2018年10月人教版九年级数学上册第一次月考模拟试卷(含答案)
辽宁省朝阳市喀左二中九年级数学上学期第一次月考试卷(含解析) 新人教版-新人教版初中九年级全册数学试
2016-2017学年某某市某某市喀左二中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填符合要求的选项字母代号.）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．3（x+1）2=2（x+1）B．C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣12．一元二次方程x2+3x=0的解是（）A．x=﹣3 B．x1=0，x2=3 C．x1=0，x2=﹣3 D．x=33．下列一元二次方程中，没有实数根的方程是（）A．x2﹣3x+1=0 B．x2+2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1=0 D．x2+2x+3=04．解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（）A．开平方法 B．配方法C．公式法D．因式分解法5．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值X围是（）A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠16．函数y=﹣2（x﹣3）2+6的顶点坐标是（）A．（﹣3，6）B．（3，﹣6）C．（3，6） D．（6，3）7．若函数y=a是二次函数且图象开口向上，则a=（）A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或38．下列说法错误的是（）A．二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大B．二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0C．a越大图象开口越小，a越小图象开口越大D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点9．若A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（﹣3，y3）为二次函数y=ax2（a＜0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y210．如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（）A．y=（x+1）2﹣1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x﹣1）2+1 D．y=（x﹣1）2﹣1二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、错填，一律得0分）11．把函数y=2x2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式是．12．方程（2x+5）2=0的解是．13．若二次函数y=mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为．14．在一次同学聚会上，见面时两两握手一次，共握手28次，设共有x名同学参加聚会，则所列方程为，x=．15．二次函数y=ax2（a＞0）对称轴是．16．函数y=（x﹣1）2+3的最小值为．17．关于x的方程（m﹣）﹣x+3=0是一元二次方程，则m=．18．以（2，3）为顶点且开口向下的二次函数的解析式为（写出一个即可）．19．对于二次函数y=ax2（a≠0），当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为．20．在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x﹣3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为．三、解答题（共60分）21．用适当的方法解下列一元二次方程（1）（3x+2）2=25（2）4x2﹣12x+9=0（3）（2x+1）2=3（2x+1）（4）2x2﹣3x+2=0．22．阅读题：通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时有两个实数根：x1=，x2=，于是：x1+x2=﹣，x1x2=这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论解决下列问题：关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1、x2，且x12+x22=1，求：k的值是多少？23．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2013年盈利1500万元，到2015年盈利2160万元，且从2013年到2015年，每年盈利的年增长率相同．（1）求该公司2014年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2016年盈利多少万元？24．阅读下面的例题，X例：解方程x2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1=0．25．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）．（1）求该二次函数的表达式；（2）用配方法求该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点C（m，m）与点D均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值；（4）在（3）的条件下，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PC+PB的值最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年某某市某某市喀左二中九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填符合要求的选项字母代号.）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．3（x+1）2=2（x+1）B．C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1【考点】一元二次方程的定义．【分析】一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．（4）二次项系数不为0．【解答】解：A、3（x+1）2=2（x+1）化简得3x2+4x﹣4=0，是一元二次方程，故正确；B、方程不是整式方程，故错误；C、若a=0，则就不是一元二次方程，故错误；D、是一元一次方程，故错误．故选：A．【点评】判断一个方程是否是一元二次方程：首先要看是否是整式方程；然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．这是一个需要识记的内容．2．一元二次方程x2+3x=0的解是（）A．x=﹣3 B．x1=0，x2=3 C．x1=0，x2=﹣3 D．x=3【考点】解一元二次方程-因式分解法；因式分解-十字相乘法等；解一元一次方程．【专题】计算题．【分析】分解因式得到x（x+3）=0，转化成方程x=0，x+3=0，求出方程的解即可．【解答】解：x2+3x=0，x（x+3）=0，x=0，x+3=0，x1=0，x2=﹣3，故选：C．【点评】本题主要考查对解一元二次方程，解一元一次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．3．下列一元二次方程中，没有实数根的方程是（）A．x2﹣3x+1=0 B．x2+2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1=0 D．x2+2x+3=0【考点】根的判别式．【分析】根据根的判别式△=b2﹣4ac，逐一分析四个选项中方程根的判别式的符号，由此即可得出结论．【解答】解：A、△=b2﹣4ac=9﹣4=5＞0，∴方程x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根；B、△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，∴方程x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根；C、△=b2﹣4ac=4﹣4=0，∴方程x2﹣2x+1=0有两个相等的实数根；D、△=b2﹣4ac=4﹣12=﹣8＜0，∴方程x2+2x+3=0没有实数根．故选D．【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握当△=b2﹣4ac＜0时方程没有实数根是解题的关键．4．解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（）A．开平方法 B．配方法C．公式法D．因式分解法【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】移项后提公因式，即可得出选项．【解答】解：（5x﹣1）2=3（5x﹣1）（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）=0，（5x﹣1）（5x﹣1﹣3）=0，即用了因式分解法，故选D．【点评】本题考查了对解一元二次方程的解法的应用．5．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值X围是（）A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的X围．【解答】解：根据题意得：△=b2﹣4ac=4﹣4（k﹣1）=8﹣4k＞0，且k﹣1≠0，解得：k＜2，且k≠1．故选：D．【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．6．函数y=﹣2（x﹣3）2+6的顶点坐标是（）A．（﹣3，6）B．（3，﹣6）C．（3，6） D．（6，3）【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质直接求解．【解答】解：二次函数y=﹣2（x﹣3）2+6的顶点坐标是（3，6）．故选C．【点评】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．7．若函数y=a是二次函数且图象开口向上，则a=（）A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或3【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义得到a2﹣2a﹣6=2，由抛物线的开口方向得到a＞0，由此可以求得a 的值．【解答】解：∵函数y=a是二次函数且图象开口向上，∴a2﹣2a﹣6=2，且a＞0，解得 a=4．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义．二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．8．下列说法错误的是（）A．二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大B．二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0C．a越大图象开口越小，a越小图象开口越大D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点【考点】二次函数的性质．【分析】抛物线y=ax2（a≠0）是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下；开口大小与|a|有关．【解答】解：A、二次函数y=3x2图象开口向上，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大，正确；B、二次函数y=﹣6x2中开口向下，顶点（0，0），故当x=0时，y有最大值0，正确；C、|a|越大，图象开口越小，|a|越小图象开口越大，错误；D、抛物线y=ax2的顶点就是坐标原点，正确．故选C．【点评】此题考查了二次函数的性质：增减性（单调性），最值，开口大小以及顶点坐标．9．若A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（﹣3，y3）为二次函数y=ax2（a＜0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】由a＜0可得出：当x＜0时，y随x的增大而增大．再结合﹣3＜﹣2＜﹣1即可得出结论．【解答】解：∵二次函数y=ax2中a＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，∵﹣3＜﹣2＜﹣1，∴y3＜y1＜y2．故选C．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质找出函数的单调区间是解题的关键．10．如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（）A．y=（x+1）2﹣1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x﹣1）2+1 D．y=（x﹣1）2﹣1【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】首先根据A点所在位置设出A点坐标为（m，m）再根据AO=，利用勾股定理求出m的值，然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式．【解答】解：∵A在直线y=x上，∴设A（m，m），∵OA=，∴m2+m2=（）2，解得：m=±1（m=﹣1舍去），m=1，∴A（1，1），∴抛物线解析式为：y=（x﹣1）2+1，故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出A点坐标，掌握抛物线平移的性质：左加右减，上加下减．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、错填，一律得0分）11．把函数y=2x2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式是y=2（x﹣3）2﹣2 ．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．【解答】解：y=2x2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得y=2（x﹣3）2﹣2．故填得到的二次函数解析式是y=2（x﹣3）2﹣2．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．12．方程（2x+5）2=0的解是x1=x2=﹣．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】直接开平方解方程得出答案．【解答】解：∵（2x+5）2=0，∴2x+5=0，解得：x1=x2=﹣．故答案为：x1=x2=﹣．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．13．若二次函数y=mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为 2 ．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的定义．【分析】本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m﹣2）=0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0．【解答】解：根据题意得：m（m﹣2）=0，∴m=0或m=2，∵二次函数的二次项系数不为零，即m≠0，∴m=2．故答案是：2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的定义．此题属于易错题，学生们往往忽略二次项系数不为零的条件．14．在一次同学聚会上，见面时两两握手一次，共握手28次，设共有x名同学参加聚会，则所列方程为x（x﹣1）=28×2 ，x= 8 ．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】应用题．【分析】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，所以等量关系为：学生数×（学生数﹣1）=总握手次数×2，把相关数值代入即可求解．【解答】解：参加此会的学生为x名，每个学生都要握手（x﹣1）次，∴可列方程为x（x﹣1）=28×2，解得x1=8，x2=﹣7（不合题意，舍去）．∴x=8．故答案为：x（x﹣1）=28×2；8．【点评】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键．15．二次函数y=ax2（a＞0）对称轴是y轴．【考点】二次函数的性质．【分析】由二次函数解析式可直接确定其对称轴．【解答】解：∵y=ax2，∴二次函数是以y轴为对称轴的抛物线，故答案为：y轴．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴是解题的关键，注意不同形式的表达式所对应的对称轴．16．函数y=（x﹣1）2+3的最小值为 3 ．【考点】二次函数的最值．【专题】常规题型．【分析】根据顶点式得到它的顶点坐标是（1，3），再根据其a＞0，即抛物线的开口向上，则它的最小值是3．【解答】解：根据非负数的性质，（x﹣1）2≥0，于是当x=1时，函数y=（x﹣1）2+3的最小值y等于3．故答案为：3．【点评】本题考查了二次函数的最值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．17．关于x的方程（m﹣）﹣x+3=0是一元二次方程，则m=．【考点】一元二次方程的定义．【分析】由一元二次方程的定义回答即可．【解答】解：∵方程（m﹣）﹣x+3=0是一元二次方程，∴m2﹣1=1且m﹣≠0．解得m=．故答案为：．【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．18．以（2，3）为顶点且开口向下的二次函数的解析式为y=﹣（x﹣2）2+3 （写出一个即可）．【考点】二次函数的性质．【专题】开放型．【分析】根据题意抛物线的顶点坐标是（2，3），故设出抛物线的顶点式方程y=a（x﹣2）2+3，再有开口向下可知a＜0，故可取a=﹣1，即得结果．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（2，3）∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，又∵抛物线的开口向下，∴a＜0，故可取a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+3．故答案为：y=﹣（x﹣2）2+3．【点评】此题考查了二次函数的解析式的求法，关键是要由顶点坐标正确设出抛物线的解析式．理解开口向下的含义．19．对于二次函数y=ax2（a≠0），当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为0 ．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】判断出二次函数图象对称轴为y轴，再根据二次函数的性质判断出x1，x2关于y轴对称，然后解答即可．【解答】解：二次函数y=ax2的对称轴为y轴，∵x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，∴x1，x2关于y轴对称，∴x1+x2=0，∴当x取x1+x2时，函数值为0．故答案为：0．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟记性质并判断出x1，x2关于y轴对称是解题的关键．20．在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x﹣3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为18 ．【考点】二次函数的性质；等边三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据抛物线解析式求出对称轴为x=3，再根据抛物线的对称性求出AB的长度，然后根据等边三角形三条边都相等列式求解即可．【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣3）2+k的对称轴为x=3，且AB∥x轴，∴AB=2×3=6，∴等边△ABC的周长=3×6=18．故答案为：18．【点评】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的周长计算，熟练掌握抛物线的对称轴与两个对称点之间的关系是解题的关键．三、解答题（共60分）21．用适当的方法解下列一元二次方程（1）（3x+2）2=25（2）4x2﹣12x+9=0（3）（2x+1）2=3（2x+1）（4）2x2﹣3x+2=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】（1）利用直接开方法求出x的值即可；（2）把方程左边化为完全平方公式的形式，求出x的值即可；（3）把方程左边化两个因式积的形式，求出x的值即可；（4）求出△的值即可得出结论．【解答】解：（1）方程两边直接开方得，3x+2=±5，故x1=1，x2=﹣；（2）原方程可化为（2x﹣3）2=0，故2x﹣3=0，解得x=；（3）原方程可化为（2x+1）（2x﹣2）=0，故2x+1=0或2x﹣2=0，解得x1=﹣，x2=1；（4）∵△=9﹣16=﹣7＜0，∴此方程无解．【点评】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，在解答此类题目时要注意完全平方公式的灵活应用．22．（10分）（2016秋•喀左县校级月考）阅读题：通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时有两个实数根：x1=，x2=，于是：x1+x2=﹣，x1x2=这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论解决下列问题：关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1、x2，且x12+x22=1，求：k的值是多少？【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】根据韦达定理可得x1+x2=﹣k，x1x2=1，将其代入到x12+x22=1，即（x1+x2）2﹣2x1x2=1，解关于k的方程可得k的值，再代回方程检验可得．【解答】解：∵方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=﹣k，x1x2=k+1，∵x12+x22=1，即（x1+x2）2﹣2x1x2=1，∴k2﹣2（k+1）=1，解得：k=﹣1或k=3，当k=﹣1时，方程为x2﹣x=0，解得：x=0或x=1；当k=3时，方程为x2+3x+4=0，方程无解，∴k=﹣1．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．23．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2013年盈利1500万元，到2015年盈利2160万元，且从2013年到2015年，每年盈利的年增长率相同．（1）求该公司2014年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2016年盈利多少万元？【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】（1）需先算出从2013年到2015年，每年盈利的年增长率，然后根据2013年的盈利，算出2014年的利润；（2）相等关系是：2016年盈利=2015年盈利×（1+每年盈利的年增长率）．【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意得1500（1+x）2=2160，解得x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去），则1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800．答：该公司2014年盈利1800万元．（2）2160×（1+0.2）=2592（万元）．答：预计2016年盈利2592万元．【点评】本题的关键是需求出从2013年到2015年，每年盈利的年增长率．等量关系为：2013年盈利×（1+年增长率）2=2015．24．阅读下面的例题，X例：解方程x2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】阅读型．【分析】分为两种情况：（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x=0，（2）当x＜1时，原方程化为x2+x ﹣2=0，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣|x﹣1|﹣1=0，（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x=0，解得：x1=1，x2=0（不合题意，舍去）．（2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．故原方程的根是x1=1，x2=﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．25．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）．（1）求该二次函数的表达式；（2）用配方法求该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点C（m，m）与点D均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值；（4）在（3）的条件下，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PC+PB的值最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由条件可知点A和点B的坐标，代入解析式可得到关于a和c的二元一次方程组，解得a和c，可写出二次函数解析式；（2）利用对称轴为x=﹣，顶点坐标为（﹣，）计算出其顶点坐标即可；（3）把点的坐标代入可求得m的值．（4）存在．如图，由（2）可知C（6，6），作点B关于对称轴的对称点B′（1，﹣9），连接CB′与对称轴的交点即为所求的点P．求出直线CB′的解析式即可解决问题．【解答】解：（1）将A（﹣1，﹣1），B（3，﹣9）代入，得，∴a=1，c=﹣6，∴y=x2﹣4x﹣6；（2）∵﹣=﹣=2，==﹣10，∴对称轴：直线x=2，顶点坐标：（2，﹣10）；（3）∵点P（m，m）在函数图象上，∴m2﹣4m﹣6=m，∴m=6或﹣1．∵m＞0，∴m=6．（3）存在．如图，由（2）可知C（6，6），作点B关于对称轴的对称点B′（1，﹣9），连接CB′与对称轴的交点即为所求的点P．设直线CB′的解析式为y=kx+b，把A、B代入得到，解得，∴直线CB′的解析式为y=3x﹣12，∴P（2，﹣6）．∴当点P坐标为（2，﹣6）时，PB+PC最小．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数、待定系数法、最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决最值问题，属于中考压轴题．。
人教版数学九年级上册《圆》单元测试卷(含答案)
人教版数学九年级上学期《圆》单元测试【考试时间：90分钟满分：120分】一．选择题（共12小题）1．（2020春•南岸区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，C和D是⊙O上两点，连接AC、BC、BD、CD，若∠CDB＝36°，则∠ABC＝（）A．36°B．44°C．54°D．72°2．（2020•清江浦区）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠AOB＝58°，则∠BCA的度数是（）A．58°B．42°C．32°D．29°3．（2020•斗门区）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则BE的长为（）A．2B．4C．6D．8 4．（2020•桂林）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°5．（2020•通辽）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝（）A．108°B．72°C．54°D．36°6．（2020•三明）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若AD＝8，∠B＝30°，则AC的长度为（）A．3B．4C．4√2D．4√3 7．（2020•南充模拟）如图，A、B、C是⊙O上顺次3点，若AC、AB、BC分别是⊙O内接正三角形、正方形、正n边形的一边，则n＝（）A ．9B ．10C ．12D ．158．若正六边形的边长为8cm ，则它的边心距为（ ）A ．8cmB ．6cmC ．4√3cmD ．2√3cm9．（2020•天台县）如图，圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是（ ）A ．36πB ．60πC ．96πD ．100π10．（2020•包头）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，点C ，D 在直径AB 的两侧．若∠AOC ：∠AOD ：∠DOB ＝2：7：11，CD ＝4，则CD̂的长为（ ）A ．2πB ．4πC ．√2π2D ．√2π11．一个扇形的圆心角是120°，它的面积是3πcm 2，用这个扇形作为一个圆锥侧面，则该圆锥的底面半径是（ ）A ．3cmB ．2cmC ．1cmD ．4cm12．如图，在正方形纸板上剪下一个扇形和圆，围成一个圆锥模型，设围成的圆锥底面半径为r，母线长为R，正方形的边长为a，则用r表示a为（）A．a=2+√22r B．a=5+2√22r C．a=2+5√22r D．a＝（1+5√22r）二．填空题（共7小题）13．（2020•铁岭）如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥OB于点E，交⊙O于点D，已知OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝cm．14．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是AB̂的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为m．15．如图，AB为⊙O的直径，△P AB的边P A，PB与⊙O的交点分别为C、D．若AĈ=CD̂=DB̂，则∠P的大小为度．16．（2020•遵义）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则DE的长是．17．（2020•碑林区校级四模）如图，若正六边形ABCDEF边长为1，连接对角线AC，AD．则△ACD的周长为．18．（2020春•南岸区校级月考）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，分别以B、C为圆心，以AB的长为半径作弧，则阴影部分的面积为．19．（2020•娄底）如图，四边形ABDC中，AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，则将它以AD为轴旋转180°后所得分别以AB、BD为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为．三．解析题（共6小题）20．（2020•鼓楼区校级模拟）如图①，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，AD与BC交于点F，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：BC＝2DE；（2）如图②，连接OF，若∠AFO＝45°，半径为2时，求AC的长．21．（2020•南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF．22．（2020•鼓楼区校级模拟）如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O切线，BC交⊙O与点E．（1）若点D在AC上，连接DE，且AD＝DE，求证：DE是⊙O的切线；（2）若CE＝1．BE＝3，求∠ACB的度数．23．（2020•江岸区校级模拟）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．24．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．（1）求∠F AB的度数；（2）求证：OG＝OH．25．（2020•承德）如图，点A在数轴上对应的数为20，以原点O为圆心，OA为半径作优̂，使点B在点O右下方，且∠AOB＝30°，在优弧AB̂上任取一点P，过点P作直弧AB线OB的垂线，交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．̂上一段AP̂的长为10π，求∠AOP的度数及x的值；（1）若优弧AB̂所在圆的位置关系．（2）求x的最小值，并指出此时直线PQ与AB答案与解析一．选择题（共12小题）1．（2020春•南岸区）如图，AB是⊙O的直径，C和D是⊙O上两点，连接AC、BC、BD、CD，若∠CDB＝36°，则∠ABC＝（）A．36°B．44°C．54°D．72°【答案】C【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠D＝36°，∴∠ABC＝90°﹣36°＝54°，故选：C．【小贴士】圆周角定理，直角三角形的性质等知识，属于中考常考题型．【考点】圆周角定理．2．（2020•清江浦区）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠AOB＝58°，则∠BCA的度数是（）A．58°B．42°C．32°D．29°【答案】D【解析】如图，∵A、B、C是⊙O上的三个点，∠AOB＝58°，∴∠BCA=12∠AOB＝29°，故选：D．【小贴士】圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，基础题．【考点】圆周角定理．3．（2020•斗门区）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则BE的长为（）A．2B．4C．6D．8【考点】勾股定理；垂径定理．【答案】B【分析】根据CE＝2，DE＝8，得出直径CD＝10，从而得出半径为5，在直角三角形OBE 中，由勾股定理得BE．【解析】∵CE＝2，DE＝8，∴CD＝10，∴OB＝5，∴OE＝3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，BE=√OB2−OE2=√52−32=4，故选：B．【小贴士】勾股定理以及垂径定理，是基础.4．（2020•桂林）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°【考点】切线的性质．【答案】B【解析】∵AC与⊙O相切于点A，∴AC⊥OA，∴∠OAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA．∵∠O＝130°，∴∠OAB=180°−∠O2=25°，∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．故选：B．【小贴士】切线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．（2020•通辽）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝（）A．108°B．72°C．54°D．36°【考点】圆周角定理和切线的性质．【答案】C【解析】连接OA、OB，∵P A，PB分别为⊙O的切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠P AO＝90°，∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠P AO﹣∠PBO﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°，由圆周角定理得，∠C=12∠AOB＝54°，故选：C．【小贴士】的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．6．（2020•三明）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若AD＝8，∠B＝30°，则AC的长度为（）A．3B．4C．4√2D．4√3【考点】三角形的外接圆与外心．【答案】B【解析】连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，又∵∠B＝∠D＝30°，∴AC=12AD＝4，故选：B．7．（2020•南充模拟）如图，A、B、C是⊙O上顺次3点，若AC、AB、BC分别是⊙O内接正三角形、正方形、正n边形的一边，则n＝（）A．9B．10C．12D．15【考点】正多边形和圆．【答案】C【解析】如图，连接OA，OC，OB．∵若AC、AB分别是⊙O内接正三角形、正方形的一边，∴∠AOC＝120°，∠AOB＝90°，∴∠BCO＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，由题意30°=360°n，∴n＝12，8．若正六边形的边长为8cm，则它的边心距为（）A．8cm B．6cm C．4√3cm D．2√3cm 【考点】正多边形和圆．【答案】C【解析】如图所示，连接OA，OB，过O作OD⊥AB于D，则OA＝OB，OD⊥AB，AD＝BD=12AB=12×8＝4cm，∵此六边形是正六边形，∴∠AOB=360°6=60°，∴∠AOD=12∠AOB=12×60°＝30°，∴OD＝AD•cot∠AOD＝4×√3=4√3cm．故选：C．9．（2020•天台县）如图，圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是（）A．36πB．60πC．96πD．100π【考点】圆锥的计算．【答案】B【解析】底面周长是：2×6π＝12π，则圆锥的侧面积是：12×12π×10＝60π．故选：B ．10．（2020•包头）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，点C ，D 在直径AB 的两侧．若∠AOC ：∠AOD ：∠DOB ＝2：7：11，CD ＝4，则CD̂的长为（ ）A ．2πB ．4πC ．√2π2D ．√2π【考点】弧长的计算．【答案】D【解析】∵∠AOC ：∠AOD ：∠DOB ＝2：7：11，∠AOD +∠DOB ＝180°，∴∠AOD =77+11×180°＝70°，∠DOB ＝110°，∠COA ＝20°，∴∠COD ＝∠COA +∠AOD ＝90°，∵OD ＝OC ，CD ＝4，∴2OD 2＝42，∴OD ＝2√2，∴CD ̂的长是nπr 180=90π×2√2180=√2π，故选：D ．【小贴士】解直角三角形和弧长公式，能求出半径OD 的长是解此题的关键，注意：圆心角是n °，半径是r 的弧的长度是nπr 180．11．一个扇形的圆心角是120°，它的面积是3πcm 2，用这个扇形作为一个圆锥侧面，则该圆锥的底面半径是（ ）A ．3cmB ．2cmC ．1cmD ．4cm【考点】圆锥的计算．【答案】C【分析】利用扇形的面积公式可得圆锥的母线长，进而可求得圆锥的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．【解析】设圆锥的母线长为R ，120π×R 2360=3π，解得R ＝3cm ， ∴圆锥的侧面展开图的弧长=120π×3180=2πcm ， ∴圆锥的底面半径＝2π÷2π＝1cm ，故选：C ．【小贴士】用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的面积=nπR 2360；圆锥的侧面展开图的弧长=nπR 180；圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长．12．如图，在正方形纸板上剪下一个扇形和圆，围成一个圆锥模型，设围成的圆锥底面半径为r ，母线长为R ，正方形的边长为a ，则用r 表示a 为（ ）A．a=2+√22r B．a=5+2√22r C．a=2+5√22r D．a＝（1+5√22r）【考点】弧长的计算．【答案】C【分析】利用底面周长＝展开图的弧长求出半径比，再根据过小圆的圆心作垂线，垂直于正方形的边，就构成等腰直角三角形，从图中关系可知，直角三角形的斜边是r+R，直角边a﹣r，根据勾股定理计算．【解析】利用底面周长＝展开图的弧长可得；2πr=90πR180，得出R＝4r，利用勾股定理解得a=2+5√22r．故选：C．【小贴士】的关键是利用底面周长＝展开图的弧长求得r与R的关系，然后由勾股定理求得a与r之间的关系．二．填空题（共7小题）13．（2020•铁岭）如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥OB于点E，交⊙O于点D，已知OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝8cm．【考点】勾股定理和垂径定理．【答案】8【解析】∵CD⊥OB，∴CE＝DE=12CD＝4，在Rt△OCE中，OE=√52−42=3，∴AE＝AO+OE＝5+3＝8（cm）．14．（2019秋•昌平区期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是AB̂的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为25 m．【考点】垂径定理的应用．【答案】25【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．【解析】∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝20m，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，解得：r＝25m，∴这段弯路的半径为25m．15．（2019•长春）如图，AB为⊙O的直径，△P AB的边P A，PB与⊙O的交点分别为C、D．若AĈ=CD̂=DB̂，则∠P的大小为60度．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【答案】60【解析】连接OC、OD，̂=CD̂=DB̂，∵AC∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∵OA＝OC，OB＝OD，∴△AOC和△BOD都是等边三角形，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠P＝60°，故答案为：60．【小贴士】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．16．（2020•遵义）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则DE的长是√41−52．【考点】垂径定理和三角形的外接圆与外心．【解析】连结OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BD＝4，CD＝1，∴BC＝4+1＝5，∴OB＝OC=5√2 2，∴OA=5√22，OF＝BF=52，∴DF＝BD﹣BF=3 2，∴OG=32，GD=52，在Rt△AGO中，AG=√OA2−OG2=√412，∴GE=√41 2，∴DE＝GE﹣GD=√41−52．17．（2020•碑林区校级四模）如图，若正六边形ABCDEF边长为1，连接对角线AC，AD．则△ACD的周长为3+√3．【考点】正多边形和圆．【答案】3+√3．【分析】根据正六边形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．【解析】∵正六边形ABCDEF中，AB＝BC＝CD＝1，∠B＝∠BCD＝120°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝90°，∵∠CDA＝∠EDA＝60°，∴∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝2，AC=√3CD=√3，∴△ACD的周长＝AD+AC+CD＝3+√3，18．（2020春•南岸区校级月考）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，分别以B、C为圆心，以AB的长为半径作弧，则阴影部分的面积为2√3−23π．【考点】扇形面积的计算．【答案】2√3−23π．【分析】连接BE 、CE ，得出等边三角形EBC ，求出∠DCE ＝30°，∠EBC ＝60°，分别求出扇形EBC 、扇形DCE 和△EBC 的面积，再求出答案即可．【解析】∵在正方形ABCD 中，AB ＝2，分别以B 、C 为圆心，以AB 的长为半径作弧， ∴∠DCB ＝90°，BC ＝AB ＝2，弧对应的半径是2，如图，连接BE 、CE ，∵BC ＝CE ＝BE ＝2，∴△BEC 是等边三角形，∴∠EBC ＝∠ECB ＝60°，∴∠DCE ＝30°，S 弓形＝S 扇形EBC ﹣S △EBC =60π×22360−12×2×√3=23π−√3， ∴阴影部分的面积S ＝2（S 扇形DCE ﹣S 弓形）＝2×[30π×22360−（23π−√3）]＝2√3−23π．19．（2020•娄底）如图，四边形ABDC 中，AB ＝AC ＝3，BD ＝CD ＝2，则将它以AD 为轴旋转180°后所得分别以AB 、BD 为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为 3：2 ．【考点】圆锥的计算．【答案】3：2，【分析】根据两个圆锥的底面圆相同，设底面圆的周长为l ，根据圆锥的侧面积公式可得上面圆锥的侧面积为：12l •AB ，下面圆锥的侧面积为：12l •BD ，即可得出答案． 【解析】∵两个圆锥的底面圆相同，∴可设底面圆的周长为l ，∴上面圆锥的侧面积为：12l •AB ，下面圆锥的侧面积为：12l •BD ，∵AB ＝AC ＝3，BD ＝CD ＝2，∴S 上：S 下＝3：2，三．解析题（共6小题）20．（2020•鼓楼区校级模拟）如图①，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AD 平分∠CAB ，AD 与BC 交于点F ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ．（1）求证：BC＝2DE；（2）如图②，连接OF，若∠AFO＝45°，半径为2时，求AC的长．【考点】圆周角定理．【分析】（1）如图①中，延长DE交⊙O于G，连接AG．想办法证明DE＝EG，BC＝DG即可．（2）如图②中，作FR⊥AB于R，OS⊥AD于S．首先证明BF＝BO，利用相似三角形的性质证明AC＝2FR＝2CF，由tan∠F AR＝tan∠F AC=12，设SO＝t，AS＝2t，SF＝SO＝t，利用勾股定理求出t即可解决问题．【解析】（1）证明：如图①中，延长DE交⊙O于G，连接AG．∵AB⊥DG，AB是直径，∴BD̂=BĜ，DE＝EG，∵AD平分∠CAB，∴CD̂=BD̂，∴BĈ=DĜ，∴BC＝DG＝2DE．（2）如图②中，作FR⊥AB于R，OS⊥AD于S．∵AD平分∠CAB，FC⊥AC，FR⊥AB，∴∠CAD＝∠BAD＝x，FC＝FR，∴∠FBO＝90°﹣2x，∵∠AFO＝45°，∴∠FOB＝45°+x，∴∠OFB＝180°﹣（90°﹣2x）﹣（45°+x）＝45°+x，∴∠FOB＝∠OFB∴BF＝BO＝OA，∵∠FRB＝∠ACB＝90°，∠FBR＝∠ABC，∴△BFR∽△BAC，∴FBAB =FRAC=12，∴tan∠F AR＝tan∠F AC=1 2，设SO＝t，AS＝2t，SF＝SO＝t，则t2+4t2＝4，∵t＞0，∴t=2√5 5，∴AF＝3t=6√55，设CF＝m，则AC＝2m，则有5m2=36 5，∵m＞0，∴m=6 5，∴AC＝2m=12 5．【小贴士】解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．21．（2020•南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF．【考点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理．【解析】证明：（1）∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B，∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF，∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形；（2）连接AE，∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B，∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，∴∠ECF+∠EAF＝180°，∵BD∥CF，∴∠ECF+∠B＝180°，∴∠EAF＝∠B，∴AF＝EF．22．（2020•鼓楼区校级模拟）如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O切线，BC交⊙O与点E．（1）若点D在AC上，连接DE，且AD＝DE，求证：DE是⊙O的切线；（2）若CE＝1．BE＝3，求∠ACB的度数．【考点】圆周角定理和切线的判定与性质．【解析】（1）连接OE，AE，∵AE＝DE，OA＝OE，∴∠DAE＝∠DEA，∠OAE＝∠OEA，∵AC是⊙O的切线，∴∠BAC＝90°，∴∠DAE+∠OAE＝∠DEA+∠OEA＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠C+∠CAE＝∠CAE+∠BAE＝90°，∴∠C＝∠BAE，∴AE2＝CE•BE，∴AE2＝1×3，∴AE=√3，在Rt△ACE中，∴tan∠ACE=AECE=√3，∴∠ACE＝60°．23．（2020•江岸区校级模拟）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．【解析】（1）证明：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是BĈ对的圆周角，∠ABC与∠APC是AĈ所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，∴OD＝1，∴等边△ABC的边心距为1．24．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．（1）求∠F AB的度数；（2）求证：OG＝OH．【考点】正多边形和圆．【解析】（1）∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠F AB =(6−2)×1806=120°； （2）证明：连接OA 、OB ，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∵∠F AB ＝∠CBA ，∴∠OAG ＝∠OBH ，在△AOG 和△BOH 中，{AG =BH ∠OAG =∠OBH OA =OB，∴△AOG ≌△BOH （SAS ）∴OG ＝OH ．25．（2020•承德）如图，点A 在数轴上对应的数为20，以原点O 为圆心，OA 为半径作优弧AB̂，使点B 在点O 右下方，且∠AOB ＝30°，在优弧AB ̂上任取一点P ，过点P 作直线OB 的垂线，交数轴于点Q ，设Q 在数轴上对应的数为x ，连接OP ．（1）若优弧AB̂上一段AP ̂的长为10π，求∠AOP 的度数及x 的值； （2）求x 的最小值，并指出此时直线PQ 与AB̂所在圆的位置关系．【考点】实数与数轴和圆周角定理和弧长的计算．【解析】（1）如图1，由n⋅π×20180=10π，解得n＝90°，∴∠POQ＝90°，∴∠AOP＝180°﹣∠POQ＝90°，∵PQ⊥OB，∴∠PQO＝60°，∴tan∠PQO=OPOQ=√3，∴OQ=20√3 3∴x=−20√3 3；（2）如备用图，当直线PQ与AB̂所在圆的位置关系相切时，x有最小值，则∠QPO＝90°，∵∠POQ＝∠AOB＝30°，OP＝20，∴OQ=2√33OP=40√33，∴x=−40√3 3．【小贴士】切线的判定和性质，弧长计算，锐角三角函数定义，解题的关键是熟练掌握切线的性质．。
届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案
届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷及答案高考数学知识覆盖面广，我们可以通过多做数学模拟试卷来扩展知识面!以下是店铺为你整理的2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷，希望能帮到你。
2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷题目一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U=R，A={x|x2﹣2x<0}，B={x|x≥1}，则A∪(∁UB)=( )A.(0，+∞)B.(﹣∞，1)C.(﹣∞，2)D.(0，1)2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1，3}D.{1，4}3.在△ABC中，“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是( )A.命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题D.命题p：“∃x∈R使得x2+x+1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”5.已知0A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a26.函数y=loga(x+2)﹣1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为( )A.3+2B.3+2C.7D.117.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，+∞)上是增函数，若a=f(sin )，b=f(cos )，c=f(tan )，则( )A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a8.若函数y=f(x)对x∈R满足f(x+2)=f(x)，且x∈[-1 ，1]时，f(x)=1﹣x2，g(x)= ，则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间x∈[-5 ，11]内零点的个数为( ) A.8 B.10 C.12 D.149设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，若a1= ，an=f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n 项和Sn的取值范围是( )A.[ ，2)B.[ ，2]C.[ ，1)D.[ ，1]10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图象大致为( )A . B.C. D.11.设函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是( )①对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上是单调函数;②对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上都不是单调函数;③对任意实数a，b，函数y=f(x)的图象都是中心对称图象;④存在实数a，b，使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图象.A.①③B.②③C.①④D.③④12.已知函数，如在区间(1，+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值= =…= 成立，则n的取值集合是( )A.{2，3，4，5}B.{2，3}C.{2，3，5}D.{2，3，4}第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)13.命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1<0”的否定是 .14.定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)= .15.设有两个命题，p：x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0};q：函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是 .16.在下列命题中①函数f(x)= 在定义域内为单调递减函数;②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x)，则f(x)一定为偶函数;③若f(x)为奇函数，则 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);④已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则a+b+c=0是f(x)有极值的充分不必要条件;⑤已知函数f(x)=x﹣sinx，若a+b>0，则f(a)+f(b)>0.其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).三、解答题(本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分)17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.(Ⅰ)求A∩B;(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1}，且A∪(∁RB)⊆C，求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.(1)求实数a，b的值;(2)解关于x的不等式： >0(c为常数).19.已知函数f(x)= 是定义在(﹣1，1)上的奇函数，且f( )= .(1)确定函数f(x)的解析式;(2)证明f(x)在(﹣1，1)上是增函数;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.20.已知关于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间(m，n)的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值.21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β)，函数(1)证明f(x)在区间(α，β)上是增函数;(2)当a为何值时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.选做第22或23题，若两题均选做，只计第22题的分。
山东省淄博市张店区第九中学2024-2025学年九年级数学第一次月考(10月)试卷(含解析)
初三数学试题一，选择题1．（4分)下列从左到右的变形是分解因式的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（4分）下列分式中，是最简分式的是（ ）A．B ．C ．D ．3．（4分）对于算式，下列说法错误的是（ ）A ．能被98整除B ．能被99整除C ．能被100整除D ．能被101整除4．（4分)如果把分式中的和都同时扩大3倍，那么分式的值（）A ．不变B ．扩大3倍C ．缩小D ．扩大9倍5．（4分)若，则的值为（ )A ．5B ．C ．10D ．6．（4分）如图是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（4分）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（4分)已知三角形的三边，，满足，则是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．（4分）计算的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（4分）定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分2(1)(1)1x x x +-=-221(2)1x x x x -+=-+2262(3)x x x x +=+255(1)y y y y -=-22x y x y ++223 a a b 211x x --22a ab ab b ++39999-xy x y-x y 13215(3)()x mx x x n +-=++mn 5-10-2a 2b 2()a b -ab 2(2)a b +22a b -a a b --aa b --aa b +a a b -+aa b-a b c ()2222()b a b a bc ac +-=-ABC △22111m m m m ----1m +1m -2m -2m --式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（）A ．与B ．与C ．与D ．与二，填空题．11．（4分)要使分式有意义，则需满足的条件是_____________．12．（4分)若多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则____________．13．（4分)分式的值为0，则___________．14．（4分)已知，那么的值为_____________．15．（4分)已知对于正数，我们规定：，例如：，则___________．三．解答题（共8小题）16．（10分)因式分解：（1)（2)．17．（10分)计算：（1);（2)18．（10分)，0，1，2中选一个合适的数求值．19．（10分)下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．解：设，原式（第一步)（第二步)1111113213n n n n ⎛⎫⨯=- ⎪++++⎝⎭11n +13n +1n 121n +121n -131n +221n -331n +321n -231n +15x -x 29x kx ++k =242x x --x =23m n -=22467m n n --+x 1()1x f x =+11(2)123f ==+(2023)(2022)(2021)f f f ++11111(2)(1)23202120222023f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 22516x -(6)9x x -+2111a a a a -++-2224x x x y y y⎛⎫÷⨯ ⎪-⎝⎭2-()()2242464x x x x -+-++24x x y -=(2)(6)4y y =+++2816y y =++（第三步)（第四步)回答下列问题；（1）该同学第二步到第三步运用了什么公式进行因式分解？（2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．20．（12分)计算下列各式：（1)_________________；（2)_____________;（3)______________;请你根据所学知识寻找计算上面的算式的简便方法，利用你找到的简便方法计算下式：．21．（12分)阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组法．请回答下列问题：（1)尝试填空：______________;（2）解决问题：因式分解；．（3）拓展应用：已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．22．（13分)请仔细阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：．，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以2(4)y =+()2244x x =-+()()222221x xx x --++2112-=22111123⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222111111234⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222211*********n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋯- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭am an bm bn +++()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n +++=+++=+++()()a m n b m n +++()m n +()m n +()()m n a b ++()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n m n a b +++=+++=+++=++2189x xy y -+-=22ac bc a b -+-a b c 2222220a ab b bc c -+-+=11x x -+21x x -11x +2211x x +-1210222225555+==+=化为“带分式”（整式与真分式和的形式)，例如：．（1）将分式化为带分式；（2）当取哪些整数值时，分式的值也是整数？（3）当的值变化时，分式的最大值为_____________________．23．（13分)“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．例1：如图1，可得等式：；例2：由图2，可得等式：．（1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为__________________；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值．（3)如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为．设，若的值与无关，求与之间的数量关系．11221111x x x x x +-+==+---211x x +-x 211x x +-x 22272x x ++()a b c ab ac +=+22(2)()32a b a b a ab b ++=++a b c ++10a b c ++=22236a b c ++=ab bc ac ++AMGN ABCD EFGH S CD x =S CD a b初三数学试题答案1．解：A ．从左到右的变形是多项式乘法，不是分解因式，故本选项不符合题意；B ．等式的右边不是整式的积的形式，即从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；C ．从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；D ．等号两边的式子不相等，故本选项不符合题意．故选：C ．2．解：A 、分子与分母没有公分母，是最简分式；B 、原式可化简为，故不是最简分式;C 、原式可化简为，不是最简分式;D 、原式可化简为，不是最简分式，故选：A ．3．解：∵，∴原式能被99，100，98整除，故选：D ．4．解：，即如果把分式中的和都同时扩大3倍，那么分式的值扩大3倍，故选：B ．5．解：由，比较系数，得，，解得，，则．故选：C ．6．解：中间部分的四边形是正方形，边长是，则面积是．故选：A ．7．解：A 、只改变了分子的符号，故A 错误；23ab11x +a b 39999-()299991=⨯-99(991)(991)=⨯+⨯-9910098=⨯⨯333333x y xy xy x y x y x y⋅==⨯---xy x y --x y 2215(3)()(3)3x mx x x n x n x n +-=++=+++3m n =+153n -=2m =-5n =-(2)(5)10mn =-⨯-=2a b b a b +-=-2()a b -B 、只改变了分子的符号，故B 错误；C 、改变了分子分母的符号，故C 正确；D 、只改变了分子的符号，故D 错误；故选：C ．8．解：∵，∴，∴，∴，∴或，∴或，∴是等腰三角形或直角三角形，故选：D ．9．解：原式．故选：B ．10．解：∵，，∴和不是和谐分式，故A 不符合题意；∵，，∴和不是和谐分式，故B 不符合题意;∵，，∴，故C 符合题意;，，∴和不是和谐分式，故D 不符合题意．故选C ．二．填空题（共4小题）()2222()b a b a bc ac +-=-()222()()b a b a b a c +-=-()222()()0b a b a b a c +---=()222()0b a a b c -+-=0b a -=2220a b c +-=a b =222a b c +=ABC △222(21)21(1)1111m m m m m m m m m ---+-====----1121121(21)(21)n n n n n n n n n +-+-==+++11121(21)n n n n ⋅=++1n 121n +11312122131(21)(31)(21)(31)n n n n n n n n n +-++-==-+-+-+1112131(1)(31)n n n n ⋅=-+-+121n -131n +232(31)3(21)52131(21)(31)(21)(31)n n n n n n n n +---==-+-+-+2362131(21)(31)n n n n ⋅=-+-+236232n 13n 152n 13n 1⎛⎫⋅=- ⎪-+-+⎝⎭323(31)2(21)5(1)2131(21)(31)(21)(31)n n n n n n n n n +--+-==-+-+-+3262131(21)(31)n n n n ⋅=-+-+321n -231n +11．解：由题意得：，解得：，故答案为：．12．解：∵多项式可以用完全平方公式进行因式分解，∴，∴．故答案为：．13．解：∵分式的值为0，∴，，∴故答案为：．14．解：∵，∴，故答案为：16．15．解：由题干中已知条件可得，，原式50x -≠5x ≠5x ≠29x kx ++2229(3)69x kx x x x ++=±=±+6k =±6±242x x --240x -=20x -≠2x =-2-23m n -=22467m n n --+(2)(2)67m n m n n =+--+3(2)67m n n =+-+6367m n n =+-+637m n =-+3(2)7m n =-+337=⨯+16=1()1x f x f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭11(1)112f ==+111(1)(2)(3)(2023)232023f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦L 11112=++++L 1120222=+⨯120222=故答案为：．16、解：（1)；（2）．17、解：（1)；（2)原式；18、解：原式又∵分母不能为0，∴不能取，0，2，当时，原式．19、解：（1)，用到的是完全平方公式;（2)∵，12022222516x -225(4)x =-(54)(54)x x =+-(6)9x x -+269x x =-+2)(3x =-2111a a a a -++-111111a a a a a +=+==+++2242y x x y x y -=⋅⋅22x =-3(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)x x x x x x x x x x x ⎡⎤+--+=-⋅⎢⎥+--+⎣⎦22362(2)(2)(2)(2)x x x x x x x x x+-+-+=⋅-+228(2)(2)(2)(2)x x x x x x x+-+=⋅-+2(4)(2)(2)(2)(2)x x x x x x x++-=⋅-+2(4)x =+28x =+x 2-1x =21810=⨯+=22816(4)y y y ++=+()22444(2)x x x -+=-∴因式分解不彻底;（3）设，∴20、解：（1）;（2);（3);故答案为：;；；原式．21、解：（1)，，，，故答案为：；（2），，（3）这个三角形是等边三角形，理由如下：22y x x =-()()222221x x x x --++(2)1y y =++221y y =++2(1)y =+()2221x x =-+4(1)x =-213124-=2211211233⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22211151112348⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3423581324112233n n n n-+=⋅⋅⋅⋅L n 12n +=2189x xy y -+-(218)(9)x xy y =-+-2(9)(9)x y x =-+-(2)(9)y x =+-(2)(9)y x +-22ac bc a b -+-()()()c a b a b a b =-++-()()a b a b c =-++，，，∵，，∴，，∴，∴∴这个三角形是等边三角形．22、解：（1）原式;（2)由（1）得：，要使为整数，则必为整数，∴为3的因数，∴或，解得：，2，，4;（3）原式，当时，原式取得最大值．故答案为：23、解：（1)正方形面积为，小块四边形面积总和为∴由面积相等可得：，故答案为：．（2）由（1)可知，∵，；∴，∴．（3)由题意知，，，，，2222220a ab b bc c -+-+=2222220a ab b b bc c -++-+=22()()0a b b c -+-=2()0a b - (2)()0b c -…2()0a b -=2()0b c -=a b =b c=a b c==2(1)33211x x x -+==+--213211x x x +=+--211x x +-31x -1x -11x -=±3±0x =2-()2222233222x x x ++==+++20x =7272Q 2()a b c ++222222a b c ab bc ac+++++2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++()2222222()ab bc ac a b c a b c ++=++-++10a b c ++=22236a b c ++=()22222()()1003664ab bc ac a b c a b c ++=++-++=-=164322ab bc ac ++=⨯=2BC a =3DE a =EH CF b ==3EF CD CF DE x b a =+-=+-，∴，即，又∵为定值，∴，即．ABCD EFGH S S S =-长方形长方形2(3)S CD BC EH EF x a b x b a =⋅-⋅=⋅-⋅+-2223(2)3S ax bx b ab a b x b ab =--+=--+S 20a b -=2b a =。
2019-2020学年吉林省第二实验学校九年级(上)第一次月考数学试卷(含解析)印刷版
2019-2020学年吉林省第二实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列各数中，最小的数是（）A．﹣1B．﹣6C．2D．32．（3分）下列几何体的主视图与众不同的是（）A．B．C．D．3．（3分）2019年6月5日，长征十一号运载火箭成功完成了”一箭七星”海上发射技术试验，该火箭重58000kg，将数58000用科学记数法表示为（）A．58×103B．5.8×103C．0.58×105D．5.8×1044．（3分）不等式组的解集是（）A．x≥2B．x＞﹣2C．x≤2D．﹣2＜x≤25．（3分）抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）6．（3分）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（）A．PQ为∠APB的平分线B．P A＝PBC．点A、B到PQ的距离不相等D．∠APQ＝∠BPQ7．（3分）函数y1＝ax2+bx+c与y2＝x的图象如图所示，当y1＜y2时，自变量x的取值范围是（）A．1＜x＜3B．x＜1C．x＞3D．x＜1或x＞38．（3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分9．（3分）计算：＝．10．（3分）一元二次方程x2﹣5x+3＝0根的判别式的值为．11．（3分）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为．12．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象如图所示，则点P（a，c）在第象限．13．（3分）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD、CD．若∠B＝65°，则∠ADC的大小为度．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝a（x﹣3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的菱形ABCD的周长为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣）两点．（1）求b，c的值．（2）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．16．（6分）小明和小刚相约周末到净月潭国家森林公园去徒步，小明和小刚的家分别距离公园1600米和2800米，两人分别从家中同时出发，小明骑自行车，小刚乘公交车，已知公交车的平均速度是骑自行车速度的3.5倍，结果小刚比小明提前4min到达公园，求小刚乘公交车的平均速度．17．（6分）如图所示，直线AC∥DE，DA⊥AC，隧道BC在直线AC上．某施工队要测量隧道BC的长，在点D处观测点B，测得∠BDA＝45°，在点E处观测点C，测得∠CEF＝53°，且测得AD＝600米，DE＝500米，试求隧道BC的长．【参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈】18．（7分）如图，菱形EFGH的顶点E、G分别在矩形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在矩形ABCD 的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若AB＝3，BC＝4，则菱形EFGH的面积最大值是．19．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．（1）求该二次函数的表达式；（2）求tan∠ABC．20．（7分）图①、图②是两个7×7网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）在图①网格内画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON＝90°；（2）在图②网格内以OM为边画一个OMPQ，使OMPQ面积等于5且点P、Q均在格点上．（画出一种即可）21．（8分）如图①，甲、乙两车同时从A地出发，分别匀速前往B地与C地，甲车到达B地休息一段时间后原速返回，乙车到达C地后立即返回．两车恰好同时返回A地．图②是两车各自行驶的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象．根据图象解答下列问题：（1）甲车到达B地休息了时；（2）求甲车返回A地途中y与x之间的函数关系式；（3）当x为何值时，两车与A地的路程恰好相同．（不考虑两车同在A地的情况）22．（9分）教材呈现：如图是华师版八年级下册数学教材第75页的部分内容．请根据教材的内容，运用此性质解决下列问题：如图①，Rt△ABC与Rt△EDC是两个全等的三角形，当两个三角形完全重合时，将△EDC绕直角顶点C顺时针旋转60°，点D恰好落在AB边上，连结DE，BE．【探究】（1）求证：DE∥BC．（2）判断S△ADC与S△BCE的大小关系S△ADC S△BCE（填”＞””＜”或”＝”）；【应用】如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，过点D作DE∥BC交AC于点F，交CD的垂线CE于点E，连结BE，AE．若S△BCE＝2，EF＝4FD，则四边形ADCE的面积为23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AB，AB＝3，BD＝4．动点P从点A出发，沿AC方向以每秒个单位长度的速度向终点C运动，过点P作PE⊥直线AB于点E．设点P的运动时间为t．（1）用含t的代数式表示线段PE的长；（2）当线段PE被线段BC平分时，求t的值；（3）设△APE与△ABC重合部分图形的面积为S，求S与t的函数关系式；（4）点Q是射线PE上一点，在点P的运动过程中，始终保持PQ＝1，将△AEQ沿AQ翻折，使点E 的对应点为E′，直接写出当点E′落在直线AD上时t的值．24．（12分）已知，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），顶点为C，与y轴交点为D．（1）求点C和点A的坐标；（2）把y＝x2﹣4x+3（x≥0）的图象沿着y轴翻折，翻折前与翻折后共同组成的图形记为“W”．①点E为“W”上一点，当△EAB的面积等于3时，求点E的横坐标；②点P在“W”，点Q在x轴上，当以点P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标；③点M为y＝x2﹣4x+3（x≥0）上一点，作点M关于y轴的对称点N，以MN为边向上作正方形MNRS，当直线MD把正方形面积分为1：5两部分时，求点M的横坐标m的值．2019-2020学年吉林省第二实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列各数中，最小的数是（）A．﹣1B．﹣6C．2D．3【分析】根据①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．即可判断出答案．【解答】解：四个选项中，最小的数是﹣6．故选：B．2．（3分）下列几何体的主视图与众不同的是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图是从正面看到的图象判定则可．【解答】解：A、主视图是下面两个正方形，上面一个正方形相叠；B、主视图是下面两个正方形，上面一个正方形相叠；C、主视图是下面两个正方形，上面一个正方形相叠；D、主视图上下都是两个正方形相叠．故选：D．3．（3分）2019年6月5日，长征十一号运载火箭成功完成了”一箭七星”海上发射技术试验，该火箭重58000kg，将数58000用科学记数法表示为（）A．58×103B．5.8×103C．0.58×105D．5.8×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将数58000用科学记数法表示为5.8×104．故选：D．4．（3分）不等式组的解集是（）A．x≥2B．x＞﹣2C．x≤2D．﹣2＜x≤2【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，解①得：x＞﹣2，解②得：x≤2，则不等式组的解集是：﹣2＜x≤2．故选：D．5．（3分）抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．故选A．6．（3分）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（）A．PQ为∠APB的平分线B．P A＝PB C．点A、B到PQ的距离不相等D．∠APQ＝∠BPQ 【分析】根据角平分线的作法进行解答即可．【解答】解：∵由图可知，PQ是∠APB的平分线，∴A，B，D正确；∵PQ是∠APB的平分线，P A＝PB，∴点A、B到PQ的距离相等，故C错误．故选：C．7．（3分）函数y1＝ax2+bx+c与y2＝x的图象如图所示，当y1＜y2时，自变量x的取值范围是（）A．1＜x＜3B．x＜1C．x＞3D．x＜1或x＞3【分析】求y1＜y2的自变量x的取值范围，从图上看就是二次函数图象在一次函数图象下方时，横坐标x的取值范围．【解答】解：y1＜y2的自变量x的取值范围，从图上看就是二次函数图象在一次函数图象下方时，横坐标x的取值范围，从图上看当1＜x＜3时二次函数图象在一次函数图象下方，所以1＜x＜3．故选：A．8．（3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米【分析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，根据tanα＝，即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，∴tanα＝，∴AB＝＝．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分9．（3分）计算：＝．【分析】原式利用二次根式乘法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式＝＝，故答案为：10．（3分）一元二次方程x2﹣5x+3＝0根的判别式的值为13．【分析】直接利用根的判别式△＝b2﹣4ac求出答案．【解答】解：一元二次方程x2﹣5x+3＝0根的判别式的值是：△＝（﹣5）2﹣4×3＝13．故答案为：13．11．（3分）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为直线x＝2．【分析】点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，这两点一定关于对称轴对称，那么利用两点的横坐标可求对称轴．【解答】解：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，∴这两点一定关于对称轴对称，∴对称轴是：x＝＝2．故答案为：直线x＝2．12．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象如图所示，则点P（a，c）在第二象限．【分析】观察图形得抛物线开口向下，抛物线与y轴的交点在x轴的上方，根据二次函数图形与系数的关系得到a＜0，c＞0，即可判断P点所在的象限．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0；∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0．∴点P（a，c）在第二象限．故答案为二．13．（3分）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD、CD．若∠B＝65°，则∠ADC的大小为65度．【分析】根据作法可得AB＝CD，BC＝AD，然后利用“边边边”证明△ABC和△CDA全等，再根据全等三角形对应角相等解答．【解答】解：∵以点A为圆心，以BC长为半径作弧；以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，∴AB＝CD，BC＝AD，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴∠ADC＝∠B＝65°．故答案为：65．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝a（x﹣3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的菱形ABCD的周长为24．【分析】根据题意和二次函数的性质可以求得线段AB的长度，从而可以求得菱形ABCD的周长．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点点A是抛物线y＝a（x﹣3）2+k与y轴的交点，∴点A的横坐标是0，该抛物线的对称轴为直线x＝3，∵点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，∴点B的横坐标是6，∴AB＝6，∴菱形ABCD的周长为：6×4＝24，故答案为：24．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣）两点．（1）求b，c的值．（2）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点，由题意得到方程﹣x2+x+3＝0，通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标．【解答】解：（1）把A（0，3），B（﹣4，﹣）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得；（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+3．△＝（）2﹣4×（﹣）×3＝＞0，所以二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴有公共点．∵﹣x2+x+3＝0的解为：x1＝﹣2，x2＝8∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．16．（6分）小明和小刚相约周末到净月潭国家森林公园去徒步，小明和小刚的家分别距离公园1600米和2800米，两人分别从家中同时出发，小明骑自行车，小刚乘公交车，已知公交车的平均速度是骑自行车速度的3.5倍，结果小刚比小明提前4min到达公园，求小刚乘公交车的平均速度．【分析】设小明骑自行车的平均速度为x米/分钟，则小刚乘公交车的平均速度为3.5x米/分钟，根据时间＝路程÷速度结合小刚比小明提前4min到达公园，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设小明骑自行车的平均速度为x米/分钟，则小刚乘公交车的平均速度为3.5x米/分钟，依题意，得：﹣＝4，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴3.5x＝700．答：小刚乘公交车的平均速度为700米/分钟．17．（6分）如图所示，直线AC∥DE，DA⊥AC，隧道BC在直线AC上．某施工队要测量隧道BC的长，在点D处观测点B，测得∠BDA＝45°，在点E处观测点C，测得∠CEF＝53°，且测得AD＝600米，DE＝500米，试求隧道BC的长．【参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈】【分析】作EM⊥AC于M，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：在Rt△ABD中，AB＝AD＝600，作EM⊥AC于M，则AM＝DE＝500，∴BM＝100，在Rt△CEM中，tan53°＝，∴CM＝800，∴BC＝CM﹣BM＝800﹣100＝700（米）答：隧道BC长为700米18．（7分）如图，菱形EFGH的顶点E、G分别在矩形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在矩形ABCD 的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若AB＝3，BC＝4，则菱形EFGH的面积最大值是．【分析】（1）证明△BFG≌△DHE（AAS），即可得出BG＝DE；（2）当点F与B重合，点H与D重合时，菱形EFGH的面积最大，由菱形的性质得出EG⊥BD，BE ＝DE＝BG，设BE＝DE＝x，则AE＝4﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程32+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，得出CG＝AE＝4﹣＝，菱形EFGH的面积最大值＝矩形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDG的面积，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FBG＝∠HDE，∵四边形EFGH是菱形，∴FG＝EH，∠EFG＝∠EHG，∠GFH＝∠EFG，∠EHF＝∠EHG，∴∠GFH＝∠EHG，∴∠BFG＝∠DHE，在△BFG和△DHE中，，∴△BFG≌△DHE（AAS），∴BG＝DE；（2）解：当点F与B重合，点H与D重合时，菱形EFGH的面积最大，如图所示：∵四边形EFGH是菱形，∴EG⊥BD，BE＝DE＝BG，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，设BE＝DE＝x，则AE＝4﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理得：32+（4﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴CG＝AE＝4﹣＝，∴菱形EFGH的面积最大值＝矩形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDG的面积＝3×4﹣2×××3＝；故答案为：．19．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．（1）求该二次函数的表达式；（2）求tan∠ABC．【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2﹣3，将A（1，0）代入解析式来求a的值．（2）由锐角三角函数定义解答．【解答】解：（1）由题意可设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2﹣3，（a≠0）．把A（1，0）代入，得0＝a（1﹣4）2﹣3，解得a＝．故该二次函数解析式为y＝（x﹣4）2﹣3；（2）令x＝0，则y＝（0﹣4）2﹣3＝．则OC＝．因为二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），A（1，0），则点B与点A关系直线x＝4对称，所以B（7，0）．所以OB＝7．所以tan∠ABC＝＝＝，即tan∠ABC＝．20．（7分）图①、图②是两个7×7网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）在图①网格内画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON＝90°；（2）在图②网格内以OM为边画一个OMPQ，使OMPQ面积等于5且点P、Q均在格点上．（画出一种即可）【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可．（2）利用数形结合的思想解决问题即可（答案不唯一）．【解答】解：（1）如图，△MON即为所求．（2）四边形OMPQ即为所求．21．（8分）如图①，甲、乙两车同时从A地出发，分别匀速前往B地与C地，甲车到达B地休息一段时间后原速返回，乙车到达C地后立即返回．两车恰好同时返回A地．图②是两车各自行驶的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象．根据图象解答下列问题：（1）甲车到达B地休息了3小时；（2）求甲车返回A地途中y与x之间的函数关系式；（3）当x为何值时，两车与A地的路程恰好相同．（不考虑两车同在A地的情况）【分析】（1）根据题意和图象中的数据可以求得甲车到达B地休息了多长时间；（2）根据函数图象中的数据可以求得甲车返回A地途中y与x之间的函数关系式；（3）根据函数图象中的数据可以求得甲乙的速度，从而可以解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，甲车到达B地休息了：7﹣2﹣2＝3（小时），故答案为：3小；（2）设甲车返回A地途中y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，，得，即甲车返回A地途中y与x之间的函数关系式是y＝80x﹣240；（3）甲车的速度为160÷2＝80km/h，乙车的速度为：420÷7＝60km/h，令60x＝160，得x＝，令60x＝210+（210﹣160），得x＝，当x为或时，两车与A地的距离恰好相同．22．（9分）教材呈现：如图是华师版八年级下册数学教材第75页的部分内容．请根据教材的内容，运用此性质解决下列问题：如图①，Rt△ABC与Rt△EDC是两个全等的三角形，当两个三角形完全重合时，将△EDC绕直角顶点C顺时针旋转60°，点D恰好落在AB边上，连结DE，BE．【探究】（1）求证：DE∥BC．（2）判断S△ADC与S△BCE的大小关系S△ADC＝S△BCE（填”＞””＜”或”＝”）；【应用】如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，过点D作DE∥BC交AC于点F，交CD的垂线CE于点E，连结BE，AE．若S△BCE＝2，EF＝4FD，则四边形ADCE的面积为10【分析】【探究】（1）由旋转的性质可得CB＝CD，∠CBD＝∠CDE，∠BCD＝60°，可得△BCD是等边三角形，可得∠CBD＝60°＝∠BCD＝∠CDE，可得DE∥BC；（2）由平行线之间的距离处处相等，且底相同，可得S△BCE＝S△BCD，通过证明AD＝BD，可得S△BCD ＝S△ADC，可得S△ADC＝S△BCE；【应用】由中线的性质可求S△BCD＝S△ADC，由平行线的性质可求S△BCE＝S△BCD＝S△ADC＝2，由三角形面积公式可求S△ACE＝8，即可求解．【解答】证明：【探究】（1）∵将△EDC绕直角顶点C顺时针旋转60°，∴CB＝CD，∠CBD＝∠CDE，∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠CBD＝60°，∵∠CDE＝60°＝∠CBD，∴∠BCD＝∠CDE，∴DE∥BC；（2）∵DE∥BC，∴S△BCE＝S△BCD，∵∠ACB＝90°，∠CBD＝∠BCD＝60°，∴∠A＝∠ACD＝30°，∴AD＝CD，∴AD＝BD，∴S△BCD＝S△ADC，∴S△ADC＝S△BCE，故答案为：＝；【应用】∵CD是斜边AB的中线，∴S△BCD＝S△ADC，∵DE∥BC，∠ACB＝90°，∴S△BCE＝S△BCD＝S△ADC＝2，∠AFD＝∠ACB＝90°，∵S△ACD＝AC×DF＝2，S△ACE＝×AC×EF，且EF＝4DF，∴S△ACE＝8，∴四边形ADCE的面积＝S△ADC+S△ACE＝10，故答案为：10．23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AB，AB＝3，BD＝4．动点P从点A出发，沿AC方向以每秒个单位长度的速度向终点C运动，过点P作PE⊥直线AB于点E．设点P的运动时间为t．（1）用含t的代数式表示线段PE的长；（2）当线段PE被线段BC平分时，求t的值；（3）设△APE与△ABC重合部分图形的面积为S，求S与t的函数关系式；（4）点Q是射线PE上一点，在点P的运动过程中，始终保持PQ＝1，将△AEQ沿AQ翻折，使点E 的对应点为E′，直接写出当点E′落在直线AD上时t的值．【分析】（1）证明△APE∽△AOB，可得＝，由此即可解决问题．（2）如图2中，当PE被BC平分时，设PE交BC于F．由PF∥OB，BF＝CF，推出OP＝PC＝OC，求出AP即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当0＜t≤1时，重叠部分是△APE，根据S＝•AE•PE求解．②如图3﹣2中，当1＜t≤2时，重叠部分是四边形ABFP，根据S＝S△APE﹣S△BFE求解即可．（4）分两种情形：①如图4﹣1中，当点E′落在DA的延长线上时，作BM⊥AD于M，在AD上截取AN，使得AN＝AB，连接BN．证明∠EAQ＝∠BNM，推出tan∠EAQ＝tan∠BNM，可得＝，由此构建方程即可解决问题．②如图4﹣2中，当点E′落在AD的延长线于E′，作MN⊥AD于N．由BM∥QE，推出△ABM∽△AEQ，可得＝，由此构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD＝BD＝2，∵BD⊥AB，PE⊥AB，∴OA＝＝＝，PE∥BD，∴△APE∽△AOB，∴＝，即＝，解得：PE＝2t；（2）如图2中，当PE被BC平分时，设PE交BC于F．∵PF∥OB，BF＝CF，∴OP＝PC＝OC＝，∴AP＝OA+OP＝，∴t＝．（3）①如图3﹣1中，当0＜t≤1时，重叠部分是△APE，S＝•AE•PE＝•3t•2t＝3t2．②如图3﹣2中，当1＜t≤2时，重叠部分是四边形ABFP，S＝S△APE﹣S△BFE＝3t2﹣•（3t﹣3）•（4t﹣4）＝﹣3t2+12t﹣6．综上所述，S＝．（4）①如图4﹣1中，当点E′落在DA的延长线上时，作BM⊥AD于M，在AD上截取AN，使得AN＝AB，连接BN．在Rt△ABD中，AD＝＝＝5，∵S△ABD＝•AB•BD＝•AD•BM，∴BM＝＝，∴AM＝MN＝＝＝，∴NM＝AN﹣AM＝3﹣＝，∵∠E′＝∠AEQ＝90°，QE＝QE′．AQ＝AQ，∴Rt△AQE≌Rt△AQE（HL），∴∠QAE＝∠QAE′，∵∠E′AE＝∠ABN+∠ANB，∠ANB＝∠ABN，∴∠EAQ＝∠BNM，∴tan∠EAQ＝tan∠BNM，∴＝，∴＝，∴t＝．②如图4﹣2中，当点E′落在AD的延长线于E′，作MN⊥AD于N．∵∠QAB＝∠QAE′，MB⊥AB，MN⊥AD，∴BM＝MN，∠ABM＝∥ANM＝90°，∵AM＝AM，∴△AMN≌△AMB（HL），∴AB＝AN＝3，设BM＝MN＝x，则DM＝4﹣x，在Rt△DMN中，则有（4﹣x）2＝x2+22，解得x＝，∵BM∥QE，∴△ABM∽△AEQ，∴＝，∴＝，解得t＝2，综上所述，满足条件的t的值为s或2s．24．（12分）已知，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），顶点为C，与y轴交点为D．（1）求点C和点A的坐标；（2）把y＝x2﹣4x+3（x≥0）的图象沿着y轴翻折，翻折前与翻折后共同组成的图形记为“W”．①点E为“W”上一点，当△EAB的面积等于3时，求点E的横坐标；②点P在“W”，点Q在x轴上，当以点P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标；③点M为y＝x2﹣4x+3（x≥0）上一点，作点M关于y轴的对称点N，以MN为边向上作正方形MNRS，当直线MD把正方形面积分为1：5两部分时，求点M的横坐标m的值．【分析】（1）y＝x2﹣4x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝1或3，即可求解；（2）①△EAB的面积S＝×AB×|y E|＝2×|y E|＝3，则y E＝±3，即可求解；②分DA是平行四边形的一条边、DA是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可；③直线MD把正方形面积分为1：5两部分时，则S△MKS＝S正方形MNRS，即可求解．【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝1或3，故点A、B、C、D的坐标为：（1，0）、（3，0）、（2，﹣1）、（0，3），答：点C和点A的坐标分别为：（0，3）、（1，0）；（2）y＝x2﹣4x+3（x≥0）的图象沿着y轴翻折，翻折后的抛物线表达式为：y＝x2+4x+3，①△EAB的面积S＝×AB×|y E|＝2×|y E|＝3，则y E＝±3，即：x2﹣4x+3＝±3或x2+4x+3＝±3，解得：x＝0或4或﹣4；答：点E的横坐标为：0或4或﹣4；②设点P（m，n），n＝m2±4m+3，点Q（s，0），﹣﹣﹣﹣当DA是平行四边形的一条边时，当x≥0时，点D向右平移1个单位向下平移3个单位得到A，同样，点P（Q）向右平移1个单位向下平移3个单位得到Q（P），故：m+1＝s，n﹣3＝0或m﹣1＝s，n+3＝0，且n＝m2﹣4m+3，解得：m＝0或4（舍去0），故s＝5，即点Q（5，0）；当x＜0时，同理可得：点Q（﹣3，0）；当DA是平行四边形的对角线时，当x≥0时，m+s＝1，n+0＝3，且n＝m2﹣4m+3，解得：s＝5，即点Q（5，0）；当x＜0时，同理可得：点Q（﹣3，0）；综上，Q的坐标为：（5，0）或（﹣3，0）；③如下图：设边RS交直线AC于点K，设点M（m，m2﹣4m+3），则点N（﹣m，m2﹣4m+3），则MN＝2m，直线MD函数表达式中的k值为：k ＝＝m﹣4，tan∠MA＝﹣k＝4﹣m＝tanα，则∠RSM＝α，直线MD把正方形面积分为1：5两部分时，则S△MKS ＝S正方形MNRS，即×2m ×＝×（2m）2，解得：m＝1．第21页（共21页）。
辽宁省丹东九年级上第一次月考数学试卷（附答案解析）
2022-2023辽宁省丹东九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每题2分，共20分）1．（2分）已知一个菱形的周长是20，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A．24 B．96 C．12 D．452．（2分）如果x=4是一元二次方程x2﹣3x=a2的一个根，那么常数a的值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±43．（2分）下列命题错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．一个角是直角的平行四边形是矩形C．矩形的对角线相等D．对角线相等的四边形是矩形4．（2分）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（）A．（x﹣1）2=0 B．x2+2x﹣19=0 C．x2+4=0 D．x2+x+l=05．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）A．6 B．12 C．2 D．46．（2分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9 C．13 D．12或97．（2分）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）A．B．2 C．2 D．8．（2分）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣39．（2分）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）=45 B．x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45 10．（2分）有3个正方形如图所示放置，直角三角形部分的面积依次记为A，B，则A：B等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9二、填空题（每题2，共20分11．（2分）将方程x2+2x﹣7=0配方为（x+m）2=n的形式为．12．（2分）菱形ABCD，∠BAD=120°，且AB=3，则BD=．13．（2分）若一元二次方程（3m+6）x2+m2﹣4=0的常数项为0，则m=．14．（2分）如图，已知点A是一次函数y=x﹣4在第四象限的图象的一个动点，且矩形ABOC的面积为3，则A点坐标为．15．（2分）已知方程ax2+bx+c=0，满足a﹣b+c=0，则必有一个根为．16．（2分）点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，AB=3，AD=4，那么点P 到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是．17．（2分）某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为121元，则列出的方程是．18．（2分）已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是．19．（2分）已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2=．20．（2分）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF 与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK=．三、简答题21．（20分）解方程（1）6x2﹣7x+1=0（2）4x2﹣3x=52（3）（x﹣2）（x﹣3）=12（4）5x2﹣18=9x．22．（6分）最简二次根式与是同类二次根式，且x为整数，求关于m的方程xm2+2m﹣2=0的根．23．（8分）如图，DE是平行四边形ABCD中的∠ADC的平分线，EF∥AD，交DC 于F（1）求证：四边形AEFD是菱形；（2）如果∠A=60度，AD=5，求菱形AEFD的面积．24．（6分）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m ﹣+1）的值．25．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利最多？26．（10分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD 的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．2022-2023辽宁省丹东九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题2分，共20分）1．（2分）已知一个菱形的周长是20，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A．24 B．96 C．12 D．45【解答】解：∵菱形的周长是20，∴菱形的边长为20÷4=5，∵两条对角线的比是4：3，∴设两对角线的一半分别为4k、3k，由勾股定理得，（4k）2+（3k）2=52，解得k=1，∴两对角线的一半分别为4，3，两对角线的长分别为8，6，∴这个菱形的面积=×8×6=24．故选：A．2．（2分）如果x=4是一元二次方程x2﹣3x=a2的一个根，那么常数a的值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4【解答】解：把x=4代入方程x2﹣3x=a2可得16﹣12=a2，解得a=±2，故选：C．3．（2分）下列命题错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．一个角是直角的平行四边形是矩形C．矩形的对角线相等D．对角线相等的四边形是矩形【解答】解：A、正确．平行四边形的对边相等；B、正确．一个角是直角的平行四边形是矩形；C、正确．矩形的对角线相等；D、错误．对角线相等的四边形不一定是矩形，比如等腰梯形对角线相等，不是矩形；故选：D．4．（2分）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（）A．（x﹣1）2=0 B．x2+2x﹣19=0 C．x2+4=0 D．x2+x+l=0【解答】解：A、△=0，方程有两个相等的实数根；B、△=4+76=80＞0，方程有两个不相等的实数根；C、△=﹣16＜0，方程没有实数根；D、△=1﹣4=﹣3＜0，方程没有实数根．故选：B．5．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）A．6 B．12 C．2 D．4【解答】解：设BE=x，则CE=BC﹣BE=16﹣x，∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE=CE=16﹣x，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即82+x2=（16﹣x）2，解得x=6，∴AE=16﹣6=10，由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=10，过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，∴EH=AB=8，AH=BE=6，∴FH=AF﹣AH=10﹣6=4，在Rt△EFH中，EF===4．故选：D．6．（2分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9 C．13 D．12或9【解答】解：x2﹣7x+10=0，（x﹣2）（x﹣5）=0，x﹣2=0，x﹣5=0，x1=2，x2=5，①等腰三角形的三边是2，2，5∵2+2＜5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；即等腰三角形的周长是12．故选：A．7．（2分）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）A．B．2 C．2 D．【解答】解：由题意，可得BE与AC交于点P．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．故所求最小值为2．故选：B．8．（2分）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3【解答】解：设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得﹣1+x1=﹣3，解得：x1=﹣2．故选：A．9．（2分）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）=45 B．x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为x（x﹣1），∵共比赛了45场，∴x（x﹣1）=45，故选：A．10．（2分）有3个正方形如图所示放置，直角三角形部分的面积依次记为A，B，则A：B等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9【解答】解：∵大四边形是正方形，∴∠ECH=45°，∴HC=HE，同理，CH=HG=GD，即EF=CD，OD=CD，∴=，∵面积为A的三角形与面积为B三角形都是等腰直角三角形，∴这两个三角形相似，∴A：B=（）2=，故选：D．二、填空题（每题2，共20分11．（2分）将方程x2+2x﹣7=0配方为（x+m）2=n的形式为（x+1）2=8．【解答】解：把方程x2+2x﹣7=0的常数项移到等号的右边，得到x2+2x=7，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+2x+1=7+1，配方得（x+1）2=8．故答案为（x+1）2=8．12．（2分）菱形ABCD，∠BAD=120°，且AB=3，则BD=3．【解答】解：如图：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC=∠BAD，AC⊥BD，BD=2BO，∵∠BAD=120°，∴∠BAC=60°，∵AB=3，∴BO=3×sin60°=，∴BD=3．故答案为：3．13．（2分）若一元二次方程（3m+6）x2+m2﹣4=0的常数项为0，则m=2．【解答】解：由题意，得m2﹣4=0且3m+6≠0，解得m=2，故答案为：2．14．（2分）如图，已知点A是一次函数y=x﹣4在第四象限的图象的一个动点，且矩形ABOC的面积为3，则A点坐标为（1，﹣3）或（3，﹣1）．【解答】解：∵点A是一次函数y=x﹣4在第四象限的图象的一个动点，∴可设A（x，x﹣4），∴OB=x，AB=4﹣x，=OB•OA=x（4﹣x）=3，解得x=1或x=3，∴S矩形ABOC∴A点坐标为（1，﹣3）或（3，﹣1），故答案为：（1，﹣3）或（3，﹣1）．15．（2分）已知方程ax2+bx+c=0，满足a﹣b+c=0，则必有一个根为x=﹣1．【解答】解：∵a﹣b+c=0，∴c=﹣a+b，∴ax2+bx﹣a+b=0，∴a（x+1）（x﹣1）+b（x+1）=0，∴（x+1）（ax﹣a+b）=0，∴x+1=0或ax﹣a+b=0，∴方程必有一个根为x=﹣1．故答案为x=﹣1．16．（2分）点 P 是矩形ABCD 的边AD 上的一个动点，AB=3，AD=4，那么点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是 2.4 ．【解答】解：连接OP ，∵矩形的两条边AB 、AD 的长分别为3和4，∴S 矩形ABCD =AB•BC=12，OA=OC ，OB=OD ，AC=BD=5，∴OA=OD=2.5，∴S △ACD =S 矩形ABCD =6，∴S △AOD =△ACD =3，∵S △AOD =S △AOP +S △DOP =OA•PE +OD•PF=×2.5×PE +×2.5×PF=（PE +PF ）=3，解得：PE +PF=2.4．故答案为：2.4．17．（2分）某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为121元，则列出的方程是 100（1+x%）2=121 ．【解答】解：第一次涨价后的价格为100×（1+x%），第二次涨价后的价格为100×（1+x%）2，则可列方程为100（1+x%）2=121，故答案为100（1+x%）2=121．18．（2分）已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 15°或75° ．【解答】解：有两种情况：（1）当E 在正方形ABCD 内时，如图1∵正方形ABCD，∴AD=CD，∠ADC=90°，∵等边△CDE，∴CD=DE，∠CDE=60°，∴∠ADE=90°﹣60°=30°，∴AD=DE，∴∠DAE=∠AED=（180°﹣∠ADE）=75°；（2）当E在正方形ABCD外时，如图2∵等边三角形CDE，∴∠EDC=60°，∴∠ADE=90°+60°=150°，∴∠AED=∠DAE=（180°﹣∠ADE）=15°．故答案为：15°或75°．19．（2分）已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2=25．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两个根，∴m+n=4，mn=﹣3，则m2﹣mn+n2=（m+n）2﹣3mn=16+9=25．故答案为：25．20．（2分）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF 与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK=2﹣3．【解答】解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，∴∠ABE=60°，在Rt△ABH和Rt△EBH中，，∴Rt△ABH≌△R t△EBH（HL），∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，∴∠BHA=∠BHE=60°，∴∠KHF=180°﹣60°﹣60°=60°，∵∠F=90°，∴∠FKH=30°，∴AH=AB•tan∠ABH=×=1，∴EH=1，∴FH=﹣1，在Rt△FKH中，∠FKH=30°，∴KH=2FH=2（﹣1），∴AK=KH﹣AH=2（﹣1）﹣1=2﹣3；故答案为：2﹣3．三、简答题21．（20分）解方程（1）6x2﹣7x+1=0（2）4x2﹣3x=52（3）（x﹣2）（x﹣3）=12（4）5x2﹣18=9x．【解答】解：（1）∵6x2﹣7x+1=0，∴（6x﹣1）（x﹣1）=0，∴6x﹣1=0，x﹣1=0，∴x1=，x2=1（2）∵4x2﹣3x=52，∴4x2﹣3x﹣52=0，∴（4x+13）（x﹣4）=0，∴4x+13=0或x﹣4=0，∴x1=﹣，x2=4．（3）∵（x﹣2）（x﹣3）=12，∴x2﹣5x﹣6=0，∴（x，﹣6）（x+1）=0，∴x﹣6=0或x+1=0，x1=﹣1 x2=6．（4）∵5x2﹣18=9x，∴5x2﹣9x﹣18=0，∴（5x+6）（x﹣3）=0，∴5x+6=0或x﹣3=0，∴x1=﹣，x2=322．（6分）最简二次根式与是同类二次根式，且x为整数，求关于m的方程xm2+2m﹣2=0的根．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，且x为整数，∴2x2﹣x=4x﹣2，即2x2﹣5x+2=0，解得：x=（舍去）或x=2，把x=2代入方程得：2m2+2m﹣2=0，即m2+m﹣1=0，解得：m=．23．（8分）如图，DE是平行四边形ABCD中的∠ADC的平分线，EF∥AD，交DC 于F（1）求证：四边形AEFD是菱形；（2）如果∠A=60度，AD=5，求菱形AEFD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DE∥AF，∵EF∥AD，∴四边形DAFE是平行四边形，∵∠2=∠AFD，∵DF是▱ABCD的∠ADC的平分线∴∠1=∠2，∴∠AFD=∠1．∴AD=AF．∴四边形AFED是菱形．（2）∵∠DAF=60°，∴△AFD为等边三角形．∴DF=5，连接AE与DF相交于O，则FO=．∴OA=．∴AE=5．=AE•DF=∴S菱形AFED24．（6分）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m ﹣+1）的值．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，∴m2﹣m﹣2=0，∴m2﹣m=2，m2﹣2=m，∴（m2﹣m）（m﹣+1）===2×（1+1）=2×2=4．25．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利最多？【解答】解：（1）由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，化简得：x2﹣35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵该商场为了尽快减少库存，则x=15不合题意，舍去．∴x=20答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元；（2）y=（50﹣x）（30+2x）=﹣2x2+70x+1500，当x=﹣=17.5时，y最大．答：每件商品降价17.5元时，商场日盈利的最大．26．（10分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD 的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC，∴∠DAP=∠AEP，∴∠DCP=∠AEP∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE．。
陕西西安市高新一中2019-2020学年九年级(上)第一次月考数学试卷(10月份) 含解析
2019-2020学年九年级（上）第一次月考数学试卷一．选择题（共10小题）1．四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，则a＝（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm2．如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，则它的俯视图是（）A．B．C．D．3．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝4x B．＝3 C．y＝﹣D．y＝x2﹣14．如图，白炽灯下有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子（）A．越大B．越小C．不变D．无法确定5．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E 上升了（）A．1.2米B．1米C．0.8米D．1.5米6．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（）A．∠A＝55°，∠D＝35°B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝97．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b8．如图，△ABC中，点D为BC边上一点，点E在AD上，过点E作EF∥BD交AB于点F，过点E作EG∥AC交CD于点G，下列结论错误的是（）A．B．C．D．＝19．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为（）A．4B．4 C．2D．810．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为（）A．12B．10C．8D．8+4二．填空题（共6小题）11．如果＝，那么的值是．12．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为．13．在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约cm的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）14．如图，甲楼AB高18米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1：，已知两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE＝米．（结果保留根号）15．如果，那么k的值为．16．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为．三．解答题（共9小题）17．运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，请你画出它的三视图．18．如图，△ABC中，P是线段AB上一点，尺规作图：在BC边上找一点D，使以P、D、B 为顶点的三角形与△ABC相似（保留作图痕迹，不写作法）19．如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A，B的对应点C、D的坐标；（3）求△OCD的面积．20．如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE＝∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB＝3，AD＝7，BE＝2，求FC的长．21．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C 进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1200米，AN＝2000米，AB＝30米，BC＝45米，AC＝18米，求直线隧道MN的长．22．如图所示，甲物体高4米，影长3米，乙物体高2米，影长4米，两物体相距5米．（1）在图中画出灯的位置，并画出丙物体的影子．（2）若灯杆，甲、乙都与地面垂直并且在同一直线上，试求出灯的高度．23．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．24．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x 轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．（1）当t＝4时，求点E的坐标；（2）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD 沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，则a＝（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得＝，又由b ＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，即可求得a的值．【解答】解：∵四条线段a、b、c、d成比例，∴＝，∵b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，∴＝，解得：a＝2cm．故选：A．2．如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：该组合体的俯视图为故选：A．3．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝4x B．＝3 C．y＝﹣D．y＝x2﹣1【分析】根据反比例函数的定义判断即可．【解答】解：A、y＝4x是正比例函数；B、＝3，可以化为y＝3x，是正比例函数；C、y＝﹣是反比例函数；D、y＝x2﹣1是二次函数；故选：C．4．如图，白炽灯下有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子（）A．越大B．越小C．不变D．无法确定【分析】根据中心投影的特点可知：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小．相反当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子变大．【解答】解：白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小；相反当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子变大．故选：A．5．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E 上升了（）A．1.2米B．1米C．0.8米D．1.5米【分析】由题可知，易得题中有一组相似三角形，利用它们的对应边成比例即可解答．【解答】解：根据题意得：AD：DE＝AB：x∴解得：x＝0.8．故选：C．6．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（）A．∠A＝55°，∠D＝35°B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．【解答】解：A、相似：∵∠A＝55°∴∠B＝90°﹣55°＝35°∵∠D＝35°∴∠B＝∠D ∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；B、相似：∵AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8，∴，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；C、有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；D、相似：∵AB＝10，BC＝6，DE＝15，EF＝9，∴，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；故选：C．7．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，∵小长方形与原长方形相似，∴＝，∴a＝2b．故选：B．8．如图，△ABC中，点D为BC边上一点，点E在AD上，过点E作EF∥BD交AB于点F，过点E作EG∥AC交CD于点G，下列结论错误的是（）A．B．C．D．＝1【分析】根据相似三角形的判定得出△AEF∽△ADB，△DEG∽△DAC，再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可．【解答】解：A、∵EF∥BD，∴△AEF∽△ADB，∴＝，∵EG∥AC，∴＝，∴≠，故本选项符合题意；B、∵GE∥AC，∴△DEG∽△DAC，∴＝，故本选项不符合题意；C、∵EF∥BD，EG∥AC，∴，，∴，故本选项不符合题意；D、∵GE∥AC，EF∥BD，∴△AEF∽△ADB，△DEG∽△DAC，∴，，∴＝＝1，故本选项不符合题意；故选：A．9．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为（）A．4B．4 C．2D．8【分析】由题意得到三角形DEC与三角形ABC相似，由相似三角形面积之比等于相似比的平方两三角形面积之比，进而求出四边形ABDE与三角形ABC面积之比，求出四边形ABDE面积，即可确定出三角形ABC面积．【解答】解：∵AB⊥AD，AD⊥DE，∴∠BAD＝∠ADE＝90°，∴DE∥AB，∴∠CED＝∠CAB，∵∠C＝∠C，∴△CED∽△CAB，∵DE＝1，AB＝2，即DE：AB＝1：2，∴S△DEC：S△ACB＝1：4，∴S四边形ABDE：S△ACB＝3：4，∵S四边形ABDE＝S△ABD+S△ADE＝×2×2+×2×1＝2+1＝3，∴S△ACB＝4，故选：B．10．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为（）A．12B．10C．8D．8+4【分析】可设BE＝x，CE＝y，由题意可得△ABE≌ECF，并且△ECF∽△FDG，从而得出关于x、y的两个方程，求解后即可得出矩形ABCD的周长．【解答】解：∵小正方形的面积为1，∴小正方形的边长也为1设BE＝x，CE＝y，∵∠AEB+∠CEF＝90°，而∠EFC+∠CEF＝90°∴∠AEB＝∠EFC又∵∠B＝∠C＝90°，AE＝EF＝4∴△ABE≌ECF（AAS）∴AB＝EC＝y，BE＝CF＝x∴由勾股定理可得x2+y2＝42而同理可得∠EFC＝∠FGD，且∠C＝∠D＝90°∴△ECF∽△FDG∴∴FD＝EC＝，∵AB＝CD∴y＝x+y∴y＝2x，将其代入x2+y2＝42中于是可得x＝，y＝而矩形ABCD的周长＝2（x+y）+2y＝5y＝5×＝8故选：C．二．填空题（共6小题）11．如果＝，那么的值是．【分析】将＝变形为+2＝，再根据等式的性质即可求解．【解答】解：＝，+2＝，＝．故答案为：．12．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为12 ．【分析】由主视图所给的图形可得到俯视图的对角线长为2，利用勾股定理可得俯视图的面积，乘以高即为这个长方体的体积．【解答】解：设俯视图的正方形的边长为a．∵其俯视图为正方形，正方形的对角线长为2，∴a2+a2＝（2）2，解得a2＝4，∴这个长方体的体积为4×3＝12．13．在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约8 cm的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）【分析】根据黄金分割定义：下半身长与全身的比等于0.618即可求解．【解答】解：根据已知条件可知：下半身长是165×0.6＝99cm，设需要穿的高跟鞋为ycm，则根据黄金分割定义，得＝0.618，解得：y≈7.8≈8，经检验y≈7.8是原方程的根，答：她应该选择大约8cm的高跟鞋．故答案为8．14．如图，甲楼AB高18米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1：，已知两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE＝（18﹣10）米．（结果保留根号）【分析】设FE⊥AB于点F，那么在△AEF中，∠AFE＝90°，解直角三角形AEC可以求得AF的长，进而求得DE＝AB﹣AF即可解题．【解答】解：设冬天太阳最低时，甲楼最高处A点的影子落在乙楼的E处，那么图中ED 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设FE⊥AB于点F，那么在△AEF中，∠AFE＝90°，EF＝20米．∵物高与影长的比是1：，∴＝，则AF＝EF＝10，故DE＝FB＝18﹣10．故答案为（18﹣10）15．如果，那么k的值为或﹣1 ．【分析】①当a+b+c≠0时，由等比定理（若a：b＝c：d（其中b，d≠0），则（a+c）：（b+d）＝（a﹣c）：（b﹣d）＝a：b＝c：da：b＝c：d＝e：f＝…m：k则（a+c+e+…+m）：（b+d+f+…+k）＝a：b称为等比定理）解答k的值；②当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c，将其整体代入比例式解答k的值．【解答】解：①当a+b+c≠0时，由等比定理得＝k，即k＝；②当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c，∴，∴k＝﹣1；故答案为：或﹣1．16．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为．【分析】如图，作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD＝A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长，根据相似三角形对应边的比可得结论．【解答】解：作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作A'E⊥AC于E，交BC于D，则AD＝A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，∴BC＝＝9，S△ABC＝AB•AC＝BC•AF，∴3×＝9AF，AF＝2，∴AA'＝2AF＝4，∵∠A'FD＝∠DEC＝90°，∠A'DF＝∠CDE，∴∠A'＝∠C，∵∠AEA'＝∠BAC＝90°，∴△AEA'∽△BAC，∴，∴，∴A'E＝，即AD+DE的最小值是；故答案为：．三．解答题（共9小题）17．运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，请你画出它的三视图．【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，据此作答．【解答】解：如图所示：．18．如图，△ABC中，P是线段AB上一点，尺规作图：在BC边上找一点D，使以P、D、B 为顶点的三角形与△ABC相似（保留作图痕迹，不写作法）【分析】过P作PD∥AC交BC于点D，或作∠BPD＝∠C，即可利用相似三角形的判定解答即可．【解答】解：如图所示：19．如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A，B的对应点C、D的坐标；（3）求△OCD的面积．【分析】（1）延长AO到C使得OC＝2OA，延长BO到D，使得OD＝2OB，连接CD，△OCD 即为所求．（2）根据C，D的位置写出坐标即可．（3）利用分割法求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图，△OCD即为所求．（2）C（﹣6，﹣2），D（﹣4，2），（3）S△OCD＝24﹣×4×2﹣×6×2﹣×2×4＝10．20．如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE＝∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB＝3，AD＝7，BE＝2，求FC的长．【分析】（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又因为∠DAE＝∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF，由相似三角形的性质即可证得结论；（2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，可得，由平行四边形的性质可知BC＝AD＝7，所以EC＝BC﹣BE＝7﹣2＝5，代入计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又∵∠DAE＝∠F，∴∠AEB＝∠F，∴△ABE∽△ECF，（2）解：∵△ABE∽△ECF，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝7．∴EC＝BC﹣BE＝7﹣2＝5．∴，∴．21．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C 进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1200米，AN＝2000米，AB＝30米，BC＝45米，AC＝18米，求直线隧道MN的长．【分析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△ANM，再利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ANM，∴，∵BC＝45∴MN＝3000，答：直线隧道MN长为3000米．22．如图所示，甲物体高4米，影长3米，乙物体高2米，影长4米，两物体相距5米．（1）在图中画出灯的位置，并画出丙物体的影子．（2）若灯杆，甲、乙都与地面垂直并且在同一直线上，试求出灯的高度．【分析】（1）首先连接GA、HC并延长交于点O，从而确定点光源，然后连接OE并延长即可确定影子；（2）OM⊥QH设OM＝x，BM＝y，根据三角形相似列出比例式即可确定灯的高度．【解答】解：（1）点O为灯的位置，QF为丙物体的影子；（2）作OM⊥QH设OM＝x，BM＝y，由△GAB∽△GOM得＝即：①，由△CDH∽△OMH得即：②由①②得，x＝4.8，y＝0.6．答灯的高度为4.8米．23．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．【分析】（1）由等腰三角形的三线合一定理先证AD⊥BC，再证∠DAB+∠DBA＝90°，由邻余四边形定义即可判定；（2）由等腰三角形的三线合一定理先证BD＝CD，推出CE＝5BE，再证明△DBQ∽△ECN，推出＝＝，即可求出NC，AC，AB的长度．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FBA与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD+DE＝5BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴＝＝，∵QB＝3，∴NC＝5，∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝10，∴AB＝AC＝10．24．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x 轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．（1）当t＝4时，求点E的坐标；（2）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由相似三角形的性质求出BH＝6，得出OE＝8即可求出点E的坐标．（2）本题需先证出△BCP∽△BAE，求出AE＝t，再分两种情况讨论，求出t的值，即可得出P点的坐标．【解答】解：（1）当t＝4时，PC＝4，过点E作CB的垂线，垂足为H，如图1所示：∵A（2，0），C（0，3），∴OA＝2，OC＝3，∵四边形OABC是矩形，∴AB＝OC＝3，BC＝OA＝2，∵∠BPC+∠PBC＝90°，∠PBC+∠EBH＝90°，∴∠BPC＝∠EBH，∵∠EHB＝∠BCP＝90°，∴△PBC∽△BEH，∴＝，即＝，解得：BH＝6，∴AE＝BH＝6，∴OE＝OA+AE＝2+6＝8，∴点E的坐标是（8，0）；（2）存在，理由如下：∵∠ABE+∠ABP＝90°，∠PBC+∠ABP＝90°，∴∠ABE＝∠PBC，∵∠BAE＝∠BCP＝90°，∴△BCP∽△BAE∴＝，∴＝，∴AE＝t，当点P在点O上方时，如图2所示：若＝时，△POE∽△EAB，∵OP＝3﹣t，OE＝2+t，∴＝，解得：t1＝，t2＝（舍去），∴OP＝3﹣＝，∴P的坐标为（0，），当点P在点O下方时，如图3所示：①若＝，则△OPE∽△ABE，＝，解得：t1＝3+，t2＝3﹣（舍去），OP＝t﹣3＝3+﹣3＝，P的坐标为（0，﹣），②若＝，则△OEP∽△ABE，＝，整理得：t2＝﹣9，∴这种情况不成立，综上所述，存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似，P的坐标为：（0，）或（0，﹣）．25．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD 沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．（2）①证明△ADM∽△GMN，可得＝，由此即可解决问题．②存在．有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时．如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH⊥DG于H．分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∴∠B＝∠BCD＝90°，由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝3，∴EC＝3．（2）①如图2中，∵AD∥CG，∴＝，∴＝，∴CG＝6，∴BG＝BC+CG＝16，在Rt△ABG中，AG＝＝8，在Rt△DCG中，DG＝＝10，∵AD＝DG＝10，∴∠DAG＝∠AGD，∵∠DMG＝∠DMN+∠NMG＝∠DAM+∠ADM，∠DMN＝∠DAM，∴∠ADM＝∠NMG，∴△ADM∽△GMN，∴＝，∴＝，∴y＝x2﹣x+10．当x＝4时，y有最小值，最小值＝2．②存在．由题意：∠DMN＝∠DGM．可以推出∠DNM＝∠DMG，推出∠DNM≠∠DMN，所以有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时，∵∠MDN＝∠GDM，∠DMN＝∠DGM，∴△DMN∽△DGM，∴＝，∵MN＝DM，∴DG＝GM＝10，∴x＝AM＝8﹣10．如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH⊥DG于H．∵MN＝DN，∴∠MDN＝∠DMN，∵∠DMN＝∠DGM，∴∠MDG＝∠MGD，∴MD＝MG，∵MH⊥DG，∴DH＝GH＝5，由△GHM∽△GBA，可得＝，∴＝，∴MG＝，∴x＝AM＝8﹣＝．综上所述，满足条件的x的值为8﹣10或．。
人教版2020年九年级数学上册 第二次月考模拟试卷三(含答案)
，x1=3+ ，x2=3﹣ ；
（2）x（x﹣7）=5x﹣36，整理得：x2﹣12x+36=0，
（x﹣6）2=0，开方得：x﹣6=0，即 x1=x2=6． 18．解：（1）把（0，1），（1，﹣2），（2，1）代入 y=ax2+bx+c 得
，解得
，
所以抛物线解析式为 y=3x2﹣6x+1； （2）y=3（x2﹣2x）+1=3（x2﹣2x+1﹣1）+1=3（x﹣1）2﹣2， 所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）． 19．解：∵关于 x 的方程 2x2+kx+1﹣k=0 的一个根是﹣1，
围栏多少米；若不能完成，请说明理由．
24．已知关于 x 的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）=0，其中 a、b、c 分别为△ABC 三边的长． （1）如果 x=﹣1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
其中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．已知关于 x 的一元二次方程 3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
5．已知当 x＞0 时，反比例函数 y= 的函数值随自变量的增大而减小，此时关于 x 的方程 x2﹣2（k+1）x+k2﹣1=0 的根的情况为（ ）
即 F 点的坐标是（a，
），
∵直线 BC 过点 B（0.3）和 C（﹣3，0）， 设直线 BC 的解析式是 y=kx+b （k≠0），代入得：
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人教版2018年 九年级数学上册 第一次月考模拟卷10月份
一、选择题：
1、将方程3x2﹣x=﹣2(x+1)2化成一般形式后，一次项系数为( )
A.﹣5 B.5 C.﹣3 D.3
2、下列抛物线中，与抛物线y=x2﹣2x+4具有相同对称轴的是( )
A.y=4x2+2x+1 B.y=2x2﹣4x+1 C.y=2x2﹣x+4 D.y=x2﹣4x+2
3、用配方法解方程x2﹣4x﹣1=0，方程应变形为( )
A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=5 C.(x﹣2)2=3 D.(x﹣2)2=5
4、如图，在平面直角坐标系中将△ABC绕点C(0，﹣1)旋转180°得到△A1B1C1，设点A1的坐标为(m，n)，则
点A的坐标为( )
A.(﹣m，﹣n) B.(﹣m，﹣n﹣2) C.(﹣m，﹣n﹣1) D.(﹣m，﹣n+1)
5、二次函数的图像的顶点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6、如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋
转角的度数为( )
A.35° B.40° C.50° D.65°
7、如图，已知顶点为(－3，－6)抛物线y=ax2＋bx＋c经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的是( )
A.b2＞4ac
B.ax2＋bx＋c≥－6
C.若点(－2，m)，(－5，n)在抛物线上，则m＞n
D.关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=－4的两根为－5和－1
8、已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A. B. C.且 D.且
9、有一块长32 cm，宽24 cm的矩形纸片，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做一个无盖的盒子，已
知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是( )
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A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
10、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四
边形AB1OD的面积是( )
A. B. C.－1 D.
11、如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF的长为( )
A.2 B.3 C. D.
12、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=1，
则下列结论：
①a＜0，b＜0；②a+b+c＞0；③a﹣b+c＜0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；
⑤b2﹣4ac＞0；⑥4a+2b+c＞0；⑦a+b＞m(am+b)(m≠1).
其中正确的结论有( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
二、填空题:
13、若一元二次方程ax2﹣bx﹣2016=0有一根为x=﹣1，则a+b=______.
14、关于x的一元二次方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根，则实数a的取值范围是 .
15、如图，将△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED，点D正好落在BC边上.已知∠C=80°，则∠EAB= °.
16、抛物线y=2x2﹣6x+10的顶点坐标是 .
17、如图，Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=55°，点D在边BC上，BD=2CD.把线段BD 绕着点D逆时针旋转
α(0＜α＜180)度后，如果点B恰好落在Rt△ABC的边上，那么α= .
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18、如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0，1)，点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底
的等腰三角形，则点P的坐标为 .
三、解答题:
19、解方程x2－4x＋2=0(配方法); 20、解方程：x2-5x-1=0.
21、二次函数图像的顶点坐标是(-2，3)，并经过点(1，2)，求这个二次函数的函数关系式。
22、某企业2015年收入2500万元，2017年收入3600万元.
(1)求2015年至2017年该企业收入的年平均增长率；
(2)根据(1)所得的平均增长率，预计2016年该企业收入多少万元？
23、已知二次函数y=﹣x2+2x+3.
(1)求函数图象的顶点坐标和图象与x轴交点坐标；
(2)当x取何值时，函数值最大？
(3)当y＞0时，请你写出x的取值范围.
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24、在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，0)，点B(0，3)，把△ABO绕点B逆时针旋转，得到△A′BO′，
点A，O旋转后的对应点分别为A′，O′，记旋转角为α.
(1)如图①，若α=90°，求AA′的长；
(2)如图②，若α=120°，求点O′的坐标.
25、已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A(α，0)，B(β，0)，且=﹣2，
(1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，
y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形(保留作图痕迹)，并求出周长的最小值；若
不存在，请说明理由.
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(3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标.
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参考答案
1、D
2、B
3、D
4、B
5、D
6、C
7、C
8、D
9、C
10、D
11、A
12、C
13、2016.
14、答案为a≥1且a≠5.
15、答案为：20.
16、答案为：(，).
17、答案为：70°或120°.
18、(1+，2)或(1﹣，2) .
19、x1=2＋，x2=2－
20、x1= ，x2=.
21、
22、解：(1)设2013年至2015年该企业收入的年平均增长率为x.
由题意，得2500(1+x)2=3600，解得x1=0.2，x2=﹣2.2(舍).
答：2013年至2015年该企业收入的年平均增长率为20%；
(2)3600(1+20%)=4320(万元).答：根据(1)所得的平均增长率，预计2016年该企业收入4320万元.
23、解：(1)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，∴图象顶点坐标为(1，4)，
当y=0时，有﹣x2+2x+3=0解得：x1=﹣1，x2=3，
∴图象与x轴交点坐标为(﹣1，0)，(3，0)；
(2)由(1)知，抛物线顶点坐标为(1，4)，且抛物线开口方向向下，当x=1时，函数值最大；
(3)因为图象与x轴交点坐标为(﹣1，0)，(3，0)，且抛物线开口方向向下，所以当y＞0时，﹣1＜x＜3.
24、解：(1)∵点A(4，0)，点B(0，3)，∴OA=4，OB=3.∴AB==5.
∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′，∴BA=BA′，∠ABA′=90°.
∴△ABA′为等腰直角三角形，∴AA′=BA=5.
(2)作O′H⊥y轴于点H.
∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°.∴∠HBO′=60°.
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在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°-∠HBO′=30°，∴BH=BO′=.∴O′H=.
∴OH=OB+BH=3+=.∴点O′的坐标为(，).
25、解：(1)由题意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得，
α+β=，αβ=﹣2，∵=﹣2，∴=﹣2，即=﹣2，解得：m=1，
故抛物线解析式为：y=﹣x2+4x+2；
(2)存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小，
∵y=﹣x2+4x+2=﹣(x﹣2)2+6，∴抛物线的对称轴l为x=2，顶点D的坐标为：(2，6)，
又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：(0，2)，点E与点C关于l对称，∴E点坐标为：(4，2)，
作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，
则D′的坐标为；(﹣2，6)，E′坐标为：(4，﹣2)，
连接D′E′，交x轴于M，交y轴于N，
此时，四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，如图1所示：
延长E′E，′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8，
则D′E′===10，
设对称轴l与CE交于点G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2，
∴DE===2，∴四边形DNME的周长最小值为：10+2；
(3)如图2，P为抛物线上的点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE，
∴PH=DG=4，∴|y|=4，∴当y=4时，﹣x2+4x+2=4，解得：x1=2+，x2=2﹣，
当y=﹣4时，﹣x2+4x+2=﹣4，解得：x3=2+，x4=2﹣，
故P点的坐标为；(2﹣，4)，(2+，4)，(2﹣，﹣4)，(2+，﹣4).