广东新高考数学理科一轮总复习课时练习4.4定积分及其应用举例(含答案详析)
《高考备考学案》广东高考数学理一轮复习配套能力提升作业4.28定积分(含答案解析)
第28课 定积分1．（2012江西高考）计算定积分=+⎰-dx x x 112)sin (___________． 【答案】32 【解析】32)cos 31()sin (113112=-=+--⎰x x dx x x ． 2．（2012上海高考）已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 ． 【答案】45 【解析】当210≤≤x ，线段AB 的方程为x y 10=， 当121≤<x 时，线段BC 方程为1010+-=x y ， 即函数110,0,2()11010, 1.2x x y f x x x ⎧≤≤⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎩ ∴22110,0,2()11010, 1.2x x y xf x x x x ⎧ ≤≤⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎩， ∴围成的面积1122210210(1010)S x dx x x dx =+=-+⎰⎰13322011010(5)1332x x x =+-+45=． 3．（2012惠州一模）由曲线2y x =,3y x =围成的封闭图形面积为 . 【答案】112【解析】由23y x y x⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩． ∴1233401111()()03412S x x dx x x =-=-=⎰． 4．（2012汕头二模）已知函数()f x 由下表定义2若05a =，1()n n a f a +=，n N ∈，则2012a = ．【答案】5 【解析】∵20sin (cos )120xdx x ππ=-=⎰，∴05a =，12a =，31a =，44a =，55a =，……，{}n a 是一个以4为周期的数列，∴2012503405a a a ⨯===．5．已知()f x 为二次函数，且10(1)2,(0)0,()2f f f x dx '-===-⎰，求：（1）()f x 的解析式；（2）()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值．【解析】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，∴()2f x ax b '=+，∵(0)0f '=，∴0b =，∵(1)2f -=，∴2a c +=，即2c a =-，∴2()2(0)f x ax a a =+-≠， ∵11230011()(2)((2))203f x dx ax a dx ax a x =+-=+-=-⎰⎰ ∴1(2)23a a +-=-，即6a =．∴2()64f x x =-．(2)()f x 在[1,1]-上的最大值为2，最小值为4-．6.直线kx y =分抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分，求k 的值. 【解析】解方程组⎩⎨⎧-==2xx y kx y ，解得0=x 或k x -=1， ∵抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积为61|)3121()(1032102=-=-=⎰x x dx x x S ． 由题设得dx kx dx x x S k k ⎰⎰----=10102)(2 6)1()(3102k dx kx x x k-=--=⎰- ． 又61=S ，∴21)1(3=-k ，从而得2413-=k ．。
高考数学一轮复习 定积分与微积分基本定理练习含答案
第3讲 定积分与微积分基本定理一、选择题1.(2017·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( ) A.e ＋2 B.e ＋1C.eD.e －1 解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.故选C. 答案 C2.若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A.2 B.3C.4D.6 解析 ⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a 1＝a 2＋ln a －1， ∴a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，则a ＝2.答案 A3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12gB.gC.32gD.2g解析 电视塔高h ＝⎠⎛12gt d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12gt 221＝32g . 答案 C4.如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A.⎠⎛02|x 2－1|d x B.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02（x 2－1）d x C.⎠⎛02(x 2－1)d x D.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x .答案 A5.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A.S 1<S 2<S 3B.S 2<S 1<S 3C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1 解析S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e 2－e ， ∵e 2－e ＝e(e －1)＞e ＞73＞ln 2， ∴S 2＜S 1＜S 3.答案 B二、填空题6.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝________. 解析 由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x ) ⎪⎪⎪t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去). 答案 47.已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________.解析 根据f (x )的图像可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0).因为f (x )的图像过(0，1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43. 答案 438.(2017·合肥模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析 封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案 49三、解答题9.计算下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x d x ； (2)⎠⎛02－x 2＋2x d x ； (3)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x ； (4)⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ； (5)⎠⎛－22|x 2－2x |d x . 解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 1＝32－ln 2； (2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x ＝0，x ＝2，y ＝－x 2＋2x ，以及x 轴围成的图像的面积，即圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的一半，∴⎠⎛02－x 2＋2x＝π2； (3)原式＝ (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x ) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－ (－cos 0＋sin 0)＝2；(4)原式＝⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3)d x ＋⎠⎛－111d x ＝0＋x ⎪⎪⎪1-1＝2； (5)∵|x 2－2x |＝⎩⎨⎧x 2－2x ，－2≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪20＝8.10.求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积.解 作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图像，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点(1，1)， 解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝3x ，得交点(3，9)， 因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(3x －x )d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝x 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－13x 3⎪⎪⎪31 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝133. 11.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( ) A.－1B.－13C.13D.1解析 由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ， 设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ， ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪10 ＝13＋2m ＝m ，∴m ＝－13.答案 B12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A.1＋25ln 5B.8＋25ln 113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪40＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m).答案 C13.(2017·郑州调研)⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝________. 解析 ⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11(e x －1)d x . 因为⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，则⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，又⎠⎛－11(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1 ＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝π2＋e －1e －2. 答案 π2＋e －1e －214.在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值. 解 S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3. S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2，1－t 的面积，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1).令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12. t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23.所以当t ＝12时，S (t )最小，且最小值为14.。
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解(同名21401).doc
年 级 高二 学科数学内容标题 定积分的计算 编稿老师马利军一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题.二、知识要点分析1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：⎰badx x f )(2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.⎰badx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号.在图（1）中：0s dx )x (f ba>=⎰，在图（2）中：0s dx )x (f ba<=⎰，在图（3）中：dx)x (f ba⎰表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和.注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于⎰badx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于⎰badx x f )(.3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）⎰⎰⎰±=±bab aba dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [（2）⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）⎰⎰⎰+=bcbac adx x f dx x f dx x f )()()(（4）若在区间［a ，b ］上，⎰≥≥badx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a ，b ］上，⎰⎰≤≤babadx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2）⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|（3）若f （x ）是偶函数，则⎰⎰=-a aadx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=⎰-aadx x f 4. 微积分基本定理：一般地，若)()()(],[)(),()('a Fb F dx x f b a x f x f x F ba-==⎰上可积，则在且注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据导数定义知：F （x ）+C 也是f （x ）的原函数，求定积分⎰badx x f )(的关键是求f （x ）的原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F （x ）.（2）求导运算与求原函数的运算互为逆运算.【典型例题】知识点一：定积分的几何意义例1．根据⎰=π200sin xdx 推断：求直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是（ ）A ．面积为0B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意dx x ⎰π20sin 与y=sinx 及直线x=a ，x=b 和x 轴围成的面积的区别.思路分析：作出函数y=sinx 在区间[0，π2]内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断.解：对于（A ）：由于直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错.对于（B ），（C ）根据y=sinx 在[0，π2]内关于（)0,π对称知两个答案都是错误的. 根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案（D ）是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0，x=π2围成的面积等于⎰π20)(dx x f .例2．利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性 （1）121=⎰xdx（2）⎰=-1241πdx x .题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间[0，1]上函数y=2x ，及y=21x -恒为正时，定积分⎰12xdx 表示函数y=2x 图象与x=0，x=1围成的图形的面积，dx x ⎰-121表示函数y=21x -图象与x=0，x=1围成的图形的面积.思路分析：分别作出函数y=2x 及y=21x -的图象，求此图象与直线x=0，x=1围成的面积.解：（1）在同一坐标系中画出函数y=2x 的图象及直线x=0，x=1（如图），它们围成的图形是直角三角形.其面积∆S =11221=⨯⨯.由于在区间[0，1]内f （x ）恒为正，故1210=⎰xdx .（2）由]1,0[,11222∈=+⇒-=x y x x y ，故函数y 21x -=（]1,0[∈x 的图象如图所示，所以函数y 21x -=与直线x=0，x=1围成的图形面积是圆122=+y x 面积的四分之一，又y 21x -=在区间［0，1］上恒为正.⎰=-1241πdx x解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x 及函数y=21x -在区间［0，1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.例3．利用定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.题意分析：本题考查定积分的几何意义，⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值是函数|3||1|-+-=x x y 的图象与直线x=0，x=4所围成图形的面积.思路分析：首先把区间［0，4］分割为［0，1］，［1，3］，［3，4］，在每个区间上讨论x －1，x －3的符号，把函数|3||1|-+-=x x y 化为分段函数，再根据定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.解：函数|3||1|-+-=x x y 化为⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y由于函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y 在区间［0，1］，［1，3］，［3，4］都恒为正.设函数y=－2x+4的图象与直线x=0，x=1围成的面积为S 1 函数y=2的图象与直线x=1，x=3围成的面积是S 2 函数y=2x －4的图象与直线x=3，x=4围成的面积是S 3 由图知：S 1=S 3=,31)24(21=⨯+S 2=422=⨯ 由定积分的几何意义知：⎰-+-4|)3||1(|dx x x =10231=++S S S解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值，体现了等价转化的数学思想（把区间［0，4］分割，把函数y=|x －1|+|x －3|化成分段函数）、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间［0，4］分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间［a ，b ］上f （x ）恒为正时，f （x ）在区间[a ，b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a ，x=b 围成的面积.在画函数图象时注意x 的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e x d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112 B.14C.13D.712(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫43，169B.⎝⎛⎭⎫45，169 C.⎝⎛⎭⎫43，157D.⎝⎛⎭⎫45，1373．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．64．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos15．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e )D ．(0，e 11)8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π49．(2010·吉林质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )A.32B ．1C ．4D.1210．(2010·沈阳二十中)设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7611．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.3412．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12B.14C.13D.25二、填空题13．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．17．(2010·福建福州市)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．。
广东新高考数学理科一轮总复习课时练习3.8函数模型及其应用(含答案详析)
第8讲 函数模型及其应用1．在一定范围内，某种产品的购买量y (单位：吨)与单价x (单位：元)之间满足一次函数关系．如果购买1000吨，每吨为800元；购买2000吨，每吨为700元．一客户购买400吨，单价应该是( )A ．820元B ．840元C ．860元D ．880元2．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3B ．4C ．6D ．123．已知某驾驶员喝了m 升酒后，血液中酒精的含量f (x )(单位：毫克/毫升)随时间x (单位：小时)变化的规律近似满足表达式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5x-2 (0≤x ≤1)，35·⎝⎛⎭⎫13x (x ＞1)，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不能超过0.02毫克/毫升，此驾驶员至少要过( )小时后才能开车(精确到1小时)．( )A ．2B ．3C ．4D ．54．某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件．从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的x %的管理费(即销售100元要征收x 元)，于是该产品定价每件比第一年增加了70·x %1－x %元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是( )A ．2B ．6.5C ．8.8D ．105．因为某种产品的两种原料相继提价，所以生产者决定对产品分两次提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：第一次提价q %，第二次提价p %；方案丙：第一次提价p ＋q 2%，第二次提价p ＋q 2%. 其中p >q >0，比较上述三种方案，提价最多的是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．一样多6．有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图K3-8-1)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．图K3-8-17．(2012年广东广州二模)某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： ①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某两人去购物，分别付款170元和441元，若他们合并去一次购买上述同样的商品，则可节约________元．8．某公司为了实现2015年1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y (单位：万元)随销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y ＝0.025x ，y ＝1.003x ，y ＝12ln x ＋1，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？并说明理由．(参考数据：1.003600≈6，e ＝2.718 28…，e 8≈2981)第8讲 函数模型及其应用1．C 2.A 3.C 4.D 5.C6．2500 m 2 解析：方法一：设所围场地的长为x ，则宽为200－x 4，其中0<x <200，场地的面积为x ×200－x 4≤14⎝⎛⎭⎫x ＋200－x 22＝2500 m 2，当且仅当x ＝100时等号成立． 方法二：场地的面积为x ×200－x 4＝－14(x 2－200x )＝－14(x －100)2＋2500，当x ＝100时，有最大值2500.7．49 解析：170<200×0.9＝180,441<500×0.9＝450，不考虑优惠的实际价格为170＋4410.9＝660(元)，合并后实付款：500×0.9＋160×0.7＝562(元)，节约170＋441－562＝49(元)．8．解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x ∈[10,1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y ≤x ·25%.(1)对于y ＝0.025x ，易知满足①；但当x >200，y >5，不满足公司的要求；(2)对于y ＝1.003x ，易知满足①；但当x >600时，y >6，不满足公司的要求；(3)对于y ＝12ln x ＋1，易知满足①. 当x ∈[10,1000]时，y ≤12ln1000＋1. ∵y －5≤12ln1000＋1－5＝12(ln1000－lne 8)<0， ∴满足②.设F (x )＝2ln x ＋4－x ，F ′(x )＝2x －1＝2－x x<0(x ∈[10,1000])． ∴F (x )在[10,1000]为减函数．F (x )max ＝F (10)＝2ln10＋4－10＝2(ln10－3)<0，满足③.综上所述，只有奖励模型：y ＝12ln x ＋1能完全符合公司的要求．。
高考数学(理)一轮复习课件：第二章第十三节 定积分与微积分基本定理(广东专用)
3．对于不便求出被积函数的原函数的，可考虑用定积分 的几何意义求解．
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
) B．5t20
C.130t20
D.53t20
【解析】
S＝t0vdt＝t010tdt＝5t2|
0
0
t00＝5t20.
【答案】 B
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
2．(2011·福建高考)1(ex＋2x)dx 的值是( )
0
A．1
B．e－1 C．e
D．e＋1
【解析】
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
(3)12|3－2x|dx＝∫321|3－2x|dx＋232|3－2x|dx ＝∫321(3－2x)dx＋232(2x－3)dx ＝(3x－x2)| 321＋(x2－3x)| 232＝12. (4)∵(ln x)′＝1x，(12e2x)′＝e2x， ∴12(e2x＋1x)dx＝12e2xdx＋121xdx ＝12e2x| 21＋ln x| 21＝12e4－12e2＋ln 2－ln 1 ＝12e4－12e2＋ln 2.
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
1．(1)注意定积分与曲边梯形面积的区别，定积分可正、 可负、可为 0.(2)y＝x2－1 与 x 轴围成的面积不是1－1(x2－ 1)dx，而是1－1(1－x2)dx.
2．解决该类问题一定要结合几何图形的直观性，把所求 的曲边形的面积用函数的定积分表示，关键有两点：一是确定 积分的上下限；二是确定被积函数．只要解决了这两点，所求 的面积就转化为根据微积分基本定理计算定积分了．
[原创]2015年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第四章 第4讲 定积分及其应用举例[配套课件]
![[原创]2015年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第四章 第4讲 定积分及其应用举例[配套课件]](https://img.taocdn.com/s3/m/b55a1b2958fb770bf78a5524.png)
9－x2dx 是由曲线 y＝
9－x2，直线 x＝0，x＝3 围成的封闭图形的面积，故
3
0
2 π·3 9 2 9－x dx＝ 4 ＝4π.
答案：C
(3) 1 |1－x|dx＝________.
2
解析：
2
1
|1 － x|dx ＝
1
1
(1 － x)dx ＋
2
1
(x － 1)dx ＝
1 2 1 1 x2 x 2 5 . x- x 1 2 2 1 2
a b (4) cosxdx＝sinx |b a. a b1 b (5) dx＝lnx (b>a>0)． ax a b x (6) e dx＝ex|b a. a b x ax b (7) a dx＝ (a>0 且 a≠1)． a ln a a
4．定积分的几何意义 (1)直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的图 形称为曲边梯形． (2)若函数 f(x)在区间[a，b]上连续且恒有 f(x)≥0，那么定积 b f ( x)dx a 分_______________ 表示由直线 x＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线
s＝
5
0
v(t)dt＝
5
0
3 25 (15－3t)dt＝ 15t t ＝37.5(米)＝ 2 0
0.0375(千米)． 答：汽车走了 0.0375 千米．
【方法与技巧】汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们 可以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之 前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式．若做变 速直线运动的物体的速度关于时间的函数为 v＝v(t)[v(t)≥0]， 由定积分的物理意义可知，做变速运动物体在[a，b]时间内的 路程 s 是曲边梯形(如图 4-4-3 的阴影部分)的面积，即路程 s＝
高考数学定积分知识讲解与例题练习(含答案解析)
高考数学定积分知识讲解与例题练习（含答案解析）一、基础知识1、相关术语：对于定积分()baf x dx ⎰（1）,:a b 称为积分上下限，其中a b ≥ （2）()f x ：称为被积函数（3）dx ：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如：()2bax tx dx +⎰中的被积函数为()2f x x tx =+，而()2baxtx dt +⎰的被积函数为()2f t xt x =+2、定积分()baf x dx ⎰的几何意义：表示函数()f x 与x 轴，,x a x b ==围成的面积（x 轴上方部分为正，x 轴下方部分为负）和，所以只有当()f x 图像在[],a b 完全位于x 轴上方时，()baf x dx ⎰才表示面积。
()baf x dx ⎰可表示数()f x 与x 轴，,x a x b ==围成的面积的总和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有2种：（1）微积分基本定理：如果()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()()'F x f x =，那么()()()()|bb aaf x dx F x F b F a ==−⎰使用微积分基本定理，关键是能够找到以()f x 为导函数的原函数()F x 。
所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心：()f x C = ()'0f x = ()f x x α= ()'1f x x αα−= ()sin f x x = ()'cos f x x = ()cos f x x = ()'sin f x x =− ()x f x a = ()'ln x f x a a = ()x f x e = ()'x f x e = ()log a f x x = ()'1ln f x x a =()ln f x x = ()'1f x x= ① 寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如：()3f x x =，则判断属于幂函数类型，原函数应含4x ，但()'434x x=，而()3f x x =，所以原函数为()414F x x C =+（C 为常数） ② 如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数C ，例如()2f x x =，则()2F x x C =+，但在使用微积分基本定理时，会发现()()F b F a −计算时会消去C ，所以求定积分时，()F x 不需加上常数。
广东新高考数学理科一轮总复习课时练习5.5不等式的应用(含答案详析)
第5讲 不等式的应用1．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析：每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x 的函数关系为y ＝－(x －6)2＋11(x ∈N *)，则每辆客车营运( )年，其运营的年平均利润最大？( )A ．3B ．4C ．5D ．62．(2013年山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2 D.943．已知f (x )＝x 3－3x ＋m ，在[0,2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f (a )，f (b )，f (c )为边长的三角形，则m 的取值范围为( )A ．m >2B ．m >4C ．m >6D ．m >84．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，若将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，则楼房应建为( )A ．10层B ．15层C ．20层D ．30层5．(2013年山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值为________．6．一份印刷品，其排版面积为432 cm 2(矩形)，要求左右留有4 cm 的空白，上下留有3 cm 的空白，则当矩形的长为________cm ，宽为________cm 时，用纸最省．7．某工厂投入98万元购买一套设备，第一年的维修费用为12万元，以后每年增加4万元，每年可收入50万元．就此问题给出以下命题：①前两年没能收回成本；②前5年的平均年利润最多；③前10年总利润最多；④第11年是亏损的；⑤10年后每年虽有盈利但与前10年比年利润有所减少(总利润＝总收入－投入资金－总维修费)．其中真命题是________．8．(2011年江苏)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．9．某森林出现火灾，火势正以每分钟100 m 2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m 2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1 m 2森林损失费为60元．问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？10．(2012年江苏)如图K5-5-1，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120 (1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问当它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．图K5-5-1第5讲 不等式的应用1．C 2.C3．C 解析：f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)，列表知：函数f (x )在[0,2]上有最小值f (1)＝m －2，最大值f (2)＝m ＋2.∵f (a )，f (b )，f (c )为三角形的边，由任意两边之和大于第三边，得m －2＋m －2>m ＋2，解得m >6.故选C.4．B 解析：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2160×10 0002000x＝560＋48x ＋10 800x＝560＋48⎝⎛⎭⎫x ＋225x ≥560＋48×2 x ·225x＝2000(x ≥10，x ∈Z ＋)．当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，f (x )取得最小值为f (15)＝2000.5.2 解析：不等式组表示的区域如图D74，|OM |的最小值为就是坐标原点O 到直线x＋y －2＝0的距离d ＝||0＋0－22＝ 2.图D746．24 18 解析：设矩形的长为x cm ，则宽为432xcm ，则总面积为y ＝(x ＋8)·⎝⎛⎭⎫432x ＋6＝432＋48＋6x ＋432×8x ＝480＋6⎝⎛⎭⎫x ＋72×8x ≥480＋6×2 x ·72×8x ＝768，当且仅当x ＝72×8x ，即x ＝24时取等号，此时宽为43224＝18 (cm)．7．①③④8．4 解析：设交点坐标为⎝⎛⎭⎫x ，2x ，⎝⎛⎭⎫－x ，－2x ，则PQ ＝(2x )2＋⎝⎛⎭⎫4x 2≥4. 9．解：设派x 名消防队员前去救火，用t 分钟将火扑灭，总损失为y 元，则t ＝5×10050x －100＝10x －2. y ＝125tx ＋100x ＋60(500＋100t )＝125x ·10x －2＋100x ＋30 000＋60 000x －2＝1250·x －2＋2x －2＋100(x －2＋2)＋30 000＋60 000x －2＝31 450＋100(x －2)＋62 500x －2≥31 450＋2100×62 500＝36 450.当且仅当100(x －2)＝62 500x －2，即x ＝27时，y 有最小值为36 450.故应该派27名消防队员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36 450元．10．解：(1)在y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)中，令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0.由实际意义和题设条件，知：x >0，k >0，∴x ＝20k 1＋k 2＝201k＋k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． ∴炮的最大射程是10千米．(2)∵a >0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k >0，使ka －120(1＋k 2)a 2＝3.2成立，即关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根． 由Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0，得0<a ≤6.此时，k ＝20a ＋(－20a )2－4a 2(a 2＋64)2a 2>0(不考虑另一根)，∴当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标．。
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第4讲 定积分及其应用举例
1．设f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2 (0≤x <1)，
2－x (1<x ≤2)，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )
A.34
B.45
C.5
6
D ．不存在 2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1 (－1≤x <0)，cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.32 B ．1 C ．2 D.12
3．一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同)，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝t 米/秒，那么，此人( )
A ．可在7秒内追上汽车
B ．可在9秒内追上汽车
C ．不能追上汽车，但其间最近距离为14米
D ．不能追上汽车，但其间最近距离为7米
4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712 5．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.16
3
D ．6 6．由直线x ＝－π3，x ＝π
3
，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )
A.12 B ．1 C.3
2 D.
3 7．如图K4-4-1，D 是边长为4的正方形区域，E 是区域D 内函数y ＝x 2图象下方的点
构成的区域，向区域D 中随机投一点，则该点落入区域E 中的概率为( )
图K4-4-1
A.15
B.14
C.13
D.12
8．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛－1
1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝______________.
9．设a ＝⎠⎛0
πsin x d x ，则二项式⎝
⎛⎭
⎫a x －
1x 6
展开式的常数项是( )
A ．160
B ．20
C ．－20
D ．－160
10．在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图K4-4-2的阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )
图K4-4-2
11．(2013年福建)当x ∈R ，|x |＜1时，有如下表达式：
1＋x ＋x 2＋…＋x n ＝1
1－x .
两边同时积分得：
120
⎰
1d x ＋
120
⎰
x d x ＋
120
⎰
x 2
d x ＋…＋
120
⎰
x n
d x ＝
120
⎰
1
1－x
d x ， 从而得到如下等式： 1×12＋12×⎝⎛⎭⎫122＋13×⎝⎛⎭⎫123＋…＋1n ＋1×⎝⎛⎭
⎫12n +1＝ln2. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
C 0
n ×12＋12C 1n ×⎝⎛⎭⎫122＋13C 2n ×⎝⎛⎭⎫123＋…＋1n ＋1C n n ×⎝⎛⎭
⎫12n +1＝____________.
第4讲 定积分及其应用举例
1．C 2.A 3.D 4.A 5.C 6.D
7．C 解析：阴影部分面积S ＝2
⎪
⎪⎪⎠⎛0
2x 2d x ＝2×13x 320＝16
3
，又正方形面积S ′＝42＝16，∴所求概率p ＝S S ′＝1
3
.
8．－1或13 解析：
⎪⎪⎠⎛－1
1
(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )1
－1＝4，∴2(3a 2＋2a ＋1)＝4.即3a 2＋2a －1＝0，解得a ＝－1或a ＝1
3
.
9．D 解析：a ＝
⎪⎪⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x π0＝2，T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ·⎝
⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r 26－r C r 6x 3－r ，∵T r ＋1为常数项，∴3－r ＝0，∴r ＝3.∴(－1)3×23×C 36＝－160.故选D.
10．B 解析：当t ≤0时，S ＝⎠
⎛－1
t －x d x ＝－12x 2|t －1＝12－12t 2；当t >0时，S ＝1
2＋
⎪⎪⎪⎠⎛0
t x d x ＝12＋12x 2t 0＝12＋12
t 2
. 11.1n ＋1⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n ＋1－1 解析：由C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n
x n ＝(1＋x )n ， 两边同时积分，得
C 0n
1
20
⎰
1d x ＋C 1n
1
20
⎰
x d x ＋C 2n
1
20
⎰
x
2
d x ＋…＋C n n
1
20
⎰
x n d x ＝
1
20
⎰
1＋x )n d x ，
12C 0n ＋12C 1n ⎝⎛⎭⎫122＋13C 2n ⎝⎛⎭⎫123＋…＋1n ＋1C n n ·⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝
⎪⎪⎣⎡⎦⎤1n ＋1(1＋x )n ＋11
20＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋1－1n ＋1＝1n ＋1⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n ＋1－1.。