2017届江西省上饶市高三第一次模拟考试(理)数学试卷(带解析)

18．（1）30万（2） ，分布列见解析
【解析】
试题分析：（1）根据频率分布直方图，求用水量大于等于3吨的频率，频率乘以全市的人数等于3.6万人，求解方程；（2）首先根据频率和为1，计算 ，再分别计算用水量在 和 的户数，再根据分层抽样计算两组分别抽取多少户，再列举所有 的情况，以及随机变量 的值，最后得到 的分布列和数学期望.
5．《九章算术》教会了人们用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织6尺布，现一月（按30天计）共织540尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布．
A. B. C. D.
6．已知双曲线方程为 ，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
试题解析：（1）由图，不低于3吨人数所占百分比为 ，所以假设全市的人数为 （万人），则有 ，解得 ，
所以估计全市人数为30万．
（2）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，
因为频率 ，
所以 ，得 ，
用水量在 之间的户数为 户，而用水量在 吨之间的户数为 户，根据分层抽样的方法，总共需要抽取7户居民，所以用水量在 之间应抽取的户数为 户，而用水量在 吨之间的户数为 户．
（2）设 为曲线 上的点，求 中点 到曲线 上的点的距离的最小值．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数 ， ．
（1）解不等式 ；
（2）若存在 ，也存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
参考答案
1．A
【解析】
或 ， ，那么 ，故选A.
2．D
【解析】
， ，故选D.
3．A
【解析】
，故选A.
4．B
【解析】
所以 ．
（2）由 ，得 ，
数列 ，
所以它的前 项和 ．
【点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和， ， , 等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和.
19．在三棱柱 中，已知侧面 是菱形，侧面 是正方形，点 在底面 的投影为 的中点 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）设 为 上一点，且 ，求二面角 的正弦值．
20．已知椭圆 ： ，圆 ： 的圆心 在椭圆 上，点 到椭圆 的右焦点的距离为2．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作直线 交椭圆 于 ， 两点，若 ，求直线 的方程．
（1）若全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，试估计全市有多少居民？并说明理由；
（2）若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为 和 之间选取7户居民作为议价水费价格听证会的代表，并决定会后从这7户家庭中按抽签方式选出4户颁发“低碳环保家庭”奖，设 为用水量吨数在 中的获奖的家庭数， 为用水量吨数在 中的获奖家庭数，记随机变量 ，求 的分布列和数学期望．
6．A
【解析】
过焦点的最短弦长有可能是 或是过焦点垂直于长轴所在直线的弦长为 ， ， ，所以过焦点的最短弦长为 ，即 ， ， ，所以 ， 即 ，故选A.
7．C
【解析】
，所以函数是奇函数，而只有C的图象不是奇函数的图象，不关于原点对称，故选C.
8．D
【解析】
几何体如下图，几何体为底面为直角梯形的直四棱柱，截去阴影表示的三棱锥，所以体积为 ,故选D.
17．（1） （2）
【解析】
试题分析：（1）根据等比数列的性质， ，求得 ， ，整理为： ，求得 ，最后列通项公式；（2）由（1）可知， ，利用累乘的方法求 的通项，代入 ，采用裂项相消的方法求和.
试题解析：（1）由前5项积为243得： ，设等比数列的公比为 ，
由 为 和 的等差中项得： ，由公比不为1，解得： ，
绝密★启用前
2017届江西省上饶市高三第一次模拟考试（理）数学试卷（带解析）
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、选择题
1．已知 为实数集，集合 ， ，则 （ ）
评卷人
得分
三、解答题
17．已知公比不为1的等比数列 的前5项积为243，且 为 和 的等差中项．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）若数列 满足 （ 且 ），且 ，求数列 的前 项和 ．
18．水是地球上宝贵的资源，由于价格比较便宜在很多不缺水的城市居民经常无节制的使用水资源造成严重的资源浪费．某市政府为了提倡低碳环保的生活理念鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 （吨），一位居民的月用水量不超过 的部分按平价收费，超出 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 ， ， ，…， 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
15．
【解析】
常数项为 ，则 ，原式为
16．
【解析】
,解得： ,函数在 的对称轴为 ， ，…… .相邻对称轴间的距离为 ，所以 ， ，以此类推， ，这 项构成以首项为 ， 为公差的等差数列，第 项为 ，所以 ，解得 ，所以
【点睛】本题考查了三角函数的零点问题，三角函数的考查重点是性质的考查，比如周期性，单调性，对称性等，处理抽象的性质最好的方法就是画出函数的图象，这样根据对称性就比较好解决了，本题有一个易错点是，会算错定义域内的零点个数，这就需结合对称轴和数列的相关知识，防止出错.
试题解析：（1）因为椭圆 的右焦点 ， ，所以 ，
因为 在椭圆 上，所以 ，
由 ，得 ， ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）由 得： ，
即 ，可得 ，
①当 垂直 轴时， ，
此时满足题意，所以此时直线 的方程为 ；
9．C
【解析】
当 ，则 ， 时需退出循环，即 时判断框内为是， 为否，故选C.
【点睛】循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.
据题意可知随机变量 的取值为0,2,4．
，
，
，
其分布列为：
0
2
4
期望为： ．
19．（1）详见解析（2）
【解析】
试题分析：（1）要证明面面垂直，可先证明线面垂直，由已知可得 ，以及证明 平面 ,得 ,这样根据线面垂直的判断定理证明 平面 ， 平面 ,所以得证；（2）根据（1）如图，建立空间直角坐标系，根据平面几何关系写出坐标，求平面 和平面 的法向量 ， ，求 的值，最后求正弦值.
A. B. C. D.
7．函数 的图象不可能是（ ）
A. B.
C. D.
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.5B. C. D.
9．执行如图所示的程序框图，如果输出 ，那么判断框内应填入的条件是（ ）
A. B. C. D.
10．大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的 ， ， ， 四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）
10．B
【解析】
当 户家庭的孪生姐妹乘坐甲车或乙车时，则另两个小孩，是另外两个家庭的一个小孩，有 种方法，故选B.
11．C
【解析】
如下图，画出可行域，目标函数的斜率为 ，所以当目标函数过点 时函数取得最小值，即 ，那么 ，等号成立的条件为 ，故选C.
【点睛】本题考查了线性规划和基本不等式求解最值问题，基本不等式常考的类型，已知和为定值，求积的最大值，经常使用公式 ，已知积为定值，求和的最小值， ，已知和为定值，求和的最小值，例如：已知正数 ， ，求 的最小值，变形为 ，再 ，构造1来求最值.
A.根据逆否命题的等价性，先判断其逆否命题，“若 或 ，则 ”不正确，所以A不正确；B. ，则 或 ，根据集合的关系，所以B正确；C.否定应是“ 都有 ”，所以C不正确；D.正太曲线的对称轴是 ，根据对称性， ,即 ，解得 ，D不正确，故选B.
5．B
【解析】
此数列为等差数列，设公差为 ，那么 ， ，解得： ，故选B.
13．
【解析】
根据正弦定理， ,解得 ,若 的面积最大，即角 为锐角， ,根据余弦定理， ,代入得到 ，即 的最大值为12，所以 面积的最大值为 .
14．
【解析】
如下图，建立坐标系， , , , ,则 , ,则 .
【点睛】本题重点考察了向量数量积的运算，1.一般求向量数量积可用定义法求解， ，一般容易错在夹角上面，所以应根据具体的图形确定夹角；2.还可利用坐标法表示数量积 ，需建立坐标系解决问题，比如本题；3.还可将已知向量用未知向量表示，转化为那些知道模和夹角的向量.
A. B. C. D.
2．设复数 ，则 的共轭复数是（ ）
A.1B. C. D.
3．已知 ，则 的值等于（ ）
A. B. C. D.
4．下列说法正确的是（ ）
A. ， ，若 ，则 且
B. ，“ ”是“ ”的必要不充分条件