湖南省长郡中学2016-2017学年高二上学期第二次模块检

数学（理科）一、选择题（本大题共12小题,每小题4分,共48分.）1.命题“数列{}n a 前n 项和是2n S An Bn =+的形式，则数列{}n a 为等差数列”的逆命题，否命题，逆否命题这三个命题中，真命题的个数为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．02.下列说法正确的是（ ）．A ．“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件B ．命题“0x R ∃∈，2010x +<”的否定是“2,10x R x ∀∈+>”C ．关于x 的方程()2120x a x a +++-=的两实根异号的充要条件是1a <D ．命题“在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >”的逆命题为真命题3.某工厂生产A B C 、、三种不同型号的产品，其产品的数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽出样本容量为n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 为（ ）． A ．100 B ．90 C ．80 D ．604.设函数()()2f xg x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率为（ ）． A ．14-B ．2C ．4D ．12- 5.在Excel 中产生[]0,1区间上均匀随机数的函数为“()rand ”，在用计算机模拟估计函数sin y x =的图像、直线2x π=和x 轴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上部分围成的图形面积时，随机点()11,a b 与该区域内的点(),a b 的坐标变换公式为（ ）． A ．11,2a ab b π=+= B ．()()1120.5,20.5a a b b =-=-C ．[]0,,0,12a b π⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦D ．11,2a a b b π== 6.甲、乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲、乙两人的平均数与中位数分别相等，则:x y 为（ ）．A ．3:2B ．2:3C ．3:1或5:3D ．3:2或7:57.已知命题*11:,23x xp x N ⎛⎫⎛⎫∀∈≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，；命题*1:x N ,22x x q -∃∈+=，则下列命题中为真命题的是（ ）．A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝8.已知函数()f x 在R 上是单调函数，且满足对任意x R ∈，都有()23x f f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()3f 的值是（ ）．A ．3B ．7C ．9D ．129.过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点F 作直线交双曲线的两条渐近线与,A B 两点，若()22,FA FB OA OB OB ==，则双曲线的离心率为（ ）．A ．．．2 D10.已知函数()234201712342017x x x x f x x =+-+-++ 设()()4F x f x =+，且函数()F x 的零点均在区间[](),,,a b a b a b Z <∈内，圆22x y b a +=-的面积的最小值是（ ）． A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 11.关于曲线22:1C xy --+=的下列说法：（1）C 关于直线0x y +=对称；（2）C 是封闭图形，面积大于2π；（3）C 不是封闭图形，与圆222x y +=无公共点；（4）原点道曲线的距离的最小值为4；（5）C与曲线:D x y +=其中正确的个数是（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．512.已知函数()()3lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的函数()()21y f x bf x =-+有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是（ ）．A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．172,4⎛⎫⎪⎝⎭D ．172,4⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为_____________．14. 双曲线2213y x -=的右焦点为,F O ，为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与此双曲线的两条渐近线分别交于点A B 、（不同于O 点），则AB =_____________．15.已知函数()()233x f x x x e =-+，设2t >-，函数()f x 在[]2,t -上为单调函数时，则t 的最大值为 _____________．16.已知椭圆221,4y x A B +=、是椭圆的左右顶点，P 是椭圆上不与A B 、重合的一点，PA PB 、的倾斜角分别为αβ、，则()()cos cos αβαβ-=+ _____________．三、解答题 （本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题8分）设:p 实数a 满足不等式39a≤，:q 函数()()32331932a f x x x x -=++无极值点． （1）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数a 的取值范围；（2）已知“p q ∧”为真命题，并记为r ，且211:2022t a m a m m ⎛⎫⎛⎫-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若r 是t ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 18.（本小题8分）如图1，在直角梯形ABCD 中，//,AB CD AB AD ⊥，且112A B A D C D ===．现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 互相垂直，如图2．（1）求证：平面BDE ⊥平面BEC ；（2）求平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的大小． 19.（本小题10分）双曲线()22122:10,b 0x y C a a b-=>>的一条渐近线方程为12y x =，其右焦点到该直线的距离P 是圆222x y a +=上的动点，作PD x ⊥轴于D，且DM DP = ．（1）求点M 的轨迹2C 的方程；（2）设直线y kx m =+与轨迹2C 相交于不同的两点A B 、，是否存在过点10,2N ⎛⎫-⎪⎝⎭的直线l ，使得点A B 、关于l 对称，如果存在，求实数m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．20.（本小题10分）已知函数()()2ln 1f x ax x =++．（1）当14a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）当[)0,x ∈+∞时，函数()y f x =图像上的点都在0x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．（3）求证：()()1248211112335592121n n ne -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++++< ⎪⎪⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（其中*,n N e ∈，是自然对数的底数）．参考答案一、选择题二、填空题13.16 14. ．0 16. 35- 三、解答题17.解：由n39≤，得2a ≤，即:2p a ≤，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ∵函数()f x 无极值点，∴()0f x '≥恒成立，若p 为真命题，q 为假命题，则215a a a ≤⎧⎨<>⎩或1a ⇒<；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分若q 为真命题，p 为假命题，则22515a a a >⎧⇒<≤⎨≤≤⎩，于是，实数a 的取值范围为{}|15a a a <≤或2<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）∵“p q ∧”真命题，∴21215a a a ≤⎧⇒≤≤⎨≤≤⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 又2112022a m a m m ⎛⎫⎛⎫-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()102a m a m ⎡⎤⎛⎫--+> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴12a m a m <>+或， 即1:2t a m a m <>+或，从而1:2t m a m ⌝≤≤+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∵r 是t ⌝的必要不充分条件，即t ⌝是r 的充分不必要条件，∴1122m m ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得312m ≤≤．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分 18.解析：（1）（法一）因为平面ADEF ⊥平面ABCD ， 且平面ADEF 平面ABCD AD =， 又在正方形ADEF 中，ED AD ⊥，所以ED ⊥平面ABCD ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分 而BC ⊂平面ABCD ，所以ED BC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 在直角梯形ABCD中，2,CD BD BC =====所以222BD BC CD +=，所以BC BD ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 又,ED BD ⊂平面,BDE ED BD D = ， 所以BC ⊥平面BDE ．而BC ⊂平面EC B , …………………….4分（法二）同法一，得ED ABCD ⊥ ， 以D 为原点，,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,1D B C E ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 所以()()()1,1,0,1,1,0,0,0,1BC DB DE =-==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分()1111000BC DB =-⨯+⨯+⨯=， ()1010010BC DE =-⨯+⨯+⨯=，所以,BC DB BC DE ⊥⊥ ，．．．．．．．．．．．．．．．3分又,DB DE不共线，,DE DB ⊂平面BDE ，所以BC ⊥平面BDE ， 而BC ⊂平面BEC ，所以平面BDE ⊥平面BEC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）（法一）因为//,EF AD EF ⊄平面,ABCD AD ⊂平面ABCD ， 所以//EF 平面ABCD ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 因为平面EFB 与平面ABCD 有公共点B ， 所以可设平面EFB 平面,ABCD BG G CD =∈．因为//EF 平面ABCD ，EF ⊂平面EFB ，平面EFB 平面ABCD BG =， 所以 //EF BG ，从而//BG AD ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分又//AB DG ，且1,2AB CD ==，所以G 为CD 中点，ABGD 也为正方形， 易知BG ⊥平面ECD ，所以,BG EG BG DG ⊥⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 所以EGD ∠是平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的平面角，而045EGD ∠=， 所以平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角为45°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（法二）由（1）知，平面ABCD 的一个法向量是()0,0,1m =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分设平面EFB 的一个法向量为(),,n x y z =，因为()()()()1,0,0,1,1,00,0,11,1,1EF DA EB DB DE ===-=-=-，所以00n EF x n EB x y z ==⎧⎨=+-=⎩ 取1y =，得1z =，所以()0,1,1n =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分设平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角为θ，则cos 2m n m n θ=== ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 所以平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角为45°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分19．【解析】（1）由题知22212b a a c a b ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=+⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 设()()11,,,M x y P x y，则1111x x x x y y y y ==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩， 又221120x y +=，所以2212015x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由2234600y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩， 消去y 整理得()()2223484150k x kmx m +++-=．．．．．．．．．．．．．．．5分∴()()()22284344150km km∆=-+⨯->，整理得：222015k m >-，①令()()1122,,,A x y B x y ，则()122212283441534km x x k m x x k ⎧+==-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 设AB 的中点()00,Q x y ，则()012214234kmx x x k=+=-+， ()()1212021132234m y y y kx m kx m m kx k =+=+++=+=+，①当0k =时，由题知，(m ∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分②当0k ≠时，直线l 的方程为112y x k +=-， 由()00,Q x y 在直线l 上，得2231434234m mk k +=++，化简得2234m k =+，②把②式代入①中，可得()252315m m ->-，解得010m <<，又由②得22340m k -=>，解得32m >，所以3102m <<．．．．．．．．．．．．．．9分综上，当0k =时， (m ∈；当0k ≠时，3,102m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分20．解：（1）当14a =-时，()()()21ln 114f x x x x =-++>-， ()()()()()211112121x x f x x x x x +-'=-+=->-++， 由()0f x '>解得11x -<<，由()0f x '<解得1x >，故函数()f x 的单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 （2）因函数()f x 图象上的点都在0x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，则当[)0,x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，即()2ln 10ax x x ++-≤恒成立，设()()()2ln 10g x ax x x x =++-≥，只需()max 0g x ≤即可．由()()22112111x ax a g x ax x x +-⎡⎤⎣⎦'=+-=++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ①当0a =时，()1xg x x -'=+，当0x >时，()0g x '<，函数()g x 在()0,+∞上单调递减，故()()00g x g ≤=成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ②当0a >时，由()()22101x ax a g x x +-⎡⎤⎣⎦'==+，因为[)0,x ∈+∞，所以0x =或112x a=-， ①若1102a -≤，即12a ≥时，在区间()0,+∞上，()0g x '>，则函数()g x 在()0,+∞上单调递增，()g x 在[)0,+∞上无最大值（或：当x →+∞时，()g x →+∞），此时不满足条件； ②若1102a ->，即102a <<时，函数()g x 在10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，同样()g x 在[)0,+∞上无最大值，不满足条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分③当0a <时，由()()2211x ax a g x x +-⎡⎤⎣⎦'=+，∵[)0,x ∈+∞，∴()2210ax a +-<，∴()0g x '<，故函数()g x 在[)0,+∞上单调递减， 故()()00g x g ≤=成立，综上所述，实数a 的取值范围是(],0-∞．．．．．．．．．．．．．．．．．7分（3）据（2）知，当0a =时，()ln 1x x +≤在[)0,+∞上恒成立（或另证()ln 1x x +≤在区间()1,-+∞上恒成立），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分又()()11211221212121n n n n n--⎛⎫=- ⎪++++⎝⎭， ∵()()12482ln 11112335592121n n n-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++++⎨⎬ ⎪⎪⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭()()12482ln 1ln 1ln 1ln 12335592121n n n-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()124822335592121n n n-<++++⨯⨯⨯++ ， 111111111112212335592121221n n n -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ，∴()()1248211112335592121n n ne -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++++< ⎪⎪⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。