不等式专题02-基本不等式的证明
基本不等式证明过程
基本不等式证明过程一、引言基本不等式是高中数学中非常重要的一个概念，它是解决不等式问题的基础。
本文将详细介绍基本不等式的证明过程。
二、基本不等式的定义在高中数学中，我们通常将两个正数a和b的平方和表示为a²+b²，而(a+b)²则表示它们的平方和加上2ab。
因此，我们可以得到以下公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²根据这个公式，我们可以得到一个非常重要的结论：对于任意两个实数a和b，都有以下不等式成立：(a+b)² ≥ 4ab这就是基本不等式。
三、证明过程1. 将(a+b)²展开首先，我们需要将(a+b)²展开，得到以下结果：(a+b)² = a² + 2ab + b²2. 将2ab移到左边，并化简接下来，我们将2ab移到左边，并进行化简：(a+b)² - 4ab = a² - 2ab + b²(a-b)² ≥ 0由于平方永远大于或等于0，所以最后一步成立。
3. 化简左边表达式现在我们需要化简左边的表达式：(a+b)² - 4ab = (a-b)² + 4ab - 4ab(a+b)² - 4ab = (a-b)²4. 得出结论由于(a+b)² ≥ 0，所以(a-b)² ≥ 0。
因此，我们得出结论：(a+b)² ≥ 4ab这就是基本不等式。
四、基本不等式的应用基本不等式在高中数学中非常重要，它可以用于解决各种不等式问题。
例如，我们可以使用它来证明以下结论：对于任意三角形ABC，有以下不等式成立：AB² + AC² + BC² ≥ 4S²其中S表示三角形ABC的面积。
证明过程如下：1. 将三角形ABC分为四个小三角形：ABD、ACD、BCE和BDE。
证明基本不等式的方法
证明基本不等式的方法基本不等式是解决数学不等式问题中常用的方法，其核心思想是将一个不等式转化为另一个更简单的不等式，从而得到所需的解集。
在证明基本不等式的方法上，可以分为以下几种常见的方式：1.数学归纳法：数学归纳法是证明基本不等式的一种常用方法。
首先，我们需要证明当不等式成立时，对于一些特定的值$n$，不等式也成立。
接着，我们假设当$n=k$时不等式成立，可以通过这个假设证明当$n=k+1$时不等式成立。
最后，根据归纳法的原理，我们可以得出不等式对于所有自然数$n$成立。
2.递推法：递推法是证明基本不等式的另一种常用方法。
我们首先找到一个较小的数$k$，证明不等式对于这个特定的数成立。
然后，我们假设当$n=k$时不等式成立，接着通过这个假设证明当$n=k+1$时不等式也成立。
最后，根据递推法的原理，我们可以得出不等式对于所有自然数$n$成立。
3.反证法：反证法是证明基本不等式的另一种有效方法。
我们首先假设不等式不成立，即假设存在一些数使得不等式不成立。
接着，我们通过一系列的推导和推理，得出矛盾的结论。
这表明我们的假设是错误的，即不等式是成立的。
4.变量替换法：变量替换法是证明基本不等式的一种常用方法。
我们首先对不等式进行变量替换，将其转化为一个使用其他变量的等价不等式。
然后，通过对这个等价不等式进行一系列的变换和推导，我们可以得出所需的结论。
5.辅助不等式法：辅助不等式法是证明基本不等式的一种有效方法。
我们首先找到一个与原不等式相关的不等式，这个不等式往往更容易证明。
然后，我们通过对这个辅助不等式的推导和推理，结合原不等式的特点，得出所需的结论。
无论采用哪种方法，证明基本不等式的关键在于用恰当的方法将其转化为另一个更简单或更容易证明的不等式。
此外，在证明过程中需要注意推导的合理性和严密性，关注每一步的符号变化和不等式的严格性，避免出现错误的结论。
在证明过程中，也可以适当地运用数学知识和技巧，如代数运算、函数性质和数列性质等，使证明更加简洁和高效。
基本不等式证明
所以，ab a b 成立 2
当且仅当a b时取“”
分析法——执果索因
证法3：
对于正数 a,b，有
( a b)2 0 a b 2 ab 0
a b 2 ab
a b ab 2
综合法——由因索果
如果 a,b 是正数，那么 ab a b
2
当且仅当a b时取" " 号
问题 3、当a 0, b 0时 ，这个不等式仍然成立吗？
把不等式 ab a b (a 0,b 0) 称为基本不等式。 2
注意 （1）不等式成立条件（2）等号成立条件
问题4： 你能给出基本不等式几何解释吗？
ab
a
b
“半径不小于半弦”
回顾反思
1、今天这节课学了哪些主要知识？ 2、在解决问题时用了哪些方法？
问题1、如何合理的表示物体的质量？Βιβλιοθήκη b两个正数a、b ，我们把
称为a、b
2
的算术平均数， ab 称为几何平均数。
问题2、两个正数a、b的算术平均数与几何平均数 之间具有怎样的大小关系呢？
猜想：ab a b（a 0,b 0） 2
问题3：如何证明 ab a b（a 0,b 0） 2
不等式证明的基本方法 比较法（作差、作商法）
基本不等式的证明(一)
一、创设问题情景：
❖ 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子 上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a。如果 天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他 因素不计），那么a并非物体的实际质量。不过， 我们可以作第二次测量：把物体调换到天平的另一 个盘上，此时称得物体的质量为b。
拓展延伸
这个基本不等式可否推广到“n个非负数”的情 形，有兴趣的同学可作进一步的研究，也可 查阅有关资料。
证明基本不等式的方法
证明基本不等式的方法基本不等式是数学中极为重要的不等式之一，它可以直接由基本的数学性质和运算法则推导得出。
以下是我详细描述基本不等式的证明方法，以及一些相关的例子和应用。
基本不等式可以表述为：对于正实数a和b，有ab≥2√(ab)，即a乘以b大于等于2乘以a和b的平方根。
首先，我们知道一个数的平方根是非负的，即√(ab)≥0，因此我们可以得出一个结果：2√(ab)≥0。
由此可见，当a和b相等时，等式成立。
例如，当a=b=1时，1*1=2√(1*1)，等式两边都为1，等式成立。
接下来，我们来考虑当a和b不相等时的情况。
这时我们可以假设一个数x，使得x=√a/√b（注意，这里假设了b不等于0）。
根据这个假设，我们可以得出√a=x√b。
将这个结果代入到基本不等式中，得到：ab≥2√(ab)ab≥2√a√b （将√ab代换成x√b）ab≥2(x√b)√b （将√a代换成x√b）ab≥2xb*bab≥2x(b^2)由于a和b是正实数，因此b的平方b^2也是正实数。
而x是我们自己假设的一个数，通过合适的选择，我们可以使2x(b^2)等于a*b。
这样基本不等式就成立了。
这个证明方法的关键在于假设一个适当的数x，使得√a=x√b，从而将原始不等式转化为x的方程，然后通过解这个方程得到基本不等式。
下面是两个具体的示例应用，展示了基本不等式的实际用途：例1：证明当a+b=2时，a*b≤1根据我们的假设，可以令x=1/√b。
那么根据√a=x√b这个方程，可以得到√a=√b/√b=1，即a=1、将这个结果代入到a+b=2中可以得到1+b=2，从而b=1、因此，我们可以得到a*b=1*1=1，满足a*b≤1例2：证明当a+b=1时，(a^2+1)(b^2+1)≥8/9首先，我们假设x=√a/√b，那么根据√a=x√b这个方程，可以得到√a=√b/√b=1，即a=b。
这时，a+b=1可以变为2a=1，从而得到a=b=1/2将这个结果代入到(a^2+1)(b^2+1)中可以得到(1/4+1)(1/4+1)=5/4、因此，我们可以得到(a^2+1)(b^2+1)=5/4，满足(a^2+1)(b^2+1)≥8/9总结一下，我们通过假设一个适当的数x，并将√a=x√b代入到基本不等式中，转化为一个关于x的方程。
第二节 基本不等式【高考文数专题复习——不等式 推理与证明 程序框图】
[解题方略] 利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定 为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值 问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
[过关训练] 经 测 算 ， 某 型 号 汽 车 在 匀 速 行 驶 的 过 程 中 每 小 时 耗 油 量 y(L) 与 速 度 x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为
答案：30
四、“基本活动经验”不可少 已知直角三角形的面积为 8 cm2，当两条直角边各为多长时，两条直角边的 长度和最小，最小值是多少？
解：设直角边边长分别为 a，b， 则 S＝12ab＝8，∴ab＝16. ∵a>0，b>0，∴a＋b≥2 ab＝8， 当且仅当 a＝b＝4 时，等号成立． 因此，当这两条直角边都为 4 cm 时，两条直角边的长度和最小，最小值 是 8 cm.
2．(转化思想)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万 元/次，一年的总存储费用为 4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之 和最小，则 x 的值是________． 解析：总费用为60x0×6＋4x＝490x0＋x≥4×2 900＝240，当且仅当 x＝30 时等号成立，故 x 的值是 30.
[典例] 某厂家拟定在 2021 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年 销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m(m≥0)万元满足 x＝3－m＋k 1(k 为 常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是 1 万件．已知 2021 年 生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元， 厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固 定投入和再投入两部分资金)．
不等式专题02-基本不等式的证明
基本不等式的证明【知识网络】1、重要的基本不等式，不等式等号成立的条件；2、证明不等式的方法及应用。
【典型例题】例1：（1）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则p 是q 成 立的 条件答案：充分不必要条件解析： a b =是22222a b a b++⎛⎫≤⎪⎝⎭等号成立的条件。
（2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222,S a b c p ab bc ac =++=++， 则Ｓ,2p,p 从小到大排列顺序是 答案: 2p S p ≤<．解析：2222221()[()()()]0,2S p a b c ab bc ac a b b c a c S p -=++-++=-+-+-≥∴≥，又∵222222222||,||,||,2,2,2a b c b c a a c b a ab b c b bc c a a ac c b -<-<-<∴-+<-+<-+< ∴2222(),2a b c ab bc ac S p ++<++∴<。
（3）设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11， a 与b 的大小关系答案：a <b 解析：11111x y x y x ya x y x y x y x y+==+<+++++++++。
（4）b 克盐水中，有a 克盐（0>>a b ），若再添加m 克盐（m >0）则盐水就变咸了， 试根据这一事实提炼一个不等式 .答案：mb ma b a ++<．解析:由盐的浓度变大得． （5）设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ．答案： 223+。
解析：112(2)()33y xx y xyx y++=++≥+。
例2：已知a , b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2 答案：证：(a 5 + b 5 ) - (a 2b 3 + a 3b 2) = ( a 5 - a 3b 2) + (b 5 - a 2b 3 )= a 3 (a 2 - b 2 ) - b 3 (a 2 - b 2) = (a 2 - b 2 ) (a 3 - b 3)= (a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2)∵a , b 都是正数，∴a + b , a 2 + ab + b 2 > 0又∵a ≠ b ，∴(a - b )2 > 0 ∴(a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2) > 0即：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2例3 设2,,0x y R y x ∈+=，当01a <<时，求证：1log ()log 28x y a a a a +<+。
证明不等式的基本方法
x2
例7(1)设
y2
1, 求x
y的最大值，
16 9
并求此时的x, y值。 三角换元
（2）设 x, y R，且 x2 y 2 1，
求证：| x2 2xy y 2 | 2 ；
（1）设 x r sin, y r cos,且 | r | 1
证明：∵ a, b 是正数，且 a b ， ∴要证 aabb abba ,只要证 lg (aabb ) lg(abba ) ,
只要证 a lg a b lgb b lg a a lgb .
(a lg a b lg b) (b lg a a lg b) = (a b)(lg a lg b)
= (a2 b2 )(a b) = (a b)(a b)2
∵ a,b 是正数，且 a b ,∴ a b 0, (a b)2 >0
∴ (a3 b3 ) (a2b ab2 ) >0,∴ a3 b3 a2b ab2
注：比较法是证明不等式的基本方法，也是 最重要的方法,另外，有时还可作商比较.
当且仅当(a b)(b c)≥0 时,等号成立.
四.反证法:
假设命题结论的反面成立，经过正确的推理, 引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题 成立,这样的证明方法叫反证法.(正难则反)
例、已知 f (x) x2 px q，求证：
1
| f (1) |,| f (2) |,| f (3) |中至少有一个不小于2 。
求证:已知a, b, c R+,求证 :书P25页2（2）
基本不等式-概念解析
解代数不等式
基本不等式是解代数不等 式的重要工具，通过比较 不同项的大小，可以得出 不等式的解集。
代数运算的优化
在解决一些代数问题时， 使用基本不等式可以优化 计算过程，提高解题效率。
几何应用
几何图形的性质
基本不等式可以用来推导 几何图形的性质，例如三 角形的边长关系、平行四 边形的对角线性质等。
等。
代数证明方法通常需要一定的代 数技巧和推理能力，是数学竞赛 和数学研究中的常见证明方法。
几何证明
几何证明是通过几何图形和几 何性质来证明基本不等式的方 法。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
常用的几何性质包括三角形不 等式、平行四边形不等式、圆 的不等式等。
几何证明方法直观易懂，能够 帮助学生更好地理解基本不等 式的几何意义和应用。
几何不等式的证明
基本不等式是证明几何不 等式的重要手段，例如 Cauchy-Schwarz不等式、 Minkowski不等式等。
几何问题的求解
在解决一些几何问题时， 如求最值、面积等，基本 不等式可以提供有效的解 题思路。
函数应用
函数的单调性
基本不等式可以用来判断函数的 单调性，例如一元函数的导数与
应用
切比雪夫不等式在概率论、统计学等领域有广泛的应用，它可以用来估计概率 分布的性质和参数，也可以用来解决一些数学问题。
05 基本不等式的实际应用案 例
金融领域
投资组合优化
基本不等式可以用于确定投资组 合的最优配置，以实现风险和收
益之间的平衡。
保险精算
在保险精算中，基本不等式可用 于评估风险和制定合理的保费策
它通常表示为两个数 的和、差、积或比的 不等式。
性质
基本不等式具有传递性
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基本不等式的证明【知识网络】1、重要的基本不等式，不等式等号成立的条件；2、证明不等式的方法及应用。
【典型例题】例1：（1）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则p 是q 成 立的 条件答案：充分不必要条件解析： a b =是22222a b a b++⎛⎫≤⎪⎝⎭等号成立的条件。
（2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222,S a b c p ab bc ac =++=++， 则Ｓ,2p,p 从小到大排列顺序是 答案: 2p S p ≤<．解析：2222221()[()()()]0,2S p a b c ab bc ac a b b c a c S p -=++-++=-+-+-≥∴≥，又∵222222222||,||,||,2,2,2a b c b c a a c b a ab b c b bc c a a ac c b -<-<-<∴-+<-+<-+< ∴2222(),2a b c ab bc ac S p ++<++∴<。
（3）设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11， a 与b 的大小关系答案：a <b 解析：11111x y x y x ya x y x y x y x y+==+<+++++++++。
（4）b 克盐水中，有a 克盐（0>>a b ），若再添加m 克盐（m >0）则盐水就变咸了， 试根据这一事实提炼一个不等式 .答案：mb ma b a ++<．解析:由盐的浓度变大得． （5）设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ．答案： 223+。
解析：112(2)()33y xx y xyx y++=++≥+。
例2：已知a , b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2 答案：证：(a 5 + b 5 ) - (a 2b 3 + a 3b 2) = ( a 5 - a 3b 2) + (b 5 - a 2b 3 )= a 3 (a 2 - b 2 ) - b 3 (a 2 - b 2) = (a 2 - b 2 ) (a 3 - b 3)= (a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2)∵a , b 都是正数，∴a + b , a 2 + ab + b 2 > 0又∵a ≠ b ，∴(a - b )2 > 0 ∴(a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2) > 0即：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2例3 设2,,0x y R y x ∈+=，当01a <<时，求证：1log ()log 28x y a a a a +<+。
解析：22222x y x x x y a a aa+-+≥⋅=⋅，∴2221111log ()log (2)log 2log 2()log 222288x x xyxa a a a a x x a a ax --+≤⋅=+=--+<+。
例4：（1）已知,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+，指出等号成立的条件； （2）利用（1）的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0,)2x ∈）的最小值， 指出取最小值时x 的值．答案：22222222()()a b y x x y a b a b a b x y x y ++=+++≥++2()a b =+，故222()a b a b x y x y++≥+．当且仅当22y x a b x y =，即a b x y =时上式取等号； ⑵由⑴得22223(23)()252122(12)f x x x x x +=+≥=-+-．当且仅当23212x x =-，即15x =时上式取最小值，即min [()]25f x =． 【课内练习】1．设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是_______________________.答案：2-4lg2。
解析：∵x>0,y>0,5=x+y ≥2xy ,∴xy ≤(25)2. 当且仅当x=y=25时等号成立. 故lgx+lgy=lgxy ≤lg(25)2=2-4lg2. 2．若a,b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lga ·lgb 的最大值是 答案：1解析：2lg lg lg lg ()12a b a b +⋅≤=。
3．在的条件下，，00>>b a 三个①22b a b a ab +≤+，②，2222b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+22，其中正确的个数是答案：3解析：可以证明3个不等式都成立。
4．对一切正整数n ， 不等式112b n b n +<-+恒成立，则B 的范围是答案： 2(,)(1,)5-∞+∞ 。
解析：1122521,,0223131n b b n n b b +-=-≥∴<∴>++--，即b>1或25b <。
5．已知方程2(1)(2)0x x x m --+=的三根可作为一个三角形的三边长，那么m 的取值范围是 。
答案：3,14m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦。
解析：440,1m m ∆=-≥∴≤，又123||1,4x x m -<∴>，即3,14m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦。
6．已知a 、b 为不等的正数，且31a b a +=+2a ba b +、、四个数按从小到大的顺序排列 。
答案：31)11a b a a a +===++（1）当a <0b a <<，得b >2a b+<此时2a ba b +<<<（2）当a >0b a <<b <2a b+>此时2a bb a +<<（3）当a =a b =与题设矛盾7．比较下列两个数的大小： （1）；与3212-- （2）5632--与；（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明 答案：（1）3212->-,（2）5632->-（3）一般结论：若231+-+>-+∈*n n n n N n 则成立证明 欲证231+-+>-+n n n n 成立 只需证23111+++>++n n nn也就是231+++<++n n n n （*）*∈N n从而（*）成立，故231+-+>-+n n n n )(*∈N n 8．已知1,0,0=+>>y x y x ，求证：44y x +≥81． 答案:∵1,0,0=+>>y x y x ，∴22y x +≥xy 2， 两边同加上22y x +得，)(222y x +≥1)(2=+y x ．又44y x +≥222y x ，两边同加上44y x +得，)(244y x +≥222)(y x +≥41， ∴44y x +≥81． 9．设a >0, b >0，且a + b = 1，求证：225)1()1(22≥+++b b a a ． 答案：∵212=+≤b a ab ∴41≤ab ∴41≥ab∴22221111111()()2222a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪+++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211114252222222a b ab ab +⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎛⎫==≥=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．已知函数2()4sin sin ()cos242xf x x x π=++（1）设0ω>为常数，若()y f x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求w 的取值范围 （2）设集合{}2;()263A xx B x f x m ππ⎧⎫=≤≤=-<⎨⎬⎩⎭，若A B ⊆，求实数m 的取值范围。
答案：（1）1cos()2()4sin cos22sin 12x f x x x x π-+=⋅+=+ ()2sin 1f x x ωω=+ 在2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数。
2,,2322ππππωω⎡⎤⎡⎤∴-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即23,0,324ππωω⎛⎤≤∴∈ ⎥⎝⎦（2）由()2f x m -<得：2()2f x m -<-<，即()2()2f x m f x -<<+,A B ⊆∴ 当263X ππ≤≤时，()2()2f x x f x -<<+恒成立。
[][]max min ()2()2f x m f x ∴-<<+又2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，max min ()()3;()()226f x f f x f ππ==== (1,4)m ∴∈【作业本】A 组1．设a 、b 、c 是互不相等的正数， ①．||||||c b c a b a -+-≤- ②aa a a 1122+≥+③．21||≥-+-ba b a ④．a a a a -+≤+-+213则上列等式中不恒成立．．．．的是答案：③因为()()||||||a b a c b c a c b c -=---≤-+-，所以（A ）恒成立，在B 两侧同时乘以2,a 得()()()()()()2434332110110110a a a a a a a a a a a a +≥+⇐-+-≥⇐---≥⇐-++≥ 所以B 恒成立；在C 中，当a >b 时，恒成立，a <b 时，不成立；在D中，分子有理化得≤恒成立，故选C ．2．若关于x 的方程94340x xa ++⋅+=()有解，则实数a 的取值范围是答案：(]-∞-，8解析：4434,83xx a a ⎛⎫+=-+≤-∴≤- ⎪⎝⎭。
3．设x y R 、∈+且xy x y -+=()1，①x y +≥+221()②．xy ≤+21③x y +≤+()212 ④．xy ≥+221()则上列结论正确的是答案：①解析：221(),()4()40,1)2x y xy x y x y x y x y +⎛⎫=++≤∴+-+-≥∴+≥ ⎪⎝⎭。
4．若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是 答案： )1,21(。
解析：2211011a a a >⎧⎪⎨+<<⎪+⎩或2021111a a a<<⎧⎪⎨+>⎪+⎩，解得112a <<。