2向量加法运算2课
2.2.1～2.2.2 向量加法运算及其几何意义 向量减法运算及其几何意义 课件(人教A必修4)
已知非零向量 a、 在平面上任取一点 A， AB b， 作
向量 求和 的法 则
＝a， BC ＝b，则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，记 三角 作 a＋b ，即 a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC . 形法 这种求两个向量和的方法，称为 则 向量加法的 三角形 法则． 对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0＝ 0＋a ＝ a
(2)作
BF ＝ AC ，则四边形 ABFC 为平行四边形，
∴CF 綊 AB，又 DC∥AB，
∴D，C，F 三点共线，且| DF |＝2| AB |＝2， ∴a－b＋c＝ AB － AD ＋ BF ＝ DB ＋ BF ＝ DF ， 且|a－b＋c|＝| DF |＝2.
| | 10 1 CD ∴cos α＝ ＝ ＝ ，
| AD | 20 2
∴α＝60° ，从而船与水流方向成 120° 的角． 故船行进的方向是与水流的方向成 120° 的角的方向．
[悟一法] 求解应用题时应先根据已知条件建立数学模型，转 化为数学问题求解．本题实际是向量在物理上的一个简单 应用．先根据三个已知速度(即已知向量)之间的关系，判 断ABCD为平行四边形．因为要求方向，所以要转化为平
向 量 求 和 的 法 则
平 行 四 边 形 法 则
以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作▱OACB，则 以O为起
点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和．这种作两个向量 和的方法叫做两个向量加法的 平行四边形法则
《向量的加法》教案优秀2篇
《向量的加法》教案优秀2篇《向量的加法》教案篇一总课题平面向量总课时第18课时分课题向量的加法分课时第1 课时教学目标理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和，掌握加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量的运算。
重点难点向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
向量加法的交换律和结合律。
引入新课问题1、利用向量的表示，从景点到景点的位移为，从景点到景点的位移为，那么经过这两次位移后游艇的合位移是（如图）这里，向量，，三者之间有什么关系？1、向量加法的定义2、向量加法的三角形法则具体步骤：（1）把两个向量平移后，使两个向量的一个起点与另一个起点相连。
（2）将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量为两个向量的和。
简记为“首尾相连，首是首，尾是尾”3、向量加法的平行四边形法则4、对于零向量和任一向量有，对于相反向量有5、向量加法的运算律交换律结合律6、如果平面内有个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这个向量的和是什么？例题剖析例1、作出下列向量的和：例2、如图，为正六边形的中心，作出下列向量：(1) (2) (3)例3、在长江南岸某渡口处，江水以的速度向东流，渡船的速度为。
渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？巩固练习1、化简。
2、已知点是平行四边形对角线的交点，则下面结论中正确的是( )A、B、C、D、3、在△ 中，求证；4、一质点从点出发，先向北偏东方向运动了，到达点，再从点向正西方向运动了到达点，又从点向西南方向运动了到达点，试画出向量以及。
课堂小结1、向量加法的定义。
2、向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
3、向量加法的运算律。
课后训练班级：高一( )班姓名一、基础题1、已知正方形的边长为，则( )A、B、C、D、2、设点是△ 内一点，若，则必有( )A、点是△ 的垂心B、点是△ 的外心C、点是△ 的。
重心D、点是△ 的内心3、当时，; 时，平分之间的夹角。
【课件】向量的加法运算课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
E
C
B
c
b
D
a＋b
O
乙
法二：平行四边形法则
a
A
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，
以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.
再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝ ＋ ＝a＋b＋c即为所求．
多维探究
变式1 在本例(1)条件下，求＋.
1 2 ＋2 3 ＋3 4 ＋…＋−1
= 1
[例1]
(1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F
为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么
(在横线上只填一个向量)：
①＋＝________；
＋＝＋＝
②＋＝________；
(3)向量加法的运算律有哪两条？
(4)|a＋b|，|a|＋|b|，|a|－|b|三者之间的大小有何关系？
课前小测
1．下列各式不一定成立的是( D )
A．a＋b＝b＋a
B．0＋a＝a
C．＋＝
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
2. ＋ ＋等于(
A.
C)
B.
C.
D.
(1) ＋ ；
＋=
(2) ＋ ；
= = =
＋ =+ =
本课小结
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是
统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点
时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照
行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
2021新教材高中数学第6章6.2.1向量的加法运算课件新人教A版必修第二册
[归纳提升] 应用向量解决平面几何问题的基本步骤
【对点练习】❸ 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆 子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳 子的重量忽略不计).
[解析] 如图，设C→E、C→F分别表示 A，B 所受的力，10 N 的重力用C→G 表示，则C→E＋C→F＝C→G.
[归纳提升] 向量运算中化简的两种方法： (1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾 相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量. 有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量. (2)几何法：通过作图，根据三角BC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点， F 为线段 DE 延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接 CD，那么(在横线 上只填上一个向量)：
则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|；两次飞行的位移的和指的是A→B ＋B→C＝A→C.
依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600(km). 又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°. 所以|A→C|＝ |A→B|2＋|B→C|2＝ 8002＋8002＝800 2(km). 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东 35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 2 km，方向为北偏东 80°.
运算律
结合律 交换律
a＋b＝_b_＋__a___ (a＋b)＋c＝__a_＋__(_b_＋__c_) __
关键能力·攻重难
题型探究 题型一 向量的加法及几何意义
典例 1 (1)如图，已知a、b，求作a＋b.
(2)如图所示，已知向量a、b、c，试作出向量a＋b＋c. [分析] 用三角形法则或平行四边形法则画图.
向量加法运算及其几何意义课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
解：（1）如图，AD表示船速，AB表示江水速度，以AD，AB为邻边作平行四边形
ABCD, 则AC表示船实际航行的速度。
（2）在直角三角形ABC 中，AB 6，BC 15，于是
2
2
AC AB BC 62 152 261 16.2.
因为tan CAB BC 5 ，所以利用计算工具可得CAB 68. AB 2
2 所以小船的实际航行速度15 3 km/ h，方向与河岸垂直.
2
课堂总结
1．向量加法的三角形法则和平行四边形法则； 2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系； 3. 向量在生活中的应用。
课后作业
完成导学案后的课后作业
谢谢聆听
本课结束
课堂练习
2.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 在 CD 上，判断下列各式是否正确。
（1）DA DP PA（×） （2）DA AB BP D（ P√） （2）AB BC CP PA（×）
3.在四边形 ABCD 中，B→C＋C→D＋D→A＝( D )
→ A.BD
→ B. AC
例3.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。现有一艘船从长江南岸 A点出发，以15km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东6km/h (1)用向量表示江水速度、船速及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的 夹角表示，精确到1°）
人教版(B版2019课标)高中数学必修二6.1.2向量的加法 教案
向量的加法【教学目标】知识与技能：掌握向量加法的定义，理解向量加法的运算律，会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量。
过程与方法：让学生了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学和物理中的一些问题，培养类比、迁移、分类、归纳等能力。
发展运算能力和解决实际问题的能力。
情感、态度与价值观：理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学应用意识。
【内容分析】本课是平面向量线性运算的第一课，平面向量的线性运算中，加法运算是最基本、最重要的运算，其它几种运算都可以归结为加法运算。
因此本课时是线性运算一节中最重要的一课时。
这节课只让学生弄懂三角形法则和平行四边形法则原理，能用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量。
第二节课在回顾向量加法的平行四边形法则和三角形法则的基础上，再让学生理解两向量的模与它们和的模的关系及向量加法的运算律。
【学情分析】学生已经在物理中学过了和位移与力的合成，教学中应引导学生由和位移与力的合成作为模型，得出三角形法则和平行四边形法则，以使学生易于接受。
【教学设计】本节课采用问题探究的模式进行教学。
教师提出问题，引导学生进行思考、讨论，最后得出加法法则，然后进行尝试练习，再弄懂两个共线向量相加的特殊情况，最后加以巩固应用。
【教学过程】a ，b ，,AB a BC b ==，AC 叫做向量,a b 的和。
记作：a b +，即a b AB BC AC +=+=。
aa b +（2）平行四边形法则：在平面内过OA a =，OB b =，则以OA 为邻边构造平行四边形OACB ，则以起点的对角线向量OC 即a 与b 的和a启发下得出向量加法的三角形法则和平行四边b BbaCbBCa ，b ，分别用三角形法则和平行四边形法则求作向量a b +ab学生自己画图．几个问题：零向量0与任一向量＋a =a（2）首尾相连的多个向量相加，首尾相连的多个向量相加可以看成是三角形法则的推广 。
【课件】向量的加法运算 向量的减法运算课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算
教学目标
借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量
1
的加法、减法运算及其运算规律.
2 理解平面向量的加法、减法运算的几何意义.
（1）向量的加法：求两个向量和的运算， 叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a ，规定a+0 0 a a .
本节课学习了平面向量的加法、减 法运算.
解析：由题意和图形可知 BAC 90 ，因为| AB | 300 ，| BC | 300 2 ，
所以| AC | 300 ，因为 ABC 45 ，A 地在 B 地南偏东 30°的方向处. 所以 C 地在 B 地南偏东 75°的方向处. 故飞机从 B 地向 C 地飞行的方向为南偏东 75°.
9.化简下列各式： （1） ( AB MB) (OB MO) . （2） AB AD DC .
B a-b
b Oa A
例 1 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运 输.如图，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行， 航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h. （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度 间的夹角表示，精确到 1°）.
（2）向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b ，在平面内
任取一点 A ，作 AB a ， BC b ，则向量 AC 叫做a 与b 的和，
记作 a b ，即 a b AB BC AC .如图.
C
b a+b
Aa
B
（3）向量加法的平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b ， 作 AB a ， AD b ，以 AB ， AD 为邻边作 ABCD ，则对角线 上的向量 AC a b .如图.
第二章向量的加法【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟 求和向量的方法
(1)利用三角形法则.在平面内任取一点,以该点为始点,将其中一向量的
起点平移至该点,之后再将其他向量平移并首尾相接,从一个向量的始
点到另外一个向量的终点的向量就是这两个向量的和.
(2)利用平行四边形法则.在平面内任取一点,从此点出发分别作两个向量
如今,两岸直航包机启航.若台北到香港的位移用向量a表示,香港到
上海的位移用向量b表示,台北到上海的位移用向量c表示.
想一想,向量a、b、c有何关系?
激趣诱思
知识点拨
一、向量的加法及其运算法则
1.向量加法的概念
求两个向量和的运算,称为向量的加法.
2.向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线的向量 a,b,如图,在平面内任取一点 A,作有向线段
想一想,向量a、b、c有何关系?
以前台胞春节期间来大陆探亲,乘飞机先从台北到香港,再从香港到上海.
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.
变式训练2在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是(
)
实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
的结合律调整向量相加的顺序.
探究一
探究二
探究三
变式训练3下列等式错误的是(
A.a+0=0+a=a
B. + + =0
C. + =0
D. + = + +
答案B
探究四
)
当堂检测
探究一
探究二
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Ｅ ｇ Ａ
ｄ Ｃ ｂ
(3) a + b + d = f
(4) c + d + e = g
ａ
Ｂ
自测自评 1．下列等式正确的个数是( C ) ①a＋0＝a ②b＋a＝a＋b ＝0 ⑤a＋(－b)＝a－b A．2 B．3 ③－(－a)＝a ④a＋(－a) C．4 D．5
2．下列等式中一定能成立的是( D ) → → → → → → A.AB＋AC＝BC B.AB－AC＝BC → → → → → → C.AB＋AC＝CB D.AB－AC＝CB
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
向 量 加 法 的 定 义
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
a b
三 角 形 法 则: C
b
平行四边形法则: C B
b b
B
A
a
A
a O 起点相同，两边平行 同一起点，对角为和
尾首顺次相接 首指向尾为和
规定：
对于零向量与任一向量a, 我们规定 a00a a
等于( A )
→ A.AD → B.BD → C.BA → D.AC
→ |＝________. AD
长． 答案：5
→ |＝3，| → |＝4，则| → ＋ 6．在矩形ABCD中，若| AB AB BC
解析：实际上是求分别以3,4为邻边长的矩形的对角线
课堂小结：
a b ab a b
→ → → → 3．化简OP－QP＋PS＋SP的结果等于( B ) → → → → A.QP B.OQ C.SP D.SQ
4．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( A ) A．a与b方向相同 B．a＝b
C．a＝－b
D．a与b方向相反
→ → → 5．如图，在平行四边形ABCD中， BC＋DC＋BA
D
C
A
B
变式1.一艘船从A点出发以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为
4km/h，求水流的速度.
→ → 解析：如图，AB表示水流速度， AD
→ 表示船的实际速度． 表示渡船速度，AC
AB⊥AD，在Rt△ABC中，
AB＝
42－(2 3)2＝2.
所以水流速度为2 km/h. 点评：把速度问题转化为向量的加减问题，问题就显得 简单明了．
特例：共线向量
a a
b
A B C
b
B C A
AC a b
方向相同
AC a b
方向相反
二、向量加法的运算法则:
B
a
D
b
A
交换律: a b b a
ba ab a
(a b) c
D
c
b
C
a (b c) b c
A
a
ab
(2)求船实际航行的速度的大小和方向.
解： 如图，设 AB表示水流的
速度， 表示渡船的速度， AD AC表示渡船实际过 江的速度.(由平行四边形 5 法则可以得到) 由AB AD得Rt ABC , 2 2 2 得 AC 2 5 29 5 tan CAB , 查计算器可得CAB 68. 2 答：船实际航行速度的大小为 29km/h，方向为东偏北68.
向量加法的物理背景
三角形法则
向量的加法运算
平行四边形法则
向量加法的运算律
向量加法实际应用 交换律: a b b a 结合律: (a b) c a (b c)
作业
金太阳导学测评 （十五）
探究
若水流速度和船速的大小保持不变,最后要能 使渡船垂直过江,则船的航向应该如何?在白纸 上作图探究.
D C
5
A
2
B
课堂练习
1.根据图示填空
Ｄ
ｄ ａ Ａ ｅ ｆ ｃ Ｄ
Ｃ Ｏ
ｂ Ｂ
(1)a d DA (2)c b CB
2.根据图示填空：
(1) a + b C
B
b
结合律: (a b) c a (b c)
这两个运算律可以推广到任意多个向量.
2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输. 一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的 方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；