数学初三讲义T5Bcssx9

科目：数学年级：初三教师：张立平2005——2006学年第二学期第九周第三章圆（3。

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8）一、主要知识介绍1.两圆位里关系的概念(1) 两圆外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部（图（1））．(2) 两圆外切：两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部（图（2））.(3) 两圆相交：两个圆有两个公共点（图（3））．（4）两圆内切：两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部（图(4)）．(5) 两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部（图（5））．2. 两圆的位置与两圆半径、圆心距之间的数量关系设两圆半径分别为R和r，圆心距为d, 那么(1)两圆外离<==> d>R+r (图(1))；(2)两圆外切<==> d=R+r (图(2))；(3)两圆相交<==> R-r<d<R+r (R> r)（图（3））；(4)两圆内切<==> d=R-r (R>r) （图(4)）；(5)两圆内含<==> d<R-r (R>r) （图(5) ）.3.两圆相切的重要性质如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．如图A, 已知⊙O 1与⊙O 2相切（包括内切和外切），切点为T, 若连接O 1O 2，则切点T 一定在连心线O 1O 2上．4.两圆相交的重要性质定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．如图B, 已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，连接AB, 则：①O 1O 2⊥AB;②O 1O 2平分AB.（A ） （B ）5. 圆周长公式C= 2 πR ，其中π=3. 14159------，这个无限不循环小数叫做圆周率．6. 弧长公式因为3600的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR, 所以10的圆心角所对的弧长 是3602R π，即180R π，于是可得半径为R 的圆中，n 0的圆心角所对的弧长L 的计算公式：l =180R n π 7. 圆面积S= πR 2 (R 是圆半径)．8. 扇形面积(1) 扇形的定义一条弧和经过这条弧端点的两条半径所组成的图形叫做扇形．(2) 扇形的周长 = 2R+ l .(3) 扇形的面积如图中阴影部分的面积就是半径为R, 圆心角为n 0的扇形的面积．显然扇形面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角为10的扇形面积是3602R π，所以，圆心角为n 的扇形面积的计算公式是：lR R n s 213602==π9.圆锥的有关概念圆锥可以看成是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转一周而成的图形．这条直线叫做圆锥的轴．垂直于轴的边旋转而成的面叫做圆锥的底面．圆锥底面是一个圆，斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面，从圆锥的顶点到底面的距离叫做圆锥的高．连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线．.圆锥的侧面展开图是半径等于母线长，弧长等于圆锥底面周长的扇形，二、本周学习导航1、两圆外切和两圆内切，统称为两圆相切．今后出现两圆相切这种说法时，应包含内切和外切两种情况．2、两圆同心是两圆内含的一种特例3、相切、相交两圆的性质，都是由圆的对称性推出来的，两个圆组成的图形也是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线。

4、在弧长公式和扇形面积公式中，n表示10的圆心角的倍数，不带单位．在公式中，已知S、l、n、R中的任意两个量，都可以求另外两个量．5、圆锥的轴通过底面的圆心，并且垂直于底面；圆锥的母线长都相等．三、重难点分析重点：（1）是两圆的位置关系和它们的判定方法．（2）是弧长公式和扇形面积公式的灵活运用．（3）是圆锥的侧面展开图及侧面积的计算．难点：（1）是对相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，以及相切的两圆的连线经过切点两个性质的理解．（2）是弧长公式和扇形面积公式的推导，以及对组合图形面积的计算．（3）是掌握圆锥侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系，以及轴图中各元素与圆锥各元素之间的关系．四、典型例题与分析【例1】已知：⊙O1与⊙O2的半径长分别为方程x2－9x+14=0的两根，若圆心距O1O2的长为5，则⊙O1与⊙O2的位置关系为．分析：由方程x2－9x+14=0得x1=2, x2=7,故x2－x1=7－2=5, 与圆心距相等，两圆内切．解：设⊙O1与⊙O2的半径分别为R与r，由x2－9x+14=0，得x1=7, x2=2,∵⊙O1与⊙O2的半径长是方程x2－9x+14=0的两根，∴R=7，r= 2（或r=7，R=2）．∴R一r=5（r－R=5）．∴R一r= O1O2（r－R= O1O2）．∴两圆的位置关系为内切．【例2】如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1以与⊙O的弦AC相交于D, DE⊥OC,垂足为E.（1）求证：AD= DC；(2) 求证：DE是⊙O1的切线；(3) 如果OE= EC,请判断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论．分析：(1) 要证AD=DC, 注意到AC为⊙O1的弦，只需证OD⊥AC.(2) 只需证O1D⊥DE.证明：（1）连接OD. 则∠ADO= 900∵AC为⊙O的弦，OD为弦心距，∴AD=DC.(2) ∵D为AC中点，O1为AO中点，∴O1D//OC.又DE⊥OC，∴DE ⊥O1D.∴DE与⊙O1相切．(3) 如果OE= EC，又D为AC中点，∴ DE// O 1O 2又O 1D ∥OE ，∴ 四边形O 1O ED 为平行四边形．又∠DEO= 900，O 1O = O 1D ，∴ 四边形以O 1OED 为正方形．【例3】已知：⊙O 1和⊙O 2的半径分别为5和13，它们的公共弦AB=6,求 O 1O 2的长．解：连接O 1A, O 2A ，∵ ⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B ，∴ O 1O 2⊥ AB.AC= BC=21AB=3, ∴ O 1C=2222135-=-AC A O = 4， O 2C=222223)13(-=-AC A O =2．∴ 如果圆心O 1和O 2在AB 异侧时, O 1O 2 =O 1C+O 2C = 4+2 = 6；如果圆心O 1和O 2在AB 同侧时, O 1O 2 =O 1C －O 2C=4－2=2．答: O 1O 2的长是6或2.【例4】 ⊙O 1和⊙O 2交于A 、B 两点, 且⊙O 1经过点O 2．若∠A O 1B=900，那么∠AO 2B 的度数是 ．错解：1350(如图A).（A ） （B ）分析：错解只考虑到r 2＜ r 1，且O 1、O 2的公共弦AB 两侧时的情形．未考虑到r 2＞r 1，且O 1、O 2在公共弦同侧时的情形（如图B ），缺乏对所学知识的比较、反思、深化．如果能联想：“一条弦所对的圆心角为900，则这条弦所对的圆周角为多少度”的问题，并运用分类讨论的思想画出两圆心在公共弦的同侧、两侧两种情况，且r 1>r 2，或r 1<r 2，则可避免错误．正解：∠AO 2B = 1350或450.【例5】 如图, 已知扇形AOB 的内切圆⊙O /分别切扇形的半径OA 、OB 于D 、E,且OA=6，⊙O /以的半径为2, 求图中阴影部分的面积．分析：首先想到用S 扇形OAB －S ⊙O/ ,但剩余部分仍然无法求出，必须重新分解．可可用S 扇形OAB 一S 扇形O /DME 一S 四边形ODO /E 求解．解：连接O'D 、 O'E.∵ ⊙O /与OA 、OB 相切，∴ O' D ⊥AO ，O'E ⊥OB∵ ⊙O 和⊙O / 内切，∴ OO / = 6－2 = 4在Rt,△OO'D 中，O'D=2，则∠1=300，OD= 2/2/D O OO - = 23．同理，∠2=300．∠DO'E=3600一900一900一600 =1200.∴ 大于1800的∠DO'E= 2400．在AB 上取一点M ，∴ S 扇形DME =360240π×22 =38π , S 四边形ODO /E = 2×S △ODO / =2×21×2×23= 43 ∴ S 阴影 = S 扇形OAB 一S 扇形O /DME 一S 四边形ODO /E= 6π－38π－43 =310π－43【例6】 如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80 cm, 母线长是50 cm,则这个烟囱帽的展开图的面积是＿＿cm 2（结果保留π）．分析：这是一道实际应用问题，转为数学问题后，已知直径和母线长，求圆锥侧面积．解： S 侧＝nrL ＝π×40×50＝2000π（cm 2）．∴ 烟囱帽展开图的面积为2000πcm 2.【例7】 有一四边形形状的铁皮ABCD, BC= CD, AB= 2AD ，∠ABC=∠ADB=900．(1) 求∠C 的度数；(2) 以C 为圆心，CB 为半径作圆弧BD 得一扇形CBD,剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，若已知BC= a ，求该圆锥的底面半径r;(3)在(2)中，用剩下的材料能否剪下一块整的圆面做该圆锥的底面？并说明理由．分析：在第(3)题中，可以求出最大的圆面，若其半径大于(2)中的r, 则可以做圆锥的底面．但求最大圆面半径较难求，可以取AB 中点M ，然后求△ADM 的内切圆半径．解：（1）在Rt △ADB 中，∵ AB = 2AD.∴ cos ∠BAD =21=AB AD ． ∴ ∠BAD= 600， ∠ABD= 300．又∠ABC= 900，∴ ∠DBC=600，又BC= CD.∴ △BDC 为正三角形．∴ ∠C= 600．（2） 由2 πr =18060πa ， 得r = 6a (3)方法一：设⊙O 与AB 、AD 及BD 均相切，切点分别为E 、G 、H 、⊙O 的半径为x ．则OE ⊥AB ，OG ⊥AD.作OF ⊥BC 于F ，连接AO 、OC.则CO=a ＋x ，CF= a 一x.在Rt △OAE 中，∠EAO= 300.由tan300 =33==AE x AE OE ， 解得AE=3x.又AB=a BC BD 33230cos 30cos 00==， ∴ OF=EB =x a 3332-. 由OF 2十FC 2=OC 2， 得（x a 3332-）2＋(a 一x)2 =（a ＋x ）2整理，得x 2一38ax ＋94a 2 = 0. 解得 x=a 3324±， 又 ∵ x<a,∴ x ＝a 3324-. ∵ a 3324- ＞6a ∴ 剩下的材料能剪下一块整的圆面作该圆锥的底面．方法二：取AB 中点M ，连接DM,∴ △ADM 为正三角形，且∠MDB= 300．∴ ∠MDC= 900.∴ DM 与BD 相切．易求得△ADM 内切圆半径为6a ． ∴ 剩下材料能剪下一块整的圆面做该圆锥的底面．五、双基训练A 组一、选择题1．如图一个圆环的面积为9π，大圆的弦AB 切小圆于点C ，则弦AB 的长为（ ）A ．9B ．18C ．3D ．92．如图，同样大的硬币，其中一个固定，另一个沿着其周围滚动，滚动时，两枚硬币总是保持有一点相接触（相外切），当滚动的硬币沿固定的硬币周围滚动一圈，回到原来的位置时，滚动的那个硬币自转的周数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知两圆的半径分别是2，3，圆心之间的距离是d ，若两圆有公共点，则下列结论正确的是（ ）A ．d ＝1B ．d ＝5C ．1≤d ≤5D ．1＜d ＜54．设⊙O 1和⊙O 2的半径分别是R 和r ，圆心之间的距离O1O 2＝5,且R ，r 是方程27100x x -+=的两根，则⊙O 1和⊙O 2 的位置关系是（ ）A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离5．己知⊙O 1，⊙O 2的半径都等于1，有下列命题：①若O 1O 2＝1，则⊙O 1与⊙O 2有两个公共点：②若O 1O 2＝2，则⊙O 1与⊙O 2以外切；③若O 1O 2≤3，则⊙O 1与⊙O 2必有公共点；④若O 1O 2＞1，则⊙O 1与⊙O 2至少有两条公共切线．其中正确命题序号是6．两圆的半径之比为2：3，当它们外切时，圆心距离为20 cm ，那么当它们内切时圆心距离为 cm ．7.已知如图所示，OA=30B ，则弧BC 长是弧AD 长的（ ）A. 3倍B.31 倍C. 6倍D.32倍 8.在半径为1的⊙O 中，弦AB=1，则AB 的长为（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π 9.在圆中，一条弧的长为L ，半径为R ，则这条弧所对圆心角的度数是（ ） A.L R 180π B R L π180 C 180RL π D RLπ18010.如图所示，扇形OAB中，∠AOB=900,OA、OB为直径．在扇形内作半圆,M和N分别表示两个阴影部分的面积，那么M和N的大小关系是（）A. N=MB. M>NC. N>MD.无法确定11.如图所示中的四个正方形边长都相等，其中阴影部分面积相等的图形个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题1、如图所示，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做“正三角形的渐开线”，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次按A、B、C循环，它们依次相连接，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是2、已知圆面积为81π cm2，其圆周上一段弧长为3πcm,那么这段弧所对圆心角的度数是三、解答题1．小明要在半径为lm，圆心角为600的扇形铁皮上剪取一块面积尽可能大的正方形铁皮，小明在扇形铁皮上设计了如图的甲、乙两种剪取方案，请你帮小明计算一下，按甲、乙两种方案剪取所得的正方形的面积，并估算哪个正方形的面积较大（估算时3取1. 73,结果保留两个有效数字）．2．如图，为一草地平面图，ABCD为护栏，∠ABC=900，∠BCD=1200，AB＝6m，BC= 3 m，CD=8 m，一根5m长的绳子，一端拴在柱子B上，另一端拴着一只羊（羊只能在草地上活动），请画出羊活动的最大区域并求出其活动区域的面积（保留精确值）B组一、填空题1．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6 cm的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短程是 m.（结果不取近似值）2.在△ABC中，∠ACB = 900, AC=1, AB =2，则以AC为轴旋转得到的立体圆锥的表面积为二、解答题1.把一个半径为8 cm的圆片，剪去一个圆心角为900的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥的侧面，试求这个圆锥的高．2.如图所示，圆锥的下部是圆柱，上部是与圆柱共底的圆锥，圆柱的底面半径为4厘米，母线长9厘米，圆锥的母线长5厘米，求它的表面积．3、如图，⊙O 1与⊙O 2外切于T ，AB 为公切线，BT 的延长线交⊙O 1于点C ，CD 切⊙O 2于点D 。