十字相乘法分解因式经典例题和练习教程文件
因式分解法(十字相乘法)
( 3 ) 6x2 - 7xy – 5y2
( 4 ) 4x2- 18x + 18
( 5 ) 4（a+b）2 + 4(a+b) - 15
试将 x 6 x 16 分解因式
2
x 6 x 16
2
x 6x 16
2
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出 负号再因式分解 。
( 3 ) 6x2 - 3x – 18
( 4 ) 8x2- 14xy + 6y2
观察：p与a、b符号关系
x 14x 45 ( x 5)(x 9)
2
x 29x 138 ( x 23)(x 6)
2
小结：当q>0时，q分解的因数a、b(
且（a、b符号）与p符号相同
5
十字相乘法（竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。 ）
例1、（3）
2x
x
2 x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱxy 7 y
2
2
7y
1y
2 xy 7 xy 5xy
所以： 原式 (2x 7 y)(x y)
将下列各式用十字相乘法进行因式分解
（1）2x2 + 13x + 15
（2）3x2 － 15x － 18
例1、用十字相乘法分解因式 2x2-2x-12
法一：
2x2-2x-12
-3 4
x 2x
= （x-3）(2x+4) = 2 (x-3) （x+2)
x×4+2x×（-3）=-2x
①竖分二次项与常数项 ③检验确定，横写因式 ②交叉相乘，和相加
(完整版)十字相乘法分解因式的讲解与练习
十字相乘法分解因式一、学习目标 1、能记住十字相乘法2、会运用十字相乘法分解因式（重点） 二、知识复习1．二次三项式（1）多项式c bx ax ++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于- 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 三、典型例题[例1] 把下列各式因式分解。
（1）3722+-x x （2）5762--x x （3）22865y xy x -+解：（1）)12)(3(3722--=+-x x x x1231--7)1(1)3(2-=-⨯+-⨯（2）)53)(12(5762-+=--x x x x5312-713)5(2-=⨯+-⨯（3）)45)(2(86522y x y x y xy x -+=-+yy4521-y y y 6)2(5)4(1=⨯+-⨯ 四、当堂检测1、把下列各式分解因式：（1）22157x x ++ （2） 2384a a -+- （3） 2576x x +- （4）261110y y -- （5）1032+--x x （6）652--m m二、分解因式1. 2252310a b ab +- 2. 222231710a b abxy x y -+ 3. 22712x xy y -+ 4.42718x x +- 5.22483m mn n ++。
北师大八年级数学下册十字相乘法分解因式的精品讲解+练习
十字相乘法分解因式（1）多项式c bx ax ++2，称为字母 x 的二次三项式，其中 ax^2 称为二次项， bx 为一次项， c 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式．(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例1 把下列各式分解因式：(1)1522--x x ；=（x+3）（x+5）(2)2265y xy x +-．=（x-3y ）（x-2y ）例2 把下列各式分解因式：(1)3522--x x ；=（-x+3）（-2x-1）例3 把下列各式分解因式：(1)91024+-x x ；=（x-1）（x+1）（x-3）（x+3）(2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；=[7(x+y)^2-5(x+y)-2](x+y)=(7x+7y-1)(x+y+2)(x+y)(3)120)8(22)8(222++++a a a a ．=(a^2+8a+10)(a^2+8a+12)=(a^2+8a+10)(a+2)(a+6)例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．=(x^2+2x-18)(x^2+2x-9)例5 分解因式653856234++-+x x x x ．=(6x^4+5x^3-39x^2)+(x^2+5x+6)=x^2(6x^2+5x-39)+(x+2)(x+3)=x^2(x+3)(6x-13)+(x+2)(x+3)=(x+3)(6x^3-13x^2+x+2)=(x+3)(6x^3-13x^2+2x-x+2)=(x+3)[x(6x^2-13x+2)-(x-2)]=(x+3)[x(x-2)(6x-1)-(x-2)]=(x+3)[(x-2)(6x^2-x-1)]=(x+3)(x-2)(2x-1)(3x+1)例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．=(x^2-2xy+y^2)-5(x-y)-6=(x-y)^2-5(x-y)-6=[(x-y)-6][(x-y)+1]=(x-y-6)(x-y+1)例7、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．把下列各式分解因式：(1)22157x x ++(2) 2384a a -+(3) 2576x x +-(4) 261110y y --(5) 2252310a b ab +-(6) 222231710a b abxy x y -+(7) 22712x xy y -+(8) 42718x x +-(9) 22483m mn n ++(10) 53251520x x y xy --一、选择题1．如))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是( )A ．22-+x xB ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是( )A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有( )①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．=-+1032x x (x-2)(x+5)．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝，b ＝．9．=--3522x x (x －3)()．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a mn a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题14．把下列各式分解因式：(1)6724+-x x ；(2)36524--x x ；(3)422416654y y x x +-；(4)633687b b a a --；(5)234456a a a --；(6)422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：(1)2224)3(x x --；(2)9)2(22--x x ；(3)2222)332()123(++-++x x x x ；(4)60)(17)(222++-+x x x x ；(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ；(6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，x^3+y^3=36，求a 的值． x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)[(x+y)^2-3xy]x+y=2,xy=a+4x^3+y^3=2*(4-3a-12)=36a=-26/3。
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
十字相乘法-因式分解(经典版)
ax+（-ax）=0
③首项有负号时（也是提取公因式时第一要点）
- x2 x 6 - (x 2)(x 3)
转化到我们熟悉分解方式
- x2 x 6 （- x2 - x - 6）
x 2
x 3 3x 2x -x
总结：
- x2 2ax - a2（- x2 - 2ax a2） 完全平方公式
（ 2 y2 1） -（ 3 y2 1）
x ⑥ 2 系数不为1
2x 2 -11xy - 6y 2
则需对前后两个因式的系数均分解，口算，心算能 力不足时需要在草稿纸上写出多种十字交叉分解的 情形，特别是当前后两项系数数值比较大。
2xx- 6yy (x y)(x 6y)
⑦首项和末项为多个因式相乘，如abc
中间项多了一个因式（y2 1）
回到我们熟悉的分解方式
x 2
x 3
只需在右边分解的因式 分别乘以多了的那个因 式
题型④ x2 - xy - 6y 2
x
2 分别乘以
x
2y
x
x 3 另一个因式y
3y
题型⑤ x2 - x（y2 1）-（6 y2 1）2
x x 2
分别乘以
x x 3 另一个因式（y2+1）
这种的分解方式比较多，难度较大，建议 后期的学习中再慢慢了解
最后：关于十字相乘法的项数及次数问题，笔者认 为，这个没有特定要求，如前面的例子平方差公式， 只有两项也能用这种思想，再比如题型⑤
x2 - x（y2 1）-（ 6 y2 1）2
如果（）里面是一个很项数的很多项式，同样 看作一个整体，那也是可以用这种思想的，我 认为类似于三个整式的代数和形式代数式均可 考虑使用十字相乘法。
(完整版)初中数学十字相乘法因式分解
初中数学十字相乘法因式分解要点：一、 x 2 ( p q) xpq 型的因式分解特点是：（ 1）二次项的系数是 1（2）常数项是两个数之积（ 3）一次项系数是常数的两个因数之和。
对这个式子先去括号，获取：x 2( p q)x pqx 2 px qx pq(x 2 px) (qxpq)x( x p) q(x p) (x p)( x q)因此： x 2 ( p q)x pq (x p)( x q)利用此式的结果能够直接将某些二次项系数是 1 的二次三项式分解因式。
二、一般二次三项式 ax 2 bx c 的分解因式大家知道， (a x c )(a x c 2 ) a a x 2 (a c a c 1 ) x c c 。
11 21 2 1 2 21 2反过来，即可获取： a 1a 2 x 2 (a 1c 2 a 2 c 1 ) x c 1c 2(a 1 x c 1 )(a 2 x c 2 )我们发现，二次项系数a 分解成 a 1 a 2 ，常数项 c 分解成 c 1 c 2 ，把 a 1, a 2 , c 1, c 2 写成a 1 c1 ，这里按斜线交织相乘，再相加，就获取a 1c 2 a 2 c 1 ，那么 ax 2bx c 就可以分a 2 c 2解成 (a 1 x c 1 )(a 2 x c 2 ) .这种借助画十字交织线分解系数， 从而将二次三项式分解因式的方法， 叫做十字相 乘法。
【典型例题】 [ 例 1] 把以下各式分解因式。
（ 1） x 2 3x 2（2） x 2 7x 6 ，这解析：（1）x 23 x 2的二次项的系数是，常数项21 2 ，一次项系数 3 1 2 是一个 x 21( p 7 q) x pq 型式子。
（2） x 2 x 6 的二次项系数是 ，常数项6 ( 1) ( 6) ，一次项系数7 ( 1)1( 6) ，这也是一个 x 2 ( p q)xpq 型式子，因此可用公式 x 2 ( p q) x pq ( xp)( x q) 分解以上两式。
因式分解法(十字相乘法)知识讲解
2x
4
x×4+2x×（-3）=-2x
①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加
③检验确定，横写因式
十字相乘法（竖分常数交
叉验， 横写因式不能乱。 ）
例1、用十字相乘法分解因式 2x2-2x-12
法二：
2x2-2x-12 = （x+2）(2x-6)
x
2 = 2（x+2)(x-3)
2x
-6
x×（-6）+2x×2=-2x
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
例1、（2）
12x2 29x 15
3x
5
4x
3
(9x) (20x) 29x
所以： 原式 (3x 5)(4x 3)
十字相乘法（竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。 ）
例1、（3）
2x2 5xy 7 y2
2x
7y
x 1y
2xy 7xy 5xy
1、十字相乘法 （借助十字交叉线分解因式的方法）
2、用十字相乘法把形如x2 + px +q 二次三项式 分解因式
3、 x2+px+q=（x+a）（x+b） 其中q、p、a、b之 间的符号关系
q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符 号相同 当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大 的因数符号）与p符号相同
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结：当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5)
x2 14x 72 (x 4)(x 18)
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
十字相乘法分解因式经典例题和练习
用十字相乘法分解因式
十字相乘法：
一．2()x p q x pq +++型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：
(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．2()()()x p q x pq x p x q +++=++
例1把下列各式因式分解：
(1) 276x x -+
(2) 21336x x ++
变式 1、22215a b ab -- 2、422318a b a b --
例2把下列各式因式分解：
⑴2243a ab b -+ ⑵222()8()12x x x x +-++
变式
1、22215x xy y -- 2.、2256x xy y +-
例3把下列各式因式分解
⑴ 223310x y xy y -- ⑵2234710a b ab b -+
变式
⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ----
二．一般二次三项式2
ax bx c ++型的因式分解 例4把下列各式因式分解：
(1) 21252x x --
(2) 22568x xy y +-
练习：
1、.因式分解：1、6732-+x x
2、 3832-+x x
例5把下列各式因式分解：
（1）4
22416654y y x x +-； （2） 633687b b a a --；
练习：234456a a a --； 422469374b a b a a +-．
例6把下列各式因式分解
2222-+--+y y x xy x
练习： 233222++-+-y y x xy x
变式：分解因式：222456x xy y x y +--+-
变式：. 若x y mx y 2256-++-能分解为两个一次因式的积，求m 的值
课后作业：
用十字相乘法分解因式
（1）2914x x ++ （2）212x x -- （3）2812x x ++
（4）2295x x +- （5）2376x x -- （6）28103x x ++
（7）210275x x ++ (8).2x 2－5x －12 (9).3x 2－5x －2
(10).6x 2－13xy+6y 2 (11).8x 2y 2+6xy －35
（12）分解因式22
+-++-
282143
x xy y x y。