6篇高考数学复习资料

第六篇 数 列 第1讲 数列的概念与简单表示法 【2014年高考会这样考】 1．考查已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项． 2．考查由数列的递推关系求数列的通项公式．

对应学生80

考点梳理 1．数列的概念 (1)定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项． (2)数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，„，n})为定义域的函数an

＝f(n)，当自变量按照从小到大依次取值时所对应的一列函数值．

反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3，„)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，„，f(n)，„. (3)数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 2．数列的递推公式 如果已知数列{an}的第1项(或前n项)，且从第二项(或某一项)开始的任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式． 3．an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2. 【助学·微博】 两类特殊问题 (1)解决与数列周期性有关的题目，关键是找出数列的周期．

(2)求数列最大项的方法：①判断{an}的单调性；②解不等式组 ak≥ak－1，ak≥ak＋1，求数列最小项依此类推． 三种方法 由递推式求通项an的方法： (1)an＋1－an＝f(n)型，采用累加法；

(2)an＋1an＝f(n)型，采用累乘法； (3)an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决． 考点自测 1．(2013·珠海模拟)设数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则a7的值为( )．

A．13 B．14 C．15 D．16 解析 a7＝S7－S6＝49＋7－36－6＝14. 答案 B 2．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为( )． A．30 B．31 C．32 D．33 解析 a5＝2a4＋1＝2(2a3＋1)＋1＝22a3＋2＋1＝23a2＋22＋2＋1＝24a1＋23＋22

＋2＋1＝31. 答案 B 3．(2012·浙江)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是( )． A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0 C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0 D．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列 解析 A、B、D均正确，对于C，若首项为－1，d＝2时就不成立． 答案 C 4．下列关于星星的图案个数构成一个数列，则该数列的一个通项公式是( )．

A．an＝n2－n＋1 B．an＝nn－12 C．an＝nn＋12 D．an＝nn＋22 解析 从图中可观察星星的构成规律， n＝1时，有1个；n＝2时，有1＋2＝3个；n＝3时，有1＋2＋3＝6个；n＝4时，有1＋2＋3＋4＝10个；„

∴an＝1＋2＋3＋4＋„＋n＝nn＋12. 答案 C 5．(2013·苏州模拟)函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a2k)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．

解析 y＝x2上点(ak，a2k)处的切线方程为y－a2k＝2ak(x－ak)，令y＝0可得x＝12

ak，即ak＋1＝12ak，即可得数列{ak}是首项为16，公比为12的等比数列，则a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21. 答案 21

对应学生81

考向一 已知数列的前几项求通项公式 【例1】►根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)2,0,2,0，„；

(2)12，34，78，1516，„； (3)－11×2，12×3，－13×4，14×5，„； (4)7,77,777,7 777，„. [审题视点] 通过分析各数列已知项的数字特征的共性，及常见的描述方法写出各数列的通项公式． 解 (1)所给数列可改写为1＋1，－1＋1,1＋1，－1＋1，„，可以看作数列1，－1,1，－1，„的各项都加1，因此所给数列的通项公式an＝(－1)n＋1＋1. 所给数列也可看做2,0,2,0，„周期性变化，因此所给数列的通项公式an＝

 2n为奇数，0n为偶数.

(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，„，所以an＝2n－12n. (3)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n1nn＋1.

(4)所给数列7,77,777,7 777，„可以改写成79×9，79×99，79×999，79×9 999，„，可以看作79×(10－1)，79×(100－1)，79×(1 000－1)，79×(10 000－1)，„，因此所给数列的通项公式为an＝79×(10n－1)． 根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分；(4)各项符号特征．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来． 【训练1】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)1，－3,5，－7,9，„；

(2)12，2，92，8，252，„； (3)0.8,0.88,0.888,0.888 8，„. 解 (1)an＝(－1)n＋1(2n－1)．

(2)an＝n22. (3)an＝891－110n.考向二 由数列的前n项和求通项公式 【例2】►

已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式： (1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b. [审题视点] 当n＝1时，由a1＝S1，求a1； 当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1消去Sn，得an＋1与an的关系．转化成由递推关系求通项． 解 (1)a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5. (2)a1＝S1＝3＋b， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1. 当b＝－1时，a1适合此等式． 当b≠－1时，a1不适合此等式． ∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；

当b≠－1时，an＝ 3＋b， n＝1，2·3n－1， n≥2.

数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝ S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示． 【训练2】 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn＞1，且6Sn＝(an

＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通项公式．

解 由a1＝S1＝16(a1＋1)(a1＋2)， 解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S1＞1，因此a1＝2. 又由an＋1＝Sn＋1－Sn ＝16(an＋1＋1)(an＋1＋2)－16(an＋1)(an＋2)， 得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an. 因为an＞0，故an＋1＝－an不成立，舍去． 因此an＋1－an－3＝0. 即an＋1－an＝3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项为an＝3n－1.

考向三 由递推公式求数列的通项公式 【例3】►(1)在数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，有an＝an－1＋2n－1(n≥2)，求数列的通项公式； (2)在数列{an}中，已知a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，求数列{an}的通项公式． [审题视点] 观察递推式的特点可知利用累加法或累乘法求通项公式． 解 (1)∵an＝an－1＋2n－1(n≥2)． ∴an－an－1＝2n－1(n≥2)．

则有 a2－a1＝3，a3－a2＝5，a4－a3＝7，„an－an－1＝2n－1. 上述n－1个式子的等号两端分别相加可得：an－a1＝n2－1， ∴an＝n2. 又∵a1也满足上式，所以an＝n2.

(2)an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·„·a3a2·a2a1·a1

＝nn＋1×n－1n×n－2n－1ׄ×34×23×1＝2n＋1， 又∵a1也满足上式，∴an＝2n＋1(n∈N*)． 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an