第5讲 数列的综合应用

第5讲 数列的综合应用 一、选择题 1．已知{an}为等比数列．下面结论中正确的是 ( )． A．a1＋a3≥2a2 B．a21＋a23≥2a22 C．若a1＝a3，则a1＝a2 D．若a3>a1，则a4>a2 解析 设公比为q，对于选项A，当a1<0，q≠1时不正确；选项C，当q＝－1时不正确；选项D，当a1＝1，q＝－2时不正确；选项B正确，因为a21＋a23≥2a1a3＝2a22. 答案 B 2．满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1 025的最小n值是 ( )． A．9 B．10 C．11 D．12 解析 因为a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，所以an＋1＝2an，an＝2n－1，Sn

＝2n－1，则满足Sn>1 025的最小n值是11.

答案 C 3．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生

产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝12n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ( )． A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 解析 由已知可得第n年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝3n2.当n＝1时也适合，据题意令an≥150⇒n≥52，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年． 答案 C 4．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝ ( )． A．7 B．8 C．9 D．10 解析 设公差为d，由题设3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)， 所以d＝－433a1<0. 解不等式an>0，即a1＋(n－1)－433a1>0， 所以n<374，则n≤9， 当n≤9时，an>0，同理可得n≥10时，an<0. 故当n＝9时，Sn取得最大值． 答案 C 5．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于 ( )． A．n(2n＋3) B．n(n＋4) C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4) 解析 由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)， 则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2， f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝2n2＋3n. 答案 A

6．若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1的结果可化为( ) A．1－14n B．1－12n

C.231－14n D.231－12n 解析 an＝2n－1，设bn＝1anan＋1＝122n－1， 则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝12＋123＋…＋122n－1

＝121－14n1－14＝231－14n. 答案 C 二、填空题 7．设关于x的不等式x2－x＜2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________． 解析 由x2－x＜2nx(n∈N*)，得0＜x＜2n＋1，因此知an＝2n. ∴S100＝1002＋2002＝10 100. 答案 10 100 8．已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则ax＋cy＝________. 解析 赋值法．如令a，b，c分别为2,4,8，可求出x＝a＋b2＝3，y＝b＋c2＝6，ax＋cy＝2.

答案 2 9．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an

＝lg xn，则a1＋a2＋a3＋…＋a99的值为________．

解析 由y′＝(n＋1)xn(x∈N*)，所以在点(1,1)处的切线斜率k＝n＋1，故切

线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1，令y＝0得xn＝nn＋1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99

＝lg x1＋lg x2＋…＋lg x99＝lg(x1·x2·…·x99)＝lg12×23×…×9999＋1＝lg 199＋1＝－2. 答案 －2 10．数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列： 12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n，2n，…，n－1n，…，有如下运算和

结论： ①a24＝38； ②数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比数列； ③数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n项和为Tn＝n2＋n4； ④若存在正整数k，使Sk<10，Sk＋1≥10，则ak＝57. 其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上) 解析 依题意，将数列{an}中的项依次按分母相同的项分成一组，第n组中的数的规律是：第n组中的数共有n个，并且每个数的分母均是n＋1，分子由1依次增大到n，第n组中的各数和等于1＋2＋3＋…＋nn＋1＝n2.

对于①，注意到21＝66＋12<24<77＋12＝28，因此数列{an}中的第24项应是第7组中的第3个数，即a24＝38，因此①正确． 对于②、③，设bn为②、③中的数列的通项，则bn＝ 1＋2＋3＋…＋nn＋1＝n2，显然该数列是等差数列，而不是等比数列，其前n项和

等于12×nn＋12＝n2＋n4，因此②不正确，③正确． 对于④，注意到数列的前6组的所有项的和等于62＋64＝1012，因此满足条件的ak应是第6组中的第5个数，即ak＝57，因此④正确． 综上所述，其中正确的结论有①③④. 答案 ①③④ 三、解答题 11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝35，a5和a7的等差中项为13. (1)求an及Sn；

(2)令bn＝4a2n－1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)设等差数列{an}的公差为d， 因为S5＝5a3＝35，a5＋a7＝26，

所以 a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2， 所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1， Sn＝3n＋nn－12×2＝n2＋2n. (2)由(1)知an＝2n＋1， 所以bn＝4a2n－1＝1nn＋1＝1n－1n＋1， 所以Tn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1 ＝1－1n＋1＝nn＋1. 12．设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列． (1)求a1的值； (2)求数列{an}的通项公式；

(3)证明：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1an<32. (1)解 当n＝1时，2a1＝a2－4＋1＝a2－3， ① 当n＝2时，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7， ② 又a1，a2＋5，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋5)， ③ 由①②③解得a1＝1. (2)解 ∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1， ∴当n≥2时，有2Sn－1＝an－2n＋1，

两式相减整理得an＋1－3an＝2n，则an＋12n－32·an2n－1＝1，

即an＋12n＋2＝32an2n－1＋2.又a120＋2＝3，知

an

2n－1＋2是首项为3，公比为32的等比数列，

∴an2n－1＋2＝332n－1， 即an＝3n－2n，n＝1时也适合此式，∴an＝3n－2n. (3)证明 由(2)得1an＝13n－2n.

当n≥2时，32n>2，即3n－2n>2n， ∴1a1＋1a2＋…＋1an<1＋122＋123＋…＋12n＝1＋121－12n－1<32. 13．已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前三项． (1)分别求数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn； (2)记数列{anbn}的前n项和为Kn，设cn＝SnTnKn，求证：cn＋1>cn(n∈N*)．

(1)解 设公差为d，则 4a1＋6d＝14，a1＋2d2＝a1a1＋6d， 解得d＝1或d＝0(舍去)，a1＝2， 所以an＝n＋1，Sn＝nn＋32. 又a1＝2，d＝1，所以a3＝4，即b2＝4. 所以数列{bn}的首项为b1＝2，公比q＝b2b1＝2， 所以bn＝2n，Tn＝2n＋1－2. (2)证明 因为Kn＝2·21＋3·22＋…＋(n＋1)·2n， ① 故2Kn＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1， ② ①－②得－Kn＝2·21＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1，

∴Kn＝n·2n＋1，则cn＝SnTnKn＝n＋32n－12n＋1.

cn＋1－cn＝n＋42n＋1－12n＋2－n＋32n－12n＋1 ＝2n＋1＋n＋22n＋2>0， 所以cn＋1>cn(n∈N*)． 14．设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝a2Sn＋a1，其中a2≠0. (1)求证：{an}是首项为1的等比数列；

(2)若a2＞－1，求证：Sn≤n2(a1＋an)，并给出等号成立的充要条件． 证明 (1)由S2＝a2S1＋a1，得a1＋a2＝a2a1＋a1， 即a2＝a2a1.

因a2≠0，故a1＝1，得a2a1＝a2， 又由题设条件知Sn＋2＝a2Sn＋1＋a1，Sn＋1＝a2Sn＋a1， 两式相减得Sn＋2－Sn＋1＝a2(Sn＋1－Sn)，