循环数列的通项公式
高二数学数列公式(201911新)
题型一：已知数列的前几项求其通项公式
1、等差形式的数列：
①３，６，９，１２
②0,-2,-4,-6
③ 2, 5,2 2, 11
④31 ,四、数列的 Nhomakorabea调性:若an1 an对任意的正整数n都成立, 则数列{an }可 称为递增数列;若an1 an对任意的正整数n都成立, 则数列{an }可称为递减数列.若an1 an对任意的正 整数n都成立,则数列{an }可称为常数列
在等差数列中，d>０（d＜０）是递增（减）数 列;d=0是常数列． 在等比数列中,当a1 0且q 1或者 a1 0且0 q 1时是递增数列; 当a1 0且0 q 1或者a1 0且q 1 时是递减数列.
如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用 一个公式来表示, 那么这个公式称为数列的通 项公式.记为: an f (n),n N
等差数列的通项公式是: an a1 (n 1)d am (n m)d
等比数列的通项公式是: an a1qn1 amqnm
期末复习
数列的概念、通项公式和递推公式
一、数列的概念:
1.按一定次序排成的列数称为数列． 2.其实数列中的项是关于项数的一种特殊的函数
关系，只是定义域是自小到大的正整数而已． 3.表示方法主要有：通项公式法，递推公式法，
前n项和法,和图像法等．(图像是自变量取正 整数的一些孤立的点)
二、数列的通项公式:
三、递推公式:
已知数列{an}的第一项(或前几项); 且任一项an与它的前一项an 1 (或前 几项)间的关系可以一个公式来表示
；蜘蛛云控 云东家云控 云通天下云控 云控 爆粉
；
机械可靠性基础（2学时） 掌握怠速控制阀的结构原理；结合Auto
数列知识点总结
数列知识点一、基本概念：数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；常数列、递增（减）数列、摆动数列：1,2,1,2,….;1,1,2,2,3,3,4,4,….; 循环数列：1,2,3,1,2,3,1,2,3,….. 通项公式n a ； 前n 项和公式n S二、任意数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n若1a 满足由1--=n n n S S a 推出的n a ，则需要统一“合写”； 若不满足，则数列的通项应分段表示。
三、等差数列1、等差数列及等差中项定义注：根据定义，当我们看到形如：d a a n n =--1、d a a n n =--212、d a a n n =--1、d a a n n =--111、211-++=n n n a a a 、d S S n n =--1时，应能从中得到相应的等差数列。
2、等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=、d k n a a k n )(-+= (其中1a 为首项、k a 为已知的第k 项)当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式；当0=d 时，n a 是一个常数。
3、等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=d n n na S n 2)1(1-+= 当0≠d 时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0； 当0=d 时（01≠a ），1na S n =是关于n 的正比例式。
4、等差数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+5、等差数列}{n a 的公差为d ，则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、……仍为等差数列，公差为d m 2。
6、等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则数列}{nS n是等差数列，公差为2d。
数列通项的五种求法
数列通项的五种求法求数列的通项公式是高中数学中最为常见的题型之一，它既可考查等价转化与化归的数学思想，又能反映考生对等差与等现象数列理想的深度，具有一定的技巧性，因此经常渗透在高考和竞赛中，要正确写出数列通项，其关键是：找出n a 与n 的对应关系，而其中数列的通项求法比较灵活。
下面分别介绍几种常见的数列通项的求法，请同学们学习。
一、常规数列的通项例1 写出下列数列的一个通项公式。
(1) 3, 5, 7, 9.... (2) 3, 5, 9, 17. (3)⋯,638,356,154,32 (4)⋯,917,710,1,32 解 （1）（方法一）注意观察，该数列前四项均为奇数，所以归纳出它的通项公式是a n =2n+1.（方法二）发现后一项比前一项都多2，前4项依次可写成a 1=3, a 2=3+2, a 3=3+2×2, a 4=3+2×3, ∴a n =3+2(n-1).（2）观察发现，前四项依次为2+1，22+1，23+1，24+1，∴a n =2n +1.（3）每一项的分子均为偶数，分母依次为1×3，3×5，5×7，7×9，…，均是相邻的两奇数之积，∴.)12)(12(2+-=n n na n（4）各项依次可写成，，，，，⋯9177105532分子依次是项数的平方数加1，∴.1212++=n n a n 小结 认真观察（注意分解式子）所给数据的结构特征，正确写出对应的表达式。
二、摆动数列的通项例2 写出下列数列的一个通项公式。
（1）1，5，1，5，1，5，…. （2）⋯--,78,54,32,1. （3）1，2，2，4，3，8，4，16，….解 （1）（方法一）∵奇数项均为1，偶数项均为5，∴⎩⎨⎧=，a n 5,1为n n 为正偶数.正奇数，（方法二）∵1与5的平均数为3，∴前四项依次可看成3-2，3+2，3-2，3+2. ∴a n =3+(-1)n ×2.（2）前四项可写成.122)1(,72)1(,52,32)1(,12113210--=∴⨯-⨯---n a n n n （3）∵a 1=1, a 3=2, a 5=3, a 7=4,…, ∴当n 为奇数时,21+=n a n , ∵a 2=2, a 4=4, a 6=8, a 8=16,…, ∴当n 为偶数时，.22n n a =∴⎪⎩⎪⎨⎧+=，n a n n 22,21为n n 为.正偶数正奇数，小结 这类题需要看清奇、偶项的正、负，可用(-1)n 或(-1)n+1等形式表示，或用分段形式表示。
8递归数列的通项(3)
初 等 数 学 专 题 研 究
这是一个三阶循环公式 将得到一个次数较高的特征方程，求解计算量大。 下面针对 {bn } 的几种特殊情形给出求数列 {a } n 通项公式的一般方法。
初 等 数 学 专 题 研 究
情形一： {bn } 为常数数列 bn = b 即 an +1 = ran + b 这时，我们设想，如果b能够拆解成两个部分， 使 an+1 = ran + b 能改写成： 的形式。那么数列 {a n + x } 就成为公比为r的等比数列。 问题是这样的待定数x是否存在？ 将 an +1 + x = r (an + x ) 还原成 an +1 = ran + x ( r 1) 的形式， 与 an +1 = ran + b 比较， 由于
与
an+1 = ran + bn + c 比较，
由于
r ≠1
所以方程组
初 等 数 学 专 题 研 究
( r 1) x = b x + ( r 1) y = c
有解，即前面的设想成立。
例2：求数列：an+1 = 4an + 5n, a1 = 1 的通项公式。 解：设 an +1 = 4an + 5n 可以改写成
bn = an +1 ran , bn+1 = an + 2 ran +1
数列通项公式
数列通向公式的求解1、公式法：2、累加法：3、累乘法：4、a n与S n的关系：5、构造法：（1）、待定系数法：（2）、同除+待定系数：（3）、取倒数+待定系数：（4）、取对数+待定系数：（5）、连续三项：6、无穷递推关系式：（减去前n-1项剩下最后一项）7、连续两项：8、不动点法：→不动点：方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点。
数列通项公式典例分析:1、已知数列{a n}满足_________________2、已知数列{a n}满足_________________3、已知数列{a n}满足___________;___________4、已知数列{a n}满足__________________5、已知数列{a n}满足_________________6、已知数列{a n}满足_____________7、已知数列{a n}满足________________8、已知数列{a n}满足______________9、已知数列{a n}满足_________________10、已知数列{a n}满足__________11、已知数列{a n}满足__________________12、已知数列{a n}满足_________________13、已知数列{a n}满足__________________14、已知数列{a n}满足__________________15、已知数列{a n}满足_____________________16、已知数列满足，，则=________17、设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则=________18、在数列中，，，．则=______________19、数列中，，（n≥2）,则=______________20、已知数列的首项，，则=__________________21、设数列｛an｝满足,则=_______________22、已知数列满足且,则=___________23、设数列满足,则=______________。
递 推 数 列
递 推 数 列高一数学第三章《数列》专题讲座之三我们把数列连续若干项之间的等量关系称为数列的递推关系，由递推关系及初始值可以确定的数列叫递推数列，常见的递推数列是线性递推数列（或称循环数列，线性递归数列）.一、推数列通项公式的基本求法1形如()n f a a n n +=+1的递归式，其通项求法为()()()123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a =()()()1211-++++n f f f a例1已知211=a ，1121-+=-n a a n n ，（n ≥2）,求n a 解：()()()123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a =21+()11223++-n n n =()()21122≥++-n n n n 2形如()n n a n f a =+1型的递归式，其通项求法为()()()()21211≥-=n n f f f a a n例2设数列{}n a 中，11=a ，且n n a n S 2=，求n a .解：当n ≥2时，1--=n n n S S a ，依题意，有n n a n S 2=，()1211---=n n a n S 两式相减得：()1221---=n n n a n a n a ，故111-+-=n n a n n a ，∴()11+-=n n n f ， ∴()12342132111111+=---+-=+-=-n n a n n n n n n a n n a n n ，由于11=a 满足上式∴()12+=n n a n3形如()11≠+=+p q pa a n n 型的一阶递推式，可化为()1111≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=--+p p q a p p q a n n 的形式，()11111≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=-p p p q a p q a n n 求解 例3设数列{}n a 中，11=a ，且431-=-n n a a ，（n ≥2）,求n a . 解：()2321-=--n n a a ，()11322--+=n n a a =132--n4形如()()11≠+=+p n q pa a n n 型的递推式，两边同除以1+n p ，得()111++++=n n n n n pn q p a p a 转化为第一种形式求解.例4．设数列{}n a 中，11=a ，且nn n a a 5321⋅+=-，（n ≥2）,求n a .解：两边同除以n2得，nnn n n n a a 2532211⋅+=--，令n n n b a =2，则1112---=n n n b a ， ∴()()()123121--++-+-+=n n n b b b b b b b b =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++nn252532122 =12255-⎪⎭⎫⎝⎛n∴11235++⋅-=n n n a ,本题也可以将原式两边同除以n5得，3552511+⋅=--n n n n a a ，令n nnb a =5，则1115---=n n n b a ，则原式变为3521+=-n n b b 再按一阶递推数列的求法也可求出. 5特征方程:对于二阶线性递推数列{}n x ，满足012=++++n n n bx ax x ， ①其中a,b 是常数，且0≠b .若有等比数列{}n x 满足公式①，则x 必满足相应的方程02=++b ax x ②； 反之，特征方程②有一个实根α，则等比数列{}n α必满足递推公式①；当042>-b a ，方程②有两个不相等的实根α，β，则数列{}nα，{}nβ均是①的解，并且对任意常数21,c c ，有{}n n c c βα21+也是①的解.如果给出初始条件，则可以求出通项公式.例5已知数列{}n a 中，21=a ，32=a ，且06512=+-++n n n a a a ，求n a .解：解法1，（特征根法）对于相应的特征根方程0652=+-x x 有两个不等的实根2，3，则它的通解为n n n c c a 3221+=，把21=a ，32=a 代入得32221c c +=，2221323c c +=，231=c ，312-=c ，故所求的通解是：11323---⋅=n n n a 解法2：（待定系数法）设6,5=⋅=+βαβα，即3,2==βα，则数列{}n a 的递推公式可以改写成()063212=++-++n n n a a a ，即：()n n n n a a a a 232112-=-+++ =()1223--n n a a =…=()nn a a 32312-=-①()n n n n a a a a 323112-=-+++=()1232--n n a a =…=()n n a a 233212⋅-=-②由①、②得11323---⋅=n n n a6韦达定理法：例如已知1245,0210++==+n n n a a a a ，求通项n a ，通过去根号，整理得：01102112=-+-++n n n n a a a a ，以()1-n 代替上式中的n 得：01102112=-+---n n n n a a a a ，这样1+n a 与1-n a 是二次方程011022=-+-n n a x a x 的两根，由韦达定理知n n n a a a 1011=+-+，再仿照5特征根法求解.7简单的分式数列：设()()0,0≠-≠++=bc ad c dcx bax x f ，{}n a 满足递推关系()1-=n n a f a ，其中n ≥2，且初始值()11a f a ≠.若方程dcx bax x ++=有两个不等的实根p,q,则q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11，这里qc a pc a k --=，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧--q a p a n n 是以qc a pca k --=的等比数列；若 方程d cxb ax x ++=有唯一的实根p,则k p a p a n n +-=--111，这里d a c k +=2，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-p a n 1是以k 为公差的等差数列.例7已知数列{}n a 中，41=a ，4231++=+n n n a a a ，求{}n a 的通项公式.解：解方程423++=x x x 得，有两个不等的实根1和—2，21522111+-⋅=+---n n n n a a a a 1115221-⎪⎭⎫⎝⎛+-=n a a15221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n ，21112552-----+=n n n n n a 8可转化为等差（比）的数列：例8若数列{}n a 中，11=a ，1->n n a a ，且()21114-+=++n n n n a a a a n ≥1，求{}n a 通项公式.解：显然数列各项均为不小于1的正值，开方得1211-+=++n n n na a a a ，配方有()121=-+nn a a ，因为1->n n a a ，所以11=-+n n a a ，故{}na 是等差数列，得n a n =，2n a n =. 例9已知{}n a 中，61=a ，()1121≥+=+n a a a n nn ，求{}n a 的通项公式.解：由条件得2111=--n n a a ，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等差数列，()6111212611-=-+=n n a n ，11126-=n a n .例10已知21=a ，且()12221≥+=+n a a a nn n ，求{}n a 的通项公式.解：解方程x x x 222+=得，有两解2±，由此可得()n nn a a a 22221+=++，()nn n a aa 22221-=-+，两式相除有：2112222⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-+++n n n n a a a a ，两边取对数得22lg222lg11-+=-+++n n n n a a a a ，所以数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+22lgn n a a 是等比数列，所以12111112222lg 22lg 222lg -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=-+-++n a a a a n n n ，12222222-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-+n n n a a ，本题也可以反复迭代得2112222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+++n nn n a a a a =…=121122-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+n a a =122222-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+n 由此解出：()()()()11112222222222222------+-++=n n n n n a。
高考数学复习考点知识与结论专题讲解33 数列的概念和性质
高考数学复习考点知识与结论专题讲解第33讲 数列的概念和性质通关一、数列的概念一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列的一般形式可以写成:123,,,,,n a a a a ，简记为{}n a ，其中数列的第1项1a ，也称首项;数列的第n 项n a ，也叫数列的通项. 要点诠释:(1){}n a 与n a 的含义完全不同:{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项；(2)数列的项与项数是两个不同的概念:数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号；(3)数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同序排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(4)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出.通关二、数列的分类1,2,3,4,,100 ,,n3,4,5,,n1,,20156,6,6,6,2,3,4,-1,1,1,-1,3,4,4,通关三、数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示成n a ()f n =，那么这个公式就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 要点诠释:(1)并不是所有数列都能写出其通项公式.(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的.如数列:1,0,1,0,1,0，通项公式可以是11(1)2n n a ++-=，也可以是sin 2n n a π=.(3)数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.(4)数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n 项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通关四、数列{}n a 的前n 项和数列{}n a 的前n 项和:指数列{}n a 的前n 项逐个相加之和，通常用n S 表示，即12n n S a a a =+++，1*1(1)2(n n n S n a S S n n -=⎧⎪=⎨-∈⎪⎩N ）且….结论一、数列通项公式给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下几个方面来考虑：(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系； (2)若第n 项和第1n +项正负交错，那么符号用(1)n-或1(1)n +-或1(1)n --来调控；(3)熟悉一些常见数列的通项公式；(4)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式进行变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.【例1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.(1)4142,,,,52117；(2)1925,2,,8,,222；(3)7,77,777,； (4)0,3,8,15,24,.【答案】(1)432n a n =+(2)22n n a =(3)()71019n n a =-(4)21n a n =-【解析】(1)注意前四项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为4444,,,581114，，它们的分母相差3，因而有432n a n =+. (2)把分母统一为2，则有1491625,,,,,22222，因而有22n n a =.(3)把各项除以7，得到1,11,111,，再乘以9，得到9,99,999,，因而有()71019n n a =-. (4)观察数列递增速度较快，用平方数列对照看一看，即222221,2,3,4,5,，则有21n a n =-.【变式】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式(1)23451,,,,,3579；(2)3143984,,,,251017；(3)392565,,,,24816；(4)5791,,,,81524--.【答案】(1)21n n -(2)221n n n ++(3)12n n +(4)1221(1)2n n n n ++-+【解析】(1)先将数列23451,,,,,3579，第1项也化为分数，数列变为12345,,,,13579，此时可以看出分子是按正整数顺序排列，分母是按奇数排列，因此此数列的通项公式为21n na n =-. (2)将数列各项化为带分数，即149161,2,3,4,251017，可以发线正整数部分是按正整数顺序排列的，分数部分各分子均为2n ，分母都比分子大1，所以分数部分的通项公式为221n n +.两部分合成为221n n a n n =++.(3)将数列各项化为带分数，即11111,2,3,4,24816，可以发现整数部分是按正整数顺序排列的，分数部分各分子均为1，分母是2n，所以两部分合成为12nn +. (4)先将数列各项取为正数，即为5791,,,,81524，再将第1项也化为分数(注意第1项化为分子符合各项分子变化规律的分数)即为3579,,,,381524，可以观察出各项分子是3开始的奇数，通项公式可以写为21n +，分母排成的数列后项与前项的差呈现出等差数列规律，求出分母的通项公式是22n n +，合起来为2212n n n ++，再考虑正负号变化规律，即可得出通项公式为1221(1)2n n n n++-+. 结论二、数列的周期性对于数列{}n a ，如果存在一个常数()*T T ∈N，使得对任意的正整数0n n >，恒有n Tn aa +=成立，则称数列{}n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列.若01n =，则称数列{}n a 为纯周期数列，若02n …，则称数列{}n a 为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期. 【例2】设数列{}n a 满足1112,1n na a a +==-，记数列{}n a 前n 项之积为n T ，则2020T 的值为（）. A.2 B 1 C.1-D.2-【答案】D 【解析】因为12a =，111n n a a +=-，所以211112a a =-=，32111a a =-=-，43112a a =-=，即数列{}n a 是周期为3的周期数列，且1231a a a ⋅⋅=-，故673202067331(1)22T T ⨯+==-⨯=-.故选D.【变式】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧<⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩……，若167a =，则20a 的值为（）.A.67B57C.37D.17【答案】B【解析】因为数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧<⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩……，167a =，所以215217a a =-=，323217a a =-=，43627a a ==，所以数列{}n a 是周期为3的循环数列，所以20257a a ==.故选B.结论三、已知n S 求n a 的一般步骤任意数列{}n a 的前n 项和1121(1);(2)n n n nn S n S a a a a S S n -=⎧=+++=⎨-⎩….要点诠释:由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行： (1)先利用11a S =求出1a ；(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用1,2n n n a S S n -=-…便求出当2n …时n a 的表达式；(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n …时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n …两段来写. 【例3】已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =-，则其通项公式na =__________.【答案】0,121,2n n n =⎧⎨-⎩…【解析】因为已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，所以当1n =时，110a S ==，当2n …时，1n n n a S S -=-22221(1)1(1)21n n n n n ⎡⎤=----=--=-⎣⎦，经检验，1n =时，1a 不满足上述式子，故数列{}n a 的通项公式0,1.21,2n n a n n =⎧=⎨-⎩…【变式】已知数列{}n a 的前n 项和31nn S =+，则其通项公式na =__________.【答案】14,123,2n n n -=⎧⎨⋅⎩… 【解析】当1n =时，11314a S ==+=；当2n …时，()()111131312323nnnnn n na S S ----=-=+-+=⋅=⋅.当1n =时，111232a -⨯=≠，所以14,1.23,2n n na n -=⎧=⎨⋅⎩…结论四、n a 与n S 混合在一起的处理方法数列{}n a 的前n 项和n S 与通项n a 的关系为11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩…，通过纽带:1(2)n n n a S S n -=-…，根据题目已知条件，消掉n a 或n S ，再通过构造成等差数列或者等比数列进行求解. 要点诠释：(1)若消掉n S ,应利.用已知递推式,把n 换成1n -得到另一个式子,两式相减即可求得通项. (2)若消掉n a ,只需把1n n n a S S -=-代入递推式得到n S ，1n S -的关系,求出n S 后再利用n a 与n S 的关系求通项.【例4】若数列{}n a 的前n 项和为2133n n S a =+,则1a =数列{}n a 的通项公式n a =__________.【答案】11(2)n --【解析】由已知条件得,当1n =时,112133a a =+,故11a =.当2n …时,2133n n S a =+,112133n n S a --=+,所以12233n n n a a a -=-,即12n n a a -=-.所以{}n a 是以1为首项,2-为公比的等比数列,所以1(2)n n a -=-.【变式】已知数列{}n a 的前n 项和n S ,若1111,3n n a S a +==,则7a =（）.A.74B. 534⨯C. 634⨯D. 641+【答案】B【解析】由113n n S a +=,可得11,23n n S a n -=…,两式相减可得:111,233n n n a a a n +=-…,即14,2n n a a n +=….数列{}n a 是从第二项起的等比数列,公比为4, 因为113n n S a +=,11a =.所以23a =.所以72572434a a -==⨯.故选B.结论五、数列单调性的判断方法①作差法:10n n a a +->⇔数列{}n a 是递增数列; 10n n a a +-<⇔数列{}n a 是递减数列; 10n n a a +-=⇔数列{}n a 是常数列.②作商法:当0n a >时,11n n a a +>⇔数列{}n a 是递增数列; 11n na a +<⇔数列{}n a 是递减数列; 11n na a +=⇔数列{}n a 是常数列. 当0n a <时,11n na a +>⇔数列{}n a 是递减数列; 11n na a +<⇔数列{}n a 是递增数列; 11n na a +=⇔数列{}n a 是常数列. 【例5】已知{}n a 是递增数列,且对于任意的*2,n n a n n λ∈=+N 恒成立,则实数λ的取值范围是__________. 【答案】3λ>-【解析】解法一（定义法）因为{}n a 是递增数列,所以对任意的*n ∈N ,都有1n a +>n a ,即22(1)(1)n n n n λλ+++>+,整理得210n λ++>,即(21)(*)n λ>-+. 因为1n …,所以(21)3n -+-…,要使不等式(*)恒成立,只需3λ>-.解法二（函数法）设2()n f n a n n λ==+,其图像的对称轴为直线2n λ=-,要使数列{}n a 为递增数列,只需使定义在正整数上的函数()f n 为增函数,故只需满足(1)(2)f f <,即3λ>-. 【变式】已知数列{}n a 的通项公式为(37)0.9n n a n =+⨯,则数列{}n a 的最大项是（）.A.5aB. 6aC. 7aD. 8a 【答案】C 【解析】由1310913710n n a n a n ++=⨯>+,解得203n <,又*n ∈N ,所以6n ….于是12a a <<7a <,当7n …时,11n na a +<, 故78a a >>, 因此最大项为7a .故选C .。
求通项公式常用5法
行运算，然后验证能否统一。
(①只含n) 例1、数列 {an }的前n项和为S n，S n n 2 n， 求：数列 {an }的通项公式。 练习 1、数列 {an }的前n项和为S n，S n 2n 2 n 1， 求：数列 {an }的通项公式。
(②含an ) 例2、数列 {an }的前n项和为S n，S n 2an n， 求：数列 {an }的通项公式。
an1 pan q( p, q为常数）往往变为an1 p（an ）
构成等比数列，求得通项公式，再求an。
练习 1、数列an 中，a1 1, an 1 4an 3, 求an
练习2、数列an 中，a1 1,3an 1 2an 3, 求an
an 中，a1 1, 前n项和Sn满足Sn n an , 求an 练习 1、数列
2
解：当n 2时
Sn n2an 1
Sn1 n 1 an1 2
2
an a2 a3 a4 累乘得： a1 a2 a3 an1
1 2 3 n 3 n 2 n 1 3 4 5 n 1 n n 1 an 2 2 ,即an n 2 a1 nn 1 nn 1
2n－1 等比数列，∴an＋1－an＝－3 .
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋ 2n－2 2n－3 2 2 2 8 3 2n－1 a1＝－3 ＋－3 ＋…＋－3 ＋－3＋1＋1＝5－5－3 .
例3．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2,3an－an－1－2an－2＝0(n≥3)， 求数列{an}的通项公式．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
循环数列的通项公式
大家都知道，数列在某种程度上来说就是一个函数，不过它的定义域是自然数集或者是它的子集：｛ 1，2，3，…，n ｝。
因此求数列的通项公式，实际上就是求函数的解析式，而初等数学中的周期函数主要是三角函数，下面就讨论一些可以利用三角函数性质的循环数列的通项公式的求法。
我们先从数列 1-，1，1-，1，…谈起，大家利用得较多的是n )1(-，三角形式还可以写成πn cos 和)2sin(ππ
n -的形式。
这样数列 1，2，1，2，1，2，… 可以构造成：
2123-，2123+，2123-，2123+，2123-，2
123+，…… ， 它的通项公式可以写成：
2
1)1(23⨯-+=n n a (n ∈N)， 或者写成：
)2
s i n (2123ππn a n -+= (n ∈N)， 或者写成：
πn a n c o s 2
123+= (n ∈N)， 一般地，数列 a ，b ，a ，b ，a ，b ，…… 它的通项公式可以写成： πn a b b a a n c o s )(2
1)(21-++=
(n ∈N)。
如何求数列}b {n ：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…… 和数列}c {n ：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4， ……的通项公式呢？
注意到 1，2，3可以分解成 12-，02+，12+的形式，如果我们能给出1-，0，1，1-，0，1，……的通项公式便可以了，这可以理解成周期为3的数列，我们，把它与周期为π的函数x y tan = 进行改造，使它们能发生联系。
事实上，当 x 分别为3π
-，0，3π，3
2π，π，34π，……时，x tan 的值分别为3-，0，3，3-，0，3，……这样1-，0，1，1-，0，1，……的通项公式可以写成：π)2tan(3
1
-n ， ∴ π)2tan(31
2-+=n b n (n ∈N)。
下面再讨论数列}c {n ：1，2，3，4，1，2，3，4， ……的通项公式。
我们先做以下变换：
扩大 2倍：
2， 4， 6， 8， 2， 4， 6， 8，……
减去它们的平均数5：
3-，1-， 1， 3，3-，1-， 1， 3，……
分解成两个数列：
(1) 1-， 1， 1-， 1， 1-， 1， 1-， 1，……
(2) 2-，2-， 2， 2， 2-， 2-， 2， 2，……
(1)的通项公式为n )1(- 易得，(2)的通项只要求出1+，1+，1-，1-，1+，1+，1-，1-，……的通项便可以了，它与(2)相差一个系数(2-)。
以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一致，它通项：
)4
121s i n (21ππ-=n c n (n ∈N)， ∴ 2-，2-，2，2，2-，2-，2，2，……的通项为：
)4
121s i n (222ππ--=n c n (n ∈N)， ∴ 3-，1-，1，3，3-，1-，1，3，……的通项为：
)4
121s i n (22)1(3ππ---=n c n n (n ∈N)， 则原数列}c {n 的通项为：
)]4
121sin(22)1(5[21ππ---+=n c n n (n ∈N)。
此外还可以再把 1-，1-，1，1，1-，1-，1，1，……分成两个数列： 1-，0，1，0，1-，0，1，0，…… 和 0，1-，0，1，0，1-，0，1 ，…… 它们的通项公式分别为2
)1(cos
π+n 和2cos πn ， 经过化简便可得到同上一样的答案。
下面再讨论可转化成循环数列的一类数列的通项公式。
}{n a ：1，1，2，2，3，3，4，4，……；
}{n b ：1，1，1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，……；
}{n c ：1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，……；
对于数列}{n a 来说，当 n 为奇数时，)1(21+=
n a n ；当 n 为偶数时，2n a n =，则有： 2
)1(1212)1(1)1(21n n n n n a -+⋅+--⋅+= ])1(12[4
1n n --+= (n ∈N),
也可以采用以下变形：
扩大一倍得}{2n a ： 2，2，4，4，6，6，……，
减去 n 得}2{n a n -：1，0，1，0，1，0，……，
易得 ])1(1[4
12n n n a --=- (n ∈N)。
讨论}{n b ：1，1，1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，……，
乘以 3 得}3{n b ：3，3，3，6，6，6，9，9，9，12，12，12，……， 减去 (n+1)得)}1(3{+-n b n ：1，0，1-，1，0，1-，……，
由前面讨论得它的通项公式：
π31t a n 3
1'+-=n b n (n ∈N) 即有： π3
1tan 31
)1(3+-=+-n n b n (n ∈N) 整理可得：π31tan 3
31)1(31+-+=n n b n (n ∈N) 最后讨论}{n c ：
1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，……的通项公式。
乘以(－4)得：
4-，4-，4-，4-，8-，8-，8-，8-，12-，12-，12-，12-，……， 加上(n+4)得：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，……， 它的通项公式为：
)]4
121sin(22)1(5[21'ππ---+=n c n n 又)4(4'++-=n c c n n 化简整理得：
]4
121s i n (22)1(32[81ππ-+--+=n n c n n (n ∈N)。
由上讨论可见，象这样一些循环数列，均是通过三角函数的某些性质求出了它们的通项公式，只要平时注意观察、归纳，到时运用起来就得心应手了。