高中数学人教A版选修2-2(课时训练)1.1 变化率与导数1.1.3 Word版含答案
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：第一章 导数及其应用 章末复习 Word版含答案
章末复习1．对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，导数是函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比ΔyΔx的极限，即limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．曲线的切线方程利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意：(1)判断P点是否在曲线上；(2)如果曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可得方程为x＝x0；P点坐标适合切线方程，P点处的切线斜率为f′(x0)．3．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键．4．判断函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)注意在某一区间内f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)是函数f (x )在该区间上为增(或减)函数的充分条件．5．利用导数研究函数的极值要注意(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言的．(2)连续函数f (x )在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小．(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号．6．求函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )，在[a ，b ]上必有最大值与最小值；但在开区间(a ，b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值，例如：f (x )＝x 3，x ∈(－1,1)．(2)求函数最值的步骤一般地，求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．7．应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个点x 0，使f ′(x 0)＝0，则f (x 0)是函数的最值.题型一 应用导数解决与切线相关的问题根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题．例1 (2013·福建)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x ＞0)，∴f (1)＝1，f ′(1)＝－1，∴y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0.①当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a ；∵x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0∴f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．跟踪演练1 已知曲线C 的方程是y ＝x 3－3x 2＋2x . (1)求曲线在x ＝1处的切线方程；(2)若l 2：y ＝kx ，且直线l 2与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 2的方程及切点坐标． 解 (1)∵y ′＝3x 2－6x ＋2， ∴y ′|x ＝1＝3×1－6×1＋2＝－1. ∴l 1的斜率为－1，且过点(1,0)． ∴直线l 1的方程为y ＝－(x －1)， 即l 1的方程为x ＋y －1＝0.(2)直线l 2过原点，则k ＝y 0x 0(x 0≠0)，由点(x 0，y 0)在曲线C 上，得y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，∴y 0x 0＝x 20－3x 0＋2. ∵y ′＝3x 2－6x ＋2，∴k ＝3x 20－6x 0＋2.又k ＝y 0x 0，∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2， 整理得2x 20－3x 0＝0.∵x 0≠0，∴x 0＝32， 此时y 0＝－38，k ＝－14，因此直线l 2的方程为y ＝－14x ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－38. 题型二 利用导数求函数的单调区间在区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内单调递增；在区间(a ，b )内，如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内单调递减． 例2 已知函数f (x )＝x －2x ＋a (2－ln x )，a ＞0.讨论f (x )的单调性．解 由题知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ＜0即0＜a ＜22时，对一切x ＞0都有f ′(x )＞0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0即a ＝22时，仅对x ＝2，有f ′(x )＝0，对其余的x ＞0都有f ′(x )＞0.此时f (x )也是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ＞0即a ＞22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0＜x 1＜x 2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．跟踪演练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝(x －3)e x ，x ∈(0，＋∞)； (2)f (x )＝x (x －a )2.解 (1)f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )＞0，解得x ＞2，又x ∈(0，＋∞)，所以函数的单调增区间(2，＋∞)，函数的单调减区间(0,2)． (2)函数f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x 的定义域为R ， 由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x 1＝a3，x 2＝a .①当a >0时，x 1<x 2.∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 3，a . ②当a <0时，x 1>x 2，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a ，a3. ③当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，∴函数f (x )的单调区间为(－∞，＋∞)，即f (x )在R 上是递增的．综上，a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a3，a . a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a ，a3. a ＝0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 题型三 利用导数求函数的极值和最值 1．利用导数求函数极值的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)解方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号． 若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值； 若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值； 否则，此根不是f (x )的极值点．2．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f (x )在[a ，b ]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(或极小)值，则可以断定f (x )在该点处取得最大(最小)值， 这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)． 例3 已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R ),(1)若f (x )在x ＝2时取得极值，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)求证：当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.(1)解 f ′(x )＝x －a x ，因为x ＝2是一个极值点，所以2－a 2＝0，则a ＝4.此时f ′(x )＝x －4x ＝(x ＋2)(x －2)x ，因为f (x )的定义域是(0，＋∞)，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)，f ′(x )＞0，所以当a ＝4时，x ＝2是一个极小值点，故a ＝4.(2)解 因为f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax ，所以当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x ＋a )(x －a )x，所以函数f (x )的单调递增区间(a ，＋∞)；递减区间为(0，a )．(3)证明 设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x，因为当x ＞1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x ＞0，所以g (x )在x ∈(1，＋∞)上是增函数，所以g (x )＞g (1)＝16＞0，所以当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.跟踪演练3 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1,0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为：f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2.所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2得，f ′(x )＝3x 2－6x . 由f ′(x )＝0得，x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝2， f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：min max f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0. 所以f (x )max ＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(x )>0.要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，解得－2<c ≤0.题型四 导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点．考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现．考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强．例4 设函数f (x )＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b (0<a <1)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若当x ∈[a ＋1，a ＋2]时，恒有|f ′(x )|≤a ，试确定a 的取值范围；(3)当a ＝23时，关于x 的方程f (x )＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －a )(x －3a )． 令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝3a .当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：值，f (x )极小值＝f (a )＝b －43a 3；当x ＝3a 时，f (x )取得极大值，f (x )极大值＝f (3a )＝b .(2)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2，其对称轴为x ＝2a . 因为0<a <1，所以2a <a ＋1.所以f ′(x )在区间[a ＋1，a ＋2]上是减函数．当x ＝a ＋1时，f ′(x )取得最大值，f ′(a ＋1)＝2a －1； 当x ＝a ＋2时，f ′(x )取得最小值，f ′(a ＋2)＝4a －4.于是有⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≤a ，4a －4≥－a ，即45≤a ≤1.又因为0<a <1，所以45≤a <1.(3)当a ＝23时，f (x )＝－13x 3＋43x 2－43x ＋b .f ′(x )＝－x 2＋83x －43，由f ′(x )＝0，即－x 2＋83x －43＝0，解得x 1＝23，x 2＝2，即f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，23上是减函数， 在⎝⎛⎭⎫23，2上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数． 要使f (x )＝0在[1,3]上恒有两个相异实根， 即f (x )在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)>0，f (3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－13＋b ≤0，b >0，－1＋b ≤0，解得0<b ≤13.跟踪演练4 证明：当x ∈[－2,1]时，－113≤13x 3－4x ≤163.证明 令f (x )＝13x 3－4x ，x ∈[－2,1]，则f ′(x )＝x 2－4.因为x ∈[－2,1]，所以f ′(x )≤0， 即函数f (x )在区间[－2,1]上单调递减．故函数f (x )在区间[－2,1]上的最大值为f (－2)＝163，最小值为f (1)＝－113.所以，当x ∈[－2,1]时，－113≤f (x )≤163，即－113≤13x 3－4x ≤163成立．题型五 定积分及其应用定积分的几何意义表示曲边梯形的面积，它的物理意义表示做变速直线运动物体的位移或变力所做的功，所以利用定积分可求平面图形的面积以及变速运动的路程和变力做功等问题．利用定积分解决问题时要注意确定被积函数和积分上下限． 例5 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围成图形的面积．解所求面积S ＝∫54π－π2||sin x d x＝－⎠⎛0－π2sin x d x ＋⎠⎛0πsin x d x －∫54ππsin x d x ＝1＋2＋⎝⎛⎭⎫1－22＝4－22. 跟踪演练5 求由曲线y ＝e x ，y ＝e －x及x ＝1所围成的图形面积．解如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝e －x，解得交点为(0,1)．所求面积为S ＝⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x＋e －x)⎪⎪10＝e ＋1e－2.1．求函数中参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围．这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围．2．在解决问题的过程中主要处理好下面的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)，且f ′(x)不恒为零；(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可．高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
高中数学选修2-2人教A版作业及测试课时作业1变化率问题导数的概念含解析
C．6 D．－6
解析：由平均速度和瞬时速度的关系可知，v＝s′(1)＝li (－3Δt－6)＝－6.
答案：D
3．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是()
A. ＝ ＝
B. ＝
C. ＝
D. ＝
解析：由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．
14．建造一栋面积为xm2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝ ＋ ＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．
解析：根据导数的定义，得
f′(100)＝li
＝li
＝liБайду номын сангаас
＝li
＝li
＝0.105.
f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2，也就是说当建筑面积为100 m2时，每增加1 m2的建筑面积，成本就要增加1 050元．
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若函数y＝f(x)＝x2－1，图象上点P(2,3)及其邻近点Q(2＋Δx,3＋Δy)，则 ＝()
A．4B．4Δx
C．4＋ΔxD．Δx
解析：∵Δy＝(2＋Δx)2－1－(22－1)＝4Δx＋(Δx)2，
∴ ＝ ＝4＋Δx.
答案：C
2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若一质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是()
答案：
7．已知函数y＝2x2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则 等于________．
解析： ＝ ＝4＋2Δx.
答案：4＋2Δx
高中数学人教(A版)选修2-2导数及其应用1.1 变化率与导数
f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
称它为函数y f ( x )在x x0处的导数. ' ' 记作f ( x ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
2 1
0.62>0.16
所以气球半径增加得越来越慢
P3 思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀
率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
气球的平均膨胀率即气球半径的平均变化率 气球半径的平均变化率可以刻画气球半径 变化快慢
• 问题2 高台跳水 • 运动员相对于水面的高度h(单位：米)
瞬时速度
当t 2，t 0时，平均速度v就趋近 于t 2时刻的瞬时速度.表示为：
为方便表示，我们用：
h(2 t ) h(2) lim 13.1, t t 0 表示t 2时刻的瞬时速度.
在t0时刻的瞬时速度呢？
当t t 0时，t趋近于0时，平均速度 v就趋近 于t 0时刻的瞬时速度 .表示为：
函数
微积分（牛顿，莱布尼兹）
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函
数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
•
导数是微积分的核心概念之一它是研究 函数增减、变化快慢、最大（小）值等 问题最一般、最有效的工具。
h(t0 t ) h(t0 ) lim t t 0
气球体积为V0时的瞬时膨胀率如何表示？
r (V0 V ) r (V0 ) r lim lim V 0 V V 0 V
高中数学选修2-2课时作业4：1.1.1 变化率问题_1.1.2 导数的概念
1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念一、基础达标1.函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx中，Δx 不可能是( ) A.大于0B.小于0C.等于0D.大于0或小于0[答案] C2.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2 [答案] B[解析] Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1. 3.如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )A.－4.8 m /sB.－0.88 m/sC.0.88 m /sD.4.8 m/s [答案] A[解析] 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得.4.设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx等于( )A.f ′(1)B.3f ′(1)C.13f ′(1)D.f ′(3) [答案] A[解析] lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx ＝f ′(1). 5.已知函数y ＝2x＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________. [答案] 13[解析] Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝⎛⎭⎫21.5＋3－⎝⎛⎭⎫22＋3＝43－1＝13. 6.一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________.[答案] 3[解析] v 初＝s ′|t ＝0＝lim Δt →0 s (0＋Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0(3－Δt )＝3. 7.求函数f (x )＝x ＋2x在x ＝1处的导数. 解 由导数定义得Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )＋21＋Δx－3 ＝(Δx )2－Δx 1＋Δx， ∴Δy Δx ＝Δx －11＋Δx， ∴f ′(1)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 Δx －11＋Δx＝－1. 二、能力提升8.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( )A.甲B.乙C.相同D.不确定[答案] B[解析] 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小.所以乙厂治污效果较好.9.过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________.[答案] 2.1 2.001[解析] ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx＝2＋Δx ，∴割线斜率为2＋Δx ， 当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1.当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.10.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________. [答案] 2[解析] 由导数的定义，得f ′(0)＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0a (Δx )2＋b (Δx )＋c －c Δx ＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b ＞0. 又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0. ∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2. 11.求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数.解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ，∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx ＝2Δx ＋16. ∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16.12.若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值. 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0a (Δx )2＋2a Δx Δx ＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1. 三、探究与创新13.设函数f (x )在x ＝x 0处的导数为A ，试求下列各式的值.(1)lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx； (2)lim Δx →0f (x 0＋4Δx )－f (x 0＋5Δx )2Δx . 解 (1)原式＝lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－(－Δx )＝－lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0)＝－A . (2)原式＝lim Δx →0f (x 0＋4Δx )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0＋5Δx )2Δx ＝2lim Δx →0f (x 0＋4Δx )－f (x 0)4Δx －52lim Δx →0 f (x 0＋5Δx )－f (x 0)5Δx ＝2A －52A ＝－12A.。
高中数学(人教A版 选修2-2)Word版活页训练：1-1-1～2变化率问题.导数的概念(Word有详解答案)
第一章导数及其应用1．1变化率与导数1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念双基达标(限时20分钟)1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx等于()．A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2解析ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝2(1＋Δx)2－2Δx＝4＋2Δx.答案 C2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是()．A．4 B．4.1 C．0.41 D．3解析v＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.答案 B3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为()．A．－4.8 m/s B．－0.88 m/sC．0.88 m/s D．4.8 m/s解析物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．答案 A4．已知函数y＝2＋1x，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________.解析 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－(2＋1)＝－12.答案 －125．已知函数y ＝2x ，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________.解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝21.5－22＝43－1＝13.答案 136．利用导数的定义，求函数y ＝1x 2＋2在点x ＝1处的导数．解 ∵Δy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(x ＋Δx )2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2＝－2xΔx －(Δx )2(x ＋Δx )2·x 2，∴Δy Δx ＝－2x －Δx(x ＋Δx )2·x 2，∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0－2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2＝－2x 3， ∴y ′|x ＝1＝－2.综合提高 (限时25分钟)7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )． A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44解析 Δy ＝(2＋0.1)2－22＝0.41.答案 B8．设函数f (x )可导，则 lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx 等于( )．A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C.13f ′(1) D ．f ′(3)解析 根据导数的定义： lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)，lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx＝13f ′(1)． 答案 C9．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________． 解析 v 初＝s ′|t ＝0＝ lim Δt →0s (0＋Δt )－s (0)Δt ＝ lim Δt →0(3－Δt )＝3. 答案 310．某物体作匀速运动，其运动方程是s ＝v t ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．解析 v 0＝ lim Δt →0 Δs Δt ＝ lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝ lim Δt →0v (t 0＋Δt )－v t 0Δt ＝ lim Δt →0v ·Δt Δt ＝v . 答案 相等11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出时所用的时间为t 0＝1.6×10－3s ，求子弹射出枪口时的瞬时速度．解 运动方程为s ＝12at 2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴ lim Δt →0Δs Δt ＝at 0.由题意知a ＝5×105，t 0＝1.6×10－3，故at 0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.12．(创新拓展)已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值．解 由导数的定义知，f′(x)＝limΔx→0(x＋Δx)2－x2Δx＝2x，g′(x)＝limΔx→0(x＋Δx)3－x3Δx＝3x2.∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2.即3x2－2x－2＝0，解得x＝1－73或x＝1＋73.。
人教版高中数学高二选修2-2课时作业1-1变化率与导数
课时作业1 变化率与导数一、选择题1．已知函数y ＝3x －x 2在x 0＝2处的增量为Δx ＝0.1，则Δy 的值为( )A ．－0.11B ．1.1C ．3.89D ．0.29 f (2＋0.1)－f (2)＝3×2.1－2.12－6＋4＝－0.11.故应选A.A2．如果某物体作运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )A ．－4.8 m/sB ．－0.88 m/sC ．0.88 m/sD ．4.8 m/s物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．故应选A.A3．设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx 等于( ) A ．f ′(1) B ．不存在C.13f ′(1) D ．以上都不对 lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx＝13limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝13f′(1)．故应选C.C4．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(x)＝3，则a等于() A．2 B．－2 C．3 D．－3∵f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx＝limΔx→0a(x＋Δx)＋3－(ax＋3)Δx＝a，∴f′(1)＝a＝3. 故应选C.C5．设函数f(x)＝1x，则limx→a f(x)－f(a)x－a等于()A．－1a B.2a C．－1a2 D.1a2lim x→a f(x)－f(a)x－a＝limx→a1x－1ax－a＝limx→a ⎝⎛⎭⎪⎫－1xa＝－1a2.故应选C.C6．函数y ＝－1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4C ．y ＝4x ＋4D ．y ＝2x －4∵y ′＝lim Δx →0 －1x ＋Δx ＋1x Δx ＝lim Δx →0Δx x (Δx ＋x )Δx ＝1x 2，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4.∴切线方程是y ＋2＝4⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. 故应选B.B7．曲线y ＝x 2在x ＝0处的( )A ．切线斜率为1B ．切线方程为y ＝2xC ．没有切线D ．切线方程为y ＝0∵f ′(0)＝lim Δx →0 f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2Δx ＝lim Δx →0Δx ＝0， ∴过点(0,0)的切线方程为：y －0＝0(x －0)，∴y ＝0.故应选D.D8．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为( ) A ．x －y －1＝0 B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0∵Q (2,1)在抛物线y ＝14x 2上， ∴Q 本身是切点，∴切线斜率k＝f′(2)＝limΔx→014(Δx＋2)2－14×22Δx＝limΔx→014Δx2＋ΔxΔx＝limΔx→0⎝⎛14Δx＋1)＝1.∴切线方程为y－1＝1×(x－2)．故应选A.A二、填空题9．y＝x3－2x＋1在x＝2处的导数是________．f(2＋Δx)＝(2＋Δx)3－2(2＋Δx)＋1＝23＋3·22·Δx＋3·2·Δx2＋Δx3－4－2Δx＋1.∴f(2＋Δx)－f(2)＝8＋12Δx＋6·Δx2＋Δx3－2·Δx－3－(8－4＋1)＝Δx3＋6Δx2＋10Δx.∴lim Δx→0f(2＋Δx)－f(2)Δx＝limΔx→0(Δx2＋6Δx＋10)＝10.1010．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于________．lim Δx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋4－(a ＋4)Δx ＝lim Δx →0a ＝2.∴a ＝2.211．已知P (1,2)为函数f (x )＝1＋x 3图象上一点，以P 点为切点的切线的斜率为________．由定义可知f ′(1)＝3，所以切线斜率为3.312．曲线y ＝x 3－4x 在点(1,3)处的切线倾斜角为________．由导数定义知，k ＝－1，tan α＝－1，α＝34π. 34π 三、解答题13．求函数y ＝4x 2在x ＝2处的导数． ∵Δy ＝4(Δx ＋2)2－422 ＝4(Δx ＋2)2－1＝－(Δx )2＋4Δx (Δx ＋2)2， ∴Δy Δx ＝－Δx ＋4(Δx ＋2)2， ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝－lim Δx →0Δx ＋4(Δx ＋2)2＝－1.14．求曲线y ＝x 2＋1过点P (1,2)的切线方程．(1,2)在曲线上，过点P (1,2)的切线的斜率为f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0(1＋Δx )2＋1－(12＋1)Δx ＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2.由直线方程的点斜式，得切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .15．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切．(1)求a 的值；(2)求切点的坐标．(1)设直线l 与曲线C 相切于P (x 0，y 0)点，∵f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝ lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x ，由题意可知，k ＝4，即3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2， ∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)． 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，即a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，即a ＝－5.∴所求的a 的值为：(1)a ＝12127，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927； (2)a ＝－5，切点为(2,3)．16．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？(1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，∴切点为P (1,1)．∵y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－x 3Δx ＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝lim Δx →0[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎨⎧ y ＝3(x －1)＋1，y ＝x 3，可得(x －1)(x 2＋x －2)＝0，解得x1＝1，x2＝－2.从而求得公共点为P(1,1)或P(－2，－8)．说明切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的点．。
高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.1知识点总结含同步练习及答案
导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数 的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数 为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由 开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到 ．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。
高中数学人教A版【精品习题】选修2-2(课时训练)：1.1 变化率与导数1.1.3 Word含答案
1．1.3 导数的几何意义[学习目标]1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系．2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．[知识链接]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？答设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝f x0＋Δx－f x0Δx.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无1限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0f x 0＋Δx －f x0Δx.[预习导引]1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．函数的导函数当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0 f x＋Δx－f xΔx.要点一过曲线上一点的切线方程例1 若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值．解∵y＝x3＋3ax.∴y′＝limΔx→0x＋Δx3＋3a x＋Δx－x3－3axΔx＝limΔx→03x2Δx＋3xΔx2＋Δx3＋3aΔxΔx＝limΔx→0[3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a.设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，1。
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．导数的几何意义
[学习目标]
．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系．
．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．
．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．
[知识链接]
如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？
答
设函数＝()的图象如图所示，是过点(，())与点(＋Δ，(＋Δ))的一条割线，此割线的斜率是＝.当点
沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的极限位置为直线，这条直线叫做此曲线在点处的切线．于是，当Δ→时，割线的斜率无限趋近于过点的切线的斜率，即＝′()＝.
[预习导引]
．导数的几何意义
函数＝()在点＝处的导数的几何意义是曲线＝()在点(，())处的切线的斜率．也就是说，曲线＝()在点(，())处的切线的斜率是′()．相应地，切线方程为－()＝′()(－)．
．函数的导函数
当＝时，′()是一个确定的数，则当变化时，′()是的一个函数，称′()是()的导函数(简称导数)．′()也记作′，即′()＝′＝.
要点一过曲线上一点的切线方程
例若曲线＝＋在某点处的切线方程为＝＋，求的值．
解∵＝＋.
∴′＝
＝
＝[＋Δ＋(Δ)＋]＝＋.
设曲线与直线相切的切点为(，)，
结合已知条件，得
解得
∴＝－.
规律方法一般地，设曲线是函数＝()的图象，(，)是曲线上的定点，由导数的几何意义知＝＝，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程．
跟踪演练求曲线＝在点处的切线方程．。