1.21 独立性检验的基本思想及其初步应用(文、理)

4.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 【学习目标】

1. 了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用 2. 通过典型案例的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用. 【要点梳理】 要点一、分类变量 有一种变量，这种变量所取不同的“值”表示的是个体所属不同类别，称这种变量为分类变量。 要点诠释： （1）对分类变量的理解。 这里的“变量”和“值”都应作为广义的“变量”和“值”进行理解。例如：“性别变量”有“男”和“女”两种类别，这里的变量指的是性别，同样这里的“值”指的是“男”和“女”。因此，这里所说的“变量”和“值”取的不一定是具体的数值。 （2）分类变量可以有多种类别。例如：吸烟变量有“吸烟”与“不吸烟”两种类别，而国籍变量则有多种类别。 要点二、2×2列联表 1. 列联表 用表格列出的分类变量的频数表，叫做列联表。 2. 2×2列联表 对于两个事件A，B，列出两个事件在两种状态下的数据，如下表所示：

事件B 事件B 合计 事件A a b a+b 事件A c d c+d 合计 a+c b +d a+b+c+d 这样的表格称为2×2列联表。 要点三：卡方统计量公式 为了研究分类变量X与Y的关系，经调查得到一张2×2列联表，如下表所示 Y1 Y2 合计 X1 a b a+b X2 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 统计中有一个有用的（读做“卡方”）统计量，它的表达式是： 22()()()()()nadbcKabcdacbd（nabcd为样本容量）。 要点四、独立性检验 1. 独立性检验 通过2×2列联表，再通过卡方统计量公式计算2K的值，利用随机变量2K来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。 2. 变量独立性的判断 通过对2K统计量分布的研究，已经得到两个临界值：3.841和6.635。当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断： ①如果2K≤3.841时，认为事件A与B是无关的。 ②如果2K＞3.841时，有95%的把握说事件A与事件B有关； ③如果2K＞6.635时，有99%的把握说事件A与事件B有关； 要点诠释： （1）独立性检验一般是指通过计算2K统计量的大小对两个事件是否有关进行判断； （2）独立性检验的基本思想类似于反证法。即在H0：事件A与B无关的统计假设下，利用2K统计量的大小来决定在多大程度上拒绝原来的统计假设H0，即拒绝“事件A与B无关”，从而认为事件A与B有关。独立性检验为假设检验的特例。 （3）利用独立性检验可以考察两个分类变量是否有关，并且能较精确地给出这种判断的把握程度。 3．独立性检验的基本步骤及简单应用 独立性检验的步骤： 要推断“A与B是否有关”，可按下面步骤进行： （1）提出统计假设H0：事件A与B无关（相互独立）； （2）抽取样本（样本容量不要太小，每个数据都要大于5）； （3）列出2×2列联表；

（4）根据2×2列联表，利用公式：22()()()()()nadbcKacbdabcd，计算出2K的值；

（5）统计推断：当2K＞3.841时，有95％的把握说事件A与B有关； 当2K＞6.635时，有99％的把握说事件A与B有关； 当2K＞10.828时，有99.9％的把握说事件A与B有关； 当2K≤3.841时，认为事件A与B是无关的． 要点诠释： ① 使用2K统计量作2×2列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据都要大于5． ② 一定要弄清2K的表达式22()()()()()nadbcacbdabcd中各个量的含义． ③ 独立性检验的基本思想类似于反证法．要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下构造的随机变量2K应该很小，如果由观测数据计算得到的2K的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理．根据随机变量2K的含义，由实际计算的2K＞6.635，说明假设不合理的程度约为99％，即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度约为99％．当2K≤3.841时，认为两个分类变量是无关的． 【典型例题】 类型一、利用2×2列联表计算卡方 例1．为了考察中学生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某校学生中随机地抽取了50名学生，得到如下列联表： 喜欢数学 不喜欢数学 合计 男 13 10 23 女 7 20 27 合计 20 30 50 根据表中的数据，计算2K 【思路点拨】利用2K公式计算

【解析】得到2250(1320107)4.84423272030K

【思路点拨】在利用22列联表计算2统计量作独立性检验时，要求表中的4个数据大于等于5，为此，在选取样本的容量时一定要注意这一点。 举一反三： 【变式1】研究两个事件A，B之间的关系时，根据数据信息列出如下的2×2列联表：

B B 合计 A n11 n12 n1+ A n21 n22 n2+ 合计 n+1 n+2 n 则以下2计算公式正确的是（ ）

A．22112212211212()nnnnnnnnn B．22112211122122()nnnnnnnnn

C．22111221221212()nnnnnnnnn D．22112112221212()nnnnnnnnn

【答案】A 【变式2】由列联表

1y 2y

合计

1x 43 162 205

2x 13 121 134 合计 56 283 339 则随机变量2 。（精确到0.001） 【答案】由2K公式计算得：7.469 类型二、独立性检验 例2．(2016春 楚雄州期末)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答。选题情况如下表：（单位：人）

下面的临界值表供参考： （参考公式：22()()()()()nadbcKabcdacbd，其中n=a+b+c+d） 则在犯错的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别________（填“有关”或“无关”）。 【思路点拨】这是一个2×2列联表的独立性检验问题，根据列联表的数据求解判断。

【解析】由观测值2250(2510510)6.3495.02430203515K， ∴在犯错的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关，故答案为：有关。 【总结升华】在掌握了独立性检验的基本思想后我们一般通过计算2K的值，然后比较2K的值与临界值的大小来精确地给出“两个分类变量”的相关程度． 举一反三： 【变式1】某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析。其中设备改造前生产的合格品有36件，不合格品有49件；设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件。根据上面的数据，你能得出什么结论？ 【答案】由已知数据得到下表 合格品 不合格品 合计 设备改造后 65 30 95 设备改造前 36 49 85 合计 101 79 180

根据公式22112212211212()nnnnnnnnn得791018595303649651802≈12.38。 由于12.38＞6.635，可以得出产品是否合格与设备改造是有关的。 【变式2】考察黄烟经过培养液处理与否跟发生青花病的关系。调查了457株黄烟，得到下表中数据，请根据数据作统计分析。 培养液处理 未处理 合计 青花病 25 210 235 无青花病 80 142 222 合计 105 352 457 分析：计算2的值与临界值的大小关系。 【答案】根据公式2＝35210522223521080142254572≈41.61。 由于41.61＞6.635，说明经过培养液处理的黄烟跟发生青花病是有关的。 【变式3】为了研究色盲与性别的关系，调查了1000人，调查结果如下表所示： 根据上述数据试问色盲与性别是否是相互独立的？ 【答案】由已知条件可得下表 男 女 合计 正常 442 514 956 色盲 38 6 44 合计 480 520 1000 依据公式22112212211212()nnnnnnnnn得2＝5204804495651438644210002＝27.139。 由于27.139＞6.635，所以有99%的把握认为色盲与性别是有关的，从而拒绝原假设，可以认为色盲与性别不是相互独立的。 例3. 对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示： 又发作过心脏病 未发作过心脏病 合计 心脏搭桥手术 39 157 196 血管清障手术 29 167 196 合计 68 324 392 试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作过心脏病的影响有没有差别．

【思路点拨】先提出假设，然后根据2K的大小做出准确估计判断。 【解析】 假设病人又发作过心脏病与做过心脏搭桥手术还是血管清障手术没有关系． 由于a=39，b=157，c=29，d=167，a+b=196，c+d=196，a+c=68，b+d=324，n=392，

所以22()()()()()nadbcKacbdabcd 392(3916715729)21.77919619668324。 因为2K≈1.779＜<2.706，所以不能作出病人又发作过心脏病与做过心脏搭桥手术还是血管清障手术有关系的结论．即这两种手术对病人又发作过心脏病的影响没有差别．

【总结升华】此类问题的一般解法是利用22()()()()()nadbcKacbdabcd,求出2K的值，再利用与临界值的大小关系来判断假设是否成立．在解题时应注意准确代数与计算． 举一反三： 【变式1】对男女大学生在购买食品时是否看营养说明进行了调查，得到的数据如下表所示： 看营养说明 不看营养说明 合计

男大学生 23 32 55 女大学生 9 25 34 合 计 32 57 89 利用2×2列联表的独立性检验估计看营养说明与性别的关系中准确的是（ ） A．二者一定无关 B．有95%的把握说二者有关 C．有99%的把握说二者有关

男 女 正常 442 514 色盲 38 6