广东高考数学考试(理科)含解析
广东省2022年高考[数学]考试真题与答案解析
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广东省2022年高考·数学·考试真题与答案解析————————————————————————————————————————一、选择题1. 若集合，则（）{4},{31}M xN x x =<=≥∣M N = A. B. C. D. {}02x x ≤<123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭{}316x x ≤<1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【分析】求出集合后可求.,M N M N ⋂【详解】，故，1{16},{}3M xx N x x =≤<=≥∣0∣1163M N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭故选：D2. 若，则（）i(1)1z -=z z +=A. B. C. 1 D. 22-1-【答案】D【分析】利用复数的除法可求，从而可求.z z z +【详解】由题设有，故，故，21i1i i iz -===-1+i z =()()1i 1i 2z z +=++-=故选：D3. 在中，点D 在边AB 上，．记，则（）ABC 2BD DA =CA m CD n == ，CB=A. B. C. D. 32m n - 23m n -+ 32m n + 23m n + 【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，，所以，即，2BD DA =2BD DA =()2CD CB CA CD -=- 所以．CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+故选：B ．4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积1485m ．21400km ．1575m ．为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上21800km ．1485m ．升到）（）1575m ． 2.65≈A. B. C. D. 931.010m ⨯931.210m ⨯931.410m ⨯931.610m ⨯【答案】C【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．157.5148.59MN =-=V 棱台上底面积，下底面积，262140.014010S ==⨯km m 262180.018010S '==⨯km m∴((66119140101801033V h S S =+=⨯⨯⨯+⨯'．(()679933320109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=⨯+⨯≈+⨯⨯=⨯≈⨯故选：C ．5. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.B.C.D. 16131223【答案】D【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，27C 21=若两数不互质，不同的取法有：，共7种，()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8故所求概率.2172213P -==故选：D.6. 记函数的最小正周期为T ．若，且的图象关()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭23T ππ<<()y f x =于点中心对称，则（）3,22π⎛⎫⎪⎝⎭2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A. 1B.C.D. 33252【答案】A【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T 满足，得，解得，23T ππ<<223πππω<<23ω<<又因为函数图象关于点对称，所以，且，3,22π⎛⎫⎪⎝⎭3,24k k Z ππωπ+=∈2b =所以，所以，，12,63k k Z ω=-+∈52ω=5()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以.5sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A7. 设，则（）0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，A. B. C. D. a b c <<c b a <<c a b<<a c b<<【答案】C【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.()ln(1)f x x x =+-,,a b c 【详解】设，因为，()ln(1)(1)f x x x x =+->-1()111x f x x x'=-=-++当时，，当时，(1,0)x ∈-()0f x '>,()0x ∈+∞()0f x '<所以函数在单调递减，在上单调递增，()ln(1)f x x x =+-(0,)+∞(1,0)-所以，所以，故，即，1()(0)09f f <=101ln 099-<110ln ln 0.999>=-b c >所以，所以，故，所以，1()(0)010f f -<=91ln +01010<1109e 10-<11011e 109<故，a b <设，则,()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--令，，2()e (1)+1x h x x =-2()e (21)x h x x x '=+-当时，，函数单调递减，01x <<-()0h x '<2()e (1)+1x h x x =-时，，函数单调递增，11x -<<()0h x '>2()e (1)+1x h x x =-又，(0)0h =所以当时，，01x <<-()0h x <所以当时，，函数单调递增，01x <<-()0g x '>()e ln(1)xg x x x =+-所以，即，所以(0.1)(0)0g g >=0.10.1e ln 0.9>-a c >故选：C.8. 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且36π，则该正四棱锥体积的取值范围是（）3l ≤≤A. B. C. D. 8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦[18,27]【答案】C【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，h 由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为，所以球的半径,36π3R =设正四棱锥的底面边长为，高为，2a h 则，,2222l a h =+22232(3)a h =+-所以，26h l =2222a l h =-所以正四棱锥的体积，42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭所以，5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当，当，3l ≤≤0V '>l <≤0V '<所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，l =V 643又时，，,3l =274V =l =814V =所以正四棱锥的体积的最小值为，V 274所以该正四棱锥体积的取值范围是.276443⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：C.二、不定项选择题9. 已知正方体，则（）1111ABCD A B C D -A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为1BC 1DA 90︒1BC 1CA 90︒C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面ABCD 所成的角为1BC 11BB D D 45︒1BC 45︒【答案】ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与1B C 1BC 11//DA B C 1BC 1B C 1BC 所成的角，1DA 因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A 正确；11BB C C 1B C ⊥1BC 1BC 1DA 90︒连接，因为平面，平面，则，1AC 11A B ⊥11BB C C 1BC ⊂11BB C C 111A B BC ⊥因为，，所以平面，1B C ⊥1BC 1111A B B C B = 1BC ⊥11A B C 又平面，所以，故B 正确；1AC ⊂11A B C 11BC CA ⊥连接，设，连接，11A C 1111A C B D O = BO 因为平面，平面，则，1BB ⊥1111D C B A 1C O ⊂1111D C B A 11C O B B ⊥因为，，所以平面，111C O B D ⊥1111B D B B B ⋂=1C O ⊥11BB D D 所以为直线与平面所成的角，1C BO ∠1BC 11BB D D设正方体棱长为，则，，11C O =1BC =1111sin 2C O C BO BC ∠==所以，直线与平面所成的角为，故C 错误；1BC 11BB D D 30 因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，1C C ⊥ABCD 1C BC ∠1BC ABCD 145C BC ∠=故D 正确.故选：ABD10. 已知函数，则（）3()1f x x x =-+A. 有两个极值点 B. 有三个零点()f x ()f x C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线(0,1)()y f x =2y x =()y f x =【答案】AC【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断()f x C ；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，，令得或()231f x x '=-()0f x '>x >x <令得，()0f x '<x <<所以在上单调递减，在，上单调递增，()fx ((,-∞)+∞所以是极值点，故A 正确；x =因，，，(10f =>10f =->()250f -=-<所以，函数在上有一个零点，()f x,⎛-∞ ⎝当时，，即函数在上无零点，x≥()0f x f ≥>()f x ⎫∞⎪⎪⎭+综上所述，函数有一个零点，故B 错误；()f x 令，该函数的定义域为，，3()h x x x =-R ()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-则是奇函数，是的对称中心，()h x (0,0)()h x将的图象向上移动一个单位得到的图象，()h x ()f x 所以点是曲线的对称中心，故C 正确；(0,1)()y f x =令，可得，又，()2312f x x '=-=1x =±()(1)11f f =-=当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，(1,1)21y x =-(1,1)-23y x =+故D 错误.故选：AC .11. 已知O 为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C 于(1,1)A 2:2(0)C x py p =>(0,1)B -P ，Q 两点，则（）A. C 的准线为B. 直线AB 与C 相切1y =-C. D. 2|OP OQ OA ⋅>2||||||BP BQ BA ⋅>【答案】BCD【分析】求出抛物线方程可判断A ，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B ，利用距离公式及弦长公式可判断C 、D.【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为A 12p =2x y =，A 错误；14y =-，所以直线的方程为，1(1)210AB k --==-AB 21y x =-联立，可得，解得，故B 正确；221y x x y=-⎧⎨=⎩2210x x -+=1x =设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，B l l y l C 所以，直线的斜率存在，设其方程为，，l 1y kx =-1122(,),(,)P x y Q x y 联立，得，21y kx x y=-⎧⎨=⎩210x kx -+=所以，所以或，，21212Δ401k x x k x x ⎧=->⎪+=⎨⎪=⎩2k >2k <-21212()1y y x x ==又，||OP ==||OQ ==所以，故C 正确；2||||||2||OP OQ k OA ⋅===>=因为，，1||||BP x =2||||BQ x =所以，而，故D 正确.2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>2||5BA =故选：BCD 12. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，()f x ()'f x R ()()g x f x '=322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)g x +均为偶函数，则（）A. B. C. D. (0)0f =102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(1)(4)f f -=(1)(2)g g -=【答案】BC【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因为，均为偶函数，322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)g x +所以即，，332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)(2)g x g x +=-所以，，则，故C 正确；()()3f x f x -=(4)()g x g x -=(1)(4)f f -=函数，的图象分别关于直线对称，()f x ()g x 3,22xx ==又，且函数可导，()()g x f x '=()f x 所以，()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以，所以，()(4)()3g x g x g x -==--()(2)(1)g x g x g x +=-+=所以，，故B 正确，D 错误；13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()112g g g -==-若函数满足题设条件，则函数（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x ()f x C +()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）．81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭26x y 【答案】-28【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()()88y x y x y x +-+【详解】因为，()()()8881=y y x y x y x y x x ⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭所以的展开式中含的项为，()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭26x y 6265352688C 28y x y C x y x y x -=-的展开式中的系数为-28()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭26x y 故答案为：-2814. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．221x y +=22(3)(4)16x y -+-=【答案】或或3544y x =-+7252424y x =-1x =-【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，221x y +=()0,0O 122(3)(4)16x y -+-=1O (3,4)半径为，4，等于两圆半径之和，故两圆外切，5=如图，当切线为l 时，因为，所以，设方程为143OO k =34l k =-3(0)4y x t t =-+>O 到l 的距离，解得，所以l 的方程为，1d ==54t =3544y x =-+当切线为m 时，设直线方程为，其中，，0kx y p ++=0p>0k <，解得，14⎧=⎪⎪7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为，1x =-故答案为：或或.3544y x =-+7252424y x =-1x =-15. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．()e xy x a =+【答案】()(),40,∞∞--⋃+【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.0x a 【详解】∵，∴，()e x y x a =+(1)e xy x a '=++设切点为,则,切线斜率,()00,x y ()000e x y x a =+()001e x k x a =++切线方程为：,()()()00000e 1e x x y x a x a x x -+=++-∵切线过原点，∴,()()()00000e 1e x x x a x a x -+=++-整理得：,2000x ax a +-=∵切线有两条，∴,解得或,240a a =+> 4a <-0a >∴的取值范围是,a ()(),40,∞∞--⋃+故答案为：()(),40,∞∞--⋃+16. 已知椭圆，C 的上顶点为A ，两个焦点为，，离心率为．过2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F 12且垂直于的直线与C 交于D ，E 两点，，则的周长是1F 2AF ||6DE =ADE ________________．【答案】13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到222222213412043x y x y c c c+=+-=，即直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：2AF DE DE，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用x c =-22234120x y c +-=221390y c --=弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用138c =1324a c ==ADE 2F DE △椭圆的定义得到周长为.413a =【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为12c e a ==2a c =22223b a c c =-=，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵222222213412043x y x y c c c+=+-=，即1F 2F ，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直222AF a OF c a c ===，，23AF O π∠=12AF F △1F 2AF线与C 交于D ，E 两点，为线段的垂直平分线，∴直线斜率倒数为DE 2AF DE直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：DE x c =-22234120x y c +-=，221390y c --=判别式，()22224139616c c =+⨯⨯=⨯⨯∴，22264613cCD y =-==⨯⨯⨯=∴ ， 得， 138c =1324a c ==∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于DE 2AF 22AD DF AE EF ==，ADE 的周长，利用椭圆的定义得到周长为2F DE △2F DE △.222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==故答案为：13.四、解答题本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 记为数列的前n 项和，已知是公差为的等差数列．n S {}n a 11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭13（1）求的通项公式；{}n a （2）证明：．121112na a a +++< 【答案】（1）()12n n n a +=（2）见解析【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利()121133n nS n n a +=+-=()23n n n a S +=用和与项的关系得到当时，,进而得：，利2n ≥()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-111n n a n a n -+=-用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；()12n n n a +=1n ={}n a ()12n n n a +=（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.121111211n a a a n ⎛⎫+++=- ⎪+⎝⎭【小问1详解】∵，∴,∴,11a =111S a ==111S a =又∵是公差为的等差数列，n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭13∴,∴,()121133n nS n n a +=+-=()23nn n a S +=∴当时，，2n ≥()1113n n n a S --+=∴,()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-整理得：,()()111n n n a n a --=+即,111n n a n a n -+=-∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⨯⨯⨯⋯⨯⨯，()1341123212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=--显然对于也成立，1n =∴的通项公式；{}n a ()12n n n a +=【小问2详解】()12112,11n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴12111n a a a +++ 1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 18. 记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．ABC cos sin 21sin 1cos2A BA B=++（1）若，求B ；23C π=（2）求的最小值．222a b c +【答案】（1）；π6（2）．5-【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成cos sin 21sin 1cos2A BA B=++，再结合，即可求出；()cos sin A B B +=π02B <<（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成π2C B =+π22A B =-222a b c +，然后利用基本不等式即可解出．2224cos 5cos B B+-【小问1详解】因为，即2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++，()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=而，所以；π02B <<π6B =【小问2详解】由（1）知，，所以，sin cos 0B C =->πππ,022C B <<<<而，πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以，即有．π2C B =+π22A B =-所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B c C B+++-==．()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB-+-==+-≥-=-当且仅当的最小值为．2cos B =222a b c +5-19. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．111ABC A B C -1A BC（1）求A 到平面的距离；1A BC （2）设D 为的中点，，平面平面，求二面角的正弦1AC 1AA AB =1A BC ⊥11ABB A A BD C --值．【答案】（1）（2【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量BC ⊥11ABB A 法即可得解.【小问1详解】在直三棱柱中，设点A 到平面的距离为h ，111ABC A B C -1A BC则，111111111143333A A BC A A ABC A ABC A B BC C C B V S h V S A A V ---=⋅===⋅==解得，h =所以点A 到平面；1A BC 【小问2详解】取的中点E ,连接AE ,如图，因为，所以,1A B 1AA AB =1AE A B ⊥又平面平面，平面平面，1A BC ⊥11ABB A 1A BC 111ABB A A B =且平面，所以平面，AE ⊂11ABB A AE ⊥1A BC 在直三棱柱中，平面，111ABC A B C -1BB ⊥ABC由平面，平面可得，，BC ⊂1A BC BC ⊂ABC AE BC ⊥1BB BC ⊥又平面且相交，所以平面，1,AE BB ⊂11ABB A BC ⊥11ABB A 所以两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，1,,BC BABB 由（1）得，，AE =12AA AB ==1A B =2BC =则,所以的中点，()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C 1AC ()1,1,1D 则，,()1,1,1BD = ()()0,2,0,2,0,0BA BC ==设平面的一个法向量，则，ABD (),,m x y z = 020m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩ 可取，()1,0,1m =-设平面的一个法向量，则，BDC (),,n a b c = 020m BD a b c m BC a ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩ 可取，()0,1,1n =-r则，1cos ,2m n m n m n⋅===⋅所以二面角.A BD C --=20. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的(|)(|)P B A P B A (|)(|)P B A P B A 一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：；(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计(|),(|)P A B P A B 值．附，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）答案见解析（2）（i ）证明见解析；(ii)；6R =【分析】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%2K 的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i)根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i ）结合已知数据求.R 【小问1详解】由已知，222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯又，，2( 6.635)=0.01P K ≥24 6.635>所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.【小问2详解】(i)因为，(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =⋅⋅⋅⋅所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =⋅⋅⋅所以，(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅(ii)由已知，，40(|)100P A B =10(|)100P A B =又，，60(|)100P A B =90(|)100P A B =所以(|)(|)=6(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅21. 已知点在双曲线上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线(2,1)A 2222:1(1)1x yC a a a -=>-,AP AQ 的斜率之和为0．（1）求l 的斜率；（2）若，求的面积．tan PAQ ∠=PAQ △【答案】（1）；1-（2．【分析】（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l 的斜率存在，设，(2,1)A a :l y kx m =+，再根据，即可解出l 的斜率；()()1122,,,P x y Q x y 0AP BP k k +=（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，再根据,AP AQ ,AP AQ即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点tan PAQ ∠=,AP AQ ,AP AQ 的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点到直线,P Q PQ PQ A PQ 的距离，即可得出的面积．PAQ △【小问1详解】因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线(2,1)A 2222:1(1)1x yC a a a -=>-224111a a -=-22a =22:12x C y -=易知直线l 的斜率存在，设，，:l y kx m =+()()1122,,,P x y Q x y 联立可得，，2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()222124220k x mkx m ----=所以，，．2121222422,2121mk m x x x x k k ++=-=--()()22222216422210120m k m k m k ∆=++->⇒-+>所以由可得，，0AP BP k k +=212111022y y x x --+=--即，()()()()122121210x kx m x kx m -+-+-+-=即，()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=所以，()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+-----= ⎪--⎝⎭化简得，，即，()2844410k k m k +-++=()()1210k k m +-+=所以或，1k =-12m k =-当时，直线过点，与题意不符，舍去，12m k =-():21l y kx m k x =+=-+()2,1A 故．1k =-【小问2详解】不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，,PA PB (),αβαβ<0AP BP k k +=παβ+=因为，所以，即，tan PAQ ∠=()tan βα-=tan 2α=-，解得，2tan 0αα-=tan α=于是，直线，直线，):21PA y x =-+):21PB y x =-+联立可得，，)222112y x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩(23211002x x +-+-=因为方程有一个根为，所以，，2P x =P y =同理可得，Q x =Q y =所以，，5:03PQ x y +-=163PQ =点到直线的距离，A PQ d故的面积为．PAQ △11623⨯=22. 已知函数和有相同的最小值．()xf x e ax =-()lng x ax x =-（1）求a ；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左y b =()y f x =()y g x =到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】（1）1a =（2）见解析【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当时，的解的个数、的解的个数均为2，构建新1b >e x x b -=ln x x b -=函数，利用导数可得该函数只有一个零点且可得的大小关系，()e ln 2xh x x x =+-()(),f x g x 根据存在直线与曲线、有三个不同的交点可得的取值，再根据两类y b =()y f x =()y g x =b 方程的根的关系可证明三根成等差数列.【小问1详解】的定义域为，而，()e x f x ax =-R ()e '=-x f x a 若，则，此时无最小值，故.0a ≤()0f x '>()f x 0a >的定义域为，而.()ln g x ax x =-()0,+∞11()ax g x a x x'-=-=当时，，故在上为减函数，ln x a <()0f x '<()f x (),ln a -∞当时，，故在上为增函数，ln x a >()0f x '>()f x ()ln ,a +∞故.()min ()ln ln f x f a a a a ==-当时，，故在上为减函数，10x a <<()0g x '<()g x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，故在上为增函数，1x a >()0g x '>()g x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故.min 11()1ln g x g a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为和有相同的最小值，()e x f x ax =-()ln g x ax x =-故，整理得到，其中，11ln ln a a a a -=-1ln 1a a a-=+0a >设，则，()1ln ,01a g a a a a -=->+()()()222211011a g a a a a a --'=-=≤++故为上的减函数，而，()g a ()0,+∞()10g =故的唯一解为，故的解为.()0g a =1a =1ln 1a a a -=+1a =综上，.1a =【小问2详解】由（1）可得和的最小值为.e ()x x f x =-()ln g x x x =-11ln11ln 11-=-=当时，考虑的解的个数、的解的个数.1b >e x x b -=ln x x b -=设，，()e x S x x b =--()e 1x S x '=-当时，，当时，，0x <()0S x '<0x >()0S x '>故在上为减函数，在上为增函数，()S x (),0-∞()0,+∞所以，()()min 010S x S b ==-<而，，()e 0b S b --=>()e 2b S b b =-设，其中，则，()e 2b u b b =-1b >()e 20b u b '=->故在上为增函数，故，()u b ()1,+∞()()1e 20u b u >=->故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.()0S b >()e x S x x b =--e x x b -=设，，()ln T x x x b =--()1x T x x-'=当时，，当时，，01x <<()0T x ¢<1x >()0T x '>故在上为减函数，在上为增函数，()T x ()0,1()1,+∞所以，()()min 110T x T b ==-<而，，()e e 0b b T --=>()e e 20b b T b =->有两个不同的零点即的解的个数为2.()ln T x x x b =--ln x x b -=当，由（1）讨论可得、仅有一个零点，1b =ln x x b -=e x x b -=当时，由（1）讨论可得、均无零点，1b <ln x x b -=e x x b -=故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，y b =()y f x =()y g x =则.1b >设，其中，故，()e ln 2x h x x x =+-0x >1()e 2x h x x'=+-设，，则，()e 1x s x x =--0x >()e 10x s x '=->故在上为增函数，故即，()s x ()0,+∞()()00s x s >=e 1x x >+所以，所以在上为增函数，1()1210h x x x'>+-≥->()h x ()0,+∞而，，(1)e 20h =->31e 333122()e 3e 30e e eh =--<--<故在上有且只有一个零点，且：()h x ()0,+∞0x 0311ex <<当时，即即，00x x <<()0h x <e ln x x x x -<-()()f x g x <当时，即即，0x x >()0h x >e ln x x x x ->-()()f x g x >因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，y b =()y f x =()y g x =故，()()001b f x g x ==>此时有两个不同的零点，e x x b -=1010,(0)x x x x <<此时有两个不同的零点，ln x x b -=0404,(01)x x x x <<<故，，，11e x x b -=00e x x b -=44ln 0x x b --=00ln 0x x b --=所以即即，44ln x b x -=44e x b x -=()44e 0x b x b b ----=故为方程的解，同理也为方程的解4x b -e x x b -=0x b -e x x b -=又可化为即即，11e x x b -=11e x x b =+()11ln 0x x b -+=()()11ln 0x b x b b +-+-=故为方程的解，同理也为方程的解，1x b +ln x x b -=0x b +ln x x b -=所以，而，{}{}1004,,x x x b x b =--1b >故即.0410x x b x x b =-⎧⎨=-⎩1402x x x +=。
2019年广东省高考数学试卷(理科)
2021年广东省高考数学试卷〔理科〕一、选择题：本大题共8小题,每题5分,总分值40分,在每题给出的四个 选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 〔5分〕设集合 M={x| x 2+2x=0,x€ R} , N={x| x 2—2x=0, x€ 号,贝U MUN=〔 A. {0} B. {0, 2} C. {-2, 0} D. {-2, 0, 2}2. 〔5分〕定义域为R 的四个函数y=x 3, y=2x, y=x 2+1, y=2sinx 中,奇函数的个 数是〔 〕 A. 4B. 3 C 2 D. 13. 〔5分〕假设复数z 满足iz=2+4i,那么在复平面内,z 对应的点的坐标是〔 〕A. 〔2, 4〕B. 〔2, -4〕C. 〔4, -2〕D. 〔4, 2〕 4. 〔5那么X 的数学期望E 〔X 〕=〔 〕 A — B. 2 C. D. 3 2 25. 〔5分〕某四棱台的三视图如下图,那么该四棱台的体积是〔〕A. 4 B — C.D. 633 6. 〔5分〕设m, n 是两条不同的直线,% B 是两个不同的平面,以下命题中正 确的是〔 〕A.假设 a± & m? a, n? B,那么 m±nB.假设 all 0, m? a, n? & 那么 m // nC.假设 m±n, m? a, n? 3 那么 a± pD.假设 m ,a, m // n, n // & 那么 a± 0 7. 〔5分〕中央在原点的双曲线 C 的右焦点为F 〔3, 0〕,离心率等于,,那么 C 的方程是〔〕F ¥ J B Jc /n -7 二——1 — — C — — D —--〔5 分〕设整数 n>4,集合 X={1, 2, 3,…,n}.令集合 S={ 〔x, y, z 〕 | x, zC X,且三条件 x< y<z, y<z<x, z<x< y 恰有一个成立}.假设〔x, y, z 〕 〔z, w, x 〕都在S 中,那么以下选项正确的选项是〔〕A. 8. y, 和A. 〔y, z, w〕C S, 〔x, y, w〕 ?SB. 〔y, z, w〕€ S, 〔x, y, w〕€ SC. 〔y, z, w〕?S, 〔x, y, w〕S SD. 〔y, z, w〕 ?S, 〔x, y, w〕 ?S二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每题5分,总分值30分.9. 〔5分〕不等式x2+x —2<0的解集为.10. 〔5分〕假设曲线y=kx+lnx在点〔1, k〕处的切线平行于x轴,那么k=.11. .〔5分〕执行如下图的程序框图,假设输入n的值为4,那么输出s的值为.12. 〔5分〕在等差数列｛a n｝中,33+88=10,那么3a5+a7=.K+4V>413. 〔5 分〕给定区域D: r+y<4 .令点集T=｛〔x°, Vo〕 CD|xo, yo^Z, 〔x0,Ly°〕是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点｝,那么T中的点共确定条不同的直线.14. 〔5分〕〔坐标系与参数方程选做题〕曲线C的参数方程为〔t为参数〕,C在点〔1,1〕处的切线为I,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么I的极坐标方程为. 15. 如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD过C作圆O 的切线交AD于E.假设AB=6, ED=2,那么BC=.三、解做题：本大题共6小题,总分值80分.解答须写出文字说明、证实过程和演算步骤.16. 〔12分〕函数f 〔x〕 =V2cos 〔x-—〕, xCR.12〔I〕求f 〔—工〕的值；6〔H〕假设cosB2,筱〔",2兀〕,求f 〔2什工〕. 5 2 317. 〔12分〕某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如下图,其中茎为十位数,叶为个位数.〔1〕根据茎叶图计算样本均值；〔2〕日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.18. (14分)如图1,在等腰直角三角形ABC中,/A=90°, BC=6 D, E分别是AC, AB上的点,CD二BE二加,O为BC的中点.将△ ADE沿DE折起,得到如图2 所示的四棱椎A'-BCDE其中A O<.(1)证实：A工平面BCDE(2)求二面角A'-CD- B的平面角的余弦值.2 S19. (14分)设数列{a n}的前n项和为3b a〔二1,二1二日三门2力4,n_ * € N .(1)求a2的求;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证实：对一切正整数n,有!小+..・」-<工. a l a2 a n 420. (14分)抛物线C的顶点为原点,其焦点F (0, c) (c>0)到直线l: x-y-2=0的距离为色巨,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA, PB,其中A, B为切点.(1)求抛物线C的方程；(2)当点P (xo, yo)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|?|BF|的最小值.21. (14 分)设函数f (x) = (x- 1) e x- kx2 (kC R).(1)当k=1时,求函数f (x)的单调区问；(2)当1］时,求函数f (x)在［0, k］上的最大值M.叁2021年广东省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题,每题5分,总分值40分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1. (5分)设集合M={x| x2+2x=0,x€ R} , N={x| x2—2x=0, xC R},贝U MUN=(A. {0}B. {0, 2}C. {-2, 0}D. {-2, 0, 2}【分析】根据题意,分析可得,M={0, -2}, N={0, 2},进而求其并集可得答案.【解答】解：分析可得,M 为方程x2+2x=0 的解集,贝U M={x| x2+2x=C}={0, — 2},N 为方程x2— 2x=0 的解集,贝U N={x|x2-2x=0}={0, 2},故集合M UN=[0, - 2, 2},应选：D.【点评】此题考查集合的并集运算,首先分析集合的元素,可得集合的意义,再求集合的并集.2. 〔5分〕定义域为R的四个函数y=x3, y=2x, y=x2+1, y=2sinx中,奇函数的个数是〔〕A. 4B. 3C. 2D. 1【分析】根据函数奇偶性的定义及图象特征逐一盘点即可.【解答】解：y=x3的定义域为R,关于原点对称,且〔-x〕3=- x3,所以函数y=x3 为奇函数；y=2x的图象过点〔0, 1〕,既不关于原点对称,也不关于y轴对称,为非奇非偶函数；y=x2+1的图象过点〔0, 1〕关于y轴对称,为偶函数；y=2sinx的定义域为R,关于原点对称,且2sin 〔 - x〕 =-2sinx,所以y=2sinx为奇函数；所以奇函数的个数为2,应选：C.【点评】此题考查函数奇偶性的判断,属根底题,定义是解决该类题目的根本方法,要熟练掌握.3. 〔5分〕假设复数z满足iz=2+4i,那么在复平面内,z对应的点的坐标是〔〕A. 〔2, 4〕B. 〔2, -4〕C. 〔4, -2〕D. 〔4, 2〕【分析】由题意可得z2彗,再利用两个复数代数形式的乘除法法那么化为412i,从而求得z对应的点的坐标.【解答】解：复数z满足iz=2+4i,贝U有z=2+产」2+4i〕i=4 — 2i,1 -1故在复平面内,z对应的点的坐标是〔4, -2〕, 应选：C.【点评】此题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幕运算性质, 复数与复平面内对应点之间的关系,属于根底题.4. 〔5分〕离散型随机变量X的分布列为那么X的数学期望E 〔X〕=〔〕A —B. 2 C. D. 3 2 2【分析】利用数学期望的计算公式即可得出.【解答】解：由数学期望的计算公式即可得出：E〔X〕 =〞+2X三+3」巨.5 10 10 2应选：A.【点评】熟练掌握数学期望的计算公式是解题的关键.5. 〔5分〕某四棱台的三视图如下图,那么该四棱台的体积是〔〕A. 4 B = C D. 6 33【分析】由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可.【解答】解：几何体是四棱台,下底面是边长为2的正方形,上底面是边长为1 的正方形,棱台的高为2, 并且棱台的两个侧面与底面垂直,四楼台的体积为V=L X〔22+ 1 3+722X I2〕X2=^-- ■J'J应选：B.【点评】此题考查三视图与几何体的关系, 棱台体积公式的应用,考查计算水平与空间想象水平.6. 〔5分〕设m, n是两条不同的直线,% B是两个不同的平面,以下命题中正确的是〔〕A.假设a± & m? a, n? B,那么m±nB.假设all 0, m? a, n? & 那么m // nC.假设m±n, m? a, n? 3 那么a± pD.假设m,a, m // n, n // & 那么a± 0 【分析】由a± p, m? a, n? B,可才t得m,n, m // n,或m, n异面；由all 0, m? & n?就可得m // n,或m, n异面；由m,n, m? a, n? 0,可得a与0 可能相交或平行；由m± a, m // n,那么n,a,再由n // B可得a± 0.【解答】解：选项A,假设n & m? % n? 3那么可能m±n, m // n,或m, n 异面,故A错误；选项B,假设all & m? a, n? B,那么m // n,或m, n异面,故B错误；选项C,假设m,n, m? a, n? 0,那么a与B可能相交,也可能平行,故C错误；选项D,假设m, a, m // n,那么n, a,再由n II 0可得「0,故D正确.应选：D.【点评】此题考查命题真假的判断与应用,涉及空间中直线与平面的位置关系, 属根底题.7. (5分)中央在原点的双曲线C的右焦点为F (3, 0),离心率等于,,那么C的方程是( )A / IB /C ,「D ’A「- - B ——C—— D —— -【分析】设出双曲线方程,利用双曲线的右焦点为 F (3, 0),离心率为1,建2立方程组,可求双曲线的几何量,从而可得双曲线的方程.22【解答】解：设双曲线方程为三二7二1 (a>0, b>0),那么 a b.•.双曲线C的右焦点为F (3, 0),离心率等于,,上1 r c-3* c c , c=3, a=2, • . b2=c2 - a2=5一心2 2「•双曲线方程为,誉:1. 4 5应选：B.【点评】此题考查双曲线的方程与几何性质,考查学生的计算水平,属于根底题.8. (5 分)设整数n>4,集合X=[1, 2, 3,…,n}.令集合S={ (x, y, z) | x, y, z€ X,且三条件x< y<z, y<z<x, z<x< y 恰有一个成立}.假设(x, y, z) 和(z, w, x)都在S中,那么以下选项正确的选项是( )A. (y, z, w) S S, (x, y, w) ?SB. (y, z, w) S S, (x, y, w) S SC. (y, z, w) ?S, (x, y, w) € SD. (y, z, w) ?S, (x, y, w) ?S【分析】特殊值排除法,取x=2, y=3, z=4, w=1,可排除错误选项,即得答案.【解答】解：方法一：特殊值排除法, 取x=2, y=3, z=4, w=1,显然满足(x, y, z)和(z, w, x)都在S中,此时(y, z, w) = (3, 4, 1) C S, (x, y, w) = (2, 3, 1) C S,故A、G D 均错误；只有B成立,应选B.直接法：根据题意知,只要y<z<w, z<w<y, w<y<z 中或x<y<w, y<w<x, w<x <y中恰有一个成立那么可判断〔y, z, w〕€ S, 〔x, y, w〕€ S.v(x, y, z) € S, (z, w, x) C S,x<y<z•・①,y<z<x••②,z<x<y••③三个式子中恰有一个成立；z<w<x…④,w<x<z••⑤,x<z<w••⑥三个式子中恰有一个成立.配对后有四种情况成立,第一种：①⑤成立,止匕时w <x<y<z,于是〔y, z, w〕€ S, 〔x, y, w〕C S; 第二种：①⑥成立,此时x<y<z<w,于是(y, z, w) e S, (x, y, w) e S；第三种：②④成立,此时y<z< w<x,于是(y, z, w) e S, (x, y, w) e S；第四种：③④成立,此时z<w<x<y, 于是(y, z, w) S S, (x, y, w) S S.综合上述四种情况,可得〔y, z, w〕 C S, 〔x, y, w〕€ S.应选：B.【点评】此题考查简单的合情推理,特殊值验证法是解决问题的关键,属根底题.二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每题5分,总分值30分.9. 〔5分〕不等式x2+x —2<0的解I集为〔一2, 1〕.【分析】先求相应二次方程x2+x-2=0的两根,根据二次函数y=x2+x- 2的图象即可写出不等式的解集.【解答】解：方程x2+x- 2=0的两根为-2, 1, 且函数y=/+x-2的图象开口向上,所以不等式x2+x- 2<0的解集为〔-2, 1〕.故答案为：〔-2, 1〕.【点评】此题考查一元二次不等式的解法,属根底题,深刻理解三个二次〞间的关系是解决该类题目的关键,解二次不等式的根本步骤是：求二次方程的根；作出草图；据图象写出解集.10. 〔5分〕假设曲线y=kx+lnx在点〔1, k〕处的切线平行于x轴,那么k= - 1 .【分析】先求出函数的导数,再由题意知在1处的导数值为0,列出方程求出k 的化【解答】解：由题意得,y'踮, X•••在点〔1, k〕处的切线平行于x轴,. ・k+1=0,彳4 k= - 1,故答案为：-1.【点评】此题考查了函数导数的几何意义应用,难度不大.11. 〔5分〕执行如下图的程序框图,假设输入n的值为4,那么输出s的值为7 .【分析】由中的程序框图及中输入4,可得：进入循环的条件为i04,即i=1, 2, 3, 4.模拟程序的运行结果,即可得到输出的S值.【解答】解：当i=1时,S=1+1 - 1=1;当i=2 时,S=#2-1=2;当i=3 时,S=?3—1=4;当i=4 时,S=4M—1=7;当i=5时,退出循环,输出S=7;故答案为：7.【点评】此题考查的知识点是程序框图, 在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的变法,但程序的循环体中变量比拟多时,要用表格法对数据进行治理.12. 〔5分〕在等差数列｛a n｝中,33+88=10,那么3a5+a7= 20 .【分析】根据等差数列性质可得：3a5+a7=2 〔a5+a6〕=2 〔央+出〕.【解答】解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+ 〔a s+a/〕=2a5+ 〔2%〕 =2 〔a5+%〕 =2 〔a3+%〕 =20,故答案为：20.【点评】此题考查等差数列的性质及其应用, 属根底题,准确理解有关性质是解决问题的根本.工+4V>413. 〔5 分〕给定区域 D: r+y<4 .令点集 T={ 〔xo, yo 〕 CD|xo, yoCZ, 〔xo, yo 〕是z=x+y 在D 上取得最大值或最小值的点},那么T 中的点共确定 6 条 不同的直线.【分析】先根据所给的可行域,利用几何意义求最值, z=x+y 表示直线在y 轴上 的截距,只需求出可行域直线在y 轴上的截距最值即可,从而得出点集T 中元素 的个数,即可得出正确答案.【解答】解：画出不等式表示的平面区域,如图.作出目标函数对应的直线,由于直线 z=x+y 与直线x+y=4平行,故直线z=x+y 过 直线 x+y=4 上的整数点：〔4,.〕,〔3, 1〕, 〔2, 2〕, 〔1, 3〕或〔.,4〕时,直线的纵截距最大,z 最大；当直线过〔o, 1〕时,直线的纵截距最小,z 最小,从而点集T={ 〔4, o 〕, 〔3, 1〕, 〔2, 2〕,〔1, 3〕,〔o,4〕,〔o,1〕},经过这六个点的直线一共有6条.即T 中的点共确定6条不同的直线. 故答案为：6.【点评】此题主要考查了简单的线性规划, 以及利用几何意义求最值,属于根底 题.14. 〔5分〕〔坐标系与参数方程选做题〕以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么 I 的极坐标方程为 P cos+% sin _02=o 〔埴 p sin 〔或 P cos 〔 9〕一回也得总分值〕 .【分析】先求出曲线C 的普通方程,再利用直线与圆相切求出切线的方程, 最后 利用x= p cos,8 y= p sin 他换求得其极坐标方程即可.「•曲线C 是以〔o, o 〕为圆心,半径等于 血的圆. C 在点〔1,1〕处的切线I 的方程为x+y=2, 令 x= p cos,8y= p sin,0曲线C 的参数方程为{x=V2costy=V2sint〔t 为参数〕,C 在点〔1,1〕处的切线为I,【解答】解：由「一 [y=V2sint〔t 为参数〕,两式平■方后相加得x 2+y 2=2,…〔4分〕代入x+y=2 ,并整理得p cos+〕p sin & 2=0 ,即p 4^；〕一日或P cos〔B那么l的极坐标方程为p cos+Op sin & 2=0 〔填p sin〔 84或P CCIB〔日二$〕=^巧也得总分值〕•…〔10分〕故答案为：p cos+Op sin 4〕2=0 〔填P n 〔.H或p 8 式 9 —.也得总分值〕.【点评】此题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化.普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x= p cos,8y= p sin.015. 如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD过C作圆O 的切线交AD 于E.假设AB=6, ED=2, WJ BC=__^_.【分析】利用AB是圆O的直径,可得/ ACB=90. IP AC±BD,又BC=CD 可得△ ABD是等腰三角形,可得/ D=/B.再利用弦切角定理可得/ ACE=/ B, 得至ij/AECWACB=90,进而得到^ CED^AACB,利用相似三角形的性质即可得出.【解答】解：.「AB是圆O的直径,「./ ACB=90.即AC BD.又 = BC=CD AB=AD,「. / D=/ ABC, / EAC=Z BAC•.CE与..相切于点C, 「./ACE之ABC / AECW ACB=90.・ .△CED^ AACB.. •里里,又CD=BCAB BCBC=V AB*ED =76X2-2^3.【点评】此题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等根底知识,需要较强的推理水平.三、解做题：本大题共6小题,总分值80分.解答须写出文字说明、证实过程和演算步骤.16. 〔12 分〕函数f 〔x〕 ='/^cos 〔x-y1-〕, xCR. JT〔I〕求f 〔-三〕的值；6〔n〕假设cosel,长〔JLL, 2兀〕,求f〔2肝2L〕.5 2 3【分析】〔1〕把x=-二直接代入函数解析式求解.6〔2〕先由同角三角函数的根本关系求出sin 8的值以及sin2.然后将x=20二代3入函数解析式,并利用两角和与差公式求得结果.【解答】解：〔1〕f ^〕=A/2COS〔^^^T〕=V2COS〔--^〕=V2o Q iz q 一上〔2〕由于8号©=|, e e 等,2n〕所以, 「［一一・：所以$in2 e =2sin8 cos 9 =2 乂〔"〕"二,cos2 9 =cos2 9 -si n20 二〔汨〕一〔4〕2 = 5 5 25所以f〔2 = +_Z-〕=V2C0S^2=+-z_^r;r〕=V2C0S〔2 =+—j-〕：=cos2日-sin2 ==U 0 JL T7 z24 s1725 ।25’ 25【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值的求解, 考查了和差角公式的运用, 属于知识的简单综合,要注意角的范围.17. 〔12分〕某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如下图,其中茎为十位数,叶为个位数.〔1〕根据茎叶图计算样本均值；〔2〕日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？〔3〕从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.【分析】〔1〕茎叶图中共同的数字是数字的十位,这是解决此题的突破口,根据所给的茎叶图数据,代入平均数公式求出结果；〔2〕先由〔1〕求得的平均数,再利用比例关系即可推断该车间12名工人中有几名优秀工人的人数；〔3〕设从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人〞为事件A,结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件A的概率.【解答】解：(1)样本均值为升20+21+25+30=22；6(2)抽取的6名工人中有2名为优秀工人,所以12名工人中有4名优秀工人；(3)设从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人〞为事件A,clcJ 1 c所以P(A〞一V二会, v12即恰有1名优秀工人的概率为—.33【点评】此题主要考查茎叶图的应用,古典概型及其概率计算公式,属于容易题.对于一组数据,通常要求的是这组数据的众数,中位数,平均数,题目分别表示一组数据的特征,考查最根本的知识点.18. (14分)如图1,在等腰直角三角形ABC中,/A=90°, BC=6 D, E分别是AC, AB上的点,CD=BE=V2, O为BC的中点.将△ ADE沿DE折起,得到如图2 所示的四棱椎A'-BCDE其中A O=?(1)证实：A工平面BCDE(2)求二面角A'-CD- B的平面角的余弦值.【分析】(1)连接OD, OE.在等腰直角三角形ABC中,/B=/ C=45, CD二BE二班, AD=AE乏/!,CO=BO=3分另1」在4 COD与△ OBE中,利用余弦定理可得OD, OE.禾用勾股定理的逆定理可证实/ A OD=A' OE=90再利用线面垂直的判定定理即可证实；(2)方法一：过点O作OF, CD的延长线于F,连接A' F利用(1)可知：A' 0 ,平面BCDE根据三垂线定理得A LCD,所以/ A' FO；二面角A'-CD- B的平面角.在直角△ OCF中,求出OF即可；方法二：取DE中点H,那么OH, OB.以O为坐标原点,OH、OB、OA分别为x、V、z轴建立空间直角坐标系.利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角.【解答】(1)证实：连接OD, OE.由于在等腰直角三角形ABC中,/ B=/ C=45, CD二BE二加,CO=BO=3在ACOD中,加二｛C02+C D々CO・CDs s45;二立,同理得比=^・由于AD=A' D=A‘ E=AE=2/2, A’ 0二®所以 A 2+OD2=A 2), A 2+Og=A,孑所以/A' OD=A' OE=90所以A' UOD, A吐OE, ODA OE=O.所以A吐平面BCDE(2)方法一：过点O作OF,CD的延长线于F,连接A' F由于A吐平面BCDE根据三垂线定理,有A 1CD.所以/A' F的二面角A'-CD- B的平面角.在Rt^COF中,0F=C0S E5'=^.在A' 0中,卜’ F 二W .,口/二^^ 所以一「」卜,•A r b所以二面角A' - CD- B 的平面角的余弦值为 堡.5方法二：取DE 中点H,那么OH±OB.以O 为坐标原点,OH 、OB OA 分别为x 、v 、z 轴建立空间直角坐标系. 那么 O (0, 0, 0), A' (0, 0,加),C (0, - 3, 0), D (1, - 2, 0) 0A 7* = (0, 0,无)是平面BCDE 勺一个法向量.设平面A ClDj 法向量为n= (x, y, z)前六二(0, 3,五),而二(L 1, 0). 二一、/n ・CA' =3y+V^w=0 人 皿_ rz所以? 一,令 x=1,那么 y=—1,[n*CD=x+y=O所以4(1,-1,行)是平面A' C 的一个法向量 设二面角A'-CD- B 的平面角为8,且8 6(0, g)|3F>|n|一中立-5所以二面角A'-CD- B 的平面角的余弦值为 亟5【点评】此题综合考查了等腰直角三角形的性质、 余弦定理、线面垂直的判定与 性质定理、三垂线定哩、二面角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求 面角等根底知识与方法,需要较强的空间想象水平、推理水平和计算水平. 19. (14分)设数列｛a n ｝的前n 项和为3b a i =1,(2)利用 a n =&-S n-1 (n >2)即可得到 na n +1= (n+1) a n +n (n+1),可化为 缪T 〞,缪T,再利用等差数列的通项公式即可得出；(3)利用(2),通过放缩法——< % n【解答】解：(1)当 n=1 时,—p-=2a 1=a £^--l^y,解得 比=4 (1 2)2 %54n 3-n 2 4口① 当 n >2 时,2 SnT 二 ST) a n -7r(n-l ) 3-(n-l ) 24(nT)② J o ①-②得「. ：., 口 ： । n , ,整理得 na n +1= (n+1) a n +n (n+1),即 ％? &L+], n+1 n . -r a9 a ।当 n=1 时,年一^2-1二1 w JL所以数列｛曰｝是以1为首项,1为公差的等差数列 所以上"二口,即a =n 2 n仇所以数列｛a n ｝的通项公式为a n =n 2, n € N *、一 「L (n>2)即可证实.(n-1) n n-1 n(1) 求a 2的值;(2) (3)求数列｛a n ｝的通项公式； 证实：对一切正整【分析】(1)利用a 1=1,有 _p_l_+... a l a2 a n 42Sn_ 1 2 ____________ 2--a ^l —^行,nCN *.令n=1即可求出;an+l a n n+1 n当n=1, 2时,也成立.【点评】熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前 n 项和的关系a n =S- Sn-i (n>2)>裂项求和及其放缩法等是解题的关键.20. (14分)抛物线C 的顶点为原点,其焦点F (0, c) (c>0)到直线l: x -y-2=0的距离为型2,设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线 2 PA, PB,其中A, B 为切点. (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x0, y0)为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时,求|AF|?|BF|的最小值.【分析】(1)利用焦点到直线l: x- y-2=0的距离建立关于变量c 的方程,即可 解得c,从而得出抛物线C 的方程； (2)先设A (町,[J),//),由(1)得到抛物线C 的方程求导数,得到切线PA PB 的斜率,最后利用直线 AB 的斜率的不同表示形式,即可得出 直线AB 的方程；(3)根据抛物线的定义,有|AF|二1J + 1, |即|二|谥+1,从而表示出|AF|?|BF , 再由(2)得X 1+X 2=2x 0, X 1X 2=4y 0, X 0=y 0+2,将它表示成关于y 0的二次函数的形 式,从而即可求出|AF|?| BF 的最小值.【解答】解：(1)焦点F (0, c) (c>0)到直线所以抛物线C 的方程为x 2=4y.(2)设［. . . ■ ■ ■ ：「：, 由(1)得抛物线C 的方程为悬所以切线PA, PB 的斜率分别为 工 工2勺’2叼 所以PA ：或］〔犬—犬］〕①PB ：工:斗父2〔¥一；12〕②联立①②可得点P 的坐标为〔31%, 七2〕,即三1,二二！, : 2 4270 41 J(3)由于--J % n 2 (nT)门 n-1 n(n>2)l : x - y - 2=0的距离I -c-21 c+2 3^2解得c=1, 所二丁 n 4 n 4又由于切线PA的斜率为其孙=.』",整理得为三孙乂04岩,L1 X Q-X I U 2 1 U 4 11 2_1 2直线AB的斜率kJ町国际二止2二现町r 2 4 2所以直线AB的方程为y—■工工o 〔上一£ 1〕,整理得产/乂/白盯式口w J,即尸1,町X-V口,由于点P 〔XQ, yo〕为直线l: x- y- 2=0上的点,所以xo - yo- 2=0,即yo=x0—2, 所以直线AB的方程为XQX - 2y - 2yo=O.〔3〕根据抛物线的定义,有|阿|1君+1,|BF|［g+1,所以k：卜…•」：’-「：। , 了〜, - J ：'［「- = 当U+/〔町+ 〞〕2-2'区21+1,由〔2〕得X I+X2=2XQ, x1X2=4yo, Xo=yo+2,所以I..'' I' ' ' .''' । ,' ：। ,：" । :,■:■.■|l・,> ：। : ,：=2yg+2y0+5=2〔y D+y〕2+1-.所以当V.二q时,|AF|?|BF的最小值为u 4【点评】此题以抛物线为载体,考查抛物线的标准方程,考查利用导数研究曲线的切线方程,考查计算水平,有一定的综合性.21. 〔14 分〕设函数f 〔X〕 = 〔X- 1〕 e x - kx2〔kC R〕.〔1〕当k=1时,求函数f 〔X〕的单调区问；〔2〕当k€ e,1］时,求函数f〔X〕在［0, k］上的最大值M.【分析】(1)利用导数的运算法那么即可得出f'(x),令f'(x) =0,即可得出实数根,通过列表即可得出其单调区问；(2)利用导数的运算法那么求出f'(x),令f'(x) =0得出极值点,列出表格得出单调区问,比拟区间端点与极值即可得到最大值.【解答】解：(1)当k=1 时,f (x) = (x—1) e x-x2,f (x) =e x + (x- 1) e x - 2x=x (e x -2) 令 f (x) =0,解得 x 1二0, x 2=ln2>0 所以f (x), f (x)随x 的变化情况如下表：所以函数f (x)的单调增区间为(-8, 0)和(ln2, +8),单调减区间为(0,ln2)(2) f (x) = (x-1) e x - kx 2, x€[0, k] ,(y, U.f (x) =x3- 2kx=x (e x — 2k), f (x) =0,解得 x1二0, x?=ln (2k) 令小(k) =k- ln (2k),我 心,口,0’2k k所以小(k)在 6,1]上是减函数,..・小(1) &小(k) <1 -ln2<小 (k)(工<k.2 即 0<ln (2k) < k所以f (x), f (x)随x 的变化情况如下表：f (0) =- 1, f (k) -f (0) =(k- 1) e k -k 3-f (0) =(k- 1) e k -k 3+1 =(k-1) e k - (k 3-1)=(k —1) e k — (k — 1) (k 2+k+1) =(k- 1) [e k - (k 2+k+1)] k£ 弓,1], k-10O.对任意的(L 1], y=e k 的图象包在y=k 2+k+1下方,所以e k - (k 2+k+1) < 0 2 所以 f (k) -f (0) >0,即 f (k) >f (0)所以函数f (x)在[0, k]上的最大值M=f (k) = (k-1) e k -k 3.【点评】熟练掌握导数的运算法那么、利用导数求函数的单调性、极值与最值得方法是解题的关键.。
2019年广东省高考数学试卷(理科)(附详细答案)
2019年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i2．（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2}D．{﹣1，0，1}3．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．84．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等5．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）6．（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，107．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定8．（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“１≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A．60 B．90 C．120 D．130二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）9．（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为．10．（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为．11．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则= ．13．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20= ．（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为．【几何证明选讲选做题】15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．17．（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30]30.12（30，35]50.20（35，40]80.32（40，45]n1f1（45，50]n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．18．（13分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2na n+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．21．（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．2019年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2}D．{﹣1，0，1}【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，∴M∪N={﹣1，0，1，2}，故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．4．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键．5．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论．【解答】解：不妨设向量为=（x，y，z），A．若=（﹣1，1，0），则cosθ＝=，不满足条件．B．若=（1，﹣1，0），则cosθ＝==，满足条件．C．若=（0，﹣1，1），则cosθ＝=，不满足条件．D．若=（﹣1，0，1），则cosθ＝=，不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查空间向量的数量积的计算，根据向量的坐标公式是解决本题的关键．6．（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10【分析】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数．【解答】解：由图1知：总体个数为3500+2000+4500=10000，∴样本容量=10000×2%=200，分层抽样抽取的比例为，∴高中生抽取的学生数为40，∴抽取的高中生近视人数为40×50%=20．故选：A．【点评】本题借助图表考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是关键．7．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，∴l1与l4的位置关系不确定．【解答】解：∵l1⊥l2，l2⊥l3，∴l1与l3的位置关系不确定，又l4⊥l3，∴l1与l4的位置关系不确定．故A、B、C错误．故选：D．【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面．8．（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“１≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A．60 B．90 C．120 D．130【分析】从条件“１≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论x i所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．【解答】解：由于|x i|只能取0或1，且“１≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：①x i中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：；②x i中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：；③x i中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：．∴总共方法数是++=130．即元素个数为130．故选：D．【点评】本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题．其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）9．（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．【分析】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5，可得①，或②，或③．解①求得x≤﹣3，解②求得x∈?，解③求得x≥2．综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．10．（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为y=﹣5x+3．．【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程．﹣5e﹣5x，∴k=﹣5，【解答】解；y′＝∴曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为y﹣3=﹣5x，即y=﹣5x+3．故答案为：y=﹣5x+3【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属基础题．11．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．【分析】根据条件确定当中位数为6时，对应的条件即可得到结论【解答】解：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C107种方法，若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5，选3个，从7，8，9中选3个不同的数即可，有C63种方法，则这七个数的中位数是6的概率P==，故答案为：．【点评】本题主要考查古典概率的计算，注意中位数必须是按照从小到大的顺序进行排列的．比较基础．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则= 2 ．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB，∵sin（B+C）=sinA，∴sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则=2．故答案为：2【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．13．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20= 50 ．【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，∴a10a11=e5，∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…ａ20）=ln（a10a11）10=ln（e5）10=lne50=50．故答案为：50．【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题．（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1）．【分析】首先运用x=ρcosθ，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方，y=ρsinθ程组，解之求交点坐标．【解答】解：曲线C1：ρsin2θ=cosθ，，即为ρ2sin2θ=ρcosθ化为普通方程为：y2=x，，化为普通方程为：y=1，曲线ρsinθ=1联立，即交点的直角坐标为（1，1）．故答案为：（1，1）．【点评】本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题【几何证明选讲选做题】15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则= 9 ．【分析】利用ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，可得=，利用△CDF∽△AEF，可求．【解答】解：∵ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，∴=，∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△CDF∽△AEF，∴=（）2=9．故答案为：9．【点评】本题考查相似三角形的判定，考查三角形的面积比，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．【分析】（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值．（2）由（1）可得f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，从而求得f（﹣θ）的值．的值，再由θ∈（0，），求得sinθ 【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．∴Asin（+）=Asin=A?=，∴A=．（2）由（1）可得f（x）=sin（x+），∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ＝cosθ＝，∴cosθ＝，再由θ∈（0，），可得sinθ＝．∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ＝．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题．17．（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30]30.12（30，35]50.20（35，40]80.32（40，45]n1f1（45，50]n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；（3）利用对立事件可求概率．【解答】解：（1）（40，45]的频数n1=7，频率f1=0.28；（45，50]的频数n2=2，频率f2=0.08；（2）频率分布直方图：（3）设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件，已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35]的概率为，∴P（A）==，∴P（）=1﹣P（A）=，∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为．【点评】本题考查了频数分布表，频数分布直方图和概率的计算，属于中档题．18．（13分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．【分析】（1）结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF，即得所求；（2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可．【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC，又AF⊥PC，∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF；（2）设AB=1，在RT△PDC中，CD=1，∠DPC=30°，∴PC=2，PD=，由（1）知CF⊥DF，∴DF=，AF==，∴CF==，又FE∥CD，∴，∴DE=，同理可得EF=CD=，如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，1），E（，0，0），F（，，0），P（，0，0），C（0，1，0）设向量=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则有，，∴，令x=4可得z=，∴=（4，0，），由（1）知平面ADF的一个法向量为=（，1，0），设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ，可知θ为锐角，cosθ＝|cos＜，＞|===∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为：【点评】本题考查用空间向量法求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2na n+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）在数列递推式中取n=2得一关系式，再把S3变为S2+a3得另一关系式，联立可求a3，然后把递推式中n取1，再结合S3=15联立方程组求得a1，a2；（2）由（1）中求得的a1，a2，a3的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明．【解答】解：（1）由S n=2na n+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，得：S2=4a3﹣20 ①又S3=S2+a3=15 ②联立①②解得：a3=7．再在S n=2na n+1﹣3n2﹣4n中取n=1，得：a1=2a2﹣7 ③又S3=a1+a2+7=15 ④联立③④得：a2=5，a1=3．∴a1，a2，a3的值分别为3，5，7；（2）∵a1=3=2×1+1，a2=5=2×2+1，a3=7=2×3+1．由此猜测a n=2n+1．下面由数学归纳法证明：1、当n=1时，a1=3=2×1+1成立．2、假设n=k时结论成立，即a k=2k+1．那么，当n=k+1时，由S n=2na n+1﹣3n2﹣4n，得，，两式作差得：．∴==2（k+1）+1．综上，当n=k+1时结论成立．∴a n=2n+1．【点评】本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，考查了学生的灵活应变能力和计算能力，是中档题．20．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得．（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k1?k2，进而取得x0和y0的关系式，即P点的轨迹方程．【解答】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，∴椭圆的方程为+=1．（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为（±3，±2），符合题意，②当两条切线斜率均存在时，设过点P（x0，y0）的切线为y=k（x﹣x0）+y0，+=+=1，整理得（9k2+4）x2+18k（y0﹣kx0）x+9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，∴△=[18k（y0﹣kx0）]2﹣4（9k2+4）×9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，整理得（x02﹣9）k2﹣2x0×y0×k+（y02﹣4）=0，∴﹣1=k1?k2==﹣1，∴x02+y02=13．把点（±3，±2）代入亦成立，∴点P的轨迹方程为：x2+y2=13．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y关系．21．（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．【分析】（1）利用换元法，结合函数成立的条件，即可求出函数的定义域．（2）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论．（3）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集．【解答】解：（1）设t=x2+2x+k，则f（x）等价为y=g（t）=，要使函数有意义，则t2+2t﹣3＞0，解得t＞1或t＜﹣3，即x2+2x+k＞1或x2+2x+k＜﹣3，则（x+1）2＞2﹣k，①或（x+1）2＜﹣2﹣k，②，∵k＜﹣2，∴2﹣k＞﹣2﹣k，由①解得x+1＞或x+1，即x＞﹣1或x，由②解得﹣＜x+1＜，即﹣1﹣＜x＜﹣1+，综上函数的定义域为（﹣1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1﹣，﹣1+）．（2）f′（x）===﹣，由f'（x）＞0，即2（x2+2x+k+1）（x+1）＜0，则（x+1+）（x+1﹣）（x+1）＜0解得x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+，结合定义域知，x＜﹣1﹣或﹣1＜x ＜﹣1+，即函数的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1，﹣1+），同理解得单调递减区间为：（﹣1﹣，﹣1），（﹣1+，+∞）．（3）由f（x）=f（1）得（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）﹣3=（3+k）2+2（3+k）﹣3，则[（x2+2x+k）2﹣（3+k）2]+2[（x2+2x+k）﹣（3+k）]=0，∴（x2+2x+2k+5）（x2+2x﹣3）=0即（x+1+）（x+1﹣）（x+3）（x﹣1）=0，∴x=﹣1﹣或x=﹣1+或x=﹣3或x=1，∵k＜﹣6，∴1∈（﹣1，﹣1+），﹣3∈（﹣1﹣，﹣1），∵f（﹣3）=f（1）=f（﹣1﹣）=f（﹣1+），且满足﹣1﹣∈（﹣∞，﹣1﹣），﹣1+∈（﹣1+，+∞），由（2）可知函数f（x）在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使f（x）＞f（1）的集合为：（）∪（﹣1﹣，﹣3）∪（1，﹣1+）∪（﹣1+，﹣1+）．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，以及复合函数单调性之间的关系，利用换元法是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．。
广东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析
广东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析绝密★启用前广东省2019年高考理科数学试卷注意事项：1.考生答卷前，必须在答题卡上填写姓名和准考证号。
2.回答选择题时，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x|-4<x<2}，N={x|x^2-x-6<0}，则M∩N=（）A。
{x|-4<x<3}B。
{x|-4<x<-2}C。
{x|-2<x<2}D。
{x|2<x<3}2.设复数z满足|z-i|=1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A。
(x+1)^2+y^2=1B。
(x-1)^2+y^2=1C。
x^2+(y-1)^2=1D。
x^2+(y+1)^2=13.已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则（）A。
a<b<cB。
a<c<bC。
c<a<bD。
b<c<a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比约为0.618，称为黄金分割比例。
某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A。
165cmB。
175cmC。
185cmD。
190cm5.函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为（）A。
B。
C。
D。
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一重卦由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，如图为一重卦。
在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A。
B。
C。
D。
7.已知非零向量，满足||=2||，且（-）⊥，则与的夹角为（）A。
2022广东高考数学(理科A卷)试卷及各题详细解答(免费)
2022广东高考数学（理科A卷）试卷及各题详细解答（免费）数学(理科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．1.若集合A={某|-2＜某＜1},B=A={某|0＜某＜2},则集合A∩B=(D)A.{某|-1＜某＜1}B.{某|-2＜某＜1}C.{某|-2＜某＜2}D.{某|0＜某＜1}2.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1z2(A)A.4+2iB.2+iC.2+2iD.3+i3.若函数f(某)=3+3与g(某)=33的定义域均为R，则(D)A．f(某)与g(某)均为偶函数B．f(某)为奇函数，g(某)为偶函数C．f(某)与g(某)均为奇函数D．f(某)为偶函数，g(某)为奇函数某某某某4．已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和,若a2a32a1,且a4与2a7的等差中项为A．35B．33C．3lD．295.“m5,则S5=(C)412”是“一元二次方程某某m0有实数解”的(A)4A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件''6.如图1，VABC为正三角形，AA'//BB//CC，CC平面ABC且3AA''3BB'CC'AB2则多面体ABCABC的正视图(也称主视图)是(D) '''7.已知随机量某服从正态分布N（3,1），且P（2≤某≤4）=0.6826，则P(某＞4)=(B)A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.15858.为了迎接2022年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红橙黄绿蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是(C)A.1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒第1页共8页二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分（一）必做题(9～13题)9.函数，f(某)=lg(某-2)的定义域是(2,).10．若向量a=(1,1，某)，b=(1，2,1)，c=(1，1,1)满足条件(c—a)·2b=-2，则某=2.11.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C 所对的边，若a=1，b=3，A+C=2B，则inC=1.12.若圆心在某轴上、半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线某+y=0相切，则圆O的方程是(某2)2y22.13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为某1，…，某n(单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若n=2且某1，某2分别为1，2，则输出的结果为1.4（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图3，AB,CD是半径为a的圆O的两条弦，他们相交于AB的中点P，PD2a,OAP=30°则CP=39a.815．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0＜2）中，曲线2in与co1的极坐标为(2,3).4三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分l4分）第2页共8页已知函数f某Ain3某(A＞0，某,，0＜＜），在某12时取得最大值4。
2018年广东高考(理科)数学试题及答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）理科数学一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。
） 1、设z=，则∣z ∣=（ ）A.0B. 12 C.1 D. √2 2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则C R A =（ ） A 、{x|-1<x<2} B 、{x|-1≤x ≤2} C 、{x|x<-1}∪{x|x>2} D 、{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2}3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ）A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3 = S 2+ S 4，a 1 =2，则a 5 =（ ） A 、-12 B 、-10 C 、10 D 、125、设函数f （x ）=x ³+（a-1）x ²+ax .若f （x ）为奇函数，则曲线y= f （x ）在点（0，0）处的切线方程为（ ）A.y= -2xB.y= -xC.y=2xD.y=x6、在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB→ =（ ） A. 34 AB → - 14 AC → B. 14 AB → - 34 AC → C. 34 AB→ +14AC → D. 14 AB → + 34 AC→7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。
圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A. 2√17B. 2√5C. 3D. 28.设抛物线C ：y ²=4x 的焦点为F ，过点（-2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM → ·FN→ =( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f （x ）=g （x ）=f （x ）+x+a ，若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是( )A. [-1，0）B. [0，+∞）C. [-1，+∞）D. [1，+∞）10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。
2023广东高考卷(理科数学)试题及详解
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合M={x|x²3x+2=0}，则集合M的元素个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知函数f(x)=2x3，则f(f(1))的值为（）A. 5B. 3C. 1D. 33. 若向量a=(2,3)，b=(1,2)，则2a3b的模长为（）A. 5B. 10C. 15D. 204. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3=3，则公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数z满足|z1|=|z+1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 直线y=x上D. 直线y=x上二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个实数的和仍然是一个实数。
（）2. 若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f'(x)≥0。
（）3. 两个平行线的斜率相等。
（）4. 在等差数列中，若m+n=2p，则am+an=2ap。
（）5. 两个复数相等的充分必要条件是它们的实部和虚部分别相等。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=x²+2x+1，则f(1)=______。
2. 若向量a=(3,4)，则3a的坐标为______。
3. 在等差数列{an}中，若a1=1，公差d=2，则a5=______。
4. 若复数z=3+4i，则|z|=______。
5. 二项式展开式(2x3y)⁴的项数为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x)=x²2x+1在x=2处的导数。
2. 已知等差数列{an}的通项公式为an=3n2，求前5项的和。
3. 求复数z=1+i的共轭复数。
4. 求解不等式2x3>0。
5. 简述平面直角坐标系中，两点间距离的公式。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=x²4x+3，求函数的最小值及对应的x值。
2. 已知向量a=(2,3)，b=(1,2)，求向量a和向量b的夹角。
2017年广东高考(理科)数学试题及答案
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x<}，则A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1 000和n =n+1B ．A >1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1011．设xyz 为正数，且235x y z==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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广东高考数学考试(理科）含解析—-——-———————-——————————----—————作者: —-———————-———-——————————-———-——- 日期:2015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）(2015•广东）若集合M={x|（x+4）(x+1)=0},N={x｜(x﹣4）(x﹣1）=0｝，则M∩N=(）A．{1，4} B．｛﹣1，﹣4} C．[0｝D．∅2．（5分)（2015•广东)若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=()A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．(5分)（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+e x4．（5分）（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．15．(5分)（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（) A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=06．(5分)（2015•广东)若变量x,y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4B．C．6D．7．（5分)（2015•广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0)，则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=18．（5分)（2015•广东)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值(）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5二、填空题(本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分,满分30分．）（一）必做题(11～13题）9．（5分)（2015•广东)在（﹣1）4的展开式中，x的系数为．10．(5分）(2015•广东）在等差数列｛a n｝中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=．11．（5分)(2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b,c．若a=，sinB=，C=，则b=．12．（5分）（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E（X)=30,D（X)=20，则P=．14．（5分）(2015•广东)已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=,点A的极坐标为A （2,），则点A到直线l的距离为．15．(2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．三、解答题16．（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=(sinx，cosx)，x∈（0，)．（1）若⊥,求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．17．（12分）（2015•广东）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4 5 6 7 8 9 404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据;(2)计算(1）中样本的均值和方差s2；(3）36名工人中年龄在﹣s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0。
01％)？18．（14分）（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点,点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．(1）证明:PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值;（3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）(2015•广东）设a＞1,函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．(1）求f（x）的单调区间;（2)证明f(x）在（﹣∞,+∞)上仅有一个零点；(3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m,n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m ≤﹣1．20．（14分)(2015•广东)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1)求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3)是否存在实数k，使得直线L：y=k(x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在,求出k的取值范围；若不存在,说明理由．21．(14分）（2015•广东）数列｛a n}满足:a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．(1）求a3的值;(2）求数列｛a n｝的前n项和T n；(3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2),证明:数列｛b n｝的前n项和S n满足S n ＜2+2lnn．2015年广东省高考数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1．（5分)(2015•广东）若集合M=｛x|（x+4）(x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=() A．{1,4} B．{﹣1，﹣4｝C．［0} D．∅考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出两个集合,然后求解交集即可．解答：解：集合M=｛x|（x+4）（x+1)=0}=｛﹣1，﹣4}，N={x｜（x﹣4）（x﹣1）=0｝={1，4},则M∩N=∅．故选：D．点评：本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．2．（5分）(2015•广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位）,则=()A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题: 数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．解答:解：复数z=i（3﹣2i)=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．点评：本题开采方式的代数形式的混合运算，复数的基本概念,考查计算能力．3．（5分）(2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（)A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+e x考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析:直接利用函数的奇偶性判断选项即可．解答:解：对于A，y=是偶函数,所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数,所以B不正确；对于C，y=2x+是奇函数，所以C不正确;对于D，不满足f（﹣x）=f（x)也不满足f（﹣x)=﹣f（x）,所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．点评：本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查．4．（5分)（2015•广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为() A．B．C．D．1考点: 古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解,最后带入古典概型的概率公式即可．解答：解:这是一个古典概型,从15个球中任取2个球的取法有;∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球,1个红球"为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．点评:考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理．5．（5分）（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是(）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析:设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径,求出直线方程中的变量,即可求出直线方程．解答：解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则,所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2xy+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．点评：本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程,考查计算能力，是基础题．6．(5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4B．C．6D．考点: 简单线性规划．专题: 不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．解答:解:不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+,则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得,即A(1，）,此时z=3×1+2×=，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）（2015•广东)已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（)A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件,列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．解答：解:双曲线C：﹣=1的离心率e=,且其右焦点为F2（5,0）,可得：,c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．8．（5分）（2015•广东)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值（) A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5考点: 棱锥的结构特征．专题: 创新题型;空间位置关系与距离．分析：先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系,即可判断．解答：解:考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立;n大于4，也不成立;在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4,由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点,与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心,由三角形的两边之和大于三边,故不成立;同理n＞5，不成立．故选：B．点评:本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况,注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系,属于中档题和易错题．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．)(一)必做题(11～13题）9．（5分)(2015•广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为6．考点：二项式定理的应用．专题: 计算题；二项式定理．分析：根据题意二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1=•(﹣1)r•，分析可得，r=1时，有x的项，将r=1代入可得答案．解答:解：二项式(﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，令2﹣=1，求得r=2，∴二项式（﹣1)4的展开式中x的系数为=6，故答案为：6．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题10．(5分）（2015•广东）在等差数列{a n｝中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=10．考点：等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析:根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值,然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．解答：解:由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．点评：本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础试题11．（5分）（2015•广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b,c．若a=,sinB=，C=，则b=1．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：计算题;解三角形．分析：由sinB=，可得B=或B=,结合a=，C=及正弦定理可求b解答：解:∵sinB=，∴B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾故答案为:1点评：本题考查了正弦、三角形的内角和定理,熟练掌握定理是解本题的关键12．（5分）(2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了1560条毕业留言．（用数字作答)考点：排列、组合的实际应用．专题：排列组合．分析：通过题意，列出排列关系式，求解即可．解答：解:某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．故答案为:1560．点评：本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键．13．（5分）(2015•广东)已知随机变量X服从二项分布B（n,p）,若E（X)=30,D（X）=20，则P=．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析:直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．解答：解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E(X）=30，D(X）=20，可得np=30,npq=20,q=，则p=，故答案为:．点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．14．（5分）（2015•广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin(θ﹣）=,点A的极坐标为A （2，），则点A到直线l的距离为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标,利用点到直线的距离求解即可．解答：解：直线l的极坐标方程为2ρsin(θ﹣)=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1,点A的极坐标为A（2,），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A到直线l的距离为:=．故答案为:．点评:本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．15．（2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P,则OD=8．考点：相似三角形的判定．专题：选作题；创新题型；推理和证明．分析：连接OC，确定OP⊥AC，OP=BC=,Rt△OCD中,由射影定理可得OC2=OP•OD,即可得出结论．解答：解:连接OC，则OC⊥CD,∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∵OP∥BC,∴OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中,由射影定理可得OC2=OP•OD,∴4=OD，∴OD=8．故答案为：8．点评：本题考查圆的直径与切线的性质，考查射影定理，考查学生的计算能力,比较基础．三、解答题16．（12分)(2015•广东)在平面直角坐标系xOy中,已知向量=（，﹣)，=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2)若与的夹角为,求x的值．考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：（1)若⊥，则•=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．解答：解：（1)若⊥，则•=(,﹣）•(sinx，cosx)=sinx ﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵||=1，｜|=1，•=(，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx，∴若与的夹角为,则•=||•｜|cos =，即sinx ﹣cosx=，则sin(x ﹣）=，∵x∈(0，）．∴x ﹣∈（﹣，）．则x ﹣=即x=+=．点评：本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力,比较基础．17．（12分）（2015•广东）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4 5 6 7 8 9 404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2)计算（1）中样本的均值和方差s2；（3)36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人?所占百分比是多少(精确到0。