2022中考数学模拟试题含答案(精选5套)
2022年中考全真模拟考试《数学试题》含答案解析
数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题(共10小题，每小题只有一个选项是符合题意的)1. 9算术平方根是( )A. -3B. 3C. 13-D. 132. 如图所示的几何体的主视图是( )A. B. C. D. 3. 如图，AC 与BD 交于点，//,45,105AB CD A AOB ∠=︒∠=︒，则D ∠的度数为( )A. 30B. 40︒C. 60︒D. 75︒4. 若正比例函数y kx =的图象经过点，且点与点()1,4A '-关于轴对称，则的值为( )A. 14 B. 14- C. 4 D. -45. 下列计算正确的是( )A. 235x y xy +=B. 1055x x x ÷=C. ()326xy xy =D. 222()x y x y -=+6. 如图，BD 是ABC 的角平分线，DE 是BC 的垂直平分线，90,2A AD ∠=︒=，则CD 的长为()A. 33B. 6C. 5D. 47. 在同一平面直角坐标系中，直线41y x =-与直线y x b =-+交点不可能在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为和，点，分别为AD ，CD 边上的点，为BF 的中点，连接HG ，则HG 的长为( )A. 22B.C. 15D. 17 9. 如图，ABC 内接于O ，连接AO 并延长交BC 于点，若70,50B C ∠=︒∠=︒，则ADB ∠的度数是( )A. 70︒B. 80︒C. 82︒D. 85︒10. 二次函数y ＝ax 2﹣8ax (a 为常数)的图象不经过第三象限，在自变量x 的值满足2≤x ≤3时，其对应的函数值y 的最大值为﹣3，则a 的值是( )A. 14B. ﹣14C. 2D. ﹣2二、填空题(共4小题)11. 不等式125x ->的解集是__________．12. 已知一个多边形的内角和是外角和的32，则这个多边形的边数是 . 13. 如图，双曲线(0)k y x x =>)经过矩形OABC 的边,AB BC 上的点,F E ，其中13CE CB =，13AF AB =且四边形OEBF 的面积为8，则的值为__________．14. 如图，在菱形ABCD 中， 120BAD ∠=︒，点为边AB 的中点，点在对角线BD 上且 6PE PA +=，则AB 长的最大值为__________．三、解答题(解答应写出过程)15. 计算13128|25|5-⎛⎫⨯--+ ⎪⎝⎭16. 解分式方程：214111x x x ++=--． 17. 如图，在ABC 中，为边AB 上一点，用尺规在边AC 上求作一点E ，使ADEABC ．(保留作图痕迹，不写作法)18. 如图，在ABC 中，AB BC =，点为AC 的中点，且DCA ACB ∠=∠，DE 的延长线交AB 于点．求证： AF CD =．19. 为了增强学生的安全意识，某校组织了次”安全如识”测试，阅卷后,校团委随机抽取了部分学生的考卷进行了分析统计，发现测试成绩 (分)的最低分为60分．最高分为满分100分．并绘制了如下不完整的统计图表：根据以上信息，解答下列问题：(1)补全上面的统计图表;(2)所抽取学生的测试成绩的中位数落在__________分数段内;(3)已知该校共有2000名学生参加本次”安全知识”测试，请估计该校有多少名学生的测试成绩不低于80分．20. 小亮和小刚利用学过的测量知识测量一座房子的高度，如图所示，他们先在地面上的点处竖直放了一根标杆CD，在房子和标杆之间的地面上平放一平面镜，并在镜面上做了一个标记，小刚来回移动平面镜，当这个标记与地面上的点重合时，小亮在标杆顶端处刚好看到房子的顶端点在镜面中的像与镜面上的标记重合，此时，在处测得房子顶端点的仰角为45 ，点到点的距离为0.8米．标杆CD的长度为1米，已知点、均垂直于BD，求房子的高度AB(平面镜的厚度忽略不计)D E B、、在同一水平直线上，且CD AB21. 儿童用药的剂量常常按他们的体重来计算，某种药品，体重10kg 的儿童，每次正常服用量为110mg ;体重15kg 的儿童每次正常服用量为160mg ;体重在550kg 范围内时，每次正常服用量()y mg 是儿童体重()x kg 的一次函数中，现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用略高一些，但不能超过正常服用量的1．2倍，否则会对儿童的身体造成较大损害．(1)求与之间函数关系式，并写出自变量的取值范围;(2)若该药品一种包装规格为300mg /袋，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药? 22. 在”新冠肺炎”肆虐时，无数抗疫英雄涌现，七年级(2)班老师为让同学们更深人地了解抗疫英雄钟南山、李兰娟、李文亮、张文宏(依次记为A 、B 、C 、D )的事迹，设计了如下活动：取四张完全相同的卡片．分别写上A 、B 、C 、D )四个标号，然后背面朝上放置在水平桌面上，搅匀后每个同学从中随机抽取一张卡片，记下标号后放回，老师要求每位同学依据抽到的卡片上的标号查找相对应抗疫英雄的资料，并做成小报．(1)求小欢同学抽到卡片上是钟南山的概率;(2)请用列表法或画树状图的方法，求小平和小安两位同学抽到的卡片上是不同英雄的概率．23. 如图．AB 是O 的直径，为O 上一点， 90CHB ∠=︒，HB 的延长线交O 于点，连接CD ，且BCH D ∠=∠．(1)求证：CH 是O 的切线;(2)若1BD BH ==，求CH 的长．24. 已知抛物线2:3L y ax bx =++与铀交于()()1,03,0A B 、两点，与轴交于点，顶点为．(1)求抛物线的表达式;(2)若将抛物线沿轴平移后得到抛物线，抛物线经过点(4,1)且与轴交于点，顶点为．在抛物线上是否存在一点M 使3MCC MDD S S ''=若存在，求出点M 的坐标;若不存在，请说明理由．25. 问题提出(1)如图，AD 是ABC 的中线，则+AB AC __________2AD ;(填” ““ “或” “)问题探究(2)如图，在矩形ABCD 中，3,4CD BC ==，点为BC 的中点，点为CD 上任意一点，当AEF 的周长最小时，求CF 的长;问题解决(3)如图，在矩形ABCD 中，4,2AC BC ==，点为对角线AC 的中点，点为AB 上任意一点，点Q 为AC 上任意一点，连接PO PQ BQ 、、，是否存在这样的点Q ，使折线OPQB 的长度最小?若存在，请确定点Q 的位置，并求出折线OPQB 的最小长度;若不存在，请说明理由．答案与解析一、选择题(共10小题，每小题只有一个选项是符合题意的)1. 9的算术平方根是( )A. -3B. 3C. 13-D. 13 【答案】B 【解析】【分析】根据算术平方根概念即可求出结果．【详解】解：9的算术平方根是3，故选B.【点睛】本题主要考查了算术平方根概念的运用，解题注意算术平方根和平方根的区别． 2. 如图所示的几何体的主视图是( )A.B. C. D.【答案】A【解析】【分析】 根据主视图的定义即可得．【详解】由主视图的定义得：这个几何体的主视图由两部分构成，两层都是长方形，且第二层的长方形位于第一层的右上边观察四个选项可知，只有A 选项符合故选：A ．【点睛】本题考查了主视图的定义，熟记定义是解题关键．3. 如图，AC 与BD 交于点，//,45,105AB CD A AOB ∠=︒∠=︒，则D ∠的度数为( )A. 30B. 40︒C. 60︒D. 75︒【答案】A【解析】【分析】 先根据三角形的内角和定理可求出30B ∠=︒，再根据平行线的性质即可得．【详解】45,105A AOB ∠=︒∠=︒18030B A AOB ∴∠=︒-∠-∠=︒//AB CD30D B ∴∠=∠=︒故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟记平行线的性质是解题关键．4. 若正比例函数y kx =的图象经过点，且点与点()1,4A '-关于轴对称，则的值为( ) A. 14 B. 14- C. 4 D. -4【答案】C【解析】【分析】先根据点坐标关于轴对称的变化规律得出点A 的坐标，再代入正比例函数的解析式即可得．【详解】点坐标关于轴对称的变化规律：横坐标变为相反数，纵坐标不变点与点()1,4A '-关于轴对称(1,4)A ∴将点(1,4)A 代入y kx =得：4k =故选：C ．【点睛】本题考查了点坐标关于轴对称的变化规律、正比例函数，掌握点坐标关于轴对称的变化规律是解题关键．5. 下列计算正确的是( )A. 235x y xy +=B. 1055x x x ÷=C. ()326xy xy =D. 222()x y x y -=+ 【答案】B【解析】【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、积的乘方运算法则和完全平方公式计算各项，进而可得答案．【详解】解：A 、2x 与3y 不是同类项，不能合并，所以本选项计算错误，不符合题意;B 、1055x x x ÷=，所以本选项计算正确，符合题意;C 、()32366xy x y xy =≠，所以本选项计算错误，不符合题意;D 、22222()2x y x xy y x y -=-+≠+，所以本选项计算错误，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的除法法则、积的乘方运算法则和整式乘法的完全平方公式等知识，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关键．6. 如图，BD 是ABC 的角平分线，DE 是BC 的垂直平分线，90,2A AD ∠=︒=，则CD 的长为( )A. 33B. 6C. 5D. 4【答案】D【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC ，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形的性质解答．【详解】∵ED 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ，∴∠C=∠DBC ，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD=∠DBC ，∵∠A=90°，∴∠C+∠ABC=90°，即∠C+∠ABD+∠DBC=90°，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∵DA ⊥BA ，DE ⊥BC ，∴DE=AD=2，∴CD=2ED=2AD=4，故选：D ．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．7. 在同一平面直角坐标系中，直线41y x =-与直线y x b =-+的交点不可能在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据直线41y x =-图象即可得．【详解】由一次函数的图象特征可知，直线41y x =-的图象经过第一、三、四象限则交点不可能在第二象限故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的图象特征，掌握理解一次函数的图象特征是解题关键．8. 如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为和，点，分别为AD ，CD 边上的点，为BF 的中点，连接HG ，则HG 的长为( ) A. 22 B. 1517【答案】D【解析】【分析】延长GF 交AB 于点N ，过点H 作HM ⊥FN ，证得HM 是△FNB 的中位线，得到HM=1，GM=4，再利用勾股定理求得HG 即可.【详解】如图，延长GF 交AB 于点N ，过点H 作HM ⊥FN ，则HM ∥AB ，∵为BF 的中点，∴M 为FN 的中点，∴HM 是△FNB 的中位线，∴HM=12NB=12(5-3)=1，FM=12FN=12(5-3)=1， ∴GM=3+1=4，∴HG=222241GM HM +=+=17,故选：D.【点睛】此题考查正方形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，题中的辅助线的使用是解题的关键，将线段HG 放在具体图形中来求值.9. 如图，ABC 内接于O ，连接AO 并延长交BC 于点，若70,50B C ∠=︒∠=︒，则ADB ∠的度数是( )A. 70︒B. 80︒C. 82︒D. 85︒【答案】A【解析】【分析】 延长AD 交⊙O 于E ，连接CE ，根据圆周角定理得到∠E=∠B=70°，∠ACE=90°，求得∠CAE=90°-70°=20°，根据三角形内角和即可得到结论．【详解】解：延长AD交⊙O于E，连接CE，则∠E=∠B=70°，∠ACE=90°，∴∠CAE=90°-70°=20°，∵∠B=70°，∠ACB=50°，∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=60°，∴∠BAD=∠BAC-∠CAE=40°，∴∠ADB=180°-70°-40°=70°，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．10. 二次函数y＝ax2﹣8ax(a为常数)的图象不经过第三象限，在自变量x的值满足2≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为﹣3，则a的值是( )A. 14B. ﹣14C. 2D. ﹣2【答案】A【解析】【分析】根据题意首先求出该二次函数的对称轴，然后进一步结合题意判断出0a>，最后利用二次函数的性质进一步求解即可．【详解】∵二次函数y＝x2−8x＝ (x−4)2−16，∴该函数的对称轴是直线x＝4，又∵二次函数y＝x2−8x(为常数)的图象不经过第三象限，∴0a>，∵在自变量x的值满足2≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为−3，∴当x＝2时，×22−8×2＝−3，解得：＝14，故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.二、填空题(共4小题)11. 不等式125x ->的解集是__________．【答案】2x <-【解析】【分析】根据解一元一次不等式的方法解答即可．【详解】解：不等式125x ->即为：24x ->，解得：2x <-．故答案为：2x <-．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，属于基础题型，熟练掌握解一元一次不等式的方法是关键． 12. 已知一个多边形的内角和是外角和的32，则这个多边形的边数是 . 【答案】5【解析】【详解】解：根据内角和与外角和之间的关系列出有关边数n 的方程求解即可：设该多边形的边数为n 则(n ﹣2)×180=32×360．解得：n=5． 13. 如图，双曲线(0)k y x x =>)经过矩形OABC 的边,AB BC 上的点,F E ，其中13CE CB =，13AF AB =且四边形OEBF 的面积为8，则的值为__________．【答案】4【解析】【分析】设(,)(,)k k E a F b a b ，先根据13AF AB =可得出3b a =，从而可得3OABC S k =，再根据双曲线的几何意义可得12OCE OAF S S k ==，然后根据OABC OCE OAF OEBF S S S S =++四边形列出等式求解即可．【详解】四边形OABC 是矩形90OCB OAB ∴∠=∠=︒ 设(,)(,)k k E a F b a b ，则0,0a b >> ,,,k k CE a AB OA b AF a b∴==== 13AF AB =13k k b a ∴=⋅，即3b a = 33OABC k k OA AB b a k aS a ⋅=⋅=⋅∴== 点E 、F 在双曲线k y x=上 12OCE OAF S S k ∴== 又四边形OEBF 的面积为8 OABC OCE OAF OEBF S S S S ∴=++四边形，即113822k k k =++ 解得4k =故答案为：4．【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义等知识点，掌握理解反比例函数比例系数的几何意义是解题关键．14. 如图，在菱形ABCD 中， 120BAD ∠=︒，点为边AB 的中点，点在对角线BD 上且 6PE PA +=，则AB 长的最大值为__________．【答案】3【解析】【分析】连接PC ，CE ，AC ;由已知条件可以得出PE+PC=PE+PA=1≥CE (当P 是AE 与DB 的交点时取等号)，再利用等边三角形的性质得出3，进而求出AB 长的最大值． 【详解】解：连接PC ，CE ，AC ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC，AP=PC，∴PE+PC=PE+PA=6≥CE，∵∠DAB=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵点E为线段AB的中点，∴AE=BE，∴∠AEC=90°，∠BCE=30°，∴CE=BC·cos30°=32BC=32AB≤6，所以AB≤43，即AB长的最大值是43，故答案为：43.【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质、菱形的性质和锐角三角函数等有关知识，得出△ABC是等边三角形，3是解决问题的关键．三、解答题(解答应写出过程)15.1 31 2825|5-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【答案】32【解析】【分析】分别化简各项，再作加减法即可．【详解】解：原式=2(52)5+ 22525=32=．【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．16. 解分式方程：214111x x x ++=--． 【答案】3x =-【解析】【分析】首先方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再代入最简公分母检验即可．【详解】解：方程两边乘以(1)(1)x x +-得：2(1)4(1)(1)x x x ++=+-， 解这个方程得：3x =-，检验：当3x =-时，(1)(1)0x x +-≠，3x =-是原方程的解;原方程的解是：3x =-．【点睛】本题考查了分式方程的解法、一元一次方程方程的解法;熟练掌握分式方程的解法，方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．17. 如图，在ABC 中，为边AB 上一点，用尺规在边AC 上求作一点E ，使ADEABC ．(保留作图痕迹，不写作法)【答案】图见解析．【解析】【分析】要使ADE ABC ，则只需过点D 作//DE BC 即可，再按照过直线外一点，作已知直线的平行线的方法尺规作图即可．【详解】如图，分以下四步：(1)以点B 为圆心，小于AD 长为半径画弧，分别交AB 、BC 于点G 、F(2)以点D 为圆心，BG 长为半径画弧，交AD 于点M(3)以点M 为圆心，GF 长为半径画弧，与(2)所画的弧交ABC 内于点N(4)连接DN ，并延长DN ，交AC 于点E则点E 即为所作理由如下：由作图过程可知：BG BF DM DN ===，GF MN =在BFG 和DNM 中，BF DN BG DM GF MN =⎧⎪=⎨⎪=⎩()BFG DNM SSS ∴≅B MDN ∴∠=∠//DE BC ∴ADE ABC ∴．【点睛】本题考查了平行线的尺规作图、三角形全等的判定定理与性质、平行线的判定、相似三角形的判定等知识点，依据相似三角形的判定方法转化所求问题是解题关键．18. 如图，在ABC 中，AB BC =，点为AC 的中点，且DCA ACB ∠=∠，DE 的延长线交AB 于点．求证： AF CD =．【答案】证明见解析【解析】【分析】由AB=BC 知∠A=∠ACB ，结合∠DCA=∠ACB 得∠A=∠DCA ，利用”ASA ”证△AEF ≌△CED ，从而得出答案．【详解】解：证明：∵AB BC =，∴A ACB ∠=∠，DCA ACB ∠=∠，∴A DCA ∠=∠．∵点为AC 的中点，∴AE CE =又∵AEF CED ∠=∠，∴AEF CED ASA ≌（）△△， ∴AF CD =．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等边对等角的性质和全等三角形的判定与性质．19. 为了增强学生的安全意识，某校组织了次”安全如识”测试，阅卷后,校团委随机抽取了部分学生的考卷进行了分析统计，发现测试成绩 (分)的最低分为60分．最高分为满分100分．并绘制了如下不完整的统计图表：根据以上信息，解答下列问题：(1)补全上面的统计图表;(2)所抽取学生的测试成绩的中位数落在__________分数段内;(3)已知该校共有2000名学生参加本次”安全知识”测试，请估计该校有多少名学生的测试成绩不低于80分．【答案】(1)补全图表见解析;(2) 8090x ≤<;(3)1300名【解析】【分析】(1)先求出抽取的学生人数，再算出7080x ≤<的频数，再用30÷总人数得到90100x ≤≤的频率，最后补全统计图表;(2)根据四个组的频数可得中位数落在的组;(3)用2000乘以8090x ≤<和90100x ≤≤的频率之和即可.【详解】解：(1)15÷0.15=100， 100×0.2=20，30÷100=0.3，补全的统计图表如解图所示： 分数段(分) 频数频率 6070x ≤<15 0.15 7080x ≤<20 0.20 8090x ≤< 350.35 90100x ≤≤30 0.30(2)由于四组的频数分别为：15，20，35，30，可得中位数落在8090x ≤<分数段内;(3) ()20000.350.3=1300⨯+(名)答：该校约有1300名学生的测试成绩不低于80分．【点睛】本题考查了频数统计表，和条形统计图，样本估计总体，中位数，解题的关键是理解题意，注意计算.20. 小亮和小刚利用学过的测量知识测量一座房子的高度，如图所示，他们先在地面上的点处竖直放了一根标杆CD ，在房子和标杆之间的地面上平放一平面镜，并在镜面上做了一个标记，小刚来回移动平面镜，当这个标记与地面上的点重合时，小亮在标杆顶端处刚好看到房子的顶端点在镜面中的像与镜面上的标记重合，此时，在处测得房子顶端点的仰角为45︒，点到点的距离为0.8米．标杆CD 的长度为1米，已知点D E B 、、在同一水平直线上，且CD AB 、均垂直于BD ，求房子的高度AB (平面镜的厚度忽略不计)【答案】房子的高度AB 为9米．【解析】【分析】先根据镜面的性质得出CED AEB ∠=∠，再根据相似三角形的判定与性质可得10.8AB BE=，设AB x =，从而可得08,0.80.8,1BE x CH x AH x ==+=-．，然后根据等腰直角三角形的判定与性质得出AH CH =，由此即可得出答案．【详解】如图，过点作CH AB ⊥于点则,1CH BD BH CD ===∵,CD BD AB BD ⊥⊥∴90CDE ABE ∠=∠=︒由题意知，CED AEB ∠=∠CDE ABE ∴~CD DE AB BE ∴=，即10.8AB BE= 设AB x =，则0.8BE x =0.80.8CH BD BE DE x ∴==+=+，1AH AB BH x =-=-在Rt ACH 中，45ACH ∠=︒∴AH CH =，即10.80.8x x -=+解得9x =(米)答：房子的高度AB 为9米．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．21. 儿童用药的剂量常常按他们的体重来计算，某种药品，体重10kg 的儿童，每次正常服用量为110mg ;体重15kg 的儿童每次正常服用量为160mg ;体重在550kg 范围内时，每次正常服用量()y mg 是儿童体重()x kg 的一次函数中，现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用略高一些，但不能超过正常服用量的1．2倍，否则会对儿童的身体造成较大损害．(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围;(2)若该药品的一种包装规格为300mg /袋，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药?【答案】(1)y=10x+10(5≤x≤50);(2)24≤x≤29.【解析】【分析】(1)根据体重10kg 的儿童，每次正常服用量为110mg ;体重15kg 的儿童每次正常服用量为160mg ;体重在5～50kg 范围内时，每次正常服用量y (mg )是儿童体重x (kg )的一次函数，可以求得y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围;(2)根据题意和(1)中的函数关系式，可以求得儿童的最大和最小体重，从而可以得到体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药．【详解】解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b (k≠0)，依题意有：1011015160k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1010 kb=⎧⎨=⎩，即y与x之间的函数关系式是y=10x+10(5≤x≤50);(2)当y=300时，300=10x+10，得x=29，当y=3001.2=250时，250=10x+10，得x=24，故24≤x≤29，即体重在24≤x≤29范围的儿童生病时可以一次服下一袋药．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是理解题意，利用一次函数的性质解答．22. 在”新冠肺炎”肆虐时，无数抗疫英雄涌现，七年级(2)班老师为让同学们更深人地了解抗疫英雄钟南山、李兰娟、李文亮、张文宏(依次记为A、B、C、D)的事迹，设计了如下活动：取四张完全相同的卡片．分别写上A、B、C、D)四个标号，然后背面朝上放置在水平桌面上，搅匀后每个同学从中随机抽取一张卡片，记下标号后放回，老师要求每位同学依据抽到的卡片上的标号查找相对应抗疫英雄的资料，并做成小报．(1)求小欢同学抽到的卡片上是钟南山的概率;(2)请用列表法或画树状图的方法，求小平和小安两位同学抽到的卡片上是不同英雄的概率．【答案】(1)14﹔(2)34．【解析】分析】(1)直接利用简单事件的概率公式即可得;(2)先画出树状图，再找出小平和小安两位同学抽到的卡片的所有可能的结果，然后找出抽到的两张卡片上是不同英雄的结果，最后利用概率公式计算即可得．【详解】(1)依题意，小欢同学抽取一张卡片共有4种结果，它们每一种出现的可能性都相等，其中，抽到的卡片上是钟南山的结果有1种则小欢同学抽到的卡片上是钟南山的概率为14P=﹔(2)依题意，画树状图如下：由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中，小平和小安两位同学抽到的卡片上是不同英雄的结果有12种 则所求的概率为123164P ==． 【点睛】本题考查了简单事件的概率计算、利用列举法求概率，较难的是题(2)，依据题意，正确画出树状图是解题关键．23. 如图．AB 是O 的直径，为O 上一点， 90CHB ∠=︒，HB 的延长线交O 于点，连接CD ，且BCH D ∠=∠．(1)求证：CH 是O 的切线;(2)若1BD BH ==，求CH 的长．【答案】(1)证明见解析;(2)2CH =【解析】【分析】(1)如图(见解析)，先根据圆周角定理可得90ACB ∠=︒，D A ∠=∠，再根据等腰三角形的性质可得A ACO ∠=∠，然后根据等量代换可得90BCH BCO ∠+∠=︒，最后根据圆的切线的判定即可得证;(2)先根据线段的和差可得2DH =，再根据相似三角形的判定与性质即可得．【详解】(1)如图，连接OC AC 、∵AB 是O 的直径∴90ACB ∠=︒，即90ACO BCO ∠+∠=︒∵OA OC =A ACO ∴∠=∠∴90A BCO ∠+∠=︒由圆周角定理得：D A ∠=∠又∵BCH D ∠=∠BCH A ∴∠=∠∴90BCH BCO ∠+∠=︒∴90HCO ∠=︒，即OC CH ⊥∴CH 是O 的切线;(2)∵1BD BH ==2DH BD BH ∴=+=∵,D BCH H H ∠=∠∠=∠∴DCH CBH ~ ∴DH CH CH BH =，即21CH CH = 解得2CH =或2CH =-不符题意，舍去) 故CH 2．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题(1)，通过作辅助线，利用到圆周角定理是解题关键．24. 已知抛物线2:3L y ax bx =++与铀交于()()1,03,0A B 、两点，与轴交于点，顶点为．(1)求抛物线的表达式;(2)若将抛物线沿轴平移后得到抛物线，抛物线经过点(4,1)且与轴交于点，顶点为．在抛物线上是否存在一点M 使3MCC MDD S S ''=?若存在，求出点M 的坐标;若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的表达式为243y x x =-+;(2)点M 的坐标为(3,2)-或311,24⎛⎫-⎪⎝⎭． 【解析】【分析】(1)直接利用待定系数法即可得; (2)先根据(1)的结论求出点C 、D 的坐标，再根据二次函数的图象平移规律、待定系数法可求出抛物线的表达式，从而可得出点,C D ''的坐标，然后根据三角形的面积公式建立等式求解即可得．【详解】(1)由题意，将点(),(130)0A B ，，代入23y ax bx =++得309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩则抛物线的表达式为243y x x =-+;(2)存在，求解过程如下：∵2243(2)1y x x x =-+=--∴()2,1D -当0x =时，3y =，则点C 的坐标为()0,3C设抛物线的表达式为2(2)1y x h =--+∵抛物线经过点(4,1)∴2(42)11h --+=，解得2h =-∴抛物线的表达式为22(2)341y x x x =--=-+∴(2,3)D '-当0x =时，2(02)31y =--=，则点的坐标为(0,1)C ' ∴2,2CC DD ''== 设2(,41)M m m m -+则在MCC '△中，边CC '上的高为m ，在MDD '中，边DD '上的高为2m -∵3MCC MDD SS ''=，即32212m DD m CC '=⋅⋅-' ∴3222122m m =⨯-⨯，即32m m =- 解得3m =或32m = 当3m =时，224134312m m -+=-⨯+=- 当32m =时，22331141()41224m m -+=-⨯+=- 则点M 的坐标为(3,2)-或311,24⎛⎫-⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象平移规律等知识点，较难的是题(2)，利用二次函数的图象平移规律求出抛物线的表达式是解题关键．25. 问题提出(1)如图，AD 是ABC 的中线，则+AB AC __________2AD ;(填” ““ “或” “)问题探究(2)如图，在矩形ABCD 中，3,4CD BC ==，点为BC 的中点，点为CD 上任意一点，当AEF 的周长最小时，求CF 的长;问题解决(3)如图，在矩形ABCD 中，4,2AC BC ==，点为对角线AC 的中点，点为AB 上任意一点，点Q 为AC 上任意一点，连接PO PQ BQ 、、，是否存在这样的点Q ，使折线OPQB 的长度最小?若存在，请确定点Q 的位置，并求出折线OPQB 的最小长度;若不存在，请说明理由．【答案】(1)＞;(2)1CF =;(3)当点Q 与AC 的中点重合时，折线OPQB 的长度最小，最小长度为4．【解析】【分析】(1)如图(见解析)，先根据三角形全等的判定定理与性质得出AB EC =，再根据三角形的三边关系定理即可得;(2)如图(见解析)，先根据矩形的性质得出3,90,//AB B BCD AB CD =∠=∠=︒，从而可得AE 的长，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短得出AEF 的周长最小时，点F 的位置，然后利用相似三角形的判定与性质即可得;(3)如图(见解析)，先根据轴对称性质、两点之间线段最短得出折线OPQB 的长度最小时，,,,B Q P O ''四点共线，再利用直角三角形的性质、矩形的性质得出30BAC ∠=︒，23AB =，2AO =，然后利用轴对称的性质、角的和差可得23,2AB AO ''==，90B AO ''∠=︒，由此利用勾股定理可求出B O ''的长，即折线OPQB 的最小长度;设B O ''交AC 于点Q '，根据等边三角形的判定与性质可得2AQ '=，从而可得AQ AO '=，由此即可得折线OPQB 的长度最小时，点Q 的位置．【详解】(1)如图，延长AD ，使得DE AD =，连接CEAD 是ABC 的中线BD CD ∴=在ABD △和ECD 中，AD ED ADB EDC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD ECD SAS ∴≅AB EC ∴=在ACE △中，由三角形三边关系定理得：EC AC AE +>，即EC AC AD DE +>+2AB AC AD ∴+>故答案为：;(2)如图，作点关于CD 对称点，连接FG ，则CE CG =四边形ABCD 是矩形，3,4CD BC ==3,90,//AB CD B BCD AB CD ∴==∠=∠=︒DC ∴垂直平分EGEF FG ∴=点E 是BC 的中点122BE CE BC ∴=== 2213AE AB BE ∴+，2CG CE ==，6BG BC CG =+=则AEF 的周长为1313AE EF AF EF AF FG AF ++=++=++要使AEF 的周长最小，只需FG AF +由两点之间线段最短可知，当点,,A F G 共线时，FG AF +取得最小值AG//AB CD∴FCG ABG ~∴FC CG AB BG =，即236FC = 解得1CF =;(3)如图，作点关于AC 的对称点，作点关于AB 的对称点，连接,,,,AB QB AO PO B O ''''''，则,QB QB OP O P '='=∴折线OPQB 的长度为OP PQ QB O P PQ QB ''++=++由两点之间线段最短可知，O P PQ QB B O ''''++≥，当且仅当点,,,B Q P O ''四点共线时，折线OPQB 取得最小长度为B O ''∵在矩形ABCD 中，4,2,90AC BC ABC ==∠=︒∴30BAC ∠=︒，2223AB AC BC =-=∵点为AC 的中点∴122AO AC == ∵点与点关于AC 对称，点与点关于AB 对称∴30B AC BAC '∠=∠=︒，23AB AB30O AB BAC '∠=∠=︒，2AO AO '==∴90B AO B AC BAC O AB ''''∠=∠+∠+∠=︒2222(23)24B O AB AO ''''∴=+=+=设B O ''交AC 于点Q '在Rt AB O ''中，2,4AO B O '''==∴30AB O ''∠=︒9060AO B AB O ''''∴∠=︒-∠=︒，即60AO Q ''∠=︒又∵60O AQ BAC O AB '''∠=∠+∠=︒∴AO'Q'△是等边三角形∴2AQ AO ''==∵2AO =AQ AO '∴=∴点Q '与AC 的中点重合综上，当点Q 与AC 的中点重合时，折线OPQB 的长度最小，最小长度为4．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题(3)，利用轴对称的性质正确找出折线OPQB 的最小长度是解题关键．。
2022年人教版中考模拟考试《数学试卷》含答案解析
人教版数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题1.一个由5个相同的小正方体组成的立体图形如图所示，则从正面看到的平面图形是( )A. B. C. D. 2.若点A (x 1，﹣3)，B (x 2，1)，C (x 3，2)在反比例函数y =6x 的图象上，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( ) A. x 1＜x 3＜x 2 B. x 1＜x 2＜x 3 C. x 2＜x 3＜x 1D. x 3＜x 2＜x 1 3.在平面直角坐标系中，将抛物线y =x 2﹣2x ﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是( )A. y =(x +1)2+1B. y =(x ﹣3)2+1C. y =(x ﹣3)2﹣5D. y =(x +1)2+2 4.如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A ′B ′C ′D ′E ′，已知OA ＝10cm ，OA ′＝20cm ，则五边形ABCDE 的周长与五边形A ′B ′C ′D ′E ′的周长比是( )A. 1：2B. 2：1C. 1：3D. 3：15.已知抛物线24y x bx =-++经过(2,)n -和(4, )n 两点，则n 值为( )A. ﹣2B. ﹣4C. 2D. 4 6.若函数k y x=与2y ax bx c =++的图象如图所示，则函数y kx b =+的大致图象为( )A. B. C D.7.某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是( ) A. 12 B. 34 C. 112 D. 5128.如图，ABC ∆是等边三角形，被一矩形所截，AB 被截成三等分，EH ∥BC ，则四边形EFGH 的面积是ABC ∆的面积的：( )A. 19B. 13C. 49D. 949.如图,从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为( )A. 22m πB. 23mC. 2m πD. 22m π10.如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点(不与点B、C重合)，且∠APD=60°，PD交AB 于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是( )A. AB. BC. CD. D二、填空题11.已知37a bb-=，则ba的值为________．12.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=33，那么cos∠B=_____．13.如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为_____cm．(结果用π表示)14.如图，CD＝4，∠C＝90°，点B在线段CD上，AC4CB3=，沿AB所在的直线折叠△ACB得到△AC′B，若△DC′B是以BC'为腰的等腰三角形，则线段CB的长为_____．三、解答题15.计算：()101123tan60π3134-⎛⎫-+-︒--+- ⎪⎝⎭ 16.△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．(1)画出△ABC 关于原点O 的中心对称图形△A 1B 1C 1;(2)画出将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△A 2B 2C 2．(3)在(2)的条件下，求点A 旋转到点A 2所经过的路线长(结果保留π)．17.下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN ,DM ,CB为三根垂直于AB 的支柱,垂足分别为N ,M ,B ,∠EAB=31°,DF ⊥BC 于点F ,∠CDF=45°,求DM 和BC 的水平距离BM 的长度.(结果精确到0.1 m .参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)18.有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4.(1)一次性随机抽取2张卡片，求这两张卡片上数字之和为奇数的概率;(2)随机摸取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，求两次取出的卡片上的数字之和等于4的概率. 19.已知AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，点D 为AB 延长线一点，连接AC ．(Ⅰ)如图①，OB =BD ，若DC 与⊙O 相切，求∠D 和∠A 的大小;(Ⅱ)如图②，CD 与⊙O 交于点E ，AF ⊥CD 于点F 连接AE ，若∠EAB =18°，求∠F AC 的大小．20.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．(1)求证：△ABM∽△EFA;(2)若AB=12，BM=5，求DE的长．21.已知二次函数y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m．(1)当m=2时，求二次函数图象顶点坐标;(2)已知抛物线与x轴交于不同的点A、B．①求m的取值范围;②若3≤m≤4时，求线段AB的最大值及此时二次函数的表达式．22. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．(1)当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少?(2)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围;(3)如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少?(每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量)23.如图，矩形ABCD(AB＞AD)中，点M是边DC上的一点，点P是射线CB上的动点，连接AM，AP，且∠DAP＝2∠AMD．(1)若∠APC＝76°，则∠DAM＝;(2)猜想∠APC与∠DAM的数量关系为，并进行证明;(3)如图1，若点M为DC的中点，求证：2AD＝BP+AP;AM AD ＝32时，则线段MC的长为．(4)如图2，当∠AMP＝∠APM时，若CP＝15，答案与解析一、选择题1.一个由5个相同的小正方体组成的立体图形如图所示，则从正面看到的平面图形是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据主视图的概念求解可得．【详解】解：该几何体的主视图如下：故选C．【点睛】本题考查简单组合体的三视图，解题时注意：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形2.若点A(x1，﹣3)，B(x2，1)，C(x3，2)在反比例函数y=6x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是()A. x1＜x3＜x2B. x1＜x2＜x3C. x2＜x3＜x1D. x3＜x2＜x1【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数的性质可以判断出x1，x2，x3的大小关系，本题得以解决．【详解】∵反比例函数y=6x，∴在每个象限内y随x的增大而减小，在第三象限内的点对应的纵坐标都小于零，在第一象限内点对应的纵坐标都大于零，∵点A(x1，﹣3)，B(x2，1)，C(x3，2)在反比例函数y=6x的图象上，∴x1＜x3＜x2，故选：A．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．3.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣2x﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是()A. y=(x+1)2+1B. y=(x﹣3)2+1C. y=(x﹣3)2﹣5D. y=(x+1)2+2【答案】A【解析】【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【详解】抛物线y=x2﹣2x﹣1可化简为y=(x﹣1)2﹣2，先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式y=(x﹣1+2)2﹣2+3=(x+1)2+1;故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，关键是得出抛物线的顶点坐标的求法及抛物线平移不改变二次项的系数的值．．4.如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是( )A. 1：2B. 2：1C. 1：3D. 3：1【答案】A【解析】【分析】由以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA＝10cm，OA′＝20cm，可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20＝1：2，然后由相似多边形的性质进一步求解即可.【详解】∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA＝10cm，OA′＝20cm，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20＝1：2，∴五边形ABCDE 的周长与五边形A ′B ′C ′D ′E ′的周长比是：1：2．故选：A ．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.5.已知抛物线24y x bx =-++经过(2,)n -和(4, )n 两点，则n 的值为( )A. ﹣2B. ﹣4C. 2D. 4 【答案】B【解析】【分析】根据(2, )n -和(4, )n 可以确定函数的对称轴=1x ，再由对称轴的2b x =即可求解; 【详解】解：抛物线24y x bx =-++经过(2, )n -和(4, )n 两点，可知函数的对称轴=1x ， 12b ∴=， 2b ∴=;224y x x ∴=-++，将点(2, )n -代入函数解析式，可得=-4n ;故选B ．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标;熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键． 6.若函数k y x=与2y ax bx c =++的图象如图所示，则函数y kx b =+的大致图象为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根据二次函数及反比例函数的图象确定、的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．【详解】根据反比例函数的图象位于二、四象限知k 0<，根据二次函数的图象确知0a >，0b <，函数y kx b =+的大致图象经过二、三、四象限，故选C ．【点睛】本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大． 7.某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是( ) A. 12 B. 34 C. 112 D. 512【答案】D【解析】【分析】随机事件A 的概率()=P A 事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【详解】解：每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒， 当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率2556012P ==， 故选D ．【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．8.如图，ABC ∆是等边三角形，被一矩形所截，AB 被截成三等分，EH ∥BC ，则四边形EFGH 的面积是ABC ∆的面积的：( )A. 19B. 13C. 49D. 94【答案】B【解析】【分析】根据题意，易证△AEH ∽△AFG ∽△ABC ，利用相似比，可求出S △AEH 、S △AFG 与S △ABC 的面积比，从而表示出S △AEH 、S △AFG ，再求出四边形EFGH 的面积即可．【详解】∵在矩形中FG ∥EH ，且EH ∥BC ，∴FG ∥EH ∥BC ，∴△AEH ∽△AFG ∽△ABC ，∵AB 被截成三等分，∴13AE AB =，23AF AB =， ∴S △AEH ：S △ABC =1：9，S △AFG ：S △ABC =4：9，∴S △AEH =19S △ABC ，S △AFG =49S △ABC ， ∴S 四边形EFGH = S △AFG －S △AEH =49S △ABC －19S △ABC =13S △ABC . 故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，明确面积比等于相似比的平方是解题的关键.9.如图,从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为( )A. 22m πB. 23mC. 2m πD. 22m π【答案】A【解析】分析：连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．详解：连接AC．∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个同心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC．∵AB2+BC2=22，∴AB=BC=2m，∴阴影部分的面积是2902360π⨯（）=12π(m2)．故选A．点睛：本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．10.如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点(不与点B、C重合)，且∠APD=60°，PD交AB 于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是( )A. AB. BC. CD. D【答案】C【解析】∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP,∠APD=60°， ∴∠BPD=∠CAP ，∴△BPD ∽△CAP ，∴BP:AC=BD:PC ，∵正△ABC 的边长为4，BP=x ，BD=y ，∴x:4=y:(4−x)，∴y=−14x 2+x. 故选C.点睛：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图象获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题能力、解决问题能力.用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.二、填空题11.已知37a b b -=，则b a的值为________． 【答案】710 【解析】【分析】直接利用已知条件，将原式变形化简求出答案．根据分比性质，可得答案． 【详解】解：∵37a b b -=, ∴7a-7b=3b ， 则7a=10b ，则107b b a b ==710 故答案为710 【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．12.在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果tan ∠Acos ∠B =_____． 【答案】12【解析】【分析】 直接利用特殊角的三角函数值得出∠A =30°，进而得出∠B 的度数，进而得出答案．【详解】∵tan∠A=33，∴∠A=30°，∵∠C=90°，∴∠B=180°﹣30°﹣90°=60°，∴cos∠B=12．故答案：12．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的计算公式是解题关键．13.如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为_____cm．(结果用π表示)【答案】12π【解析】【分析】先求出圆锥的底面半径，然后根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式进行求解即可．【详解】设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：22108-，∴2πr=2π×6=12π，故答案为12π．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系．14.如图，CD＝4，∠C＝90°，点B在线段CD上，AC4CB3=，沿AB所在的直线折叠△ACB得到△AC′B，若△DC′B是以BC'为腰的等腰三角形，则线段CB的长为_____．【答案】2或100 53【解析】【分析】分BC′＝BD，BC′＝C′D两种情形分别求解即可．BC′＝BD时，由折叠可知BC′＝BC=BD=2;BC′＝C′D时，作C′H⊥BD于H，CM⊥AB于M，取AB的中点N，连接CN，设BC＝3k，AC＝4k，AB＝5k．根据直角三角形ABC的面积和直角三角形斜边上的中线得CM＝125k，CN＝52k，根据勾股定理求出MN，再证明△CMN∽△C′HB，由相似三角形的对应边成比例求出k的值，即可得出结论. 【详解】解：当BC′＝BD时，BC＝BD＝2．当BC′＝C′D时，作C′H⊥BD于H，CM⊥AB于M，取AB的中点N，连接CN．设BC＝3k，AC＝4k，AB＝5k．则CM＝125k，CN＝52k，∴MN22CN CM-＝75k，∵∠DBC′+∠CBC′＝180°，∠CAC′+∠CBC′＝180°，∴∠C′BH＝∠CAC′，∵NC＝NA＝BN，∴∠NAC＝∠NCA，∴∠CNM＝∠NAC+∠NCA＝2∠NAC＝∠CAC′，∴∠C′BH＝∠CNM，∵∠CMN＝∠BHC′＝90°，∴△CMN∽△C′HB，∴CNBC'＝MNBH，∴523kk＝75432kk-，解得k＝100 159，∴BC＝100 53，综上所述，BC的长为2或100 53．故答案为2或100 53．【点睛】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．三、解答题15.计算：(113tan60π1 4-⎛⎫-︒-+-⎪⎝⎭【答案】-6【解析】【分析】根据负整数指数幂、二次根式、特殊角三角函数、零次幂和绝对值的性质分解化简计算即可.【详解】解：原式=411-+=-6.【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握各自的性质并牢记特殊角三角函数值是解题关键.16.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．(1)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1;(2)画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C2．(3)在(2)的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路线长(结果保留π)．【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)10 2π【解析】【分析】(1)首先根据中心对称的性质，找出对应点的位置，再顺次连接即可;(2)先根据旋转方向，旋转角度以及旋转中心，找出对应点的位置，再顺次连接即可;(3)依据弧长计算公式，即可得到点A旋转到点A2所经过的路线长．【详解】(1)如图所示，△A1B1C1即为所求;(2)如图所示，△A2B2C2即为所求;(3)由勾股定理可得10，∴弧AA2的长901010π⋅．【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，关键是正确找出对应点的位置．17.下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB 为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)【答案】2.5m.【解析】【分析】设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=31︒，利用∠EAB的正切值解得x的值．【详解】解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=45︒，∴CF=tan45︒·DF=，又∵CB=4，∴BF=4－，∵AB=6，DE=1，BM= DF=，∴AN=5－，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=31︒，EN=4－，AN=5－，tan4 315EN xAN x ︒-==-=0.60，解得=2.5，答：DM和BC的水平距离BM为2.5米．考点：解直角三角形．18.有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4.(1)一次性随机抽取2张卡片，求这两张卡片上的数字之和为奇数的概率;(2)随机摸取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，求两次取出的卡片上的数字之和等于4的概率.【答案】(1)23P=;(2)316P=.【解析】【分析】(1)先列出一次性随机抽取2张卡片的所有可能的结果，再找出两张卡片上的数字之和为奇数的结果，最后利用概率公式计算即可;(2)先列出两次抽取卡片的所有可能的结果，再找出两次取出的卡片上的数字之和等于4的结果，最后利用概率公式计算即可;【详解】(1)由题意得：一次性随机抽取2张卡片的所有可能的结果有6种，即(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)，它们每一种出现的可能性相等从中可看出，两张卡片上的数字之和为奇数的结果有4种，即(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)故所求的概率为4263P==;(2)两次抽取卡片的所有可能的结果有16种，列表如下：它们每一种出现的可能性相等从中可看出，两次取出的卡片上的数字之和等于4的结果有3种，即(3,1),(2,2),(1,3)故所求的概率为316 P=.【点睛】本题考查了用列举法求概率，依据题意正确列举出事件的所有可能的结果是解题关键.19.已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D为AB延长线一点，连接AC．(Ⅰ)如图①，OB=BD，若DC与⊙O相切，求∠D和∠A的大小;(Ⅱ)如图②，CD与⊙O交于点E，AF⊥CD于点F连接AE，若∠EAB=18°，求∠F AC的大小．【答案】(Ⅰ)∠D=∠A=30°;(Ⅱ)18°【解析】【分析】(Ⅰ)如图①，连接OC，BC，根据已知条件可以证明△OBC是等边三角形，进而可得∠D和∠A的大小; (Ⅱ)如图②，连接BE，根据AB为⊙O的直径，可得∠AEB=90°，由AF⊥CD，得∠AFC=90°，再根据∠ACF 是圆内接四边形ACEB的外角，即可求∠F AC的大小．【详解】(Ⅰ)如图①，连接OC，BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵DC与⊙O相切，∴∠OCD=90°，∵OB=BD，∴BC=12OD=OB=BD，∴BC=OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC=∠OCB=∠COB=60°，∴∠BCD=∠OCA=30°，∴∠D=∠A=30°;(Ⅱ)如图②，连接BE，∵AB为⊙O直径，∴∠AEB=90°，∵AF⊥CD，∴∠AFC=90°，∵∠ACF是圆内接四边形ACEB的外角，∴∠ACF=∠ABE，∴∠F AC=∠EAB=18°，答：∠F AC的大小为18°．【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理，解决本题的关键是掌握切线的性质．20.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．(1)求证：△ABM∽△EFA;(2)若AB=12，BM=5，求DE的长．【答案】(1)见解析;(2)4.9【解析】【详解】试题分析：(1)由正方形性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论;(2)由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．试题解析：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA;(2)∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴=13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=12AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴BM AM AF AE=，即513 6.5AE=，∴AE=16.9，∴DE=AE-AD=4.9．考点：1.相似三角形的判定与性质;2.正方形的性质．21.已知二次函数y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m．(1)当m=2时，求二次函数图象的顶点坐标;(2)已知抛物线与x轴交于不同的点A、B．①求m的取值范围;②若3≤m≤4时，求线段AB的最大值及此时二次函数的表达式．【答案】(1)(34，﹣498);(2)①m≠0且m≠14;②AB的最大值为15，y=4x2﹣7x﹣11【解析】【分析】(1)当m=2时，y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m=x2﹣3x﹣5，即可求解;(2)①△＞0且m≠0，即可求解;②y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m=(x﹣3m+1)(x+m)，令y=0，则x=3m﹣1或﹣m，即可求解．【详解】(1)当m=2时，y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m=x2﹣3x﹣5，函数的对称轴为直线x=﹣33 2224ba-=-=⨯，当x =34时，y =x 2﹣3x ﹣5=﹣498， 故顶点坐标为(34，﹣498); (2)①△=b 2﹣4ac =(1﹣2m )2﹣4m (1﹣3m )=(4m ﹣1)2＞0，故4m ﹣1≠0，解得：m≠14; 而y =mx 2+(1﹣2m )x +1﹣3m 为二次函数，故m ≠0， 故m 的取值范围为：m ≠0且m ≠14; ②y =mx 2+(1﹣2m )x +1﹣3m =(x ﹣3m +1)(x +m )，令y =0，则x =3m ﹣1或﹣m ，则AB =|3m ﹣1+m |=|4m ﹣1|，∵3≤m ≤4，∴12≤4m ﹣1≤15，故AB 的最大值为15，此时m =4，当m =4时，y =mx 2+(1﹣2m )x +1﹣3m =4x 2﹣7x ﹣11．【点睛】此题考查二次函数综合运用，解不等式，根的判别式，解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则．22. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．(1)当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少?(2)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围;(3)如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少?(每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量)【答案】(1)4000;(2)y=-52800275000x x +-=(50≤x≤100);(3)销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480元．【解析】【分析】(1)根据”利润=(售价-成本)×销售量”即可求解;(2))根据”利润=(售价-成本)×销售量”即可求得函数关系式，根据售价不小于50元即可确定x取值范围;(3)先由”每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50(-5x+550)≤7000，通过解不等式来求x的取值范围，再把(2)中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答即可．【详解】解：(1)当销售单价为70元时，每天的销售利润是：[50+(100-70)]×(70-50)=4000(元)(2)由题得y=[50+5(100-x)](x-50)=-5280027500x x+-由x≥50，100-x≥50得50≤x≤100y=-5280027500x x+-(50≤x≤100)(3)∵该企业每天的总成本不超过7000元∴50[50+5(100-x)]≤7000解得x≥82由(2)可知50≤x≤100∴82≤x≤100∵抛物线y=-52800275000x x+-=的对称轴为x=80且a＝－5＜0∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x增大而减小．∴当x＝82时，y最大＝4480，即销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480元．考点：二次函数的应用．23.如图，矩形ABCD(AB＞AD)中，点M是边DC上的一点，点P是射线CB上的动点，连接AM，AP，且∠DAP＝2∠AMD．(1)若∠APC＝76°，则∠DAM＝;(2)猜想∠APC与∠DAM的数量关系为，并进行证明;(3)如图1，若点M为DC的中点，求证：2AD＝BP+AP;(4)如图2，当∠AMP＝∠APM时，若CP＝15，AMAD＝32时，则线段MC的长为．【答案】(1)38°;(2)∠APC＝2∠DAM，证明见解析;(3)见解析;(4)5【解析】分析】(1)由AD∥CP，∠APC=76°知∠DAP=104°，根据∠DAP=2∠AMD得∠AMD=52°，结合∠D=90°可得;(2)由AD∥CP知∠DAP+∠APC=180°，结合∠DAP=2∠AMD得2∠AMD+∠APC=180°，再结合∠D=90°知∠AMD=90°﹣∠DAM，即2(90°﹣∠DAM)+∠APC=180°，据此可得;(3)延长AM交BC的延长线于点E，延长BP到F，使PF=AP，连接AF，证△AMD≌△EMC得AD=CE，据此知BE=BC+CE=2AD，再证∠E=∠F得AE=AF，由AB⊥BE知BE=BF，从而由BF=BP+PF=BP+AP可得;(4)延长MD到点E，使DE=MD，连接AE，作EF⊥MA，设AM=3x，则AD=2x，DM=DE5=，AE=AP=3x，证△ADM∽△EFM得AM DAEM EF=，求得EF45=，AF13=x，再证△EAF≌△APB得PB=AF13=x，再由AD=BC得13x+15=2x，求得x的值，从而得出AB的长，根据MC=DC﹣DM=AB﹣DM可得答案．【详解】(1)∵AD∥CP，∠APC=76°，∴∠DAP=104°．∵∠DAP=2∠AMD，∴∠AMD=52°，又∵∠D=90°，∴∠DAM=38°．故答案为：38°;(2)∠APC=2∠DAM．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，AD∥BC．∵点P是射线CB上的点，∴AD∥CP，∴∠DAP+∠APC=180°．∵∠DAP=2∠AMD，∴2∠AMD+∠APC=180°，在Rt△AMD中，∠D=90°，∴∠AMD=90°﹣∠DAM，∴2(90°﹣∠DAM)+∠APC=180°，∴∠APC=2∠DAM．故答案为：∠APC=2∠DAM;(3)如图1，延长AM交BC的延长线于点E，延长BP到F，使PF=AP，连接AF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∠ABC=90°，∴AD∥BE，AB⊥BE，∴∠DAM=∠E．∵M是DC中点，∴DM=CM，又∵∠1=∠2，∴△AMD≌△EMC(AAS)，∴AD=CE，∴BE=BC+CE=2AD．∵∠APC=2∠DAM，∴∠APC=2∠E．∵P A=PF，∴∠P AF=∠F，∴∠APC=2∠F，∴∠E=∠F，∴AE=AF，又∵AB⊥BE，∴BE=BF，又∵BF=BP+PF=BP+AP，∴2AD=BP+AP;(4)如图2，延长MD到点E，使DE=MD，连接AE，过点E作EF⊥MA于点F，设AM=3x，则AD=2x，DM=DE5=，AE=AP=3x．∵∠AMD=∠EMF，∠ADM=∠EFM=90°，∴△ADM∽△EFM，∴AM DAEM EF=225xEFx=，解得：EF45 =，∴AF221 3EA EF=-=x．∵DE=MD，AD⊥CE，∴∠AME=∠AEM，则∠EAF=2∠AMD．∵AD∥BC，∠DAP=2∠AMD，∴∠APB=∠DAP=2∠AMD，∴∠EAF=∠APB，又∵∠EF A=∠B=90°，AE=AP，∴△EAF≌△APB(AAS)，∴PB=AF13=x，由AD=BC得13x+15=2x，解得：x=9，∴AB==∴MC=DC﹣DM=AB﹣DM=故答案为：【点睛】本题是四边形的综合题，解答本题的关键是掌握矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形与相似三角形的判定及性质、勾股定理等知识点．。
2022年中考综合模拟检测《数学卷》含答案解析
数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一．选择题1.下列四条线段中，不能成比例的是( )A. a＝4，b＝8，c＝5，d＝10B. a＝2，b＝25，c＝5，d＝5C. a＝1，b＝2，c＝3，d＝4D. a＝1，b＝2，c＝2，d＝42.把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是( )A. y＝﹣2(x+1)2+1B. y＝﹣2(x﹣1)2+1C. y＝﹣2(x﹣1)2﹣1D. y＝﹣2(x+1)2﹣13.如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为( )A. 5 米B. 53米C. 25米D. 45米4.如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C;②AE DEAB BC=;③AD AEAC AB=．使△ADE与△ACB一定相似的是()A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③5.下列判断错误的是( )A. 0•=0aB. 如果a+b=2c，a-b=3c，其中0c≠，那么a∥bC. 设e 为单位向量，那么|e |=1D. 如果|a |=2|b |，那么a =2b 或a =-2b6.已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)图象经过(0，1)，(4，0)，当该二次函数的自变量分别取x 1，x 2(0＜x 1＜x 2＜4)时，对应的函数值是y 1，y 2，且y 1＝y 2，设该函数图象的对称轴是x ＝m ，则m 的取值范围是( )A. 0＜m ＜1B. 1＜m ≤2C. 2＜m ＜4D. 0＜m ＜4二．填空题7.已知23x y=，则xy ＝__． 8.若点P 是线段AB 的黄金分割点，AB=10cm ，则较长线段AP 的长是_____cm ．9.计算：3(﹣2b )﹣2(﹣3b )＝_____．10.如果抛物线221y x x m =++-经过原点，那么的值等于________．11.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，△DEF 面积与△BAF 的面积之比为9：16，则DE ：EC ＝_____．12.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则cos A ＝_____．13.如图，图中所有四边形都是正方形，其中左上角的n 个小正方形与右下角的1个小正方形边长相等，若最大正方形边长是最小正方形边长的m 倍，则用含n 的代数式表示m 的结果为m ＝_____．14.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 是梯形的中位线，点E 在AB 上，若AD ：BC ＝1：3，AD ＝，则用表示FE 是：FE ＝_____．15.在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，如果点G 为重心，那么∠GCB 的余切值为_____．16.为了测量某建筑物BE 的高度(如图)，小明在离建筑物15米(即DE ＝15米)的A 处，用测角仪测得建筑物顶部B 的仰角为45°，已知测角仪高AD ＝1.8米，则BE ＝_____米．17.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别是边BC 、AC 上的中线，AB=AC=5，cos∠C=45，那么GE=_______．18.如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 中点，将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF 、且点F 在矩形ABCD 的内部，将BF 延长交AD 于点G ．若17DG GA =，则AD AB=__．三．解答题19.计算：2019sin 30|2|tan 45(1)+--+-.20.已知：如图，在▱ABCD 中，设BA ＝，BC ＝b ．(1)填空：CA ＝ (用、b 的式子表示)(2)在图中求作+b ．(不要求写出作法，只需写出结论即可)21.已知抛物线y ＝﹣2x 2+bx +c 与x 轴交于A (2，﹣1)，B (﹣1，﹣4)两点．(2)用配方法求抛物线顶点坐标．22.如图，在某一路段，规定汽车限速行驶，交通警察在此限速路段的道路上设置了监测区，其中点C、D 为监测点，已知点C、D、B在同一直线上，且AC⊥BC，CD＝400米，tan∠ADC＝2，∠ABC＝35°(1)求道路AB段的长(结果精确到1米)(2)如果道路AB的限速为60千米/时，一辆汽车通过AB段的时间为90秒，请你判断该车是否是超速，并说明理由;参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.700223.如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边AD上，连接BE，在BE上取点F，连接AF并延长交BD于H，且∠AFE＝60°，过C作CG∥BD，直线CG、AF交于G．(1)求证：∠F AE＝∠EBA;(2)求证：AH＝BE;(3)若AE＝3，BH＝5，求线段FG的长．24.抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(﹣1，0)，C(0，﹣3)．(2)如图1，抛物线顶点为E ，EF ⊥x 轴于F 点，M (m ，0)是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若∠MNC ＝90°，请指出实数m 的变化范围，并说明理由．(3)如图2，将抛物线平移，使其顶点E 与原点O 重合，直线y ＝kx+2(k ＞0)与抛物线相交于点P 、Q (点P 在左边)，过点P 作x 轴平行线交抛物线于点H ，当k 发生改变时，请说明直线QH 过定点，并求定点坐标． 25.小李在学习了定理”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考，请你帮他完成如下问题：(1)他认为该定理有逆定理：”如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立.即如图①，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若AD BD CD ==，求证：90BAC ∠=︒.(2)如图②，已知矩形ABCD ，如果在矩形外存在一点，使得AE CE ⊥，求证：BE DE ⊥.(可以直接用第(1)问的结论)(3)在第(2)问的条件下，如果AED ∆恰好是等边三角形，请求出此时矩形的两条邻边AB 与BC 的数量关系.答案与解析一．选择题1.下列四条线段中，不能成比例的是( )A. a＝4，b＝8，c＝5，d＝10B. a＝2，b＝c d＝5C. a＝1，b＝2，c＝3，d＝4D. a＝1，b＝2，c＝2，d＝4【答案】C【解析】【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【详解】解：A、4×10=5×8，能成比例;B、2×;C、1×4≠2×3，不能成比例;D、1×4=2×2，能成比例．故选C．【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．2.把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是( )A. y＝﹣2(x+1)2+1B. y＝﹣2(x﹣1)2+1C. y＝﹣2(x﹣1)2﹣1D. y＝﹣2(x+1)2﹣1【答案】B【解析】【详解】∵函数y=-2x2的顶点为(0，0)，∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位顶点为(1，1)，∴将函数y=-2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=-2(x-1)2+1，故选B．【点睛】二次函数的平移不改变二次项的系数;关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．3.如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为( )A. 5 米B. 53米C. 25米D. 45米【答案】C【解析】【分析】 如图，斜坡AB 的坡度为1：2，可设DE =x ，AE =2x ，在Rt △ADE 中，利用勾股定理列方程求解即可.【详解】如图，斜坡AB 的坡度为1：2，设DE =x ，AE =2x ，在Rt △ADE 中，∵AE 2+DE 2=AD 2，∴(2x )2+x 2=102，解之得x = 25，或x = -25(舍去).故选C.【点睛】此题主要考查坡度的意义，需注意的是坡度是坡角的正切值，是铅直高度h 和水平宽l 的比，我们把斜坡面与水平面的夹角叫做坡角，若用α表示坡角，可知坡度与坡角的关系是tan h i lα==． 4.如图，点D 、E 分别在△ABC 的AB 、AC 边上，下列条件中：①∠ADE ＝∠C ;②AE DE AB BC=;③AD AE AC AB =．使△ADE 与△ACB 一定相似的是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】C【解析】【分析】由两角相等的两个三角形相似得出①正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出③正确;即可得出结果．【详解】∵∠DAE＝∠BAC，∴当ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB，故①符合题意，当AE DEAB BC=时，∵∠B不一定等于∠AED，∴△ADE与△ACB不一定相似，故②不符合题意，当AD AEAC AB=时，△ADE∽△ACB．故③符合题意，综上所述：使△ADE与△ACB一定相似的是①③，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定，两角对应相等的两个三角形相似;两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边对应成比例的两个三角形相似;熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键5.下列判断错误的是( )A. 0•=0aB. 如果a+b=2c，a-b=3c，其中0c≠，那么a∥bC. 设e为单位向量，那么|e|=1D. 如果|a|=2|b|，那么a=2b或a=-2b【答案】D【解析】分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答．【详解】A、0•=0a，故本选项不符合题意．B、由+b=2，-b=3得到：＝52，b＝﹣12，故两向量方向相反，∥b，故本选项不符合题意．C、为单位向量，那么||=1，故本选项不符合题意．D、由||=2|b|只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意．故选D．【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．6.已知二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)的图象经过(0，1)，(4，0)，当该二次函数的自变量分别取x1，x2(0＜x1＜x2＜4)时，对应的函数值是y1，y2，且y1＝y2，设该函数图象的对称轴是x＝m，则m的取值范围是() A. 0＜m＜1 B. 1＜m≤2 C. 2＜m＜4 D. 0＜m＜4【答案】C【解析】【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得．【详解】解：当a＞0时，抛物线开口向上，则点(0，1)的对称点为(x0，1)，∴x0＞4，∴对称轴为x=m中2＜m＜4，故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，画出草图更直观．二．填空题7.已知23xy，则xy＝__．【答案】6【解析】【分析】根据比例的性质：在比例中，两内项之积等于两外项之积即可得出.【详解】解：∵23xy =，∴xy＝6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查比例的基本性质的应用，注意掌握比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．8.若点P是线段AB的黄金分割点，AB=10cm，则较长线段AP的长是_____cm．【答案】﹣5【解析】∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AB，∵AB=10cm，∴AP=105=.故答案为5．点睛：若点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则AP2=BP·AB，即AB.9.计算：3(﹣2b)﹣2(﹣3b)＝_____．【答案】【解析】【分析】直接利用实数的运算法则即可解答．【详解】3(﹣2b)﹣2(﹣3b)＝3﹣6b﹣2+6b＝(3﹣2) +(﹣6+6)b＝．故答案是：．【点睛】此题考查了平面向量，解题关键在于熟练掌握平面向量的加法结合律即可解题，属于基础计算题．10.如果抛物线221y x x m =++-经过原点，那么的值等于________．【答案】1【解析】【分析】将点(0，0)代入抛物线方程，列出关于m 的方程，然后解方程即可．【详解】解：根据题意，知点(0，0)在抛物线221y x x m -＝＋＋上，∴0＝m －1，解得，m ＝1;故答案是：1．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．解答该题需知：二次函数图象上的点的坐标，都满足该二次函数的解析式．11.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为9：16，则DE ：EC ＝_____．【答案】3：1【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得出DE ∥AB 、DC ＝AB ，进而可得出△DEF ∽△BAF ，根据相似三角形的性质可得出3=4DE BA ，再结合EC ＝CD−D E 即可求出结论． 【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DE ∥AB ，DC ＝AB ，∴△DEF ∽△BAF ．∵△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为9：16， ∴3=4DE BA ， ∵3=343DE DE EC CD DE ==--． 故答案为3：1．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，根据相似三角形的性质求出DE 、BA 之间的关系是解题的关键．12.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则cos A ＝_____． 【答案】45 【解析】 【分析】 根据勾股定理求出边BC 的长，利用余弦定理cos A=A A ∠∠的临边的斜边即可解得． 【详解】Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，所以BC=22AB AC -=6,所以cos A =AC AB =810=45. 【点睛】本题考查勾股定理以及余弦定理．13.如图，图中所有四边形都是正方形，其中左上角n 个小正方形与右下角的1个小正方形边长相等，若最大正方形边长是最小正方形边长的m 倍，则用含n 的代数式表示m 的结果为m ＝_____．【答案】2n +5【解析】【分析】如图，过A 作AB⊥FG 于B ，根据相似三角形的性质得到2AB BC AC CD DE CE===， 设小正方形的边长为1，则答正方形的边长为m ，求得BC=2DE=2，则11AB=m-1BF=n DE=1BC=2DE=2CD=AB=(m-1)22，，，，， 列方程即可得到结论．【详解】如图，过A 作AB ⊥FG 于B ，则△ABC ∽△CDE ，2AB BC AC CD DE CE ∴=== 设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为m∴AB=m-1，BF=n ，DE=1，∴BC=2DE=2，C ()11D AB m 122==- ∴FG=FB+BC+CD+DG=n+()12m 11m 2+-+= ∴m=2n+5，故答案为2n+5．【点睛】本题考查了列代数式，相似三角形的性质和判定，正方形的性质，正确的作出辅助线构造相似三角形，列出方程是解题的关键．14.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 是梯形的中位线，点E 在AB 上，若AD ：BC ＝1：3，AD ＝，则用表示FE 是：FE ＝_____．【答案】﹣2【解析】【分析】此题只需根据梯形的中位线定理得到EF 和AD 的关系即可．【详解】解：根据AD ：BC ＝1：3，则BC ＝AD ．根据梯形的中位线定理，得EF ＝2AD ．又∵AD ＝，∴FE ＝﹣2．故答案为﹣2【点睛】考查了梯形的中位线定理以及向量的知识点，熟练掌握梯形的中位线定理是解题的关键. 15.在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，如果点G 为重心，那么∠GCB 的余切值为_____．【答案】4;【解析】【分析】根据等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一，利用勾股定理求出AD的长，再利用重心的性质即可求出GA的长，进而得出DG的长，利用勾股定理和三角函数解答即可．【详解】设AG交BC于D∵AB＝AC＝5，BC＝8，点G为重心，∴AD⊥BC,BD＝CD＝12BC＝12×8＝4，∴AD2＝AC2−CD2，AD＝3，∴GA＝2，∴DG＝1，∴BG17∴∠CBG的余切值＝BDDG＝4，故答案为4.【点睛】本题考查的是三角形的重心，熟练掌握三角形的重心是解题的关键.16.为了测量某建筑物BE的高度(如图)，小明在离建筑物15米(即DE＝15米)的A处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高AD＝1.8米，则BE＝_____米．【答案】16.8【解析】【分析】由于仰角是45°，可以直接得到BC=DE=15,然后加上测角仪的高度即可得到答案. 【详解】解：如图，∠CAB=45°AC BC DE15∴===AD=1.8BE=BC+CE=16.8故答案为16.8【点睛】此题重点考察学生对三角函数值的应用，掌握三角函数的解法是解题的关键.17.如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB=AC=5，cos∠C=45，那么GE=_______．【答案】17 2【解析】【分析】过点E作EF⊥BC交BC于点F，分别求得AD=3，BD=CD=4，EF=32，DF=2，BF=6，再结合△BGD∽△BEF即可.【详解】过点E作EF⊥BC交BC于点F.∵AB=AC，AD为BC的中线∴AD⊥BC ∴EF为△ADC的中位线.又∵cos∠C=45，AB=AC=5，∴AD=3，BD=CD=4，EF=32，DF=2∴BF=6∴在Rt△BEF中BE=22BF EF+=3172，又∵△BGD∽△BEF∴BG BD=BE BF，即BG=17.GE=BE-BG=17 2故答案为172.【点睛】本题考查的知识点是三角形的相似，解题的关键是熟练的掌握三角形的相似.18.如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若17DGGA=，则ADAB=__．2【解析】分析】连接GE，根据中点定义可得DE=CE，再根据翻折的性质可得DE=EF，∠BFE=90°，利用”HL”证明Rt △EDG ≌Rt △EFG ，根据全等三角形对应边相等可得FG=DG ，根据17DG GA =，设DG=FG=a ，则AG=7a ，故AD=BC=8a ，则BG=BF+FG=9a ，由勾股定理求得AB=42a ，再求比值即可．【详解】连接GE ，∵点E 是CD 的中点，∴EC=DE ，∵将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF 、且点F 在矩形ABCD 的内部，∴EF=DE ，∠BFE=90°， 在Rt △EDG 和Rt △EFG 中GE GE DE EF=⎧⎨=⎩，∴Rt △EDG ≌Rt △EFG(HL)，∴FG=DG ，∵17DG GA =， ∴设DG=FG=a ，则AG=7a ，故AD=BC=8a ，则BG=BF+FG=9a ，∴AB=()()229742a a a -=，故8242AD a AB a==， 故答案为2．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，以及翻折变换的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．三．解答题19.计算：2019sin 30|2|tan 45(1)+--+-.【答案】12【解析】【分析】分别进行绝对值的运算、特殊角的三角函数值、乘方等运算，然后合并即可．【详解】解：原式12112=+-- 12= 【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了绝对值的运算、特殊角的三角函数值、乘方等知识．20.已知：如图，在▱ABCD 中，设BA ＝，BC ＝b ．(1)填空：CA ＝ (用、b 的式子表示)(2)在图中求作+b ．(不要求写出作法，只需写出结论即可)【答案】(1) -b ;(2) BD【解析】 【分析】(1)根据三角形法则可知：,CA CB BA =+延长即可解决问题;(2)连接BD ．因为,BD BA AD =+ ,AD BC =即可推出.BD a b =+【详解】解：(1)∵,CA CB BA =+ BA ＝，BC ＝b∴.CA a b =-故答案为-b ．(2)连接BD ．∵,BD BA AD =+ ,AD BC =∴.BD a b =+∴BD 即为所求;【点睛】本题考查作图﹣复杂作图、平行四边形的性质、平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.已知抛物线y ＝﹣2x 2+bx +c 与x 轴交于A (2，﹣1)，B (﹣1，﹣4)两点．(1)求抛物线的解析式;(2)用配方法求抛物线的顶点坐标．【答案】(1)y ＝﹣2x 2+3x +1;(2)(34，178)． 【解析】【分析】(1)利用待定系数法确定函数关系式;(2)利用配方法将所求函数解析式转化为顶点式，即可直接得到答案．【详解】解：(1)把A (2，﹣1)，B (﹣1，﹣4)两点代入y ＝﹣2x 2+bx +c ，得82124,b c b c -++=-⎧⎨--+=-⎩ 解得31,b c =⎧⎨=⎩故该抛物线解析式为：y ＝﹣2x 2+3x +1．(2)由(1)知，抛物线解析式为：y ＝﹣2x 2+3x +1．222993172312121683284y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++=-+++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-． 所以抛物线的顶点坐标是(34，178)． 【点睛】考查了抛物线与x 轴的交点坐标，二次函数的三种形式以及待定系数法确定函数解析式，掌握配方法是将二次函数解析式的三种形式间转换的关键．22.如图，在某一路段，规定汽车限速行驶，交通警察在此限速路段的道路上设置了监测区，其中点C 、D为监测点，已知点C 、D 、B 在同一直线上，且AC ⊥BC ，CD ＝400米，tan ∠ADC ＝2，∠ABC ＝35°(1)求道路AB 段的长(结果精确到1米)(2)如果道路AB 的限速为60千米/时，一辆汽车通过AB 段的时间为90秒，请你判断该车是否是超速，并说明理由;参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002【答案】(1)1395米;(2)超速，理由见解析;【解析】【分析】(1)根据锐角三角函数的定义即可求出答案．(2)求出汽车的实际车速即可判断．【详解】解：(1)在Rt△ACD中，AC＝CD•tan∠ADC＝400×2＝800，在Rt△ABC中，AB＝ACsin ABC＝8000.5736≈1395(米);(2)车速为：139590≈15.5m/s＝55.8km/h＜60km/h，∴该汽车没有超速．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．23.如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边AD上，连接BE，在BE上取点F，连接AF并延长交BD于H，且∠AFE＝60°，过C作CG∥BD，直线CG、AF交于G．(1)求证：∠F AE＝∠EBA;(2)求证：AH＝BE;(3)若AE＝3，BH＝5，求线段FG的长．【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)FG＝747．【解析】【分析】(1)先证明两三角形相似，再根据性质得到结果(2)先证明两三角形相似，再根据性质得到边的关系(3)先作辅助线，再证明两三角形相似，再根据相似三角形性质得到结果. 【详解】解：(1)∵∠AFE＝∠BAE＝60°、∠AEF＝∠BEA，∴△AEF∽△BEA，∴∠F AE＝∠ABE;(2)∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，∴AB＝AD、∠BAE＝∠ADB＝60°，在△ABE和△DAH中，∵ABE DAHAB DABAE ADB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE≌△DAH(ASA)，∴AH＝BE;(3)如图，连接AC交BD于点P，则AC⊥BD，且AC平分BD，∵△ABE≌△DAH，∴AE＝DH＝3，则BD＝BH+DH＝8，∴BP＝PD＝4，PH＝BH﹣BP＝1，∵AB＝BD＝8，∴AP22AB BP-3则AC＝2AP＝3∵CG∥BD，且P为AC中点，∴∠ACG＝90°，CG＝2PH＝2，∴AG＝22AC CG+＝14，BE＝AH＝12AG＝7，∵△AEF∽△BEA，∴AFAB＝AEBE，即8AF＝37，解得：AF＝247，∴FG＝AG﹣AF＝14﹣247＝747．【点睛】此题重点考察学生对相似三角形判定和性质的理解，熟练掌握两三角形相似的判定方法和性质是解题的关键.24.抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(﹣1，0)，C(0，﹣3)．(1)求抛物线的解析式;(2)如图1，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M(m，0)是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC ＝90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．(3)如图2，将抛物线平移，使其顶点E与原点O重合，直线y＝kx+2(k＞0)与抛物线相交于点P、Q(点P 在左边)，过点P作x轴平行线交抛物线于点H，当k发生改变时，请说明直线QH过定点，并求定点坐标．【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3;(2)554m-<;(3)当k发生改变时，直线QH过定点，定点坐标为(0，﹣2)【解析】【分析】(1)把点A(﹣1，0)，C(0，﹣3)代入抛物线表达式求得b，c，即可得出抛物线的解析式;(2)作CH⊥EF于H，设N的坐标为(1，n)，证明Rt△NCH∽△MNF，可得m＝n2+3n+1，因为﹣4≤n≤0，即可得出m的取值范围;(3)设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则点H(﹣x1，y1)，设直线HQ表达式为y＝ax+t，用待定系数法和韦达定理可求得a＝x2﹣x1，t＝﹣2，即可得出直线QH过定点(0，﹣2)．【详解】解：(1)∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A、C，把点A (﹣1，0)，C (0，﹣3)代入，得：013b c c =-+⎧⎨-=⎩， 解得23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3;(2)如图，作CH ⊥EF 于H ，∵y ＝x 2﹣2x ﹣3＝(x ﹣1)2﹣4，∴抛物线的顶点坐标E (1，﹣4)，设N 的坐标为(1，n )，﹣4≤n ≤0∵∠MNC ＝90°，∴∠CNH +∠MNF ＝90°，又∵∠CNH +∠NCH ＝90°，∴∠NCH ＝∠MNF ，又∵∠NHC ＝∠MFN ＝90°，∴Rt △NCH ∽△MNF ， ∴CH HN NF FM =，即131n n m+=-- 解得：m ＝n 2+3n +1＝23524n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， ∴当32n =-时，m 最小值为54-; 当n ＝﹣4时，m 有最大值，m 的最大值＝16﹣12+1＝5．∴m 的取值范围是554m -<． (3)设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∵过点P 作x 轴平行线交抛物线于点H ，∴H (﹣x 1，y 1)，∵y ＝kx +2，y ＝x 2，消去y 得，x 2﹣kx ﹣2＝0，x 1+x 2＝k ，x 1x 2＝﹣2，设直线HQ 表达式为y ＝ax +t ，将点Q (x 2，y 2)，H (﹣x 1，y 1)代入，得2211y ax t y ax t =+⎧⎨=-+⎩，∴y 2﹣y 1＝a (x 1+x 2)，即k (x 2﹣x 1)＝ka ，∴a ＝x 2﹣x 1，∵22x ＝( x 2﹣x 1)x 2+t ，∴t ＝﹣2，∴直线HQ 表达式为y ＝( x 2﹣x 1)x ﹣2，∴当k 发生改变时，直线QH 过定点，定点坐标为(0，﹣2)．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了配方法求二次函数的最值、待定系数法求一次函数的解析式、(2)问通过相似三角形建立m 与n 的函数关系式是解题的关键．25.小李在学习了定理”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考，请你帮他完成如下问题：(1)他认为该定理有逆定理：”如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立.即如图①，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若AD BD CD ==，求证：90BAC ∠=︒.(2)如图②，已知矩形ABCD ，如果在矩形外存在一点，使得AE CE ⊥，求证：BE DE ⊥.(可以直接用第(1)问的结论)(3)在第(2)问的条件下，如果AED ∆恰好是等边三角形，请求出此时矩形的两条邻边AB 与BC 的数量关系.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)3BC AB =【解析】【分析】 (1)利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结论;(2)先判断出OE=12AC ，即可得出OE=12BD ，即可得出结论; (3)先判断出△ABE 是底角是30°的等腰三角形，即可构造直角三角形即可得出结论．【详解】(1)∵AD=BD，∴∠B=∠BAD，∵AD=CD，∴∠C=∠CAD，在△ABC 中，∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=∠B+∠C+∠B+∠C=180°∴∠B+∠C=90°，∴∠BAC=90°，(2)如图②，连接AC 与BD ，交点为，连接OE四边形ABCD 是矩形1122OA OB OC OD AC BD ∴===== AE CE ⊥90AEC ∴∠=︒12OE AC ∴=12OE BD ∴= 90BED ∴∠=︒BE DE ∴⊥(3)如图3，过点做BF AE ⊥于点四边形ABCD 是矩形AD BC ∴=，90BAD ∠=︒ADE ∆是等边三角形AE AD BC ∴==，60DAE AED ∠=∠=︒由(2)知，90BED ∠=︒30BAE BEA ∴∠=∠=︒2AE AF ∴=在Rt ABF ∆中，30BAE ∠=︒2AB AF ∴=，3AF BF =3AE ∴=AE BC =3BC AB ∴=【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，直角三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和公式，解(1)的关键是判断出∠B=∠BAD ，解(2)的关键是判断出OE=12AC ，解(3)的关键是判断出△ABE 是底角为30°的等腰三角形，进而构造直角三角形．。
2022年中考综合模拟考试《数学试题》含答案解析
数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一．选择题(共10小题)1.若小王沿坡度3:4i =的斜坡向上行走10m ，则他所在的位置比原来的位置升高了( )A. 3mB. 4mC. 6mD. 8m2.如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是( )A. 主视图相同B. 左视图相同C. 俯视图相同D. 三种视图都不相同 3.按如图所示的运算程序，能使输出的值为12的是( )A. 60α=︒，45β=︒B. 30α=︒，45β=︒C. 30α=︒，30β=︒D. 45α=︒，30β=︒4.如图，AB 为⊙O 的切线，切点为A 连接AO 、BO ，BO 与⊙O 交于点C ，延长BO 与⊙O 交于点D ，连接AD ．若∠ABO ＝36°，则∠ADC 的度数为( )A. 54°B. 36°C. 32°D. 27°5.已知⊙O 的半径为 5，直线 EF 经过⊙O 上一点 P(点 E ，F 在点 P 的两旁)，下列条件能判定直线 EF 与⊙O 相切的是( )A. OP ＝5B. OE ＝OF C O 到直线 EF 的距离是 4D. OP ⊥EF 6.如图，直线PA ，PB ，MN 分别与O 相切于点，，，8PA PB cm ==，则PMN 的周长为( )A. 8cmB. 83cmC. 16cmD. 163cm7.已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是( )A. B.C. D.8.如图，AB 是⊙O 的直径，DB ，DE 分别切⊙O 于点B 、C ，若∠ACE ＝20°，则∠D 的度数是( )A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°9.如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内)，已知AB ＝a ，AD ＝b ，∠BCO ＝x ，则点A 到OC 的距离等于( )A. a sin x +b sin xB. a cos x +b cos xC. a sin x +b cos xD. a cos x +b sin x10.如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高20dm ;另有一直圆柱形的实心铁柱，柱高30dm ，直立放置于水桶底面上，水桶内的水面高度为12dm ，且水桶与铁柱的底面半径比为2:1．今小贤将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变，若不计水桶厚度，则水桶内的水面高度变为( )A. 4.5dmB. 6dmC. 8dmD. 9dm二．填空题(共6小题)11.如图，在ABC ∆中，1sin 3B =，2tan 2C =，3AB =，则AC 的长为_____． 12.如图，∠MAN ＝60°，若△ABC 的顶点B 在射线AM 上，且AB ＝2，点C 在射线AN 上运动，当△ABC 是锐角三角形时，BC 的取值范围是_____．13.已知等边三角形ABC 边长为3，则它的内切圆半径为_____．14.如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，若以点C 为圆心，r 为半径的圆与边AB 所在直线有公共点，则r 的取值范围为_____．15.如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角(∠O )为60°，点A ，B ，C 都在格点上，则sin ∠ABC 的值是_____．16.已知直线与半径为10cm 的O 相切于点，AB 是O 的一条弦，且PA PB =，若12AB cm =，则直线与弦AB 之间的距离为______．三．解答题(共8小题)17.计算：27-3sin60°-cos30°+2tan45°．18.如图，在离铁塔150m 的A 处，用测倾仪测得塔顶的仰角为30°12′，测倾仪高AD 为1.52m ，求铁塔高BC (精确到0.1m )．(参考数据：sin30°12′＝0.5030，cos30°12′＝0.8643，tan30°12′＝0.5820)19.如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点(0,4)A 、(4,4)B -、(6,2)C -，若该圆弧所在圆的圆心为点，请你利用网格图回答下列问题：(1)圆心坐标为_____;(2)若扇形ADC 是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长(结果保留根号)．20.如图，在106⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 、线段EF 的端点均在小正方形的项点上．(1)在图中以AB 为边画Rt ABC ，使点在小正方形的顶点上，且90BAC ∠=︒，2tan 3ACB ∠=; (2)在(1)的条件下，在图中画以EF 为边且面积为3的DEF ，使点在小正方形的顶点上，且45CBD ∠=︒，连结CD ，直接写出线段CD 的长．21.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点D 在BC 边上，⊙D 经过点A 和点B 且与BC 边相交于点E ．(1)求证：AC 是⊙D 的切线;(2)若CE ＝23，求⊙D 半径．22.小明家的门框上装有一把防盗门锁(如图1)，其平面结构图如图2所示，锁身可以看成由两条等弧AD ，BC 和矩形ABCD 组成的，BC 的圆心是倒锁按钮点M ．已知AD 的弓形高2GH cm =，8AD cm =，11 EP cm =．当锁柄PN 绕着点顺时针旋转至NQ 位置时，门锁打开，此时直线PQ 与BC 所在的圆相切，且PQDN ∥， tan 2NQP ∠=． (1)求BC 所在圆的半径;(2)求线段AB 的长度．5 2.236≈，结果精确到0.1cm )23.如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．(1)求证：∠ABC＝2∠CAF;(2)若AC＝210，CE：EB＝1：4，求CE的长．24.如图，已知直线l：y＝﹣43x+8交x轴于点E，点A为x轴上的一个动点(点A不与点E重合)，在直线l上取一点B(点B在x轴上方)，使BE＝5AE，连结AB，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCD，连结OB，以OB为直径作⊙P．(1)当点A在点E左侧时，若点B落在y轴上，则AE的长为，点D的坐标为;(2)若⊙P与正方形ABCD边相切于点B，求点B的坐标;(3)⊙P与直线BE的交点为Q，连结CQ，当CQ平分∠BCD时，BE的长为．(直接写出答案)答案与解析一．选择题(共10小题)1.若小王沿坡度3:4i 的斜坡向上行走10m，则他所在的位置比原来的位置升高了() A. 3m B. 4m C. 6m D. 8m 【答案】C【解析】分析】先由坡度确定坡度角α的正弦值sinα=35，再利用正弦函数的定义求解．【详解】∵斜坡的坡度i=3:4，∴坡角α的正弦值sinα=35，∴他所在的位置比原来的位置上升的高度为：h=10sinα=10×35=6m．故选C．【点睛】本题主要考查斜坡的坡度，掌握坡度的定义，是解题的关键．2.如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是( )A. 主视图相同B. 左视图相同C. 俯视图相同D. 三种视图都不相同【答案】C【解析】【分析】根据三视图的相关概念解答即可．【详解】解：图①的主视图，左视图，俯视图分别为：图②的主视图，左视图，俯视图分别为：故选C ．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．3.按如图所示的运算程序，能使输出的值为12的是( )A. 60α=︒，45β=︒B. 30α=︒，45β=︒C. 30α=︒，30β=︒D. 45α=︒，30β=︒【答案】C【解析】【分析】根据流程图以及锐角三角函数的定义，逐一判定选项，即可得到答案．【详解】A. 60α=︒，45β=︒时，y=sin60°=32， B. 30α=︒，45β=︒时，y=cos45°=22， C. 30α=︒，30β=︒时，y=sin30°=12，D. 45α=︒，30β=︒时，y=cos45°=22，故选C．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．4.如图，AB为⊙O的切线，切点为A连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为( )A. 54°B. 36°C. 32°D. 27°【答案】D【解析】【分析】由切线的性质得出∠OAB=90°，由直角三角形的性质得出∠AOB= =90°-∠ABO=54°,由等腰三角形的性质得出∠ADC=∠OAD,再由三角形的外角性质即可得出答案.【详解】解：∵AB为⊙O的切线，∴∠OAB＝90°，∵∠ABO＝36°，∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝54°，∵OA＝OD，∴∠ADC＝∠OAD，∵∠AOB＝∠ADC+∠OAD，∴∠ADC=12∠AOB＝27°;故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质;熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．5.已知⊙O 的半径为 5，直线 EF 经过⊙O 上一点 P(点 E，F 在点 P 的两旁)，下列条件能判定直线 EF 与⊙O 相切的是( )A. OP ＝5B. OE ＝OFC. O 到直线 EF 的距离是 4D. OP ⊥EF【答案】D【解析】【分析】根据切线的证明方法进行求解，即可得到答案. 【详解】∵点 P 在⊙O 上，∴只需要 OP ⊥EF 即可， 故选D ．【点睛】本题考查切线的证明，解题的关键是掌握切线的证明方法.6.如图，直线PA ，PB ，MN 分别与O 相切于点，，，8PA PB cm ==，则PMN 的周长为( )A. 8cmB. 83cmC. 16cmD. 163cm【答案】C【解析】【分析】 根据切线长定理得MA=MD ，ND=NB ，然后根据三角形周长的定义进行计算，即可．【详解】∵直线PA 、PB 、MN 分别与O 相切于点A.，B ， D ，∴MA=MD ，ND=NB ，∴△PMN 的周长=PM+PN+MD+ND=PM+MA+PN+NB=PA+PB=8+8=16(cm)．故选C ．【点睛】本题主要考查切线长定理，掌握切线长定理是解题关键．7.已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是( )A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】 此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．【详解】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A 和B 错误，又因为蜗牛从p 点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P 处，那么如果将选项C 、D 的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM 上的点P 应该能够与母线OM′上的点(P′)重合，而选项C 还原后两个点不能够重合．故选D ．点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力．8.如图，AB 是⊙O 的直径，DB ，DE 分别切⊙O 于点B 、C ，若∠ACE ＝20°，则∠D 的度数是( )A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°【答案】A【解析】【分析】 连OC ，根据切线的性质得到90OBD OCD ∠=∠=︒，根据20ACE ∠=︒和OA OC =求出70OAC OCA ∠=∠=︒，可得270140BOC ∠=⨯︒=︒，再根据四边形的内角和为360︒即可计算出D ∠的度数．【详解】解：连OC，如图，∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，∴∠OBD＝∠OCD＝∠OCE＝90°，∵∠ACE＝20°，∴∠OCA＝90°-20°＝70°，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA＝70°，∴∠BOC＝2×70°＝140°，∴∠D＝360°-90°-90°-140°＝40°．故选：A．的度数【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出OAC是解此题的关键．9.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB＝a，AD ＝b，∠BCO＝x，则点A到OC距离等于( )A. a sin x+b sin xB. a cos x+b cos xC. a sin x+b cos xD. a cos x+b sin x【答案】D【解析】【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC的距离，本题得以解决．【详解】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，∴∠EAB＝x，∴∠FBA＝x，∵AB＝a，AD＝b，∴FO＝FB+BO＝a•cos x+b•sin x，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10.如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高20dm;另有一直圆柱形的实心铁柱，柱高30dm，直立放置于水桶底面上，水桶内的水面高度为12dm，且水桶与铁柱的底面半径比为2:1．今小贤将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变，若不计水桶厚度，则水桶内的水面高度变为()A. 4.5dmB. 6dmC. 8dmD. 9dm【答案】D【解析】【分析】由水桶底面半径：铁柱底面半径=2：1，得到水桶底面积：铁柱底面积=4：1，设铁柱底面积为a(dm2)，水桶底面积为4a(dm2)，于是得到水桶底面扣除铁柱底面部分的环形区域面积为4a-a=3a(dm2)，，根据原有的水量为3a×12=36a (dm3)，列出方程，即可得到结论．【详解】∵水桶底面半径：铁柱底面半径=2：1，∴水桶底面积：铁柱底面积=4：1，设铁柱底面积为a(dm 2)，则水桶底面积为4a(dm 2)，∴水桶底面扣除铁柱底面部分的环形区域面积为4a−a=3a(dm 2)，∴原有的水量为：3a×12=36a (dm 3)， 设水桶内的水面高度变为xdm ，则4ax=36a ，解得：x=9，∴水桶内的水面高度变为9dm ．故选D ．【点睛】本题主要考查用一元一次方程解决圆柱体的等积变形问题，掌握圆柱体的体积公式是解题的关键．二．填空题(共6小题)11.如图，在ABC ∆中，1sin 3B =，2tan 2C =，3AB =，则AC 的长为_____．3【解析】【分析】过A 作AD 垂直于BC ，在直角三角形ABD 中，利用锐角三角函数定义求出AD 的长，在直角三角形ACD 中，利用锐角三角函数定义求出CD 的长，再利用勾股定理求出AC 的长即可．【详解】解：过作AD BC ⊥，在Rt ABD ∆中，1sin 3B =，3AB =， ∴sin 1AD AB B =⋅=，在Rt ACD ∆中，2tan 2C =， ∴22AD CD =，即2CD =， 根据勾股定理得：22123AC AD CD =+=+=3【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．12.如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC 是锐角三角形时，BC的取值范围是_____．【答案】3＜BC＜23．【解析】【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值．【详解】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2,在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°，∴∠ABC1＝30°∴AC1＝12AB＝1，由勾股定理得：BC13，在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°∴∠AC2B＝30°∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝3当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C23BC＜3．3BC＜3．【点睛】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解．考察直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点．13.已知等边三角形ABC的边长为3，则它的内切圆半径为_____．【答案】3 2【解析】【分析】过点O作OD⊥AB，根据三角形内心的定义得∠OAD=∠OBD =30°，结合等腰三角形的性质，得AD =32，进而即可得到答案．【详解】过点O作OD⊥AB，∵点O是等边三角形ABC的内心，∴∠OAD=∠OBD =30°，∴OA=OB，∵等边三角形ABC的边长为3，∴AD=12AB=32，∴OD=AD÷3=32÷3=32．故答案是：32．【点睛】本题主要考查三角形的内心的定义以及等边三角形的性质，掌握三角形内心的定义和等腰三角形”三线合一”是解题的关键．14.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线有公共点，则r的取值范围为_____．【答案】r≥245．【解析】【分析】如图，作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH即可判断．【详解】解：如图，作CH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，∴AB＝22AC BC+＝2268+＝10，∵S△ABC＝12•AC•BC＝12•AB•CH，∴CH＝245，∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线有公共点，∴r≥245，故答案为r≥245．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15.如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角(∠O)为60°，点A，B，C都在格点上，则sin∠ABC的值是_____．【答案】217． 【解析】【分析】 如图，连接EA 、EC ，先证明∠AEC ＝90°，E 、C 、B 共线，再根据sin ∠ABC ＝AE AB，求出AE 、AB 即可解决问题． 【详解】解：如图，连接EA ，EC ，设菱形的边长为a ，由题意得∠AEF ＝30°，∠BEF ＝60°，AE 3a ，EB ＝2a ，则AB 7，∴∠AEC ＝90°，∵∠ACE ＝∠ACG ＝∠BCG ＝60°，∴∠ECB ＝180°，∴E 、C 、B 共线， 在Rt △AEB 中，sin ∠ABC ＝AE AB 37a a＝217． 故答案为：217． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．16.已知直线与半径为10cm 的O 相切于点，AB 是O 的一条弦，且PA PB =，若12AB cm =，则直线与弦AB 之间的距离为______．【答案】2cm 或18cm【解析】【分析】分两种情形分别求解，连接OA ，OP 交AB 与点E ．利用垂径定理和勾股定理求出PE 或PF 即可．【详解】如图，①当弦AB 在点O 的上方时，连接OA，OP交AB与E，∵PA PB=，∴OP⊥AB，AE=EB=6cm，∵直线m是O的切线，∴OP⊥m，∴AB∥m，∵在Rt△AEO中，OE=22221068AO AE cm-=-=∴PE=10−8=2cm，②同理可得：弦AB在点O下方时，PF=10+8=18cm，故答案是：2cm或18cm．【点睛】本题主要考查垂径定理，切线的性质和勾股定理，掌握垂径定理，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．三．解答题(共8小题)17.27-cos30°+2tan45°．32．【解析】分析】将sin60°=32，tan45°=1，cos30°=32代入，然后化简合并即可得出答案．【详解】原式=33333213323232⨯==.考点：特殊角的三角函数值．18.如图，在离铁塔150m的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为30°12′，测倾仪高AD为1.52m，求铁塔高BC(精确到0.1m)．(参考数据：sin30°12′＝0.5030，cos30°12′＝0.8643，tan30°12′＝0.5820)【答案】铁塔的高BC 约为88.8m ．【解析】【分析】过点A 作AE ⊥BC ，E 为垂足，再由锐角三角函数的定义求出BE 的长，由BC ＝BE +CE 即可得出结论．【详解】解：过点A 作AE ⊥BC ，E 为垂足，在△ABE 中，∵tan30°12′＝BE EA ＝150BE ， ∴BE ＝150×tan30°12′≈87.30，∴BC ＝BE +CE ＝87.30+1.52≈88.8(m )．答：铁塔的高BC 约为88.8m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．19.如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点(0,4)A 、(4,4)B -、(6,2)C -，若该圆弧所在圆的圆心为点，请你利用网格图回答下列问题：(1)圆心的坐标为_____;(2)若扇形ADC 是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长(结果保留根号)．【答案】(1)(-2,0);(2)5． 【解析】【分析】 (1)连接AB 、BC ，分别作AB 、BC 的垂直平分线，两直线交于点，则点即为该圆弧所在圆的圆心，进而即可求解;(2)根据网格结构，可得25AD CD ==210AC =90ADC ∠=︒，结合弧长公式与圆周长公式，即可求解．【详解】(1)连接AB 、BC ，分别作AB 、BC 的垂直平分线，两直线交于点，则点即为该圆弧所在圆的圆心，可知点的坐标为(-2,0)．故答案是：(-2,0);(2)∵圆的半径长2222242526210AC =+=+=，∴22202040AD CD +=+=，240AC =，222=AD CD AC ∴+，90ADC ∴∠=︒．设圆锥的底面圆的半径长为， ∴90252180ππ⨯=r ， 解得：52r =， 5．【点睛】本题主要考查垂径定理以及弧长公式，掌握圆锥的底面周长与侧面扇形弧长的关系，是解题的关键．20.如图，在106⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 、线段EF 的端点均在小正方形的项点上．(1)在图中以AB 为边画Rt ABC ，使点在小正方形的顶点上，且90BAC ∠=︒，2tan 3ACB ∠=; (2)在(1)的条件下，在图中画以EF 为边且面积为3的DEF ，使点在小正方形的顶点上，且45CBD ∠=︒，连结CD ，直接写出线段CD 的长．【答案】(1)画图见解析;(2)画图见解析;26CD =【解析】【分析】(1)根据90BAC ∠=︒，2tan 3ACB ∠=，确定点C 的位置，进而画出Rt ABC ，即可; (2)根据45CBD ∠=︒，以EF 为边且面积为3DEF ，确定出点D 的位置，即可画出DEF ．【详解】(1)如图，Rt ABC 即为所求;(2)如图，DEF 即为所求，221526CD =+=【点睛】本题主要考查直角三角形的定义以及锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．21.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．(1)求证：AC是⊙D的切线;(2)若CE＝23，求⊙D的半径．【答案】(1)见详解;(2)23．【解析】【分析】(1)连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切线;(2)连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝23，于是得到结论．【详解】(1)证明：连接AD，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°，∵AD ＝BD ，∴∠BAD ＝∠B ＝30°，∴∠ADC ＝60°，∴∠DAC ＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC 是⊙D 的切线;(2)解：连接AE ，∵AD ＝DE ，∠ADE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形，∴AE ＝DE ，∠AED ＝60°，∴∠EAC ＝∠AED ﹣∠C ＝30°，∴∠EAC ＝∠C ，∴AE ＝CE ＝∴⊙D 的半径AD ＝【点睛】本题考查的知识点有等腰三角形性质、三角形的内角和定理、切线的判定等..本题主要考查了学生的推理能力，是一道比较好的题目．22.小明家的门框上装有一把防盗门锁(如图1)，其平面结构图如图2所示，锁身可以看成由两条等弧AD ，BC 和矩形ABCD 组成的，BC 的圆心是倒锁按钮点M ．已知AD 的弓形高2GH cm =，8AD cm =，11 EP cm =．当锁柄PN 绕着点顺时针旋转至NQ 位置时，门锁打开，此时直线PQ 与BC 所在的圆相切，且PQDN ∥， tan 2NQP ∠=． (1)求BC 所在圆的半径;(2)求线段AB 的长度． 2.236≈，结果精确到0.1cm )【答案】(1)即BC 所在圆的半径为5cm ;(2)29.8AB ≈cm ．【解析】【分析】(1)连结BM ，设HM 交 BC 于点，设BM r =，在Rt BMK △中，根据勾股定理，列方程，即可求解;(2)延长PQ 交NM 的延长线于点，设直线PQ 与BC 所在的圆相切于点，连结 M J ．由//DN PQ ，NP NQ =得DNE NQP ∠=∠，结合 tan 2NQP ∠=，8DE NG ==cm ，15NP =cm ，由tan tan 2TMJ P ∠==，得30NT cm =，10TJ cm =，进而得(3055)MN cm =-，即可求解．【详解】(1)如图，连结BM ，设HM 交 BC 于点．∴BK=AG=142AD cm =, 设BM r =，∴在Rt BMK △中，2224(2)r r =+-，解得：=5r ，即BC 所在圆的半径为5cm ;(2)如图，延长PQ 交NM 的延长线于点，设直线PQ 与BC 所在的圆相切于点，连结 M J ． //DN PQ ，DNE P ∴∠=∠．NP NQ =，P NQP ∴∠=∠，DNE NQP ∴∠=∠，tan tan 2DE DNE NQP NE ∴∠=∠==． 4NE DG ==cm ，8DE NG ∴==cm ，41115NP NE EP ∴=+=+=cm ．直线PQ 与BC 所在的圆相切于点，MJ PQ ∴⊥，5MJ =cm ，TMJ P ∴∠=∠，tan tan 2TMJ P ∴∠==，12MJ NP TJ NT ∴==， 15230NT cm ∴=⨯=，5210TJ cm =⨯=，222251055MT MJ TJ ∴=+=+=cm ，(3055)MN NT MT cm ∴=-=-，830553415529.8AB GN MN MK ∴=++=+-+=-≈cm ．【点睛】本题主要考查圆的性质，切线的性质以及锐角三角函数的综合，掌握垂径定理，切线的性质定理和正切三角函数的定义，是解题的关键．23.如图，在△ABC 中，BA ＝BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，BC 的延长线于⊙O 的切线AF 交于点F ．(1)求证：∠ABC＝2∠CAF;(2)若AC＝10，CE：EB＝1：4，求CE的长．【答案】(1)见解析;(2)CE＝2．【解析】【分析】(1)首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切线，易证得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，证得：∠ABC=2∠CAF;(2)首先连接AE，设CE=x，由勾股定理可得方程：(10)2=x2+(3x)2求得答案．【详解】(1)证明：如图，连接BD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°．∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，即∠DAB+∠CAF＝90°．∴∠CAF＝∠ABD．∵BA＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝2∠ABD．∴∠ABC＝2∠CAF．(2)解：如图，连接AE，∴∠AEB＝90°，设CE＝x，∵CE：EB＝1：4，∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x，在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，即(210)2＝x2+(3x)2，∴x＝2．∴CE＝2．【点睛】此题考查了切线的性质，三角函数以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解题关键．24.如图，已知直线l：y＝﹣43x+8交x轴于点E，点A为x轴上的一个动点(点A不与点E重合)，在直线l上取一点B(点B在x轴上方)，使BE＝5AE，连结AB，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCD，连结OB，以OB为直径作⊙P．(1)当点A在点E左侧时，若点B落在y轴上，则AE的长为，点D的坐标为;(2)若⊙P与正方形ABCD的边相切于点B，求点B的坐标;(3)⊙P与直线BE的交点为Q，连结CQ，当CQ平分∠BCD时，BE的长为．(直接写出答案)【答案】(1)2，(12，4);(2)满足条件的点B的坐标为(﹣12，24)或(247，247)或(4811，2411);(3)785．【解析】【分析】(1)如图1中，作DG⊥x轴于G．通过证明△OBA≌△DAG即可得出点D的坐标;(2)分三种种情形：如图2中，当点A与原点O重合时，⊙P与BC相切于点B，AE＝6，如图4中，当OB⊥AB 时，⊙P与AB相切于点B，作BH⊥OA于H．分别求解即可，如图4中，当点E在点A的右侧时，作BH⊥OA 于H．利用相似三角形的性质求解即可;(3)如图5，作BG⊥OA于点G，连结OQ．设AE＝m，则BE＝5m，得到BG＝4m，EG＝3m，AG＝2m，求得B(6﹣3m，4m)，C(m+6，6m)，A(6﹣m，0)，得到直线OQ的解析式为34y x=，求得9672(,)2525Q，推出C，Q，A三点共线，解方程即可得到结论．【详解】解：(1)如图1中，作DG⊥x轴于G．由题意：E(6，0)，B(0，8)，∴OE＝6，OB＝8，∴BE2268+＝10，∵BE＝5AE，∴AE＝2，∴OA＝4，∵∠OBA+∠OAB=∠OAB+∠DAG=90º,∴∠BAO＝∠DAG，∵AB=DA，∠AOB＝∠DGA,∴△OBA≌△DAG(AAS)，∴DG=OA=4,OB=AG=8，∴OG=OA+AG=12,∴D(12，4)，故答案为2，(12，4);(2)如图2中，当点A与原点O重合时，⊙P与BC相切于点B，AE＝6，∵BE＝5AE，∴BE＝30，可得B(﹣12，24)．如图3中，当OB⊥AB时，⊙P与AB相切于点B，作BH⊥OA于H．设AE＝m，则BE＝5m，BH＝4m，EH＝3m，∴BH＝AH＝4m，∴∠BAO＝45°，∵∠OBA＝90°，∴∠BOA＝45°，∴点B的横坐标与纵坐标相同，可得B(247，247)，如图4中，当点E在点A的右侧时，作BH⊥OA于H．设BE＝5m，AE＝m，则BH＝4m，AEH＝3m，AH＝2m，∵∠OBA＝∠OHB＝90°，由△OHB∽△BHA，可得BH2＝OH•AH，∴16m2＝(6﹣3m)•2m，解得m＝6 11，∴B(4811，2411)综上所述，满足条件的点B的坐标为(﹣12，24)或(247，247)或(4811，2411);(3)如图5，作BG⊥OA于点G，连结OQ．设AE＝m，则BE＝5m，∴BG＝4m，EG＝3m，AG＝2m，∴B(6﹣3m，4m)，C(m+6，6m)，A(6﹣m，0)，∵OQ⊥直线l，且过圆心O，∴直线OQ的解析式为34y x =，∴9672 (,)2525 Q，∵CQ平分∠BCD，∴C，Q，A三点共线，∴66(6) 7296(6) 2525m m mm+--=--，解得78 m25 =，∴78 AE25=，∴78 BE5=，故答案为：785．【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形的应用，直线与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．。
2022年中考仿真模拟检测《数学卷》含答案解析
数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一．选择题(共6小题)1.2020的相反数是( )A. 2020B. ﹣2020C. 12020D. 12020- 2.下列计算中，正确的是( )A. a 2•a 4＝a 8B. (a 3)4＝a 7C. (ab )4＝ab 4D. a 6÷a 3＝a 3 3.若将一个长方形纸条折成如图的形状，则图中∠1与∠2的数量关系是( )A. ∠1＝2∠2B. ∠1＝3∠2C. ∠1+∠2＝180°D. ∠1+2∠2＝180°4.已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d 的取值范围是( )A. 0＜d ＜3B. 0＜d ＜7C. 3＜d ＜7D. 0≤d ＜3 5.如果正十边形的边长为a ，那么它的半径是( )A. sin 36a ︒B. cos36a ︒C. 2sin18a ︒D. 2cos18a ︒ 6.已知在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形是( )A. AD ＝BC ，AC ＝BDB. AC ＝BD ，∠BAD ＝∠BCDC. AO ＝CO ，AB ＝BCD. AO ＝OB ，AC ＝BD二．填空题(共12小题)7.分解因式：2mx －6my ＝__________．8.函数1x -中，自变量x 的取值范围是____________________． 9.从1，2，3，4，5，6，7，这七个数中，任意抽取一个数，那么抽到素数的概率是_____． 10.一组数据：2，2，5，5，6，那么这组数据的方差是_____．11.不等式组21021xx-+<⎧⎨-⎩解集是_____．12.方程+2x x=的根是__________.13.已知关于的一元二次方程2210mx x-+=有两个不相等的实数根，则的取值范围是___．14.在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE经过△ABC的重心，如果AB＝π，AC n=，那么DE＝_____．(用π、n表示)15.如图，已知在5×5的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上，如果小正方形的边长都为1，那么点C到线段AB所在直线的距离是_____．16.如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数y＝kx的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是_____．17.定义：对于函数y＝f(x)，如果当a≤x≤b时，m≤y≤n，且满足n﹣m＝k(b﹣a)(k是常数)，那么称此函数为”k级函数”．如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣(﹣9)＝k(3﹣1)，求得k＝3，所以函数y＝﹣3x为”3级函数”．如果一次函数y＝2x﹣1(1≤x≤5)为”k级函数”，那么k的值是_____．18.如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝43，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP 的值是_____．三．解答题(共7小题)19.先化简，再求值：(1222a a ++-)÷2322a a a++，其中a ＝5+1． 20.解方程组: 22212320x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩ 21.如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB (弧所对的弦的长)为8米，拱高CD (弧的中点到弦的距离)为2米．(1)求桥拱所在圆的半径长;(2)如果水面AB 上升到EF 时，从点E 测得桥顶D 的仰角为α，且cotα＝3，求水面上升的高度．22.某社区为了加强居民对新型冠状病毒肺炎防护知识了解，鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒肺炎的防护全国统一考试(全国卷)》试卷(满分100分)，社区管理员随机从该社区抽取40名居民的答卷，并对他们的成绩(单位：分)进行整理、分析，过程如下：收集数据85 65 95 100 90 95 85 65 75 85 100 90 70 90 100 80 80 100 95 75 80 100 80 95 65 100 90 95 85 80 100 75 60 90 70 80 95 75 100 90整理数据(每组数据可含最低值，不含最高值) 分组(分)频数 频率 60～704 0.1 70～80 a b 80～9010 025 90～100c d 100～1108 0.2分析数据(1)填空：a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ，d ＝ ;(2)补全频率分布直方图;(3)由此估计该社区居民在线答卷成绩在(分)范围内的人数最多;(4)如果该社区共有800人参与答卷，那么可估计该社区成绩在90分及以上约为人．23.如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M在线段OD上，联结AM并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ON＝OM，联结DN与线段AE交于点H，联结EN、MN．(1)如果EN∥BD，求证：四边形DMNE是菱形;(2)如果EN⊥DC，求证：AN2＝NC•AC．24.如图，已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A(﹣3，0)和点B(3，2)，与y轴相交于点C．(1)求这条抛物线的表达式;(2)点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直线AP的截距;(3)在(2)小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点．当△EAO与△EAF全等时，求点E的纵坐标．25.如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，点P是射线AC上一点(不与点A、C重合)，过P作PM⊥AB，垂足为点M，以M为圆心，MA长为半径的⊙M与边AB相交的另一个交点为点N，点Q 是边BC上一点，且CQ＝2CP，联结NQ．(1)如果⊙M与直线BC相切，求⊙M的半径长;(2)如果点P在线段AC上，设线段AP＝x，线段NQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域;(3)如果以NQ为直径的⊙O与⊙M的公共弦所在直线恰好经过点P，求线段AP的长．答案与解析一．选择题(共6小题)1.2020的相反数是( )A. 2020B. ﹣2020C.12020D.12020【答案】B【解析】【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【详解】解：2020的相反数是：﹣2020．故选：B．【点睛】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.下列计算中，正确的是()A. a2•a4＝a8B. (a3)4＝a7C. (ab)4＝ab4D. a6÷a3＝a3【答案】D【解析】【分析】直接利用积的乘方、幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【详解】A．a2•a4＝a2+4=a6，故此选项计算错误，B．(a3)4＝a3×4=a12，故此选项计算错误，C．(ab)4＝a4b4，故此选项计算错误，D．a6÷a3＝a6-3=a3，故此选项计算正确．故选D．【点睛】此题主要考查了积的乘方、幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3.若将一个长方形纸条折成如图的形状，则图中∠1与∠2的数量关系是( )A. ∠1＝2∠2B. ∠1＝3∠2C. ∠1+∠2＝180°D. ∠1+2∠2＝180°【答案】A【解析】【分析】由折叠可得，∠2=∠ABC，再根据平行线的性质，即可得出∠1=∠ABD=2∠2．【详解】解：如图，由折叠可得，∠2=∠ABC，又∠2+∠ABC=∠ABD，即：∠ABD=2∠2，∵AB∥CD，∴∠1=∠ABD(两直线平行，内错角相等)，∴∠1=∠ABD=2∠2故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．4.已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是( )A. 0＜d＜3B. 0＜d＜7C. 3＜d＜7D. 0≤d＜3【答案】D【解析】【分析】本题直接告诉了两圆的半径及两圆的位置的关系，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【详解】解：由题意知，两圆内含，则0≤d＜5-2(当两圆圆心重合时圆心距为0)，即如果这两圆内含，那么圆心距d 的取值范围是0≤d ＜3，故选：D ．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，①外离，则d ＞R+r ;②外切，则d=R+r ;③相交，则R-r ＜d ＜R+r ;④内切，则d=R-r ;⑤内含，则d ＜R-r ．5.如果正十边形的边长为a ，那么它的半径是( ) A. sin 36a ︒ B. cos36a ︒ C. 2sin18a ︒ D. 2cos18a ︒【答案】C【解析】【分析】如图，画出图形，在直角三角形OAM 中，直接利用三角函数即可得到OA.【详解】如图，正十边形的中心角∠AOB=360°÷10=36°，AB=a∴∠AOM=∠BOM=18°，AM=MB=12a ; ∴OA=AM sin OAM ∠=218a sin ︒故选C.【点睛】本题考查三角函数，能够画出图形，找到正确的三角函数关系是解题关键.6.已知在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是( )A. AD ＝BC ，AC ＝BDB. AC ＝BD ，∠BAD ＝∠BCDC. AO ＝CO ，AB ＝BCD. AO ＝OB ，AC ＝BD【答案】B【解析】【分析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题．【详解】解：A、AB∥DC，AD＝BC，无法得出四边形ABCD是平行四边形，故无法判断四边形ABCD是矩形．故错误;B、∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ABC＝∠ADC＋∠BCD＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠ABC＝∠ADC，∴得出四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．故正确;C、∵AO＝CO，AB＝BC，∴BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误;D、AO＝OB，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误;故选：B．【点睛】本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，属于中考常考题型．二．填空题(共12小题)7.分解因式：2mx－6my＝__________．【答案】2m(x－3y)【解析】试题分析：对于因式分解的题目．如果有公因式，我们首先都需要提取公因式，然后利用公式法或十字相乘法进行因式分解.原式=2m(x－3y).考点：因式分解.8.函数中，自变量x的取值范围是____________________．【答案】x＞1【解析】【分析】根据被开方数不能为负数，以及分母不能为零，列出不等式解不等式即可.【详解】根据题意得：x-1≥0，且x-1≠0解得x＞1故填x＞1【点睛】本题考查自变量的取值范围，正确列出不等式是解题关键.9.从1，2，3，4，5，6，7，这七个数中，任意抽取一个数，那么抽到素数的概率是_____．【答案】4 7【解析】【分析】根据素数定义，先找到素数的个数，让素数的个数除以数的总数即为所求的概率．【详解】解：∵1，2，3，4，5，6，7这7个数有4个素数是2，3，5，7;∴抽到素数的概率是47．故答案为：47．【点睛】本题考查的是概率公式．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)＝mn;找到素数的个数为易错点．10.一组数据：2，2，5，5，6，那么这组数据的方差是_____．【答案】14 5【解析】【分析】根据题意先求出这组数的平均数是4，再根据方差公式求解即可【详解】解：∵x＝15(2+2+5+5+6)＝4，∴S2＝1n[(x1−x)2＋(x2−x)2＋…＋(x n−x)2]=15[(4﹣2)2+(4﹣2)2+(4﹣5)2+(4﹣5)2+(4﹣6)2]＝145，故答案为：145．【点睛】本题考查了方差：一般地设n个数据，x1，x2，…，x n的平均数为x，则方差S2＝1n[(x1−x)2＋(x2−x)2＋…＋(x n−x)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．11.不等式组21021xx-+<⎧⎨-⎩解集是_____．【答案】13 2x <【解析】【分析】先求出各个不等式的解集，再求它们的公共解集即为不等式组得解集．【详解】解：21021xx-+<⎧⎨-⎩①②，解不等式①，得12 x>;解不等式②，得x≤3;所以原不等式组的解集为：13 2x<≤，故答案为：13 2x <．【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式(组)，关键是掌握解集的规律：同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到．12.x=的根是__________.【答案】2【解析】【分析】本题可先对方程两边平方，得到x+2=x，再对方程进行因式分解即可解出本题．【详解】原方程变形为：x+2=x 即x−x−2=0∴(x−2)(x+1)=0∴x=2或x=−1∵x=−1时不满足题意.∴x=2.故答案为2.【点睛】此题考查解无理方程，解题关键在于掌握方程解法.13.已知关于的一元二次方程 2210mx x -+=有两个不相等的实数根，则的取值范围是___．【答案】1m <且0m ≠【解析】【分析】由二次项系数非零结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】∵关于x 的一元二次方程mx 2-2x+1=0有两个不相等的实数根，∴()20240m m ≠⎧⎪⎨--⎪⎩＝＞， 解得：m ＜1且m≠0．故答案为1m <且0m ≠．【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及解一元一次不等式组，根据二次项系数非零结合根的判别式△＞0列出关于m 的一元一次不等式组是解题的关键．14.在△ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，DE 经过△ABC 重心，如果AB ＝π，AC n =，那么DE ＝_____．(用π、n 表示) 【答案】2233n π- 【解析】分析】由DE ∥BC 推出AD ：AB ＝AG ：AF ＝DE ：BC ＝2：3，推出DE ＝23BC ，求出 BC 即可解决问题．【详解】解：如图设G 是重心，作中线AF ．∵DE ∥BC ，∴AD ：AB ＝AG ：AF ＝DE ：BC ＝2：3，∴DE ＝23BC ， ∵BC BA AC =+ ∴BC n π=-，∴()222333DE n n ππ=-=- 故答案为：2233n π-． 【点睛】本题考查三角形的重心、平行线的性质、平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15.如图，已知在5×5的正方形网格中，点A 、B 、C 在小正方形的顶点上，如果小正方形的边长都为1，那么点C 到线段AB 所在直线的距离是_____．【答案】355【解析】分析】根据题意，连接AD 、AC ，作CE ⊥AD 于点E ，由每个小正方形的边长为1，利用勾股定理，可以得到AC 、CD 、AD 的长，然后即可得到△ACD 的形状，再利用等积法，即可求得CE 的长．【详解】解：连接AD 、AC ，作CE ⊥AD 于点E ，∵小正方形的边长都为1，∵224225+=223332+=22112+=∵((2225322=+，即AD 2=AC 2+CD 2∴△ACD 是直角三角形，∠ACD ＝90°， ∴22AC CD AD CE ⋅⋅=， 即32225=22CE ⨯⨯， 解得，CE ＝355， 即点C 到线段AB 所在直线的距离是355， 故答案为：355．【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16.如图，已知在平面直角坐标系中，点A 在x 轴正半轴上，点B 在第一象限内，反比例函数y ＝k x的图象经过△OAB 的顶点B 和边AB 的中点C ，如果△OAB 的面积为6，那么k 的值是_____．【答案】4【解析】【分析】过B 作BD ⊥OA 于点D ，设点B (m ，n )，根据△OAB 的面积为6，可以求得A 点坐标，而点C 是AB 的中点，即可表示出C 点坐标，再将点B 、C 坐标同时代入反比例函数解析式，即可求解．【详解】解：过B 作BD ⊥OA 于D ，∵点B在反比例函数kyx=的图象上，∴设B(m，n)，∵△OAB的面积为6，∴12 OAn=，∴ (12n，)，∵点C是AB的中点，∴ (122mnn+，2n)，∵点C在反比例函数kyx=的图象上，∴12=22mn nmnn+⋅，∴4mn=，∴4k=．故答案为．【点睛】本题目考查反比例函数，难度一般，正确作出辅助线，设出点B的坐标，是顺利解题的关键．17.定义：对于函数y＝f(x)，如果当a≤x≤b时，m≤y≤n，且满足n﹣m＝k(b﹣a)(k是常数)，那么称此函数为”k级函数”．如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣(﹣9)＝k(3﹣1)，求得k＝3，所以函数y＝﹣3x为”3级函数”．如果一次函数y＝2x﹣1(1≤x≤5)为”k级函数”，那么k的值是_____．【答案】2【解析】【分析】先根据一次函数的性质求出对应的y的取值范围，再根据k级函数的定义解答即可．【详解】解：∵一次函数y＝2x﹣1，1≤x≤5，∴1≤y≤9，∵一次函数y＝2x﹣1(1≤x≤5)为”k级函数”，∴9－1=k(5－1)，解得：k＝2;故答案为：2．【点睛】本题是新定义试题，主要考查了对”k级函数”的理解和一次函数的性质，正确理解”k级函数”的概念、熟练掌握一次函数的性质是解题关键．18.如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝43，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP 的值是_____．【答案】6或10【解析】【分析】分情况解答：当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x，通过证明△PBE≌△QPF，得出PE＝QF＝x，DF＝x﹣1，由tan∠FDQ＝tan A＝43＝FQDF，即可得出AP的值;当点Q落在AD上时，得出∠APB＝∠BPQ＝90°，由tan A＝43，即可得出AP的值;当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．由tan A＝BEAE＝43，可得出△BPQ是等腰直角三角形，此时求出BQ不满足题意，舍去.【详解】解：如图1中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x．在Rt△AEB中，∵tan A＝BEAE＝43，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∵将线段PB 绕着点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，∴∠BPQ ＝90°，∴∠EBP +∠BPE ＝∠BPE +∠FPQ ＝90°，∴∠EBP ＝∠FPQ ，∵PB ＝PQ ，∠PEB ＝∠PFQ ＝90°，∴△PBE ≌△QPF (AAS )，∴PE ＝QF ＝x ，EB ＝PF ＝8，∴DF ＝AE +PE +PF ﹣AD ＝x ﹣1，∵CD ∥AB ，∴∠FDQ ＝∠A ，∴tan ∠FDQ ＝tan A ＝43＝FQ DF ， ∴1x x ＝43， ∴x ＝4，∴PE ＝4，∴AP ＝6+4＝10;如图2，当点Q 落在AD 上时，∵将线段PB 绕着点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，∴∠BPQ ＝90°，∴∠APB ＝∠BPQ ＝90°，在Rt △APB 中，∵tan A ＝AP BP ＝43，AB ＝10， ∴AP ＝6;如图3中，当点Q 落在直线BC 上时，作BE ⊥AD 于E ，PF ⊥BC 于F ．则四边形BEPF 是矩形．在Rt △AEB 中，∵tan A ＝BE AE ＝43，AB ＝10， ∴BE ＝8，AE ＝6，∴PF ＝BE ＝8， ∵△BPQ 是等腰直角三角形，PF ⊥BQ ，∴PF ＝BF ＝FQ ＝8，∴PB ＝PQ ＝，BQPB ＝16＞15(不合题意舍去)，综上所述，AP 的值是6或10，故答案为：6或10．【点睛】本题主要考查旋转的性质，由正切求边长，正确画出图形，分情况解答是解题的关键.三．解答题(共7小题)19.先化简，再求值：(1222a a ++-)÷2322a a a++，其中a． 【答案】2a a -，32+【解析】【分析】 先根据分式的混合运算法则化简，再把a 的值代入化简后的式子计算即可．【详解】解：原式＝()()()()22232222a a a a a a a -+++÷+-+ ＝()()()2322232a a a a a a ++⨯+-+ ＝2a a -． 当a【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式的除法运算，属于基本题型，熟练掌握分式的混合运算法则和分母有理化方法是解题关键．20.解方程组: 22212320x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】1144x y =⎧⎨=⎩，2263x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程组成方程组，即可求解．【详解】解：由(2)得(x−y)(x−2y)＝0．∴x−y＝0或x−2y＝0，原方程组可化为212x yx y+=⎧⎨-=⎩，21220x yx y+=⎧⎨-=⎩，解这两个方程组，得原方程组的解为：114 4x y =⎧⎨=⎩，2263xy=⎧⎨=⎩.【点睛】本题主要考查了高次方程组的解法，解题的基本思想是降次，掌握降次的方法是解高次方程的关键．21.如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB(弧所对的弦的长)为8米，拱高CD(弧的中点到弦的距离)为2米．(1)求桥拱所在圆的半径长;(2)如果水面AB上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为α，且cotα＝3，求水面上升的高度．【答案】(1)桥拱所在圆的半径长为5米;(2)水面上升的高度为1米【解析】【分析】(1)根据点D是AB中点，DC AB⊥知C为AB中点，联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，在Rt△ACO中，由勾股定理求出半径．(2) 设OD与EF相交于点G，联结OE，由EF∥AB，OD⊥AB，得到OD⊥EF，进而找出EG＝3DG，设水面上升的高度为x米，即CG＝x，则DG＝2﹣x，在Rt△EGO中根据勾股定理求出x即可．【详解】解：(1)∵点D是AB中点，DC AB⊥，∴AC＝BC，DC经过圆心，设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，∵AB＝8，∴AC＝BC＝4，联结OA ，设半径OA ＝OD ＝R ，OC ＝OD ﹣DC ＝R ﹣2，∵OD ⊥AB ，∴∠ACO ＝90°，在Rt △ACO 中，∵OA 2＝AC 2+OC 2，∴R 2＝(R ﹣2)2+42，解之得R ＝5．答：桥拱所在圆的半径长为5米．(2)设OD 与EF 相交于点G ，联结OE ，∵EF ∥AB ，OD ⊥AB ，∴OD ⊥EF ，∴∠EGD ＝∠EGO ＝90°，在Rt △EGD 中，cot 3EG DG α== ， ∴EG ＝3DG ，设水面上升的高度为x 米，即CG ＝x ，则DG ＝2﹣x ，∴EG ＝6﹣3x ，在Rt △EGO 中，∵EG 2+OG 2＝OE 2，∴(6﹣3x )2+(3+x )2＝52，化简得 x 2﹣3x +2＝0，解得 x 1＝2(舍去)，x 2＝1，答：水面上升的高度为1米．【点睛】此题是关于圆的综合性试题，包含的知识点有解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程等，有一定难度．22.某社区为了加强居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒肺炎的防护全国统一考试(全国卷)》试卷(满分100分)，社区管理员随机从该社区抽取40名居民的答卷，并对他们的成绩(单位：分)进行整理、分析，过程如下：收集数据85 65 95 100 90 95 85 65 75 85 100 90 70 90 100 80 80 100 95 75 80 100 80 95 65 100 90 95 85 80 100 75 60 90 7080 95 75 100 90整理数据(每组数据可含最低值，不含最高值)分组(分) 频数频率60～70 4 0.170～80 a b80～90 10 0.2590～100 c d100～110 8 0.2分析数据(1)填空：a＝，b＝，c＝，d＝;(2)补全频率分布直方图;(3)由此估计该社区居民在线答卷成绩在(分)范围内的人数最多;(4)如果该社区共有800人参与答卷，那么可估计该社区成绩在90分及以上约为人．【答案】(1)6，0.15，12，0.3;(2)见解析;(3)：90～100;(4)400【解析】【分析】(1)根据数据找出a，c再求出相应的b，d．(2)根据(1)画图即可．(3)从直方图中直接找出频率最高者即为所求．(4)总数乘以频率即可．【详解】解：(1)由题意可知：第二组的频数a＝6，第四组的频数c＝12，∴第二组的频率为：6÷40＝0.15，第四组的频率为：12÷40＝0.3．故答案为：6，0.15，12，0.3;(2)如下图即为补全的频率分布直方图;(3)由此估计该社区居民在线答卷成绩在90～100(分)范围内的人数最多．故答案为：90～100;(4)800×(0.3+0.2)＝400(人)．答：如果该社区共有800人参与答卷，那么可估计该社区成绩在90分及以上约为400人．故答案为：400．【点睛】此题考查数据的收集，包含频率的计算，画直方图等，难度一般．23.如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M在线段OD上，联结AM并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ON＝OM，联结DN与线段AE交于点H，联结EN、MN．(1)如果EN∥BD，求证：四边形DMNE是菱形;(2)如果EN⊥DC，求证：AN2＝NC•AC．【答案】(1)见解析;(2)见解析【解析】【分析】(1)根据正方形性质及ON＝OM，求出MN∥CD，进而得出四边形DMNE是平行四边形，在证明出△AOM ≌△DON 即可得到平行四边形DMNE 是菱形;(2)根据MN ∥CD 得到AN AM NC ME =，再由EN ⊥DC 得到EN ∥AD ，AC DC AN DE=，再由AB ∥DC ，得到AM AB ME DE =，即可得到AN AC NC AN=，即为所求． 【详解】证明：(1)如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，AC ⊥BD ，∵ON ＝OM ，∴ON OM OC OD= ， ∴MN ∥CD ，又∵EN ∥BD ，∴四边形DMNE 是平行四边形，在△AOM 和△DON 中，∵∠AOM ＝∠DON ＝90°，OA ＝OD ，OM ＝ON ，∴△AOM ≌△DON (SAS )，∴∠OMA ＝∠OND ，∵∠OAM+∠OMA ＝90°，∴∠OAM+∠OND ＝90°∴∠AHN ＝90°．∴DN ⊥ME ，∴平行四边形DMNE 是菱形;(2)如图2，∵MN∥CD，∴AN AM NC ME=，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB＝DC，∠ADC＝90°，∴AD⊥DC，又∵EN⊥DC，∴EN∥AD，∴AC DC AN DE=，∵AB∥DC，∴AM AB ME DE=，∴AN AC NC AN=，∴AN2＝NC•AC．【点睛】此题考查正方形相关知识，主要是利用平行线分线段成比例求解，难度较大．24.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A(﹣3，0)和点B(3，2)，与y轴相交于点C．(1)求这条抛物线的表达式;(2)点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直线AP的截距;(3)在(2)小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点．当△EAO与△EAF全等时，求点E的纵坐标．【答案】(1)211433y x x =-++;(2)32;(3335+或5 6 【解析】【分析】(1)把(3,0)A -和点(3,2)B 代入抛物线的解析式，列方程组，可得结论;(2)如图1，根据对称的性质得5AD AC ==，可得2OD =，设OH a =，则4HC HD a ==-，在Rt HOD ∆中，根据勾股定理得222HD OH OD =+，列方程可得结论;(3)分两种情况：先说明AOE ∆是直角三角形，所以EAF ∆也是直角三角形，根据90EFA ∠=︒，画图，由勾股定理列方程可解答．【详解】解：(1)抛物线24y ax bx =++过点(3,0)A -和点(3,2)B ， 93409342a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 211433y x x =-++; (2)如图1，连接AC ，DH ，点关于直线AP 的对称点，AD AC =∴，211433y x x =-++与轴交于点(0,4)C ，与轴交于点(3,0)A -， 5AC ∴=，5AD ∴=，点(2,0)D ，设直线AP 与轴交于点，则HC HD =，设OH a =，则4HC HD a ==-，在Rt HOD ∆中，222HD OH OD =+，222(4)2a a ∴-=+， 32a =， 直线AP 的截距为32; (3)点是轴正半轴上一点，AOE ∴∆是直角三角形，且90AOE ∠=︒当EAO ∆与EAF ∆全等时，存在两种情况：①如图2，当90EFA AOE ∠=∠=︒，EFA AOE ∆≅∆，EF OA ∴=，AHO EHF ∠=∠，90AOH EFH ∠=∠=︒，()AOH EFH AAS ∴∆≅∆，AH EH ∴=，由(2)知：32OH =， 32EH AH OE ∴==-， Rt AHO ∆中，222AH AO OH =+，22233()3()22OE ∴-=+， 解得：3352OE +=或3352-(舍)， 点的纵坐标是3352+; ②如图3，当90EFA AOE ∠=∠=︒，EFA EOA ∆≅∆，3AF AO ∴==，EF OE =， Rt AHO ∆中，223353()2AH =+= 353FH ∴=-，32EH OE =-， Rt EFH ∆中，由勾股定理得：222EH FH EF =+，222335()(3)2OE OE ∴-=-+， 解得：356OE =，点的纵坐标是356;335+或356． 【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是掌握二次函数的性质，对称的性质：对称轴是对称点连接的垂直平分线，三角形全等的性质和判定，当三角形全等不确定边的对应关系时，先确定三角形的特殊性，如直角三角形或等腰三角形等条件，再进一步分情况讨论．25.如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝8，点P 是射线AC 上一点(不与点A 、C 重合)，过P 作PM ⊥AB ，垂足为点M ，以M 为圆心，MA 长为半径的⊙M 与边AB 相交的另一个交点为点N ，点Q 是边BC 上一点，且CQ ＝2CP ，联结NQ ．(1)如果⊙M 与直线BC 相切，求⊙M 的半径长;(2)如果点P 在线段AC 上，设线段AP ＝x ，线段NQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域;(3)如果以NQ 为直径的⊙O 与⊙M 的公共弦所在直线恰好经过点P ，求线段AP 的长．【答案】(1)55-;(2)2221220y x x =-+0＜x ＜4);(3)52或112． 【解析】【分析】 (1)先根据勾股定理求得5AB =，设⊙M 的半径长为R ，则45BM R =，过M 作MH ⊥BC ，垂足为点H ，根据相似三角形的对应边成比例得到MB MH AB AC =，最后根据⊙M 与直线BC 相切，即MA ＝MH ，即可求解;(2)设AP ＝x ，得到CP ＝4﹣x ，CQ ＝8﹣2x ，BQ ＝2x ，过Q 作QG ⊥AB ，垂足为点G ，根据三角函数可得4525BG QG x x ==，，根据PM ⊥AB ，5cosA AM AC AP AB ===52565MA AN NG 45x x x ===，，，最后在Rt △QNG 中，根据勾股定理即可求解; (3)当点P 在线段AC 上，设以NQ 为直径的⊙O 与⊙M 的另一个交点为点E ，连接EN ，MO ，则MO ⊥EN ，根据以NQ 为直径的⊙O 与⊙M 的公共弦所在直线恰好经过点P ，PM ⊥AB ，MA ＝MN ，得到PN ＝P A ，∠P AN＝∠ANE ，再根据∠ACB ＝90°，得到∠P AN +∠B ＝90°，∠NMO ＝∠B ，连接AQ ，根据 M 、O 分别是线段AN 、NQ 的中点，得到MO ∥AQ ，∠NMO ＝∠BAQ ，∠BAQ ＝∠B ， QA ＝QB ，在Rt △QAC 中，根据勾股定理得，QA 2＝AC 2+QC 2即可求解;当点P 在线段AC 的延长112上，即11x 2=． 【详解】(1)解：如图1，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，∴22AB4845=+=设⊙M半径长为R，则BM45R=-过M作MH⊥BC，垂足为点H，∴MH∥AC，∵MH∥AC，∴△BHM∽△BCA，∴MB MH AB AC=∵⊙M与直线BC相切，∴MA＝MH，∴454 45R R-=∴R55=-，即M的半径长为55-;(2)如图2，∵AP ＝x ，∴CP ＝4﹣x ，∵CQ ＝2CP ，∴CQ ＝8﹣2x ，∴BQ ＝BC ﹣CQ ＝8﹣(8﹣2x )＝2x ，过Q 作QG ⊥AB ，垂足为点G ， ∵cos BG BC B BQ AB==， ∴2BG x =，∴BG 5x =同理： QG 5x =∵PM ⊥AB ，∴∠AMP ＝90°，∴cosA AM AC AP AB ===∵AP ＝x ，∴MA AN x x ==，∴NG 5x = 在Rt △QNG 中，根据勾股定理得，QN 2＝NG 2+QG 2，∴222y ⎛⎫⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎭∴y =0＜x ＜4);(3)当点P 在线段AC 上，如图3，设以NQ 为直径的⊙O 与⊙M 的另一个交点为点E ，连接EN ，MO ， 则MO ⊥EN ，∴∠NMO+∠ANE＝90°，∵以NQ为直径的⊙O与⊙M的公共弦所在直线恰好经过点P，即P、E、N在同一直线上，又∵PM⊥AB，MA＝MN，∴PN＝P A，∴∠P AN＝∠ANE，∵∠ACB＝90°，∴∠P AN+∠B＝90°，∴∠NMO＝∠B，连接AQ，∵M、O分别是线段AN、NQ的中点，∴MO∥AQ，∴∠NMO＝∠BAQ，∴∠BAQ＝∠B，∴QA＝QB，在Rt△QAC中，根据勾股定理得，QA2＝AC2+QC2，∴(2x)2＝42+(8﹣2x)2，∴5 x2 =同理：当点P在线段AC的延长112上，11x2=即线段AP的长为52或112．【点睛】此题考查圆的综合题，涉及到相似三角形的判定和性质、解直角三角形，还涉及到了分类讨论的思想，熟练掌握各知识点的融会贯通是解题关键．。
2022年人教版中考考前模拟考试《数学试题》含答案解析
人教版数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一．选择题1.2020-的相反数等于( )A. 2020-B. 12020C. 12020-D. 20202.非洲猪瘟病毒的直径达0.0000002米，由于它的块头较大，难以附着在空气中的粉尘上，因此不会通过空气传播．0.0000002用科学计数法表示为( )A. 7210-⨯B. 6210-⨯C. 80.210-⨯D. 7210-⨯ 3.如图，已知a ∥b ，直角三角板的直角顶点在直线a 上，若∠1=30°，则∠2等于( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60° 4.方程2﹣12x -＝12x -的解为( ) A. x ＝2 B. x ＝4 C. x ＝6 D. 无解5.如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是( )A. 俯视图不变，左视图不变B. 主视图改变，左视图改变C. 俯视图不变，主视图不变D. 主视图改变，俯视图改变6.一元二次方程(x+3)(x ﹣3)＝2x ﹣5的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根7.在某校”班级篮球联赛”中，全年级共有11个班级参加比赛，它们决赛的最终成绩各不相同，小芳向知道自己班能否进入前6名，不仅要了解自己班的成绩，还要了解这11个班级成绩的( )A 众数 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数8.在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是( )A. y1＜y2B．y1＞y2C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣49.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N;②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD=CB，∠A=35°，则∠C等于()A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°10.如图在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…若点A(32，0)，B(0，2)，则点B2018的坐标为( )A. (6048，0)B. (6054，0)C. (6048，2)D. (6054，2) 二．填空题364+2-2＝______．12.不等式组23142x x +>⎧⎪⎨-≤⎪⎩的解为_____________________． 13.鸡蛋孵化后，小鸡为雌与雄的概率相同．如果两个鸡蛋都成功孵化，则孵出的两只小鸡中都为雄鸡的概率为_______．14.如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A 、点C ，交OB 于点D ，若OA ＝3，则阴影都分的面积为___________．15.如图，▱ABCD 中，AB ∥x 轴，AB ＝6．点A 坐标为(1，﹣4)，点D 的坐标为(﹣3，4)，点B 在第四象限，点G 是AD 与y 轴的交点，点P 是CD 边上不与点C ，D 重合的一个动点，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将△PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，点P 的坐标为______．三．解答题16.先化简、再求值：(222x x x -+﹣2144x x x -++)÷4x x -，其中x 3﹣2． 17.如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上不同于A 、B 的两点，∠ABD ＝2∠BAC ，过点C 作CE ⊥DB 交DB 的延长线于点E ，直线AB 与CE 交于点F ．(1)求证：CF 为⊙O 的切线;(2)填空：①若AB ＝4，当OB ＝BF 时，BE ＝______;②当∠CAB 度数为______时，四边形ACFD 是菱形．18.张老师抽取了九年级部分男生掷实心球成绩进行整理，分成5个小组(x表示成绩，单位：米)．A组：5.25≤x ＜6.25;B组：6.25≤x＜7.25;C组：7.25≤x＜8.25;D组：8.25≤x＜9.25;E组：9.25≤x＜10.25，规定x≥6.25为合格，x≥9.25为优秀．并绘制出扇形统计图和频数分布直方图(不完整)．(1)抽取的这部分男生有______人，请补全频数分布直方图;(2)抽取的这部分男生成绩的中位数落在_____组?扇形统计图中D组对应的圆心角是多少度?(3)如果九年级有男生400人，请你估计他们掷实心球的成绩达到合格的有多少人?19.如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．(参考数据：sin50°≈0.77，c os50°≈0.64，tan50°≈1.20)．20.为了落实党的”精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨;从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．(1)A城和B城各有多少吨肥料?(2)设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费．(3)由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a(0＜a＜6)元，这时怎样调运才能使总运费最少?21.如图，一次函数y=-x+3的图象与反比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)的图象交于A(1，a)，B两点．(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;(2)在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．22. 定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为”智慧三角形”.理解：⑴如图，已知是⊙上两点，请在圆上找出满足条件的点，使为”智慧三角形”(画出点的位置，保留作图痕迹);⑵如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，试判断是否为”智慧三角形”，并说明理由;运用：⑶如图，在平面直角坐标系中，⊙的半径为，点是直线上的一点，若在⊙上存在一点，使得为”智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点的坐标.23.如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，一次函数y25=x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．(1)点D的坐标是;(2)直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点(不与点D、C重合)，点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．①当n275时，求DP的长;②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围．答案与解析一．选择题1.2020-的相反数等于( )A. 2020-B. 12020C. 12020-D. 2020【答案】D【解析】【分析】根据相反数的定义，即可得到答案．【详解】2020-的相反数等于2020．故选D ．【点睛】本题主要考查相反数的定义，掌握相反数的定义，是解题的关键．2.非洲猪瘟病毒的直径达0.0000002米，由于它的块头较大，难以附着在空气中的粉尘上，因此不会通过空气传播．0.0000002用科学计数法表示为( )A. 7210-⨯B. 6210-⨯C. 80.210-⨯D. 7210-⨯ 【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数;当原数的绝对值<1时，n 是负数．【详解】0.0000002的小数点向右移动7位得到2，所以0.0000002用科学记数法表示为2×10-7， 故选A.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3.如图，已知a ∥b ，直角三角板的直角顶点在直线a 上，若∠1=30°，则∠2等于( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°【答案】D【解析】∵直角三角板的直角顶点在直线a上，∠1=30°，∴∠3=60°．∵a∥b，∴∠2=∠3=60°．故选D．4.方程2﹣12x-＝12x-的解为()A. x＝2B. x＝4C. x＝6D. 无解【答案】D【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：2(x﹣2)﹣1＝﹣1，去括号得：2x﹣4﹣1＝﹣1，移项合并得：2x＝4，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解，故选：D．【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握计算法则是解题关键．5.如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是( )A. 俯视图不变，左视图不变B. 主视图改变，左视图改变C. 俯视图不变，主视图不变D. 主视图改变，俯视图改变【答案】A【解析】【分析】结合几何体的形状，结合三视图可得出俯视图和左视图没有发生变化.【详解】将正方体①移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，俯视图和左视图没有发生改变，主视图发生了改变，故选A．【点睛】本题考查了简单组合体三视图，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题关键．6.一元二次方程(x+3)(x﹣3)＝2x﹣5的根的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根【答案】A【解析】【分析】先化为一般形式，再求出b2﹣4ac的值，根据b2﹣4ac的正负即可得出答案．【详解】解：(x+3)(x﹣3)＝2x﹣5，x2﹣2x﹣4＝0，这里a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，∵b2﹣4ac＝(﹣2)2﹣4×1×(﹣4)＝20＞0，∴有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题主要考查根的判别式，解题关键是熟练掌握计算法则.7.在某校”班级篮球联赛”中，全年级共有11个班级参加比赛，它们决赛的最终成绩各不相同，小芳向知道自己班能否进入前6名，不仅要了解自己班的成绩，还要了解这11个班级成绩的( )A. 众数B. 方差C. 平均数D. 中位数【答案】D【解析】【分析】11人成绩的中位数是第6名的成绩，要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【详解】解：由于总共有11个人，且他们分数互不相同，第6名的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道中位数的多少．故选：D．【点睛】本题主要考查统计量的选择，熟悉平均数、中位数、众数、方差的意义是此类问题的关键．8.在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是( )A. y1＜y2B．y1＞y2C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣4【答案】D【解析】试题分析：抛物线y=x2+2x﹣3与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1;抛物线的顶点坐标是(﹣1，﹣4)，对称轴为x=﹣1．选项A，无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y1与y2的大小，该选项错误;选项B，无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y1与y2的大小，该选项错误;选项C，y的最小值是﹣4，该选项错误;选项D，y的最小值是﹣4，该选项正确．故答案选D.考点：二次函数图象上点的坐标特征;二次函数的最值．9.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N;②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD=CB，∠A=35°，则∠C等于()A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°【答案】A【解析】【分析】首先根据作图过程得到MN垂直平分AB，然后利用中垂线性质得到∠A=∠ABD，然后利用三角形外角的性质求得∠CDB的度数，从而可以求得∠C的度数．【详解】解：∵根据作图过程和痕迹发现MN垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠DBA=∠A=35°，∵CD=BC，∴∠CDB=∠CBD=2∠A=70°，∠C=40故选A．【点睛】本题考查了基本作图中作已知线段的垂直平分线及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是能利用垂直平分线的性质及外角的性质进行角之间的计算，难度不大．10.如图在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…若点A(32，0)，B(0，2)，则点B2018的坐标为( )A. (6048，0)B. (6054，0)C. (6048，2)D. (6054，2) 【答案】D【解析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B 、B 2、B 4…每偶数之间的B 相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B 2018的坐标．【详解】∵A (32，0)，B (0，2)， ∴OA ＝32，OB ＝2， ∴Rt △AOB 中，AB52=， ∴OA +AB 1+B 1C 2＝32+2+52＝6， ∴B 2的横坐标为：6，且B 2C 2＝2，即B 2(6，2)，∴B 4的横坐标为：2×6＝12， ∴点B 2018的横坐标为：2018÷2×6＝6054，点B 2018的纵坐标为：2， 即B 2018的坐标是(6054，2)．故选D ．【点睛】此题考查了点的坐标规律变换以及勾股定理的运用，通过图形旋转，找到所有B 点之间的关系是解决本题的关键．二．填空题+2-2＝______．【答案】4.25【解析】【分析】首先计算乘方、开方，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．﹣2＝4+0.25＝4.25．故答案为：4.25．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握计算法则是解题关键.12.不等式组23142x x +>⎧⎪⎨-≤⎪⎩的解为_____________________． 【答案】19x <【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：23142x x +>⎧⎪⎨-≤⎪⎩①②， 由①得，x ＞1，由②得，x≤9．故不等式组的解集为：19x <．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知”同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．13.鸡蛋孵化后，小鸡为雌与雄的概率相同．如果两个鸡蛋都成功孵化，则孵出的两只小鸡中都为雄鸡的概率为_______．【答案】14． 【解析】【详解】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果数，其中两只小鸡中都为雄鸡占1种，所以孵出的两只小鸡中都为雄鸡的概率=14． 故答案为：14． 14.如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A 、点C ，交OB 于点D ，若OA ＝3，则阴影都分的面积为___________．【答案】34π【解析】【分析】连接OC ，作CH ⊥OB 于H ，根据直角三角形的性质求出AB ，根据勾股定理求出BD ，证明△AOC 为等边三角形，得到∠AOC=60°，∠COB=30°，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．【详解】连接OC，作CH⊥OB于H，∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，由勾股定理得，OB＝2233AB OA-=，∵OA＝OC，∠OAB＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠COB＝30°，∴CO＝CB，CH＝12OC＝32，∴阴影部分的面积＝22 603131330333333602222360ππ⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯-=34π，故答案为：34π．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．15.如图，▱ABCD中，AB∥x轴，AB＝6．点A的坐标为(1，﹣4)，点D的坐标为(﹣3，4)，点B在第四象限，点G是AD与y轴的交点，点P是CD边上不与点C，D重合的一个动点，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，点P的坐标为______．【答案】(﹣55，4)或(655，4)【解析】【分析】先求出点G坐标，由勾股定理可求M'N的长，再由勾股定理可求m的值，即可求解．【详解】解：∵点A的坐标为(1，﹣4)，点D的坐标为(﹣3，4)，∴直线AD解析式为：y＝﹣2x﹣2，∴点G(0，﹣2)，如图1中，当点P在线段CD上时，设P(m，4)．在Rt△PNM′中，∵PM＝PM′＝6，PN＝4，∴NM′22'M P PN5在Rt△OGM′中，∵OG2+OM′2＝GM′2，∴22+(5)2＝m2，解得m＝﹣655，∴P(65，4)根据对称性可知，P 65，4)也满足条件．故答案为：(﹣655，4)或(55，4)【点睛】本题主要考查一次函数综合题，解题关键是由勾股定理求M'N的长. 三．解答题16.先化简、再求值：(222x x x -+﹣2144x x x -++)÷4x x -，其中x ﹣2． 【答案】21(2)x -+;﹣13． 【解析】【分析】 先化简分式，然后将x 的值代入求值．【详解】解：原式＝[2(2)x x x -+﹣21(2)x x -+]÷4x x- ＝[2(2)(2)(2)x x x x -++﹣2(1)(2)x x x x -+]÷4x x- ＝2224(2)x x x x x --++÷4x x- ＝24(2)x x x -+•4x x- ＝21(2)x -+．当x 2时， 原式＝13． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题关键是熟练掌握计算法则．17.如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上不同于A 、B 的两点，∠ABD ＝2∠BAC ，过点C 作CE ⊥DB 交DB 的延长线于点E ，直线AB 与CE 交于点F ．(1)求证：CF 为⊙O 的切线;(2)填空：①若AB ＝4，当OB ＝BF 时，BE ＝______;②当∠CAB 的度数为______时，四边形ACFD 是菱形．【答案】(1)证明见解析;(2)①1;②30°．【解析】【分析】(1)连结OC，如图，由于∠OAC＝∠OCA，则根据三角形外角性质得∠BOC＝2∠OAC，而∠ABD＝2∠BAC，所以∠ABD＝∠BOC，根据平行线的判定得到OC∥BD，再CE⊥BD得到OC⊥CE，然后根据切线的判定定理得CF为⊙O的切线;(2)①由平行线分线段成比例可得12BF BEOF OC==，即可求BE的长;②根据三角形的内角和得到∠F＝30°，根据等腰三角形的性质得到AC＝CF，连接AD，根据平行线的性质得到∠DAF＝∠F＝30°，根据全等三角形的性质得到AD＝AC，由菱形的判定定理即可得到结论．【详解】证明：(1)连结OC，如图，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠BOC＝∠A+∠OCA＝2∠OAC，∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝∠BOC，∴OC∥BD，∵CE⊥BD，∴OC⊥CE，∴CF为⊙O的切线;(2)①∵AB＝4，∴OB ＝BF ＝OC ＝2，∴OF ＝4，∵BE ∥OC ， ∴12BF BE OF OC ==， ∴BE ＝1，故答案为：1;②当∠CAB 的度数为30°时，四边形ACFD 是菱形，理由：∵∠CAB ＝30°，∴∠COF ＝60°，∴∠F ＝30°，∴∠CAB ＝∠F ，∴AC ＝CF ，连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BD ，∴AD ∥CF ，∴∠DAF ＝∠F ＝30°，在△ACB 与△ADB 中，CAB DAB 30ACB D 90AB AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△ACB ≌△ADB (AAS )，∴AD ＝AC ，∴AD ＝CF ，∵AD ∥CF ，∴四边形ACFD 是菱形．故答案为：30°．【点睛】本题主要考查菱形的性质与切线的判定性质，解题关键是熟练掌握菱形的性质和切线的性质. 18.张老师抽取了九年级部分男生掷实心球的成绩进行整理，分成5个小组(x 表示成绩，单位：米)．A 组：5.25≤x ＜6.25;B 组：6.25≤x ＜7.25;C 组：7.25≤x ＜8.25;D 组：8.25≤x ＜9.25;E 组：9.25≤x ＜10.25，规定x≥6.25为合格，x≥9.25为优秀．并绘制出扇形统计图和频数分布直方图(不完整)．(1)抽取的这部分男生有______人，请补全频数分布直方图;(2)抽取的这部分男生成绩的中位数落在_____组?扇形统计图中D组对应的圆心角是多少度?(3)如果九年级有男生400人，请你估计他们掷实心球的成绩达到合格的有多少人?【答案】(1)50;补图见解析;(2)C;108°;(3)估计他们掷实心球的成绩达到合格的有360人．【解析】【分析】(1)设抽取的这部分男生有x人．根据A组的人数以及百分比，列出方程即可解决问题;(2)根据中位数的对应即可判定，利用圆心角＝360°×百分比，计算即可;(3)用样本估计总体的思想解决问题;【详解】解：(1)设抽取的这部分男生有x人．则有5x×100%＝10%，解得x＝50，C组有50×30%＝15人，E组有50﹣5﹣10﹣15﹣15＝5人，条形图如图所示：(2)抽取的这部分男生成绩的中位数落在C组．∵D组有15人，占1530×100%＝30%，∴对应的圆心角＝360°×30%＝108°．故答案为C．(3)(1﹣10%)×400＝360人，估计他们掷实心球的成绩达到合格的有360人．【点睛】本题主要考查扇形统计图、中位数，解题关键是熟练掌握计算法则.19.如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)．【答案】这座山的高度是1900米．【解析】【分析】设EC＝x，则在RT△BCE中，可表示出BE，在Rt△ACE中，可表示出AE，继而根据AB+BE＝AE，可得出方程，解出即可得出答案．【详解】解：设EC＝x，在Rt△BCE中，tan∠EBC＝EC BE，则BE＝ECtan EBC∠＝56x，在Rt△ACE中，tan∠EAC＝EC AE，则AE＝ECtan EAC∠＝x，∵AB+BE＝AE，∴300+56x＝x，解得：x＝1800，这座山的高度CD＝DE﹣EC＝3700﹣1800＝1900(米)．答：这座山的高度是1900米．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的应用.20.为了落实党的”精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨;从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．(1)A城和B城各有多少吨肥料?(2)设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费．(3)由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a(0＜a＜6)元，这时怎样调运才能使总运费最少? 【答案】(1)A城和B城分别有200吨和300吨肥料;(2)从A城运往D乡200吨，从B城运往C乡肥料240吨，运往D乡60吨时，运费最少，最少运费是10040元;(3)当0＜a<4时， A城200吨肥料都运往D乡，B 城240吨运往C乡，60吨运往D乡;当a=4时，在0≤x≤200范围内的哪种调运方案费用都一样;当4＜a＜6时， A城200吨肥料都运往C乡，B城40吨运往C乡，260吨运往D乡.【解析】【分析】(1)根据A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，列方程或方程组得答案;(2)设从A城运往C乡肥料x吨，用含x的代数式分别表示出从A运往运往D乡的肥料吨数，从B城运往C乡肥料吨数，及从B城运往D乡肥料吨数，根据：运费=运输吨数×运输费用，得一次函数解析式，利用一次函数的性质得结论;(3)列出当A城运往C乡的运费每吨减少a(0＜a＜6)元时的一次函数解析式，利用一次函数的性质讨论，得结论．【详解】(1)设A城有化肥a吨，B城有化肥b吨，根据题意，得500100 b ab a+=⎧⎨-=⎩，解得200300 ab=⎧⎨=⎩，答：A城和B城分别有200吨和300吨肥料;(2)设从A城运往C乡肥料x吨，则运往D乡(200﹣x)吨，从B城运往C乡肥料(240﹣x)吨，则运往D乡(60+x)吨，设总运费为y元，根据题意，则：y=20x+25(200﹣x)+15(240﹣x)+24(60+x)=4x+10040，∵20002400600xxxx≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪+≥⎩，∴0≤x≤200，由于函数是一次函数，k=4＞0，所以当x=0时，运费最少，最少运费是10040元;(3)从A城运往C乡肥料x吨，由于A城运往C乡的运费每吨减少a(0＜a＜6)元，所以y=(20﹣a)x+25(200﹣x)+15(240﹣x)+24(60+x)=(4﹣a)x+10040，当4﹣a>0时，即0＜a<4时，y随着x的增大而增大，∴当x=0时，运费最少，A城200吨肥料都运往D乡，B城240吨运往C乡，60吨运往D乡;当4-a=0时，即a=4时，y=10040，在0≤x≤200范围内的哪种调运方案费用都一样;当4﹣a＜0时，即4＜a＜6时，y随着x的增大而减小，∴当x=240时，运费最少，此时A城200吨肥料都运往C乡，B城40吨运往C乡，260吨运往D乡.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等，弄清题意、根据题意找准等量关系、不等关系列出方程组，列出一次函数解析式是关键．注意(3)小题需分类讨论．21.如图，一次函数y=-x+3的图象与反比例函数y =kx(k为常数，且k≠0)的图象交于A(1，a)，B两点．(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;(2)在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．【答案】(1)2yx=，B(2,1);(2)P(53，0).【解析】【分析】(1)由一次函数解析式求出点A的坐标，代入y=kx中求出反比例函数解析式，再将两个函数解析式联立解出点B坐标;(2)作点B关于轴的对称点,连接AD并求出直线AD解析式,再求得与轴交点的坐标即可得到答案;【详解】(1)解:把点()1,A a 代人一次函数y =-x +3中，得13a =-+，解得 a=2，∴A(1,2)，将A 代入反比例函数k y x =, 得122k =⨯=，反比例函数的表达式为2y x =， 当23x x=-+时， 联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，得：32y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得： 121212,21x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩， ∴B (2,1).(2)如图，作点B 关于轴的对称点 (2，-1)，连接与轴交于一点即为点，此时PA+PB 的值最小， 设直线AD 的关系式为y=kx+b ，将点A 、D 的坐标代入，得212k b k b =+⎧⎨-=+⎩，解得35k b =-⎧⎨=⎩， ∴设直线AD 的关系式为y=-3x+5， 当y=0时，x=53， ∴P (53，0).【点睛】此题是一道综合题，用待定系数法求反比例函数解析式，解决最短路径问题，正确理解题意即可正确解答.22. 定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为”智慧三角形”.理解：⑴如图，已知是⊙上两点，请在圆上找出满足条件的点，使为”智慧三角形”(画出点的位置，保留作图痕迹);⑵如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，试判断是否为”智慧三角形”，并说明理由;运用：⑶如图，在平面直角坐标系中，⊙的半径为，点是直线上的一点，若在⊙上存在一点，使得为”智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点的坐标.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)P的坐标(223，13)，(223，13)．【解析】试题分析：(1)连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解;(2)设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为”智慧三角形”;(3)根据”智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．试题解析：(1)如图1所示：(2)△AEF是否为”智慧三角形”，理由如下：设正方形边长为4a，∵E是DC的中点，∴DE=CE=2a，∵BC：FC=4：1，∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，在Rt△ADE中，AE2=(4a)2+(2a)2=20a2，在Rt△ECF中，EF2=(2a)2+a2=5a2，在Rt△ABF中，AF2=(4a)2+(3a)2=25a2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∵斜边AF上的中线等于AF的一半，∴△AEF为”智慧三角形”;(3)如图3所示：由”智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，由勾股定理可得PQ=，PM=1×2÷3=，由勾股定理可求得OM=，故点P的坐标(﹣，)，(，)．考点：圆的综合题．23.如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，一次函数y25=x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．(1)点D的坐标是;(2)直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点(不与点D、C重合)，点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．①当n275=时，求DP的长;②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围．【答案】(1)(2，9);(2)①DP954=DP253=②95<n215<.【解析】【分析】(1)直接用顶点坐标公式求即可;(2)由对称轴可知点C (2，95)，A (52-，0)，点A 关于对称轴对称的点(132，0)，借助AD 的直线解析式求得B (5，3);①当n=275时，N (2，275)，可求DA=2，DN=185，CD=365，当PQ ∥AB 时，△DPQ ∽△DAB ，;当PQ 与AB 不平行时，DP==②当PQ ∥AB ，DB=DP 时，DB=DN=245，所以N (2，215)，则有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，95<n 215<; 【详解】解：(1)顶点为D (2，9);故答案为(2，9);(2)对称轴x ＝2，∴C (2，95)， 由已知可求A (52-，0)， 点A 关于x ＝2对称点为(132，0)， 则AD 关于x ＝2对称的直线为y ＝﹣2x+13，∴B (5，3)，①当n=275时，N (2，275)，∴DA=2，DN=185，CD =365， 当PQ ∥AB 时，△DPQ ∽△DAB ，∵△DAC ∽△DPN ， ∴CDP DA DN D =，∴DP=4; 当PQ 与AB 不平行时，△DPQ ∽△DBA ，∴△DNQ ∽△DCA ， ∴CDP DB DN D =，∴DP =综上所述，DP =DP =②当PQ ∥AB ，DB ＝DP 时，DB ＝， ∴CDP DA DN D = ∴DN 245= ∴N (2，215)， ∴有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，95<n 215<; 故答案为：95<n 215<; 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似;熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．。
2022年中考模拟考试《数学卷》含答案解析
数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一．选择题(共10小题)1.实数﹣8的倒数是( ) A. ﹣18B.18C. 8D. ﹣82.下列计算正确的是( ) A 21a a -= B. 2623a b ab a ÷= C. ()326326a ba b -=-D. 2226212ab ab a b ⋅=3.如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为( )A. B. C. D.4.抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷95次都是正面朝上，则抛掷第100次正面朝上的概率是( ) A. 小于12B. 等于12C. 大于12D. 无法确定5.二次函数22y x x =-的顶点坐标是( ) A. (1,1)B. (1,1)-C. (1,1)--D. (1,1)-6.关于x 的一元一次不等式3x >6的解都能满足下列哪一个不等式的解( ) A. 4x -9＜x B. -3x +2＜0C. 2x +4＜0D.122x < 7.如图，AB 是O 的直径，点在O 上，CD 平分ACB ∠交O 于点，若30ABC ∠︒＝， 则CAD ∠的度数为( )A. 120︒B. 110︒C. 105︒D. 100︒8.如图，在ABC 中，点是线段AC 上一点，12AE CE =∶∶，过点作CD AB 交BE 的延长线于点，若ABE △的面积等于4，则BCD 的面积等于( )A. 8B. 16C. 24D. 329.如图，4个形状、大小完全相同菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，、、都是格点，则tan ABC ∠=( )A.39B.3 C.33D.3210.如图，⊙O 的半径为2，圆心O 在坐标原点，正方形ABCD 的边长为2，点A 、B 在第二象限，点C 、D 在⊙O 上，且点D 的坐标为(0，2)，现将正方形ABCD 绕点C 按逆时针方向旋转150°，点B 运动到了⊙O 上点B 1处，点A 、D 分别运动到了点A 1、D 1处，即得到正方形A 1B 1C 1D 1(点C 1与C 重合);再将正方形A 1B 1C 1D 1绕点B 1按逆时针方向旋转150°，点A 1运动到了⊙O 上点A 2处，点D 1、C 1分别运动到了点D 2、C 2处，即得到正方形A 2B 2C 2D 2(点B 2与B 1重合)，…，按上述方法旋转2020次后，点A 2020的坐标为( )A. (0，2)B. (2+3，﹣1)C. (﹣1﹣3，﹣1﹣3)D. (1，﹣2﹣3)二．填空题(共6小题)11.16的算术平方根是 ． 12.因式分解：244a b ab b -+ =________ ．13.如图，己知等边ABC 的边长为8，以AB 为直径的O 与边AC 、BC 分别交于、两点，则劣弧DE的长为______．14.《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出十二，盈八;人出十，不足六，问人数、物价各几何?译文：今有人合伙购物，每人出12钱，会多8钱;每人出10钱，又会差6钱，问人数、物价各是多少?设合伙人数为人，物价为钱，根据题意可列出方程组______． 15.为运用数据处理道路拥堵问题，现用流量 (辆／小时)、速度 (千米／小时)、密度 (辆／千米)来描述车流的基本特征．现测得某路段流量与速度之间关系的部分数据如下表： 速度 (千米／小时) …… 15 20 32 40 45 …… 流量 (辆／小时) ……105012001152800450……若己知、满足形如2q mv nv =+(、为常数)的二次函数关系式，且、、满足q vk =．根据监控平台显示，当510v ≤≤时，道路出现轻度拥堵，试求此时密度的取值范围是______．16.在滑草过程中，小明发现滑道两边形如两条双曲线，如图，点A 1，A 2，A 3…在反比例函数y ＝1x(x ＞0)的图象上，点B 1，B 2，B 3…反比例函数y ＝kx(k ＞1，x ＞0)的图象上，A 1B 1∥A 2B 2…∥y 轴，已知点A 1，A 2…的横坐标分别为1，2，…，令四边形A 1B 1B 2A 2、A 2B 2B 3A 3、…的面积分别为S 1、S 2、…(1)用含k 的代数式表示S 1＝_____． (2)若S 19＝39，则k ＝_____．三．解答题(共8小题)17.计算：()02sin 60202012π︒+--． 18.解方程：121x -=12-342x -．19.如图，在4×4的格点图中，ABC 为格点三角形，即顶点、、均在格点上，利用无刻度直尺按要求完成下列各题，并保留作图痕迹：(1)在边AB 上找一点，使45BCE ∠=︒(请在图①中完成); (2)在边AC 上找一点，使12AD DC =(请在图②中完成)． 20.某校开展”我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项．现随机抽查了部分学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图． 抽取的学生最喜欢体育活动的条形统计图抽取的学生最喜欢体育活动的扇形统计图请结合以上信息解答下列问题：(1)在这次调查中一共抽查了_____学生，扇形统计图中”乒乓球”所对应的圆心角为_____度，并请补全条形统计图;(2)己知该校共有1200名学生，请你估计该校最喜爱跑步的学生人数;(3)若在”排球、足球、跑步、乒乓球”四个活动项目任选两项设立课外兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法求恰好选中”排球、乒乓球”这两项活动的概率．21.已知：如图，在矩形ABCD中，若CD＝5，以D为圆心，DC长为半径作⊙D交CA的延长线于E，过D 作DF⊥AC，垂足为F，且DF＝3．(1)求证：BC是⊙D的切线;(2)求AE的长．22.在平面直角坐标系中，点A，B为反比例函数y＝kx(k＞0，x＞0)上的两个动点，以A，B为顶点构造菱形ABCD．(1)如图1，点A，B横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴，菱形ABCD面积为454，求k值．(2)如图2，当点A，B运动至某一时刻，点C，点D恰好落在x轴和y轴正半轴上，此时∠ABC＝90°，求点A，B的坐标．23.如图1，抛物线213y x bx c =++过点()4,1-A ，110,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点为直线AB 下方抛物线上一动点，M 为抛物线顶点，抛物线对称轴与直线AB 交于点．(1)求抛物线的表达式与顶点M 的坐标;(2)在直线AB 上是否存在点，使得，，M ，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点坐标; (3)在轴上是否存在点Q ，使45AQM ∠=︒?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．24.某校组织数学兴趣探究活动，爱思考小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为”中垂三角形”．如图1、图2、图3中，AF 、BE 是△ABC 的中线，AF ⊥BE 于点P ，像△ABC 这样的三角形均称为”中垂三角形”．(1)如图1，当∠PAB ＝45°，AB ＝2时，AC ＝ ，BC ＝ ;如图2，当sin ∠PAB ＝12，AB ＝4时，AC ＝ ，BC ＝ ;(2)请你观察(1)中计算结果，猜想AB 2、BC 2、AC 2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．(3)如图4，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝5D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 的中点，连结DE 并延长至G ，使得GE ＝DE ，连结BG ，当BG ⊥AC 于点M 时，求GF 的长．答案与解析一．选择题(共10小题)1.实数﹣8的倒数是( ) A. ﹣18B.18C. 8D. ﹣8【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的知识直接回答即可. 【详解】解：实数﹣8的倒数是﹣18， 故选：A ．【点睛】本题是对倒数知识的考查，熟练掌握倒数知识是解决本题的关键. 2.下列计算正确的是( ) A. 21a a -= B. 2623a b ab a ÷= C. ()326326a ba b -=-D. 2226212ab ab a b ⋅=【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、积的乘方、整式的乘法和除法，对各项计算后即可判断． 【详解】解：A ． 2a a a -=，故原选项错误; B ． 2623a b ab a ÷=，故原选项正确; C ． ()326328a ba b -=-故原选项错误;D ． 2236212⋅=ab ab a b ，故原选项错误; 故选：B【点睛】本题考查包括合并同类项、积的乘方、整式的乘法和除法，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．3.如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为( )A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形进行求解即可. 【详解】俯视图为从上往下看， 所以小正方形应在大正方形的右上角， 故选D.【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，熟知俯视图是从上方看得到的图形是解题的关键. 4.抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷95次都是正面朝上，则抛掷第100次正面朝上的概率是( ) A. 小于12B. 等于12C. 大于12D. 无法确定【答案】B 【解析】 【分析】根据概率的意义分析即可．【详解】解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币是随机事件，正面朝上的概率是12∴抛掷第100次正面朝上的概率是12故答案选：B【点睛】本题主要考查概率的意义，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键． 5.二次函数22y x x =-的顶点坐标是( ) A. (1,1) B. (1,1)-C. (1,1)--D. (1,1)-【答案】B 【解析】根据配方法把函数化为顶点式即可求解. 【详解】∵22y x x =-=2(1)1x -- 故顶点坐标是(1,1)- 故选B.【点睛】此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知配方法的应用. 6.关于x 的一元一次不等式3x >6的解都能满足下列哪一个不等式的解( ) A. 4x -9＜x B. -3x +2＜0C. 2x +4＜0D.122x < 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质分别解关于x 的一元一次不等式，然后看哪个不等式的解集包含题目所给不等式的解集即可得解．【详解】解：∵解3x>6，得出，x>2; A ． 4x -9＜x ，解得，x<3;不符合题意; B ．-3x+2<0，解得，2x 3>，符合题意; C ．2x+4<0，解得，x<-2，不符合题意; D ．122x <，解得，x<4，不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是解一元一次不等式，熟记不等式的基本性质是解题的关键． 7.如图，AB 是O 的直径，点在O 上，CD 平分ACB ∠交O 于点，若30ABC ∠︒＝， 则CAD ∠的度数为( )A. 120︒B. 110︒C. 105︒D. 100︒【答案】C【分析】利用圆周角定理得到∠ACB=90°，利用互余计算出∠BAC=60°，根据角平分线定义得出∠BCD=45°，从而利用圆周角定理得出∠BAD=∠BCD=45°，然后计算∠BAC+∠BAD 即可. 【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACB=90°∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-30°=60° ∵CD 平分∠ACB ∴∠BAD=∠BCD=45°∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=60°+45°=105°. 故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 8.如图，在ABC 中，点是线段AC 上一点，12AE CE =∶∶，过点作CDAB 交BE 的延长线于点，若ABE △的面积等于4，则BCD 的面积等于( )A. 8B. 16C. 24D. 32【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质和对顶角的性质得∠BAE=∠DCE ，∠AEB=∠CED ，从而证明△AEB ∽△CED ，由相似三角的性质面积比等相似比的平方得CEDS 16=．根据12AE CE =∶∶可得BCEABES2S=,即可得出答案．【详解】解：如图所示： ∵CD ∥AB ， ∴∠BAE=∠DCE ， 又∵∠AEB=∠CED ， ∴△AEB ∽△CED ，∴2AEB CEDS AE SEC ⎛⎫= ⎪⎝⎭又∵12AE EC = ，AEBS =4∴CEDS16=∵12AE CE =∶∶ ∴BCEABES 2S =8=∴BCD BCECEDSSS =81624=++=故选：C【点睛】本题综合考查了平行线的性质，对顶角的性质，相似三角形的判定与性质等相关知识，重点掌握相似三角的判定与性质，易错点相似三角的面积的比等于相似比的平方．9.如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，、、都是格点，则tan ABC ∠=( )A39B.36C.33D.32【答案】A 【解析】 【分析】直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用ECtan ABC BE∠= 得出答案．【详解】解:连接DC ，交AB 于点E ． 由题意可得:∠AFC=30°, DC ⊥AF, 设EC=x,则EF=x=3x tan 30︒,∴BF AF 2EF 23x ===EC x 13tan ABC BE 923x 3x 33====+∠, 故选:A【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF 的长是解题关键．10.如图，⊙O 的半径为2，圆心O 在坐标原点，正方形ABCD 的边长为2，点A 、B 在第二象限，点C 、D 在⊙O 上，且点D 的坐标为(0，2)，现将正方形ABCD 绕点C 按逆时针方向旋转150°，点B 运动到了⊙O 上点B 1处，点A 、D 分别运动到了点A 1、D 1处，即得到正方形A 1B 1C 1D 1(点C 1与C 重合);再将正方形A 1B 1C 1D 1绕点B 1按逆时针方向旋转150°，点A 1运动到了⊙O 上点A 2处，点D 1、C 1分别运动到了点D 2、C 2处，即得到正方形A 2B 2C 2D 2(点B 2与B 1重合)，…，按上述方法旋转2020次后，点A 2020的坐标为( )A. (0，2)B. (31)C. (﹣1313)D. (1，﹣23)【答案】B 【解析】 【分析】根据题意找到规律，12次为一个循环，则A 2020的坐标与A 4相同，求出A 4的坐标即可解决本题. 【详解】解：如图，由题意发现12次一个循环，∵2020÷12＝1684，∴A2020的坐标与A4相同，如图，连接M A4、OE、OF，∴∠EOF=360÷6=60°，∵OE=OE，∴△OEF为等边三角形，∴∠OEF=60°，∠OME=90°，∴OM=OE×cos60°=3，MF=11 2EF ，∴ON=OM+MN=2+3，NA=MF=1，∴A4(2+3，﹣1)，∴A2020(2+3，﹣1)，故选：B．【点睛】本题考查了旋转规律，三角函数、正方形、等边三角形的性质，准确根据题意找到旋转规律是解决本题的关键.二．填空题(共6小题)11.16的算术平方根是 ． 【答案】4 【解析】【详解】正数的正的平方根叫算术平方根，0的算术平方根还是0;负数没有平方根也没有算术平方根 ∵2(4)16±= ∴16的平方根为4和-4 ∴16算术平方根为412.因式分解：244a b ab b -+ =________ ． 【答案】()22b a - 【解析】 【分析】先利用提公因式的方法分解因式，再利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止． 【详解】244a b ab b -+()244b a a =-+ 2 (2)b a =- ．故答案为： 2(2)b a - ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，正确应用公式法分解因式是解题关键． 13.如图，己知等边ABC 的边长为8，以AB 为直径的O 与边AC 、BC 分别交于、两点，则劣弧DE的长为______．【答案】43π【解析】 【分析】连接OD 、OE ，先证明△AOD 、△BOE 是等边三角形，得出∠AOD=∠BOE=60°，求出∠DOE=60°，再由弧长公式即可得出答案．【详解】解：连接OD、OE，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵OA=OD，OB=OE，∴△AOD、△BOE是等边三角形，∴∠AOD=∠BOE=60°，∴∠DOE=60°，∴142OA AB==∴弧DE长=4 1806043ππ⨯=故答案为：4 3π【点睛】本题考查了等边三角形性质与判定、弧长公式;掌握弧长公式，等边三角形的判定是解题的关键．14.《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出十二，盈八;人出十，不足六，问人数、物价各几何?译文：今有人合伙购物，每人出12钱，会多8钱;每人出10钱，又会差6钱，问人数、物价各是多少?设合伙人数为人，物价为钱，根据题意可列出方程组______．【答案】128 106x yx y-=⎧⎨+=⎩【解析】【分析】根据”每人出12钱，会多8钱;每人出10钱，又会差6钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：依题意，得：12x8y 10x6y-=⎧⎨+=⎩故答案为： 12x 8y10x 6y -=⎧⎨+=⎩【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．15.为运用数据处理道路拥堵问题，现用流量 (辆／小时)、速度 (千米／小时)、密度 (辆／千米)来描述车流的基本特征．现测得某路段流量与速度之间关系的部分数据如下表：若己知、满足形如2q mv nv =+(、为常数)的二次函数关系式，且、、满足q vk =．根据监控平台显示，当510v ≤≤时，道路出现轻度拥堵，试求此时密度的取值范围是______．【答案】8090k ≤≤ 【解析】 【分析】利用待定系数法求出2-2100=+q v v ，将q vk =变形为：=q k v ，将2-2100=+q v v 代入=q k v，再求出当510v ≤≤时，k 的取值范围即可．【详解】由表格可知函数2q mv nv =+过(15，1050)、(20，1200)，可得：22m 15n 151050m 20n 201200⎧⨯+⨯=⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩ 解得m -2n 100=⎧⎨=⎩∴2-2100=+q v v ∵q vk = ∴=q k v， 将2-2100=+q v v 代入=q k v 得：2-2100===-2+100+q k v v vv v∵510v ≤≤ ∴80-2+10090≤≤v∴8090k ≤≤ 故答案为：8090k ≤≤【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，掌握待定系数法求反函数的解析式是解题的关键．16.在滑草过程中，小明发现滑道两边形如两条双曲线，如图，点A 1，A 2，A 3…在反比例函数y ＝1x(x ＞0)的图象上，点B 1，B 2，B 3…反比例函数y ＝kx(k ＞1，x ＞0)的图象上，A 1B 1∥A 2B 2…∥y 轴，已知点A 1，A 2…的横坐标分别为1，2，…，令四边形A 1B 1B 2A 2、A 2B 2B 3A 3、…的面积分别为S 1、S 2、…(1)用含k 的代数式表示S 1＝_____． (2)若S 19＝39，则k ＝_____． 【答案】 (1). 3(1)4k - (2). 761 【解析】 【分析】(1)根据反比例函数图象上点的特征和平行于y 轴的直线的性质计算A 1B 1、A 2B 2、…，最后根据梯形面积公式可得S 1的面积;(2)分别计算S 2、S 3、…S n 的值并找规律，根据已知S 19=39列方程可得k 的值． 【详解】解：(1)∵A 1B 1∥A 2B 2…∥y 轴，∴A 1和B 1的横坐标相等，A 2和B 2的横坐标相等，…，A n 和B n 的横坐标相等， ∵点A 1，A 2…的横坐标分别为1，2，…， ∴点B 1，B 2…的横坐标分别为1，2，…， ∵点A 1，A 2，A 3…在反比例函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，点B 1，B 2，B 3…反比例函数y ＝kx(k ＞1，x ＞0)的图象上，∴A 1B 1＝k ﹣1，A 2B 2＝122k -，∴S 1＝12×1×(122k -+k ﹣1)＝12(32k ﹣32)＝3(1)4k -， 故答案为：3(1)4k -; (2)由(1)同理得：A 3B 3＝3k ﹣13＝1(1)3k -，A 4B 4＝1(1)4k -，…， ∴S 2＝112⨯⨯ [1(1)3k -+12(k ﹣1)]＝1526⨯(k ﹣1)，S 3＝112⨯⨯ [11(1)(1)43k k -+-]＝17(1)212k ⨯-…， ∴S n ＝11(1)2(1)n n k n n ++⨯⨯-+， ∵S 19＝39， ∴1192021920+⨯⨯×(k ﹣1)＝39，解得：k ＝761， 故答案为：761．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质及数形结合思想是解决本题的关键.三．解答题(共8小题)17.计算：()02sin 602020π︒+-．【答案】1【解析】 【分析】根据二次根式、零指数帚的运算法则和特殊角的三角函数值分别计算,再合并即得结果．【详解】原式21=-1=【点睛】本题考查了实数和特殊三角函数值的混合运算问题,掌握实数混合运算法则、特殊三角函数值、零次幂的性质、二次根式的化简是解题的关键．18.解方程：121x -=12-342x -．【答案】3x = 【解析】 【分析】先确定最简公分母是42x -,将方程两边同时乘以最简公分母约去分母可得: 2213x =--,然后解一元一次方程,最后再代入最简公分母进行检验. 【详解】去分母得:2213x =--, 解得:3x =,经检验3x =是分式方程的解．【点睛】本题主要考查解分式方程的方法,解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的方法和步骤. 19.如图，在4×4的格点图中，ABC 为格点三角形，即顶点、、均在格点上，利用无刻度直尺按要求完成下列各题，并保留作图痕迹：(1)在边AB 上找一点，使45BCE ∠=︒(请在图①中完成); (2)在边AC 上找一点，使12AD DC =(请在图②中完成)． 【答案】(1)如图见解析;(2)如图见解析． 【解析】 【分析】(1)直接利用网格结合等腰直角三角形的性质得出答案; (2) 直接利用相似三角形的判定与性质得出答案． 【详解】(1)如图，E 所求;(2)如图，D 为所求【点睛】此题主要考查了应用设计图与作图、相似三角形的性质和判定，正确利用网格分析是解题关键．20.某校开展”我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项．现随机抽查了部分学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．抽取的学生最喜欢体育活动的条形统计图抽取的学生最喜欢体育活动的扇形统计图请结合以上信息解答下列问题：(1)在这次调查中一共抽查了_____学生，扇形统计图中”乒乓球”所对应的圆心角为_____度，并请补全条形统计图;(2)己知该校共有1200名学生，请你估计该校最喜爱跑步的学生人数;(3)若在”排球、足球、跑步、乒乓球”四个活动项目任选两项设立课外兴趣小组，请用列表法或画树状图方法求恰好选中”排球、乒乓球”这两项活动的概率．【答案】(1)150，36．补全如图见解析;(2)估计该校最喜爱跑步的学生为312人;(3)恰好选中”排球、乒乓球”这两项活动的概率为16．【解析】【分析】(1) 由排球人数及其斯占百分比可得总人数，用360°乘以乒乓球人数所占比例可得其对应圆心角度数，总人数乘以足球对应的百分比可得其人数，从而补全图形;(2)用总人数乘以样本中跑步人数所占比例即可得;(3)先画树状图展示所有12种等可能的结果数,再找出恰好选中”①排球、④乒乓球”两项活动的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】(1)调查中抽查的学生总数为：2114%=150÷扇形统计图中”乒乓球”所对应的圆心角为：15360=36150︒⨯︒故答案为：150，36．补全条形统计图如图．(2)估计该校最喜爱跑步的学生人数有：391200312150⨯=(人)(3)排球、足球、跑步、乒乓球依次用①②③④表示，画树状图：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中”①排球、④乒乓球”两项活动的有2种情况，∴21126 P==【点睛】本题考查了列表法或树状图法:通过列表法或树状图法列出所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了扇形统计图和条形统计图．21.已知：如图，在矩形ABCD中，若CD＝5，以D为圆心，DC长为半径作⊙D交CA的延长线于E，过D 作DF⊥AC，垂足为F，且DF＝3．(1)求证：BC是⊙D的切线;(2)求AE的长．【答案】(1)见解析;(2)7 4【解析】【分析】(1)根据四边形ABCD是矩形得∠BCD＝90°，即可证明;(2)先求出EF长，再证明△ADF∽△DCF，然后根据相似比求出AF，从而求出AE长. 【详解】解：(1)∵在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，∴BC⊥CD，∴BC是⊙D的切线;(2)∵DF⊥AC，即DF⊥CE，∴EF＝FC，∵CD＝5，DF＝3，∴CF，∴EF＝4，∵∠ADC＝90°，∴∠ADF＝DCF，∴△ADF∽△DCF，∴AF DF DF CF=，∴3 34 AF=，∴AF＝94，∴AE＝4-94=74．【点睛】本题是对圆知识的考查，熟练掌握圆的垂径定理，切线的判定以及相似三角形知识是解决本题的关键.22.在平面直角坐标系中，点A，B为反比例函数y＝kx(k＞0，x＞0)上的两个动点，以A，B为顶点构造菱形ABCD．(1)如图1，点A，B横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴，菱形ABCD面积为454，求k的值．(2)如图2，当点A，B运动至某一时刻，点C，点D恰好落在x轴和y轴正半轴上，此时∠ABC＝90°，求点A，B的坐标．【答案】(1)52;(2)A(52，5)，点B(5，52)【解析】【分析】(1)由菱形的性质可得BD=2BE=6，AC⊥DB，由菱形的面积公式可求AC＝154，设点B(4，a)，则点A(1，158+a)，代入解析式可求a的值，从而求出k的值;(2)过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，设点A(m，52m)由全等三角形的性质可得AE=DO=CF=m，DE＝OC＝BF＝52m﹣m，可表示B坐标，代入解析式可求解．【详解】解：(1)连接AC，交BD于点E，∵点A，B横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴，∴BE＝4﹣1＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴BD＝2BE＝6，AC⊥DB，∵菱形ABCD面积为454，∴12×BD×AC＝454，∴AC＝154，∴AE＝CE＝158，设点B(4，a)，则点A(1，158+a)，∵点A，B为反比例函数y＝kx(k＞0，x＞0)上的两个点，∴4a＝1×(158+a)，∴a＝58，∴k＝4a＝52;(2)如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，∴∠ADE+∠EAD＝90°，∠EDA+∠CDO＝90°，∠DCO+∠CDO＝90°，∠BCF+∠DCO＝90°，∴∠EAD＝∠CDO＝∠BCF，且∠AED＝∠DOC＝90°，AD＝CD，∴△AED≌△DOC(AAS)，∴AE＝DO，ED＝OC，同理可得：BF＝OC，CF＝DO，设点A(m，52m)，∴AE ＝DO ＝CF ＝m ，DE ＝OC ＝BF ＝52m ﹣m ， ∴点B 坐标(52m ，52m﹣m )， ∴52m (52m ﹣m )＝52， ∴m 1＝52，m 2＝﹣52(舍去)， ∴点A (52，5)，点B (5，52)． 【点睛】本题是反比例综合题，考查了反比例函数的性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，利用参数求点B 坐标是本题的关键．23.如图1，抛物线213y x bx c =++过点()4,1-A ，110,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点为直线AB 下方抛物线上一动点，M 为抛物线顶点，抛物线对称轴与直线AB 交于点．(1)求抛物线的表达式与顶点M 的坐标;(2)在直线AB 上是否存在点，使得，，M ，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点坐标;(3)在轴上是否存在点Q ，使45AQM ∠=︒?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．【答案】(1)21211333y x x =--，M 点的坐标为(1，－4);(2)符合条件的点的坐标为53,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，131,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭;(3)Q 点的坐标为(0,122-+或(0,122--． 【解析】【分析】(1)()4,1-A ，110,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入抛物线213y x bx c =++即可求出抛物线解析式，配方即可求出顶点坐标; (2)用待定系数法求出直线AB 的表达式为21133y x =-，求得MN=1，分①若MN 为平行四边形的一边，则有CD MN ∥，且CD MN =及②若MN 为平行四边形的对角线，进行解答即可;(3)构造P ,使得1452AQM APM ∠=∠=︒，作PE y ⊥轴，则1PE =，根据勾股定理可得EQ ==，即可求出Q 点的坐标【详解】(1)把()4,1-A ，110,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入抛物线213y x bx c =++得 16403113b c c ⎧++=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得：23113b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴21211333y x x =-- ∵()2212111143333y x x x =--=-- ∴M 点的坐标为(1，－4)．(2)设直线AB 的表达式为y mx n =+，则41113m n n +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩解得：23113m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线AB 的表达式为21133y x =-． 当1x =时，211333y =-=-， ∴点的坐标为(1，－3)，∴()341MN =---=．①若MN 为平行四边形的一边，则有CD MN ∥，且CD MN =． 设点坐标21211,333t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则211,33D t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴22111211133333CD t t t ⎛⎫=----= ⎪⎝⎭， ∴11t =(舍去)，23t =．∴点坐标为53,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．②若MN 为平行四边形的对角线，设211,33D t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2102,33C t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭． 代入抛物线得：()()212112102233333t t t ----=--，解得11t =(舍去)，21t =-， ∴131,3D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 综上所述，符合条件的点的坐标为53,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，131,3⎛⎫--⎪⎝⎭． (3)如图，在对称轴上取点()1,1P -，易得3PA PM ==，且90APM ∠=︒，以为圆心，PA 为半径作圆交轴与点Q ，则1452AQM APM ∠=∠=︒．作PE y ⊥轴，则1PE =， 又∵3PQ =，∴2222EQ PQ PE =-=∴Q 点的坐标为(0,122-+或(0,122--．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、勾股定理、轴对称的性质、平行四边形的性质、隐圆思想及分类讨论思想等知识．本题考查知识点较多,综合性较强，难度较大．灵活运用各个知识点是解题的关键．24.某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为”中垂三角形”．如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均称为”中垂三角形”．(1)如图1，当∠PAB＝45°，AB＝2时，AC＝，BC＝;如图2，当sin∠PAB＝12，AB＝4时，AC＝，BC＝;(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想AB2、BC2、AC2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．(3)如图4，在△ABC中，AB＝3，BC＝5D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，连结DE并延长至G，使得GE＝DE，连结BG，当BG⊥AC于点M时，求GF的长．【答案】(1)55137;(2)AC2+BC2＝5AB2，见解析;(3)GF13【解析】【分析】(1)如图1，由等腰直角三角形的性质得到AP=BP=6，根据三角形中位线的性质和平行线分线段成比例定理可得PE=PF=3，利用勾股定理可得AC和BC的长;如图2，根据特殊三角函数值可得∠BAP=30°，计算PB 和AP的长，同理由中线的性质和勾股定理可得结论;(2)设 PF=m，PE=n 则AP=2m，PB=2n，根据勾股定理分别列等式，可得结论;(3)如图4，作辅助线，证明四边形EFCG是平行四边形，得Q是FG的中点，根据中垂三角形的定义可知：△FCG是中垂三角形，利用(2)中三边的关系可得GF的长．【详解】(1)解：如图1，∵AF⊥BE，∴∠APB＝∠APE＝∠BPF＝90°，∵∠PAB＝45°，AB＝2，∴AP ＝PB ＝6，如图1，连接EF ，∵AF ，BE 是△ABC 的中线，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥AB ．且 EF ＝12AB ， ∴12PE PF PB PA ==， ∴PE ＝PF ＝3，由勾股定理得：AE ＝BF 22AP PE +2263+5 ∴AC ＝BC ＝2AE ＝5如图2，∵sin ∠PAB ＝12，AB ＝4，AF ⊥BE ， ∴∠PAB ＝30°，∴BP ＝12AB ＝2，AP ＝3， ∵AF 、BE 是△ABC 的中线， ∴PE ＝12PB ＝1，PF ＝12AP 3 由勾股定理得：AE 22PE AP +221(23)+13BF ＝22PF PB +22(3)2+7，∴AC ＝2AE ＝13BC ＝2BF ＝7故答案为：55137;(2)解：猜想：AB 2、BC 2、AC 2三者之间的关系是：AC 2+BC 2＝5AB 2，证明：如图3，设 PF ＝m ，PE ＝n 则AP ＝2m ，PB ＝2n ，在Rt △APB 中，(2m )2+(2n )2＝AB 2①，在Rt △APE 中，(2m )2+n 2＝(2AC )2②， 在Rt △BPF 中，m 2+(2n )2＝(2BC )2③， 由①得：m 2+n 2＝24AB ，由②+③得：5( m 2+n 2)＝224AC BC ， ∴AC 2+BC 2＝5AB 2;(3)解：如图4，连接CG ，EF ，过点F 作FN ∥BG 交CG 于点N ，FG 与AC 交于点Q ，∵FN ∥BG ，BG ⊥AC ，∴FN ⊥AC ，∵F 是BC 的中点，∴N 是CG 的中点，∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ＝FC ，DE ∥FC ，∵ED ＝EG ，∴EG ＝FC ，EG ∥FC ，∴四边形EFCG 是平行四边形，∴Q 是FG 的中点，∴△FCG 是中垂三角形，∵AB ＝3，BC ＝5∴CG ＝EF ＝BD ＝3，FC 5，由(2)中结论可知：5FC 2＝CG 2+FG 2，即5×5＝(32+FG 2， ∴GF 13【点睛】本题考查三角形综合题、中垂三角形的定义和应用、勾股定理、三角形的中位线定理、平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造中垂三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2022年中考综合模拟考试《数学试卷》含答案解析
数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题(本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分)1.给出四个实数﹣2，0，0.5，2，其中无理数是( )A. ﹣2B. 0C. 0.5D. 22. 如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的正视图应是( )A. B. C. D.3.我国倡导的”一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划”一带一路”地区覆盖总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为()A. 4.4×108B. 4.40×108C. 4.4×109D. 4.4×10104.一名射击爱好者7次射击的中靶环数如下(单位：环)：7，10，9，8，7，9，9，这7个数据的中位数是( )A. 7环B. 8环C. 9环D. 10环5.在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是( )A. 17B.37C.47D.576.要使分式21xx+-有意义，则x的取值应满足( )A. x≠﹣2B. x≠1C. x＝﹣2D. x＝17.在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A(﹣2，1)的对应点为A′(3，﹣1)，点B的对应点为B′(4，0)，则点B的坐标为()A. (9，﹣1)B. (﹣1，0)C. (3，﹣1)D. (﹣1，2)8.《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八盈三;人出七，不足四．问人数、物价各几何?译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱;每人出7钱，又会差4钱．问人数、物价各是多少?设合伙人数为人，物价为钱，则下列方程组正确的是()A.8374x yy x-=⎧⎨-=⎩B.8374y xy x-=⎧⎨-=⎩C.8374y xx y-=⎧⎨-=⎩D.8374x yx y-=⎧⎨-=⎩9.如图，AB⊥x轴，B为垂足，双曲线kyx=(x＞0)与△AOB两条边OA，AB分别相交于C，D两点，OC=CA，△ACD的面积为3，则k等于( )A. 2B. 3C. 4D. 610.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N 分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，AC，BC的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是( )A. 17B. 18C. 19D. 20二、填空题(本题有6小题，每小题5分，共30分)11.分解因式：m2-6m+9= .12. 已知扇形的弧长为8π，圆心角为60°，则它的半径为______．13.一组数据1，3，2，7，x，2，3的平均数是3，则该组数据的众数为________．14.不等式组13242xx+>⎧⎨-≤⎩的解集为_____．15.如图，直线y＝﹣33x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为_____．16.小林家的洗手台面上有一瓶洗手液(如图1)，当手按住顶部A下压时(如图2)，洗手液瞬间从喷口B流出，已知瓶子上部分的CE和FD的圆心分别为D，C，下部分的视图是矩形CGHD，GH＝10cm，GC＝8cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B距台面GH的距离为16cm，且B，D，H三点共线．如果从喷口B流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C．E两点，接洗手液时，当手心O距DH的水平距离为2cm时，手心O距水平台面GH的高度为_____cm．三、解答题(本题有8小题，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)17.(1)计算：16+(π﹣3)0﹣|﹣3|;(2)化简：(x+2)2﹣x(x﹣3)．18.如图，在△ABC中，AD是BC边上中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．(1)求证：△BDE≌△CDF．(2)当AD⊥BC，AE＝2，CF＝4时，求AC的长．19.某校组织七年级学生参加冬令营活动，本次冬令营活动分为甲、乙、丙三组进行．如图，条形统计图和扇形统计图反映了学生参加冬令营活动的报名情况，请你根据图中的信息回答下列问题：(1)七年级报名参加本次活动的总人数为 ，扇形统计图中，表示甲组部分的扇形的圆心角是 度;(2)补全条形统计图;(3)根据实际需要，将从甲组抽调部分学生到丙组，使丙组人数是甲组人数的3倍，则应从甲组抽调多少名学生到丙组?20.如图，A ，B ，C 是方格纸中的格点，请按要求作图．(1)在图1中画出一个以A ，B ，C ，D 为顶点的格点平行四边形．(2)在图2中画出一个格点P ，使得∠BPC ＝12∠BAC ．21.如图，在平面直角坐标系中，二次函数()230y axbx a =++≠的图像经过点()1,0A -，点()3,0B ，与轴交于点，(1)求、的值：(2)若点为直线BC上一点，点到直线、两点的距离相等，将该抛物线向左(或向右)平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点，求新抛物线的顶点坐标.22.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为BD的中点，延长AD，BC交于P，连结AC．(1)求证：AB＝AP;(2)当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．23.九二班计划购买A、B两种相册共42册作为毕业礼品，已知A种相册的单价比B种的多10元，买4册A 种相册与买5册B种相册的费用相同．(1)求A、B两种相册的单价分别是多少元?(2)由于学生对两类相册喜好不同，经调查得知：购买的A种相册的数量要少于B种相册数量的34，但又不少于B种相册数量的25，如果设买A种相册x册．①有多少种不同购买方案?②商店为了促销，决定对A 种相册每册让利a 元销售(12≤a ≤18)，B 种相册每册让利b 元销售，最后班委会同学在付款时发现：购买所需的总费用与购买的方案无关，当总费用最少时，求此时a 的值． 24.如图Rt ABC △中，ABC 90︒∠=，P 是斜边AC 上一个动点，以即为直径作O 交BC 于点D ，与AC 的另一个交点E ，连接DE ．(1)当DP EP =时，①若130BD ︒=，求C ∠的度数;②求证AB AP =;(2)当15AB =，20BC =时，①是含存在点P ，使得BDE 是等腰三角形，若存在求出所有符合条件的CP 的长;②以D 为端点过P 作射线DH ，作点O 关于DE 的对称点Q 恰好落在CPH ∠内，则CP 的取值范围为________．(直接写出结果)答案与解析一、选择题(本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分)1.给出四个实数﹣2，0，0.5，2，其中无理数是( )A. ﹣2B. 0C. 0.5D. 2【答案】D【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．【详解】解：﹣2，0是整数，属于有理数;0.5是有限小数，属于有理数;2是无理数．故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2. 如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的正视图应是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据主视图是从正面看到的图形，可得答案．【详解】从正面看是一个上底在下的梯形．故选D．考点：简单几何体的三视图．3.我国倡导的”一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划”一带一路”地区覆盖总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为()A. 4.4×108B. 4.40×108C. 4.4×109D. 4.4×1010【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数;当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：4 400 000 000=4.4×109，故选C．4.一名射击爱好者7次射击的中靶环数如下(单位：环)：7，10，9，8，7，9，9，这7个数据的中位数是( )A. 7环B. 8环C. 9环D. 10环【答案】C【解析】【分析】根据中位数的定义，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为：7，7，8，9，9，9，10，一共7个数，则中位数为9．故选：C．【点评】本题考查了中位数的知识，熟练掌握个数为奇数和偶数时中位数的求法是解题关键．5.在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是( )A. 17B.37C.47D.57【答案】B【解析】分析：先求出球的所有个数，再根据概率公式解答即可．详解：∵袋子中装有4个红球和3个黑球，∴共有7个球，其中4个红球，∴从口袋中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是3 7 .故选B.点睛：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目;②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．6.要使分式21xx+-有意义，则x的取值应满足( )A. x≠﹣2B. x≠1C. x＝﹣2D. x＝1【答案】B【解析】分析】根据分式有意义，分母不为0列出不等式，解不等式即可．【详解】解：由题意得，x﹣1≠0，解得，x≠1，故选：B．【点睛】本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义，分母不为0是解题的关键．7.在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A(﹣2，1)的对应点为A′(3，﹣1)，点B的对应点为B′(4，0)，则点B的坐标为()A. (9，﹣1)B. (﹣1，0)C. (3，﹣1)D. (﹣1，2)【答案】D【解析】解：横坐标从-2到3，说明是向右移动了3-(-2)=5，纵坐标从1到-1，说明是向下移动了1-(-1)=2，求原来点的坐标，则为让新坐标的横坐标都减5，纵坐标都加2．则点B的坐标为(-1，2)．故选D．8.《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八盈三;人出七，不足四．问人数、物价各几何?译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱;每人出7钱，又会差4钱．问人数、物价各是多少?设合伙人数为人，物价为钱，则下列方程组正确的是()A.8374x yy x-=⎧⎨-=⎩B.8374y xy x-=⎧⎨-=⎩C.8374y xx y-=⎧⎨-=⎩D.8374x yx y-=⎧⎨-=⎩【答案】A 【解析】【分析】设合伙人数为人，物价为钱，根据该物品价格不变，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，进而得到答案．【详解】解：设合伙人数为人，物价为钱，根据该物品价格不变，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组为：8374x y y x -=⎧⎨-=⎩， 故选：A ;【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．9.如图，AB ⊥x 轴，B 为垂足，双曲线k y x=(x ＞0)与△AOB 的两条边OA ，AB 分别相交于C ，D 两点，OC =CA ，△ACD 的面积为3，则k 等于( )A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】 连接OD ，过点C 作CE ⊥x 轴，∵OC=CA ，∴OE:OB=1:2;设△OBD 面积为x ，根据反比例函数k 的意义得到三角形OCE 面积为x ，∵△COE ∽△AOB ，∴三角形COE 与三角形BOA 面积之比为1:4，∵△ACD 的面积为3，∴△OCD 的面积为3，∴三角形BOA面积为6+x，即三角形BOA的面积为6+x=4x，解得x=2，∴12|k|=2，∵k>0，∴k=4，故选：C.10.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N 分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，AC，BC的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是( )A. 17B. 18C. 19D. 20【答案】C【解析】【分析】连接OP，OQ，根据M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，AC，BC的中点分别是P，Q．得到OP⊥AC，OQ⊥BC，从而得到H、I是AC、BC的中点，利用中位线定理得到OH+OI=12(AC+BC)=13和PH+QI=6，从而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解．【详解】连接OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，∵M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，AC，BC的中点分别是P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，由对称性可知：H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，∴H、I是AC、BC的中点，∴OH +OI ＝12(AC +BC )＝13， ∵MH +NI ＝12AC +12BC ＝13，MP +NQ ＝7， ∴PH +QI ＝13﹣7＝6，∴AB ＝OP +OQ ＝OH +OI +PH +QI ＝13+6＝19，故选C ．【点睛】本题考查了中位线定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线，题目中还考查了垂径定理和轴对称的知识，有难度．二、填空题(本题有6小题，每小题5分，共30分)11.分解因式：m 2-6m+9= .【答案】()2m 3-【解析】直接应用完全平方公式即可：()22m 6m 9m 3-+=-．12. 已知扇形的弧长为8π，圆心角为60°，则它的半径为______．【答案】24【解析】【分析】 根据弧长公式：180n r l π=直接解答即可． 【详解】解：设半径为r ， 8π=60180r π， 解得：r=24，故答案为：24．【点睛】此题考查根据弧长和圆心角求扇形的半径，掌握弧长公式是解决此题的关键．13.一组数据1，3，2，7，x ，2，3的平均数是3，则该组数据的众数为________．【答案】3【解析】【分析】首先根据这组数据的总和等于各个数据之和，或等于这组数据的平均数乘以这组数据的个数，列出方程，得出x 的值，再根据众数的概念，这组数据中出现次数最多的是3，从而得出答案.【详解】解: 1+3+2+7+x+2+3=3×7解得：x=3,这组数据中出现次数最多的是3，故该组数据的众数为3.故答案为3.点睛: 本题考查的是平均数和众数的概念．注意一组数据的众数可能不只一个.14.不等式组13242xx+>⎧⎨-≤⎩的解集为_____．【答案】2＜x≤3．【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【详解】解：13242xx+>⎧⎨-≤⎩①②，由①得：x＞2，由②得：x≤3，则不等式组的解集为2＜x≤3．故答案为：2＜x≤3．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．15.如图，直线y ＝﹣33x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为_____．932【解析】【分析】通过求出点A、B、C的坐标，得到菱形的边长为3，则DE＝3＝DC，利用CD2＝m2+(﹣3m+6﹣3)2＝9，解得：m＝2，即可求解．【详解】∵y＝+6，∴当x＝0，y＝6，当y＝0，则x＝故点A、B的坐标分别为：(0)、(0，6)，则点C(0，3)，故菱形的边长为3，则DE＝3＝DC，设点D(m，+6)，则点E(m，x+6﹣3)，则CD2＝m2++6﹣3)2＝9，解得：m故点E，32 )，S△OAE＝12×OA×y E＝12×32，故答案为：2．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的特征，涉及到菱形的性质、三角形面积的计算、勾股定理的运用，综合强较强，难度适宜．16.小林家的洗手台面上有一瓶洗手液(如图1)，当手按住顶部A下压时(如图2)，洗手液瞬间从喷口B流出，已知瓶子上部分的CE和FD的圆心分别为D，C，下部分的视图是矩形CGHD，GH＝10cm，GC＝8cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B距台面GH的距离为16cm，且B，D，H三点共线．如果从喷口B流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C．E两点，接洗手液时，当手心O距DH的水平距离为2cm时，手心O距水平台面GH的高度为_____cm．【答案】11．【解析】分析】根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．【详解】如图：由题意可知：CD＝DE＝10cm，根据题意，得C(﹣5，8)，E(﹣3，14)，B(5，16)．设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，因为抛物线经过C、E、B三点，∴9314 2558 25516a b ca b ca b c-+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得11a40451518bc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以抛物线解析式为y＝-1140x2+45x+1518．当x＝7时，y＝11，∴Q(7，11)，所以手心O距水平台面GH的高度为11cm．故答案为11．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．三、解答题(本题有8小题，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)17.(1)计算：16+(π﹣3)0﹣|﹣3|;(2)化简：(x+2)2﹣x(x﹣3)．【答案】(1)2;(2)7x+4．【解析】【分析】(1)原式利用算术平方根定义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值;(2)原式利用完全平方公式及单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．【详解】(1)原式＝4+1-3=2;(2)原式＝x2+4x+4-x2+3x=7x+4．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．18.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．(1)求证：△BDE≌△CDF．(2)当AD⊥BC，AE＝2，CF＝4时，求AC的长．【答案】(1)证明见解析;(2)6.【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论;(2)根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝4，求得AB＝AE+BE＝6，于是得到结论．【详解】(1)证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDF中，B FCDBED F BD CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE≌△CDF(AAS);(2)解：∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝4，∴AB＝AE+BE＝2+4＝6，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝6．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行线的性质及全等三角形的判定定理.19.某校组织七年级学生参加冬令营活动，本次冬令营活动分为甲、乙、丙三组进行．如图，条形统计图和扇形统计图反映了学生参加冬令营活动的报名情况，请你根据图中的信息回答下列问题：(1)七年级报名参加本次活动的总人数为，扇形统计图中，表示甲组部分的扇形的圆心角是度;(2)补全条形统计图;(3)根据实际需要，将从甲组抽调部分学生到丙组，使丙组人数是甲组人数的3倍，则应从甲组抽调多少名学生到丙组?【答案】(1)60，108;(2)见解析;(3)6名【解析】【分析】(1)用丙的人数除以丙的百分比即可得出总人数，先求出甲的百分比，用甲的百分比乘以360°即可得出甲组部分的扇形的圆心角的度数;(2)用总人数减去甲组和丙组的人数求出乙组的人数，再补全条形图，即可得出答案;(3)设甲组抽调x名学生到丙组，再根据”抽调后丙组人数是甲组人数的3倍”列出方程，解方程即可得出答案.【详解】解：(1)七年级报名参加本次活动的总人数为：30÷50%=60， 甲组部分的扇形的圆心角是：(1-50%-20%)×360°=108°;(2)乙组的人数60-30-18=12(3)设应从甲组调x 名学生到丙组可得方程：3(18)30x x -=+解得6x =答：应从甲组调6名学生到丙组．【点睛】本题考查的是统计图和一元一次方程，解题关键是理清条形图和扇形图之间的关系.20.如图，A ，B ，C 是方格纸中格点，请按要求作图．(1)在图1中画出一个以A ，B ，C ，D 为顶点的格点平行四边形．(2)在图2中画出一个格点P ，使得∠BPC ＝12∠BAC ．【答案】(1)详见解析;(2)详见解析．【解析】【分析】(1)根据平行四边形的定义，画出图形即可(答案不唯一)．(2)利用辅助圆结合圆周角定理画出图形即可(答案不唯一)．【详解】(1)如图1中，平行四边形ABCD ，平行四边形ADBC 即为所求．(2)如图2中，点P 即为所求．【点睛】本题考查作图﹣应用与设计，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.如图，在平面直角坐标系中，二次函数()230y axbx a =++≠图像经过点()1,0A -，点()3,0B ，与轴交于点，(1)求、的值：(2)若点为直线BC 上一点，点到直线、两点的距离相等，将该抛物线向左(或向右)平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点，求新抛物线的顶点坐标.【答案】(1)1a =-，2b =;(2)平移后函数的顶点为()14或()14+【解析】【分析】(1)将点A(-1,0)和点B(3,0)代入得到a ，b 的方程组，求出方程组的解得到a ，b 的值;(2)先求出P 点的坐标，令2y =得11x =21x =-个单位，即可求得新抛物线的顶点坐标.【详解】(1)∵抛物线()230y ax bx a =++≠的图像经过点()1,0A -，点()3,0B ，∴030933a b a b =-+⎧⎨=++⎩， 解这个方程组得：12a b =-⎧⎨=⎩， ∴1a =-，2b =(2)∵点到直线、两点的距离相等，∴点P 在抛物线的对称轴上，设直线BC 的解析式为y=kx+b ,经过()3,0B ，C(0,3),∴y=-x+3,又∵点为直线BC 上一点，()1,2P令2y =得11x =+21x =个单位原函数顶点为()1,4∴平移后函数的顶点为()14-或()14+【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为BD的中点，延长AD，BC交于P，连结AC．(1)求证：AB＝AP;(2)当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．【答案】(1)详见解析;(2)PC10【解析】【分析】(1)利用等角对等边证明即可．(2)利用勾股定理分别求出BD，PB，再利用等腰三角形的性质即可解决问题．【详解】解：(1)证明：∵C为BD的中点，∴∠BAC＝∠CAP，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ACP＝90°，∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，∴∠ABC＝∠P，∴AB＝AP．(2)解：如图，连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDP＝90°，∵AB＝AP＝10，DP＝2，∴AD＝10﹣2＝8，∴BD2222--=，1086AB AD∴PB2222+=+=，62210BD PD∵AB＝AP，AC⊥BP，∴BC＝PC＝12PB＝10，∴PC＝10．【点睛】主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23.九二班计划购买A、B两种相册共42册作为毕业礼品，已知A种相册的单价比B种的多10元，买4册A 种相册与买5册B种相册的费用相同．(1)求A、B两种相册的单价分别是多少元?(2)由于学生对两类相册喜好不同，经调查得知：购买的A种相册的数量要少于B种相册数量的34，但又不少于B种相册数量的25，如果设买A种相册x册．①有多少种不同的购买方案?②商店为了促销，决定对A种相册每册让利a元销售(12≤a≤18)，B种相册每册让利b元销售，最后班委会同学在付款时发现：购买所需的总费用与购买的方案无关，当总费用最少时，求此时a的值．【答案】(1)A种相册的单价为50元，B种相册的单价为40元;(2)①x可取12、13、14、15、16、17，共6种不同的购买方案;②18．【解析】【分析】(1)设A种相册的单价为m元，B种相册的单价为n元，根据”A种相册的单价比B种的多10元，买4册A 种相册与买5册B种相册的费用相同”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论;(2)①根据”购买的A种相册的数量要少于B种相册数量的34，但又不少于B种相册数量的25“，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出x的可能值，进而可得出购买方案的种数;②设购买总费用为w元，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于x的函数关系式，由购买所需的总费用与购买的方案无关可得出b ＝a ﹣10，进而可得出w 关于a 的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【详解】解：(1)设A 种相册的单价为m 元，B 种相册的单价为n 元，依题意，得：1045m n m n -=⎧⎨=⎩， 解得：5040m n =⎧⎨=⎩． 答：A 种相册的单价为50元，B 种相册的单价为40元．(2)①根据购买的A 种相册的数量要少于B 种相册数量的34，但又不少于B 种相册数量的25得： 3(42)42(42)5x x x x ⎧<-⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩ ， 解得：12≤x ＜18．又∵x 为正整数，∴x 可取12、13、14、15、16、17，共6种不同的购买方案．②设购买总费用为w 元，依题意得：w ＝(50﹣a )x +(40﹣b )(42﹣x )＝(10﹣a +b )x +42(40﹣b )．∵购买所需的总费用与购买的方案无关，则w 的值与x 无关，∴10﹣a +b ＝0，∴b ＝a ﹣10，∴w ＝42(40-b)＝42[40-(a-10)]＝﹣42a +2100．∵﹣42＜0，∴w 随a 的增大而减小．又∵12≤a ≤18，∴当a ＝18时，w 取得最小值．答：当总费用最少时，a 的值为18．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组;(2)①根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组;②根据各数量之间的关系，找出w 关于x 的函数关系式．24.如图Rt ABC △中，ABC 90︒∠=，P 是斜边AC 上一个动点，以即为直径作O 交BC 于点D ，与AC 另一个交点E ，连接DE ．(1)当DP EP =时，①若130BD ︒=，求C ∠的度数;②求证AB AP =;(2)当15AB =，20BC =时，①是含存在点P ，使得BDE 是等腰三角形，若存在求出所有符合条件的CP 的长;②以D 为端点过P 作射线DH ，作点O 关于DE 的对称点Q 恰好落在CPH ∠内，则CP 的取值范围为________．(直接写出结果)【答案】(1)①40°;②详见解析;(2)①7，10，12.5;②712.5CP <<【解析】【分析】(1)①由BP 是直径可得90BEC ︒∠=，根据130BD ︒=得 50DP ︒=并可得DP EP =， 100DE ︒=，50CBE ︒∠=，根据三角形的内角和定理得40C ︒∠=;②由DP EP =，得到12∠=∠，根据1APB C ∠=∠+∠，2ABP ABE ∠=∠+∠，C ABE ∠=∠，得到，APB ABP ∠=∠由等角对等边得AP AB =;(2)①分三种情况：(一)当BD BE =时，(二)当BD ED =时，(三)当DE BE =时，分别进行讨论求解即可;②分三种情况讨论：(一)当Q 点在P 点上时;(二)当Q 点在PC 上时(三)当Q 点在PH 上时，分别讨论，求出CP 的值即可.【详解】24．解(1)①连结BE ，∵BP 是直径∴90BEC ︒∠=∵130BD ︒=，∴50DP ︒=∵DP EP =，∴100DE ︒=∴50CBE ︒∠=∴40C ︒∠=②∵DP EP =，∴12∠=∠1APB C ∠=∠+∠，2ABP ABE ∠=∠+∠又∵C ABE ∠=∠∴APB ABP ∠=∠∴AP AB =(2)①由15AB =，20BC =，可以求得25AC =，12BE =，∴8CD =，16CE =，∵CBP CED ∠=∠，C C ∠=∠∴CBP CED当BDE 是等腰三角形时，有三种情况：(一)BD BE =，(二)BD ED =，(三)DE BE =(一)当BD BE =时，12BD BE ==∴8CD =， ∴CP CB CD CE = ∴58104CB CD C C P E ==⨯=⨯ (二)当BD ED =时，可知点D 是Rt CBE 斜边的中线，∴10CD =，∴CP CB CD CE= ∴5251012.542CB CD CE CP ==⨯=⨯= (三)当DE BE =时，作EH BC ⊥，则H 是BD 中点， 可以求得33655BH BE =⨯=，∴725BD = ∴285CD =，∴574CP CD =⨯= ②(一)当O 点的对称点Q 在P 点上时，B ，O ，Q 三点共线，如图示∴BP DE ⊥,且BP 平分DE ，由等腰三角形的性质可知∴BD BE =由(1)可知CP=7;(二)当O 点的对称点Q 不在P 点上，而在PC 上时，此情况Q 点并不在CPH ∠上(三)当O 点的对称点Q 不在P 点上，而在PH 上时，B ，O ，Q 三点不共线，如图示∵OK KQ =，KQ DE ⊥，且OD OE =∴四边形DOEQ 是菱形，∴DEP DEO ∠=∠∵DEP DBO ∠=∠∴DEO DBO ∠=∠又∵OE ，OD ，OB 均为外接圆的半径，∴DBO BDO ∠=∠，DEO ODE ∠=∠∴BDO ODE ∠=∠∴BDO EDO ∠≅∠∴BD ED =∴由(1)可知，12.5CP =∴712.5CP <<【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，能分情况讨论各种情况，是解本题的关键．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2022年中考数学模拟试卷数 学（全卷满分120分，考试时间120分钟）注意事项：1. 本试卷分选择题和非选择题两部分. 在本试题卷上作答无效．．．．．．．．．．；2. 答题前，请认真阅读答题．．．．．．．卷．上的注意事项．．．．．．；3. 考试结束后，将本试卷和答题．．．．．．．卷一并交回．．．．. 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分. 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请在答题卷上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B 铅笔涂黑） 1. 2 sin 60°的值等于 A. 1B.23C. 2D. 32. 下列的几何图形中，一定是轴对称图形的有A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个3. 据2013年1月24日《桂林日报》报道，临桂县2012年财政收入突破18亿元，在广西各县中排名第二. 将18亿用科学记数法表示为A. 1.8×10B. 1.8×108C. 1.8×109D. 1.8×10104. 估计8-1的值在A. 0到1之间B. 1到2之间C. 2到3之间D. 3至4之间 5. 将下列图形绕其对角线的交点顺时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是 A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 6. 如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是7. 为调查某校1500名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行调查，并结 合调查数据作出如图所示的扇形统计图. 根据统计图提供的 信息，可估算出该校喜爱体育节目的学生共有 A. 1200名 B. 450名C. 400名D. 300名8. 用配方法解一元二次方程x 2+ 4x – 5 = 0，此方程可变形为 A. （x + 2）2= 9 B. （x - 2）2= 9C. （x + 2）2 = 1D. （x - 2）2=1圆弧 角 扇形 菱形 等腰梯形A. B. C. D.（第9题图）（第7题图）9. 如图，在△ABC 中，AD ，BE 是两条中线，则S △EDC ∶S △ABC = A. 1∶2B. 1∶4C. 1∶3D. 2∶310. 下列各因式分解正确的是A. x 2 + 2x-1=（x - 1）2B. - x 2+（-2）2=（x - 2）（x + 2） C. x 3- 4x = x （x + 2）（x - 2）D. （x + 1）2= x 2+ 2x + 111. 如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为BC 的中点，AB = 4， ∠BED = 120°，则图中阴影部分的面积之和为 A. 3 B. 23 C.23 D. 112. 如图，△ABC 中，∠C = 90°，M 是AB 的中点，动点P 从点A出发，沿AC 方向匀速运动到终点C ，动点Q 从点C 出发，沿 CB 方向匀速运动到终点B. 已知P ，Q 两点同时出发，并同时 到达终点，连接MP ，MQ ，PQ . 在整个运动过程中，△MPQ 的面积大小变化情况是 A. 一直增大B. 一直减小C. 先减小后增大D. 先增大后减小二、填空题（本大题满分18分，每小题3分，请将答案填在答题卷上，在试卷上答题无效） 13. 计算：│-31│= . 14. 已知一次函数y = kx + 3的图象经过第一、二、四象限，则k 的取值范围是 . 15. 在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是 .16. 在临桂新区建设中，需要修一段全长2400m 的道路，为了尽量减少施工对县城交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度. 若设原计划每天修路x m ，则根据题意可得方程 . 17. 在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x 轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变换. 如图，已知等边三角形 ABC 的顶点B ，C 的坐标分别是（-1，-1），（-3，-1），把 △ABC 经过连续9次这样的变换得到△A ′B ′C ′，则点A 的对 应点A ′ 的坐标是 .18. 如图，已知等腰Rt △ABC 的直角边长为1，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的 斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ……依此类推直 到第五个等腰Rt △AFG ，则由这五个等腰直角三角形所构成 的图形的面积为 . 三、解答题（本大题8题，共66分，解答需写出必要的步骤和过程. 请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效）（第11题图）（第12题图） （第17题图）（第18题图）19. （本小题满分8分，每题4分）（1）计算：4 cos45°-8+(π-3) +(-1)3；（2）化简：（1 - n m n+）÷22n m m -.20. （本小题满分6分）21. （本小题满分6分）如图，在△ABC 中，AB = AC ，∠ABC = 72°. （1）用直尺和圆规作∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D （保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC 的平分线BD 后，求∠BDC 的度数.22. （本小题满分8分）在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如下：（1）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；（2）根据样本数据，估算该校1200名学生共参加了多少次活动. 23. （本小题满分8分）如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角 为30°. 小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点 C 到测角仪EF 的水平距离CF = 1米，从E 处测得树 顶部A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，求树 AB 的高度. （参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）24. （本小题满分8分）如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，点M 在PB 上，且OM ∥AP ，MN ⊥AP ，垂足为N. （1）求证：OM = AN ；（2）若⊙O 的半径R = 3，PA = 9，求OM 的长.3121--+x x ≤1， ……① 解不等式组：3（x - 1）＜2 x + 1. ……②（第21题图）（第23题图）（第24题图）°25. （本小题满分10分）某中学计划购买A 型和B 型课桌凳共200套. 经招标，购买一套A 型课桌凳比购买一套B 型课桌凳少用40元，且购买4套A 型和5套B 型课桌凳共需1820元. （1）求购买一套A 型课桌凳和一套B 型课桌凳各需多少元？（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A 型课桌凳的数量不能超过B 型课桌凳数量的32，求该校本次购买A 型和B 型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？26. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为（-1，0）. 如图所示，B 点在抛物线y =21x 2 -21x – 2图象上，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，且B 点横坐标为-3. （1）求证：△BDC ≌ △COA ；（2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出 所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.2021年初三适应性检测参考答案与评分意见一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DACBCBDABCAC说明：第12题是一道几何开放题，学生可从几个特殊的点着手，计算几个特殊三角形面积从而降低难度，得出答案. 当点P ，Q 分别位于A 、C 两点时，S △MPQ =21S △ABC ；当点P 、Q 分别运动到AC ，BC 的中点时，此时，S △MPQ =21×21AC. 21BC =41S △ABC ；当点P 、Q 继续运动到点C ，B 时，S △MPQ =21S△ABC，故在整个运动变化中，△MPQ 的面积是先减小后增大，应选C.二、填空题 13.31； 14. k ＜0； 15. 54（若为108扣1分）； 16. x 2400-x %)201(2400 = 8；（第26题图）17. （16，1+3）； 18. 15.5（或231）. 三、解答题19. （1）解：原式 = 4×22-22+1-1……2分（每错1个扣1分，错2个以上不给分） = 0 …………………………………4分（2）解：原式 =（n m nm ++-nm n +）·m n m 22- …………2分= nm m +·m n m n m ))((-+ …………3分= m – n …………4分 20. 解：由①得3（1 + x ）- 2（x -1）≤6， …………1分 化简得x ≤1. …………3分 由②得3x – 3 ＜ 2x + 1， …………4分 化简得x ＜4. …………5分 ∴原不等式组的解是x ≤1. …………6分21. 解（1）如图所示（作图正确得3分）（2）∵BD 平分∠ABC ，∠ABC = 72°， ∴∠ABD =21∠ABC = 36°， …………4分 ∵AB = AC ，∴∠C =∠ABC = 72°， …………5分 ∴∠A= 36°，∴∠BDC =∠A+∠ABD = 36° + 36° = 72°. …………6分 22. 解：（1）观察条形统计图，可知这组样本数据的平均数是 _x =50551841737231⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ =3.3， …………1分∴这组样本数据的平均数是3.3. …………2分∵在这组样本数据中，4出现了18次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是4. …………4分∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处在中间的两个数都是3，有233+ = 3. ∴这组数据的中位数是3. ………………6分（2）∵这组数据的平均数是3.3，∴估计全校1200人参加活动次数的总体平均数是3.3，有3.3×1200 = 3900. ∴该校学生共参加活动约3960次. ………………8分23. 解：在Rt △BDC 中，∠BDC = 90°，BC = 63米，∠BCD = 30°，∴DC = BC ·cos30° ……………………1分 = 63×23= 9， ……………………2分 ∴DF = DC + CF = 9 + 1 = 10，…………………3分 ∴GE = DF = 10. …………………4分 在Rt △BGE 中，∠BEG = 20°，∴BG = CG ·tan20° …………………5分 =10×0.36=3.6， …………………6分 在Rt △AGE 中，∠AEG = 45°，∴AG = GE = 10， ……………………7分 ∴AB = AG – BG = 10 - 3.6 = 6.4.答：树AB 的高度约为6.4米. ……………8分24. 解（1）如图，连接OA ，则OA ⊥AP. ………………1分∵MN ⊥AP ，∴MN ∥OA. ………………2分 ∵OM ∥AP ，∴四边形ANMO 是矩形.∴OM = AN. ………………3分（2）连接OB ，则OB ⊥AP ，∵OA = MN ，OA = OB ，OM ∥BP ， ∴OB = MN ，∠OMB =∠NPM.∴Rt △OBM ≌Rt △MNP. ………………5分 ∴OM = MP.设OM = x ，则NP = 9- x . ………………6分在Rt △MNP 中，有x 2 = 32+（9- x ）2.∴x = 5. 即OM = 5 …………… 8分25. 解：（1）设A 型每套x 元，则B 型每套（x + 40）元. …………… 1分 ∴4x + 5（x + 40）=1820. ……………………………………… 2分∴x = 180，x + 40 = 220.即购买一套A 型课桌凳和一套B 型课桌凳各需180元、220元. ……………3分（2）设购买A 型课桌凳a 套，则购买B 型课桌凳（200 - a ）套.a ≤32（200 - a ）， ∴ …………… 4分180 a + 220（200- a ）≤40880.解得78≤a ≤80. …………… 5分。