2019中考数学热点,阿氏圆问题讲义无答案.doc

定义：已知平面上两点A,B,则所有满足 PA/PB=k 且不等于 1 的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，具体的描述：一动点P 到两定点A、B 的距离之比等于定比m：n，则 P 点的轨迹，是以定比m： n 内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆。该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。

解题策略：利用两边成比例且夹角相等构造相似三角形（简称美人鱼相似）

“阿氏圆”一般解题步骤

第一步 :连接动点至圆心0(将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接),则连接 0P、 OB;

第二步 :计算出所连接的这两条线段OP、 OB 长度 ;

第三步 :计算这两条线段长度的比=k;

第四步 :在 0B 上取点 C,使得;

第五步 :连接 AC,与圆 0 交点即为点P.

阿氏圆最值问题例题精讲

例 1:问题提出 :如图 1,在 R△ ABC中 ,∠ ACB=90 ,CB=4,AC=6圆. C 半经为 2,P

为圆上一助点,连结 AP,BP求 AP+ BP 的最小值

尝试解决：为了解块这个间题,下面给出一种解题思路、如图2,连接 CP,在 CB 上取点D,使 CD=1 则有

,又∵∠ PCD=∠BCP,∴△ PCD △ BCP,

∴，∴ PD=,∴ AP+AP+PD

请你完成余下的思考,并直接写出答案:AP+BP的最小值为。

自主探索 :在“间题提出”的条件不变的情况下,AP+BP的最小值为。

拓展延伸 :已知扇形COD中 ,∠ COD=90 ,0C=6,OA=3,0B=5,点 P 是弧 CD 上一点 ,求 2A+PB 的最小值。

强化训练

向内构造类型

1,如图 ,已知 AC=6,BC=8,AB=10,圆 C 的半经为4,点 D 是圆 C 上的动点 ,连接 AD、 BD,

则 AD+ BD 的最小值为。

2.在 Rt△ABC 中 ,∠ ACB=90° AC=4,BC=3,点 D 为△ ABC内一动点 ,且满足 CD=2，

则 AD+ BD 的最小值为。

3、如图 ,在 R△ ABC中 ,∠C=90° ,CA=3,CB=4⊙.C 的半径为2,点 P 是⊙ C 上一

动点 ,则 AP+ PB 的最小值为。

4、如图 ,四边形 ABCD为边长为 4 的正方形 , ⊙ B 的半径为 2,P是⊙ B 上一动点 ,则 PD+ PC的最小值为。

PD+4PC的最小值为。

5、如图 ,⊙ O 的半径为,PO=,MO=2,∠ POM=90 ,Q 为⊙ O 上一动点 ,则

PQ+ QM 的最小值为。

6、如图 ,已知菱形 ABCD的边长为4,∠ B=60°,⊙ B 的半径为 2,P 为

⊙ B 上一动点则PD+ PC 的最小值为。

7、如图，点 C 坐标为 (2， ,5),点 A 的坐标为 (7,0)，⊙ C 的半为,点 B 在⊙ C 上一动点 ,OB+ AB 的最小值为。

8、如图 ,在面直角坐标系xoy 中，A(6，-1)，M(4,4) ， M 为圆心 ,2为半径画圆,0为原点 ,p 是⊙ M 上分动点 ,则 PO+2PA的最小值为.

9、在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,2),C(4,0),D(3,2)、P 是△

AOB 外部的第一象限内一动点,且∠ BPA=135 则 2PD+PC

的最小值是.

10、如图 ,AB 为⊙ O 的直径 ,AB=2,点 C 与点 D 在 AB 的同侧 ,

且 AD⊥ AB,BC⊥ AB,AD=1,BC=3,点 P 是⊙ O 上的一动点 ,则 PD+PC的最小值为.

11、在△ ABC中 ,AB=9,BC=8,∠ ABC=60° ,⊙A 的半径为6,P 是⊙ A 上的动点连

接 PB、 PC,则3PC+2PB的最小值为.

12 如图 ,边长为 4 的正方形,内切圆记为⊙O,P 是⊙ O 上一动点,则PA+PB的

最小值为。

13、如图 ,等边△ ABC 的边长为 6,内切圆记为⊙ O,P 是⊙ O 上一动点 ,则 2PB+PC

的最小值为。

14、如图 ,在△ ABC 中 ,∠ B=90 为圆 B 上任一动点 ,则 PA+

AB=CB=2,以

点PC的最小值

是

B 为圆心作圆

。

B 与A

C 相切 ,点P

15、如图 ,菱形ABCD的边长

为2,∠ ABC=60° ,⊙A 与BC相切于

点

E,点 P是⊙A

上一动点 ,PB+ PD 的最小值为。

16 如图 ,Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90 AC=8,BC=6,点 P 是 AB 上一点 ,且

F 在以点 p 为圆心 ,AP 为半径的⊙ P 上 ,则 CF+mBF的最小值为点。

17、(1)如图 1,已知正方形ABCD的边长为 4,圆 B 的半径为2,点 P 是圆 B 上的一个动点 ,求 PD+ PC 的最小值和PD PC的最大值；

(2)如图 2,已知正方形ABCD的边长为 9,圆 B 的半径为 6,点 P 是圆 B 上的一个动点求PD+ PC的最小值和 PD PC的最大值；

(3)如图的最小值和3,已知菱形ABCD的边长

为

PD PC的最大值。

4,∠ B=90 圆 B 的半径为2,点P 是圆 B 上的一个动点,求 PD+ PC

18.如图 ,在 R△ ABC中 ,∠ A=30° ,AC=8,以 C 为圆心 ,4 为半径作⊙ C。

(1)试判断⊙ C 与 AB 的位置关系 ,并说明理由；

(2)点 F 是⊙ C上一动点 ,点 D 在 AC 上且 CD=2,试说明△ FCD~△ ACF；

(3)点 E 是 AB 边上任意一点,在 (2)的情况下 ,试求出 EF+ FA 的最小值 .