b =-⎧⎨=⎩，综上所述，4a =，5b =或4a =-，3b =.20．比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速60km/h ．经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量Q （单位：wh ）与速度x （单位：km/h ）的数据如下表所示：为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量Q 与速度x 的关系，现有以下三种函数模型供选择：①3211()250Q x x x cx =-+；②22()13xQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；3()300log a Q x x b =+．(1)当060x ≤≤时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；(2)现有一辆同型号纯电动汽车从重庆育才中学行驶到成都七中，其中，国道上行驶50km ，高速上行驶300km ．假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量Q 与速度x 的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速x （单位：km/h ）满足[80,120]x ∈，且每小时耗电量N （单位：wh ）与速度x （单位：km/h ）的关系满足2()210200(80120)N x x x x =-+≤≤）．则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 【答案】(1)选①3211()250Q x x x cx =-+，321()216050Q x x x x =-+ (2)当这辆车在高速上的行驶速度为80km/h ，在国道上的行驶速度为50km/h 最少，最少为51250wh ．【分析】（1）利用表格中数据进行排除即可得解；（2）在分段函数中分别利用均值不等式和二次函数求出最值即可得解.【详解】（1）解：对于③3()300log a Q x x b =+，当0x =时，它无意义，故不符合题意，对于②22()13xQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当10x =时，1022(10)13Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又100122033<⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭，所以1022(10)113Q ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故不符合题意，故选①3211()250Q x x x cx =-+， 由表中的数据可得，3211021010142050c ⨯-⨯+⨯=，解得160c = ∴321()216050Q x x x x =-+． （2）解：高速上行驶300km ，所用时间为300h x， 则所耗电量为()2300300100()()2102006003000f x N x x x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-+=+- ⎪⎝⎭， 由对勾函数的性质可知，()f x 在[80,120]上单调递增，∴min 100()(80)60080300045750wh 80f x f ⎛⎫==⨯+-= ⎪⎝⎭，国道上行驶50km ，所用时间为50h x，则所耗电量为32250501()()2160100800050g x Q x x x x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-+=-+ ⎪⎝⎭， ∵060x ≤≤，∴当50x =时，min ()(50)5500wh g x g ==，∴当这辆车在高速上的行驶速度为80km/h ，在国道上的行驶速度为50km/h 时，该车从重庆育才中学行驶到成都七中的总耗电量最少，最少为45750550051250wh +=． 21．已知函数()log (0a f x x a =>，且1)a ≠.(1)若函数()f x 的图象与函数()h x 的图象关于直线y x =对称，且点()4,256P 在函数()h x 的图象上，求实数a 的值； (2)已知函数()1,,162322x x g x f f x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.若()g x 的最大值为12，求实数a 的值. 【答案】(1)4a = (2)12或2【分析】（1）根据两个函数图象对称的特征求出()xh x a =，代入点的坐标可得实数a 的值；（2）先化简()g x ，利用换元法和二次函数知识，结合最大值求出实数a 的值.【详解】（1）因为函数()log (0=>a f x x a ，且1a ≠）的图象与函数()h x 的图象关于直线y x =对称， 所以()xh x a =（0a >，且1a ≠），因为点(4,256)P 在函数()h x 的图象上，所以4256a =，解得4a =，或4a =-（舍去）. （2）()()()log log log log log 5log 22232aa a a a a x xg x x x =⋅=--()()()2222log 6log log 5log 2log 3log 4log 2(2)2a a a a a a a x x x =-⋅+-=-.令log a t x =. ①当01a <<时，由1162x ≤≤，有4log 2log log 2a a a x ≤≤-， 二次函数()()226log 25log 2a a t t t ϕ=-+的对称轴为3log 2a t =，最大值为()()()()()2222log 2log 26log 25log 212log 212a a a a a ϕ-=++==，解得12a =或2a =（舍去）；②当1a >时，由1162x ≤≤，有log 2log 4log 2a a a x -≤≤， 二次函数()22()6log 25log 2a a t t t ϕ=-+的对称轴为3log 2a t =，可得最大值为()()()()()2222log 2log 26log 25log 212log 212a a a a a ϕ-=++==，解得2a =或12a =（舍去），综上，实数a 的值为12或2. 22．已知函数()14x b f x a =++的定义域为R ，其图像关于点11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称．(1)求实数a ，b 的值； (2)求122022202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；(3)若函数()412log 22x g x f x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，判断函数()g x 的单调性（不必写出证明过程），并解关于t的不等式()()2121g t g t -++>． 【答案】(1)2,2a b ==- (2)1011(3)103t -<<【分析】（1）根据对称性列方程解出a 和b ； （2）根据对称性分组计算；（3）构造函数，根据函数的单调性和奇偶性求解不等式.【详解】（1）有条件可知函数()f x 经过点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，()()112210122f f f ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭∴⎨⎪+=⨯⎪⎩，即12112411114b a b b aa ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+++=⎪++⎩ ， 解得：2,2a b ==- ，()2414242xx xf x -=+=++ ； （2）由于120222************1,1,,1202320232023202320232023+=+=+= ， 1202222021101110121,1,,1202320232023202320232023f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1220221011202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）由于42log 2x y x +=- 是奇函数，根据函数平移规则，()()12h x g x =- 也是奇函数， 并且由于()f x 是增函数，42log 2xy x+=- 也是增函数，()h x ∴ 也是增函数，定义域为()2,2- 不等式()()2121g t g t -++> 等价于()()11212022g t g t --++-> ，即()()2120h t h t -++> ，()()()2122h t h t h t ->-+=-- ，由于()h x 是增函数，2122212222t t t t ->--⎧⎪∴-<-<⎨⎪-<+<⎩，解得103t -<< ；综上，（1）2,2a b ==-；（2）1220221011202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）103t -<<.。
高一上学期期末考试数学试题(原卷版)
A. 的最小正周期为
B. 图象的一个对称中心为
C. 的值域为
D. 图象的一条对称轴方程为
12.定义：实数 满足 则称 比 远离 .已知函数 的定义域为 任取 等于 和 中远离0的那个值则（）
高一数学试卷
试卷120分钟满分：150分
一选择题：本题共8小题每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.下列函数中周期为 的是（）
A. B.
C. D.
2.函数 的单调递增区间为（）
A. B.
C. D.
3.函数 的部分图象如图所示则 可能是（）
A B.
C. D.
4.已知角 的终边在射线 上则 的值为（）
17.已知复数 .
（1）若 是实数求 的值；
（2）若复数 在复平面内对应的点在第三象限且 求实数 的取值范围.
18 已知 .
（1）若 三点共线求 满足的等量关系；
（2）在（1）条件下求 的最小值.
19.问题：在 中内角A 所对的边分别为a .
（1）求A；
（2）若 的面积为 ________求 .
请在① ；② ；③ 这三个条件中选择一个补充在上面的横线上并完成解答.
20.某网红景区拟开辟一个平面示意图如图 五边形 观光步行道 为景点电瓶车专用道 .
（1）求 的长；
（2）请设计一个方案使得折线步行道 最长（即 最大）.
21.如图所示在 中 与 相交于点 . 的延长线与边 交于点 .
（1）试用 表示 ；
（2）设 求 的值.
22.已知 的内角 所对的边分别为 向量 .
高一数学第一学期期末测试题和答案
高一数学第一学期期末测试题本试卷共4页，20题，满分为150分钟，考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{13,4,5,7,9}=A ，B {3,5,7,8,10}=，那么=AB （ ）A 、{13,4,5,7,8,9}，B 、{1,4,8,9}C 、{3,5,7}D 、{3,5,7,8} 2．cos()6π-的值是（ ）A B ． C ．12 D ．12- 3．函数)1ln()(-=x x f 的定义域是（ ）A ． ),1(+∞B ．),1[+∞C ． ),0(+∞D ．),0[+∞ 4．函数cos y x =的一个单调递增区间为 ( ) A ．,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．()0,π C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ 5．函数tan(2)4y x π=+的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 6．函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是 （ ） A ．(1,2) B ．(,3)e C ．(2,)e D ．(,)e +∞7．已知0.30.2a=，0.2log 3b =，0.2log 4c =，则（ ）A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a 8．若函数23()(23)m f x m x-=+是幂函数，则m 的值为（ ）A 、1-B 、0C 、1D 、2 9．若1tan()47πα+=，则tan α=（ ）A 、34 B 、43C 、34-D 、43-10．函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（ ） A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．已知函数()()()2log 030x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩，则()0f f =⎡⎤⎣⎦ . 12．已知3tan =α，则ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-= ；13．若cos α=﹣，且α∈（π，），则tan α= ．14．设{1,2,3,4,5,6},B {1,2,7,8},A ==定义A 与B 的差集为{|},A B x x A x B A A B -=∈∉--，且则（）三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（满分12分）（1）4253sin cos tan()364πππ-（2）22lg 4lg 25ln 2e -+-+16．（满分12分）已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭)(R x ∈ (1)求()f x 的振幅和初相;(2)该函数图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？17.（本题满分14分） 已知函数()sin 2cos 21f x x x =+-（1）把函数化为()sin(),(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>的形式，并求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最大值及()f x 取得最大值时x 的集合； 18.（满分14分）()2sin(),(0,0,),()62.1(0)228730(),(),sin 35617f x x A x R f x f ABC A B C f A f B C πωωπωππ=->>∈+=+=-已知函数且的最小正周期是（）求和的值；（）已知锐角的三个内角分别为，，，若求的值。
湖南省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}24M x x =≤{}24xN x =<M N ⋂=A ． B ． {}2x x ≤-{}22x x -≤<C ． D ．{}22x x -≤≤{}02x x <<【答案】B【分析】化简集合即得解.M N 、【详解】由题得， {}22,{|2}M x x N x x =-≤≤=<所以. M N ⋂={}22x x -≤<故选：B2．”是“”的（ ） b >2a b >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据不等式性质，结合特殊值，从充分性和必要性进行分析，即可判断和选择.【详解】取，但不满足，故充分性不满足； 4,3a b ==-b >2a b >当，故满足必要性； 20a b >≥b >综上所述，”是“”的必要不充分条件. b >2a b >故选：B.3．函数的定义域为，则的定义域为（ ） ()21y f x =-[]0,1()y f x =A ． B ．C ．D ．[]1,1-1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]0,1[]1,0-【答案】A【分析】由的取值范围求得的范围，即得所求 x 21x -【详解】因为，所以， 01x ≤≤1211-≤-≤x 所以的定义域为 ()y f x =[]1,1-故选：A.4．某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）2()||1x f x x =+A ．函数是奇函数B ．函数的值域是()f x ()f x ()1,+∞C ．函数在R 上是增函数D ．方程有实根()f x ()2f x =【答案】D【分析】由函数的奇偶性，单调性等对选项逐一判断【详解】对于A ，，故是偶函数，，不是奇函数，2()()()||1x f x f x x --==-+()f x (1)(1)1f f -==()f x 故A 错误，对于B ，当时，，由对勾函数性质知，0x ≥21()1211x f x x x x ==++-++()()00f x f ≥=而是偶函数，的值域是，故B 错误，()f x ()f x [0,)+∞对于C ，当时，，由对勾函数性质知在上单调递增，0x >21()1211x f x x x x ==++-++()f x (0,)+∞而是偶函数，故在上单调递减，故C 错误，()f x ()f x (,0)-∞对于D ，当时，，即，解得，故D 正确， 0x >()2f x =2220x x --=1x =+故选：D5．已知函数若，则实数的取值范围是（ ）()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩()()22f a f a -≥-a A ． B ．C ．D ．[2,1]-1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦(,1]-∞1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】根据分段函数每一段的单调性及端点值判断函数在定义域内的单调性，再利用单调性解抽象不等式即可.【详解】因为，当时单调递减，且，()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩0x ≤()3x f x -=()1f x ≥当时，单调递减，且，0x >3()f x x =-()0f x <所以函数在定义域上单调递减，因为，()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩()22()f a f a -≥-所以，解得，即实数的取值范围为：. 22a a -≤-21a -≤≤a [2,1]-故选：A.6．已知函数的值域与函数的值域相同，则实数a 的取值范围是22(1),1()3,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩y x =（ ） A ．B ．(,1)-∞(,1]-∞-C ．D ．[1,1)-(,1][2,)-∞-+∞ 【答案】B【分析】根据的值域为列不等式，由此求得的取值范围.()f x R a 【详解】依题意，，22(1),1()3,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩当时，，1x ≥2()33=≥f x x 函数的值域与函数的值域相同，即为，()f x y x =R 需满足，解得.∴()211310a a a ⎧-⨯+≥⎨->⎩1a ≤-所以实数a 的取值范围是. (,1]-∞-故选：B7．已知函数则下述关系式正确的是（ ）()e 31e 111e ,log ,log ,log ,3e 9xf x a f b f c f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ． B ． b a c >>b c a >>C ． D ．c a b >>a b c >>【答案】A【分析】根据，为偶函数，在（0，+∞）上单调递减求解. ||()x f x e -=【详解】解：∵，||()x f x e -=∴f （x ）为偶函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减，∴.e e 331e 111(log (log 3),(log )(log e),(log )3e 9======a f f b f f c f e (log 9)f ∵， 3e e 0log e 1log 3log 9<<<<∴， b a c >>故选：A.8．已知，函数在上存在最值，则的取值范围是（ ）0ω>()sin f x x ω=π,π3⎛⎫⎪⎝⎭ωA ． B ． C ． D ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1339,,2222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 133,,222⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】根据的最值点为，进而根据不等式得到，由()sin f x x ω=ππ+2,k x k ω=∈Z 1132k ωω<+<的取值范围即可求解.ωk ，【详解】当取最值时，．()sin f x x ω=ππ+,2x k k ω=∈Z 即， ππ+2,k x k ω=∈Z 由题知，故． ππ+π2<<π3ωk 1132k ωω<+<即．33,2Z 1,2k k k ωω⎧<+⎪⎪∈⎨⎪>+⎪⎩因为时，；时，； 0,0k ω>=1322ω<<1k =3922ω<<显然当时，，此时在上必有最值点．32ω>2πππ2=π32232T ωω==<()sin f x x ω=π,π3⎛⎫⎪⎝⎭综上，所求．133,,222ω⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选:D ．二、多选题9．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π6()g x 象，则（ ）A ．的图象关于轴对称B ．的最小正周期是 ()g x y ()g x πC ．的图象关于点对称D ．在上单调递减()g x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭()g x π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BCD【分析】根据余弦函数图象的平移变换可得的解析式，结合余弦函数的奇偶性、周期、对称()g x 性以及单调性一一判断各选项，即可得答案. 【详解】将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则()f x π6()g x ,()πππ2cos 22cos 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦该函数不是偶函数，最小正周期为，则A 错误，B 正确. 2ππ2=令，，解得，，当时，， ππ262x k π-=+Z k ∈ππ23k x =+Z k ∈1k =-π6x =-即的图象关于点对称，则C 正确.()g x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭令，，解得，，π2π22ππ6k x k ≤-≤+Z k ∈π7πππ1212k x k +≤≤+Z k ∈当时，即得在上单调递减，则D 正确.0k =()g x π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：BCD.10．下列说法正确的是（ ）A ．若不等式的解集为，则220ax x c ++>{}12x x -<<2a c +=B ．若命题，则的否定为 ():0,,1ln p x x x ∞∀∈+->p ()0,,1ln x x x ∃∈+∞-≤C ．在中，“”是“”的充要条件ABC A sin cos sin cos A A B B +=+A B =D ．若对恒成立，则实数的取值范围为 2320mx x m ++<[]0,1m ∀∈x ()2,1--【答案】ABD【分析】由一元二次不等式的解法可判断A ；由全称量词命题的否定可判断B ；由充要条件的判断可判断C ；变元转化为一次函数恒成立可判断D【详解】对于A ：不等式的解集为，220ax x c ++>{}12x x -<<则和是方程的两个根，故，1-2220ax x c ++=()()021212a a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩解得，所以，故A 正确； 2,4a c =-=2a c +=对于B ：命题， ():0,,1ln p x x x ∞∀∈+->则的否定为，故B 正确；p ()0,,1ln x x x ∃∈+∞-≤对于C ：由可得， sin cos sin cos A A B B +=+2sin cos 2sin cos A A B B ⋅=⋅所以， sin2sin2A B =又， 0<222πA B +<所以或， π2A B +=A B =所以“”不是“”的充要条件，故C 错误；sin cos sin cos A A B B +=+A B =对于D ：令，由对恒成立，()()223f m x m x +=+()0f m <[]0,1m ∀∈则，解得， ()()20301320f x f x x ⎧=<⎪⎨=++<⎪⎩2<<1x --所以实数的取值范围为，故D 正确； x ()2,1--故选：ABD11．下列说法正确的是（ ）A ．如果是第一象限的角，则是第四象限的角 αα-B ．如果，是第一象限的角，且，则 αβαβ<sin sin αβ<C ．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为3ππ23πD ．若圆心角为的扇形的弦长为23π83π【答案】AD【分析】由象限角的概念判断A ；举反例判断B ；由扇形弧长、面积公式计算判断C ，D 作答. 【详解】对于A ，是第一象限的角，即，则α22,Z 2k k k ππαπ<<+Î，22,Z 2k k k ππαπ--<<-Î是第四象限的角，A 正确；α-对于B ，令，，是第一象限的角，且，而，B 不正确； 11,66ππαβ=-=αβαβ<sin sin αβ=对于C ，设扇形所在圆半径为r ，则有，解得，扇形面积，C 不正3r ππ=3r =13322S ππ=⨯⨯=确；对于D ，设圆心角为的扇形所在圆半径为，依题意，，扇形弧长23πr '4r '==2833l r ππ'==，D 正确. 故选：AD12．已知函数，，，有，()()23log 1f x x =-()22g x x x a =-+[)12,x ∃∈+∞21,33x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x ≤则实数a 的可能取值是（ ） A ． B ．1 C ．D ．31252【答案】CD【分析】将问题转化为当，时，，然后分别求出两函数的[)12,x ∈+∞21,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12min min f x g x ≤最小值，从而可求出a 的取值范围，进而可得答案【详解】，有等价于当，时，[)12,x ∃∈+∞21,33x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x ≤[)12,x ∈+∞21,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．()()12min min f x g x ≤当时，令，则，因为在上为增函数，在定义[)2,x ∞∈+21t x =-3log y t =21t x =-[2,)+∞3log y t =域内为增函数，所以函数在上单调递增，所以．()()23log 1f x x =-[2,)+∞()()min 21f x f ==的图象开口向上且对称轴为， ()22g x x x a =-+1x =∴当时，，1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()min 11g x g a ==-∴，解得． 11a ≤-2a ≥故选：CD ．三、填空题13．函数的定义域为___________.3tan 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】 5|,Z 82k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【分析】先得到使函数有意义的关系式，求解即可. 32,Z 42x k k πππ-≠+∈【详解】若使函数有意义，需满足：， 32,Z 42x k k πππ-≠+∈解得； 5,Z 82k x k ππ≠+∈故答案为： 5|,Z 82k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭14．函数的单调递减区间是______.()20.8log 43y x x =-+-【答案】(]1,2【分析】先求得函数的定义域，结合二次函数、对数函数的单调性，利用复合函数单调性的判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数，()20.8log 43y x x =-+-令，即，解得，2430x x -+->243(1)(3)0x x x x -+=--<13x <<又由函数的对称为，可得在区间单调递增，在单调递减， 2=+43y x x --2x =(1,2](2,3)又因为函数为定义域上的单调递减函数，0.8log y x =根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数的单调递减区间是.()20.8log 43y x x =-+-(1,2]故答案为：.(1,2]15．已知是第四象限角，且___________.αcos α=()()sin cos cos sin 22πααππαα++-=⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】3-【分析】利用同角三角函数关系可得.sin α=【详解】由题设， sin α==. ()()sin cos cos sin 3sin cos cos sin 22πααααππαααα++--===-+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：3-16．命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充要条件是[]1,1m ∈-[]0,3x ∈2210x x am ---=______.【答案】11a -<<【分析】方程变形为，转化为函数与与有且仅有一个交点，依221x x am -=+22y x x =-1y am =+据，，分类讨论，数形结合，求解a 的范围即可 0a =0a >a<0【详解】由得：；2210x x am ---=221x x am -=+当时，，则，解得：∵，，满足题意； 0a =11am +=221x x -=1x =[]10,3[]10,3当时，；若存在唯一的，使得成立，则0a >[]11,1am a a +∈-+[]0,3x ∈221x x am -=+22y x x =-与有且仅有一个交点，在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所1y am =+22y x x =-[]0,3示，由图象可知：当时，与有且仅有一个交点，∴，解013am <+≤22y x x =-1y am =+0131aa<-⎧⎨≥+⎩得：，则；1a <01a <<当时，,结合图象可得：，解得：，则；a<0[]11,1am a a +∈+-0131aa <+⎧⎨≥-⎩1a >-10a -<<综上所述：原命题成立的充要条件为， 11a -<<故答案为：-1<a <1.四、解答题17．设集合，.{}24120A x x x =--={}20B x ax =-=(1)若，求a 的值； {}2,1,6A B =- (2)若，求实数a 组成的集合C . A B B = 【答案】(1) 2a =(2)11,0,3C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭【分析】（1）求出集合，根据，即可得出，从而即得； A A B ⋃1B ∈（2）由题可知，然后分类讨论，从而得出实数组成的集合． B A ⊆a 【详解】（1）由，解得或，所以， 24120x x --=2x =-6x ={}2,6A =-因为， {}2,1,6A B =- 所以，则， 1B ∈120a ⋅-=所以；2a =（2）因为，则， A B B = B A ⊆当时，； B =∅0a =当时，；{}2B =-1a =-当时，，{}6B =13a =综上可得集合.11,0,3C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭18．已知函数. ()()222log log 2f x x x =--(1)若 ， 求 的取值范围; ()0f x …x (2)当时， 求函数 的值域. 184x ≤≤()f x【答案】(1)；1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2). 9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用换元法令，列不等式先解出的范围，再解出的范围即可； 2log x t =t x （2）利用（1）中的换元，先得到的范围，再根据的范围求值域即可.t t 【详解】（1）令，，可整理为，则即，解得2log x t =R t ∈()f x 22y t t =--()0f x ≤220t t --≤，所以，解得， 12t -≤≤21log 2x -≤≤142x ≤≤所以.1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）当时，，因为，且当，有最小值；184x ≤≤23t -≤≤22y t t =--12t =94-当或3时，有最大值4； 2t =-所以的值域为.()f x 9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦19．设函数.()2,4f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；()f x （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时的值．()f x 3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x 【答案】（1），；（2）见解析 T π=3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据正弦函数性质求函数的最小正周期和单调递增区间； ()f x （2）先确定取值范围，再根据正弦函数性质求最值及其对应自变量.24t x π=-【详解】（1）函数的最小正周期为 ， ()f x 22T ππ==由的单调增区间是可得sin y x =2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，解得222242k x k πππππ-+≤-≤+388k x k ππππ-+≤≤+故函数的单调递增区间是． ()f x 3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）设，则，24t x π=-3,84x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦50,4t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由在上的性质知，当时，即，y t =50,4t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2t π=38x π=max f当时，即， ． 54t π=34x π=min 1f ⎛=- ⎝【点睛】本题考查正弦函数周期、单调区间、最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 20．已知定义域为R 的函数是奇函数， ()221x f x a =++（1）求的值．a （2）判断函数在上的单调性并加以证明；()f x R （3）若对于任意不等式恒成立，求的取值范围． ,t R ∈()()22620f t t f t k -+-<k 【答案】（1）；（2）减函数；（3）1a =-(),3-∞-【详解】试题分析：（1）可利用如果奇函数在处有意义，一定满足，代入即可解得；（2）用单调性定义证明，特别注意“变形”这一步中，需通过通分、分解因式等手段，达到能判断差式的符号的目的；（3）含参数的不等式恒成立问题，我们往往可以采用分离参数的办法，将其转化为求函数的最值问题，从而求得参数的取值范围．试题解析：（1）因为是R 上的奇函数，则()f x ()00=f 即所以 20,11a +=+1a =-又成立，所以()()f x f x -=-1a =-（2）证明：设， 12x x <()()()()()21121212222221121212121x x x x x x f x f x --=--+=++++因为，所以，故12x x <1222x x <()()12f x f x >所以是R 上的减函数且为奇函数()f x （3）由于是R 上的减函数且为奇函数()f x 故不等式可化为()()22620f t t f t k -+-<()()2262f t t f k t -<-所以 即恒成立2262t t k t ->-()2236313k t t t <-=--所以 ，即的取值范围为3k <-k (),3∞--21．某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的曲线．当p t 时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数(]0,14t ∈[]14,40t ∈图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于80时学习效果()()log 5830,1a y x a a =-+>≠p 最佳．（1）试求的函数关系式；()p f t =（2）教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．【答案】（1）（2）1232t -≤≤【详解】【解】（1）当时， [014]t ∈，设，2()(12)82(0)p f t c t c ==-+<所以当时，. [014]t ∈，21()(12)824p f t t ==--+当时，将(14，81)代入，得 [1440]t ∈，()log 583a y x =-+1.3a =于是（2）解不等式组得1214.t -<解不等式组得131440{log (5)8380t t ≤≤-+>，1432.t ≤<故当时，，1232t -<<()80p t >答：老师在时段内安排核心内容能使得学生学习效果最佳．()1232t ∈-22．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在，使成立，()y T x =1x 2x ()()121T x T x ⋅=则称该函数为“圆满函数”.已知函数；()sin ,()224x x f x x g x π-==-（1）判断函数是否为“圆满函数”，并说明理由；()y f x =（2）设，证明：有且只有一个零点，且. 2()log ()h x x f x =+()h x 0x 05sin 46x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】（1）不是“圆满函数”，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）取特殊值，代入“圆满函数”的定义，判断是否有实数能满足123x =2x ；（2）当时，利用零点存在性定理讨论存在零点，以及当22sin()sin 1434x ππ⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭(]0,2x ∈时，证明在上没有零点，再化简，转化为证明不等式()2,x ∈+∞()h x ()2,∞+0sin 4x g π⎛⎫ ⎪⎝⎭00156x x -<.【详解】解：（1）若是“圆满函数”.取，存在，使得 ()sin 4f x x π=123x =2x R ∈，即，整理得，但是，矛盾，所以()()121f x f x =2sinsin 164x ππ⋅=2sin 24x π=2sin 14x π≤()y f x =不是“圆满函数”. （2）易知函数的图象在上连续不断. ()2log sin 4h x x x π=+()0+∞，①当时，因为与在上单调递增，所以在上单调递增.(]0,2x ∈2log y x =sin 4y x π=(]0,2()h x (]0,2因为，， 2222221log sin log log 033632h π⎛⎫=+=+=< ⎪⎝⎭()1sin 04h π=>所以.根据函数零点存在定理，存在，使得， ()2103h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00h x =所以在上有且只有一个零点.()h x (]0,20x ②当时，因为单调递增，所以，因为.所以()2,x ∈+∞2log y x =22log log 21y x =>=sin 14y x π=≥-，所以在上没有零点.()110h x >-=()h x ()2,∞+综上：有且只有一个零点. ()h x 0x 因为，即，()0020log sin 04x h x x π=+=020sin log 4x x π=-所以，. ()2020log log 020001sin log 224x x x g g x x x π-⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为在上单调递减，所以，所以. 1y x x =-2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭001325236x x -<-=05sin 46x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据零点存在性定理先说明零点存在，并且存在，使得，再利用，化简，利用02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00h x =020sin log 4x x π=-()020sin log 4x g g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用函数的最值证明不等式.. 02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭。
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数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)一、单选题(每小题5分，共60分)1．已知集合{}2,3,4,6A =，{}1,2,3,4,5B =，则A ∩B=（ ） A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}2,3D ．{}2,3,42．计算1294⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A ．32B ．8116C ．98D ．233．函数y = ） A ．[1,]-+∞B ．[]1,0-C ．()1,-+∞D ．()1,0-4．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为（ ） A ．163π B ．323π C ．643π D ．2563π 5．函数3()21xf x x=--的零点所在的区间为（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．() 4,56．下列函数中，是偶函数的是（ ） A ．3y x =B ．||=2x yC ．lg y x =-D ．x x y e e -=-7．函数()23x f x a -=+恒过定点P （ ）A ．()0,1B ．()2,1C ．()2,3D ．()2,48．已知圆柱的高等于1，侧面积等于4π，则这个圆柱的体积等于（ ） A ．4π B ．3π C ．2πD ．π9．设20.920.9,2,log 0.9a b c ===，则( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>10．某几何体的三视图如图所示(单位：cm ) ，则该几何体的表面积(单位：cm 2)是( )A ．16B ．32C ．44D ．6411．2ln 32f x x x 的递增区间是（ ）A ．(),1-∞B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．()2,+∞12．已知(3)4,1()log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(0,)4B ．(0,)+∞C ．()1,3D ．()0,1第II 卷（非选择题)二、填空题（每小题5分，共20分）13．集合{}1,0,1-的子集有_____________个.（用数字作答） 14．已知()221030x x f x x x -≥⎧=⎨⎩，，＜，则f （f （﹣1））的值为_____．15．如图所示为水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________.16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x >时，()1f x x =+，则()2f -=__________.三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．已知全集U =R ，集合{}42A x x =-≤≤-，集合{}30B x x =+≥， 求：（1）AB ；（2）()U C A B ．18．计算下列各式的值：（Ⅰ)322log 3lg25lg4log (log 16)++- （Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+19．在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．如图所示的五面体是一个羡除，其中棱AB ，CD ，EF 相互平行，四边形ABEF 是梯形．已知CD ＝EF ，AD ⊥平面ABEF ，BE ⊥AF ．（1）求证：DF ∥平面BCE ； （2）求证：平面ADF ⊥平面BCE ．20．已知对数函数()log (0,1)a f x x a a =>≠的图象经过点（9,2）. (1)求函数()f x 的解析式；（2）如果不等式(1)1f x +<成立，求实数x 的取值范围．21．在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ∥平面ABC ． （2）求证：BC SA ⊥．22．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．()1求实数a 的值；()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明数学期考参考答案 1．D 【解析】 【分析】直接利用交集的定义计算即可. 【详解】因为{}2,3,4,6A =，{}1,2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B =.故选:D. 【点睛】本题考查了集合交集的计算，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】现将94化成232⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后再根据指数幂的运算公式即可求出结果. 【详解】11222933==422⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查指数幂的运算公式，熟练掌握运算公式是解决问题的关键. 3．C 【解析】 【分析】函数y =10x +>，解不等式即可得定义域. 【详解】 由函数y =1010x x +≥⎧⎨+≠⎩，解得1x >-， 即函数y =()1,-+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式被开方数非负，分式分母不为0，考查运算能力，属于基础题． 4．B 【解析】 【分析】先求球半径，再求球体积. 【详解】因为24π=16πR ，所以34322,ππ33R V R ===,选B. 【点睛】本题考查球表面积与体积，考查基本求解能力，属基础题. 5．A 【解析】 【分析】连续函数f （x ）＝32xx--1在（0，+∞）上单调递增且f （1）f （2）＜0，根据函数的零点的判定定理可求结果．∵函数f （x ）＝32xx--1在定义域（0，+∞）上单调递增， ∴f （1）＜0，f （2）＞0，f （3）>0，f （4）＞0，f （5）＞0， ∴根据根的存在性定理得f （x ）＝32xx--1的零点所在的一个区间是（1，2）， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数零点定义及判定的应用，属于基础试题． 6．B 【解析】 【分析】对选项逐一分析函数的奇偶性，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，3y x =为奇函数；对于B 选项，令()2xf x =，函数()f x 的定义域为R ，()()2xf x f x -==，故函数为偶函数，符合题意；对于C 选项，函数的定义域为()0,∞+，故函数为非奇非偶函数； 对于D 选项，令()xxf x e e -=-，函数()f x 的定义域为R ，且()()ee xx f x f x --=-=-，故函数为奇函数. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，属于基础题. 7．D【分析】令指数为零，求出x 的值，并代入函数()y f x =的解析式，即可得出定点P 的坐标. 【详解】令20x -=，得2x =，()0234f a =+=，因此，定点P 的坐标为()2,4.故选：D. 【点睛】本题考查指数型函数图象过定点问题，一般利用指数为零可求得定点的坐标，考查运算求解能力，属于基础题. 8．A 【解析】分析：已知圆柱的高等于1，侧面积等于4π，根据圆柱的侧面积公式，求出底面半径，即可得到圆柱的体积.详解：已知圆柱的高等于1，侧面积等于4π，设圆柱的底面半径为,r 根据圆柱的侧面积公式214,2r r ππ⨯=∴=，则圆柱的体积()22214.V r h πππ==⨯⨯= 故选A.点睛：本题考查圆柱的侧面积和圆柱的体积，属中档题. 9．A 【解析】 【分析】先由题中条件分别判断出a b c ，，的范围，进而可得出结果. 【详解】因为()20.90,1a =∈，0.921b =>，2log 0.90c =<，所以b a c >>.故选A 【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的性质，熟记性质即可比较大小，属于基础题型. 10．B 【解析】 【分析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA ⊥底面ABC ．然后由直角三角形面积公式求解． 【详解】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA ⊥底面ABC ． 则BC PC ⊥．∴该几何体的表面积1(34543445)322S =⨯+⨯+⨯+⨯=．故选：B ． 【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．11．D【解析】【分析】首先求出函数的定义域，然后利用二次函数的性质研究2()32g x x x =-+的单调性，结合函数ln y x =的单调性即可得结果.【详解】解：令2320x x -+>，解得1x <-或2x >，在()(),12,-∞-+∞上，2()32g x x x =-+的单调增区间为()2,+∞，因为函数ln y x =在定义域内单调递增，所以2ln 32f xx x 的递增区间是()2,+∞，故选：D.【点睛】本题考查复合函数的单调性，注意：一定要先求函数的定义域.12．C【解析】【分析】根据分段函数恒增，列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】 因为(3)4,1()log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在R 上是增函数，所以30134log 1a a a a a ->⎧⎪>⎨⎪--≤⎩，即3135a a a ⎧⎪<⎪>⎨⎪⎪≥⎩，解得：13a <<.故选：C【点睛】本题主要考查由分段函数恒增求参数，只需保证每段都是增函数，并注意结点位置的取值即可，属于常考题型.13．7【解析】【分析】根据含n 个元素的集合的子集个数为n 2个，即可得出结果.【详解】含n 个元素的集合的真子集个数为n 2个，所以集合{}1,0,1-的真子集个数为823=.故答案为：8【点睛】本题主要考查求集合的子集个数，熟记公式即可，属于基础题型.14．5【解析】【分析】先求(1)f -的值，再求f （f （﹣1））的值.【详解】根据题意，()221030x x f x x x -≥⎧=⎨⎩，，＜， 则f （﹣1）＝3×（﹣1）2＝3，则f （f （﹣1））＝f （3）＝2×3﹣1＝5. 故答案为：5【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．2【解析】【分析】画出直观图，得到B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°，再求顶点B ′到x ′轴的距离.【详解】画出直观图，BC 对应B ′C ′，且B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°，故顶点B ′到x ′轴的距离为2.故答案为：2【点睛】本题主要考查直观图和原图的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 16．3-【解析】【分析】根据函数的奇偶性进行转化求解即可．【详解】根据函数的奇偶性的性质可得()()()22213f f -=-=-+=-.故答案为：3-.【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键． 17．（1）{}4A B x x ⋃=≥-（2）{()3U C A B x x ⋂=<-或}2x >-【解析】【分析】（1）先化简集合B ，再根据并集的概念，即可求出结果；（2）先求出交集，再求补集，即可得出结果.【详解】（1）因为{}{}303B x x x x =+≥=≥-，{}42A x x =-≤≤- 所以{}4A B x x ⋃=≥-；（2）由（1）可得{}32A B x x ⋂=-≤≤-，因为U =R ， 所以{()3U C A B x x ⋂=<-或}2x >-.【点睛】本题主要考查集合交并补的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型. 18．(Ⅰ)12；(Ⅱ)12. 【解析】试题分析：（1）根据对数运算法则log ,lg lg lg ,m a a m m n mn =+= 化简求值（2）根据指数运算法则01(),1,m n mn m ma a a a a -===，化简求值 试题解析：（Ⅰ）原式()3111log 3lg 254222222=+⨯-=+-=. （Ⅱ）原式1223233343441112292992⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.19．（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】(1)证明四边CDFE 是平行四边形,再用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用线面垂直得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可证明.【详解】证明：（1）,,AB CD EF 相互平行，四边形ABEF 是梯形．CD EF =， ∴四边形CDFE 是平行四边形，DF CE ∴，DF BCE ∴⊄平面 ，CE BCE ⊂平面，∴DF BCE 平面（2）∵AD ⊥平面ABEF ，BE ⊂平面ABEF ，BE AD ∴⊥,BE AF ⊥,AF A AD =,∴BE ⊥平面ADF ，∵BE ⊂平面BCE ，∴平面ADF ⊥平面BCE .【点睛】本题主要考查的是线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，是中档题.20．（1）3()log f x x =； （2）12x -<<.【解析】【分析】（1）根据条件可得log 92a =，解得a ，即可得解析式；（2）由函数解析式可得()3log 11x +<，解对数不等式即可得解.【详解】（1）因为函数过点（9，2）所以log 92a =，即29a =，因为0a >，所以3a =.所以函数()f x 的解析式为()3log f x x =;()()31log 1f x x +=+.由()11f x +<可得()3log 11x +<，即()33log 1log 3x +<即1013x x +>⎧⎨+<⎩，即12x -<<. 所以，实数x 的取值范围是12x -<<.【点睛】本题主要考查了解对数不等式，注意真数大于0，属于基础题.21．（1）见解析（2）见解析【解析】[证明] （1）∵AS AB =，AF SB ⊥，垂足为F ，∴F 是SB 的中点，又因为E 是SA 的中点，∴EF ∥AB ，∵EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ；同理EG ∥平面ABC . 又EF EG E ⋂=，∴平面EFG ∥平面ABC .（2）∵平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF SB ⊥， ∴AF ⊥平面SBC ，∵BC ⊂平面SBC ，∴AF BC ⊥，又因为AB BC ⊥，AF AB A ⋂=，AF 、AB ⊂平面SAB ，∴BC ⊥平面SAB ，∵SA ⊂平面SAB ，∴BC SA ⊥.【考点定位】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.22．（1）1；（2）减函数，证明见解析【解析】【分析】（1）奇函数在0x =处有定义时，()00f =，由此确定出a 的值，注意检验是否为奇函数；（2）先判断函数单调性，然后根据函数单调性的定义法完成单调性证明即可.【详解】()1根据题意，函数()221x x a f x -+=+是定义域为R 奇函数， 则()0020021a f -+==+，解可得1a =， 当1a =时，()()12121212x xx x f x f x -----=-==-++，为奇函数，符合题意； 故1a =；()2由()1的结论，()12121221x x x f x -==-++，在R 上为减函数； 证明：设12x x <，则()()()()()2212121222112221212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 又由12x x <，则()21220x x ->，()1210x +>，()2210x +>，则()()120f x f x ->，则函数()f x 在R 上为减函数．【点睛】本题考查函数奇偶性单调性的综合应用，难度一般.(1)定义法证明函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判号、下结论；(2)当奇函数在0x =处有定义时，一定有()00f =.。