高中数学人教A版必修四期末考试综合检测(C)Word版含答案
2021高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4习题：模块综合检测 Word版含答案
模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C .a －b ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，(a －b )·b ＝0， 所以a －b 与b 垂直．故选C .2．已知sin(π＋α)＝13，则cos 2α＝( )A ．79B ．89C ．－79D ．429解析：选A .由于sin(π＋α)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－132 ＝79.3．下列函数中同时满足最值是12，最小正周期是6π的三角函数的解析式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 解析：选A .由题意得，A ＝12，2πω＝6π，ω＝13，故选A .4．已知平面对量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B ．由于a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )， 所以1×m －2×(－2)＝0， 所以m ＝－4.所以2a ＋3b ＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．5．在△ABC 中，A ＝15°，则3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A .22B ．32C . 2D ．2解析：选C .由于A ＋B ＋C ＝180°， 所以原式＝3sin A －cos(180°－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋30°) ＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝2.6．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．90°解析：选C .设a ，b 的夹角为θ，由c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a·b ＝0⇒a·b ＝－1⇒cos θ＝a·b |a ||b |＝－12且0°≤θ≤180°⇒θ＝120°.故选C .7．已知α，β为锐角，且tan α＝17，sin β＝35，则α＋β等于( )A ．3π4B ．2π3C ．π4D ．π3解析：选C .由于β为锐角，sin β＝35，所以cos β＝1－sin 2β＝45，所以tan β＝sin βcos β＝34， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝17＋341－17×34＝1.由于α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)， 所以α＋β＝π4.8．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A .π12B ．π6C .π3D .5π6解析：选B ．y ＝f (x )＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，向左平移m (m ＞0)个单位长度后得f (x ＋m )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋π3，由于图象关于y 轴对称，令x ＝0，得⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫m ＋π3＝2， 从而m ＋π3＝2k π±π2，故m ＝2k π＋π6或m ＝2k π－5π6，k ∈Z .又m ＞0，所以m min ＝π6.9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2解析：选C .由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而f (x )＝2sinπ4x . 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋22.10．已知向量a ＝(2cos φ，2sin φ)，φ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角为( ) A ．φ B ．π2－φC .π2＋φ D .3π2－φ 解析：选D .|a |＝（2cos φ）2＋（2sin φ）2＝2，|b |＝1，a·b ＝－2sin φ，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a |·|b |＝－2sin φ2×1＝－sin φ＝sin(－φ)＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－φ，即cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－φ，且3π2－φ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以θ＝3π2－φ.故选D .11．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为( )A .152B ．152C ．7D ．18解析：选A .由于AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(5p ＋2q ＋p －3q )＝12(6p －q )，所以|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2＝1236×()222－12×22×3×cos π4＋32＝152.12．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4解析：选A .由于函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，所以θ＝π2，所以y ＝2cos ωx ，排解C ，D ；y ＝2cos ωx ∈[－2，2]，结合题意可知T ＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2，排解B ，故选A .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan(3π＋2θ)＝________．解析：由同角三角函数的基本关系式，得tan θ＝－32，从而tan(3π＋2θ)＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2 θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－⎝⎛⎭⎫－322＝125. 答案：12514．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2，2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________． 解析：由于∠ABO ＝90°，所以AB →⊥OB →，所以OB →·AB →＝0. 又AB →＝OB →－OA →＝(2，2)－(－1，t )＝(3，2－t )， 所以(2，2)·(3，2－t )＝6＋2(2－t )＝0. 所以t ＝5. 答案：515．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________． 解析：f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由于π4≤x ≤π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，所以12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 所以1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤2， 所以1≤f (x )≤2，所以f (x )的最小值为1. 答案：116(2021·高考安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出全部正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →. 解析：由于 AB →2＝4|a |2＝4，所以|a |＝1，故①正确；由于 BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，又△ABC 为等边三角形，所以|BC →|＝|b |＝2，故②错误； 由于 b ＝AC →－AB →，所以a ·b ＝12AB →·(AC →－AB →)＝12×2×2×cos 60°－12×2×2＝－1≠0，故③错误；由于 BC →＝b ，故④正确；由于 (AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝AC →2－AB →2＝4－4＝0， 所以(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确． 答案：①④⑤三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，A (1，－2)，B (－3，－4)，O 为坐标原点． (1)求OA →·OB →；(2)若点P 在直线AB 上，且OP →⊥AB →，求OP →的坐标． 解：(1)OA →·OB →＝1×(－3)＋(－2)×(－4)＝5. (2)设P (m ，n )，由于P 在AB 上，所以BA →与P A →共线．BA →＝(4，2)，P A →＝(1－m ，－2－n )，所以4·(－2－n )－2(1－m )＝0. 即2n －m ＋5＝0.①又由于OP →⊥AB →，所以(m ，n )·(－4，－2)＝0. 所以2m ＋n ＝0.②由①②解得m ＝1，n ＝－2，所以OP →＝(1，－2)．18．(本小题满分12分)已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值． 解：(1)cos β＝55，β∈(0，π)， 得sin β＝255，即tan β＝2.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.(2)由于tan α＝－13，α∈(0，π)，所以sin α＝110，cos α＝－310. 所以f (x )＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255sin x ＝－5sin x .所以f (x )的最大值为5.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)争辩f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2. 由于f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2， 即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减． 20．(本小题满分12分)(2021·高考湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上全部点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解：(1)依据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)，知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由于y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0. 21．(本小题满分12分)将射线y ＝17x (x ≥0)围着原点逆时针旋转π4后所得的射线经过点A (cos θ，sin θ)．(1)求点A 的坐标；(2)若向量m ＝(sin 2x ，2cos θ)，n ＝(3sin θ，2cos 2x )，求函数f (x )＝m·n ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域． 解：(1)设射线y ＝17x (x ≥0)与x 轴的非负半轴所成的锐角为α，则tan α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 所以tan α＜tan π4，所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， 所以tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17＋11－17×1＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θcos θ＝43，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45. (2)f (x )＝3sin θ·sin 2x ＋2cos θ·2cos 2x ＝125sin 2x ＋125cos 2x ＝1225sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－125，1225.22．(本小题满分12分)已知向量OA →＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m ＝(2，1)，n ＝()0，－5，且m ⊥(OA →－n )．(1)求向量OA →； (2)若cos(β－π)＝210，0＜β＜π，求cos(2α－β)的值． 解：(1)由于OA →＝(cos α，sin α)， 所以OA →－n ＝()cos α，sin α＋5. 由于m ⊥(OA →－n )，所以m ·(OA →－n )＝0， 所以2cos α＋sin α＋5＝0.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得sin α＝－55，cos α＝－255， 所以OA →＝⎝⎛⎭⎫－255，－55. (2)由于cos(β－π)＝210， 所以cos β＝－210， 又0＜β＜π， 所以sin β＝1－cos 2β＝7210，且π2＜β＜π. 又由于sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－55×⎝⎛⎭⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35，所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×⎝⎛⎭⎫－210＋45×7210 ＝25250＝22.。
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图象重合，则 ω 的最小值为( )
1
1
1
1
A.6
B.4
C.3
D.2
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．已知 α、β 为锐角，且 a＝(sin α，cos β)，b＝(cos α，sin β)，当 a∥b 时，
α＋β＝________.
cos2α＋
3．A [∵|a|＝
4＝ 2 ，∴cos2α＝4.∴cos 2α＝2cos2α－1＝－2.]
4．B [∵|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12.
∴|a＋2b|＝2 3.]
5．D [tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°
2
π
π
14．已知 cos4α－sin4α＝3，α∈(0，2)，则 cos(2α＋3)＝________.
15．若向量A→B＝(3，－1)，n＝(2,1)，且
n·A→C＝7，那么
B→C n· ＝________.
π
4
θ
16．若 θ∈[0，2]，且 sin θ＝5，则 tan 2＝________.
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
20．(12 分)已知 x∈R，向量O→A＝(acos2x,1)，O→B＝(2， 3asin 2x－a)，f(x)＝O→A·O→B，a≠0. (1)求函数 f(x)的解析式，并求当 a>0 时，f(x)的单调增区间；
π (2)当 x∈[0，2]时，f(x)的最大值为 5，求 a 的值．
新人教A版高中数学必修四第二学期期末考试测试题(含答案)
山东省聊城四中第二学期高一期末考试数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，本试卷120分，考试时间100分钟。
2．答题前请将自己的学校、班级、姓名、考场号等填写在答题卷密封线内的相应栏目。
3．请将答案按题序号填写在答题卷上，考后仅收答题卷。
第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.）1．5sin()6π-的值是A ．B ．12C ．D ．12- 2．已知(1,2),(5,4),(.3),(3,)A B C x D y -，且AB CD =，则,x y 的值分别为A 、－7，－5B 、－7，5C 、7，－5D 、7，5 3.下列给出的赋值语句中正确的是 （ ）A . 4M =B .M M =-C 3B A ==D 0x y +=4．某经济研究小组对全国50个中小城市进行职工人均工资x 与居民人均消费水平y 进行了统计调查，发现y 与x 具有相关关系，其回归方程为ˆ0.3 1.65y x =+（单位：千元）．某城市居民人均消费水平为6.60，估计该城市职工人均消费水平额占居民人均工资收入的百分比为 A ．66%B ．55.3%C ．45.3%D ．40%5．右图是某学校举行的运动会上，七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数及方差分别为( )A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，4 6．如图，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外 的黄豆数为114颗，以此实验数据为依据， 可以估计出阴影部分的面积约为（ ） A ．5.3 B ．4.3C ．4.7D ．5.77．已知)1,1(-A ，)5,2(B ，点P 在线段AB 上，且||3||=，则点P 的坐标为 （ ）A ．)4,1(-B ．)313,23(C ．)4,45(D ．)213,411(8．函数x x y cos -=的部分图象是（ ）10．从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为（ ）A ．51B ．52C ．103 D ．107 11．要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度； B ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度；C ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度；D ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度。
2021高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4习题：章末综合检测(一) Word版含答案
章末综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝tan x2是( )A ．最小正周期为4π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为4π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数解析：选B ．该函数为奇函数，其最小正周期T ＝π12＝2π.2．简谐运动y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5x －π3的相位与初相是( ) A ．5x －π3，π3B ．5x －π3，4C ．5x －π3，－π3D ．4，π3解析：选C .相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3.3．设a ＜0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a ，4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( ) A .25 B ．－25C .15D ．－15解析：选A .由于点P 在单位圆上，则|OP |＝1. 即（－3a ）2＋（4a ）2＝1，解得a ＝±15.由于a ＜0，所以a ＝－15.所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45. 所以sin α＝－45，cos α＝35.所以sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25.4．设α为其次象限角，则sin αcos α·1sin 2α－1＝( ) A ．1 B ．tan 2α C ．－tan 2α D ．－1解析：选D .sin αcos α·1sin 2α－1＝sin αcos α·cos 2αsin 2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪cos αsin α. 由于α为其次象限角，所以cos α＜0，sin α＞0.所以原式＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2(x ∈R )，下列结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )为奇函数解析：选D .由于f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ，所以T ＝2π，故A 选项正确；由于y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数，所以y ＝－cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，故B 选项正确；由于f (0)＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝－1，所以f (x )的图象关于直线x ＝0对称，故C 选项正确；f (x )＝－cos x 是偶函数，故D 选项错误．6．sin 600°＋tan 240°的值等于( ) A ．－32B ．32C ．－12＋ 3D .12＋ 3 解析：选B ．sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32， tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3， 因此sin 600°＋tan 240°＝32. 7．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( ) A .355B ．377C .31010D .13解析：选C .由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.8．设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的，则g ⎝⎛⎭⎫π6等于( ) A ．1 B ．－12C ．0D ．－1解析：选D .由f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的是g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，则g ⎝⎛⎭⎫π6＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6＋π3＝cos π＝－1.故选D . 9．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( ) A .23 B ．43C .32D ．3解析：选C .法一：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －4π3ω＋π3＋2的图象．由于两图象重合，所以ωx ＋π3＝ωx －4π3ω＋π3＋2k π，k ∈Z ，解得ω＝32k ，k ∈Z .又ω＞0，所以ω的最小值是32.法二：由题意可知，4π3是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2(ω＞0)的最小正周期T 的正整数倍，即4π3＝kT ＝2k πω(k ∈N *)，所以ω＝32k ，所以ω的最小值为32.10．假如函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A .π6 B ．π4C .π3D .π2解析：选A .由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，知f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，即3cos ⎝⎛⎭⎫8π3＋φ＝0， 所以8π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z )，|φ|的最小值为π6.11．假如函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时，取得最大值，那么( ) A ．T ＝2，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝πD ．T ＝1，θ＝π2解析：选A .由于T ＝2ππ＝2，f (x )＝sin(πx ＋θ)，所以f (2)＝sin(2π＋θ)＝sin θ＝1， 又0＜θ＜2π，则θ＝π2.故选A .12．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，则满足此条件的一个φ值为( )A .π12 B ．π6C .π3D .π4解析：选A .令2x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π4－φ2(k ∈Z )，由于函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，所以令π6＜k π2＋π4－φ2＜π3(k ∈Z )，解得k π－π6＜φ＜k π＋π6(k ∈Z )， 四个选项中只有A 符合，故选A .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知cos(45°＋α)＝513，则cos(135°－α)＝________．解析：cos(135°－α)＝cos[180°－(45°＋α)] ＝－cos(45°＋α)＝－513.答案：－51314．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6，当f (x )取最大值时，x 的取值集合为________． 解析：由x 2－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝4k π＋43π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝4k π＋43π，k ∈Z15．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为2，则ω＝________． 解析：由于0＜ω＜1，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤0，ωπ3⎣⎡⎦⎤0，π2， 所以f (x )max ＝2sin ωπ3＝2， 所以sin ωπ3＝22，所以ωπ3＝π4，ω＝34. 答案：3416．有下列说法：①函数y ＝－cos 2x 的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈Z ；③把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数y ＝3sin 2x 的图象． 其中，正确的说法是________．解析：对于①，y ＝－cos 2x 的最小正周期T ＝2π2＝π，故①对；对于②，由于k ＝0时，α＝0，角α的终边在x 轴上，故②错；对于③，y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后，得y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝3sin 2x ，故③对． 答案：①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝12， 求cos （3π＋θ）cos θ[cos （π＋θ）－1]＋cos （θ－4π）cos （θ＋2π）cos （3π＋θ）＋cos （－θ）的值．解：由于cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－sin θ， 所以sin θ＝－12.原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θcos θ（－cos θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝8.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋a ，a 为常数． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最小值为－2，求a 的值． 解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋a ， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以x ＝0时，f (x )取得最小值，即2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋a ＝－2， 故a ＝－1.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1(其中0＜ω＜1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心，(1)试求ω的值；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．解：(1)由于点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心， 所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z ，由于0＜ω＜1，所以k ＝0，ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1，x ∈[－π，π]，列表如下， x ＋π6 －56π －π2 0 π2 π 76π x －π －23π －π6 π3 56π π y－1131则函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象如图所示．20．(本小题满分12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的一段图象如图所示．(1)求此函数的解析式；(2)求此函数在(－2π，2π)上的递增区间． 解：(1)由题图可知，其振幅为A ＝23， 由于T2＝6－(－2)＝8，所以周期为T ＝16， 所以ω＝2πT ＝2π16＝π8，此时解析式为y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ. 由于点(2，－23)在函数y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ的图象上， 所以π8×2＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，所以φ＝2k π－3π4(k ∈Z )．又|φ|＜π，所以φ＝－3π4.故所求函数的解析式为y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x －3π4. (2)由2k π－π2≤π8x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得16k ＋2≤x ≤16k ＋10(k ∈Z )，所以函数y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x －3π4的递增区间是[16k ＋2，16k ＋10](k ∈Z )． 当k ＝－1时，有递增区间[－14，－6]，当k ＝0时，有递增区间[2，10]， 与定义区间求交集得此函数在(－2π，2π)上的递增区间为(－2π，－6]和[2，2π)．21．(本小题满分12分)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，在同一个周期内，当x ＝π4时，y 取最大值1，当x ＝7π12时，y 取最小值－1.(1)求函数的解析式y ＝f (x )，并说明函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换可得到y ＝f (x )的图象？ (2)若函数f (x )满足方程f (x )＝a (0＜a ＜1)，求此方程在[0，2π]内的全部实数根之和．解：(1)由于T ＝2×⎝⎛⎭⎫7π12－π4＝2π3， 所以ω＝2πT＝3.又sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝1， 所以3π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .又|φ|＜π2，所以φ＝－π4，所以y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4. y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象， 再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上全部点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象． (2)由于f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的最小正周期为2π3， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4在[0，2π]内恰有3个周期， 所以sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝a (0＜a ＜1)在[0，2π]内有6个实数根，从小到大设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，则x 1＋x 2＝π4×2＝π2，x 3＋x 4＝⎝⎛⎭⎫π4＋2π3×2＝11π6， x 5＋x 6＝⎝⎛⎭⎫π4＋2π3×2×2＝19π6， 故全部实数根之和为π2＋11π6＋19π6＝11π2.22．(本小题满分12分)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω＞0，0≤θ≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是P A 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求x 0的值．解：(1)把 (0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋θ)中， 得cos θ＝32. 由于0≤θ≤π2，所以θ＝π6.由于T ＝π，且ω＞0，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.(2)由于点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是P A 的中点，y 0＝32. 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫2x 0－π2，3. 由于点P 在y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上，且π2≤x 0≤π， 所以cos ⎝⎛⎭⎫4x 0－5π6＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6. 所以4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6，所以x 0＝2π3或x 0＝3π4.。
人教A版必修四高一数学必修4综合考试卷(人教A版附答案.docx
高中数学学习材料唐玲出品高一数学必修4综合考试卷（人教A 版附答案）第I 卷注意事项：本次考试试卷分为试题和答题卷两部分，学生应把试题中的各个小题答在第II 卷中相应的位置上，不能答在试题上，考试结束后，只交答题卷。
一、选择题：本大题共10题，每小题3分，共30分。
在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在．．．．．．．．．．．第．II ．．卷的选择题答案表中．．．．．．．．．。
1．将－300o 化为弧度为（ ） A ．－；34π B ．－；35π C ．－；67π D ．－；47π2．若角α的终边过点（sin30o ,－cos30o ）,则sin α等于（ ） A ．；21 B ．－；21 C ．－；23 D ．－；33 3．下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．；）＋＋（BC CD AB B ．）；＋）＋（＋（CM BC M B ADC ．；－＋BM AD M B D ．；＋－CD OA OC 4．oooo26sin 19sin -26cos 71sin 的值为（ ） A ．；21B ．1；C ．－；22 D ．；22 5．函数)23cos(3x y π+=的图象是把y=3cos3x 的图象平移而得，平移方法是（ ）A ．向左平移2π个单位长度； B ．向左平移6π个单位长度； C ．向右平移2π个单位长度； D ．向右平移6π个单位长度； 6．在下列四个函数中，在区间），（20π上为增函数，且以π为最小正周期的偶函数是（ ） A ．y=x 2; B ．y=|sinx|; C ．y=cos2x; D ．y=sinxe ;7．在∆ABC 中，若sinAsinB<cosAcosB ，则∆ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形； B ．直角三角形； C ．钝角三角形； D ．不能确定；8．已知）（），点＝（），，－＝（－21x,P 1,1ON 32OM 在线段NM 的中垂线上， 则x 等于（ ）A ．；－25B ．；－23C ．；－27 D ．－3；9．在平面直角坐标系中，已知两点A （cos80o ,sin80o ）,B(cos20o ,sin20o ),则｜AB ｜的值是（ ） A ．；21 B ．；22 C ．；23 D ．1； 10．平面直角坐标系中，已知两点A （3,1），B （－1,3），若点C 满足，＋＝OB OA OC βα 1R ＝＋，且、其中βαβα∈，则点C 的轨迹方程是（ ）A ．3x+2y －11=0;B ．(x －1)2+(y －2)2=5;C ．2x －y=0;D ．x+2y －5=0;二、填空题：本大题共有5小题，每小题3分，满分15分。
2019-2020学年高中数学人教A版必修4同步作业与测评：学期综合测评
学期综合测评对应学生用书P 101 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( ) A ．－35 B ．45 C ．25 D ．－25 答案 D解析 据三角函数的定义可知sin α＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25．2．若一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的( )A ．12B ．2倍C ．13 D ．3倍 答案 D解析 设圆弧的半径为r ，弧长为l ，其弧度数为lr ，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r＝3·lr ，即弧度数变为原来的3倍，故选D ．3．已知sin (π＋α)＝13，则cos 2α＝( ) A ．79 B ．－89 C ．－79 D ．429 答案 A解析 因为sin (π＋α)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×－132＝79．4．若|a |＝2sin15°，|b |＝4cos15°，且a 与b 的夹角为30°，则a ·b 的值为( ) A ．12 B ．32 C ．3 D ．23 答案 C解析 a·b ＝|a ||b |cos30°＝2sin15°·4cos15°·cos30°＝2sin60°＝3． 5．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝( ) A ．0 B ．－35 C ．35 D ．－45 答案 B解析 由3a ＋4b ＋5c ＝0，得向量3a ，4b ，5c 能组成三角形，又|a |＝|b |＝|c |＝1，所以三角形的三边长分别是3，4，5，故三角形为直角三角形，且a ⊥b ，所以a ·(b ＋c )＝a ·c ＝－35．6．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2的部分图象如图，则(OA →＋OB →)·AB→＝( )A ．6B ．4C ．－4D ．－6答案 A解析 ∵点B 的纵坐标为1， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2＝1，∴π4x －π2＝π4，∴x ＝3，即B (3，1)． 令tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2＝0，则π4x －π2＝0，解得x ＝2，∴A (2，0)，∴OA →＋OB →＝(5，1)，AB →＝(1，1)． ∴(OA →＋OB →)·AB→＝6． 7．已知函数f (x )＝43sin ωx ＋π3(ω>0)在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若∠ABC ＝90°，则ω＝( )A ．π4B ．π8C ．π6D ．π12 答案 B解析 由三角函数图象的对称性知P 为AC 的中点，又∠ABC ＝90°，故|P A |＝|PB |＝|PC |＝T 2，则|AC |＝T ．由勾股定理，得T 2＝(83)2＋T22，解得T ＝16，所以ω＝2πT ＝π8．8．为了得到函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象，可以将函数y ＝2cos3x 的图象( )A ．向右平移π12个单位长度B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π12个单位长度 D ．向左平移π4个单位长度 答案 A解析 因为y ＝sin3x ＋cos3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，所以将y ＝2cos3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象． 9．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2 C ．ω＝12，θ＝π4 D ．ω＝2，θ＝π4 答案 A解析 因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，所以θ＝π2，所以y ＝2cos ωx ，排除C ，D ；y ＝2cos ωx ∈[－2，2]，结合题意可知T ＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2，排除B ．故选A ．10．已知|a |＝22，|b |＝3，a ，b 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5a ＋2b ，AC →＝a －3b ，且D 为BC 中点，则AD→的长度为( )答案 A解析 AD→＝12(AB →＋AC →)＝12(5a ＋2b ＋a －3b ) ＝12(6a －b )，∴|AD→|2＝14(36a 2－12ab ＋b 2)＝2254， ∴|AD→|＝152．故选A ．11．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则f (x )的最小正周期为( )A ．π3B ．π2C ．5π6 D ．π 答案 C解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，可得函数f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12，则x ＝π2离最近一条对称轴的距离为7π12－π2＝π12．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，且f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上具有单调性，故x ＝π4离最近一条对称轴的距离也为π12，所以T 2＝2×π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝5π12，所以T ＝5π6．故选C ．12．已知不等式f (x )＝32sin x 4·cos x 4＋6cos 2x 4－62＋m ≤0，对于任意的－5π6≤x ≤π6恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥ 3B ．m ≤3C ．m ≤－ 3D ．－3≤m ≤3 答案 C解析 f (x )＝32sin x 4·cos x 4＋6cos 2x 4－62＋m ＝322sin x 2＋62⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos x 2－62＋m＝322sin x 2＋62cos x2＋m ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x 2＋12cos x 2＋m＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋m ，故要使f (x )≤0对任意的－5π6≤x ≤π6恒成立， 只需m ≤－6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6在－5π6≤x ≤π6上恒成立．∵－5π6≤x ≤π6，－π4≤x 2＋π6≤π4， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6min ＝－3， ∴m ≤－3．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．函数f(x)＝sin 23x＋π2＋sin23x的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．答案3π2解析f(x)＝cos 23x＋sin23x＝2sin23x＋π4，相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，T＝2π23＝3π，∴T2＝3π2．14．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a＋b)·c＝52，则a与c的夹角的大小为________．答案120°解析a＋b＝(－1，－2)，|a|＝5，设c＝(x，y)，∵(a＋b)·c＝52，∴x＋2y＝－52．设a与c的夹角为θ，∵a·c＝x＋2y，∴cosθ＝a·c|a||c|＝－525＝－12．又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°．15．已知函数f(x)＝2sin2π4＋x－3cos2x－1，x∈π4，π2，则f(x)的最小值为________．答案1解析f(x)＝2sin2π4＋x－3cos2x－1＝1－cos2π4＋x－3cos2x－1＝－cos π2＋2x －3cos2x ＝sin2x －3cos2x ＝2sin2x －π3， 因为π4≤x ≤π2， 所以π6≤2x －π3≤2π3． 所以12≤sin2x －π3≤1． 所以1≤2sin2x －π3≤2．即1≤f (x )≤2，则f (x )的最小值为1．16．关于函数f (x )＝sin2x －cos2x ，有下列命题：①函数f (x )的最小正周期为π；②直线x ＝π4是函数f (x )的一条对称轴；③点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )的图象的一个对称中心；④将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度，可得到函数y ＝2sin2x 的图象．其中正确的命题为________(填序号)． 答案 ①③解析 f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以最小正周期T ＝π，①正确；当x ＝π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin2×π4－π4＝2sin π4，不是最值，所以②错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8－π4＝0，所以③正确；将f (x )的图象向左平移π4个单位长度，得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，所以④错误．综上，正确的命题为①③． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知3π4＜α＜π，tanα＋1tanα＝－103．(1)求tanα的值；(2)求5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sinα－π4的值．解(1)由tanα＋1tanα＝－103，整理，得3tan2α＋10tanα＋3＝0，即(3tanα＋1)(tanα＋3)＝0．∵3π4＜α＜π，∴－1＜tanα＜0，∴tanα＝－13．(2)5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sinα－π4＝5sin2α2＋cos2α2＋4sinα＋6cos2α2－82sinα－π4＝5sin2α2＋cos2α2＋4sinα＋6×1＋cosα2－82sinα－π4＝4sinα＋3cosαsinα－cosα＝4tanα＋3tanα－1＝4×－13＋3－13－1＝－5 4．18．(本小题满分12分)已知向量m＝(1，1)，向量n与向量m的夹角为3π4，且m ·n ＝－1．(1)求向量n ；(2)在△ABC 中，B ＝π3，若向量n ＝(0，－1)，p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A ，2cos 2C 2，求|n ＋p |的取值范围．解 (1)设n ＝(x ，y )，由m ·n ＝－1，得x ＋y ＝－1．① 又∵m 与n 的夹角为3π4， ∴m ·n ＝|m ||n |·cos 3π4， ∴x 2＋y 2＝1．②由①②解得⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－1， ∴n ＝(－1，0)或n ＝(0，－1)． (2)∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，0<A <2π3．若n ＝(0，－1)，则n ＋p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A ，2cos 2C 2－1＝(cos A ，cos C )．∴|n ＋p |2＝cos 2A ＋cos 2C ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2C2＝1＋12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos2A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2A ＝1＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3．∵0<A <2π3，∴π3<2A ＋π3<5π3，∴－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3<12，12≤1＋12cos⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3<54， 即|n ＋p |2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，54，∴|n ＋p |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，52．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x sin x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ． (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的值域；(2)用五点法在下图中作出y ＝f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的简图；(3)说明f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到？解 f (x )＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3． (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的值域为[－3，2]．(2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：图象如下图．(3)解法一：由以下变换可得f (x )的图象：先将y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12，最后将纵坐标伸长为原来的2倍．解法二：由以下变换可得f (x )的图象：先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，再将图象向左平移π6个单位，最后将纵坐标伸长为原来的2倍．20．(本小题满分12分)某房地产开发商为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园．如图，已知扇形AOB 的圆心角∠AOB ＝π4，半径为R ．现欲修建的花园为▱OMNH ，其中M ，H 分别在OA ，OB 上，N 在AB 上．设∠MON ＝θ，▱OMNH 的面积为S ．(1)将S 表示为关于θ的函数； (2)求S 的最大值及相应的θ值．解 (1)如图，过N 作NP ⊥OA 于点P ，过H 作HE ⊥OA 于点E ，∵∠AOB ＝π4，∴OE ＝EH ＝NP ＝R sin θ，OP ＝R cos θ， ∴HN ＝EP ＝OP －OE ＝R (cos θ－sin θ)， ∴S ＝HN ·NP ＝R 2(cos θ－sin θ)sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4． (2)S ＝R 2(cos θsin θ－sin 2θ) ＝R 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ－1－cos2θ2 ＝12R 2(sin2θ＋cos2θ－1) ＝12R 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4－1，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴2θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，S 取得最大值，且最大值为2－12R 2．21．(本小题满分12分)将射线y ＝17x (x ≥0)绕着原点逆时针旋转π4后所得的射线经过点A (cos θ，sin θ)．(1)求点A 的坐标；(2)若向量m ＝(sin2x ，2cos θ)，n ＝(3sin θ，2cos2x )，求函数f (x )＝m ·n x ∈0，π2的值域．解 (1)设射线y ＝17x (x ≥0)与x 轴的非负半轴所成的锐角为α， 则tan α＝17，α∈0，π2．所以tan α＜tan π4，所以α∈0，π4．所以tan θ＝tan α＋π4＝17＋11－17×1＝43，θ∈π4，π2．所以由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θcos θ＝43，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以点A 的坐标为35，45． (2)f (x )＝3sin θ·sin2x ＋2cos θ·2cos2x ＝125sin2x ＋125cos2x ＝1225sin2x ＋π4．由x ∈0，π2，得2x ＋π4∈π4，5π4， 所以sin2x ＋π4∈－22，1，所以函数f (x )的值域为－125，1225．22．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3sin2x ，cos2x )，b ＝(cos2x ，－cos2x )． (1)若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7π24，5π12时，a ·b ＋12＝－35，求cos4x 的值；(2)cos x ≥12，x ∈(0，π)，若关于x 的方程a ·b ＋12＝m 有且仅有一个实根，求实数m 的值．解 (1)∵a ＝(3sin2x ，cos2x )，b ＝(cos2x ，－cos2x )，∴a ·b ＋12＝3sin2x cos2x －cos 22x ＋12 ＝32sin4x －1＋cos4x 2＋12＝－12＋32sin4x －12cos4x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6．由a ·b ＋12＝－35，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＝－35．∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7π24，5π12，∴4x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2． ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＝－45．∴cos4x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6sin π6＝3－4310．(2)∵cos x ≥12，又因为余弦函数在(0，π)上是减函数， ∴0<x ≤π3．令f (x )＝a ·b ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6，g (x )＝m ，在同一坐标系中作出两个函数的图象， 由图可知：m ＝1或m ＝－12．。
人教A版高中数学必修四测试题及答案全套
人教A 版高中数学必修四测试题及答案全套阶段质量检测（一）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( ) A ．330° B ．210° C ．150° D ．30° 2．若sin α＝33，π2<α<π，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A ．－63B ．－12C.12D.633．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B.2sin 1C ．2sin 1D ．sin 24．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π25．化简1＋2sin （π－2）·cos （π－2）得( ) A ．sin 2＋cos 2 B ．cos 2－sin 2 C ．sin 2－cos 2 D ．±cos 2－sin 26．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调增区间为( )A.⎝⎛⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α的值为( )A.12B ．－12 C.32 D ．－32 8．设α是第三象限的角，且⎪⎪⎪⎪cosα2＝－cos α2，则α2的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( )A.32B ．2 C ．0 D.3410．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π611．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π412．函数f (x )＝A sin ωx (ω>0)，对任意x 有f ⎝⎛⎭⎫x －12＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，且f ⎝⎛⎭⎫－14＝－a ，那么f ⎝⎛⎭⎫94等于( ) A ．a B ．2a C ．3a D ．4a二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知tan α＝－3，π2<α<π，那么cos α－sin α的值是________． 14．设f (n )＝cos ⎝⎛⎫n π2＋π4，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)等于________．15．定义运算a *b 为a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≤b ），b （a >b ），例如1*2＝1，则函数f (x )＝sin x *cos x 的值域为________．16．给出下列4个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12的最小正周期是π2；②直线x ＝7π12是函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－15，且α为第二象限角，则tan α＝－34；④函数y ＝cos(2－3x )在区间⎝⎛⎭⎫23，3上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 18．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间． 19．(12分)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；(2)写出f (x )的值域、最小正周期、对称轴，单调区间．20．(12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中0≤φ≤π2的图象与y 轴交于点(0，1)．(1)求φ的值；(2)求函数y ＝2sin(πx ＋φ)的单调递增区间； (3)求使y ≥1的x 的集合．21．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f (x )取得最大值3；当x ＝7π12时，f (x )取得最小值－3.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6时，函数h (x )＝2f (x )＋1－m 的图象与x 轴有两个交点，求实数m 的取值范围．22．(12分)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)(x ∈R ，ω>0，0≤θ⎭⎫≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是P A 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求x 0的值．答 案1. 解析：选B 因为－510°＝－360°³2＋210°，因此与－510°终边相同的角是210°.2. 解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，又π2<α<π，sin α＝33，∴cos α＝－63. 3. 解析：选B 如图，由题意知θ＝1，BC ＝1，圆的半径r 满足sin θ＝sin 1＝1r ，所以r ＝1sin 1，弧长AB ＝2θ·r ＝2sin 1.4. 解析：选C f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的对称轴为x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋3π4，当k ＝－1时，则其中一条对称轴为x ＝－π4.5. 解析：选C1＋2sin （π－2）·cos （π－2）＝1＋2sin 2·（－cos 2） ＝（sin 2－cos 2）2， ∵π2<2<π，∴sin 2－cos 2>0. ∴原式＝sin 2－cos 2.6. 解析：选C 令k π－π2<x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π4<x <k π＋π4，k ∈Z ，选C.7. 解析：选C ∵⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫3π4－α＝π， ∴3π4－α＝π－⎝⎛⎭⎫π4＋α，∴sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32. 8. 解析：选B ∵α是第三象限的角， ∴π＋2k π<α<3π2＋2k π，k ∈Z .∴π2＋k π<α2<3π4＋k π，k ∈Z . ∴α2在第二或第四象限． 又∵⎪⎪⎪⎪cosα2＝－cos α2，∴cos α2<0.∴α2是第二象限的角． 9. 解析：选A f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54，∵－π6≤x ≤π6， ∴－12≤sin x ≤12.当sin x ＝－12时，f (x )min ＝14；当sin x ＝12时，f (x )max ＝54，∴f (x )min ＋f (x )max ＝14＋54＝32.10. 解析：选C 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即将x 变为12x ，即可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3，然后将其图象向左平移π3个单位，即将x 变为x ＋π3.∴y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6.11. 解析：选C 由图象可知A ＝2，因为π8－⎝⎛⎭⎫－π8＝π4，所以T ＝π，ω＝2.当x ＝－π8时，2sin ⎝⎛⎭⎫－π8·2＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝1，又|φ|<π，解得φ＝3π4.故函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4.12. 解析：选A 由f ⎝⎛⎭⎫x －12＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，得f (x ＋1)＝f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫x ＋12＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－12＝f (x )， 即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数， 则f ⎝⎛⎭⎫94＝f ⎝⎛⎭⎫14＝－f ⎝⎛⎭⎫－14＝a . 13. 解析：因为π2<α<π，所以cos α<0，sin α>0，所以cos α＝－cos 2α＝－cos 2αcos 2α＋sin 2α＝－11＋tan 2α＝－11＋3＝－12.sin α＝32， 所以cos α－sin α＝－1＋32.答案：－1＋3214. 解析：f (n )＝cos ⎝⎛⎭⎫n π2＋π4的周期T ＝4，且f (1)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π4＝cos 3π4＝－22，f (2)＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π4＝－22，f (3)＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋π4＝22， f (4)＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π4＝22.所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0， 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝－22. 答案：－2215. 解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，22 16. 解析：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12的最小正周期是π，则y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12的最小正周期为π2，故①正确．对于②，当x ＝7π12时，2sin ⎝⎛⎭⎫3³7π12－π4＝2sin 3π2＝－2，故②正确．对于③，由(sin α＋cos α)2＝125得2sin αcos α＝－2425，α为第二象限角，所以sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以tan α＝－34，故③正确．对于④，函数y ＝cos(2－3x )的最小正周期为2π3，而区间⎝⎛⎭⎫23，3长度73>2π3，显然④错误． 答案：①②③17. 解：由tan αtan α－1＝－1，得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－312＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos α＋2(cos 2α＋sin 2α) ＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2α＋1＝3⎝⎛⎭⎫122＋12＋2⎝⎛⎭⎫122＋1＝135.18. 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫13³5π4－π6＝2sin π4＝2(2)令2k π－π2≤13x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，所以2k π－π3≤13x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，解得6k π－π≤x ≤2π＋6k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6的单调递增区间为[6k π－π，2π＋6k π]，k ∈Z .19. 解：(1)列表如下：描点画图如图所示．(2)由图可知，值域为[－3，3]，最小正周期为2π， 对称轴为x ＝π4＋k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )．20. 解：(1)因为函数图象过点(0，1)， 所以2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.(2)由(1)得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6，所以当－π2＋2k π≤πx ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－23＋2k ≤x ≤13＋2k ，k ∈Z 时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6是增函数，故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－23＋2k ，13＋2k ，k ∈Z . (3)由y ≥1，得sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6≥12，所以π6＋2k π≤πx ＋π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，即2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z ，所以y ≥1时，x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z .21. 解：(1)由题意，A ＝3，T ＝2⎝⎛⎭⎫7π12－π12＝π，ω＝2πT ＝2. 由2³π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又因为－π<φ<π，所以φ＝π3.所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋2k π≤2x ≤7π6＋2k π，k ∈Z ， 则π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )．(3)由题意知，方程sin ⎝⎛⎫2x ＋π3＝m －16在⎣⎡⎤－π3，π6上有两个根．因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3.所以m －16∈⎣⎡⎭⎫32，1.所以m ∈[33＋1，7)．22. 解：(1)把(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋θ)中， 得cos θ＝32. ∵0≤θ≤π2，∴θ＝π6.∵T ＝π，且ω>0，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.(2)∵点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是P A 的中点，y 0＝32，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫2x 0－π2，3.∵点P 在y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上，且π2≤x 0≤π，∴cos ⎝⎛⎭⎫4x 0－5π6＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6. ∴4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6.∴x 0＝2π3或x 0＝3π4.阶段质量检测（二）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在五边形ABCDE 中(如图)，＝( )2．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4)3．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，若λa ＋b 与a 垂直，则λ的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．24．若|a |＝2，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则a 与b 的夹角是( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2A.12 B ．－12 C.32 D ．－326．已知向量满足：|a |＝2，|b |＝3，|a －b |＝4，则|a ＋b |＝( ) A. 6 B.7 C.10 D.11A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心8．平面向量a ＝(x ，－3)，b ＝(－2，1)，c ＝(1，y )，若a ⊥(b －c )，b ∥(a ＋c )，则b 与c 的夹角为( ) A ．0 B.π4 C.π2 D.3π49．已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设＝a ，＝b ，则等于( )A.43a ＋23b B.23a ＋43b C.23a －43b D ．－23a ＋43bA.⎝⎛⎭⎫0，π3B.⎝⎛⎭⎫π3，5π6C.⎝⎛⎭⎫π2，2π3D.⎝⎛⎭⎫2π3，5π611．已知a ＝(－1，3)，＝a －b ，＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB 的面积是( )A. 3 B ．2 C ．2 2 D ．412．已知向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，p ＝(x ，y )，定义新运算m ⊗n ＝(ac ＋bd ，ad ＋bc )，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如果对于任意向量m 都有m ⊗p ＝m 成立，则向量p 为( )A ．(1，0)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(0，－1) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a ＝(2x ＋3，2－x )，b ＝(－3－x ，2x )(x ∈R )．则|a ＋b |的取值范围为________． 14．设e 1，e 2为两个不共线的向量，若a ＝e 1＋λe 2与b ＝－(2e 1－3e 2)共线，则实数λ等于________． 15．在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.18．(12分)设向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α＜2π)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，且a 与b 不共线．(1)求证：(a ＋b )⊥(a －b )；(2)若向量3a ＋b 与a －3b 的模相等，求角α. 19．(12分)如图，平行四边形ABCD 中，＝a ，＝b ，H ，M 是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，(1)以a ，b 为基底表示向量(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求20．(12分)在边长为1的正△ABC 中，AD 与BE 相交于点F .21．(12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2.22．(12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2，1)，e 2＝(2，－2)，求的坐标；(3)已知D (3，5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．答 案1. 解析：选B ∵＝＝.2. 解析：选B ∵a ∥b ，∴－21＝m2，∴m ＝－4，∴b ＝(－2，－4)，∴2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． 3. 解析：选A 由题意可知(λa ＋b )·a ＝λa 2＋b ·a ＝0. ∵|a |＝10，a ·b ＝1³4＋(－3)³(－2)＝10， ∴10λ＋10＝0，λ＝－1.4. 解析：选B 由于(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝0，即|a|2－a ·b ＝0，所以a ·b ＝|a|2＝2，所以 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a||b|＝222＝22，即a 与b 的夹角是π4. 5.6. 解析：选C 由题意|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝16， ∴a ·b ＝－32.∴|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝10， ∴|a ＋b |＝10. 7.∴P 是△ABC 的垂心．8. 解析：选C 由题意知b －c ＝(－3，1－y )，a ＋c ＝(x ＋1，y －3)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－3x －3（1－y ）＝0，x ＋1＋2（y －3）＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴c ＝(1，2)，而b ·c ＝－2³1＋1³2＝0， ∴b ⊥c . 9.10.11. 解析：选D 由题意||＝||且⊥，所以(a －b )2＝(a ＋b )2且(a －b )·(a ＋b )＝0， 所以a ·b ＝0，且a 2＝b 2， 所以|a |＝|b |＝2，所以S △AOB ＝12||·||＝12（a －b ）2（a ＋b ）2＝12（a 2＋b 2）2＝4. 12. 解析：选A 因为m ⊗p ＝m ，即(a ，b )⊗(x ，y )＝(ax ＋by ，ay ＋bx )＝(a ，b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝a ，ay ＋bx ＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a （x －1）＋by ＝0，ay ＋b （x －1）＝0. 由于对任意m ＝(a ，b )， 都有(a ，b )⊗(x ，y )＝(a ，b )成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0. 所以p ＝(1，0)．故选A.13. 解析：因为a ＋b ＝(x ，x ＋2)， 所以|a ＋b |＝x 2＋（x ＋2）2＝2x 2＋4x ＋4 ＝2（x ＋1）2＋2≥2， 所以|a ＋b |∈[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞)14. 解析：因为a ，b 共线，所以由向量共线定理知，存在实数k ，使得a ＝k b ， 即e 1＋λe 2＝－k (2e 1－3e 2)＝－2k e 1＋3k e 2 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－2k ，λ＝3k ，解得λ＝－32.答案：－3215. 解析：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过A 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．则由A (0，0)，B (2，0)，E (2，3)，D (1，3，可得＝1.答案：1 16.答案：[1，4]17. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1³(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1³(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1，0)，b ＝(3，0)， ∴a －b ＝(－2，0)，|a －b |＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)， ∴a －b ＝(2，－4)，∴|a －b |＝4＋16＝2 5. 综上所述，|a －b |为2或2 5.18. 解：(1)证明：由题意，得a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫cos α－12，sin α＋32，a －b ＝⎝⎛⎭⎫cos α＋12，sin α－32，因为(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－14＋sin 2α－34＝1－1＝0，所以(a ＋b )⊥(a －b )．(2)因为向量3a ＋b 与a －3b 的模相等， 所以(3a ＋b )2＝(a －3b )2，所以|a |2－|b |2＋23a ·b ＝0，因为|a |＝1，|b |＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1，所以|a |2＝|b |2，所以a ·b ＝0， 所以－12cos α＋32sin α＝0，所以tan α＝33， 又因为0≤α＜2π， 所以α＝π6或α＝7π6.19. 解：(1)∵M 为DC 的中点，(2)由已知得a ·b ＝3³4³cos 120°＝－6，＝12a 2＋⎝⎛⎭⎫1－112a ·b －16b 2 ＝12³32＋1112³(－6)－16³42 ＝－113.20. 解：(1)由题意，D 为BC 边的中点，而△ABC 是正三角形，所以AD ⊥BC ，＝12(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫23b －a ＝13b 2－12a 2－16a ·b ＝13－12－16³1³1³12＝－14.根据平面向量的基本定理有⎩⎪⎨⎪⎧－λ－22（λ＋1）＝－μ，λ2（λ＋1）＝2μ3，解得λ＝4. 21.∴t ＝－2k sin θ＋16.∵t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k ⎝⎛⎭⎫sin θ－4k 2＋32k ， ∵k ＞4，∴1＞4k＞0，当sin θ＝4k 时，t sin θ取最大值为32k .由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，＝(4，8)，∴·＝(8，0)·(4，8)＝32.22. 解：(1)＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2.∵A ，E ，C 三点共线， ∴存在实数k ，使得，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.∵e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．(3)∵A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，即点A 的坐标为(10，7)．阶段质量检测（三）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝2cos 2x2＋1的最小正周期是( )A ．4πB ．2πC ．π D.π22．sin 45°²cos 15°＋cos 225°²sin 15°的值为( ) A ．－32B ．－12C.12D.323．已知α是第二象限角，且cos α＝－35，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值是( )A.210B ．－210C.7210D ．－72104．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( ) A ．－79B ．－13C.13D.795．已知tan(α＋β)＝14，tan α＝322，那么tan(2α＋β)等于( )A.25B.14C.1318D.1322 6.1－3tan 75°3＋tan 75°的值等于( )A ．2＋3B ．2－3C ．1D ．－17．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．若θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( )A.32B ．－32C ．±32D ．±129．若函数g (x )＝a sin x cos x (a >0)的最大值为12，则函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝0B ．x ＝－3π4C ．x ＝－π4D ．x ＝－5π410．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，则α＋β为( )A.π6 B ．－2π3C.π6或－5π6 D ．－π3或2π311．设a ＝22(sin 17°＋cos 17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝sin 37°²sin 67°＋sin 53°sin 23°，则( ) A ．c <a <b B ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c12．在△ABC 中，A ，B ，C 是其三个内角，设f (B )＝4sin B ²cos 2⎝⎛⎭⎫π4－B 2＋cos 2B ，当f (B )－m <2恒成立时，实数m 的取值范围是( )A ．m <1B ．m >－3C ．m <3D ．m >1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________． 14．已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是________．15．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3的值为________． 16．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分 )已知cos θ＝1213，θ∈(π，2π)，求sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6以及tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值． 18．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0. 19．(12分)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．20．(12分)已知f (x )＝sin x ＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2.(1)若f (α)＝22，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求α的值； (2)若sin x 2＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f (x )的值． 21．(12分)已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值． 22．(12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．答 案1. 解析：选B ∵y ＝2cos 2x 2＋1＝⎝⎛⎭⎫2cos 2 x 2－1＋2＝cos x ＋2， ∴函数的最小正周期T ＝2π.2. 解析：选C sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°＝sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12. 3. 解析：选A 由题意，sin α＝45， cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝210. 4. 解析：选A cos(2π3＋2α)＝cos[π－2(π6－α)]＝－cos[2(π6－α)]＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝－79. 5. 解析：选A tan(2α＋β)＝tan （α＋β）＋tan α1－tan （α＋β）tan α＝25. 6. 解析：选D 1－3tan 75°3＋tan 75°＝33－tan 75°1＋33tan 75° ＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°·tan 75°＝tan(30°－75°) ＝tan(－45°)＝－1.7. 解析：选C 在△ABC 中，tan A ＋B 2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sin A ＋B 2cos A ＋B 2，∴2cos 2A ＋B 2＝1，∴cos(A ＋B )＝0，从而A ＋B ＝π2，即△ABC 为直角三角形．8. 解析：选B 由sin θ－cos θ＝22两边平方得，sin 2θ＝12，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin θ>cos θ，所以π4<θ<π2，所以π2<2θ<π，因此，cos 2θ＝－32，故选B. 9. 解析：选B g (x )＝a 2sin 2x (a >0)的最大值为12， 所以a ＝1，f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 令x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π4＋k π，k ∈Z .故选B. 10. 解析：选B 由题意得⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4>0， 所以tan α<0，tan β<0， 所以－π2<α<0，－π2<β<0，－π<α＋β<0. 又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3. 所以α＋β＝－2π3.故选B. 11. 解析：选A a ＝cos 45°sin 17°＋sin 45°cos 17°＝sin 62°，b ＝cos 26°＝sin 64°，c ＝sin 37°cos 23°＋cos 37°sin 23°＝sin 60°，故c <a <b .12. 解析：选D f (B )＝4sin B cos 2⎝⎛⎭⎫π4－B 2＋cos 2B ＝4sin B ·1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＋cos 2B ＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B )＝2sin B ＋1.∵f (B )－m <2恒成立，∴2sin B ＋1－m <2恒成立，即m >2sin B －1恒成立．∵0<B <π，∴0<sin B ≤1.∴－1<2sin B －1≤1，故m >1.13. 解析：因为sin α＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255. 所以tan α＝sin αcos α＝－12，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－11－14＝－43. 答案：－4314. 解析：由题意，sin A 2＝14，∴cos A 2＝154， ∴tan A 2＝1515.∴tan A ＝2tan A 21－tan 2A 2＝157. 答案：157 15. 解析：由已知条件可得sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝sin 2θ， 又θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，由三角函数图象可知θ＋π4＋2θ＝3π， 即θ＝11π12，sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝sin 13π6＝12. 答案：1216. 解析：因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，所以sin(α＋π6)＝35，sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425，cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4＝22³1725＝17250. 答案：1725017. 解：因为cos θ＝1213，θ∈(π，2π)， 所以sin θ＝－513，tan θ＝－512， 所以sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝sin θcos π6－cos θsin π6 ＝－513³32－1213³12＝－53＋1226， tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋tanπ41－tan θtan π4＝－512＋11－⎝⎛⎭⎫－512³1＝717. 18. 解：(1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45， cos βcos α－sin βsin α＝－45. 两式相加得2cos βcos α＝0.∵0<α<β≤π2，∴β＝π2. ∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0. 19. 解：(1)由|a|2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1，此时f (x )取得最大值，最大值为32. 20. 解：(1)f (x )＝sin x ＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2 ＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 由f (α)＝22，得2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴α＋π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4. ∴α＋π4＝π6，∴α＝－π12. (2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴x 2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 又∵sin x 2＝45，∴cos x 2＝35. ∴sin x ＝2sin x 2cos x 2＝2425， cos x ＝－1－sin 2x ＝－725. ∴f (x )＝sin x ＋cos x ＝2425－725＝1725. 21. 解：(1)f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.所以f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎡⎦⎤－22，22. (2)由(1)知f (α)＝22cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝3210， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35. 所以sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－1825＝725. 22. 解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的最小正周期为π.∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎝⎛⎦⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2， f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1，∴函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6. 又∵f (x 0)＝65，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎡⎦⎤2π3，7π6. 从而cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－45. ∴cos 2x 0＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6sin π6 ＝3－4310.。
人教a版数学必修4测试题答案及解析
人教a版数学必修4测试题答案及解析一、选择题1. 若函数f(x)=x^2-2x+3，则f(1)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D解析：将x=1代入函数f(x)=x^2-2x+3，得到f(1)=(1)^2-2*1+3=2。
2. 已知等差数列{a_n}的首项a_1=3，公差d=2，则a_5的值为（）A. 13B. 15C. 17D. 19答案：A解析：根据等差数列的通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入n=5，得到a_5=3+(5-1)*2=13。
二、填空题3. 已知函数y=x^3-3x^2+2，求导数y'的值为（）。
答案：3x^2-6x解析：利用求导法则，对函数y=x^3-3x^2+2求导，得到y'=3x^2-6x。
4. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x+8y-24=0，求圆心坐标为（）。
答案：(3, -4)解析：将圆的方程整理为标准形式(x-3)^2+(y+4)^2=49，由此可知圆心坐标为(3, -4)。
三、解答题5. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求函数的极值点。
答案：x=1或x=2解析：首先求导数f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x=1或x=2。
然后计算二阶导数f''(x)=6x-6，代入x=1和x=2，得到f''(1)=0，f''(2)>0，因此x=1为拐点，x=2为极小值点。
6. 已知等比数列{a_n}的前三项分别为a_1=2，a_2=4，a_3=8，求数列的通项公式。
答案：a_n=2^n解析：根据等比数列的性质，公比q=a_2/a_1=4/2=2，所以通项公式为a_n=a_1*q^(n-1)=2*2^(n-1)=2^n。
四、证明题7. 证明：若a，b，c为正实数，且a+b+c=1，则(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc。
答案：证明如下解析：由柯西不等式得(a+b)(b+c)(c+a)≤(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)=3(a^2+b^2+c^2)。
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( 时间： 120 分钟 满分： 150 分 )
一、选择题 (本大题共 12 小题 ， 每小题 5 分 ，共 60 分 )
1． 若角 600 °的终边上有一点 (－ 4， a)， 则 a 的值是 ( )
A．4 3
B．－ 4 3
43 C. 3
43 D ．－ 3
2． 若向量 a＝ (3，m)， b＝(2， － 1)， a·b＝ 0， 则实数 m 的值为 ( )
16．若
π θ∈ [ 0， 2] ， 且
4 sin θ＝5， 则
tan
θ2＝ ________.
三、解答题 (本大题共 6 小题 ， 共 70 分 ) 17． (10 分 ) 已知向量 a＝ (sin θ， 1)， b＝ (1， cos θ)， － π2<θ<π2. (1)若 a⊥ b，求 θ； (2)求 |a＋ b|的最大值．
18．(12 分 )已知函数 f(x)＝sin( ωｘ＋ φ)(ω>0,0 ≤ φ≤ π为）偶函数 ，其图象上相邻的两个最高点之
间的距离为 2π．
(1)求 f( x)的解析式；
ππ
π1
5π
(2)若 α∈ (－ 3， 2)， f(α＋3)＝ 3， 求 sin(2α＋ 3 )的值．
19． (12 分 ) 设函数 f(x)＝a·b， 其中向量 a＝ (2cos x,1)，b＝ (cos x， 3sin 2x)，x∈ R. (1)若函数 f(x)＝ 1－ 3， 且 x∈ [ － π3，π3] ， 求 x；
22． (12 分 ) 已知向量 a＝ (cos α， sin α)， b＝ (cos x， sin x)， c＝(sin x＋ 2sin α， cos x＋ 2cos α)， 其中 0<α<x<π． (1)若 α＝ π4， 求函数 f( x)＝ b·c 的最小值及相应 x 的值； (2)若 a 与 b 的夹角为 π3， 且 a⊥c， 求 tan 2α的值．
模块综合检测 (C) 答案
1． B [∵ 600 °＝ 360 °＋ 240 °，是第三象限角．∴ a<0. ∵ tan 600 °＝ tan 240 °＝ tan 60 °＝－a4＝ 3，∴ a＝－ 4 3.]
2． D [a ·b ＝ 6－ m ＝ 0，∴ m ＝ 6.]
q 的夹角是 ( A ． 锐角
) B．钝角
C ． 直角
D ．不确定
10． 已知函数 f(x)＝ (1＋ cos 2x)sin2x，x∈ R， 则 f(x)是 ( )
A ． 最小正周期为 π的奇函数
B ．最小正周期为
π的奇函数 2
C．最小正周期为 π的偶函数
D． 最小正周期为 π2的偶函数 11． 设 0≤ θ≤ 2π，向量 O→P1＝ (cos θ， sin θ)， O→P2＝ (2＋ sin θ，2－ cos θ)， 则向量 P→1P2的模长 的最大值为 ( )
13．已知 α、β为锐角 ，且 a＝ (sin α，cos β)，b＝ (cos α，sin β)，当 a∥ b 时 ，α＋ β＝ ________.
14． 已知
cos4α－
sin
4α＝
2 3
，
α∈
(0，
π 2)，
则
π cos(2α＋ 3)＝ ________.
15． 若向量 A→B＝ (3， － 1)，n＝ (2,1) ， 且 n·A→C ＝7， 那么 n ·B→C＝ ________.
x＝
π对称 3
B ．f(x)的图象关于点 (π4， 0)对称
C．把 f(x)的图象向左平移 1π2个单位 ， 得到一个偶函数的图象
π D． f(x)的最小正周期为 π， 且在 [ 0， 6] 上为增函数
9． 已知 A， B， C 是锐角△ ABC 的三个内角 ， 向量 p＝ (sin A， 1)， q＝ (1， － cos B)，则 p 与
D．3
π
7． 要得到函数 y＝ sin x 的图象 ，只需将函数 y＝ cos(x－3)的图象 (
)
A ． 向右平移
π个单位 6
B ．向右平移
π个单位 3
C．向左平移 π3个单位
D． 向左平移 π6个单位
π
8． 设函数 f(x)＝ sin(2x＋ 3)， 则下列结论正确的是 (
)
A ． f(x)的图象关于直线
(2)当 x∈ [ 0，2] 时 ， f(x)的最大值为 5， 求 a 的值．
பைடு நூலகம்
21． (12 分 ) 已知函数 f(x)＝
3sin
2(
x＋
π 4)－
cos2x－
1
＋ 2
3 (x∈ R)．
(1)求函数 f(x)的最小值和最小正周期；
(2)若 A 为锐角 ， 且向量 m＝ (1,5)与向量 n ＝ (1， f(π4－ A))垂直 ， 求 cos 2A 的值．
3
3
A．－2
B.2
C． 2
D． 6
1 3． 设向量 a＝ (cos α， 2)， 若 a 的模长为
22， 则 cos 2α等于 (
)
1 A．－2
1 B．－ 4
1
3
C.2
D. 2
4． 平面向量 a 与 b 的夹角为 60°， a＝(2,0)， |b|＝ 1， 则|a＋ 2b|等于 ( )
A. 3
B．2 3
C． 4
5． tan 17 ＋°tan 28 ＋°tan 17 ta°n 28 等°于 (
D ．12 )
2 A．－ 2
2 B. 2
C．－ 1
D．1
6． 若向量 a＝ (1,1)， b＝ (2,5)， c＝ (3， x)， 满足条件 (8a－b) ·c＝ 30， 则 x 等于 ( )
A．6
B．5
C．4
(2)求函数 y＝f(x)的单调增区间 ，并在给出的坐标系中画出 y＝ f(x)在 [0， π]上的图象．
20． (12
分 ) 已知
x∈
R
，
向量
→ OA
＝
(a
cos2
x,1)
，
O→B＝
(2
，
3asin
2
x－
a)，
f(x)＝
O→A
→ ·OB
，
a≠
0.
(1)求函数 f(x)的解析式 ， 并求当 a>0 时 ，f (x)的单调增区间； π
A. 2
B. 3
C．2 3
D． 3 2
12．若将函数
π y＝ tan(ωｘ＋4)( ω>0) 的图象向右平移
π个单位长度后 6
，与函数
y＝
tan(ωｘ＋
π 6)的图
象重合 ， 则 ω的最小值为 ( )
1
1
1
1
A. 6
B. 4
C.3
D.2
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案
二、填空题 (本大题共 4 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 20 分 )