第二章 第八讲 对数与对数函数

第2章 第8讲时间：60分钟 满分：100分一、选择题(8×5＝40分)1．(课本P 794题改编)log 32＋log 392的值为( )A ．2B ．－2C ．9D ．log 3132解析：log 32＋log 392＝log 39＝2，选A.答案：A2．(2010·辽宁，10)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100解析：∵a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m ＝10，故选A. 答案：A3．(2010·全国Ⅰ，7)已知函数f (x )＝|lg x |.若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)解析：f (x )＝|lg x |的图象如图所示，由题可设0<a <1，b >1， ∴|lg a |＝－lg a ，|lg b |＝lg b ， ∴－lg a ＝lg b ，即1a ＝b ，a ＋b ＝a ＋1a>2(a ≠b )．答案：C4．(2010·天津，6)设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则() A．a<c<bB．b<c<aC．a<b<cD．b<a<c解析：∵0<log53<log54<1<log45，∴(log53)2<log54，∴b<a<c.答案：D5．(2010·云南文山一模)函数y＝log2xx－1(x>1)的反函数是()A．y＝2x2x－1(x>0)B．y＝2x2x－1(x<0)C．y＝2x－12x(x>0)D．y＝2x－12x(x<0)解析：∵x>1，∴0<x－1<x.∴xx－1>1.∴y＝log2xx－1>0，由y＝log2xx－1解得x＝2y2y－1，互换x，y得y＝2x2x－1.∴y＝log2xx－1的反函数为y＝2x2x－1(x>0)．答案：A6．(2009·石家庄一模)已知函数y＝log a(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数，则实数a的取值范围是()A ．(12，1)∪(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(14，1)D ．(0，18)解析：函数y ＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上是增函数，设g (x )＝ax 2－x ，其对称轴为x ＝12a ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，12a 4，g (4)＝16a －4＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，12a ≤2，g (2)＝4a －2＞0.解得a ＞1，故选B.答案：B7．函数y ＝log 2x ＋log x 2＋1的值域是( ) A ．(－∞，－1] B ．[3，＋∞) C ．[－1,3]D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析：log 2x ＋log x 2∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，函数y ＝log 2x ＋log x 2＋1的值域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．故选D.答案：D8．(2010·昆明调研)若函数f (x )满足：f (x )＝f (x ＋2)且当x ∈[1,3]时，f (x )＝|x －2|，则方程f (x )＝log 5x 的实根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由已知得f (x )是以2为最小正周期的函数，又x ∈[1,3]时，f (x )＝|x －2|，所以其图象如下图所示．由于log 55＝1，且y ＝log 5x 是增函数，所以f (x )的图象与y ＝log 5x 的图象有且仅有4个不同交点，也就是方程f (x )＝log 5x 有4个不同实根．答案：D二、填空题(4×5＝20分)9．(2010·浙江嘉兴第一次月考)计算：[(－4)3]13＋log 525＝____________.解析：原式＝(－4)1＋log 552＝－4＋2＝－2. 答案：－210．(2010·浙江台州第一学期期末)已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系是____________．解析：∵m <0，n <0，mn log a c ·log c b ＝log a b <log a a ＝1，∴m >n .答案：m >n11．对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，给出如下三个命题：①f (x ＋2)是偶函数；②f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f (x )没有最小值．其中正确的有____________个．解析：函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，函数f (x ＋2)＝lg(|x |＋1)是偶函数；因y ＝lg x――→图象向左平移1个单位y ＝lg(x ＋1)――→去掉y 轴左侧的图象，右侧的图象作关于y 轴对称y ＝lg(|x |＋1)――→图象向右平移2个单位y ＝lg(|x －2|＋1)，如图，可知f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0.答案：2点评： 此题利用对数函数图象的变换得到函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)的图象，借助数形结合思想分析得到结论．12．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．命题意图：考查对数函数性质及均值定理的应用． 解析：∵y ＝log a (x ＋3)－1，恒过定点(－2，－1)， ∴A (－2，－1)，又A 在直线上， 即2m ＋n ＝1.又mn >0，∴m >0，n >0. 而1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋2＋4mn ≥4＋24＝8.当n ＝12m ＝14取“＝”．∴1m ＋2n的最小值为8.故填8.答案：8三、解答题(4×10＝40分) 13．已知函数f (x )＝log a (2－ax )．(1)若当x ∈[1,2]时f (x )有意义，求实数a 的取值范围；(2)若不等式f (x )<0在区间[1,2]上恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1)令g (x )＝2－ax ， 由题意g (x )>0在[1,2]上恒成立． 又a >0，∴g (x )在[1,2]上递减． ∴g (2)＝2－2a >0.故0<a <1. (2)由(1)，可知0<a <1.由f (x )<0在[1,2]上恒成立，可知g (x )>1在[1,2]上恒成立，即φ(x )＝1－ax >0在[1,2]上恒成立．又a >0，∴φ(x )在[1,2]上递减． ∴φ(2)＝1－2a >0.故0<a <12.14．(2010·广东省实验中学模拟)若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x的最值及相应的x 的值．解析：y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2>0， 解得x <1或x >3，∴M ＝{x |x <1，或x >3}， f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2. 令2x ＝t ，∵x <1或x >3，∴t >8或0<t <2. ∴f (t )＝4t －3t 2＝－3(t －23)2＋43(t >8或0<t <2)．由二次函数性质可知： 当0<t <2时，f (t )∈(0，43]，当t >8时，f (t )∈(－∞，－160)， 当2x ＝t ＝23，即x ＝log 223f (x )max ＝43.综上可知：当x ＝log 223时，f (x )取到最大值为43，无最小值．15．设函数f (x )＝log a (1－ax )，其中0<a <1.(1)证明f (x )是(a ，＋∞)上的减函数； (2)解不等式f (x )>1.解析：(1)证明：任取x 1、x 2∈(a ，＋∞)，且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝log a (1－a x 1)－log a (1－ax 2)＝log a x 2(x 1－a )x 1(x 2－a )∵x 2(x 1－a )x 1(x 2－a )－1＝x 2(x 1－a )－x 1(x 2－a )x 1(x 2－a )＝a (x 1－x 2)x 1(x 2－a )，∵0＜a ＜1，a ＜x 1＜x 2，∴x 2(x 1－a )x 1(x 2－a )＞0，且x 2(x 1－a )x 1(x 2－a )－1＜0，即0＜x 2(x 1－a )x 1(x 2－a )＜1∴log ax 2(x 1－a )x 1(x 2－a )＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )是(a ，＋∞)上的减函数．(2)解法一：∵0＜a ＜1，∴f (x )＞1⇔log a(1－ax )＞log aa ⇔⎩⎨⎧1－ax ＞0 ①1－ax ＜a ②解不等式①得x ＞a 或x ＜0，解不等式②得0＜x ＜a 1－a ，∵0＜a ＜1，∴a ＜a1－a，∴原不等式的解集为{x |a ＜x ＜a1－a}． 解法二：函数f (x )的定义域为{x |x ＞a 或x ＜0}， ∵0＜a ＜1，∴当x ＜0时，1－ax＞1，∴f (x )＝log a (1－a x )＜0，不合题意．当x ＞a 时，解方程f (x )＝1，得x ＝a1－a .由(1)知f (x )是(a ，＋∞)上的减函数，∴f (x )＞1时，x ＜a1－a .∵a ＜a1－a， ∴原不等式解集为{x |a ＜x ＜a1－a}． 16．已知函数f (x )＝2x－1的反函数为f －1(x )，g (x )＝log 4(3x ＋1)． (1)用定义证明f －1(x )在定义域上的单调性； (2)若f －1(x )≤g (x )，求x 的取值集合D ；(3)设函数H (x )＝g (x )－12f －1(x )．当x ∈D 时，求函数H (x )的值域．解析：(1)证明：∵函数f (x )的值域为(－1，＋∞)， 由y ＝2x －1得x ＝log 2(y ＋1)， ∴f －1(x )＝log 2(x ＋1)(x ＞－1)． 任取－1＜x 1＜x 2，∴f －1(x 1)－f －1(x 2)＝log 2(x 1＋1)－log 2(x 2＋1) ＝log 2x 1＋1x 2＋1. 由－1＜x 1＜x 2得0＜x 1＋1＜x 2＋1，因此0＜x 1＋1x 2＋1＜1.得log 2x 1＋1x 2＋1＜0，∴f －1(x 1)＜f －1(x 2)， 故f －1(x )在(－1，＋∞)上为单调增函数． (2)由f －1(x )≤g (x )，得log 2(x ＋1)≤log 4(3x ＋1) ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，3x ＋1＞0，(x ＋1)2≤3x ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，(x ＋1)2≤3x ＋1， 解之得0≤x ≤1，故D ＝[0,1]．(3)H (x )＝g (x )－12f －1(x )＝log 4(3x ＋1)－12log 2(x ＋1)＝12log 23x ＋1x ＋1＝12log 2(3－2x ＋1)， 由0≤x ≤1得1≤3－2x ＋1≤2，∴0≤12log 2(3－2x ＋1≤12，因此函数H (x )的值域为[0，12]．。