5-5第五节 数列的综合应用练习题(2015年高考总复习)
2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：数 列 数列的简单应用(含答案)
第五章 数 列第5课时 数列的简单应用1. 已知等差数列{a n }的公差为2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________．答案：－6解析：a 23＝a 1a 4，即[a 1＋4]2＝a 1[a 1＋6]，解得a 1＝－8，所以a 2＝－6.2. 已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝________． 答案：31 解析：设{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54，得a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝12⎝⎛⎭⎫2×54－a 4＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12.a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2，∴a 1＝16， S 5＝16⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝31. 3. 已知{a n }是公比为q 的等比数列，若a 4，a 5＋a 7，a 6成等差数列，则q ＝________．答案：12解析：a 4，a 5＋a 7，a 6成等差数列，∴ 2[a 5＋a 7]＝a 4＋a 6，∴ 2[a 4q ＋a 6q]＝a 4＋a 6，∴ q ＝12. 4. 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是________．答案：3解析：a 25＝a 1a 17，即[a 1＋4d]2＝a 1[a 1＋16d]，即a 1d －2d 2＝0.又d ≠0，∴a 1＝2d.公比q ＝a 5a 1＝6d 2d＝3. 5. 已知数列{a n }是各项都是正数的等比数列，若a 2，12a 3，2a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5＝________．答案：12解析：2×12a 3＝2a 1＋a 2，即a 1q 2＝2a 1＋a 1q ，q 2－q －2＝0，解得q ＝－1或2. ∵ a n >0，q>0，∴ q ＝2.a 3＋a 4a 4＋a 5＝a 3＋a 4（a 3＋a 4）q ＝1q ＝12. 6. 若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的积，则称该数列为“m 积数列”．若正项等比数列{a n }是一个“2 012积数列”，且a 1>1，则其前n 项的积最大时，n ＝________．答案：1 005或1 006解析：根据条件可知a 1a 2a 3…a 2012＝a 2012，故a 1a 2a 3…a 2011＝1，即a 20111006＝1，故a 1006＝1，而a 1>1，故{a n }的公比0<q<1，则0<a 1007<1，a 1005>1，故数列{a n }的前n 项的积最大时，n ＝1005或1006.7. 如图，将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表．已知表中的第一列a 1，a 2，a 5，…构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列．若a 4＝5，a 86＝518，则d ＝________.a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…答案：1.5解析：第2行成公差为d 的等差数列，可得：a 2＝a 4－2d ＝5－2d ，第n 行的数的个数为2n －1，从第1行到第n 行的所有数的个数总和为n （1＋2n －1）2＝n 2，86＝92＋5，第10行的前几个数为：a 82，a 83，a 84，a 85，a 86，…，所以a 86是第10行第5个数，所以a 82＝a 86－4d ＝518－4d.第一列a 1，a 2，a 5，a 10，a 17，a 26，a 37，a 50，a 65，a 82，…构成一个公比为2的等比数列，故有a 82＝a 2·28518－4d ＝[5－2d]·28，解得d ＝1.5.8. 各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d[d>0]的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列，若a 4－a 1＝88，则q 的所有可能的值构成的集合为________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，87 解析：设这四个数为a 1，a 1＋d ，a 1＋2d ，a 1＋88，其中a 1，d 均为正偶数，则[a 1＋2d]2＝[a 1＋d][a 1＋88]，整理得a 1＝4d （22－d ）3d －88>0[注意体会这里用“a 1>0”而不用“a 1≥2”的好处，实际是一种估算能力]，所以[d －22][3d －88]<0，即22<d<883，所以d 的所有可能值为24，26，28.当d ＝24时，a 1＝12，q ＝53；当d ＝26时，a 1＝2085[舍去]；当d ＝28时，a 1＝168，q ＝87，所以q 的所有可能值构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，87. 9. 已知等差数列{a n }中，首项a 1＝1，公差d 为整数，且满足a 1＋3<a 3，a 2＋5>a 4；数列{b n }满足b n ＝1a n ·a n ＋1，其前n 项和为S n . [1] 求数列{a n }的通项公式a n ；[2] 若S 2为S 1、S m [m ∈N *]的等比中项，求正整数m 的值．解：[1] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3＜a 1＋2d ，a 1＋d ＋5>a 1＋3d ，解得32<d<52. 又d ∈Z ，∴ d ＝2.∴ a n ＝1＋[n －1]·2＝2n －1.[2] ∵ b n ＝1a n ·a n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴ S n ＝12[⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1]＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.∵ S 1＝13，S 2＝25，S m ＝m 2m ＋1，S 2为S 1、S m [m ∈N ]的等比中项， ∴ S 22＝S m S 1，即⎝⎛⎭⎫252＝13·m 2m ＋1，解得m ＝12. 10. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13＝34，S 3＝9.[1] 求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式；[2] 设数列{b n }的通项公式为b n ＝a n a n ＋t，问： 是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m [m ≥3，m ∈N *]成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．解：[1] 设等差数列{a n }的公差为d.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 13＝34，3a 2＝9，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋8d ＝17，a 1＋d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 故a n ＝2n －1，S n ＝n 2.[2] 由[1]知b n ＝2n －12n －1＋t .要使b 1，b 2，b m 成等差数列，必须2b 2＝b 1＋b m ，即2×33＋t＝11＋t ＋2m －12m －1＋t ，整理得m ＝3＋4t －1.因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.当t ＝2时，m ＝7；当t ＝3时，m ＝5；当t ＝5时，m ＝4.故存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m 成等差数列．11. 设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.[1] 求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；[2] 试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项． 解：[1] 设公差为d ，则由a 22－a 25＝a 24－a 23，得－3d[a 4＋a 3]＝d[a 4＋a 3]．因为d ≠0，所以a 4＋a 3＝0，即2a 1＋5d ＝0.又S 7＝7，得7a 1＋7×62d ＝7，解得a 1＝－5，d ＝2， 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －7，前n 项和S n ＝n 2－6n.[2] [解法1]a m a m ＋1a m ＋2＝（2m －7）（2m －5）2m －3，设2m －3＝t ， 则a m a m ＋1a m ＋2＝（t －4）（t －2）t ＝t ＋8t －6，所以t 为8的约数． 因为t 是奇数，所以t 可取的值为±1，当t ＝1，m ＝2时，t ＋8t－6＝3，2×5－7＝3，是数列{a n }中的项；当t ＝－1，m ＝1时，t ＋8t－6＝－15，数列{a n }中的最小项是－5，不符合．所以满足条件的正整数m ＝2.[解法2]因为a m a m ＋1a m ＋2＝（a m ＋2－4）（a m ＋2－2）a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数．又由[1]知a m ＋2为奇数，所以a m ＋2＝2m －3＝±1，即m ＝1，2.经检验，符合题意的正整数m 为2。
2015届高考数学(文)一轮复习备考学案第5章第5节《数列的综合应用》(北师大版)
第五节数列的综合应用对应学生用书P84[n 111113数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.[解] (1)设{a n }的公差为d ，由题意得a 211＝a 1a 13.即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )． 于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .[类题通法]解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．[针对训练]在等比数列{a n }(n ∈N ＋)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n . 解：(1)证明：∵b n ＝log 2a n ， ∴b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1a n ＝log 2q 为常数，∴数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q .(2)设数列{b n }的公差为d ，∵b 1＋b 3＋b 5＝6，∴b 3＝2. ∵a 1>1，∴b 1＝log 2a 1>0.∵b 1b 3b 5＝0，∴b 5＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1. ∴S n ＝4n ＋n (n －1)2×(－1)＝9n －n 22.∵⎩⎪⎨⎪⎧log 2q ＝－1，log 2a 1＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝16.∴a n ＝25－n (n ∈N ＋).[东们分红500万元．该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元．(1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元． [解] 设a n 为(2010＋n )年年底分红后的资金， 其中n ∈N ＋，则a 1＝2×1 000－500＝1 500，a 2＝2×1 500－500＝2 500，…，a n ＝2a n －1－500(n ≥2)． ∴a n －500＝2(a n －1－500)(n ≥2)，即数列{a n －500}是首项为a 1－500＝1 000，公比为2的等比数列． ∴a n －500＝1 000×2n －1，∴a n ＝1 000×2n －1＋500.(1)a 4＝1 000×24－1＋500＝8 500，∴该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元． (2)由a n >32 500，即2n －1>32，得n >6，∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元． [类题通法]解数列应用题的建模思路从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：[针对训练]某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.则第n 年初M 的价值a n ＝________.解析：当n ≤6时，数列{a n }是首项为120， 公差为－10的等差数列， a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ； 当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项， 34为公比的等比数列， 又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n －6. 答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥7数列在高考中多与函数、不等式、解析几何、向量交汇命题，近年由于对数列要求降低，但仍有一些省份在考查数列与其他知识的交汇.归纳起来常见的命题角度有：(1)数列与不等式的交汇； (2)数列与函数的交汇； (3)数列与解析几何的交汇.角度一 数列与不等式的交汇1．(2014·湖北七市模拟)数列{a n }是公比为12的等比数列，且1－a 2是a 1与1＋a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1＝8，其前n 项和T n 满足T n ＝nλ·b n ＋1(λ为常数，且λ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式及λ的值； (2)比较1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n 与12S n 的大小．解：(1)由题意得(1－a 2)2＝a 1(a 3＋1)， 即⎝⎛⎭⎫1－12a 12＝a 1⎝⎛⎭⎫14a 1＋1， 解得a 1＝12，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫12n. 设{b n }的公差为d ，又⎩⎪⎨⎪⎧ T 1＝λb 2，T 2＝2λb 3，即⎩⎪⎨⎪⎧8＝λ(8＋d )，16＋d ＝2λ(8＋2d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，d ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，d ＝0(舍)，∴λ＝12.(2)由(1)知S n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n， ∴12S n ＝12－⎝⎛⎭⎫12n ＋1≥14，① 又T n ＝4n 2＋4n ，1T n ＝14n (n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴1T 1＋1T 2＋…＋1T n＝14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1<14，② 由①②可知1T 1＋1T 2＋…＋1T n <12S n .[类题通法]数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．角度二 数列与函数的交汇2．(2012·安徽高考)设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }．(1)求数列{x n }的通项公式； (2)设{x n }的前n 项和为S n ，求S n . 解：(1)令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，得cos x ＝－12，解得x ＝2k π±2π3(k ∈Z )．由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知， x n ＝2n π－2π3(n ∈N ＋)．(2)由(1)可知，S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－23n π＝n (n ＋1)π－2n π3.角度三 数列与解析几何的交汇3．在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列；解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，②①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列．对应学生用书P85[课堂练通考点]1．(2013·安徽“江南十校”高三联考)已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2＋b 2)＝( )A ．－1或2B ．0或2C ．2D ．1解析：选C 由题意可知，a n ＋1＋a n －1＝2a n ＝a 2n ，解得a n ＝2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都是正数)，又b n ＋1b n －1＝b 2n ＝2b n (n ≥2)，所以b n ＝2(n ≥2)，log 2(a 2＋b 2)＝log 24＝2.2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为( )A ．{4,5}B ．{4,32}C ．{4,5,32}D ．{5,32}解析：选C a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时，注意递推的条件是a n (而不是n )为偶数或奇数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32.3．(2013·武汉武昌联考)在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＝6，若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．解析：由题意知等差数列{a n }的公差d ＝a 3－a 12＝2，则a 4＝8，a 5＝10，设所加的数为x ，依题意有(8＋x )2＝(2＋x )(10＋x )，解得x ＝－11.答案：－114．(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N ＋)等于________．解析：设每天植树的棵数组成的数列为{a n }， 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2， 所以由题意可得2(1－2n )1－2≥100，即2n ≥51，而25＝32,26＝64，n ∈N ＋，所以n ≥6. 答案：65．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2，数列{b n }为等比数列，且首项b 1＝1，b 4＝8.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝ab n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)∵数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1亦满足上式， 故a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．又数列{b n }为等比数列，设公比为q ， ∵b 1＝1，b 4＝b 1q 3＝8，∴q ＝2. ∴b n ＝2n －1(n ∈N ＋)．(2)c n ＝ab n ＝2b n －1＝2n －1.T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1) ＝(21＋22＋ (2))－n ＝2(1－2n )1－2－n .所以T n ＝2n ＋1－2－n .[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a ≠0)，则数列{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列解析：选C ∵S n ＝a n －1(a ≠0)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，n ＝1，(a －1)a n －1，n ≥2. 当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }是一个常数列，也是等差数列；当a ≠1时，数列{a n }是一个等比数列．2．(2013·辽宁高考)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：选D 设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 1为真命题；若a n＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n 并非递增数列，所以p 2为假命题；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a n n ＝1＋1n 是递减数列，所以p 3为假命题；设a n ＋3nd ＝4dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 4为真命题．3．(2013·湖南省五市十校联合检测)已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x ，y 都有f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足f (S n ＋2)－f (a n )＝f (3)(n ∈N ＋)，则a n 为( )A ．2n －1B ．nC ．2n －1D.⎝⎛⎭⎫32n －1解析：选D 由题意知f (S n ＋2)＝f (a n )＋f (3)(n ∈N ＋)， ∴S n ＋2＝3a n ，S n －1＋2＝3a n －1(n ≥2)， 两式相减得，2a n ＝3a n －1(n ≥2)， 又n ＝1时，S 1＋2＝3a 1＝a 1＋2，∴a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公比为32的等比数列，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1.4．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差即a 2 012－5＝( )A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 011解析：选D 结合图形可知，该数列的第n 项a n ＝2＋3＋4＋…＋n ＋2.所以a 2 012－5＝4＋5＋…＋2 014＝4×2 011＋2 011×2 0102＝2 011×1 009.故选D. 5．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．解析：当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2 000米．答案：2 0006.(创新题)设数列{a n }中，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)，则称数列{a n }为“凸数列”，已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝1，b 2＝－2，则数列{b n }的前2 013项和为________．解析：由“凸数列”的定义，可知，b 1＝1，b 2＝－2，b 3＝－3，b 4＝－1，b 5＝2，b 6＝3，b 7＝1，b 8＝－2，…，故数列{b n }是周期为6的周期数列，又b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＋b 6＝0，故数列{b n }的前2 013项和S 2 013＝b 1＋b 2＋b 3＝1－2－3＝－4.答案：－47．(2014·济南高考模拟考试)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N ＋)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N ＋)，求证：c n ＋1<c n ≤13.解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1①， 得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2，n ∈N ＋)②， ①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)， ∴a n ＋1＝3a n (n ≥2，n ∈N ＋)，又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，∴a n ＝3n －1.∵b 5－b 3＝2d ＝6，∴d ＝3， ∴b n ＝3n －6.(2)证明：∵a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ，∴c n ＝3n 3n ＋1＝n3n ，∴c n ＋1－c n ＝1－2n3n ＋1<0，∴c n ＋1<c n <…<c 1＝13，即c n ＋1<c n ≤13.8．(2013·惠州调研)已知点⎝⎛⎭⎫1，13是函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图像上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足：S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }的通项c n ＝b n ·⎝⎛⎭⎫13n ，求数列{c n }的前n 项和R n . 解：(1)∵f (1)＝a ＝13，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ， a 1＝f (1)－c ＝13－c ，a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29，a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227. 又数列{a n }成等比数列， ∴a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，∴c ＝1.又公比q ＝a 2a 1＝13，∴a n ＝－23⎝⎛⎭⎫13n －1＝－2⎝⎛⎭⎫13n (n ∈N ＋)． ∵S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝S n ＋S n －1(n ≥2)，b n >0，S n >0， ∴S n －S n －1＝1，∴数列{S n }构成一个首项为1，公差为1的等差数列， S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1； 又b 1＝c ＝1满足b n ＝2n －1， ∴b n ＝2n －1(n ∈N ＋)． (2)∵c n ＝b n ⎝⎛⎭⎫13n＝(2n －1)⎝⎛⎭⎫13n ， ∴R n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，R n ＝1×⎝⎛⎭⎫131＋3×⎝⎛⎭⎫132＋5×⎝⎛⎭⎫133＋…＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ，① 13R n ＝1×⎝⎛⎭⎫132＋3×⎝⎛⎭⎫133＋5×⎝⎛⎭⎫134＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫13n ＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋1.② 由①－②得，23R n ＝13＋2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫133＋⎝⎛⎭⎫134＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋1， 化简得，23R n ＝13＋2×⎝⎛⎭⎫132⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n －11－13－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝23－2(n ＋1)3×⎝⎛⎭⎫13n，∴R n ＝1－n ＋13n .第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·乌鲁木齐第一次诊断)已知等比数列{a n }和等差数列{b n }均是首项为2，各项为正数的数列，且b 2＝4a 2，a 2b 3＝6.(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)求使ab n <0.001成立的正整数n 的最小值． 解：(1)设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2＋d ＝4×2q ，(2＋2d )·2q ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2，q ＝12，，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－5，q ＝－38.(舍)∴a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －2，b n ＝2n .(2)由(1)得ab n ＝a 2n ＝⎝⎛⎭⎫122n －2，∵ab n <0.001，即⎝⎛⎭⎫122n －2<0.001，∴22n －2>1 000， ∴2n －2≥10，即n ≥6，∴满足题意的正整数n 的最小值为6.2．(2014·江南十校联考)已知直线l n ：y ＝x －2n 与圆C n ：x 2＋y 2＝2a n ＋n 交于不同的两点A n 、B n ，n ∈N ＋，数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝14|A n B n |2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1(n 为奇数)a n (n 为偶数)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意知，圆C n 的圆心到直线l n 的距离d n ＝n ，圆C n 的半径r n ＝2a n ＋n ，∴a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12|A n B n |2＝r 2n －d 2n ＝(2a n ＋n )－n ＝2a n ， 又a 1＝1，∴a n ＝2n －1. (2)当n 为偶数时，T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝[1＋5＋…＋(2n －3)]＋(2＋23＋…＋2n －1) ＝n (n －1)2＋2(1－2n )1－4＝n 2－n 2＋23(2n －1)． 当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＋1＝(n ＋1)2－(n ＋1)2＋23(2n ＋1－1)＝n 2＋n 2＋23(2n ＋1－1)， 而T n ＋1＝T n ＋b n ＋1＝T n ＋2n，∴T n ＝n 2＋n 2＋13(2n －2)． ∴T n ＝⎩⎨⎧n 2－n 2＋23(2n －1)(n 为偶数)n 2＋n 2＋13(2n －2)(n 为奇数).3.(创新题)已知点A (1,0)，B (0,1)和互不相同的点P 1，P 2，P 3，…，P n ，…，满足＝a n ＋b n (n ∈N ＋)，其中{a n }，{b n }分别为等差数列和等比数列，O 为坐标原点，若P 1是线段AB 的中点．(1)求a 1，b 1的值．(2)点P 1，P 2，P 3，…，P n ，…能否在同一条直线上？请证明你的结论．解：(1)P 1是线段AB 的中点⇒＝12＋12，又＝a 1＋b 1，且，不共线，由平面向量基本定理，知a 1＝b 1＝12. (2)由＝a n ＋b n (n ∈N ＋)⇒＝(a n ，b n )，设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则由于P 1，P 2，P 3，…，P n ，…互不相同，所以d ＝0，q ＝1不会同时成立．若d ＝0，q ≠1，则a n ＝a 1＝12(n ∈N ＋) ⇒P 1，P 2，P 3，…，P n ，…都在直线x ＝12上； 若q ＝1，d ≠0，则b n ＝12为常数列 ⇒P 1，P 2，P 3，…，P n ，…都在直线y ＝12上； 若d ≠0且q ≠1，P 1，P 2，P 3，…，P n ，…在同一条直线上⇔＝(a n －a n －1，b n －b n －1)与＝(a n ＋1－a n ，b n ＋1－b n )始终共线(n ≥2，n ∈N ＋)⇔(a n －a n －1)(b n ＋1－b n )－(a n ＋1－a n )(b n －b n －1)＝0⇔d (b n ＋1－b n )－d (b n －b n －1)＝0⇔b n ＋1－b n ＝b n －b n －1⇔q ＝1，这与q ≠1矛盾，所以当d ≠0且q ≠1时，P 1，P 2，P 3，…，P n ，…不可能在同一条直线上．。
2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：数 列 数列的简单应用(含答案)
第五章 数 列第5课时 数列的简单应用1. 已知等差数列{a n }的公差为2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________． 答案：－6解析：a 23＝a 1a 4，即(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8，所以a 2＝－6.2. 已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝________．答案：31解析：设{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54，得a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝12⎝⎛⎭⎫2×54－a 4＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12.a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2，∴a 1＝16，S 5＝16⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝31.3. 已知{a n }是公比为q 的等比数列，若a 4，a 5＋a 7，a 6成等差数列，则q ＝________．答案：12解析：a 4，a 5＋a 7，a 6成等差数列，∴ 2(a 5＋a 7)＝a 4＋a 6，∴ 2(a 4q ＋a 6q)＝a 4＋a 6，∴ q ＝12.4. 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是________．答案：3解析：a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d)2＝a 1(a 1＋16d)， 即a 1d －2d 2＝0.又d ≠0，∴a 1＝2d.公比q ＝a 5a 1＝6d2d＝3.5. 已知数列{a n }是各项都是正数的等比数列，若a 2，12a 3，2a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5＝________．答案：12解析：2×12a 3＝2a 1＋a 2，即a 1q 2＝2a 1＋a 1q ，q 2－q －2＝0，解得q ＝－1或2.∵ a n >0，q>0，∴ q ＝2.a 3＋a 4a 4＋a 5＝a 3＋a 4（a 3＋a 4）q ＝1q ＝12.6. 若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的积，则称该数列为“m 积数列”．若正项等比数列{a n }是一个“2 012积数列”，且a 1>1，则其前n 项的积最大时，n ＝________．答案：1 005或1 006解析：根据条件可知a 1a 2a 3…a 2012＝a 2012， 故a 1a 2a 3…a 2011＝1，即a 20111006＝1，故a 1006＝1，而a 1>1，故{a n }的公比0<q<1，则0<a 1007<1，a 1005>1，故数列{a n }的前n 项的积最大时，n ＝1005或1006.7. 如图，将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表．已知表中的第一列a 1，a 2，a 5，…构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列．若a 4＝5，a 86＝518，则d ＝________.1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…答案：1.5解析：第2行成公差为d 的等差数列，可得：a 2＝a 4－2d ＝5－2d ，第n 行的数的个数为2n －1，从第1行到第n 行的所有数的个数总和为n （1＋2n －1）2＝n 2，86＝92＋5，第10行的前几个数为：a 82，a 83，a 84，a 85，a 86，…，所以a 86是第10行第5个数，所以a 82＝a 86－4d ＝518－4d.第一列a 1，a 2，a 5，a 10，a 17，a 26，a 37，a 50，a 65，a 82，…构成一个公比为2的等比数列，故有a 82＝a 2·28518－4d ＝(5－2d)·28，解得d ＝1.5.8. 各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d(d>0)的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列，若a 4－a 1＝88，则q 的所有可能的值构成的集合为________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，87解析：设这四个数为a 1，a 1＋d ，a 1＋2d ，a 1＋88，其中a 1，d 均为正偶数，则(a 1＋2d)2＝(a 1＋d)(a 1＋88)，整理得a 1＝4d （22－d ）3d －88>0(注意体会这里用“a 1>0”而不用“a 1≥2”的好处，实际是一种估算能力)，所以(d －22)(3d －88)<0，即22<d<883，所以d 的所有可能值为24，26，28.当d ＝24时，a 1＝12，q ＝53；当d ＝26时，a 1＝2085(舍去)；当d ＝28时，a 1＝168，q ＝87，所以q 的所有可能值构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，87. 9. 已知等差数列{a n }中，首项a 1＝1，公差d 为整数，且满足a 1＋3<a 3，a 2＋5>a 4；数列{b n }满足b n ＝1a n ·a n ＋1，其前n 项和为S n .(1) 求数列{a n }的通项公式a n ；(2) 若S 2为S 1、S m (m ∈N *)的等比中项，求正整数m 的值．解：(1) 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3＜a 1＋2d ，a 1＋d ＋5>a 1＋3d ，解得32<d<52.又d ∈Z ，∴ d ＝2.∴ a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.(2) ∵ b n ＝1a n ·a n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴ S n ＝12[⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1]＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.∵ S 1＝13，S 2＝25，S m ＝m2m ＋1，S 2为S 1、S m (m ∈N )的等比中项，∴ S 22＝S m S 1，即⎝⎛⎭⎫252＝13·m 2m ＋1，解得m ＝12.10. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13＝34，S 3＝9. (1) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式；(2) 设数列{b n }的通项公式为b n ＝a na n ＋t，问： 是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m ≥3，m ∈N *)成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 13＝34，3a 2＝9，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋8d ＝17，a 1＋d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.故a n ＝2n －1，S n ＝n 2.(2) 由(1)知b n ＝2n －12n －1＋t .要使b 1，b 2，b m 成等差数列，必须2b 2＝b 1＋b m ，即2×33＋t＝11＋t ＋2m －12m －1＋t ，整理得m ＝3＋4t －1.因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.当t ＝2时，m ＝7；当t ＝3时，m ＝5；当t ＝5时，m ＝4.故存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m 成等差数列．11. 设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7. (1) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2) 试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．解：(1) 设公差为d ，则由a 22－a 25＝a 24－a 23，得－3d(a 4＋a 3)＝d(a 4＋a 3)．因为d ≠0，所以a 4＋a 3＝0，即2a 1＋5d ＝0.又S 7＝7，得7a 1＋7×62d ＝7，解得a 1＝－5，d ＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －7，前n 项和S n ＝n 2－6n.(2) (解法1)a m a m ＋1a m ＋2＝（2m －7）（2m －5）2m －3，设2m －3＝t ，则a m a m ＋1a m ＋2＝（t －4）（t －2）t ＝t ＋8t －6，所以t 为8的约数．因为t 是奇数，所以t 可取的值为±1，当t ＝1，m ＝2时，t ＋8t－6＝3，2×5－7＝3，是数列{a n }中的项；当t ＝－1，m ＝1时，t ＋8t－6＝－15，数列{a n }中的最小项是－5，不符合．所以满足条件的正整数m ＝2.(解法2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝（a m ＋2－4）（a m ＋2－2）a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数．又由(1)知a m ＋2为奇数，所以a m ＋2＝2m －3＝±1，即m ＝1，2.经检验，符合题意的正整数m 为2。
高考数学一轮总复习 5.5数列的综合应用练习-人教版高三全册数学试题
第五节 数列的综合应用时间：45分钟 分值：100分基础必做一、选择题1．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( )A.5－12 B.5＋12C.1－52D.5－12或5＋12解析 设{a n }的公比为q (q ＞0)，由a 3＝a 2＋a 1，得q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52.而a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝1＋52.答案 B2．据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟解析 设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…a n 则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n n －1d2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15.答案 C3．已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 2－a 26＋2a 10＝0，首项为18的等比数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 6＝a 6，则S 6＝( )A ．16 B.318 C.638D.6316解析 由2a 2－a 26＋2a 10＝0，∴4a 6＝a 26. ∵a 6≠0，∴a 6＝4.∴b 6＝4.又∵{b n }的首项b 1＝18，∴q 5＝b 6b 1＝32.∴q ＝2. ∴S 6＝18－4×21－2＝638.答案 C4．(2014·某某八校二联)对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{x n }1n n ＋1的图象上，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋…＋x 2 013＋x 2 014的值为( )A ．7 549B ．7 545C ．7 539D ．7 535解析 由已知表格列出点(x n ，x n ＋1)，(1,3)，(3,5)，(5,6)，(6,1)，(1,3)，…，即x 1＝1，x 2＝3，x 3＝5，x 4＝6，x 5＝1，…，数列{x n }是周期数列，周期为4,2 014＝4×503＋2，所以x 1＋x 2＋…＋x 2 014＝503×(1＋3＋5＋6)＋1＋3＝7 549.答案 A5．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x ，y 都有f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足f (S n ＋2)－f (a n )＝f (3)(n ∈N *)，则a n 为( )A ．2n －1B ．nC ．2n －1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1解析 由题意知f (S n ＋2)＝f (a n )＋f (3)(n ∈N *)，∴S n ＋2＝3a n ，S n －1＋2＝3a n －1(n ≥2)， 两式相减得，2a n ＝3a n －1(n ≥2)，又n ＝1时，S 1＋2＝3a 1＝a 1＋2， ∴a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公比为32的等比数列，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案 D6．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差即a 2 012－5＝( )A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 011解析 结合图形可知，该数列的第n 项a n ＝2＋3＋4＋…＋n ＋2.所以a 2 012－5＝4＋5＋…＋2 014＝4×2 011＋2 011×2 0102＝2 011×1 009.故选D.答案 D 二、填空题7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，则该数列前26项的和为________．解析 由于a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，所以a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝1，a 6＝－2，…，所以{a n }是周期为4的数列，故S 26＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2－1＋12＋1－2＝－10. 答案 －108．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．解析 当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2 000米．答案 2 0009．(2014·某某六校二模)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝25－n，数列{b n }的通项公式为b n ＝n ＋k ，设＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，a n ≤b n ，a n ，a n >b n ，若在数列{}中，c 5≤对任意n ∈N *恒成立，则实数k 的取值X围是________．解析 数列是取a n 和b n 中的最大值，据题意c 5是数列{}的最小项，由于函数y ＝25－n是减函数，函数y ＝n ＋k 是增函数，所以b 5≤a 5≤b 6或a 5≤b 5≤a 4，即5＋k ≤25－5≤6＋k 或25－5≤5＋k ≤25－4，解得－5≤k ≤－4或－4≤k ≤－3，所以－5≤k ≤－3.答案 [－5，－3] 三、解答题10．(2014·某某高考模拟考试)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N *)，求证：＋1<≤13. 解 (1)由a n ＋1＝2S n ＋1，① 得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，② ①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)， ∴a n ＋1＝3a n (n ≥2，n ∈N *)， 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，∴a n ＝3n －1.∵b 5－b 3＝2d ＝6，∴d ＝3，∴b n ＝3n －6. (2)证明：∵a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ，∴＝3n 3n ＋1＝n 3n ，∴＋1－＝1－2n3n ＋1<0，∴＋1<<…<c 1＝13，即＋1<≤13.11．已知{a n }是等差数列，公差为d ，首项a 1＝3，前n 项和为S n .令＝(－1)n S n (n ∈N *)，{}的前20项和T 20＝330.数列{b n }满足b n ＝2(a －2)dn －2＋2n －1，a ∈R .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＋1≤b n ，n ∈N *，求a 的取值X 围． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 因为＝(－1)nS n ，所以T 20＝－S 1＋S 2－S 3＋S 4＋…＋S 20＝330，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝330， 即10(3＋d )＋10×92×2d ＝330，解得d ＝3，所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n . (2)由(1)知b n ＝2(a －2)3n －2＋2n －1，b n ＋1－b n ＝2(a －2)3n －1＋2n －[2(a －2)3n －2＋2n －1]＝4(a －2)3n －2＋2n －1＝4·3n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2.由b n ＋1≤b n ⇔(a －2)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2≤0⇔a ≤2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2，因为2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2随着n 的增大而增大，所以n ＝1时，2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2取得最小值54.所以a ≤54.培优演练1．已知点(1，13)是函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若数列{1b n b n ＋1}的前n 项和为T n ，问满足T n >1 0002 009的最小正整数n 是多少？ 解 (1)因为f (1)＝a ＝13，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.a 1＝f (1)－c ＝13－c ，a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝f (2)－f (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132－13＝－29，a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝f (3)－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－227.又数列{a n }是等比数列，设其公比为q ，所以a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，所以c ＝1.又公比q ＝a 2a 1＝13，所以a n ＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)．因为S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝S n ＋S n －1(n ≥2)， 又b n >0，S n >0，所以S n －S n －1＝1.所以数列{S n }构成一个首项为1，公差为1的等差数列，S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，故S n ＝n 2.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1时，b 1＝1也适合此通项公式，所以b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋12n －1×2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 由T n ＝n 2n ＋1>1 0002 009，得n >1 0009，所以满足T n >1 0002 009的最小正整数n 为112. 2．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)证明：数列{b n }是等差数列；(2)若S n ＝(a 1－1)·(a 2－1)＋(a 2－1)·(a 3－1)＋…＋(a n －1)·(a n ＋1－1)，是否存在a ，b ∈Z ，使得a ≤S n ≤b 恒成立？若存在，求出a 的最大值与b 的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，知当n ≥2时，b n －1＝1a n －1－1，b n ＝1a n －1＝12－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1， 所以b n －b n －1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1(n ∈N *，n ≥2)．所以{b n }是首项为b 1＝1a 1－1＝－52，公差为1的等差数列． (2)由(1)，知b n ＝n －72.依题意，有S n ＝(a 1－1)·(a 2－1)＋(a 2－1)·(a 3－1)＋…＋(a n－1)·(a n ＋1－1)＝1b 1·1b 2＋1b 2·1b 3＋…＋1b n ·1b n ＋1＝1b 1－1b n ＋1＝－25－1n ＋1－72.设函数y ＝1x －72，当x >72时，y >0，y ′<0，则函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞上为减函数，故当n ＝3时，S n ＝－25－1n ＋1－72取最小值－125. 而函数y ＝1x －72在x <72时，y <0，y ′＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －722<0，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72上也为减函数， 故当n ＝2时，S n 取得最大值85.故a 的最大值为－3，b 的最小值为2.。
2015届高考理科数学一轮第五章数列复习题(带答案)
2015届高考理科数学一轮第五章数列复习题（带答案）第1课时数列的概念与简单的表示方法1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．对应学生用书P80]【梳理自测】一、数列的有关概念1．数列－3，7，－11，15，…的通项公式可能是()A．an＝4n－7B．an＝(－1)n(4n＋1)C．an＝(－1)n(4n－1)D．an＝(－1)n＋1(4n－1)2．已知数列{an}的通项公式为an＝nn＋1，则这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列3．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为()A．30B．31C．32D．33答案：1.C2.A3.B◆以上题目主要考查了以下内容：(1)数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．(2)数列的分类分类原则类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1＞an其中n∈N*递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an摆动数列从第2项起有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项.(3)数列的表示法①列举法：a1，a2，a3，…，an，…；②图象法：数列可用一群孤立的点表示；③解析法(公式法)：通项公式或递推公式．(4)数列的通项公式如果数列{an}的第n项与项数n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．二、Sn与an的关系1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．642．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1，2，3，…)，则通项公式an＝________．答案：1.A2.2n－11◆以上题目主要考查了以下内容：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.【指点迷津】1．一种特殊性数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．数列的图象是一群孤立的点．2．与集合的两个区别(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列，这有别于集合中元素的无序性．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现．对应学生用书P81]考向一由数列的前几项归纳数列的通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1，7，－13，19，…；(2)0.8，0.88，0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…；(4)32，1，710，917，…；(5)0，1，0，1，….【审题视点】观察数列中每项的共同特征及随项数变化规律，写通项公式．【典例精讲】(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴an＝891－110n.(3)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，23－323，24－324，…，∴an＝(－1)n•2n－32n.(4)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3，5，7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，因此可得它的一个通项公式为an＝2n＋1n2＋1.(5)an＝0（n为奇数）1（n为偶数）或an＝1＋（－1）n2或an＝1＋cosnπ2.【类题通法】1.据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征．2．观察、分析要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决．3．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式所得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．1．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)2，0，2，0，…；(2)12，34，78，1516，…；(3)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(4)7，77，777，7777，….解析：(1)an＝2（n为奇数），0（n为偶数）.(2)an＝2n－12n.(3)an＝(－1)n1n（n＋1）.(4)an＝79×(10n－1)．考向二由Sn求an(2014•湖南省高三检测)已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f(x•y)＝f(x)＋f(y)，若数列{an}的前n项和为Sn，且满足f(Sn＋2)－f(an)＝f(3)(n∈N*)，则an为()A．2n－1B．nC．2n－1D．(32)n－1【审题视点】利用函数单调性把f(Sn＋2)－f(an)＝f(3)转化为Sn与an的关系，利用Sn－Sn－1＝an，求an.【典例精讲】由题意知f(Sn＋2)＝f(an)＋f(3)(n∈N*)，∴Sn＋2＝3an，Sn－1＋2＝3an－1(n≥2)，两式相减得，2an＝3an－1(n≥2)，又n＝1时，S1＋2＝3a1＝a1＋2，∴a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公比为32的等比数列，∴an＝(32)n－1.【答案】D【类题通法】已知Sn求an时应注意的问题(1)应重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论；特别注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2.(2)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”．(3)由Sn－Sn－1＝an，推得an，当n＝1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝S1（n＝1），Sn－Sn－1（n≥2）.。
2015届高考数学总复习配套课件：5-5 数列的综合应用
太 阳
r1＋rn 1＋rn－1a.
书 业 有
限
公
司
菜 单 隐藏
第八页，编辑于星期五：十点 十四分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
3．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时
悟典题
能力 提升
将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌
金 太
数，注意数列中相关限制条件的转化．
阳
书
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第十七页，编辑于星期五：十点 十四分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
变式训练
研考向
2．(2013年高考全国新课标卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知
要点
探 究 S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．
探究
1．对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题
悟典题
能力
提 升 目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过
提素能 高效
分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知
训练
识解决问题． 山
2．分期付款模型
东 金
设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为b，分n期还完，则b＝
悟典题
能力 提升
＝38n.
提素能 高效
第二种付酬方式每天金额组成的数列{bn}是首项为4，公差为4的等
训练
差数列，
山
则Bn＝4n＋nn2－1×4＝2n2＋2n.
东 金 太
第三种付酬方式每天金额组成的数列{cn}是首项为0.4，公比为2的
2015年高考数学(苏教版,理)一轮题库：第6章 第5讲 数列的综合应用
第5讲数列的综合应用一、填空题1．已知各项均不为0的等差数列{a n｝，满足2a3－a错误!＋2a11＝0，数列｛b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________。
解析因为｛a n}为等差数列，所以a3＋a11＝2a7,所以已知等式可化为4a7－a错误!＝0，解得a7＝4或a7＝0(舍去），又{b n｝为等比数列，所以b6b8＝b错误!＝a错误!＝16.答案162．在数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a n＋2－a n＝1＋(－1)n（n∈N＊）,则S100＝________。
解析n为奇数时，a1＝a3＝a5＝…＝a99＝1;n为偶数时，a2＝2,a4＝4，a6＝6，…,a100＝2＋49×2＝100.所以S100＝(2＋4＋6＋…＋100）＋50＝502＋1002＋50＝2600。
答案 2 6003．各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若S10＝2,S30＝14，则S40＝________。
解析设S20＝x，S40＝y，则由题意，得2，x－2，14－x，y－14成等比数列．于是由(x－2）2＝2（14－x）及x〉0，得x＝6，所以y－14＝错误!＝错误!＝16,y＝30。
答案304．等比数列{a n｝中，a1＝1,a n＝错误!(n＝3，4，…)，则{a n}的前n项和为________．解析设a n＝q n－1,则由a n＝错误!，得q2＝错误!，解得q＝1或q＝－错误!.所以a n＝1或a n＝错误!n－1,从而S n＝n或S n＝错误!＝23错误!.答案n或23错误!5．对正整数n，若曲线y＝x n(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n,则数列错误!的前n项和为________．解析由题意，得y′＝nx n－1－（n＋1)x n，故曲线y＝x n（1－x）在x＝2处的切线的斜率为k＝n2n－1－（n＋1)2n，切点为（2,－2n)，所以切线方程为y＋2n＝k（x－2)．令x＝0得a n＝(n＋1）2n，即错误!＝2n，则数列错误!的前n项和为2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1－2.答案2n＋1－26．在数列｛a n}中，若a2，n－a2n＋1＝p(n≥1，n∈N*,p为常数），则称｛a n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若｛a n｝是等方差数列，则｛a错误!｝是等差数列；②{（－1）n｝是等方差数列；③若｛a n｝是等方差数列，则{a kn}(k∈N＊，k为常数)也是等方差数列．其中真命题的序号为________(将所有真命题的序号填在横线上）．解析①正确，因为a错误!－a错误!＝p，所以a错误!－a错误!＝－p，于是数列｛a2n}为等差数列．②正确，因为(－1）2n－(－1)2(n＋1)＝0为常数,于是数列｛(－1）n｝为等方差数列．③正确，因为a错误!－a错误!＝(a错误!－a错误!)＋（a错误!－a错误!）＋(a错误!－a错误!）＋…＋（a错误!－a2，kn＋k)＝kp，则{a kn｝(k∈N＊，k为常数）也是等方差数列．答案①②③7．设{a n｝是公比为q的等比数列，|q｜>1,令b n＝a n＋1（n＝1，2，…）,若数列｛b n}有连续四项在集合｛－53，－23，19，37，82}中，则6q＝________.解析由题意知｛a n｝有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，四项－24,36，－54,81成等比数列，公式为q＝－错误!，6q＝－9。
2015届高考数学(理)一轮复习真题汇编模拟训练5-5《数列的综合应用》
1.[2014·洛阳统考]等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为( )A ．2B ．3 C.12D.13解析：因为a n ＝a 1q n －1，又4S 2＝S 1＋3S 3，所以4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，解得{a n }的公比q ＝13.故选D.答案：D2. [2014·湖北模拟]已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( ) A. 1＋ 2 B. 1－ 2 C. 3＋2 2D. 3－2 2解析：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，则由题意得a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，q2－2q －1＝0，解得q ＝1± 2.又q >0，所以q ＝1＋2，所以a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2a 7＋a 8a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋22，选C.答案：C3. [2014·河北教学质量监测]已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －λ)(1a n＋1)(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围为( )A. λ>2B. λ>3C. λ<2D. λ<3解析：由已知可得1a n ＋1＝2a n＋1，1a n ＋1＋1＝2(1a n ＋1)，1a 1＋1＝2≠0，则1a n＋1＝2n ，b n ＋1＝2n(n－λ)，b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ≥2，n ∈N *)，b 1＝－λ也适合上式，故b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ∈N *)．由b n ＋1>b n ，得2n(n －λ)>2n －1(n －1－λ)，即λ<n ＋1恒成立，而n ＋1的最小值为2，故实数λ的取值范围为λ<2.答案：C4. [2013·江西高考]某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析：S n ＝－2n1－2＝2n ＋1－2≥100，得n ≥6.答案：65. [2013·重庆高考]已知{a n}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.解析：因为{a n}为等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，所以a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2a1＝2，所以S8＝64.答案：64。
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第五节 数列的综合应用时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( ) A.5－12 B.5＋12 C.1－52D.5－12或5＋12解析 设{a n }的公比为q (q ＞0)，由a 3＝a 2＋a 1，得q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52.而a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝1＋52.答案 B2．据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟解析 设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…a n 则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n (n －1)d 2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15.答案 C3．设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n解析 由f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1得m ＝2，a ＝1. ∴f (x )＝x 2＋x ，则1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 答案 A4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设其前n项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值31解析 ∵a n ＝log 2n ＋1n ＋2＝log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝log 22－log 23＋log 23－log 24＋…＋log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)＝1－log 2(n ＋2)．由S n <－5，得log 2(n ＋2)>6，即n ＋2>64，∴n >62，∴n 有最小值63. 答案 A5．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64解析 依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除，得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…成等比数列．而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2·24＝32，a 11＝1·25＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64. 答案 D6．抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交点分别为A n ，B n (n ∈N *)，以|A n B n |表示该两点的距离，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 010B 2 010|的值是( )A.2 0092 010 B.2 0102 011 C.2 0112 012D.2 0122 013解析 令y ＝0，则(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1＝0. 设两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2n ＋1n 2＋n ，x 1x 2＝1n 2＋n .解得x 1＝1n ，x 2＝1n ＋1.∴|A n B n |＝1n －1n ＋1.∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A n B n |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. ∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 010B 2 010|＝2 0102 011. 答案 B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，则该数列前26项的和为________．解析 由于a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n ，所以a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝1，a 6＝－2，…， 所以{a n }是周期为4的数列，故S 26＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2－1＋12＋1－2＝－10.答案 －108．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________．解析 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]＋33＝33＋n 2－n ，所以a n n ＝33n ＋n －1.设f (x )＝33x ＋x －1，则f ′(x )＝－33x 2＋1. 令f ′(x )>0，得x >33或x <－33.所以f (x )在(33，＋∞)上是增函数，在(0，33)上是减函数． 因为n ∈N *，所以当n ＝5或n ＝6时，f (n )取最小值． 因为f (5)＝535，f (6)＝636＝212，535>212， 所以a n n 的最小值为212. 答案 2129．(2013·安徽卷)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n .若a 1＝1 ，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．解析 ∵A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥…∥A n B n ，∴A 1A 2A 2A 3＝B 1B 2B 2B 3，…，不妨设OA 1＝OB 1，OA 2＝OB 2，OA 3＝OB 3，…，OA n ＝OB n .梯形A 1A 2B 2B 1，A 2A 3B 3B 2，…，A n －1A n B n B n －1的面积均为S ，∠O ＝θ.梯形A 1A 2B 2B 1的面积为S ，则S ＝12a 22·sin θ－12a 21·sin θ＝12×22sin θ－12×12sin θ＝32sin θ.梯形A 2A 3B 3B 2的面积 S ＝12a 23·sin θ－12a 22·sin θ＝32sin θ，∴可解得a 3＝7，同理a 4＝10，…，故a n ＝3n －2. 答案 a n ＝3n －2三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，(n ∈N *)．(1)求f (x )的解析式；(2)若数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式．解 (1)由f ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2n ，16n 2a －4nb ＝0. 解之得a ＝12，b ＝2n ，即f (x )＝12x 2＋2nx (n ∈N *)． (2)由1a n ＋1＝1a n ＋2n ，∴1a n ＋1－1a n＝2n .由累加得1a n－14＝n 2－n ，∴a n ＝4(2n －1)2(n ∈N *)． 11．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新，证明：须在第9年初对M 更新．解 (1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列．a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ＞6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6.因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎨⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，n ≥7.(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)， A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ； 当n ≥7时，由于S 6＝570，故 S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6 ＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，A n ＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6n. 因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列．又A 8＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫3428＝824764＞80，A 9＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫3439＝767996＜80.所以须在第9年初对M 更新． 12．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n内的整点个数为a n (n ∈N *)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1.若对于一切的正整数n ，总有T n ≤m ，求实数m 的取值范围．解 (1)由x ＞0，y ＞0,3n －nx ＞0，得0＜x ＜3. ∴x ＝1，或x ＝2.∴D n 内的整点在直线x ＝1和x ＝2上．记直线y ＝－nx ＋3n 为l ，l 与直线x ＝1，x ＝2的交点的纵坐标分别为y 1，y 2.则y 1＝－n ＋3n ＝2n ，y 2＝－2n ＋3n ＝n . ∴a n ＝3n (n ∈N *)．(2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n )＝3n (n ＋1)2， ∴T n ＝n (n ＋1)2n .∴T n ＋1－T n ＝(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1－n (n ＋1)2n ＝(n ＋1)(2－n )2n ＋1.∴当n ≥3时，T n ＞T n ＋1，且T 1＝1＜T 2＝T 3＝32. 于是T 2，T 3是数列{T n }中的最大项，故m ≥T 2＝32.。