2021-2022年高三数学12月阶段性质量检测试题理
四川省绵阳市南山中学2021-2022学年高二上学期12月月考试题 数学(理) Word版含答案
开始3,1,2S n T ===3S S =+2?T S >是否T 输出结束+1n n =+3T T n=2021年12月 绵阳南山中学2021年秋季高2021届12月月考数学试题命题人：吴川满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题：本题共12题，每小题4分，共48分，在每小题的四个选项中，只有一个正确答案，把正确答案填涂在机读卡上。
1．已知点A (0,4)，B (4,0)在直线l 上，则l 的方程为( ) A ．x ＋y －4＝0 B ．x －y －4＝0 C ．x ＋y ＋4＝0D ．x －y ＋4＝02. 质点在数轴上的区间[0,2]上运动，假定质点消灭在该区间各点处的概率相等，那么质点落 在区间[0,1]上的概率为( )A.14B.13C.12 D ．以上都不对 3．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =( ) A ．4- B ．6- C ．8- D ．10-4．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估平均数与中位数分别是( ) A ．12.5、12.5 B ．12.5、13 C ．13、12.5 D ．13、135．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷1次，设大事A 表示“向上的一面消灭的点数不小于3”，大事B 表示“向上的一面消灭奇数点”，大事C 表示“向上的一面消灭的点数不超过2”，则( ) A ． A 与B 是互斥而非对立大事 B ． A 与B 是对立大事 C ． A 与C 是互斥而非对立大事 D ． A 与C 是对立大事6．已知圆C ：22()(2)4(0)x a y a -+-=>及直线03:=+-y x l ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a =( )A ．2B ．22-C ．12-D ．12+ 7. 假如方程11222=+++m ym x 表示双曲线，则实数m 的取值范围是( ) A. )1,2(-- B. ),1()2,(+∞---∞ C. )1,1(- D. )2,3(--8．某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：度）与气温x （单位：c ︒）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对比表：x (单位：c ︒)1714 10 1-y (单位：度)2434 3864由表中数据得线性回归方程：a x y +-=∧2.当气温为c ︒20时，猜测用电量约为( ) A. 5 B ．10 C. 16 D. 20 9. 执行如图所示的程序框图，输出的T =( ) A ．29 B ．44 C ．52 D ．62 10.已知抛物线22y px =(0)p >，过其焦点且斜率为-1的直线 交抛物线于,A B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则 该抛物线的准线方程为( )A ．1x =B ．2x =C ．1x =-D ．2x =- 11.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若112(2)m m m a a a m +-⋅=≥，数列{}n a 的前n 项积为n T ， 若21512m T -=，则m 的值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．712.我们把由半椭圆)0(1)0(122222222<=+≥=+x cx b y x b y a x 与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中0,222>>>+=c b a c b a ）。
2021-2022学年广东省东莞市七校高三(上)联考数学试卷(12月份)(学生版+解析版)
2021-2022学年广东省东莞市七校高三（上）联考数学试卷（12月份）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．（5分）已知z ＝1﹣i ，则z(z +2i)=（ ） A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣2iD ．2i3．（5分）二项式(2x −√x)5展开式中，x 3的系数等于（ ） A ．10B ．﹣10C ．80D ．﹣804．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（ ） A ．30种B ．144种C ．5种D ．4种5．（5分）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（ ） A ．5√5π6B ．8√2π3 C ．20√5π3D ．64√2π36．（5分）若tan α＝3，则1+cos2αsin2α=（ ）A ．−12B ．13C ．±13D ．27．（5分）已知双曲线C 的离心率为√3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为4√2，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．68．（5分）已知函数f （x ）={lnxx，x ＞01−x 2，x ≤0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，则（ ）A ．1＜k ≤eB ．−1e＜k ＜0 C ．0＜k ＜1eD ．1e＜k ＜1二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．（5分）如图所示，在5×5的方格中，点O ，A ，B ，C 均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（ ）A ．OB →=OA →+OC →B ．|OA →|=|OC →|=12|OB →| C ．AC →=OB →−2OC →D ．OA →⋅OB →=OC →⋅OB →10．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称B ．函数f （x ）的图象关于x =π2直线对称 C ．函数f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．y ＝1与图象y =f(x)(−π12≤x ≤23π12)的所有交点的横坐标之和为8π311．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 9＝S 17，则下列说法正确的是（ ） A ．a 8＝0B ．a 9＝0C ．a 1＝S 16D ．S 8＞S 1012．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，下列说法正确的是（ ）A ．对任意点P ，DP ∥平面AB 1D 1B ．三棱锥P ﹣A 1DD 1的体积为16C ．线段DP 长度的最小值为√62D ．存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 13．（5分）若随机变量X ～B （n ，13），且E （X ）∈N *，写出一个符合条件的n ＝ ．14．（5分）已知函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，且g （1）＝3，则g （﹣1）＝ ．15．（5分）函数f(x)=1+12x +cosx 在(0，π2)上的单调递增区间是 ．16．（5分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为 ．（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771）四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =n 2+3n ，n ∈N *． （1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{1a 2n−1⋅a 2n+1}的前n 项和T n ．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC +csinBcosA =12b ，且a ≥b ．（1）求角B 的值；（2）若A =π6，且△ABC 的面积为4√3，求BC 边上的中线AM 的长．19．（12分）某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为34，三步篮投中的概率为45，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次． （Ⅰ）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （Ⅱ）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD =√2，BC ＝2√2，P A ＝1． （1）求证：AB ⊥PC ；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M ﹣AC ﹣D 的大小为45°，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．21．（12分）设椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，椭圆的右焦点恰好是直线x +y −√3=0与x 轴的交点，椭圆的离心率为√32． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过定点N （﹣1，0）的直线与椭圆E 交于C ，D 两点（与点A ，B 不重合），证明：直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值． 22．（12分）已知f （x ）＝lnx +ax （a ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，若f （x ）≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立，证明：2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．2021-2022学年广东省东莞市七校高三（上）联考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}【解答】解：∵集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：C ．2．（5分）已知z ＝1﹣i ，则z(z +2i)=（ ） A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣2iD ．2i【解答】解：∵z ＝1﹣i ，∴z(z +2i)=（1+i ）（1﹣i +2i ）＝（1+i ）2＝2i ． 故选：D ．3．（5分）二项式(2x −√x)5展开式中，x 3的系数等于（ ） A ．10B ．﹣10C ．80D ．﹣80【解答】解：由于二项式(2x −√x)5展开式的通项公式为T r +1＝C 5r •（2x ）5﹣r(−√x)r =（﹣1）r •25﹣r C 5r x 5−r2，令5−r2=3，解得r ＝4，∴展开式中x 3的系数是（﹣1）4•25﹣4C 54＝10．故选：A ．4．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（ ） A ．30种B ．144种C ．5种D ．4种【解答】解：这是不相邻问题，采用插空法，先排其余的3名同学，有A 33种排法，出现4个空，将甲、乙、丙插空，所以共有A 33A 43＝144种排法， 故选：B ．5．（5分）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（ ） A ．5√5π6B ．8√2π3C ．20√5π3D ．64√2π3【解答】解：圆柱的轴截面是边长为2的正方形，其外接圆的半径为√2， 则圆柱的外接球的半径为√2，可得该圆柱的外接球的体积为V =43π×(√2)3=8√2π3． 故选：B ．6．（5分）若tan α＝3，则1+cos2αsin2α=（ ）A ．−12B ．13C ．±13D ．2【解答】解：∵tan α＝3，则1+cos2αsin2α=2cos 2α2sinαcosα=cosαsinα=1tanα=13，故选：B ．7．（5分）已知双曲线C 的离心率为√3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为4√2，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．6【解答】解：由题意知，点P 在右支上，则|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝3|PF 2|， ∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，又e =ca =√3，∴|F 1F 2|=2c =2√3a ，则在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=9a 2+a 2−12a 22⋅3a⋅a =−13， ∴sin ∠F 1PF 2=2√23，故S △PF 1F 2=12⋅a ⋅3a ⋅2√23=4√2，解得a ＝2， ∴实轴长为2a ＝4， 故选：C ．8．（5分）已知函数f （x ）={lnxx，x ＞01−x 2，x ≤0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，则（ ）A ．1＜k ≤eB ．−1e＜k ＜0 C ．0＜k ＜1eD ．1e＜k ＜1【解答】解：当x ＞0时，f （x ）=lnx x ，∴f '（x ）=1−lnx x 2， 令f '（x ）＝0，得x ＝e ，∴当x ∈（0，e ）时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当x ∈（e ，+∞）时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减， 又f （e ）=lne e =1e ，当x ≤0时，f （x ）＝1﹣x 2单调递增，画出函数f （x ）的图像，如图所示，∵函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，即方程f （x ）﹣k ＝0有三个不等实根， ∴函数y ＝f （x ）与y ＝k 有三个交点， 由图像可知，0＜k ＜1e， 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．（5分）如图所示，在5×5的方格中，点O ，A ，B ，C 均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（ ）A ．OB →=OA →+OC →B ．|OA →|=|OC →|=12|OB →| C ．AC →=OB →−2OC →D ．OA →⋅OB →=OC →⋅OB →【解答】解：由图知，四边形OABC 为菱形，选项A ，由平行四边形加法法则知，OB →=OA →+OC →，即A 正确；选项B ，|OA →|＝|OC →|=√17，|OB →|=√34，所以不满足|OA →|＝|OC →|=12|OB →|，即B 错误；选项C ，AC →=OC →−OA →=OC →−（OB →+BA →）=OC →−（OB →−OC →）=−OB →+2OC →，即C 错误；选项D ，因为四边形OABC 为菱形，所以∠AOB ＝∠COB ，且|OA →|＝|OC →|，由平面向量数量积的运算法则知，OA →•OB →=OC →•OB →成立，即D 正确． 故选：AD ．10．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称B ．函数f （x ）的图象关于x =π2直线对称 C ．函数f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．y ＝1与图象y =f(x)(−π12≤x ≤23π12)的所有交点的横坐标之和为8π3【解答】解：根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象， 可得A ＝2，14×2πω=2π3−5π12，∴ω＝2．结合五点法作图，可得2×5π12+φ＝π，∴φ=π6，故f （x ）＝2sin （2x +π6）．令x =−π12，求得f （x ）＝0，可得函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称，故A 正确； 令x =π2，求得f （x ）＝﹣1，不是最值，故函数f （x ）的图象关不于x =π2直线对称，故B 错误；在区间[−π3，π6]上，2x +π6∈[−π2，π2]，函数f （x ）单调递增，故C 正确；当x∈[−π12，23π12]，2x+π6∈[0，4π]，直线y＝1与图象y=f(x)(−π12≤x≤23π12)的4个交点关于直线2x+π6=3π2对称．设这4个交点的横坐标分别为a、b、c、d，a＜b＜c＜d，则（2a+π6）+（2d+π6）＝2×3π2，（2b+π6）+（2c+π6）＝2×3π2，故所有交点的横坐标之和为a+b+c+d=8π3，故D正确，故选：ACD．11．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a9＝S17，则下列说法正确的是（）A．a8＝0B．a9＝0C．a1＝S16D．S8＞S10【解答】解：由{a n}是等比数列，得S17=172（a1+a17）＝17a9，又a9＝S17，得a9＝17a9，解得a9＝0，所以选项B正确；由于a8＝a9﹣d，且d≠0，所以a8≠0，选项A错误；由a9＝a1+8d＝0，得a1＝﹣8d，则S16＝16a1+16×152d＝16×（﹣8d）+15×8d＝﹣8d＝a1，所以选项C正确；若该数列a1＜0，d＞0，则当n≤8时，a n＜0，当n＝9时，a n＝0，当n≥10时，a n＞0，此时S8＜S10＝S8+a9+a10，选项D错误；故选：BC．12．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，下列说法正确的是（）A．对任意点P，DP∥平面AB1D1B ．三棱锥P ﹣A 1DD 1的体积为16C ．线段DP 长度的最小值为√62D ．存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3【解答】解：连接DB ，由BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1， 得四边形DD 1B 1B 为平行四边形，∴DB ∥D 1B 1，由DB ⊄平面AB 1D 1，D 1B 1⊂平面AB 1D 1， 得BD ∥平面AB 1D 1，同理DC 1∥平面AB 1D 1，又BD ∩DC 1＝D ，可得平面DBC 1∥平面AB 1D 1， ∴对任意点P ，DP ∥平面AB 1D 1，故A 正确； V P−A 1DD 1=V C 1−A 1DD 1=13×12×1×1×1=16，故B 正确； 当P 为BC 1中点时，DP ⊥BC 1，此时线段DP 长度的最小值为12+(√22)2=√62，故C正确；当P 在线段BC 1上运动时，DP 长度的最小值为√62，最大值为√2， 则PC 长度的范围为[√22，1]，而P 到平面ADD 1A 1的距离为定值1， 则DP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值∈[√22，1]． 最大值小于√3，则不存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3，故D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 13．（5分）若随机变量X ～B （n ，13），且E （X ）∈N *，写出一个符合条件的n ＝ 3 ．【解答】解：令n ＝3时，则随机变量X ～B （3，13），E （X ）=3×13=1∈N ∗， 故n ＝3，符合题意． 故答案为：3．14．（5分）已知函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，且g （1）＝3，则g （﹣1）＝ 1 ．【解答】解：函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，则g （﹣x ）+g （x ）＝f （﹣x ）+2+f （x ）+2＝[f （﹣x ）+f （x ）]+4＝0+4＝4， 所以g （﹣1）＝4﹣g （1）＝4﹣3＝1． 故答案为：1．15．（5分）函数f(x)=1+12x +cosx 在(0，π2)上的单调递增区间是 (0，π6) ． 【解答】解：函数f(x)=1+12x +cosx ，可得f ′（x ）=12−sin x ，令12−sin x ＞0，因为x ∈(0，π2)，所以，解得x ∈(0，π6)， 故答案为：(0，π6)．16．（5分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为 8 ．（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771） 【解答】解：第一次操作去掉的线段长度为13，第二次操作去掉的线段长度之和为23•13，第三次操作去掉的线段长度之和为23•23•13，……第n 次操作去掉的线段长度之和为(23)n−1•13，由题意知，(23)n−1•13≥160，则(23)n ≥130， 则nlg 23≥−lg 30＝﹣1﹣lg 3，所以n （lg 2﹣lg 3）≥﹣1﹣lg 3，即n ≤1+lg3lg3−lg2， 又lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771， 可得n ≤8，故n 的最大值为8． 故答案为：8．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =n 2+3n ，n ∈N *． （1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{1a2n−1⋅a 2n+1}的前n 项和T n ．【解答】解：（1）当n ＝1时，2S 1＝4，∴a 1＝2，当n ≥2时，2S n−1=(n −1)2+3(n −1)，又2S n =n 2+3n ， 两式相减得2a n ＝2n +2，所以a n ＝n +1， 故{a n }的通项公式为a n =n +1(n ∈N ∗)． （2）由（1）知1a 2n−1a 2n+1=12n(2n+2)=14×1n(n+1)=14(1n−1n+1)，∴T n =14[(11−12)+(12−13)+⋅⋅⋅+(1n−1n+1)]=14(1−1n+1)=n 4n+4． 18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC +csinBcosA =12b ，且a ≥b ．（1）求角B 的值；（2）若A =π6，且△ABC 的面积为4√3，求BC 边上的中线AM 的长． 【解答】解：（1）因为a sin B cos C +c sin B cos A =12b ， 由正弦定理得sin A sin B cos C +sin C sin B cos A =12sin B ，因为sin B ≠0，整理得sin A cos C +sin C cos A =12，即sin （A +C ）=12，得sin B =12，又a ≥b ，所以0＜B ＜π2，可得B =π6．（2）由（1）知B =π6，若A =π6，可得C =2π3， 则S △ABC =12ab sin C =12a 2sin2π3=4√3，所以a ＝4，a ＝﹣4（舍），又在△AMC 中，AM 2＝AC 2+MC 2﹣2AC •MC cos 2π3，所以AM 2＝AC 2+（12AC ）2﹣2AC •12AC cos2π3=42+22﹣2×4×2×（−12）＝28，所以AM ＝2√7．19．（12分）某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为34，三步篮投中的概率为45，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次． （Ⅰ）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （Ⅱ）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A ，“三步篮投中”为事件B ， “该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C ， 则P （A ）=34P （B ）=45所以P （C ）=34⋅C 21⋅45⋅15=625；（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，所以P（X＝0）=(1−34)⋅C20⋅(45)0⋅(15)2=1100，P（X＝1）=(1−34)⋅C21⋅45⋅15=8100，P（X＝2）=34⋅C20⋅(45)0⋅(15)2+14⋅C22⋅(45)2=19100，P（X＝3）=34⋅C21⋅45⋅15=24100，P（X＝4）=34⋅C22⋅(45)2=48100，所以X的分布列为：X01234P11008100191002410048100故E（X）＝0×1100+1×8100+2×19100+3×24100+4×48100=3.1，则该同学得分的数学期望是3.1分．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD ＝CD=√2，BC＝2√2，P A＝1．（1）求证：AB⊥PC；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：由已知得四边形ABCD是直角梯形，由AD=CD=√2，BC=2√2，可得AB＝AC＝2，故△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，∵P A⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB，又P A∩AC＝A，∴AB⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴AB⊥PC．（2）解：取BC的中点E，连接AE，则AE⊥BC，建立如图所示的空间直角坐标系，A （0，0，0），C(√2，√2，0)，D(0，√2，0)，P （0，0，1）， B(√2，−√2，0)，PD →=(0，√2，−1)，AC →=(√2，√2，0)， 设PM →=tPD →(0≤t ≤1)， 则点M 为(0，√2t ，1−t)， 所以AM →=(0，√2t ，1−t)，设平面MAC 的法向量是n →=(x ，y ，z)， {AC →⋅n →=√2x +√2y =0AM →⋅n →=√2ty +(1−t)z =0， 令x ＝1，n →=(1，−1，√2t1−t )，又m →=(0，0，1)是平面ACD 的一个法向量，∴|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=|√2t 1−t |√2+(√2t 1−t)=cos45°=√22，解得t =12，即点M 是线段PD 的中点．此时平面MAC 的一个法向量可取n →=(1，−1，√2)，BM →=(−√2，2√2，12)， 设BM 与平面MAC 所成的角为θ， 则sinθ=|cos〈n →，BM →〉|=|n →⋅BM →||n →|⋅|BM →|=2√69， ∴BM 与平面MAC 所成角的正弦值为2√69．21．（12分）设椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，椭圆的右焦点恰好是直线x +y −√3=0与x 轴的交点，椭圆的离心率为√32． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过定点N （﹣1，0）的直线与椭圆E 交于C ，D 两点（与点A ，B 不重合），证明：直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值． 【解答】解：（1）∵直线x +y −√3=0与x 轴的交点为(√3，0)，∴c =√3． 又∵e =ca =√32，∴a ＝2， ∴b 2＝a 2﹣c 2＝1． ∴椭圆E 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）证明：由（1）可得A （﹣2，0），B （2，0）．由题知过点N （﹣1，0）的斜率不为0，故设直线的方程为x ＝my ﹣1， 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）．联立{x =my −1x 24+y 2=1，整理，得（4+m 2）y 2﹣2my ﹣3＝0，Δ＝4m 2+12（4+m 2）＞0，∴y 1+y 2=2m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2． 设直线AC 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线BD 的方程为y =y2x 2−2(x −2)， 联立两条直线方程，解得x =2⋅y 1(x 2−2)+y 2(x 1+2)y 2(x 1+2)−y 1(x 2−2)①， 将x 1＝my 1﹣1，x 2＝my 2﹣1代入①，得x =2⋅2my 1y 2+(y 1+y 2)−4y 1(y 1+y 2)+2y 1②， 将y 1+y 2=m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2代入②，得x ＝2.−4(m4+m 2+y 1)2(m 4+m 2+y 1)=−4，∴直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值﹣4． 22．（12分）已知f （x ）＝lnx +ax （a ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，若f （x ）≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立，证明：2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．【解答】解：（1）因为f ′（x ）=1x +a （x ＞0）， 当a ≥0时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＜0时，若x ∈（0，−1a）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 若x ∈（−1a，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 综上，当a ≥0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＜0时，f （x ）在（0，−1a ）上单调递增，f （x ）在（−1a ，+∞）上单调递减． （2）证明：因为lnx +x ≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立， 所以b ≥lnx +x ﹣k （x +1）在（0，+∞）上恒成立， 设g （x ）＝lnx +x ﹣k （x +1）， 所以g ′（x ）=1x +1﹣k （x ＞0），当k ≤1时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 此时b ≥g （x ）不恒成立， 当k ＞1时，若x ∈（0，1k−1）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，若x ∈（1k−1，+∞）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，所以g （x ）max ＝g （1k−1）＝ln1k−1+1k−1−k （1k−1+1）＝﹣ln （k ﹣1）﹣k ﹣1，所以b ≥﹣ln （k ﹣1）﹣k ﹣1， 又因为2k+b−2k−1=2+bk−1≥2+−ln(k−1)−k−1k−1=1−ln(k−1)+2k−1， 令t ＝k ﹣1＞0， h （t ）＝1−lnt+2t， 所以h ′（t ）=lnt+1t 2， 当t ∈（0，1e）时，h ′（t ）＜0，h （t ）单调递减， 当t ∈（1e ，+∞）时，h ′（t ）＞0，h （t ）单调递增，所以h （t ）min ＝h （1e）＝﹣e +1，所以2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．。
2021-2022年高三上学期第一次调研 数学(理)
2021-2022年高三上学期第一次调研 数学（理）本试卷共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1. 已知集合{0,1,2},{|11,}M N x x x Z ==-≤≤∈，则 A. B.C.D.2. 函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为，则的值是A. B. C. D. 3. 若函数同时满足下列两个条件，则称函数为“函数”：（1）定义域为的奇函数； （2）对，且，都有.有下列函数：①；②；③；④其中为“函数”的是A ．①B ．②C ．③D ．④4. 如果平面向量，那么下列结论中正确的是A. B. C. D. ∥5. 设是公差不为零的等差数列的前项和，且，若，则当最大时，A ．6B ．7C ．10D ．96. 已知是不共线的向量，,(,),AB a b AC a b R λμλμ=+=+∈若三点共线,则的关系一定成立的是 A ．B ．C ．D ．7. 已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是，则A.B.C.D. 或18.在中，已知32,4b c a A ===，则的面积是 A ． B ． C ．D ．9. 函数在区间上的图像大致是10. 边上有10个不同点, 记 ， 则 A. B. C.11. 已知数列满足，若从中提取一个公比为的等比数列，其中且12,*n n k k k k N <<<∈，则公比的最小值为A. B. C.D.12. 在中，，其面积为，则的取值范围是 A. B. C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 设函数，则 .14. 向量(cos10,sin10),(cos70,sin70)a b =︒︒=︒︒， ．15. 斐波那契数列，又称黄金分割数列, 因意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入，1210故又称为“ 兔子数列”：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……，其递推公式为：(1)(2)1,()(1)(2)(2,*)F F F n F n F n n n N ===-+->∈，若此数列每项被4除后的余数构16. 已知函数的定义域为，若对于任意的，存在唯一的，使 得成立，则称在上的算术平均数为，已知函数，则在区间上的算术平均数是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 已知是等比数列，满足，，数列是首项为，公差为的等差数列． （1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和．18．（12分）海上某货轮在处看灯塔在货轮的北偏东，距离为海里；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为海里；货轮向正北由处行驶到处时看灯塔在货轮的北偏东. （1）画出示意图并求处与处之间的距离；（2）求灯塔与处之间的距离.19．（12分）已知，且51sin(),tan 1322ααβ+==． （1）求的值；（2）证明：．20．（12分）已知，数列满足111,()(*)n n a a f a n N +==∈ （1）求证：是等差数列；（2）设，求的前项和 21．（12分） 已知函数（1）若函数在处的切线过点，求的值；（2）当时，若函数在上没有零点，求的取值范围.22．（12分）设函数()ln ,()(2)2()2f x x g x a x f x a ==--+- （1）当时，求函数的单调区间；（2）设()|()|(0)1bF x f x b x =+>+，对任意都有 ，求实数的取值范围.参考答案一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CABCBDAABDCD二、填空题：13. -2; 14. ; 15. 1 ; 16. 2三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）解：（1）设等比数列的公比为．由题意，得，．所以．……………3分又数列是首项为，公差为的等差数列， 所以．从而．……………5分（2）由（Ⅰ）知数列的前项和为．……………7分数列的前项和为．……………9分 所以，数列的前项和为．………10分18．（12分）解：由题意画出示意图，如图所示.-----------------2分（1）中，由题意得，由正弦定理得(海里). -------7分（2）在中，由余弦定理，2222222cos302422483CD AD AC AD AC=+-⨯︒=+-⨯⨯=⨯故(海里).所以处与处之间的距离为24海里；灯塔与处之间的距离为海里. --12分19．（12分）解：（1）因为，所以22tan42tan31tan2ααα==-----------------------3分所以22sin4,(0,)cos32sin cos1απαααα⎧=⎪∈⎨⎪+=⎩，解得------------------------------------6分另解：22222222221cos sin1tan1()32222cos cos sin1225cos sin1tan1()2222ααααααααα---=-====+++（2）由已知得，又所以12cos()13αβ+==------------------------------------8分又------------------------9分sin sin[()]sin()cos cos()sinβαβααβααβα=+-=+-+531246312()1341556513=⨯--⨯=>-----------------------12分20．（12分）解：(1)由已知得1111111(),1,11nn nn n n n naa f aa a a a a+++==∴=+∴-=+---------------4分∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n是公差为1的等差数列．--------------------------------------------6分（2）因为，所以111(1)1,nnn n aa n=+-⨯=∴=--------------------------------8分231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ （1）234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯++⨯（2） ---------------------------------10分（2）-（1）：23122222n n n S n +=-----+⨯ -------------------------------------------11分1112222(2)2n n n n n +++=-+⨯=+-⨯即： ------------------------------------------------12分 21．（12分）解：（1）(),(0)1x f x e m k f m ''=-==- ------------------------------------------2分 因为所以切点为 ------------------------------------------3分 所以切线方程为， ------------------------------------------5分 过点，所以 -------------------------------------------6分 （2）当时，无零点, 方程无实根函数无公共点 ---------------------------8分 如图,当两函数图象相切时,设切点为 所以切线方程为, ------------------10分 过点(0,0),此时,所以 --------------------------------------12分22．（12分） 解：（1）当时，定义域为 -------------------------------------------------3分 当时，单调递减 当时，单调递增综上，的递减区间是，递增区间是 ---------------------------------5分（2）由已知1211221212()()()[()]10,0F x F x F x x F x x x x x x -+-++<<-- 设，则在上单调递减 --------------------------------7分①当时，，所以21()ln ,()101(1)b bG x x x G x x x x '=++=-+≤++整理：222(1)1(1)33x b x x x x x+≥++=+++设则在上恒成立，所以在上单调递增，所以最大值是， ---------------10分 ②当时，所以21()ln ,()101(1)b bG x x x G x x x x '=-++=--+≤++整理：222(1)1(1)1x b x x x x x+≥-++=+--设则在上恒成立，所以在上单调递增，所以最大值是综上，由①②得： --------------------12分w{29278 725E 牞s31957 7CD5 糕34552 86F8 蛸+23474 5BB2 宲36253 8D9D 趝39910 9BE6 鯦aK Dm。
辽宁省葫芦岛市绥中县第一高级中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析
辽宁省葫芦岛市绥中县第一高级中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）（2011秋?乐陵市校级期末）已知a，b∈R+，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是（）C解答：解：依题意A=，G=，∴AG﹣ab=?﹣ab=（﹣）=?≥0，∴AG≥ab．故选C2. 已知，则函数有（）A．最小值6 B．最大值6 C．最小值 D．最大值参考答案：A 3. 设是定义在上的增函数，且对任意，都有恒成立，如果实数满足不等式，那么的取值范围是（9，49）（13，49）（9，25）（3，7）参考答案：4. 设P为等边所在平面内的一点，满足，若AB=1，则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：B略5. ，复数= ( )A. B. C.D.参考答案：A因为，可知选A6. 椭圆=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（）A．± B．± C．± D．±参考答案：A略7. 设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在α、β内运动时，那么所有的动点C（）A．不共面B．当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面C．当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动都共面参考答案：D【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【分析】本题考查空间想象力，因为平面α∥平面β，所以线段AB的中点到平面α和平面β的距离相等，从而动点C构成的图形是到平面α和平面β的距离相等的一个平面．【解答】解：根据平行平面的性质，不论A、B如何运动，动点C均在过C且与α，β都平行的平面上．故选：D8. 2016年鞍山地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是（）A．0.48 B．0.6 C．0.75 D．0.8参考答案：C【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率是p，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．【解答】解：∵一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，设随后一天空气质量为优良的概率为p，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有0.8p=0.6，∴p===0.75，故选：C．9. 已知3sin2α=cosα，则sinα可以是（）A．﹣B．C．D．参考答案：B【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】根据二倍角公式化简3sin2α=cosα，消去cosα求出sinα的值．【解答】解：3sin2α=cosα，∴6sinαcosα=cosα，若cosα≠0，则6sinα=1，解得sinα=．故选：B．10. 对于一组数据（，2，3，，），如果将它们改变为（，2，，）其中，则下面结论正确的是（）Ａ．平均数与方差均不变Ｂ．平均数变了，而方差保持不变Ｃ．平均数不变，而方差变了Ｄ．平均数与方差均发生了变化参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 复数Z=i（1+i）在复平面内对应的点的坐标为．参考答案：（﹣1，1）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：Z=i（1+i）=i﹣1在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）12. 春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差，，则p=________．参考答案：0.7【分析】由题意可知：，且，从而可得值．【详解】由题意可知：∴，即,∴故答案为：0.7【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．13. 设f(x)=，则 ___.参考答案：14. 点G是△ABC 的重心，，（λ，μ∈R），若∠A=120°，，则最小值为．参考答案：【考点】向量的共线定理；两向量的和或差的模的最值；平面向量数量积的运算．【分析】欲求最小值，先求其平方的最小值，这里解决向量模的问题常用的方法．【解答】解：∵点G 是△ABC的重心，∴，∴=∵，∴AB×AC×COSA=﹣2，∴AB×AC=4．∴AG2≥故填．15. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有个．参考答案：2316. 设表示等差数列的前项和，且，，若，则=参考答案：15略17. 函数的零点个数为。
高三试卷数学-湖南省株洲市第二中学2023届高三上学期12月月考数学试卷及参考答案
湖南株洲第二中学2022-2023学年上学期教学质量检测高三数学试题（B）一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={0,1,2,3,4,5}，B={1,3,6,9},C={3,7,8}，则()=C B A A ．{1,2,6,5}B ．{3,7,8}C ．{1,3,7,8}D ．{1,3,6,7,8}2．与圆224240x y x y +-++=关于直线30x y -+=成轴对称的圆的方程是A ．22810400x y x y +-++=B ．22810200x y x y +-++=C ．22810400x y x y ++-+=D ．22810200x y x y ++-+=3．已知c 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的半焦距，则b c a +的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．)+∞C ．(D ．(4．已知实数a ，b ，0a >，0b >，则“2a b +<”是<（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()()()2|| 1.00125()e ,log 3,log 8,2x f x x a f b f c f ===-=-，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b>>B ．a b c>>C ．c b a>>D ．c a b>>6．已知A 、B 、C 是半径为3的球O 的球面上的三个点，且120ACB ∠= ，AB =2AC BC +=，则三棱锥O ABC -的体积为（）A ．12B ．6C ．3D 7．过点()22M p -，作抛物线2)20(x py p >＝的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则p 的值是()A ．1B ．2C ．1或2D ．-1或28．已知奇函数()f x 在R 上是减函数.若()2log 4.6a f =，22log 9b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0.92c f =--，则a ､b ､c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c>>D ．c a b>>二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列说法正确的是（）A ．“1a >”是“21a >”的充分不必要条件B ．“423a <<”是“()()22123a a ---<-”的充要条件C ．命题“x R ∀∈，210x +<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +≥”D ．已知函数()y f x =的定义域为R ，则“()00=f ”是“函数()y f x =为奇函数”的必要不充分条件10．对于函数()sin cos sin cos 2x x x xf x ++-=，下列结论正确的是（）A ．()f x 是以2π为周期的函数B ．()f x 的单调递减区间为()52,2Z 24k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的最小值为-1D ．()f x ≥()32,2Z 44k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦11．在数列{}n a 中，已知1210,,,a a a ⋯是首项为1，公差为1的等差数列，10101101(),,,n n n a a a ++⋯是公差为n d 的等差数列，其中N*n ∈，则下列说法正确的是（）A ．当1d =时，2020a =B ．若3070a =，则2d =C ．若1220320a a a +++=L ，则3d =D ．当01d <<时，()101101n a d<-＋12．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为棱CC 1上的动点，AM ⊥平面α，下面说法正确的是（）A ．若N 为DD1中点，当AM +MN 最小时，CM=2B ．当点M 与点C 1重合时，若平面α截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大C ．若点M 为CC 1的中点，平面α过点B ，则平面α截正方体所得截面图形的面积为92D ．直线AB 与平面α所成角的余弦值的取值范围为32⎣⎦三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2n n a S n ++=∈N ，则{}n a 的通项公式为n a =______．14．下列四个命题中：①已知()()()sin cos 21,sin cos 2πααπαπα-+-=++则tan 1α=-；②()00tan 30tan 30-=-=-③若sin α=则1cos 2;2α=-④在锐角三角形ABC 中，已知73sin ,cos ,255A B ==则119sin .125C =其中真命题的编号有_______.15．已知定义在[2,2]-上的函数()g x 为奇函数,且在区间[0,2]上单调递增,则满足(1)()g m g m -<的m 的取值范围为______16．等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为________.四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知{}n a 是递增的等差数列，12,a a 是方程2430x x -+=的两根．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-.（1）求函数()f x 的解析式；并写出函数的单调区间；（2）函数()f x 在区间[3,]a -上的最小值为()g a ，求()g a 的值域.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:21C x y -=．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P ，Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥；（3）设椭圆222:41C x y +=，若M ，N 分别是1C ，2C 上的动点，且OM ON ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值．20．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos sin b a C A =+，点M 是BC 的中点.（Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）若a =AM 的最大值.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>1F ，2F是椭圆的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB （O 为坐标原点）的面积的最大值．22．已知函数()2ln bf x ax x x=-+.（1）若()f x 在1x =，12x =处取得极值.①求a 、b 的值；②若存在01[,2]4x ∈，使得不等式0()0f x c -≤成立，求c 的最小值；（2）当b a =时，若()f x 在(0,)+∞上是单调函数，求a 的取值范围.参考答案1．C2．C3．D4．C5．D 6．B因为AB =，120ACB ∠= ，所以，ABC的外接圆半径为1==r ，所以，三棱锥O ABC -的高为h ==，在ABC 中，由余弦定理可得()22222232cos120AB AC BC AC BC AC BC AC BC AC BC AC BC ==+-⋅=++⋅=+-⋅，所以，()231AC BC AC BC ⋅=+-=，所以，1sin1202ABC S AC BC =⋅ △，因为1133O ABC ABC V S h -=⋅=△.故选：B.7．C由题意得22x y p=，x y p '=，设切点分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以切线方程为别为111()x y y x x p-=-，222()x y y x x p -=-，化简可得11x x y y p =-，22x x y y p =-由于两条切线都过M 点，所以1122x p y p -=-，2222xp y p-=-，所以点11(,)A x y ，22(,)B x y 都在直线220x y p p -+=上，所以过A ，B 两点的直线方程为220x y p p -+=，联立22+2=0=2x y p p x py-⎧⎪⎨⎪⎩，消去x 得2234840py p y y p --+=，方程2234840py p y y p --+=的判别式()2232484464640p p p p D =---×=+>由已知2124812p y y p++==，解得1p =或=2p ，故选：C.8．B解：因为奇函数()f x 在R 上是减函数.若()2log 4.6a f =，222229log log log 992b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()0.90.922c f f =--=，∵0.9229log 4.6log 222>>>，∴()()0.9229log 4.6log 22f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即c b a >>.故选：B.9．ACD解：对于A ：21a >，解得1a >或1a <-，所以“1a >”是“21a >”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ：()()22123a a ---<-，则12310230a a a a ⎧->-⎪-≠⎨⎪-≠⎩解得423a <<且32a ≠，故B 错误；对于C ：全称量词命题的否定为存在量词命题，故命题“x R ∀∈，210x +<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +≥”正确；对于D ：因为函数()y f x =的定义域为R ，若函数()y f x =为奇函数，则()00f =，若()00f =得不到()y f x =为奇函数，若()2f x x =，故“()00f =”是“函数()y f x =为奇函数”的必要不充分条件，故D 正确；故选：ACD 10．AD依题意，()sin(2)cos(2)sin(2)cos(2)2()2x x x x f x f x πππππ+++++-++==，()f x 是以2π为周期的函数，A 正确；5sin ,2244()(Z)3cos ,2244x k x k f x k x k x k ππππππππ⎧+≤≤+⎪⎪=∈⎨⎪-<<+⎪⎩，函数sin y x =在5[2,2]24k k ππππ++()k ∈Z 上单调递减，函数cos y x =在[2,2]4k k πππ+()k ∈Z 上单调递减，B 不正确；函数cos y x =在3[2,2]4k k πππ-()k ∈Z 上单调递增，因此，324x k ππ=-()k ∈Z时，min ()2f x =-，C 不正确；由()f x ≥得522(Z)44sin 2k x k k x ππππ⎧+≤≤+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或322(Z)44cos 2k x k k x ππππ⎧-<<+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解522(Z)44sin 2k x k k x ππππ⎧+≤≤+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩得322(Z)44k x k k ππππ+≤≤+∈，解322(Z)44cos k x k k x ππππ⎧-<<+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩得22(Z)44k x k k ππππ-≤<+∈，综上得：322(Z)44k x k k ππππ-≤≤+∈，()2f x ≥的解集是3[2,2](Z)44k k k ππππ-+∈，D正确.故选：AD 11．ACD对于A ，当1d =时，1n d =，可知数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以201(201)120a =+-⨯=，故A 正确；对于B ，由已知1010a =，101120,,,a a a ⋯是公差为d 的等差数列，则201010a d =+，202130,,,a a a ⋯是公差为2d 的等差数列，则23010101070a d d =++=，即260d d +-=，解得：2d =或3d =-，故B 错误；对于C ，1220110101010101032022d d a a a ++++=⨯+⨯+=++L ，解得：3d =，故C 正确；对于D ，210(1)110101010101011n nn d a d d d d d+-=++++=<--L ，故D 正确；故选：ACD 12．AC对于A ，由展开图如下，当AM MN +最小时，2CM AC DN AD ==，得2CM =，故A正确对于B ，如图，取各边中点连接成六边形EFGHIJ ，由立体几何知1CC ⊥平面1A BD ，1CC ⊥平面EFGHIJ ，截面1A BD周长为3=84⨯=截面EFGHIJ6=62=对于C ，取1111,A D A B 中点分别为EF ，以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，(2,2,1)AM =-- ，(2,2,0)DB =，(1,0,2)DE =，由数量积可知,AM BD AM DE ⊥⊥，而BD DE D ⋂=，故AM ⊥平面BDEF ，截面BDEF 为等腰梯形，EF DB ED FB ====面积为1922⨯=，故C 正确对于D ，设(0,2,)M t (0,2,0)AB = ，平面α的一个法向量为(2,2,)AM t =-故直线AB 与平面α所成角的正弦值sin []32θ==则cos []23θ∈，故D 错误13．112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭当1n =时，112a S +=，得11a =，当2n ≥时，由()2n n a S n ++=∈N ，得112n n a S --+=，所以110n n n n a S a S --+--=，所以120n n a a --=，所以112n n a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：112n -⎛⎫⎪⎝⎭14．②③对于①：因为()()()sin -cos 21,sin cos 2πααπαπα+-=++所以sin cos 1,sin cos 2αααα+=-所以sin 11cos ,sin 21cos αααα+=-即tan 11,tan 12αα+=-解得tan 3α=-，故①不正确；对于②：因为()()()00sin 30sin 30tan 30tan 30;cos303cos 30---===-=--故②正确；对于③：因为sin α=所以221cos 212sin 122αα⎛=-=-⨯=- ⎝⎭，故③正确；对于④：因为在锐角三角形ABC 中，73sin ,cos ,255A B ==所以00,0222A B C πππ<<<<<<，所以244cos ,sin ,255A B ====所以()()sin sin +sin +C A B A B π⎡⎤=-=⎣⎦73244117sin cos +cos sin +255255125A B A B ==⨯⨯=，故④不正确，故答案为：②③．15．1(,2]2∵()g x 为奇函数，且在[0,2]上为增函数，∴()g x 在[2,2]-上为增函数．∵(1)()g m g m -<，∴1-212-22m mm m -<⎧⎪≤-≤⎨⎪≤≤⎩，解得122m <≤．故答案为1(,2]2．16．5解：设顶角为θ，由余弦定理可得：2236121221212cos θ=+-⨯⨯⨯，解得：7cos 8θ=，sin θ∴=再由正弦定理可得62sin R θ=，2R ∴=R ∴故答案为：5．17．（1）221,n n a n S n =-=；（2）21n nT n =+（1）∵{}n a 是递增的等差数列,∴12a a <，又12,a a 是方程2430x x -+=的两根，∴121,3a a ==，∴21312d a a =-=-=，∴1(1)221n a n n =+-⨯=-.（2）111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+,∴11111111(1...)(1)2335212122121n n S n n n n =-+-++-=-=-+++.18．（1）()224,04,0x x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，单调递增区间为(],2-∞-，[)2,∞+；单调递减区间为[]22-,；（2）[]4,3-（1）当0x <时，0x ->()()()2244f x x x x x∴-=---=+()f x 为奇函数()()24f x f x x x∴=--=--()f x 为R 上的奇函数()00f ∴=，满足()24f x x x=--()224,04,0x x x f x x x x ⎧->∴=⎨--≤⎩()f x \的单调递增区间为(],2-∞-，[)2,∞+；单调递减区间为[]22-,（2）当31a -<<-时，()()min 39123f x f =-=-+=，即()3g a =当10a -≤≤时，()()2min 4f x f a a a ==--，即()24g a a a =--()[]0,3g a ∴∈当02a <<时，()()2min 4f x f a a a ==-，即()24g a a a=-()()4,0g a ∴∈-当2a ≥时，()()min 2484f x f ==-=-，即()4g a =-综上所述：()g a 的值域为[]4,3-19．（1）根据题意可得1C的左顶点为(，设直线方程为2y x =+，与另一条渐近线y =联立求得交点坐标为1()42-，所以对应三角形的面积为112228S =⨯=；（2）设直线PQ 的方程是y x b =+，因直线与已知圆相切，1=，即b =由2221y x b x y =+⎧⎨-=⎩得()22210x bx b --+=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122x x b +=，212(1)x x b ⋅=-+，则()()2222212121212221220OP OQ x x y y x x b x x b b b b b ⋅=+=+++=--++=-= ，故OP OQ ⊥；（3）当直线ON 垂直于x 轴时，1ON =，OM =MN =则O 到直线MN的距离为12d =．当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y kx =（显然2k >），则直线OM 的方程为1=-y x k.由y kx =与椭圆方程联立，得2214x k =+，2224k y k =+，所以22214k ON k+=+.同理222121k OM k +=-.设O 到直线MN 的距离为d ，则由12OM ON d ⋅=，得2221113d OMON=+=．综上，O 到直线MN .20．（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）32.（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin sin cos sin 3B AC C A =+.又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，且sin 0C ≠，∴tan A A π=<<，即3A π=.（Ⅱ）方法一：在ABC ∆中，由余弦定理得223b c bc +-=，∵222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，∴226b c +≤.∵AM 是BC 边上的中线，∴在ABM ∆和ACM ∆中，由余弦定理得，2232cos 4c AM AM AMB =+-∠，①2232cos 4b AM AM AMC =+-∠.②由①②，得22239244b c AM +=-≤，当且仅当b c ==AM 取最大值32.方法二：在ABC ∆中，由余弦定理得223b c bc +-=，∵222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，∴226b c +≤.∵AM 是BC 边上的中线，∴2AB ACAM += ，两边平方得()22214AM b c bc =++，∴22239244b c AM +=-≤，当且仅当b c ==AM 取最大值32.21．(1)2214x y +=；(2)1.(1)椭圆C 的半焦距为c ，离心率c e a ==因过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的弦长为1，将x c =-代入椭圆C 方程得：2b y a =±，即221b a =，则有222221c e a b aa b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)由(1)知，2F ，依题意，直线l 的斜率不为0，则设直线l的方程为x my =()11,A x y ，()22,B x y ，由2244x y x my ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩消去x 并整理得：()22410m y ++-=，12y y +=，12214y y m =-+，OAB的面积2122121122S OF y OF y y y =+-，12y y -==，设)1t t =≥，221m t =-，122244343t y y m t t t-===+++，3t t+≥，当且仅当t =，22m =时取得“=”，于是得1243y y t t-=≤+121S y y =-≤，所以OAB 面积的最大值为1.22．（1）11,33--，7126n -+；（2）[(0)，-∞⋃+∞试题分析：（1）①先求()f x '，根据函数在11,2x x ==处取得极值，则()110,()02f f ''==，代入可求得,a b 的值；②转化为()min c f x ≥，从而求函数()f x 在区间1[,2]4上的最小值，从而求得c 的值；（2）当a b =时，()2ln af x ax x x=-+，①当0a =时，符合题意；②当0a ≠时，分0,0a a ><讨论()f x 在(0,)+∞上正负，以确定函数的单调性的条件，进而求出a 的取值范围．试题解析：（1）①∵()21bf x ax nx x=-+，∴()21'2b f x a x x =++，∵()f x 在1x =，12x =处取得极值，∴()10f '=，102f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，即2102420a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴所求a 、b 的值分别为11,33--.②在1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦存在0x ，使得不等式()00f x c -≤成立，只需[]min c f x ≥（），由()()()2222211211231'3333x x x x f x x x x x x ---+=--+=--，∴当1142x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()0f x '<，故()f x 在1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，是单调递减；当112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()0f x '>，故()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增；当[]12x ∈，时，()0f x '<，故()f x 在[]12，是单调递减；∴12f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 在1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极小值，()1111711221223236f n n f n ⎛⎫=+=-=-+ ⎪⎝⎭，且()321321411422f f n ne n ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又3160e -＞，∴321140ne n ＞-，∴[]2min f x f =（）（），∴()7126min c f x m ⎡⎤≥=-+⎣⎦，∴c 的取值范围为7126n ，⎡⎫-++∞⎪⎢⎣⎭，所以c 的最小值为7126n -+.（2）当a b =时，222ax x a f x x（）++='，①当0a =时，()1f x nx =，则()f x 在()0,+∞上单调递增；②当0a >时，∵0x >，∴220ax x a ++>，∴()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增；③当0a <时，设()22g x ax x a =++，只需0≤ ，从而得4a ≤-，此时()f x 在()0,+∞上单调递减；综上得，a 的取值范围是][04⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，，点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中（1）①考查了函数取得极值的性质，若函数在0x 处取得极值，则0()0f x =，但0()0f x '=，0x 不一定是函数的极值点，即某点的导数为0是该点为极值的必要不充分条件；②注意是“存在14x ∈[,2]，使得0()c f x ≥成立，等价于()min c f x ≥”（2）结合极值考查了函数的额单调性，需要分类讨论思想在解题中的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力．。
安徽省合肥市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试卷含答案
安徽省合肥市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）第I 卷 （满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1.集合M={x|1<x<4},N={x|2≤x≤3},则M ∩N=A.{x|2≤x<4}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1<x≤3}D.{x|1<x<4}2.复数1+i i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若向量a ,b 为单位向量，|a -2b ,则向量a 与向量b 的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°4.函数y=2sin|2x||1x +在[－π,π]的图象大致为5.在高一入学时，某班班委统计了本班所有同学中考体育成绩的平均分和方差．后来又转学来 一位同学。
若该同学中考体育的绩恰好等于这个班级原来的平均分，则下列说法正确的是A.班级平均分不变，方差变小B.班级平均分不变，方差变大C.班级平均分改变，方差变小D.班级平均分改变，方差变大6.若sin α=13,α=2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,则sin(α-32π)的值为A.- 13B.- 3C. 13D. 37.若直线l :x-2y-15=0经过双曲线M: 2222-x y a b ＝1的一个焦点，且与双曲线M 有且仅有一 个公共点，则双曲线M 的方程为A. 22-520x y =1B. 22-205x y =1C. 22-312x y =1D. 22-123x y 1 8.命题p: ∀x ∈R,e x >2x(e 为自然对数的底数）；命题q: ∃x>1,1nx+1ln x≤2,则下列命题中，真命题是A. ⌝ (p ∨q)B.p ∧qC.p ∧ (⌝q)D.( ⌝p) ∧^q9.若数列{a n }的前n 项积b n =1-27n,则a,的最大值与最小值之和为 A-13 B. 57 C.2 D. 73 10.平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=AA 1=2, ∠BAD=60°,点A 1在平面ABCD 内的射影是AC 与BD 的交点O,则异面直线BD,与AA,所成的角为A.90°B.60°C.45°D.30°11.椭圆E: 2222x y a b+＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆E 上，ΔPF 1F 2的重心为 G.若ΔPF 1F 2的内切圆H 的直径等于121||2F F ,且GH//F 1F 2,则椭圆E 的离心率为 A.B. 23C. 2D. 12 12.若不等式e x -aln(ax-1)+1≥0对∀x ∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立（e 为自然对数的底数），则实数a 的最大值为A.e+1B.eC.e 2+1D.e 2第II 卷 （非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．第16题第一空2分，第二空3分． 把答案填在答题卡上的相应位置。
陕西省西安市2021届高三数学下学期第二次质量检测试题 理(含解析).doc
陕西省西安市2021届高三数学下学期第二次质量检测试题 理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知R 是实数集，集合{}|2A x Z x =∈<，{}|210B x x =-≥，则()R AC B =（ ）A. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. {}1C. {}1,0-D. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】先求得的集合{}1,0,1A =-，1|2B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，进而得到R C B ，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}{}|21,0,1A x Z x =∈<=-，{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭， 所以1|2R C B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，所以(){}1,0R A C B =-.故选：C .【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的混合运算，其中解答中熟记集合运算的概念，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 2. 已知i 是虚数单位，复数31iz i+=+，则复数z 的共扼复数为（ ） A. 12i + B. 12i -C. 2i +D. 2i -【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算求出z 后，根据共轭复数概念得结论． 【详解】∵()()()()3134221112i i i iz i i i i +-+-====-++-，∴z 的共轭复数为2z i =+． 故选：C ．【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数的概念，属于基础题． 3. 已知向量()5,a m =，()2,2b =-，若()a b b -⊥，则实数m = ( ) A. -1 B. 1C. 2D. -2【答案】B 【解析】 【分析】根据向量坐标的线性运算得到a b -，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于m 的方程，解出m 的值，得到答案.【详解】因为向量()5,a m =，()2,2b =- 所以()3,2a b m +=+，因为()a b b -⊥， 所以()0a b b -⋅=所以()6220m -+= 解得1m =. 故选：B.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，根据向量垂直关系求参数的值，属于简单题.4. 62x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（ ） A. 60 B. 60-C. 192-D. 192【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式，通过赋值法则问题得解.【详解】二项式62x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为()33162r r r x r T C x -+=⋅-⋅，令3302r -=，求得2r ．可得展开式中常数项为()226260C -=．故选：A ．【点睛】本题考查利用二项式定理求制定项，属基础题.5. 某公司生产A ，B ，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则n =（ ） A. 96 B. 72C. 48D. 36【答案】B 【解析】 【分析】根据分层比例列式求解. 【详解】由题意得23872.99n n n -=-∴=选B. 【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.6. 已知a ，b 为非零实数，且0a b <<，则下列命题成立的是（ ） A. 22a b < B.2211ab a b < C. 22a b ab < D. b a a b<【答案】B 【解析】 【分析】举出反例,利用特殊值依次排除选项A 、D,由不等式的性质可排除C 【详解】对于选项A,令1a =-,1b =时,221a b ==,故A 不正确； 对于选项C,220a b ab >>,故C 不正确；对于选项D,令1a =-,1b =时,1b aa b =-=,故D 不正确； 对于选项B,220a b ab >>,则22110ab a b<<故选B【点睛】本题考查不等式的性质的应用,考查特殊值法处理选择题7. 如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形,则该几何体体积为（ ）A. 620π+B. 916π+C. 918π+D. 2063π+【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图可得该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥，根据三视图中的数据，利用椎体和球体的体积公式计算可得答案.【详解】由三视图可知：该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥， 该三棱锥中一条侧棱与底面垂直，底面三角形为等腰直角三角形， 其中腰长为323，而球体的半径为3， 所以该组合体的体积为：3 14113332329182332V V V ππ=+=⨯⨯+⨯⨯⨯=+半球体三棱锥.故选：C【点睛】本题考查了由三视图还原直观图，考查了椎体和球体的体积公式，属于基础题. 8. 点P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到点()0,1A -的距离与点P 到直线2x =-的距离和的最小值是 522121【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线定义，将问题转化为求PA PF +的最小值加1，数形结合，则问题得解. 【详解】由24y x =得焦点为()1,0F ，准线1x =-．过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，根据抛物线的定义，抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离．所以有PN PF =，连接F 、A ，有FA PA PF ≤+， 所以P 为AF 与抛物线的交点时，点P 到点()0,1A -的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值为2FA = 所以点P 到点()0,1A -的距离与P 到直线2x =-21． 故选：D ．【点睛】本题考查抛物线上一点到定直线以及定点之间的距离之和的最小值，属基础题. 9. 将函数()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移()0a a >个单位得到函数()cos2g x x =的图象，则a 的最小值为（ ） A.3π B.512π C.23π D.12π【答案】B 【解析】 【分析】先写出平移的函数表达式，利用诱导公式得出a 所有取值，最小值即可确定．【详解】由题意知，()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移()0a a >个单位得到函数()()sin 2sin 2233h x x a x a ππ⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，所以()22Z 32a k k πππ-=+∈，当0k =时，a 取最小值512π． 故选：B ．【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换，考查诱导公式，解题关键是确定由sin()x ϕ+变成cos x 时ϕ的值．10. 已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A. ,1a e b ==-B. ,1a e b ==C. 1,1a e b -==D.1,1a e b -==-【答案】D 【解析】 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 11. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()1f x -是定义在R 上的奇函数，则()()20182020f f +的值为（ ）A. 1-B. 1C. 0D. 无法计算【答案】C 【解析】 【分析】先由f （x ）是定义在R 上的偶函数得f （﹣x ）＝f （x ），然后利用()1f x -与f （x ）的关系，以及()1f x -的奇偶性，得f （x +1）+f （x ﹣1）＝0，从而得到要求的数值．【详解】因为()1f x -是定义在R 上的奇函数，()()11f x f x --=--．因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -=，可得()()()111f x f x f x +=-+=--⎡⎤⎣⎦，所以()()110f x f x ++-=，因此()()()()2018202020191+2019+1=0f f f f +=-．故选：C ．【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质，以及整体代换思想，是个基础题．12. 设2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的渐近线的斜率为（ ）A. 27±B. 23±C. 7±D. 3±【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线的对称性可知四边形21MF PF 为平行四边形，所以12||||MF PF =，1//MF PN ，由双曲线的定义知，21||||2MF MF a -=，于是2||3MF a =，1||MF a =，在△12MF F 中，由余弦定理可得2247c a =，然后利用22222b c a a a -=，求出b a的值即可得解．【详解】解：设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线的对称性可知四边形21MF PF 为平行四边形．∴12MF PF =，1//MF PN ． 设2PF n =，则22MF m =，即1MF a =，23MF a =． ∵2122a MF MF m =-=，即1MF a =，23MF a =． ∵260MF N ∠=︒，∴1260F MF ∠=︒． 又122F F c =，在12MF F △中，由余弦定理可得：2224923cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅︒，即2247c a =，∴2274c a =，2222314b c a a =-=．∴双曲线C 的渐近线的斜率为． 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的定义与性质，考查学生的数形结合思想和运算能力，属于中档题． 二、填空题13. 在区间[]1,5内任取一个实数，则此数大于2的概率为______．【答案】34【解析】 【分析】区间[]1,5的长度为4，此区间内大于2的数所在区间长度为3，由几何概型概率公式可得概率． 【详解】根据几何概型可知，所求概率为：523514p -==-． 故答案为：34． 【点睛】本题考查求几何概型，属于基础题．14. 函数()25log 23y x x =+-的单调增区间是______. 【答案】()1,+∞ 【解析】【分析】求得函数()25log 23y x x =+-的定义域为(,3)(1,)-∞-⋃+∞，令()223g x x x =+-，利用二次函数的性质，求得函数的单调区间，结合据复合函数的单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，函数()25log 23y x x =+-满足2230x x +->，解得3x <-或1x >， 即函数()25log 23y x x =+-的定义域为(,3)(1,)-∞-⋃+∞，令()223g x x x =+-，则函数()g x 在(,3)-∞-单调递减，在区间(1,)+∞单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数()25log 23y x x =+-的单调递增区间为(1,)+∞. 故答案为(1,)+∞.【点睛】本题主要考查了复合函数的单调区间的求解，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .ABC ∆的面积()2214S a c =+，若2sin sin B A C =，则角B 的值为______.【答案】512π 【解析】 【分析】根据面积公式得到和余弦定理得到22sin 2cos ac B b ac B =+，结合2sin B A =sin C 得到1sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，化简得到答案.【详解】因为1sin 2S ac B =，又()2214S a c =+，所以()2211sin 42a c ac B += 所以222sin a c ac B +=，由余弦定理得2222cos a cb ac B +=+ 所以22sin 2cos ac B b ac B =+由2sin sin B A C =结合正弦定理，得2b =所以2sin 2cos ac B ac B =+)sin cos 1B B -=，所以1sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,B π∈，所以得46B ππ-=，或546B ππ-=（舍去），所以512B π∠=.故答案为：512π【点睛】本题考查了面积公式，正弦定理，余弦定理，意在考查学生对于三角公式的综合应用能力.16. 在三棱锥D ABC -中，已知AD ⊥平面ABC ，且ABC 为正三角形，AD AB ==点O 为三棱锥D ABC -的外接球的球心，则点O 到棱DB 的距离为______. 【答案】12【解析】 【分析】设'O 为ABC 的中心，M 为AD 中点，连结OM ，'OO ，AO ，求得OA =，设平面ODA 截得外接球是O ，D ，A ，F 是O 表面上的点，结合圆的性质和球的性质，即可求解.【详解】由题意，设'O 为ABC 的中心，M 为AD 中点，连结OM ，'OO ，AO ，则'1AO =，2AM =，可得2OA =,即球的半径为2，作平面ODA 交BC 于E ，交BC 于F ， 设平面ODA 截得外接球的截面是O ，D ，A ，F 是O 表面上的点，又∵DA ⊥平面ABC ，所以90DAF ∠=︒，所以DF 是O 的直径，也是球O 的直径，DF =DB BF ⊥.因为DA AB ⊥，DA =AB =BD =，所以1BF =，做OH DB ⊥，所以//OH BF ，又由DO OF =，所以OH 是DBF 的中位线，所以12OH BF =，故12OH =. 故答案为：12【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及球的性质的应用，其中解答中熟练应用空间几何体的几何结构特征和球的性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：17. 在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，1BB 的中点．（1）求证：//EF 平面11A DC ；（2）若123AA =2AB =，求二面角11E A D C --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）32114. 【解析】 【分析】（1）证明四边形11ADC B 为平行四边形，可得11//AB DC ，进而得到1//EF DC ，由此得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面11A DC 及平面1EA D 的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．【详解】（1）证明：连接1AB ，∵E ，F 分别为AB ，1BB 的中点． ∴1//EF AB ．∵正四棱柱柱1111ABCD A B C D -中，11AD B C =，11//AD B C ． ∴四边形11ADC B 是平行四边形， ∴11//AB DC ，∴1//EF DC ．∵EF ⊄平面11A DC ，1DC ⊂平面11A DC ， ∴//EF 平面11A DC ．（2）在正四棱柱中，分别以DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()2,1,0E ，(12,0,23A ，(10,2,23C ．∴()112,2,0AC =-，(12,0,23DA =，(10,1,23EA =-， 设平面11A DC 的法向量(),,m x y z =，则22230x y x z -+=+=． 取3x =，则(3,3,3m =-． 同样可求出平面1A DE 一个法向量()3,23,1n =--．∴237cos 142116m n m n m n⋅<⋅>===-⋅．设二面角11E A D C --θ，则7cos θ=，由22cos sin 1,0π,θθθ+=≤≤，解得321sin θ=∴二面角11E A D C --的正弦值为32114． 【点睛】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．18. 某高校自主招生考试中，所有去面试的考生全部参加了“语言表达能力”和“竞争与团队意识”两个科目的测试，成绩分别为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，某考场考生的两科测试成绩数据统计如图，其中“语言表达能力”成绩等级为B 的考生有10人．（1）求该考场考生中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数；（2）已知等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分．求该考场学生“语言表达能力”科目的平均分． 【答案】（1）3；（2）2.9. 【解析】 【分析】（1）由“语言表达能力”科目中成绩为B 的考生有10人，能求出该考场有40人，由此能求出该考场中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数．（2）求出“语言表达能力”科目中成绩等级为D 的频率为0.100，由此能求出该考查考生“语言表达能力”科目的平均分．【详解】（1）因为“语言表达能力”科目中成绩为B 的考生有10人，所以该考场有100.25040÷=（人）．所以该考场中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数为()4010.3750.3750.1500.025400.0753⨯----=⨯=．（2）由题意可得：“语言表达能力”科目中成绩等级为D 的频率为10.3750.2500.2000.0750.100----=．该考查考生“语言表达能力”科目的平均分为()()()()11400.2002400.1003400.3754400.25040⎡⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⎣()5400.075 2.9⎤+⨯⨯=⎦．【点睛】本题考查频数、平均数的求法，考查条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．19. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，()*22N n n S a n =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记n nnb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围． 【答案】（1）2nn a =；（2）122n T ≤<. 【解析】 【分析】（1）本小题运用借S n 求a n 直接求解即可；（2）本小题运用错位相减法求出 T n ，再根据T n 的增减性求解即可.【详解】（1）当1n =时，1122S a =-，得12a =； 当2n ≥时，22n n S a =-①，1122n n S a --=-②，①-②得，12nn a a -=； 所以数列{}n a 是以12a =为首项，以2为公比的等比数列，即2nn a =；（2）由题，得122nn n n b n ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，因为12321n n n n T b b b b b b --=+++⋅⋅⋅+++， 所以()()23211111112321222222n n nn T n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，()()23111111111123212222222n nn n T n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②，①-②，得231111111112222222n n n n T n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，()1222nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，显然，2n T <，因为1110n n n n T T a +++-=>， 所以数列{}n T 是递增数列，且131222T =-=， 因此122n T ≤< 【点睛】本题考查借S n 求a n ，错位相减法，是中档题. 20. 已知函数()()22ln R f x x a x ax a =--∈．（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）记()()g x f x ax =+，若()g x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）122,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）,e e ⎡⎤-⋃⎣⎦.【解析】 【分析】（1）对参数a 进行分类讨论，在不同情况下求得()f x 的最小值，根据()0min f x ≥，即可求得参数的取值范围；（2）分离参数，将问题转化为对函数()2ln h x x x=单调性和值域的研究，则问题得解.【详解】（1）()()()222x a x a a f x x a x x-+'=--=， 令()0f x '=，解得1x a =，22ax =-； 当0a =时，显然成立；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． 则()()2min ln 0f x f a a a ==-≥，解得01a <≤；当0a <时，()f x 在0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 则()222minln 02422a a a a f x f a ⎛⎫⎛⎫=-=+--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1220e a -≤<；综上，实数a 的取值范围为122,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （2）显然1x =不是()g x 的零点，由()0g x =得22ln x a x =．令()()2*ln x h x x=．则()()()22ln 1ln x x h x x -'=，令()0h x '=，解得12x e =；()0h x '>，解得12e x e <<；()0h x '<，解得11x e<<或121x e <<．当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭和1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()h x 单调递减，当时，()h x 单调递增， 又1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()0*h x <不成立．∴只需()122222a h e e a h e e ⎧⎛⎫>=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≤=⎩，∴实数a的取值范围为,e e ⎡⎤-⋃⎣⎦．【点睛】本题考查利用导数研究恒成立问题以及零点问题，分离参数以及分类讨论是解决问题的关键.21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F，若椭圆经过点)1P-，且12PF F △的面积为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为1的直线l 与圆22:O x y b +=交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且()R CD AB λλ=∈，当λ取得最小值时，求直线l 的方程并求此时λ的值．【答案】（1）22184x y +=；（2）3，y x=． 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积可2c =，将P 点代入椭圆得到22611a b+=，联立即可求得a ，b ；（2）设直线l 的方程为y x m =+，表示出||AB =式得到m 的取值范围，结合条件表示出λ=m 取值范围求得其范围. 【详解】解：（1）由12PF F △的面积可得12122c ⨯⨯=．即2c =，∴224a b -=．①又椭圆C 过点)1P，∴22611a b +=．②由①②解得a =2b =．故椭圆C 的标准方程为22184x y +=．（2）由题知圆221:2O x y +=，设直线l 的方程为y x m =+，则原点到直线l 的距离d =，由弦长公式可得AB ==将y x m =+代入椭圆方程22184x y+=，得2234280x mx m ++-=，由判别式()221612280m m ∆=-->，解得m -<<由直线和圆相交的条件可得d r <<，也即22m -<<，综上可得m 的取值范围是()2,2-． 设()11,C x y ，()22,D x y ，则1243m x x +=-，212283m x x -=，由弦长公式，得CD ===由CD AB λ=，得CD AB λ=== ∵22m -<<，∴2044m <-≤，则当0m =时，λ取得最小值3，此时直线l 的方程为y x =．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的综合，根的判别式，弦长公式，考查学生运算能力，属于中档题．（二）选考题：请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，直线l的参数方程为,2y 12x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos a ρθ=，0a >．（1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于P ，Q ．设()0,1M -，且24PQ MP MQ =⋅，求实数a 的值．【答案】（1）cos sin 1ρθρθ-=；()2220x y ax a +=>；（2）1a =.【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．【详解】解：（1）由直线l的参数方程12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），消去t 得1x y -=，所以直线的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ-=，由()2cos 0a a ρθ=>，得()22cos 0a a ρρθ=>，由cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得曲线C 的直角坐标方程为()2220x y ax a +=>，（2）显然M 在直线l 上，将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立得)2110t a t ++=．则)2140a ⎤∆=+->⎦且)121t t a +=+，121t t =，设点P ，Q 分别对应参数1t ，2t 恰为上述方程的根． 则1MP t =，2MQ t =，12PQ t t =-， 由题设得212124t t t t -=，则有()212128t t t t +=，得1a =或3a =-． 因为0a >，且1a =满足>0∆，所以1a =．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． [选修4-5：不等式选讲]23. 设函数()213f x x x =--+． （1）解不等式()0f x >；（2）若()33f x x a ++≥对一切实数x 均成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）2{|3x x <-或4}x > ；（2）(,7]-∞． 【解析】 【分析】（1）方法一：根据绝对值不等式意义解不等式；方法二：将不等式2130x x --+>变形为213x x ->+，两端平方整理成关于x 的一元二次不等式，求解即可；（2）利用绝对值不等式()()33212321267f x x x x x x ++=-++≥--+=，可得7a ≤.【详解】（1）解法一：当12x ≥时，()()21340f x x x x =--+=->，解得4x >；当132x -≤<时,()()213320f x x x x =-+-+=-->，解得233x -≤<-； 当3x <-时，()()21340f x x x x =-+++=-+>，解得3x <-， 综上,原不等式的解集为2{|3x x <-或4}x > ； 解法二：()0213f x x x >⇔->+，两边平方整理得，231080x x -->，解得23x <-或4x >，所以，原不等式的解集为2{|3x x <-或4}x >；（2）()()33212321267f x x x x x x ++=-++≥--+=，当132x -≤≤时等号成立，所以7a ≤ ．故实数a 的取值范围为(],7-∞．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及利用绝对值不等式求参数的取值范围，属于高考常考题型.。
江苏省南京市2021-2022第一学期高三12月联考数学试卷
南京市2021—2022学年第一学期12月六校联合调研试题高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．1．若复数z 满足 z －·i ＝2+i,其中i 为虚数单位，则z =A ．1+2iB ．1－2iC ．－1+2iD ．－1－2i2．记A ＝{x |log 2(x －1)<2}，A ∩N ＝B ，则B 的元素个数为A ．2B ．3C ．4D ．53．已知cos θ＝13 ，则sin(2θ＋π2)＝A ．－79B ．79C ．23D ．－234．设a ，b 为非零向量，则“存在负数λ，使得a=λb ”是“a ·b <0”的 A ．充分必要条件 B ．必要而不充分条件 C ． 充分而不必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．将3名教师，3名学生分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和1名学生组成，若教师A 与学生B 要安排在同一地点，则不同的安排方案共有A ．72种B ．36种C ．24种D ．12种6．国务院新闻办公室8月12日发表《全面建成小康社会：中国人权事业发展的光辉篇章》白皮书指出：2020年，全国万元国内生产总值二氧化碳排放较2005年下降48.4%，提前完成比2005年下降40%-45%的碳排放目标.某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：时）之间的函数关系为P =P 0·e －kt (k 为正常数，P 0为原污染物数量）.该工厂某次过滤废气时，若前3个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要按规定排放废气，至少还需要过滤 A ．6小时B ．3小时C ．1.5小时D ．59小时7．设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是椭圆E 准线上一点，∠F 1MF 2的最大值为60°，则椭圆E 的离心率为A ．2124B ． 32C ． 22D ．2848．已知a ＝sin 13，b ＝13，c ＝1π则A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7在这次射击中，下列说法正确的是 A ．甲成绩的极差比乙成绩的极差大B ．甲成绩的众数比乙成绩的众数大C ．甲的成绩没有乙的成绩稳定D ．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大10．已知函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，当x [1，＋∞)时，f (x )＝x 3，则 A ．f (0)＝0B ．对任意的正实数a ，都有f (a +4a )≥f (4)C ．f (1＋x )为偶函数D ．不等式f (x+1)<f (3)的解集为(-1,3)11．在平面直角坐标系中，三点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，7)，动点P 满足P A=2PB ，则 A ．点P 的轨迹方程为(x －3)2+y 2=8 B ．△PAB 面积最大时P A=26 C ．∠P AB 最大时，P A=26 D ．P 到直线AC 距离最小值为42512．在底面棱长为2侧棱长为23的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点E 为AC 1的中点，BD →=λBC →(0≤λ≤1),则以下结论正确的是A ．当λ=12时，A 1D →=12AB →+ 12AC →－AA 1→ B ．当λ=12时，AB 1//平面A 1C 1DC ．存在λ使得DE ⊥平面A 1B 1CD ．四面体E －ABC 外接球的半径为153三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．已知(x ＋ay )3的展开式中含x 2y 项的系数为6．则实数a 的值为 ▲ ．14．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为正方形OABC 的边OA ,OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为4，则a = ▲ ．15．若一个等差数列{a n }满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项，写出一个满足条件的数列的通项公式a n ＝ ▲ ． 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3(tanA+tanB)=tanA cosB +tanB cosA ，则a +bc= ▲ ；c =4，D 为AB 的中点且CD =33 ，则△ABC 的面积为 ▲ ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本题满分10分）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的t (t ＞0)倍，得到y ＝g(x )的图象．若π4为函数y ＝g(x )的一个零点，求t 的最大值．Ox y 第17题2π3 5π618．（本题满分12分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹．某农户计划于2021年初开始种植新型农作物．根据前期各方面调查发现，该农作物的亩产量和市场价格均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表：该农作物亩产量（kg）9001200概率0.50.5该农作物市场价格（元/kg）3040概率0.40.6（1）设2021年该农户种植该农作物一亩的收入为X元，求X的分布列；（2）若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的收入超过30000元的概率．19.（本题满分12分）在①6S n=a n2+3a n－4；①a n=2a n-1－3n+5;两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.已知正项等差数列{a n}和等比数列{b n}，数列{a n}前n项和为S n，满足a2＝2b2－1．a3=b3＋2，_______.（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{a n}和{b n}中的所有项分别构成集合A，B，将A①B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{c n}，求数列{c n}的前70项和.20．（本题满分12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2．（1）求证：AB⊥PC；（2）点M在线段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值为33，求三棱锥M﹣ACB体积．21．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝4x，点M(a，0) (a＞0)，直线l过点M且与抛物线C相交于A，B两点．（1）若a＝2，直线l的斜率为2，求AB的长；第20题（2）在x 轴上是否存在异于点M 的点N ，对任意的直线l ，都满足AN BN ＝AMBM ? 若存在，指出点N 的位置并证明，若不存在请说明理由．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x +a +b sin x －1的图象在原点处的切线方程为y =2x ． (1)求函数y ＝f (x )的解析式． (2)证明：f (x )≥2x ．。
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2021-2022年高三数学12月阶段性质量检测试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则集合真子集的个数是A. 7B. 8C. 15D. 16 2. 已知，，且，则向量与向量的夹角为A. B. C. D. 或3. 已知，则)32sin()65cos(x x -++ππ=A ．B ．C ．D ．4. 下列说法正确的个数是 (1)若为假命题，则均为假命题(2)已知直线，平面，且，，则“”是“”的必要不充分条件 (3)命题“若，则”的逆否命题为“若，则”(4)命题“，使”的否定是“”A. 1B. 2C. 3D. 45. 在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日.”由此推断，该女子到第十一日时，大约已经完成三十日织布总量的A ．49%B ．53%C ．61%D ．88%6.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的 直径为4，该几何体的体积为，直径为4的球的体积 为，则A. B. C.D7.已知函数则函数的大致图象为8.已知实数，满足不等式组21,0,10,x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩若目标函数的最大值不超过4，则实数的取值范围是A ．B ． C. D ．9．如图所示，正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为1，E ，F 分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB′、DD′交于M ，N ，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′； ②当且仅当x =时，四边形MENF 的面积最小；③四边形MENF 周长L=f （x ），x ∈[0，1]是单调函数； ④四棱锥C′﹣MENF 的体积V=h （x ）为常函数； 以上命题中假命题的序号为A.①④ B ．② C ．③ D ．③④10．设函数f （x ）在R 上存在导数f ′（x ），对任意的x ∈R 有f （﹣x ）+f （x ）=x 2，x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）＞x ．若f （2﹣a ）﹣f （a ）≥2﹣2a ，则实数a 的取值范围为 A ．[1，+∞） B ．（﹣∞，1] C ．（﹣∞，2] D ．[2，+∞）第Ⅱ卷（共100分）二、填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题纸的相应位置上11.已知0,0,lg 2lg8lg 2,x y x y >>+=则的最小值为_______. 12.如图，已知中，为边上靠近点的三等分点，连接，为线段的中点，若，则 .13.已知满足,)cos(21sin sin 4322B A B A C AC BC +===⋅，，若角π则AB = . 14.用表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，则；10的因数有1,2,5,10，；那么2016(1)(2)(3)(21)g g g g ++++-=.15.已知函数，若关于x的方程2()()0(,)f x bf x c b c R-+=∈有8个不同的实数根，则由点确定的平面区域的面积为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）已知非零向量，向量，向量.(I)若，求的值；(II)若，，求的值.17.（本小题满分12分）设函数（为常数，且）的部分图象如图所示.（I）求的值；（II）设为锐角，且，求的值. 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点,点在线段上.（I）点为线段的中点时，求证：直线；（II ）若直线与平面所成角的正弦值为，求平 面与平面所成角的余弦值．19.（本小题满分12分）已知数列是非常值数列，且满足()，其前项和为，若，成等比数列. （I ）求数列的通项公式；（II ）设数列的前项和为，求证：. 20.（本小题满分13分）为美化环境，某市计划在以A 、B 两地为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂（如图所示）。
已知A 、B 两地的距离为10km ，垃圾场对某地的影响度与其到该地的距离有关，对A 、B 两地的总影响度为对A 地的影响度和对B 地影响度的和。
记C 点到A 地的距离为x km ，垃圾处理厂对A 、B 两地的总影响度为y 。
统计调查表明：垃圾处理厂对A 地的影响度与其到A 地距离的的平方成反比，比例系数为；对B 地的影响度与其到B 地的距离的平方成反比，比例系数为k 。
当垃圾处理厂建在弧的中点时，对A 、B 两地的总影响度 为0.15.（Ⅰ）将y 表示成x 的函数；（Ⅱ）判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对A 、B 两地的总影响度最小？若存在，求出该点到A 地的距离；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分） 已知函数.（I ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的极值； （II ）当时，若函数在区间上的最小值为，求的值； （III ）讨论函数零点的个数.高三数学（理）试题参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1—5 A C C B B 6—10 D A D C B 二、填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11. 4 12.13. 14. 15.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）解：（I ），sin cos cos (cos 2sin )0ααααα∴--=， =0， ……3分 ， ，所以. ………5分(II)由可知，22sin (cos 2sin )5θθθ∴+-=， …6分212sin 24sin 5θθ∴-+=，………9分 又，知，或. ……11分 因此或. ……12分 17.（本小题满分12分）解：（I ）由图象，得, …2分 最小正周期， ， ……4分 ， 由，得，，，，，. ……6分（II ）由())3f πθθ=+=，，又，所以，4cos(2)35πθ∴+==-， ……10分()2(2)633f πππθθθ⎡⎤∴-==+-⎢⎥⎣⎦sin(2)cos cos(2)sin 3333ππππθθ⎤=+-+⎥⎦31412525210-=-⨯+⨯=⎭18．（本小题满分12分）解：（I)连接点A 、C ，C 、N ，直线AC 、BN 于点E ,连接M 、E ，……1分点为线段的中点，，, ,, Array四边形ABCN为正方形，E为AC的中点，, ……4分平面,直线. ……5分（II)因为平面，且平面，所以，，又因为，所以两两互相垂直．分别以为轴建立空间直角坐标系，…6分则由，可得，，，又因为为的中点，所以．设，则，则，，，设平面的法向量为，则即令，解得，，所以是平面的一个法向量．……8分因为直线与平面所成角的正弦值为，||,|||||5MN m MN m MN m ⋅〈〉==解得，则，, ……9分 ，设平面的法向量为则 ，即，令，解得，,所以是平面的一个法向量 ……11分5m n COS m nθ⋅===所以平面与平面所成角余弦值为.………12分 19.（本小题满分12分）解：（I ）数列是等差数列且，. ①………1分 成等比数列，即2111(6)()(21).a d a d a d +=++②…3分 由①，②解得或（舍去）,………4分. ………5分 （II ）证明：由（I ）可得， 所以.……6分 所以123111111n n nT s s s s s -=+++++ 111111*********()()()()()41342443541142n n n n =-+-+-++-+--++ . ……8分 ，. …10分，数列是递增数列， .…11分. ……12分 20.（本小题满分13分） 解：（I ）由题意知AC⊥BC,,223(010)2100ky x x x =+<<-，……3分 其中当时，y=0.15,所以k =6， ……4分 所以y 表示成x 的函数为2236(010)2100y x x x =+<<-.………5分 （II ）存在. 由（I ）知，所以42232232236(2)123(100)'(100)(100)x x x y x x x x ⨯---=--=--, ……7分 令得,所以,即（负值舍去）,……9分 当时, ,即，所以函数为单调减函数,…10分 当时, ,即，所以函数为单调增函数.…11分 因此当时, 函数2236(010)2100y x x x=+<<-有最小值. …12分 即当C 点到A 地的距离为km 时,垃圾处理厂对两地的总影响度最小. ……13分 21.（本小题满分14分） 解：（I ）221()(0)a x af x x xx x-'=-=>， …………1分 因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以， 即，解得.所以， …………2分 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增；…3分当时，取得极小值.极小值为. ………4分 (II)当时，在（1，3）上恒成立，这时在[1，3]上为增函数, 令 ，得（舍去）,……5分 当时，由得，,2()1(1)(1)x x x x ϕ'∴=-+=--+若，有在上为减函数，若有在上为增函数，，令，得 ……7分当时，在（1，3）上恒成立，这时在上为减函数，∴.令 得（舍去） 综上知,. ……9分(III)函数21()()(0)33x a x g x f x x x x '=-=--> 令，得， 设当时，，此时在上单调递增；当时，，此时在上单调递减；所以是的唯一极值点，且是极大值点，因此x =1也是的最大值点，的最大值为. ……11分又，结合y=的图像（如图），可知①当时，函数无零点；②当时，函数有且仅有一个零点；③当时，函数有两个零点；④时，函数有且只有一个零点；………13分综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点. ……14分35651 8B43 譃31633 7B91 箑u28230 6E46 湆" 22788 5904 处25913 6539 改c c38946 9822 頢37438 923E 鈾26806 68B6 梶25828 64E4 擤。