创新设计2015届高考数学4-1平面向量的概念及其线性运算题组训练理(含14年优选题,解析)新人教A

第1讲 平面向量的概念及其线性运算
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是
( )．
A.EF →＝OF →＋OE →
B.EF →＝OF →－OE →
C.EF →＝－OF →＋OE →
D.EF →＝－OF →－OE → 解析 由图可知EF →＝OF →－OE →
.
答案 B
2. (2014·汕头二模)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →
等于( )．
A ．0 B.BE → C.AD →
D.CF →
解析 因为ABCDEF 是正六边形，故BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →
. 答案 D
3．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的
( )．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．
答案 A
4．(2014·开封模拟)下列命题中，正确的是
( )．
A ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b
B ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0
C ．若k a ＝0，则k ＝0或a ＝0
D ．若a ，b 都是非零向量，则|a ＋b |＞|a －b |
解析 对于A ，显然不能得知a ＝b 或a ＝－b ，因此选项A 不正确；对于B ，易知不正确；对于C ，易知正确；对于D ，注意到(a ＋b )2－(a －b )2＝4a ·b ，显然a ·b 与零的大小关系不确定，因此选项D 不正确．综上所述，选C. 答案 C
5．(2014·兰州质检)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为 ( )． A.1
5 B.25 C.35
D.45
解析 设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →
＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →
，也就是△ABM 与△ABC 对于边
AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为3
5
，选C.
答案 C 二、填空题
6．(2014·湖州月考)给出下列命题：
①向量AB →的长度与向量BA →
的长度相等；
②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量AB →与向量CD →
是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上． 其中不正确命题的序号是________． 解析 ①中，∵向量AB →与BA →
为相反向量， ∴它们的长度相等，此命题正确．
②中若a 或b 为零向量，则满足a 与b 平行，但a 与b 的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．
③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．
④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误． ⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB →与CD →
是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴该命题错误． 答案 ②④⑤
7．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →
＝________(用a ，b 表示)．
解析 由AN →＝3NC →，得4AN →＝3 AC →＝3(a ＋b )，AM →＝a ＋1
2b ，所以MN →＝AN →－AM →＝34(a ＋
b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋1
4b . 答案 －14a ＋14
b
8．(2014·泰安模拟)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →
＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________． 解析 ∵BD →＝BC →＋CD →
＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧
2＝2λ，
p ＝－λ，∴p ＝－1.
答案 －1 三、解答题
9．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →
＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.
解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12
b ；
AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →
)
＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋1
3
b . 10．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a
＋b )三向量的终点在同一条直线上？ 解 设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝1
3
(a ＋b )，
∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋1
3b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a .
要使A ，B ，C 三点共线，只需AC →＝λAB →
. 即－23a ＋1
3b ＝λ(t b －a )＝λt b －λa .
又∵a 与b 为不共线的非零向量，
∴有⎩⎨⎧ －2
3
＝－λ，1
3＝λt
⇒⎩⎨⎧
λ＝23
，t ＝1
2.
∴当t ＝1
2
时，三向量终点在同一直线上．
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2013·济南一模)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满
足OP →＝13⎝ ⎛
12OA →＋12
OB →＋
⎭
⎫
2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的( )．
A ．A
B 边中线的中点
B ．AB 边中线的三等分点(非重心)
C ．重心
D ．AB 边的中点
解析 设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →
，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即
3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →
，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点． 答案 B
2．在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且与点C 不重合，若AO →＝x AB →＋(1－x )AC →
，则实数x 的取值范围是( )． A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－1,0)
D ．(0,1)
解析 设BO →＝λ BC →(λ＞1)，则AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λ BC →＝(1－λ)AB →＋λ AC →，又AO →
＝x AB →＋(1－x )AC →，所以x AB →＋(1－x )AC →＝(1－λ)AB →＋λ AC →
.所以λ＝1－x ＞ 1，得x ＜0. 答案 A 二、填空题
3．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →
|，则△ABC 的形状为________．
解析 OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →
， OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|. 故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形．
答案 直角三角形 三、解答题
4. 在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →
＝b ，试用a ，b 表示AG →
.
解 AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →
＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)
＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ
2
b .
又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋m CF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →
)
＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m
2
a ＋(1－m )
b ，
∴⎩⎨⎧
1－λ＝m
2，
1－m ＝λ
2
，解得λ＝m ＝2
3，∴AG →＝13a ＋13
b .。